高中数学学案：《函数的概念和图象(2)》必修一

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《4.5 函数的应用(二)》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

第五章函数的应用（二）4.5.3 函数模型的应用本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》的第五章的4.5.3函数模型的应用。

函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。

本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价,发展学生数学建模、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。

课程目标学科素养1. 能建立函数模型解决实际问题．2.了解拟合函数模型并解决实际问题．3.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力．a.数学抽象：由实际问题建立函数模型；b.逻辑推理：选择合适的函数模型；c.数学运算：运用函数模型解决实际问题；d.直观想象：运用函数图像分析问题；e.数学建模：由实际问题建立函模型；f.数据分析：通过数据分析对应的函数模型；教学重点：利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．教学难点：利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．多媒体教学过程设计意图核心教学素养目标（一）创设问题情境1．常见函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模拟y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) (4)对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)2.建立函数模型解决问题的基本过程（二）问题探究我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？通过对常见函数模型的回顾，提出新的问题，提出运用函数模型分析解决实际问题，培养和发展数据分析、数学建模和数学抽象、直观想象的核心素养。

函数的概念2函数相等

函数相等（教师叙述：上一节课我们学习了函数的基本概念，知道了函数的三要素：值域、定义域、对应法则，这一节课我们来学习一下函数相等.类比我们前面所学习的集合相等，我们知道，若是两个集合相等，那么这两个集合的所有元素应该是相同的.那么两个函数相等呢？两个函数相等应该满足什么样的条件呢？这就是我们这节课要学习的内容.下面我们来看一下这节课的学习目标）一、【学习目标】（约2分钟）（自学引导：课前第一要对函数三要素复习，第二要完成对本节课的预习）1、进一步理解函数的三要素；进一步熟悉区间的写法；2、深刻理解函数相等的含义，并会用此解决相关题目.【教学效果】：学习目标的出示，引起学生极大的学习兴趣.对于函数三要素的复习，起到了良好的作用.注意复习时引入一个实际函数是很有利于学生的理解的.二、【自学内容和要求及自学过程】（约10分钟）阅读下列材料，然后回答问题（自学引导：最重要的是我们要知道为什么两个函数相等不是三要素都相同，而是只用定义域和对应法则相等？同学们要尽量在课前就搞清楚）材料一：通过上一节课的学习，我们可以知道，构成一个函数的三要素是：定义域、值域和对应关系，譬如函数2f=的三要x)(x素为定义域：R；对应法则：2xx→；值域：[]∞，+材料二：教材18页函数相等部分内容<1>指出构成函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应法则；指出二者的值域相同吗？由此你可以得出一个什么结论？<2>由题目<1>，你能理解函数相等的真正含义吗？<1>函数y=x+1的构成要素为：定义域R，对应关系：x→x+1；函数y=t+1的构成要素为：定义域R，对应关系：t→t+1；二者的值域都是R，相同；由此我们可以知道，两个函数若是定义域和对应关系完全相同，则两个函数的值域相同；<2>如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等.(引申：若两个函数的值域和对应法则相同，两个函数相等吗？你能说出原因吗？)【教学效果】:对于材料一和材料二，由于教学内容很艰涩，所以要注意领学.领学占主要部分，学生的自学，在这一节要站次要部分.教学中出现一些问题，譬如学生实在是搞不清楚到底为什么三要素相同函数就相等？为什么只要定义域和对应法则相同值域就确定？这些问题的出现都是很正常的，关键是我们要在习题课作辅导，通过练习，让学生逐渐的明白其中的含义.三、【练习与巩固】（约17分钟）阅读教材第18页例2，做练习一、二（约15分钟）练习一：判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由（约15分钟）① y=x-1，x∈R 与y=x-1，x∈N ； ② ②y=4-x 2与y=2-x ·2x +； ③y=1+x 1与u=1+x 1； ④y=x 2与y=x 2x ；⑤y=2|x|与y=⎩⎨⎧<-≥;0,2,0,2x x x x ； ⑥y=f(x)与y=f(u).和对应法则，若两个函数的值域明显不相同，则这两个函数肯定不相等.【教学效果】：这一部分的教学效果不是很理想，学生对于定义域、对应法则、函数的值域，还是很模糊的.练习二：教材第19页练习3（约2分钟）【教学效果】：对于第一个，学生们都能从定义域看出来，两个函数的定义域是不同的.但是对于第二个，学生们还是分的还是很不清楚.要加强训练和锻炼.四、【作业】1、必做题：教材第24页习题1.2第2题（注意：两个函数相等主要是看它们的定义域和对应法则是否相同）2、选做题：教材第24页习题1.2第7题第（2）小题（考察函数图像的画法和对函数的进一步的理解）五、【小结】这节课主要讲了函数相等这一个数学内容，其中着重的复习了函数的定义域值域对应法则的相关知识.本节课的重点是理解定义，运用定义做题.但是由于刚刚的学习了区间的写法，应当注。

高数数学必修一《4.2.2.2指数函数的图像和性质(二)》教学课件

2．函数f(x)＝34−x2 的单调递增区间是(_－_∞_，_0_]___.
解析：令t＝4－x2，则y＝3t是单调递增函数，当x∈(－∞，0]时，t＝4－x2单调递增；当x∈[0，＋∞)时，t＝4－x2单调递减，由复合函数单调性可知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝34－x2单调递增．
微点拨❶
跟踪训练2 (1)函数y＝ 2x − 8的定义域为( ) A．(－∞，3) B．(－∞，3] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
答案：D
解析：由题意得2x－8≥0，所以2x≥23，解得x≥3.故选D.
(2)解关于x的不等式(13)x－4≥3－2x .
解析：不等式(13)x－4≥3－2x即34－x≥3－2x，由于y＝3x在R上单调递增，所以4－x≥－2x，x≥－4，所以不等式的解集为[－4，＋∞)．
解析：因为ax＋1＞(1a)5－3x，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3. 当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3. 综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．
题后师说
利用指数函数单调性解不等式的步骤
综上，m＝1.
(2)当a＝4，b＝2时，f(x)＝4x＋m·2x. 令t＝2x>0，则g(t)＝t2＋mt在(0，＋∞)上有最小值，所以－m2 >0，得m<0. 所以实数m的取值范围是(－∞，0)．
随堂练习
1.a＝20.7，b＝40.37，c＝(12)－1.8，则a、b、c的大小关系为(
)
A．a<b<c
(2)设a＝0.81.1，b＝0.80.8，c＝1.10.8，则a，b，c的大小关系为( )

