第二章 离散型随机变量
[理学]青岛大学概率论课件概率第二章
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i 1
i 1
随机变量的数学期望。
(i 1,2,)
(1)
29
例3 设 为离散型随机变量，其分布列为
P{
(1)k
2k } k
1 2k
k 1,2,
试问: 的数学期望是否存在？
30
二、常用分布的数学期望
1） 单点分布
E c
2）两点分布
E p
3）二项分布 ~ B(n, p) E np
4）普阿松分布 ~ P( ) 5）几何分布 ~ G( p)
2）几何分布的无记忆性
定理：设 服从几何分布 G( p) ，m为任意整数，则
P( m k m) P( k) pqk1
6. 超几何分布
P(
k)
C
k M
C
nk N -M
CnN
注：背景
, k 0,1,,min( n, M )
9
§2.2 多维随机变量及其分布
一、二维随机变量及其分布
1. 定义
0, 1, 2，3 1
定义1：设（, F, P）是概率空间, =()是 定义在上的实值函数， 如果x R, 有
{ () x} F
则称为随机变量。
定义2（离散型随机变量）
随机变量
离散型 非离散型奇连异续型型
2
二、离散型随机变量的分布列
1. 定义
定义3: 设离散型随机变量的可能取值为 xi (i 1,2,)
例5 已知随机变量和的分布列为：
~
1 1
0 1
11
4 2 4
~
0 1
1 1
2 2
且P{ =0}=1 (1)求和的联合分布列 (2)问和是否独立？为什么？
19
2.2离散型随机变量及其概率分布
8
5
k
24
小结
离 散 型 随 机 变 量 的 分 布
二项分布 泊松分布
两点分布
两点分布
n1
二项分布
n 10, p 0.1, np
泊松分布
25
二项分布与 (0 1) 分布、泊松分布之间的 关系 .
二项分布是 (0 1) 分 布 的 推 广 , 对 于n 次 独 立重复伯努利试验 ,每 次 试 验 成 功 的 概 率 为 p, 设 , 1, 若 第 i 次 试 验 成 功 Xi ( i 1,2, , n) . 0, 若 第 i 次 试 验 失 败 它们都服从 (0 1) 分 布 并 且 相 互 独 立 , 那末 X X1 X 2 X n 服 从 二 项 分 布 , 参 数 为( n, p).
定义2 如果随机变量 X 只有两个可能取 值，其概率分布为
P{ X x1 } P , P{ X x2 } q 1 p(0 p 1, p q 1)
则称X服从 x1 , x2 处参数为p的两点分布. 特别，若X服从
x1 1, x 0 处参数为p的两点分布，即
p
k 1
5
k
1
1 a . 15
5
关于分布律的说明：
若已知一个离散型随机变量X的概率分布 X P x1 p1 x2 p2 ... ... xn ... pn ...
则可以求X所生成的任何事件的概率，特别地：
P{a X b} P{ { X xi }} pi
a xi b a xi b
26
以 n, p ( np ) 为参数的二项分布 ,当 n 时趋 于以 为参数的泊松分布 ,即
第二章第一节
X
0
1
5 p ⋅ q4 1
2
5 2 3 p ⋅q 2
3
5 3 2 p ⋅q 3
pk
q
5
5 4 p ⋅q 4
4
5
p
5
例2 按规定, 某种型号电子元件的使 用寿命超过
1500 小时的为一级品 . 已知某一大批产品的一 级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查 20只. 问20只元件 中恰有 k 只( k = 0,1,⋯ ,20) 一级品的概率是多少 ?
P { X = 4} = 0.218 P { X = 5} = 0.175 P { X = 6} = 0.109 P { X = 8} = 0.022 P { X = 9} = 0.007
P{ X = 10} = 0.002
P { X = 2} = 0.137
P { X = 3} = 0.205
P { X = 7} = 0.055
∞
p k ≥ 0,
k =0
k = 1, 2, ⋯ ;
(2) 规 范 性 ： pk = ∑
∑
k =0
n k p q k
n−k
= ( p + q )n = 1.
