初中数学 抛物线 练习题(含答案)
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第十讲 抛物线
一般地说来，我们称函数c bx ax y ++=2 (a 、b 、c 为常数，0≠a )为x 的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：
1．a 、b 、c 的符号决定抛物线的大致位置；
2．抛物线关于a
b x 2-=对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a 相关，抛物线在顶点(a
b 2-，a b a
c 442-)处取得最值； 3．抛物线的解析式有下列三种形式：
①一般式：c bx ax y ++=2；
②顶点式：k h x a y +-=2)(；
③交点式：))((21x x x x a y --=，这里1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个实根．
确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．
注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有：
(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；
(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x 轴所截得的弦长获得对称信息．
【例题求解】
【例1】 二次函数c bx x y ++=2的图象如图所示，则函数值0 思路点拨 由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出b ，c 值，先求出0=y 时，对应x 的值． 【例2】 已知抛物线c bx x y ++=2(a <0)经过点(一1，0)，且满足024>++c b a ．以下结论：①0>+b a ；②0>+c a ；③0>++-c b a ；④2252a ac b >-．其中正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置，进而判定a 、b 、c 的符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系． 【例3】 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN ＝4分米，抛物线顶点处到边MN 的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD ，使矩形顶点B 、C 落在边MN 上，A 、D 落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米? 思路点拨 恰当建立直角坐标系，易得出M 、N 及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A(x ，y )，建立含x 的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分米，取决于求出x 的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内． 注： 把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解． 【例4】 二次函数22 3212-++-=m x x y 的图象与x 轴交于A 、两点(点A 在点B 左边)，与y 轴交于C 点，且∠ACB ＝90°． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设计两种方案：作一条与y 轴不重合，与△A BC 两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC 相似，并且面积为△BOC 面积的4 1，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设计的方案不必证明)． 思路点拨 (1)A 、B 、C 三点坐标可用m 的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m 的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案． 注： 解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键． 【例5】 已知函数1)1(2)2(22+--+=x a x a y ，其中自变量x 为正整数，a 也是正整数， 求x 何值时，函数值最小． 思路点拨 将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为2 3)2(212++-=+-=a a a a x ，因12