高中数学新教材必修一第三章《函数的概念与性质》全套课件

4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
2x
0y 2
x
2
D
0
2x
学习新知
初中我们已知接触过函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法
问题 2 某电气维修公司一个工人的工资关于天数 d 的函数 w=350d. ②定义域{1,2,3,4,5,6}
学习新知这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合分别表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
集合表示区间表示数轴表示
{x a＜x＜b} (a , b)
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间（年）y的关系。
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x) , x∈A

人教A版高中数学必修一对数函数的图像及其性质教案

对数函数的图像及其性质一、教学目标：知识技能（1）理解对数函数的概念.（2）掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.过程与方法（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想.情感、态度与价值观（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣.（2）在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.二、重点难点重点：对数函数的定义、图象和性质；难点：底数a 对图象的影响.三、教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.四、教学过程（1）情景导学；师：如2.2.1的例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t =log573021P估算出土文物或古遗址的年代.根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P ，通过对应关系t =log573021P ，都有唯一确定的年代t 与它对应，所以，t 是P 的函数.设计意图：由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力(2)问题探究：对数函数概念一般地，函数y =log a x （a ＞0，且a ≠1）叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y =log a x 的定义域是（0，+∞），值域是R .探究1：（1）在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）为什么对数函数log a y x （a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．探究2. 对数函数的图象.借助于计算器或计算机在同一坐标系中画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，探求它们之间的关系.（1）y =2x ，y =log 2x ；（2）y =（21）x ，y =log 21x .2.当a ＞0，a ≠1时，函数y =a x ，y =log a x 的图象之间有什么关系？对数函数图象有以下特征图象的特征（1）图象都在y 轴的右边（2）函数图象都经过（1，0）点（3）从左往右看，当a ＞1时，图象逐渐上升，当0＜a ＜1时，图象逐渐下降 .（4）当a ＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜a ＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .对数函数有以下性质0＜a ＜1 a ＞1图象定义域（0，+∞）值域 R性质（1）过定点（1，0），即x =1时，y =0（2）在（0，+∞）上是减函数（2）在（0，+∞）上是增函数设计意图：由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力．例1 求下列函数的定义域：（1）y =log a x 2；（2）y =log a 1-x （a ＞0，a ≠1）解：（1）由x 2＞0，得x ≠0. ∴函数y =log a x 2的定义域是{x |x ≠0}.（2）由题意可得1-x ＞0，又∵偶次根号下非负，∴x －1＞0，即x ＞1.∴函数y =log a 1-x （a ＞0，a ≠1）的定义域是{x |x ＞1}.小结：求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.例2 求证：函数f （x ）=lg x x+-11是奇函数.证明：设f （x ）=lg x x +-11，由xx +-11＞0，得x ∈（－1，1），即函数的定义域为（－1，1），又对于定义域（－1，1）内的任意的x ，都有f （－x ）=lgx x -+11=－lg x x +-11=－f （x ），所以函数y =lg xx +-11是奇函数. 注意：函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定，而必须进行严格的演算才能得出正确的结论.例3 溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH 刻画的.pH 的计算公式为pH=－lg ［H +］，其中［H +］表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）根据对数函数性质及上述pH 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为［H +］=10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.解：根据对数的运算性质，有pH=－lg ［H +］=lg ［H +］－1=lg ]H [1+.在（0，+∞）上，随着［H +］的增大，]H [1+减小，相应地，lg ]H [1+也减小，即pH 减小.所以，随着［H +］的增大，pH 减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小.（2）当［H +］=10－7时，pH=－lg10－7，所以纯净水的pH 是7. 事实上，食品监督监测部门检测纯净水的质量时，需要检测很多项目，pH 的检测只是其中一项.国家标准规定，饮用纯净水的pH 应该在5.0～7.0之间.五、课堂小结1.对数函数的定义.2.对数函数的图象和性质.六、课后作业课时练与测七、教学反思备选例题；例1 求函数)416(log )1(x x y -=+的定义域.【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-11010416x x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧≠-><012x x x .∴所求函数定义域为{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2}.【小结】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1.例2 求函数y = log 2|x |的定义域，并画出它的图象.【解析】函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }.函数解析式可化为y =⎪⎩⎪⎨⎧<->)0()(log )0(log 22x x x x ，其图象如图所示（其特征是关于y 轴对称）.。

函数的概念与图象(第一课时)高一数学同步精品课件(苏教版2019必修第一册)

C.x|12≤x<1或x>1 D.x|－1≤x≤12或x>1 (2)已知函数 f(x＋2)的定义域为(－2，0)，则函数 f(2x－2)的定义域为( )
A.(0，2)
B.－12，12
C.(1，2)
D.－12，0
解析 (1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足2x2x－－11≠≥00，，解得xx≥ ≠12±，1，即 x≥12且 x≠1，故选 C. (2)由题意知－2<x<0，∴0<x＋2<2，即f(x)的定义域为(0，2)，∴0<2x－2<2，解得1<x<2.故f(2x－2)的定义域是(1，2). 答案 (1)C (2)C
【训练3】求下列函数的值域： (1)f(x)＝x2＋2x＋3，x∈{－1，0，1，2}； (2)f(x)＝x2＋2x＋3. 解 (1)∵函数定义域为{－1，0，1，2}， f(x)＝(x＋1)2＋2. ∴f(－1)＝2，f(0)＝3，f(1)＝6，f(2)＝11， ∴函数f(x)的值域为{2，3，6，11}. (2)f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2， ∵(x＋1)2≥0，∴(x＋1)2＋2≥2，∴f(x)的值域为[2，＋∞).
题型一函数关系的判断角度1 由定义判断是否为函数【例1－1】判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数.
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ x； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
二、课堂检测 1.下表表示函数y＝f(x)的x与y的所有对应值，则此函数的定义域为( )
X
－1
0

