第二章 离散型随机变量

解设该单位患有这一种疾病的人数为 ，则
其中 ，这时如果直接计算 ，计算量很大.由于 很大， 很小，这时
不很大，可利用上述普哇松定理，取 ，就有
查普哇松分布表可得
于是
.
例2.4由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数 的普哇松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？
例2.2设有一决策系统，其中每个成员作出的决策互不影响，且每个成员作出正确决策的概率均为 当占半数以上的成员作正确决策时，系统作出正确决策.问 多大时，5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更为可靠.
解对于5个成员的决策系统，可认为是5重贝努里试验，每个成员要么决策正确（成功），要么决策错误（失败）.决策正确的概率 ，决策错误的概率 ，设 为其中决策正确的成员个数，则 .对于3个成员的决策系统，类似地也有 从而5个成员的决策系统作出正确决策的概率为
小结：离散型随机变量函数的分布列是由自变量随机变量分布列来决定的，这里，关键的问题仍然是随机变量的分布列问题.
作业2.23；2.26；2.28.
9~10.第四节 数学期望的定义及性质
定义2.5若离散型随机变量 可能取值为 其分布列为 ，则当
时，称 存在数学期望，并且数学期望为
如果
则称 的数学期望不存在.
定义2.1设 维随机试验， 为其样本空间，若对任意的 ，有唯一的实数与之对应，则称 为随机变量.
这样，事件可通过随机变量的取值来表示，随机变量 等都表示为事件，其中 表示任意实数.即用随机变量的各种取值状态和取值范围来表示随机事件.
二、一维离散型随机变量的概念
定义2.2定义在样本空间 上，取之于实数域 ，且只取有限个或可列个值的变量 ，称作是一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量.称
5、退化分布在 上定义的恒等于常数 的变量 （虽取值已失去了随机性，也可以看作为随机变量的极端清形.）的分布列为
则称这个分布为单点分布或退化分布.
上面讨论了几种常见的离散型随机变量的分布.两点分布、二项分布、普哇松分布、几何分布都是以贝努里试验为背景.即在一次试验中事件 要么出现，要么不出现.而试验的次数是不同的，两点分布的次数为1，二项分布的次数是n，普哇松分布是无穷，随机变量 的取值从0到试验的次数.由此可见，两点分布是二项分布的特例，普哇松分布是二项分布的地推广.注意几何分布 的取值从1开始到无穷.在应用中，一定要分清该问题属于哪一种类型，准确灵活地应用.
三、常见的离散型随机变量及其分布
1、两点分布设离散型随机变量 的的分布列为
其中 ，则称 服从两点分布，亦称 服从（0—1）分布，简记为 0—1）分布.
显然，两点分布具有离散型随机变量的两个性质.
两点分布可用来描述一切只有两种可能结果的随机试验.例如，掷一枚均匀硬币是出正面还是反面；产品质量是否合格；卫星的一次发射是否成功等试验.
这时显然有
于是
而当 或 时显然有
例2.7把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1、2、3的盒子中，记落入第1号盒子中的白球个数为 ，落入第2号盒子中的红球个数为 ，则 是一个二维随机变量.现在来讨论 的联合分布列和边际分布列.
显然有
这时，由事件（ ）和（ ）的独立性可得
由此便可得全部 之值并可列表为
解设该商店每月销售某种商品 件，月底的进货为 件，则当（ ）时就不会脱销，因而按题意要求为
因为已知 服从 的普哇松分布，上式也就是
查普哇松分布表得
于是，这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上个月没存货），就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月内不脱销.
4、几何分布设 是一个无穷次贝努里试验序列中事件 首次发生时所需的试验次数，且可能的值为 而取各个值的概率为
定理2.1（普哇松定理）在 重贝努里试验中，事件 在一次试验中出现的概率为 （与试验总数 有关）如果当 时， 常数），则有
证明及 ，则
对于任一固定的 ，显然有
还有
从而
对任意的 成立，定理得证.
这个定理可作近似计算.在 都比较大时，由普哇松定理就有
其中 ，而要计算 ，由专用的普哇松分布表可查.