二项分布的图形
二项分布随机数演示 二项分布随机数演示
次射击,每 例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击 每 次射击时击中目标的概率为 p ,则击中目标的次 则击中目标的次 的二项分布. 数 X 服从 b(5,p) 的二项分布
实例2 实例
连续射击, 若随机变量 X 记为 “连续射击 直至命
中时的射击次数” 的可能值是: 中时的射击次数”, 则 X 的可能值是
1, 2, 3, ⋯. (2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地 连续型 充 满某个区间,叫做连续型随机变量 叫做连续型随机变量. 满某个区间 叫做连续型随机变量.则 X 实例1 灯泡的寿命” 实例 随机变量 X 为“灯泡的寿命” 则
第2章 1 离散型随机变量及其分布列
§1 离散型随机变量及其分布列学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.掌握离散型随机变量的表示方法和性质.3.会求简单的离散型随机变量的分布列．知识点一 离散型随机变量 思考1 以上两个现象有何特点？ ①掷一枚均匀的骰子，出现的点数； ②在一块地里种下8颗树苗，成活的棵数． 答案 各现象的结果都可以用数表示．思考2 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？答案 可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上． 梳理 (1)随机变量将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X ，Y 来表示． (2)离散型随机变量如果随机变量X 的所有可能的取值都能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．知识点二 离散型随机变量的分布列思考 掷一枚骰子，所得点数为X ，则X 可取哪些数字？X 取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X 与P 的对应关系吗？ 答案 x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.梳理(1)离散型随机变量的分布列的定义设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取a i的概率为p i(i＝1,2，…)，记作：P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…)，①或把上式列成表为上表或①式称为离散型随机变量X的分布列．(2)离散型随机变量的性质①p i>0；②p1＋p2＋ (1)1．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(√)2．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(×)3．在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(×)4．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(×)5．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.(√)类型一离散型随机变量的概念例1写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的结果解(1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1，2，…，10)表示取出第k号球．(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，则X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．引申探究若将本例(3)的条件改为抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，试求X的集合，并说明“X>4”表示的试验结果．解设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6.依题意得X＝x－y.则－5≤X≤5，即X的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．则X>4⇔X＝5，表示x＝6，y＝1，即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．反思与感悟解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉某些试验结果．跟踪训练1①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③体积为1 000 cm3的球的半径长；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是()A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④考点随机变量及离散型随机变量的概念题点离散型随机变量的概念答案 B解析由题意知③中的球的半径是固定的，可以求出来，所以不是随机变量，而①②④是离散型随机变量．类型二离散型随机变量分布列的性质例2 设随机变量X 的分布列为P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a 的值； (2)求P ⎝⎛⎭⎫X ≥35； (3)求P ⎝⎛⎭⎫110<X <710. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率解 (1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)∵P ⎝⎛⎭⎫X ＝k 5＝115k (k ＝1,2,3,4,5)， ∴P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)当110<X <710时，只有X ＝15，25，35时满足，故P ⎝⎛⎭⎫110<X <710 ＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝35 ＝115＋215＋315＝25. 反思与感悟 利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题 (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .跟踪训练2 (1)袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红，1，两球非全红，则X的分布列为________．(2)若离散型随机变量X 的分布列为：则常数c ＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率答案 (1)(2)13解析 (1)显然，P (X ＝0)＝C 26C 211＝311，所以P (X ＝1)＝1－311＝811，所以X 的分布列是(2)由随机变量分布列的性质可知：⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ＋3－8c ＝1，0<9c 2－c <1，0<3－8c <1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－9c ＋2＝0，1－3718<c <0或19<c <1＋3718，14<c <38，解得c ＝13.类型三 求离散型随机变量的分布列命题角度1 求离散型随机变量y ＝f (ξ)的分布列 例3 设离散型随机变量X 的分布列如下表所示：求：(1)2X ＋1(2)|X －1|的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关的随机变量分布列的求法 解 由条件中的分布列得：(1)2X ＋1的分布列为(2)|X －1|的分布列为反思与感悟 (1)若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数，则η＝aξ＋b 也是一个随机变量，推广到一般情况有：若ξ是随机变量，f (x )是连续函数或单调函数，则η＝f (ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若ξ为离散型随机变量，则η＝f (ξ)也为离散型随机变量．(2)已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f (ξ)的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可．跟踪训练3 已知随机变量X 的分布列为求随机变量Y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2X 的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关的随机变量分布列的求法 解 由Y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2X ，得Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(X ＝4k ＋3，k ∈N )，0(X ＝2k ，k ∈N ＋)，1(X ＝4k ＋1，k ∈N ).P (Y ＝－1)＝P (X ＝3)＋P (X ＝7)＋P (X ＝11)＋...＝123＋127＋1211＋ (215)P (Y ＝0)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＋P (X ＝6)＋…＝122＋124＋126＋…＝13，P (Y ＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝5)＋P (X ＝9)＋…＝12＋125＋129＋…＝815.所以随机变量Y 的分布列为命题角度2 利用排列组合求分布例4 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1)求袋中原有的白球的个数； (2)求随机变量ξ的分布列； (3)求甲取到白球的概率．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 解 (1)设袋中原有n 个白球，由题意知 17＝C 2nC 27＝n (n －1)27×62＝n (n －1)7×6， 可得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球． (2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P (ξ＝1)＝37；P (ξ＝2)＝4×37×6＝27；P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A ，则P (A )＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝2235.反思与感悟 求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义． (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率． (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．跟踪训练4 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：从中随机地选取5只．(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X 表示所得的分数，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用解 (1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P ＝C 12·C 13C 58＝656＝328.(2)X 的取值为100,80,60,40.P (X ＝100)＝C 12·C 13C 58＝328，P (X ＝80)＝C 23(C 22·C 13＋C 12·C 23)＋C 33(C 22＋C 23)C 58＝3156， P (X ＝60)＝C 13(C 22·C 23＋C 12·C 33)＋C 23·C 33C 58＝1856＝928， P (X ＝40)＝C 22·C 33C 58＝156.所以X 的分布列为1．给出下列随机变量：①某机场候机室中一天的旅客数量为X ； ②某人投篮10次投中的次数X ；③某水文站观测到一天中长江的水位为X ； ④某立交桥一天内经过的车辆数为X . 其中是离散型随机变量的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①③④考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 离散型随机变量的概念 答案 B解析 ③中，某水文站观测到一天中长江的水位X 的取值不可列出，所以③不是离散型随机变量．2．已知随机变量X 的分布列如下表所示，其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( )A.13B.14C.12D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 由分布列的性质得a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13.∴P (|X |＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝－1) ＝1－P (X ＝0)＝1－13＝23.3．已知随机变量X 的分布列如下表(其中a 为常数)：则下列计算结果错误的是( ) A ．a ＝0.1 B ．P (X ≥2)＝0.7 C ．P (X ≥3)＝0.4D ．