函数的概念(单元教学设计)高中数学人教A版2019必修第一册

《函数的概念及其表示》单元教学设计一、内容及其解析（一）内容1 函数的三个要素:定义域，值域，对应关系2 “对应说”的函数概念3 函数的表示法:解析法，图象法，表格法4 分段函数的概念及表示（二）内容解析1. 内容本质：两个数集之间建立对应关系(单射)是函数概念的本质，用集合语言和对应关系刻画函数概念是数学抽象素养得到提升的重要标志。

用解析式、图象与表格等不同方法表示函数，是进一步理解函数、认识函数对应关系f的重要过程，也是数学思维的重要特征。

2 蕴含的思想方法运用函数观察、研究事物的运动与变化及其规律是一种重要的思想，因此，函数思想自然是函数概念与表示教学中最重要的数学思想;在函数的表示中，函数不同表示法之间的转化渗透着数形结合的思想;同时，函数与方程、不等式之间的相互转化，蕴含着等价转化的思想。

3 知识知识的上下位关系:函数是数学的核心概念，是刻画客观世界中运动变化规律的重要数学模型。

在高中阶段，函数不仅贯穿数学学习的始终，而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其它领域也有广泛的应用;在高等数学和实际应用中，函数是基本数学对象，是数学建模的重要模型。

4 育人价值：函数所蕴含的集合间的“对应”是一种重要的数学思想与方法，这种思想方法帮助人们在不同事物之间建立联系，并运用这种联系去研究、发现事物变化的规律，掌握事物本身的性质，这对于提高人们的思想认识，指导日常行为有着重要的意义与价值，函数的表示是数学表示的典范，除帮助人们提高抽象能力外，其本质也是建立具体函数到数学符号之间的对应，可以帮助学生进一步体会函数思想的本质，发展学生的数学抽象与直观想象素养.5 教学重点：实例归纳概括函数的基本特征，建立用集合与对应的语言刻画概念，选择适当的方法表示函数二、目标及其解析（一）单元目标1在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

教案数学高中函数图像

教案数学高中函数图像
教学重点和难点：函数的图像概念和性质；绘制一元二次函数、绝对值函数、指数函数、对数函数的图像。

教学准备：黑板、彩色粉笔、教材、教学PPT。

教学过程：
一、导入
教师通过引导学生回顾函数的概念和性质，引出本节课的主题——函数的图像。

二、讲解
1. 函数的图像概念和性质：函数的图像是由函数的自变量和因变量按照一定规律对应所得到的图形。

图像的性质包括对称性、增减性、奇偶性等。

2. 绘制一元二次函数的图像：通过讲解一元二次函数的一般式和顶点式，并结合实例进行绘图。

3. 绘制绝对值函数、指数函数、对数函数的图像：讲解这些特殊函数的性质和图像特点，引导学生绘制图像。

三、练习
老师布置练习题，让学生通过计算和绘图来加深对函数图像的理解和掌握。

四、拓展
引导学生思考如何利用函数图像解决实际问题，例如通过函数图像分析函数的性质、求解方程等。

五、总结
总结本节课的重点内容，强调函数图像的重要性和应用价值。

六、作业
布置作业：练习册上的相关题目，让学生巩固和深化所学内容。

教学反思
通过本节课的教学，学生能够掌握函数图像的基本原理和方法，并能够独立绘制一些常见函数的图像。

同时，通过练习和实例分析，学生能够运用函数图像解决实际问题，提高了他们的数学建模能力。

人教A版高中数学必修一 2.2.2 对数函数的图像及其性质学案

2.2.2 对数函数的图像及其性质（学案）一、学习目标1．理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点) 2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点)二、自主学习教材整理1 对数函数的概念阅读教材P 70前两个自然段，完成下列问题．对数函数：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．阅读教材P 70第三自然段至P 71“例7”以上部分，完成下列问题．阅读教材P 73至“练习”以上的部分，完成下列问题．反函数：对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．三、合作探究例1. (1)下列函数表达式中，是对数函数的个数有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝l n x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ；⑦y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________.【自主解答】 (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a ∈R 不能保证a >0，且a ≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x ＋2)，(x ＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log 4x 的系数为2，∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义．(2)由题意设f (x )＝log a x ，则f (4)＝log a 4＝－2，所以a －2＝4，故a ＝12，即f (x )＝log 12x ，所以f (8)＝log 128＝－3. 【答案】 (1)B (2)－3归纳总结：1．判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)底数a >0，且a ≠1； (2)自变量x 在真数的位置上，且x >0； (3)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，真数必须是x .2．对数函数的解析式中只有一个参数a ，故用待定系数法求对数函数的解析式时只需一个条件即可求出．例2. (1)函数f (x )＝1log 12x ＋1的定义域为( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，2) D.⎝⎛⎭⎫0，12(2)函数f (x )＝12－x＋ln (x ＋1)的定义域为____________________________． (3)函数f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为___________________________.【自主解答】 (1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x ＞－1，解得0＜x ＜2，即函数f (x )的定义域为(0,2)，故选B . (2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>02－x ≥02－x ≠0即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>02x －1>02x －1≠1，解得⎩⎨⎧x <2x >12x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，且x ≠1. 【答案】 (1)B (2)(－1,2) (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，且x ≠1 归纳总结：求与对数函数有关的函数的定义域问题应遵循的原则为：1要保证根式有意义；要保证分母不为0；要保证对数式有意义，即若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.例3. (1)已知a ＞0且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )(2)作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．【自主解答】 (1)∵函数y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，∴它们的图象关于直线y ＝x 对称．再由函数y ＝a x 的图象过(0,1)，y ＝log a x 的图象过(1,0)，排除选项A ，B ，从C ，D 选项看，y ＝log a x 递减，即0＜a ＜1，故C 正确．【答案】 C(2)第一步：作y ＝log 2x 的图象，如图(1)所示．(1) (2)第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图(2)所示．第三步：将y ＝log 2(x ＋1)的图象在x 轴下方的部分作关于x 轴的对称变换，得y ＝|log 2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．(3) (4)归纳总结：函数图象的变换规律 (1)一般地，函数y ＝f (x ±a )＋b (a ，b 为实数)的图象是由函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左或向右平移|a |个单位长度，再沿y 轴向上或向下平移|b |个单位长度得到的．(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y ＝f (|x －a |)的图象是关于直线x ＝a 对称的轴对称图形；函数y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象在f (x )≥0的部分相同，在f (x )<0的部分关于x 轴对称．四、学以致用1．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.【解析】由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0a ＋1>0a ＋1≠1，解得a ＝4. 【答案】 42．函数f (x )＝3－x ＋lg (x ＋1)的定义域为( )A ．[－1,3)B ．(－1,3)C ．(－1,3]D ．[－1,3]【解析】根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0x ＋1>0，解得－1＜x ≤3，∴f (x )的定义域为(－1,3]．故选C. 【答案】 C 3．函数y ＝log 32x －的定义域为( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1 【解析】要使函数y ＝log 32x －有意义，有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0log 32x －，解得x ≥1，所以函数f (x )的定义域是[1，＋∞)．故选A. 【答案】 A 4．函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )【解析】∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0，∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A ，D ；当a ＞1时，y ＝log a (－x )是减函数，y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x 是减函数，故排除B ；当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数，y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x 是增函数，∴C 满足条件，故选C. 【答案】 C五、自主小测1．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g(x )＝ln (1＋x )的定义域为N ，则M∩N ＝( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅ 2．若f (x )是对数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝________.3．函数f (x )＝log a (2x ＋1)＋2(a ＞0且a ≠1)必过定点________．4．已知函数y ＝f (x )与g(x )＝log 3x (x ＞0)互为反函数，则f (－2)＝________.5．已知f (x )＝log 3x .(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a <2时，利用图象判断是否有满足f (a )>f (2)的a 值．参考答案1.【解析】由题意得M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}，则M ∩N ＝{x |－1<x <1}．【答案】 C2.【解析】设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f (2)＝log a 2＝2，即a ＝2，所以f (x )＝log 2x .【答案】 log 2x3.【解析】令2x ＋1＝1，得x ＝0，此时f (x )＝2，故函数f (x )＝log a (2x ＋1)＋2(a ＞0且a ≠1)必过定点(0,2)．【答案】 (0,2)4.【解析】 ∵函数y ＝f (x )与g (x )＝log 3x (x ＞0)互为反函数，∴f (x )＝3x ，则f (－2)＝3－2＝19. 【答案】 195.【解】 (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示：(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由如图所示的图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)．故当0<a <2时，不存在满足f (a )>f (2)的a 值．。