例2.3已知某种疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率有多大？
3~4.第二节多维随机变量、联合分布列和边际分布列
一、多维随机变量与分布列
定义2.2设 是样本空间 上的 个离散型随机变量，则称 为向量（ ）是 上的一个 维离散型随机变量或 维随机向量.
设 是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为 令
称 是二维离散型随机变量 的联合分布.
二维联合分布的三个性质：
第二章离散型随机变量
教学目的与要求
1.熟练掌握一维离散型随机变量及其分布的概念，会求一维随机变量的分布列.
2.熟练掌握二维离散型随机变量的概念及其分布，了解常见的二维随机变量的分布.
3.掌握二维离散型随机变量的边际分布及其计算公式.
4.了解多维随机变量的概念及其分布.
5.理解随机变量相互独立的关系及其判别方法.
三、随机变量的相互独立性
定义2.3设离散型随机变量 的可能取值为 的可能取值为 ，如果对任意的 ，有
成立，则称离散型随机变量 和 相互独立.
定义2.4设 是 个离散型随机变量， 的可能值为
，
如果对任意的一组（ ），恒有
成立，则称 是相互独立的.
例2.8在 重贝努里试验中，令
则 的可能取值为1或0，对 =1或0 容易验证有
其中 ，则称 服从几何分布.记为 .易验证
例2.5设有某求职人员，在求职过程中每次求职成功率为0.4 .试问该人员要求职多少次，才能有0.9的把握获得一个就业机会？
解设 表示该人员在求职过程中，首次成功的求职次数，则 服从几何分布，其中 有事件的不相容性，有
故该求职人员至少要求职5次，才能以0.9的把握得到一次就业的机会.
由例2.6与例2.7，可发现，两者有完全相同的边际分布，而联合分布却是不相同的.由此可知，由边际分布列并不能唯一地确定联合分布列，事实上，二维随机变量 的分布列的确含有比边际分布更多的内容.再分析例2.6与例2.7中的 的计算可知， 的联合分布还包含有 与 之间相互关系的内容，这是它们的边际分布不能提供的.因而对单个随机变量 与 的研究并不能代替二维随机变量 整体的研究.
其中（1）、（2）是显然的.现验证（3）.由联合分布列的定义及全概率公式有
同理可得
如果记 即可得证.
二、边际分布列
如果 ，由此，边际概率 可由二维随机变量 的联合概率分布 中对固定的 关于 求和而得到.显然 ，此即表明，当 遍及 的一切可能值 时，就得到一个边际分布： 分别表示对 中，关于 求和的结果. 关于 的边际分布.
则有
（＊）
例2.11设 是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为 和 的普哇松分布，求 的分布列.
解 由 与 的独立性并利用（＊）式可得
由上述计算可知， 也是一个服从普哇松分布的随机变量，它的分布的参数 恰是 与 的分布参数 、 之和．所以两个独立的普哇松分布随机变量的和仍是一个普哇松分布的随机变量，且其参数为相应的随机变量分布参数之和．这个事实称作普哇松分布对加法具有封闭性，或称普哇松分布具有可加性．
成立，所以 是相互独立的随机变量.
小结：这节课我们学习了多维离散型随机变量及分布列的概念；并讨论了边际分布与计算公式；还探讨了离散型随机变量的独立性.多维随机变量的联合概率是比较难求的，一定要先分清事件是否相互独立，而后再按交感率公式去求.关于边际分布的计算公式要掌握.
作业2.16；2.18；2.20；2.21.
3个成员的决策系统作出正确决策的概率为
要使5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更为可靠，必须
即当 时，可满足此要求.
3、普哇松（Poisson）分布设离散型随机变量 的所有可能取值为0，1，2， ，且取各个值的概率为
其中 为常数，则称 服从参数为 的普哇松分布，记为 .易验证
普哇松分布是重要的离散型随机变量的概率分布之一，有广泛的应用.例如，来到某售票口买票的人数；进入商店的顾客数；布匹上的疵点数；纱锭上棉纱断头次数；放射性物质放射出的质点数；热电子的发射数；显微镜下在某观察范围内的微生物数；母鸡的产蛋量等，这些随机变量都可利用普哇松分布.