P (X ≤1)＝0.3 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 C解析 易得a ＝0.1，P (X ≥3)＝0.3，故C 错误．4．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝1)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 23解析 设试验成功的概率为p ， 则p ＋p 2＝1，∴p ＝23，∴P (ξ＝1)＝23.5．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，则P(ξ＝1)＝1C16C16＝1 36；P(ξ＝2)＝3C16C16＝336＝112；P(ξ＝3)＝5C16C16＝5 36；P(ξ＝4)＝7C16C16＝7 36；P(ξ＝5)＝9C16C16＝936＝14；P(ξ＝6)＝11C16C16＝1136.所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为1．随机变量X是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量X的线性组合Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．2．离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．一、选择题1．下列变量中，不是离散型随机变量的是()A．某教学资源网1小时内被点击的次数B．连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数YC．某饮料公司出品的饮料，每瓶标量与实际量之差X1D．北京“鸟巢”在某一天的游客数量X考点随机变量及离散型随机变量的概念题点离散型随机变量的概念2．抛掷两枚骰子一次，X 为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X 的所有可能的取值为( ) A ．0≤X ≤5，x ∈N B ．－5≤X ≤0，x ∈Z C ．－1≤X ≤6，x ∈N D ．－5≤X ≤5，x ∈Z考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的取值 答案 D解析 两次掷出点数均可取1～6所有整数， 所以X ∈[－5,5]，x ∈Z .3．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A ．x ≤1 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2D ．1≤x <2考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 答案 C解析 由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1) ＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.4．若随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2，3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率解析 ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝a ⎝⎛⎭⎫1－15＝1， ∴a ＝54.∴P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3＝a ⎝⎛⎭⎫1－13＝54×23＝56. 5．设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y ＝X －2，则P (Y ＝2)等于( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6D ．0.7 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 所以P (Y ＝2)＝P (X ＝4)＝0.3.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求概率 答案 A解析 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)． 故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.7．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤－13，13 C ．[－3,3]D ．[0,1]考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 答案 B解析 设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质，得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13.由⎩⎨⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.二、填空题8．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 47解析 设二级品有k 个，则一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为72k 个．∴ξ的分布列为∴P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47. 9．已知离散型随机变量X 的分布列为则m 的值为________． 答案139解析 m ＝P (X ＝10)＝1－[P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋…＋P (X ＝9)]＝1－⎝⎛⎭⎫23＋232＋…＋239＝1－23×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1391－13＝⎝⎛⎭⎫139＝139. 10．把3枚骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X ，则有P (X <2)＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案2527解析 P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝5363＋C 13×5263＝2527. 11．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________．考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 答案解析 由题意知X ＝1,2,3. P (X ＝1)＝A 3443＝38；P (X ＝2)＝C 23A 2443＝916；P (X ＝3)＝A 1443＝116.∴X 的分布列为三、解答题12．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)设“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举事件A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 (1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0， 所以事件A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有 P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为13.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获利分别为6 万元、2 万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X .求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 依题意得，X 的所有可能取值为6,2,1，－2.X ＝6,2,1，－2分别对应1件产品为一等品、二等品、三等品、次品这四个事件， 所以P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1，P (X ＝－2)＝4200＝0.02.所以X 的分布列为四、探究与拓展14．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半，现从该盒中随机取出一个球．若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，则从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为________． 考点 题点 答案解析 设黄球的个数为n ，则绿球个数为2n ，红球个数为4n ，球的总数为7n .X ＝1,0，－1. 所以P (X ＝1)＝4n 7n ＝47，P (X ＝0)＝n 7n ＝17，P (X ＝－1)＝2n 7n ＝27.15．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取2条．当2条棱相交时，ξ＝0；当2条棱平行时，ξ的值为2条棱之间的距离；当2条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)； (2)求ξ的分布列．考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 (1)若2条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， ∴共有8C 23对相交棱，∴P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若2条棱平行，则它们之间的距离为1或2，其中距离为2的共有6对， ∴P (ξ＝2)＝6C 212＝666＝111， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611，∴随机变量ξ的分布列为。
概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布 第二节 离散型随机变量及其概率分布
以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台 数”以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“第i人维护的20台中 ,
发生故障时不能及时维修”, 则知80台中发生故障
而不能及时维修的概率为
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 )
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
3、独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习1 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用10ห้องสมุดไป่ตู้0小时已坏的灯泡数 . 把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} 视为事件A .每次试验, A )3+3(0.8)(0.2)2 =(0.2出现的概率为0.8
本例中，n=20，p=0.2, 所以，(n+1)p=4.2, 故k0=4。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习3 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立 的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其 一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同 维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法
离散型随机变量
证 设Ai表示"第i次试验中事件A发生", 则
P( Ai ) = p , P( Ai ) = 1 p , 假设事件 A 在前 k 次试验中发生, 后 n k 次试
验中 A 发生 , 有
P A1 A2 L Ak Ak+1 L An
k
n
= P( Ai ) P( Ai ) = pk (1 p)nk
例2.1从一批有10个合格品与3个次品的产品中, 一件 一件地抽取产品, 每次取出一件产品后总将一件合格 品放回该批产品中, 直到取出合格品为止, 求抽取次 数的分布律 . 解 设 X 表示“抽取次数”，它的可能取值是1,2,3,4 ,
而取每个值的概率为
P X = 1 = 10 ,
13
P X = 2 = 3 g11 = 33
• 或写成P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3;P{X=4}=(1-p)4. • 以p=1/2代入得
X0 1
2
3
4
P 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625
例: 设随机变量 X 具有分布律
P(X k) ak, k 1,2,3,4,5
（1）确定常数
a
,（2）计算
P(
解
(1)
P( X
3)
P( X
3)
P( X
4)
k 3
5k k!
e5
k 4
5k k!
e -5
0.875348 0.734974 0.140374
(2) P( X 10) 1 P( X 11) 1 5k e5 1 0.013695 0.986305
k 11 k!
(1) p ( xi ) ≥0, (i =1, 2 ,… );
概率统计 第二章 离散型随机变量.