新教材高中数学第三章函数的概念与性质单调性与最大小值第2课时函数的最大小值学案新人教A版必修第一册

第2课时函数的最大(小)值课程标准(1)理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(2)能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值．(3)能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点函数的最大值与最小值助学批注批注❶函数的最值与值域的关系：(1)函数的值域一定存在,函数的最值不一定存在．(2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素．(3)若函数的值域是开区间,则函数无最值；若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)任何函数都有最大(小)值．( )(2)如果一个函数有最大值,那么最大值是唯一的．( )(3)函数f(x)取最大值时,对应的x可能有无限多个．( )(4)如果f(x)的最大值、最小值分别为M,m,则f(x)的值域为[m,M].( )2．函数f(x)＝1x在[1,＋∞)上( )A．有最大值无最小值B.有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D.无最大值也无最小值3．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为( )A．3,5B．－3,5C.1,5D．－5,34．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1 利用函数的图象求函数的最值例1 已知函数f(x)＝{x2−x，0≤x≤22x−1，x＞2，求函数f(x)的最大值、最小值．方法归纳图象法求最值的一般步骤巩固训练1 若x∈R,f(x)是y＝2－x2,y＝x这两个函数中的较小者,则f(x)的最大值为( )A．2B．1C．－1D．无最大值题型 2 利用函数的单调性求最值.例2 已知函数f(x)＝2x+1x+1(1)判断函数在区间(－1,＋∞)上的单调性,并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．方法归纳函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．在区间[2,6]上的最大值和最小值．巩固训练2 求函数y＝2x−1题型 3 求二次函数的最值例3 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3,若x∈[0,2],求函数f(x)的最值．(2)求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t,t＋1]上的最小值g(t)．(3)已知函数f(x)＝x2－ax＋1,求f(x)在[0,1]上的最大值．方法归纳求二次函数最值问题的解题策略一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系,往往分三种情况：(1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧．在讨论时可结合函数图象,便于分析、理解．巩固训练3 已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax－a在区间[0,1]上有最大值2,求实数a的值．第2课时函数的最大(小)值新知初探·课前预习[教材要点]要点≤ ≥ f (x 0)＝M 纵坐标纵坐标[基础自测]1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．解析：函数f (x )＝1x 是反比例函数,当x ∈(0,＋∞)时,函数图象下降,所以在[1,＋∞)上f (x )单调递减,f (1)为f (x )在[1,＋∞)上的最大值,函数在[1,＋∞)上没有最小值．答案：A3．解析：因为f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])是单调递减函数,所以当x ＝2时,函数的最小值为－3.当x ＝－2时,函数的最大值为5.答案：B4．解析：由图象知点(1,2)是最高点,点(－2,－1)是最低点, ∴y max ＝2,y min ＝－1. 答案：－1,2题型探究·课堂解透例1 解析：作出f (x )的图象如图：由图象可知,当x ＝2时,f (x )取最大值2；当x ＝12时,f (x )取最小值－14.所以f (x )的最大值为2,最小值为－14.巩固训练1 解析：在同一坐标系中,作出函数的图象(如图中的实线部分), 则f (x )max ＝f (1)＝1. 答案：B例2 解析：(1)f (x )在(－1,＋∞)上单调递增,证明如下：任取－1<x 1<x 2, 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1+1x 1+1−2x 2+1x 2+1＝x 1−x 2(x 1+1)(x 2+1),因为－1＜x 1＜x 2⇒x 1＋1＞0,x 2＋1＞0,x 1－x 2＜0, 所以f (x 1)－f (x 2)＜0⇒f (x 1)＜f (x 2), 所以f (x )在(－1,＋∞)上单调递增． (2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增, 所以f (x )的最小值为f (2)＝2×2+12+1＝53,最大值f (4)＝2×4+14+1＝95.巩固训练2 解析：设x 1,x 2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝2x1−1−2x 2−1＝2(x 2−x 1)(x1−1)(x 2−1)由于2<x 1<x 2<6, 得x 2－x 1>0,(x 1－1)(x 2－1)>0,于是f (x 1)－f (x 2)>0,f (x 1)>f (x 2) 所以,函数y ＝2x−1在区间[2,6]上单调递减．x ＝2时取最大值,最大值是2,在x ＝6时取最小值,最小值为25.例3 解析：(1)∵函数f (x )＝x 2－2x －3开口向上,对称轴x ＝1,∴f (x )在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,且f (0)＝f (2)．图1∴f (x )max ＝f (0)＝f (2)＝－3,f (x )min ＝f (1)＝－4. (2)当t ＋1<1,即t <0时,函数图象如图1所示,函数f (x )在区间[t ,t ＋1]上为减函数,所以最小值为g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t >1时,函数图象如图2所示,图2图3函数f (x )在区间[t ,t ＋1]上为增函数,所以最小值为g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.当t ≤1≤t ＋1,即0≤t ≤1时, 函数图象如图3所示,最小值为g (t )＝f (1)＝1,综上所述,g (t )＝{t 2+1，t <01，0≤t ≤1t 2−2t +2，t >1.(3)因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上,其对称轴为x ＝a2,当a 2≤12,即a ≤1时,f (x )的最大值为f (1)＝2－a ；当a 2>12,即a >1时,f (x )的最大值为f (0)＝1. 综上f (x )max ＝{2−a ，a ≤11，a >1.巩固训练3 解析：f(x)＝－(x－a)2＋a2－a,对称轴为x＝a.(1)当a<0时,f(x)在[0,1]上单调递减,∴f(0)＝2,即a＝－2.(2)当a>1时,f(x)在[0,1]上单调递增,∴f(1)＝2,即a＝3.(3)当0≤a≤1时,f(x)在[0,a]上单调递增,在[a,1]上单调递减, ∴f(a)＝2,即a2－a＝2,解得a＝2或a＝－1,与0≤a≤1矛盾．综上a＝－2或a＝3.。