其中 .因为每出现 件不合格品即当 时，赔款数就是 ，即 ；反过来，如果赔款数为 ，则不合格品数一定为 ，所以事件“ ”等价于“ ”，
也就是
从而
例2.10设 是参数为 的普哇松分布的随机变量，又
试求 的分布.
解易知 的可能取值为1、0、-1，由一维随机变量函数分布公式可得
二、二维随机变量函数的分布
设 是一个二维离散型随机变量， 是实变量 和 的单值函数，这时 仍然是一个离散型的随机变量.设 的可能取值分别为 ，令
（1）
（2）
反过来，任意一个具有以上两个性质的数列 都有资格作为某一个随机变量的分布列.
事件 的概率.因为事件 右端的事件是两两互不相容的，于是由概率的可列可加性有
其中 .
对 中更复杂的集合 ，也有
其Байду номын сангаас .
由此可知， 取各种值的概率都可以由它的分布列通过计算而得到，这件事实常常说成是：分布列全面地描述了离散型随机变量的统计规律.
7~8.第三节随机变量函数及其分布
一、一维离散型随机变量函数的分布
若 是一维离散型随机变量， 是实函数 的单值函数，则当 只取有限个或可列个值时， 也只取有限个或可列个值，如果 的可能值为 令
则有
于是
所以 的分布列由 的分不列完全决定.
例2.9进口某种货物 件，每件价值 元.按合同规定，如果在 件货物中每发现一件不合格品，则出口方应赔偿 元.易知， 件货物中的不合格品的件数 是一随机变量，而出口方应赔的钱数 又是一个随机变量.如果每件货物可能为不合格的概率是 ，则
2、二项分布若离散型随机变量 的分布列为
其中 ，则称 服从参数为 的二项分布，简称 服从二项分布，记为
易验证
显然，当 =1时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例.
二项分布是离散型随机变量概率分布中重要的分布之一，它以 重贝努里试验为背景，具有广泛的应用.例如，质量管理中，不合格产品数 控制图和不合格率 控制图的绘制；一些抽样检验方案的制定，都是以二项分布为理论依据的.
同理，将 的联合分布对固定的 关于 求和，得
也就是为 关于 的一个边际分布..此处 表示 对固定的 关于 求和的结果.从而由 得联合分布，可得到关于 或关于 的边际分布.
例2.6把三个相同的球等可能地放入编好为1，2，3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为 ，落入第2号盒子中球的个数为 ，则 是一个二维随机变量，其中 和 的可能取值为0、1、2、3.现在来找 的联合分布列.由条件概率的定义易知有
5~6习题辅导
7~8随机变量函数的分布列
9~10数学期望的定义及性质
11~12方差的定义及性质
13~14条件分布与条件数学期望
15~16习题辅导
教学内容
1~2.第一节一维随机变量及分布列
一、随机变量
在上一章所讲的有些随机试验的样本空间中基本事件是用数值描述的，这就提示我们，无论什么随机试验，如果用一个变量的不同取值来描述它的全部可能结果，样本空间的表达及其相应的概率就显得更明了、更简单.事实上，这种想法是可以的，为此，引入一个新概念.
注： ，才能保证它的和不受求和次序变动的影响
常见几种分布的数学期望
1、两点分布的期望
2、二项分布的期望
因为
所以
3、普哇松分布的期望
因为
于是
例2.12在某地区进行某种疾病普查，为此要检验每一个人的血液，如果当地有 个人，若逐个检验就需要检验 次，现在如果分组检验，是否可以减少工作量？
6.掌握一维、二维离散型随机变量函数的分布列的求法.
7.准确理解数学期望、方差的概念及其相关的性质，熟练掌握常见的几种分布的数学期望和方差.
8.了解条件分布与条件期望及其性质.
教学重点一、二维随机变量及其分布
教学难点随机变量的分布
教学方法讲解法
教学时间安排
1~2第一节一维随机变量及分布列
3~4第二节多维随机变量、联合分布列和边际分布列
，
为随机变量 的概率分布列，也称为分布律，有时就简称为分布.
离散型随机变量 的分布列常常习惯地把它们写成表格的形式或矩阵形式：
例2.1在 的贝努里试验中，设事件 在一次试验中出现的概率为 ，令
5次试验中事件 出现的次数
则
于是， 的分布列为：
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：