以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取值 为0,1,2,3,…,n。设每次试验中A发生的概率为p， 发生的概率为1-p=q。 (X=k)表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即
A
AA A A A A A A A A A A AA A A A A
因此X的分布律为
P ( X k ) C 0 .6 0 .4
k 7 k
7k
, k 0 ,1, 2 ,..., 7
所求概率为 P ( X 4 ) P7( X 4 ) P ( X 5 ) P ( x 6 ) P ( X 7 )
C
k 4
k 7
( 0 .6 ) ( 0 .4 )
k
( p q) 1
n
k 0
正好是二项式(p+q)n展开式的一般项，故称二 项分布。特别地，当n=1时P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即为 0-1分布。
例2.6 某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见 的概率为0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见 相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见， 并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概 率。 解 设X=k表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人 数”， 则X可能取值为0，1，2，…，7。 （视作7重贝努里实验中恰有k次发生，k个顾问贡献出 正确意见）,X~B(7,0.6)。
1 X 0 当 e1 发生时 当 e 2 发生时
即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同 的问题参数p的值不同而已。
3、超几何分布（参见第一章）
4、二项分布
(1)贝努里(Bernoulli)试验模型。 设随机试验满足： 1°在相同条件下进行n次重复试验； 2°每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； 3°在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p； 4°各次试验是相互独立的， 则称这种试验为贝努里概型或n重贝努里试验。 在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发 生的次数。
概率第二章
0 1 1 1 η ~ 2 2
(1)求ξ和η的联合分布列 (1)求 (2)问 (2)问ξ和η是否独立？为什么？ 是否独立？为什么？
19
§2.3
随机变量函数的分布列
一、随机变量的函数 问题：已知随机变量ξ的分布， f(ξ 问题：已知随机变量ξ的分布，令η=f(ξ), 的分布。 求η的分布。 定理1 设ξ是(Ω，F，P)的一个随机变量，f(x)是一个 P)的一个随机变量 f(x)是一个 的一个随机变量， 定理1 可测函数， f(ξ 也是( P)上的的一个随机量 上的的一个随机量. 可测函数，则η=f(ξ)也是(Ω，F，P)上的的一个随机量.
引例3 引例 掷一枚硬币 ， Ω = {ω1,ω2} 引例4 掷一枚硬币 ， 10件产品，5件次品任取 件，其 引例 件产品， 件次品任取3件 件产品 件次品任取 中的次品数ξ=0。 中的次品数ξ=0。1，2，3
1
定义1 ,P）是概率空间, 是定义在Ω 定义1：设（ Ω, F,P）是概率空间, ξ=ξ(ω)是定义在Ω 上的实值函数， 上的实值函数，如果 ∀x∈ R 有：{ω ξ (ω) < x}∈ F ∈ 则称ξ 随机变量。 则称ξ为随机变量。 定义2 离散型随机变量） 定义2：（离散型随机变量）
x1
x2
p2
x2 L p2 L
L
L
P p1
x1 p 1
或：
3
假设有10种同种电器元件，其中有2只废品， 10种同种电器元件 例5 假设有10种同种电器元件，其中有2只废品，装配仪 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 直到取出正品， 表示取出正品之前已取出的废品个 取出正品之前已取出的废品个， 直到取出正品，令ξ表示取出正品之前已取出的废品个， 数求ξ的分布列。 数求ξ的分布列。 例6 n=5的Bernoulli试验中 试验中， P(A)=p， 表示5 在n=5的Bernoulli试验中，设P(A)=p，令ξ表示5次
2-2离散型随机变量及其分布律
即P
X
0
1
2 0.30
3 0.20
4 0.09
5 0.03
6
7
8 0.00
9 0.00
10 0.00
0.11 0.27
0.01 0.00
P ( X 1) P ( X 0) P ( X 1)
1 0.2 0.89 =0.38. 0.810 +C10
第二章 一维随机变量及其分布
第二节 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量的分布律
对于离散型随机变量，我们所关心的问题： （1）随机变量所有可能的取值有哪些？ （2）取每个可能值的概率是多少？ 定义 设x1，x2，…为离散型随机变量X的可能取值， p1，p2，…为 X 取 x1，x2，… 的概率，即 P(X=xi ) = pi (i=1,2,…) (1)
(0 p 1) ，则在n重伯努利试验中事件A出现k次 的概率为
C pq
k n
k
n k
其中p q 1
k 0,1,, n.
k k n k pq 若随机变量 X 的分布律为 PX k Cn
其中 k 0,1,, n; 0 p 1; q 1 p. 即 X p
k e xk e x，易知 1. 利用级数 k 0 k ! k 0 k!
历史上，泊松分布是作为二项分布的 近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性 , 成为概率论中最重要的几个分布之一 . 在 实际中，许多随机现象服从或近似服从泊 松分布. 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在 观察与分析放射性物质放出的 粒子个数 的情况时,他们做了2608 次观察(每次时 间为7.5 秒)发现放射性物质在 规定的一段时间内, 其放射的粒 子数X 服从泊松分布.
第二节离散型随机变量及其分布
这时X的分布函数为：
F
(
x)
1
0， x p，0
0， x
1，
1， x 1.
例3 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取
一件,那末,若规定
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
P( A1 )P( A2 )P( Ak1 )P( Ak )
55%k145%，k 1,2,
P{ X取偶数} P{ X 2k} 55%2k145%
k 1
k 1
11 31
)
21 36
1. 2
注：一般，设离散型随机变量X的分布律为：
P( X xi ) pi，i 1，2，
则X的分布函数为： F ( x) P( X x) P( X xi )，
即
F ( x) pi .
xi x
xi x
例2. 将3封信随机地投入3个信箱(每个信箱至少可容纳3 封信)，
设X表示装了信的信箱个数，求(1) X的分布律，(2) X的分布函数.