人教版高中数学A版高中数学必修一《函数的概念及其表示》函数的概念与性质(第二课时函数的表示法)

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描点法作函数图象的三个关注点 1画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图. 2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象. 3要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等. 要分清这些关键点是实心点还是空心圈. 提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.
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图象的画法及应用【例 2】作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x， x∈[－2,2)．
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[解] (1)列表
x
0
1
－2
3
y
0
－1
2
－3
函数图象只是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，
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函数解析式的求法 [探究问题] 已知 f(x)的解析式，我们可以用代入法求 f(g(x))，反之，若已知 f(g(x))，如何求 f(x)．提示：若已知 f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求 f(x)．
21
【例 3】 (1)已知 f( x＋1)＝x－2 x，则 f(x)＝________； (2)已知函数 f(x)是一次函数，若 f(f(x))＝4x＋8，则 f(x)＝________； (3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则 f(x)＝ ________. [思路点拨] (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3) 用方程组法求解．
所以 f(x)＝2x＋83或 f(x)＝－2x－8.
24
(3)由题意，在 f(x)－2f(－x)＝1＋2x 中，以－x 代 x 可得 f(－x)－2f(x) ＝1－2x，联立可得ffx－－x2－f2－fxx＝＝11＋－22xx，，消去 f(－x)可得 f(x)＝23x－1.]

新课标人教A版高中数学必修1第一章第2节《函数的概念》学案

函数的概念※ 知识梳理 1.函数的概念：设A ，B 是非空的_____，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的________数x ，在集合B 中都有________的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .其中x 叫做______，x 的取值范围A 叫做函数y ＝f (x )的______；与x 的值相对应的y 值叫做_____，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数y ＝f (x )的______，则值域是集合B 的____． 2．常见函数的定义域和值域函数关系式图象定义域值域反比例函数y ＝kx(k ≠0)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)3．相等函数：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由______和________决定的．如果两个函数的定义域相同，并且________完全一致，我们就称这两个函数相等．(1)只要两个函数的定义域相同，对应法则相同，其值域就________．故判断两个函数是否相等时，一看定义域，二看对应法则．如y ＝1与y ＝xx 不是相等函数，因为____________．y ＝3t ＋4与y ＝3x ＋4是相等函数．(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．4．区间与无穷大：（1）区间的几何表示定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间 [a ，b ){x |a <x ≤b } 半开半闭区间(a ，b ]这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．（2）实数集R 的区间表示：实数集R 可以用区间表示为____________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．（3）无穷大的几何表示定义符号数轴表示{x |x ≥a } [a ，＋∞) {x |x >a } (a ，＋∞) {x |x ≤b } (－∞，b ]{x |x <b }(－∞，b )※ 典例分析【题型一】函数的基本概念【例1】1. 如图所示，能够作为函数y ＝f (x )的图象的有________．[答案] ①⑤ 解：根据函数的定义，一个函数图象与垂直于x 轴的直线最多有一个交点，这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法.2. 下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( )A ．A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1 B ． A={(x ，y)|x ，y ∈R }，对任意的(x ，y)∈A ，(x,y)→x+y.C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：答案：D3. 下列各对函数中，是相等函数的序号是________.① f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋x 0 ② f (x )＝22x 1)+（与g (x )＝|2x ＋1| ③ f (n )＝2n ＋1(n ∈Z )与g (n )＝2n －1(n ∈Z ) ④ f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2 ⑤ y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1[答案] ②④4. 已知一个函数的解析式为2)(x x f =2，它的值域为{1，4}，这样的函数有个.[答案]9[解析]列举法:定义域可能是{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,-2,2},{-1,-2,2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,1,-2,2}.【课堂练习1】1. 下列对应是否为A 到B 的函数：①A ＝R ，B ＝{x|x>0}，f ：x→y ＝|x|； ②A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x→y ＝x 2； ③A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x→y ＝x ； ④A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x→y ＝0.答：(1)①③不是 ②④是2. 以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝xx ；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.f 2：x x ≤1 1<x <2 x ≥2 y123(3)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．【解】(1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R .(2)同一函数，x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式． (3)同一函数．理由同(2)．【题型二】求函数定义域【例2】1. 求下列函数的定义域：①y ＝4－x ； ②y ＝1|x |－x ； ③y ＝5－x ＋x －1－1x 2－9.[解析] (1)①4－x ≥0，即x ≤4，故函数的定义域为{x |x ≤4}．②分母|x |－x ≠0，即|x |≠x ，所以x ＜0.故函数的定义域为{x |x ＜0}．③解不等式组⎩⎨⎧ 5－x ≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎨⎧x ≤5，x ≥1，x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5且x ≠3}．【课堂练习2】1. 将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的解析式，并写出此函数的定义域．解：设矩形一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )，所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax ，定义域为(0，a2)．2. （2016年高考江苏卷）函数y =232x x --的定义域是 .【答案】[]3,1-3. 若函数86-)(2++=m mx mx x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 .4. 已知函数32341++-=ax ax ax y 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 .【题型三】复合函数的定义域【例3】1. 已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A. (－1,1)B. )21,1(--C. (－1,0)D. )1,21(解析：由题意知－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12.答案：B2. 已知f (x 2－1)的定义域为[0，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为__________．解析：∵0≤x ≤3，∴0≤x 2≤9，∴－1≤x 2－1≤8，∴函数y ＝f (x )的定义域是[－1，8]．【课堂练习3】1. 已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0，1)，则f (x )的定义域是______________．[解析]因为f (2x ＋1)的定义域为(0，1)，即其中的函数自变量x 的取值范围是0<x <1，令t ＝2x ＋1，所以1<t <3，所以f (t )的定义域为{t |1<t <3}，所以函数f (x )的定义域为{x |1<x <3}．2. 已知函数f (x )的定义域是[0,1]，求g(x)=f (2x )＋f (x ＋23)的定义域；解：解不等式组0212013x x ≤≤⎧⎪⎨≤+≤⎪⎩，∴g(x) 的定义域是[0,13]. 【题型四】求函数的解析式【例4】1. 已知f (x )＝21xx+，求f (2x ＋1)；解析：f (2x ＋1)＝244122+++x x x .2. f (x ＋1)＝x ＋2x . 求f (x )的解析式；解：方法一：设u ＝x ＋1，则x ＝u －1(u ≥1)，∴f (u )＝(u －1)2＋2(u －1)＝u 2－1(u ≥1)，即f (x )＝x 2－1(x ≥1)．方法二：∵x ＋2x ＝(x ＋1)2－1，由于x ≥0，所以x ＋1≥1.∴ f (x )＝x 2－1(x ≥1)3. y ＝f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋8，求f (x )的解析式；解：由条件可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f [f (x )]＝9x ＋8，∴有a (ax ＋b )＋b ＝9x ＋8.比较系数可得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝2；或⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－4.故f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4，4. f (x )＝2f (1x)·x －1，求f (x )的解析式；解：在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x －1，将f (1x )＝2()f x x－1代入f (x )＝2f (1x)x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.(x>0) 5. f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式.解：令x=0,y=-x,则f(x)=f(0)+x(0+x+1)=1+2xx +课堂小结：函数解析式的求法：(1)凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f (x )与f (1x )或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．（5）赋值法：赋x,y 特殊值，适用于解抽象函数。