若用泊松定理作近似计算, 这时 np 6.
于是C610000.09.9090610000.96090!9e5996916e!e6
6
0.00248, 6e6 0.01487,
p 0.98269.
故 P( X 2) 1 0.00248 0.01487 0.98265.
人教版高中数学选修2-3第二章2.3.2离散型随机变量的方差
导入新课复习回顾1 .离散型随机变量 X 的均值 均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.2 . 两种特殊分布的均值（1）若随机变量X 服从两点分布，则EX=p.（2）若X~B(n ，p) ，则EX=np.ni ii=1EX =x p数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.2.3.2离散型随机变量的方差教学目标知识与技能（1）了解离散型随机变量的方差、标准差的意义；（2）会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.过程与方法了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ~Β(n，p)，则Dξ=np(1-p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 .情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.教学重难点重点离散型随机变量的方差、标准差.难点比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 .思考要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为X1 5 6 7 8 9 10P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为X2 5 6 7 8 9P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低. 通过计算E(X1)=8，E(X2)=8，发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.思考除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？图(1)(2)分别表示X 1和X 2的分布列图. 比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环，即第二名同学的射击成绩更稳定. O 5 6 7 10 9 8 P 1X 0.10.20.30.40.5O 5 6 7 9 8 P 2X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (1) (2) 怎样定量刻画随机变量的稳定性?1.方差设离散型随机变量X 的分布列为知识要点X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i -E(X))2描述了x i (i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX 为随机变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 为随机变量X 的标准差(standard deviation). 记为 n2i ii=1DX =(x -EX)p DX σX 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.思考随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.现在，可以用两名同学射击成绩的方差来刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据.由前面的计算结果及方差的定义，得∑102DX=(i-8)P(X=i)=1.50,11i=5∑92DX=(i-8)P(X=i)=0.8222i=5因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.知识要点2.几点重要性质（1）若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p); （2）若X~B(n，p)，则D(X)=np(1-p); （3）D(aX+b)=a2D(X).例题1A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：0 1 2 3次品数ξ1概率P 0.7 0.2 0.06 0.040 1 2 3次品数ξ1概率P 0.8 0.06 0.04 0.10问哪一台机床加工质量较好？解：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2 ×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2 ×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.∴Dξ1< Dξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好.例题2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：/元1200 1400 1600 1800 甲单位不同职位月工资X10.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P1乙单位不同职位月工资X/元1000 1400 1800 220020.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得1EX =12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 =1400⨯⨯⨯⨯2221DX = (1200-1400) 0. 4 + (1400-1400 )0.3 + (1600 -1400 )0.2⨯⨯⨯2+(1800-1400) 0. 1= 40 000⨯2EX =1 0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400⨯⨯⨯⨯2222DX = (1000-1400)0. 4+(1 400-1400)0.3 + (1800-1400)0.2⨯⨯⨯2+ (2200-1400 )0.l = 160000 .⨯分析：因为 ，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.1212EX =EX ,DX <DX例题3有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X.（1）求随机变量的概率分布；（2）求X的数学期望和方差.4411689P(X =4)==,P(X =3)=0,P(X =2)=,P(X =1)=,P(X =0)=A 242424249861E(X)=0+1+2+30+4=124242424⨯⨯⨯⨯⨯222229861V(X)=(0-1)+(1-1)+(2-1)+(3-1)0+(4-1)=124242424⨯⨯⨯⨯⨯解：（1）因此X 的分布列为（2） X 0 1 23 4 P 9/24 8/24 6/24 0 1/24例题3有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理.解 :设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量的概率分布为：X -30 -20 -10 10 20 30 P 2/36 4/36 6/36 8/36 10/36 6/36 246810665 E(X)=(-30)+(-20)+(-10)+10+20+30=⨯⨯⨯⨯⨯⨯3636363636369因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家.1.熟记方差计算公式课堂小结n 2i i i=1DX =(x -EX)p 2=E(X-EX)22=EX -(EX)2. 三个重要的方差公式（1）若 X 服从两点分布，则 （2）若 ，则 X ~B(n,p)DX =np(1-p)DX =p(1-p)2(3)D(aX +b)=a DX3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX；④根据方差、标准差的定义求出、σXDX高考链接1. （2005年天津）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是_____（元）.[答案]4760提示：分布列为ξ0.6 -2.5P 192/200 8/192故1928Eξ=0.6-2.5=4760()200200元⨯⨯2.（2002年天津）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示：品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.4 10.3 10.8 9.7 9.8则其中产量比较稳定的小麦品种是_______．[答案]甲种3.（2004年湖北）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值）[解析]①不采用预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.l=40（万元），所以总费用为45＋40=85（万元）；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30＋60=90（万元）；继续④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30=75（万元），发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75＋6=81（万元）．