人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课教学课件复习(函数的单调性)

函数，则实数 a 的取值范围是________．
(2)已知函数 y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且 f(2x－3)>f(5x－6)，课件课件课件课件课件课件课件课件课件课件课件课件课件课件
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则实数 x 的取值范围为________．
D．y＝1－x
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3．函数 f(x)＝x2－2x＋3 的单调
(－∞，1] [因为 f(x)＝x2－2x＋3
减区间是________．
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是图象开口向上的二次函数，其对称轴为 x＝1，所以函数 f(x)的单调减区
所以 a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
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2．(变条件)若本例(2)的函数 f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求 x
的范围．
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[解] 由题意可知，
2x－3>0，
5x－6>0， 2x－3<5x－6，
若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)>f(b)时，a<b.
2．决定二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 单调性的因素有哪些？提示：开口方向和对称轴的位置，即字母 a 的符号及－2ba的大小．

《函数的概念》教学设计

《函数的概念》教学设计第一篇：《函数的概念》教学设计《函数的概念》教学设计教材分析：函数作为初等数学的核心内容，贯穿于整个初等数学体系之中函数这一章在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中函数概念的承接与深化。

在初中，只停留在具体的几个简单类型的函数上，把函数看成变量之间的依赖关系，而高中阶段对函数的概念加入“对应”，这一章内容渗透了函数的思想、特殊到一般，数形结合思想，从感性到理性,数学建模的思想等内容，这些内容的学习，无疑对学生今后的学习起着深刻的影响教学目标：知识与技能：（1）理解函数的概念，;（2）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

2过程与方法：通过学生自身对实际问题分析、抽象与概括，培养了抽象、概括、归纳知识以及建模等方面的能力；3情感与价值观：以熟知的生活实例引入，激发了学习数学的兴趣，增强其数学应用意识、创新意识。

相互合作学习，增强其合作意识体会合作学习的重要性。

教法：启发探究为主，讨论法为辅学法：观察分析、自主探究、合作交流教学重点：理解函数的实际背景，用集合与对应的语言来刻画函数教学难点：理解函数的实际背景，用集合与对应的语言来刻画函数教学过程：一、复习引入：．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和，对于x的每一个值，都有唯一确定的值与之对应，此时是x的函数，x是自变量，是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法二、概念情景引入：思考1：（本P1）给出三个实例：A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为84米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是。

B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。

（见本P1图）．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。

人教新课标版数学高一必修1学案函数的表示法(二)

1.2.2 函数的表示法(二)自主学习1．了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题． 2．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 2．映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。

3．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是非空数集．对点讲练分段函数的求值问题【例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≤－1)，x 2 (－1<x <2)，2x (x ≥2).(1)求f [f (3)]的值； (2)若f (a .)＝3，求a . 的值．分析本题给出的是一个分段函数，函数值的取得直接依赖于自变量x 属于哪一个区间，所以要对x 的可能范围逐段进行讨论．解 (1)∵－1<3<2，∴f (3)＝(3)2＝3. 而3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)当a .≤－1时，f (a .)＝a .＋2，又f (a .)＝3，∴a .＝1(舍去)；当－1<a .<2时，f (a .)＝a .2，又f (a .)＝3，∴a .＝±3，其中负值舍去，∴a .＝3；当a .≥2时，f (a .)＝2a .，又f (a .)＝3， ∴a .＝32(舍去)．综上所述，a .＝ 3.规律方法对于f (a .)，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a . 所在范围有关，因此要对a .进行讨论．由此我们可以看到： (1)分段函数的函数值要分段去求；(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．变式迁移1 设f (x )＝⎩⎨⎧12x －1 (x ≥0)，1x (x <0)，若f (a .)>a .，则实数a .的取值范围是________．答案 a .<－1解析当a .≥0时，f (a .)＝12a .－1，解12a .－1>a .，得a .<－2与a .≥0矛盾，当a .<0时，f (a .)＝1a ，解1a>a .，得a .<－1.∴a .<－1.分段函数的图象及应用【例2】已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．化简f (x )的解析式 →化简f (x )的解析式 →把f (x )表示为分段函数形式→画出f (x )的图象→求f (x )的值域解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎨⎧1 (0≤x ≤2)1－x (－2<x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．规律方法对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移 2 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1| (x <1)－x ＋3 (x ≥1)，使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是______________________．答案 (－∞，－2]∪[0,2] 解析在同一坐标系中分别作出f (x )及y ＝1的图象(如图所示)，观察图象知，x 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2]．映射概念及运用【例3】判断下列对应关系哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些不是，为什么？（1）A={x|x 为正实数}，B={y|y ∈R[}，f ：x →y=±x（2）A=R ，B={0，1},对应关系f ：x,→y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；0， x<0；（3）A=Z ，B=Q ，对应关系f ：x →y=1x；（4）A={0，1，2，9}，B={0，1，4，9，64}，对应关系f:a →b=()21a -解 (1)任一个x 都有两个y 与之对应，∴不是映射．(2)对于A 中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，任意一个负数都有唯一的元素0和它对应， ∴是映射．(3)集合A 中的0在集合B 中没有元素和它对应，故不是映射． (4)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射．规律方法判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是否是“对于A 中的每一个元素”；(2)在B 中是否“有唯一的元素与之对应”．一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可．变式迁移3 下列对应是否是从A 到B 的映射，能否构成函数？ (1)A=R ，B=R,f:x →y ＝1x ＋1；(2)A ＝{a.|a.＝n ，n ∈N ＋}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b|b ＝1n ，n ∈N ＋，f ：a.→b ＝1a；(3)A=[)0,+∞,B=R ，f:x→y 2＝x ；(4)A ＝{x|x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x|x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆．解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数．(2)是映射，也是函数，因A 中所有的元素的倒数都是B 中的元素．(3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是数集．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．判断一个对应是不是映射，主要利用映射的定义：(1)集合A 到B 的映射，A 、B 必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)； (2)对应关系有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；(3)与A 中元素对应的元素构成的集合是集合B 的子集．课时作业一、选择题1．下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝N *，f ：a .→b ＝(a .＋1)2D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值答案 A2．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ) A ． f:x→y ＝12x B. f:x→y ＝13xC. f:x→y ＝14xD. f:x→y ＝16x答案 A由f:x →y ＝12x ，集合A 中的元素6对应3∉{y |0≤y ≤2}，故选项A 不是映射．3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)(x ∈N )，那么f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 A解析由题意知f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x ≥0)x (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x 2 (x <0)，则当x <0时，f [g (x )]等于( )A ．－xB ．－x 2C ．xD ．x 2 答案 B解析当x <0时，g (x )＝－x 2<0， ∴f [g (x )]＝－x 2. 二、填空题5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x <0)π (x ＝0)x ＋1 (x >0)，则f (f (f (－1)))的值是__________．答案 π＋1解析 f (－1)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋1 ∴f (f (f (－1)))＝f (f (0))＝f (π)＝π＋1.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥00，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__________．答案 {x |x ≤1}解析当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤2，∴x <0. 综上可知x ≤1. 三、解答题7．若[x ]表示不超过x 的最大整数，画出y ＝[x ] (－3≤x <3)的图象．解作出y ＝[x ]的图象如下图所示．8．已知函数y ＝f (x )的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)．∵点(1,1)、(0,2)在射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2 (x <1)．同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2 (x >3)．又抛物线对应的二次函数的解析式为 y ＝a .(x －2)2＋2 (1≤x ≤3，a .<0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a .＋2＝1，a .＝－1， ∴当1≤x ≤3时，函数的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)．综上所述，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x <1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3).【探究驿站】9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ∈[0，1]，x －3， x ∉[0，1]，求使等式f [f (x )]＝1成立的实数x 构成的集合．解当x ∈[0,1]时，恒有f [f (x )]＝f (1)＝1，当x ∉[0,1]时，f [f (x )]＝f (x －3)，若0≤x －3≤1，即3≤x ≤4时，f (x －3)＝1，若x －3∉[0,1]，f (x －3)＝(x －3)－3，令其值为1，即(x －3)－3＝1，∴x ＝7. 综合知：x 的值构成的集合为 {x |0≤x ≤1或3≤x ≤4或x ＝7}．。

311函数的概念学案-河北省献县第一中学人教A版【2019新教材】高一数学必修第一册

高中数学第一册［新教材］人教A版（2019）必修一第三章函数的概念和性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念【学习目标】1.在初中的基础之上，进一步体会函数描述的是变量之间的依赖关系，会用集合与对应的语言来刻画函数,2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域3.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义【核心素养】1，通过学习函数的概念，培养数学抽象素养2，借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养【知识导学】知识点一函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．【名师点拨】(1)对应中的两个集合A，B是非空的实数集，（2）函数概念中明确要求对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．注意其中的(任意性)、(存在性)、(唯一性)（3）集合A是函数的定义域，因为给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以在A中没有与之对应的x，也就是说，B中的某些元素可以不是函数值，即{f(x)|x∈A}⊆B.（4）在函数定义中，我们用符号y＝f(x)表示函数，其中f(x)表示“x对应的函数值”，而不是“f乘x”，也就是说：对应关系f是函数的本质特征，好比计算机的某种程序（或解决某问题的方法），当我们在f( )中括号里面放入某个x，就会按照这个程序得到一个结果即y值（5）函数的三要素，从函数的定义可以看出，函数有三个要素：定义域、对应关系、值域，判定函数和函数相等的依据知识点二区间的概念(1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a＜x＜b}开区间{x|a≤x＜b}半开半闭区间{x|a＜x≤b}半开半闭区间(2)特殊区间的表示定R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}义符(－∞，＋∞) [a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)号注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号．【初试身手】1．（2020·浙江高一开学考试）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【答案】C。