综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1.填空课堂练习（1）已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____. 50 25 59910010（1）已知随机变量x 的分布列如上表,则E x 与D x 的值为( )A. 0.6和0.7B. 1.7和0.3C. 0.3和0.7D. 1.7和0.21（2）已知x~B(n ，p)，E x =8，D x =1.6，则n ， p 的值分别是（ ）A ．100和0.08；B ．20和0.4；C ．10和0.2；D ．10和0.8 2.选择 √ x1 2 P 0.3 0.7√3.解答题（1）一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望.分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3①当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）= ②当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P （ξ=1）= 43129=449119123=⨯③当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P （ξ=2）= ④当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 P （ξ=3）= 所以，Eξ= 3299=121110220⨯⨯32191=1211109220⨯⨯⨯399130+1+2+3=44422022010⨯⨯⨯⨯继续（2）有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算.解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~ B（200，1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以,Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98.习题解答1. E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2. D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.2+(2-2)2×0.4+(3- 2)2×0.2+(4-2)2×0.1=1.2.D(X) 1.095.2. E(X)=c×1=c，D(X)=(c-c)2×1=0.3. 略.。
《概率论》第2章2离散型随机变量-24页文档资料
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 11/23
则
P{X1}P(A1) p
P{X2}P(A1A2)P(A2| A1)P(A1) p(1 p)
P{X3}P(A1A2A3) P (A 3|A 1A 2)P (A 2|A 1 )P (A 1 ) p(1 p)2
P{X 4} P (A 1 A 2A 3A 4) P (A 1 A (12 A 3 pA )4 3)
故 X的分布律为
P{X 0} 1 8
P{X
1}
3 8
P{X 2} 3 8
所有样本点 遍历一次
全部和为1
P{X 3} 1 8
分布律有什么特点
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 3/23
pk0, k1,2,
pk 1
k 1
pk P{X xk}
k1
k1
P
U{X
k 1
xk }
P(S) 1
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 8/23
只产生两个结果 A , 的A 试验 伯努利试验产生什么样的随机变量
将伯努利试验独立重复进行 n 次的试验
某战士用步枪对目标进行射击，记
Байду номын сангаас
A { 击中目标 } ,A { 没击中目标 } 每射击一次就是一个伯努利试验 ,如果对目标进行 n 次射
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 6/23
如果 r.v 的X 分布律为
P{X c}1
则称 r.v 服X 从 单点，分其布中 为常数c
概率与数理统计 第二章-2-离散型随机变量及其分布律
(0–1)分布的分布律也可以写成：
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1,0 p 1.
两点分布的模型为：
（1）Ω= {1, 2}， 只有两个基本事件。
P({1}) = p , P({2}) = 1-p =q.
令
X
()
1, 0,
1, 2,
（2） W A A ，有两个结果。
1
2
P 0.04 0.32 0.64
PX 0 0.2 0.2 0.04
PX 1 0.80.2 0.20.8 0.32
PX 2 0.8 0.8 0.64
(2) ∵是并联电路 ∴ P{线路接通} =P{只要一个继电器接通} =P{X≥1} =P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96
所以，X 的概率分布为
P{X k } C4k p k (1 p )4k ,
k 0, 1, 2, 3, 4 .
(1) 伯努利试验 若随机试验E只有两个可能的结果： 事件A发生与事件A不发生，则称这样的 试验为伯努利(Bermourlli)试验。记
P(A) p, P(A) 1 p q (0 p 1),
P{X=1}：o o o Co41 p1(1 p)41
P{X=2}：o o oo oo oo C42opo2(1oop)42
P{X=3}：ooo oo o o oo oooC43 p3(1 p)43 P{X=4}：oooo C44 p4(1 p )44 p4
其中“×”表示未中，“○”表示命中。
P(A) p, P(A) 1 p ；
③ 各次试验相互独立。
我们关心的问题是：
n次的独立伯努利试验中，事件A发生的次数 及A发生k次的概率。
第2章2.3.2离散型随机变量的方差课件人教新课标B版
ξ的散布列为
ξ0 1 2 3 4 5 6
P
1 64
3 32
15 64
5 16
15 64
3 32
1 64
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种.求需要补
种沙柳的概率. 解 记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)， 得 P(A)＝614＋332＋1654＋156＝2312， 所以需要补种沙柳的概率为2312.
(3)散布列未知：求解时可先借助已知条件及概率知识先求得 散布列，然后转化成(1)中的情况. (4)对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利 用D(aX＋b)＝a2D(X)求解.
2.求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值. (2)求ξ取各个值的概率，写出散布列. (3)根据散布列，由期望的定义求出E(ξ). (4)根据方差、标准差的定义求出D(ξ)， Dξ.若ξ～B(n，p)， 则不必写出散布列，直接4)＝185.
1234
3.已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3 ＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1， p2，p3分别为____0_.4___，____0_.1___，____0_._5__. 解析 由题意知，－p1＋p3＝0.1， 1.21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89. 又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.
对于期望的平均波动大小(或说离散程度).D(X)的算术平方根 DX
叫做离散型随机变量X的标准差 .
2.离散型随机变量方差的性质 (1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝ a2D(X)； (2)D(c)＝0(其中c为常数).
离散型随机变量
例4. 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400 0.02 试求其命中次数不少于2的概率。 次，试求其命中次数不少于2的概率。
普哇松定理(p65)： 设随机变量X 普哇松定理(p65)： 设随机变量Xn～B(n, p), (n＝ 2,…), 很大， 很小， np， (n＝0, 1, 2, ), 且n很大，p很小，记λ=np，则
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下 二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下: 也可列表表示如下
X Y y1 p11 p21 pi1 ...
ij
y2 p12 p22 ... ... pi2 ...
… ... ... ... ... ... ...
yj P1j P2j Pij
… ... ... ...