数学新学案同步必修一人教B版全国通用版讲义：第2章函数2.1.4 Word版含答案

2.1.4函数的奇偶性学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．知识点一函数奇偶性的定义奇、偶函数的概念知识点二奇(偶)函数的定义域特征在奇函数和偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于原点对称，因而判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．知识点三函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案①②关于y轴对称，③④关于原点对称．梳理奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． (2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．1．关于y 轴对称的图形都是偶函数的图象．( × )2．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．( √ ) 3．有些函数既非奇函数，又非偶函数．( √ )4．奇函数f (x )＝1x ，当x >0时的解析式与x <0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同．( × )类型一判断函数的奇偶性命题角度1 已知函数解析式，证明奇偶性例1 (1)证明f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数；(2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数；(3)证明f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数．证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，因为函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因为f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数．(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为偶函数．又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．反思与感悟利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定属于定义域．其次，依据定义域，对函数f (x )的解析式能化简的先化简，再判断f (－x )与f (x )解析式的关系，从而确定出函数f (x )的奇偶性．跟踪训练1 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x2－x既不是奇函数也不是偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数．证明 (1)由2＋x 2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，因为f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数．命题角度2 证明分段函数的奇偶性例2 判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋5)2－4，x ∈(－6，－1]，(x －5)2－4，x ∈[1，6)的奇偶性．解由题意可知f (x )的定义域为(－6，－1]∪[1,6)，关于原点对称，当x ∈(－6，－1]时，－x ∈[1,6)，所以f (－x )＝(－x －5)2－4＝(x ＋5)2－4＝f (x )；当x ∈[1,6)时，－x ∈(－6，－1]，所以f (－x )＝(－x ＋5)2－4＝(x －5)2－4＝f (x )．综上可知对于任意的x ∈(－6，－1]∪[1,6)，都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋5)2－4，x ∈(－6，－1]，(x －5)2－4，x ∈[1，6)是偶函数．反思与感悟分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：(1)定义域是否关于原点对称；(2)对于定义域内的任意x ，是否都有f (－x )＝f (x )(或－f (x ))，只不过对于不同的x ，f (x )有不同的表达式，要逐段验证是否都有f (－x )＝f (x )(或－f (x ))．跟踪训练2 证明f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x <0，x 2，x >0是奇函数．证明定义域为{x |x ≠0}．若x <0，则－x >0，∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2，∴f(－x)＝－f(x)；若x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2，∴f(－x)＝－f(x)；即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．命题角度3证明抽象函数的奇偶性例3f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性．解∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数．f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数．f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数．反思与感悟利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入－x看结果．跟踪训练3设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数答案 C解析A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．类型二奇偶性的应用命题角度1奇(偶)函数图象的对称性的应用例4定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．引申探究把例4中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思与感悟鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．跟踪训练4已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．解(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．命题角度2利用函数的奇偶性求解析式例5函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．解设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴f(x)＝－x－1.∴当x<0时，f(x)＝－x－1.反思与感悟求某个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练5已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2.求y＝f(x)的解析式．解设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.因为y ＝f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，2x －x 2，x >0.1．下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x答案 D解析 D 中，∵f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．2．函数f (x )＝x (－1<x ≤1)的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案 C3．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－5 D ．5答案 D解析 ∵函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，∴x ＝±2时函数值相等． ∴f (－2)－2＝f (2)＋2， ∴f (－2)＝5，故选D.4．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B5．已知函数f(x)为偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x＋1，则x＞0时，f(x)＝________.答案－x＋1解析设x＞0，则－x＜0，∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x＋1.1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．3．证明一个函数是奇(偶)函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(x))．而证明一个函数不是奇(偶)函数，只要能举出一个反例就可以了.一、选择题1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于()A．－1 B．1 C．0 D．2答案 A解析因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，故选A.2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于()A．－3 B．－1 C．1 D．3答案 A解析∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.3．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数答案 A解析由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )，由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )，故|g (x )|为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．4．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12 D ．－12答案 B解析依题意得b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13.5．函数f (x )＝|x ＋1|－|x －1|为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数答案 A解析 f (x )的定义域为R ，对于任意x ∈R ，f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．又f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (－1)≠f (1)， ∴f (x )不是偶函数．6．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (3)＝0，则不等式f (x )－f (－x )2>0的解集为( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)答案 A解析 ∵f (x )为奇函数，f (3)＝0， ∴f (－3)＝0.又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0)上也为增函数，又∵f (x )－f (－x )2＝f (x )>0，①当x >0时，则f (x )>f (3)＝0，∴x >3； ②当x <0时，则f (x )>f (－3)＝0，∴－3<x <0，综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．二、填空题7．已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________．答案 0解析由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.8．若函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为________．答案 a >1 解析 ∵函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且非奇函数，∴f (－x )＝f (x )且f (－x )≠－f (x )．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，a －x 2≥0，∴a ≥1.当a ＝1时，函数f (x )＝x 2－1＋1－x 2为偶函数且为奇函数，不符合题意．故a >1.9．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.答案 43解析根据题意，得f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43. 10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x <0，x (1＋x )，x >0为________．(填“奇函数”或“偶函数”) 答案奇函数解析定义域关于原点对称，且f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x (1＋x )，－x <0，－x (1－x )，－x >0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，x >0，－x (1－x )，x <0 ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．三、解答题11．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1. 解 (1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域是R .∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．12．设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求实数a 的取值范围．解由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，可知f (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵2a 2＋a ＋1＝2⎝⎛⎭⎫a ＋142＋78>0， 2a 2－2a ＋3＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋52>0，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3，即3a －2>0，解得a >23. ∴实数a 的取值范围是a ＞23.四、探究与拓展13．设奇函数f (x )的定义域为[－6,6]，当x ∈[0,6]时，f (x )的图象如图所示，不等式f (x )<0的解集用区间表示为________．答案 [－6，－3)∪(0,3)解析由f (x )在[0,6]上的图象知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0,3)．又f (x )为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．14．已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．解 ∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f (0)＝0，即b 1＋02＝0，∴b ＝0. 又∵f ⎝⎛⎭⎫12＝12a 1＋14＝25， ∴a ＝1，∴f (x )＝x 1＋x 2.。