3、几个常用的离散型分布
(0-1)分布 （1） (0-1)分布(p63) 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数， 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则 称X服从(0－1)分布(两点分布) 服从(0－1)分布(两点分布) (0 分布 X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 ＝ ， ～ ＝ ＝ － － 或 0 X 1
1 3
求：Y=X2的分布律 0
1 3
1
1 3
Y Pk
1
2 3
0
1 3
一般地
X Pk Y=g(X)
x1 p1
x2 xk p2 pk
g(x1) g(x2 ) g(xk )
或 Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk ， k＝1, 2, … ＝ ～ ＝ ＝ ＝ 有相同的， （其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。） 其中 有相同的 其对应概率合并。）
概率论第二章知识点
第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k k n k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=二项分布的期望：()E X np =二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度： 均匀分布的期望：()2a bE X +=均匀分布的方差：2()()12b a D X -=（2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩则称X 服从参数为λ的指数分布，记为 X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a ab x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a ab x f指数分布的期望：1()E X λ=指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X 的概率密度为22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==2222()()x t xx ex e dt ϕφ---∞=⎰标准正态分布表的使用： （1）0()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数：设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
中国海洋大学 《概率论》第二章-离散型随机变量
设：X：该学生靠猜测能答对的题数 则 X ~ B 5， 1 4
概率论
所以
P至少能答对4道题 P X 4
P X 4 P X 5
C54
1 4
4
3 4
1 4
5
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
设 Ak = {第k期中奖}，k =1, 2, …， 于是
P( X k ) P( A1A2 Ak1Ak )
P( A1)P( A2 ) P( Ak1)P( Ak )
(1 p)k1 p
k1,2,
概率论
二、离散型随机变量的分布函数
例子
或 记作 X ~ B1， p 其中0 p 1 为参数
概率论
Bernoulli分布也称作 0-1 分布或两点分布．
Bernoulli分布的概率背景
进行一次Bernoulli试验，设：
PA p， PA 1 p q
令X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数．
n
c
1
n
n1 4
c
1
4
1
c 3
4
所以
c=3
概率论
概率论
例2 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿 信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为 红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次停下时已通过的路口的个数，求 X的分布律.
概率论
P(Bk ) P( A1A2 Ak Ak1 An ) P( A1A2 Ank Ank1 An )
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7~8随机变量函数的分布列
9~10数学期望的定义及性质
11~12方差的定义及性质
13~14条件分布与条件数学期望
15~16习题辅导
教学内容
1~2.第一节一维随机变量及分布列
一、随机变量
在上一章所讲的有些随机试验的样本空间中基本事件是用数值描述的，这就提示我们，无论什么随机试验，如果用一个变量的不同取值来描述它的全部可能结果，样本空间的表达及其相应的概率就显得更明了、更简单.事实上，这种想法是可以的，为此，引入一个新概念.
这时显然有
于是
而当 或 时显然有
例2.7把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1、2、3的盒子中，记落入第1号盒子中的白球个数为 ，落入第2号盒子中的红球个数为 ，则 是一个二维随机变量.现在来讨论 的联合分布列和边际分布列.
显然有
这时，由事件（ ）和（ ）的独立性可得
由此便可得全部 之值是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为 和 的普哇松分布，求 的分布列.
解 由 与 的独立性并利用（＊）式可得
由上述计算可知， 也是一个服从普哇松分布的随机变量，它的分布的参数 恰是 与 的分布参数 、 之和．所以两个独立的普哇松分布随机变量的和仍是一个普哇松分布的随机变量，且其参数为相应的随机变量分布参数之和．这个事实称作普哇松分布对加法具有封闭性，或称普哇松分布具有可加性．
6.掌握一维、二维离散型随机变量函数的分布列的求法.
7.准确理解数学期望、方差的概念及其相关的性质，熟练掌握常见的几种分布的数学期望和方差.
8.了解条件分布与条件期望及其性质.
教学重点一、二维随机变量及其分布
教学难点随机变量的分布
教学方法讲解法
教学时间安排
1~2第一节一维随机变量及分布列
3~4第二节多维随机变量、联合分布列和边际分布列
小结：离散型随机变量函数的分布列是由自变量随机变量分布列来决定的，这里，关键的问题仍然是随机变量的分布列问题.
作业2.23；2.26；2.28.
9~10.第四节 数学期望的定义及性质
定义2.5若离散型随机变量 可能取值为 其分布列为 ，则当
时，称 存在数学期望，并且数学期望为
如果
则称 的数学期望不存在.
定义2.1设 维随机试验， 为其样本空间，若对任意的 ，有唯一的实数与之对应，则称 为随机变量.
这样，事件可通过随机变量的取值来表示，随机变量 等都表示为事件，其中 表示任意实数.即用随机变量的各种取值状态和取值范围来表示随机事件.
二、一维离散型随机变量的概念
定义2.2定义在样本空间 上，取之于实数域 ，且只取有限个或可列个值的变量 ，称作是一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量.称
（1）
（2）
反过来，任意一个具有以上两个性质的数列 都有资格作为某一个随机变量的分布列.
事件 的概率.因为事件 右端的事件是两两互不相容的，于是由概率的可列可加性有
其中 .
对 中更复杂的集合 ，也有
其中 .
由此可知， 取各种值的概率都可以由它的分布列通过计算而得到，这件事实常常说成是：分布列全面地描述了离散型随机变量的统计规律.
例2.2设有一决策系统，其中每个成员作出的决策互不影响，且每个成员作出正确决策的概率均为 当占半数以上的成员作正确决策时，系统作出正确决策.问 多大时，5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更为可靠.
解对于5个成员的决策系统，可认为是5重贝努里试验，每个成员要么决策正确（成功），要么决策错误（失败）.决策正确的概率 ，决策错误的概率 ，设 为其中决策正确的成员个数，则 .对于3个成员的决策系统，类似地也有 从而5个成员的决策系统作出正确决策的概率为
7~8.第三节随机变量函数及其分布
一、一维离散型随机变量函数的分布
若 是一维离散型随机变量， 是实函数 的单值函数，则当 只取有限个或可列个值时， 也只取有限个或可列个值，如果 的可能值为 令
则有
于是
所以 的分布列由 的分不列完全决定.
例2.9进口某种货物 件，每件价值 元.按合同规定，如果在 件货物中每发现一件不合格品，则出口方应赔偿 元.易知， 件货物中的不合格品的件数 是一随机变量，而出口方应赔的钱数 又是一个随机变量.如果每件货物可能为不合格的概率是 ，则
成立，所以 是相互独立的随机变量.
小结：这节课我们学习了多维离散型随机变量及分布列的概念；并讨论了边际分布与计算公式；还探讨了离散型随机变量的独立性.多维随机变量的联合概率是比较难求的，一定要先分清事件是否相互独立，而后再按交感率公式去求.关于边际分布的计算公式要掌握.
作业2.16；2.18；2.20；2.21.
其中 .因为每出现 件不合格品即当 时，赔款数就是 ，即 ；反过来，如果赔款数为 ，则不合格品数一定为 ，所以事件“ ”等价于“ ”，
也就是
从而
例2.10设 是参数为 的普哇松分布的随机变量，又
试求 的分布.
解易知 的可能取值为1、0、-1，由一维随机变量函数分布公式可得
二、二维随机变量函数的分布
设 是一个二维离散型随机变量， 是实变量 和 的单值函数，这时 仍然是一个离散型的随机变量.设 的可能取值分别为 ，令
同理，将 的联合分布对固定的 关于 求和，得
也就是为 关于 的一个边际分布..此处 表示 对固定的 关于 求和的结果.从而由 得联合分布，可得到关于 或关于 的边际分布.
例2.6把三个相同的球等可能地放入编好为1，2，3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为 ，落入第2号盒子中球的个数为 ，则 是一个二维随机变量，其中 和 的可能取值为0、1、2、3.现在来找 的联合分布列.由条件概率的定义易知有
2、二项分布若离散型随机变量 的分布列为
其中 ，则称 服从参数为 的二项分布，简称 服从二项分布，记为
易验证
显然，当 =1时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例.
二项分布是离散型随机变量概率分布中重要的分布之一，它以 重贝努里试验为背景，具有广泛的应用.例如，质量管理中，不合格产品数 控制图和不合格率 控制图的绘制；一些抽样检验方案的制定，都是以二项分布为理论依据的.
解设该单位患有这一种疾病的人数为 ，则
其中 ，这时如果直接计算 ，计算量很大.由于 很大， 很小，这时
不很大，可利用上述普哇松定理，取 ，就有
查普哇松分布表可得
于是
.
例2.4由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数 的普哇松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？
由例2.6与例2.7，可发现，两者有完全相同的边际分布，而联合分布却是不相同的.由此可知，由边际分布列并不能唯一地确定联合分布列，事实上，二维随机变量 的分布列的确含有比边际分布更多的内容.再分析例2.6与例2.7中的 的计算可知， 的联合分布还包含有 与 之间相互关系的内容，这是它们的边际分布不能提供的.因而对单个随机变量 与 的研究并不能代替二维随机变量 整体的研究.
定理2.1（普哇松定理）在 重贝努里试验中，事件 在一次试验中出现的概率为 （与试验总数 有关）如果当 时， 常数），则有
证明及 ，则
对于任一固定的 ，显然有
还有
从而
对任意的 成立，定理得证.
这个定理可作近似计算.在 都比较大时，由普哇松定理就有
其中 ，而要计算 ，由专用的普哇松分布表可查.
例2.3已知某种疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率有多大？
3个成员的决策系统作出正确决策的概率为
要使5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更为可靠，必须
即当 时，可满足此要求.
3、普哇松（Poisson）分布设离散型随机变量 的所有可能取值为0，1，2， ，且取各个值的概率为
其中 为常数，则称 服从参数为 的普哇松分布，记为 .易验证
普哇松分布是重要的离散型随机变量的概率分布之一，有广泛的应用.例如，来到某售票口买票的人数；进入商店的顾客数；布匹上的疵点数；纱锭上棉纱断头次数；放射性物质放射出的质点数；热电子的发射数；显微镜下在某观察范围内的微生物数；母鸡的产蛋量等，这些随机变量都可利用普哇松分布.
第二章离散型随机变量
教学目的与要求
1.熟练掌握一维离散型随机变量及其分布的概念，会求一维随机变量的分布列.
2.熟练掌握二维离散型随机变量的概念及其分布，了解常见的二维随机变量的分布.
3.掌握二维离散型随机变量的边际分布及其计算公式.
4.了解多维随机变量的概念及其分布.
5.理解随机变量相互独立的关系及其判别方法.
其中（1）、（2）是显然的.现验证（3）.由联合分布列的定义及全概率公式有
同理可得
如果记 即可得证.
二、边际分布列
如果 ，由此，边际概率 可由二维随机变量 的联合概率分布 中对固定的 关于 求和而得到.显然 ，此即表明，当 遍及 的一切可能值 时，就得到一个边际分布： 分别表示对 中，关于 求和的结果. 关于 的边际分布.
，
为随机变量 的概率分布列，也称为分布律，有时就简称为分布.
离散型随机变量 的分布列常常习惯地把它们写成表格的形式或矩阵形式：
例2.1在 的贝努里试验中，设事件 在一次试验中出现的概率为 ，令
5次试验中事件 出现的次数
则
于是， 的分布列为：
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：
解设该商店每月销售某种商品 件，月底的进货为 件，则当（ ）时就不会脱销，因而按题意要求为
因为已知 服从 的普哇松分布，上式也就是
查普哇松分布表得
于是，这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上个月没存货），就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月内不脱销.