单摆周期原理及公式推导

关于单摆的回复力 ①在研究摆球沿圆弧的运动情况时，要以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示. ②因为Ｆ′垂直于ｖ，所以，我们可将重力G 分解到速度ｖ的方向

及垂直于ｖ的方向.且Ｇ1＝Ｇsin θ＝mg sin θＧ2＝G cos θ＝mg cos θ

③说明：正是沿运动方向的合力Ｇ1＝mg sin θ提供了摆球摆动的回

复力.

单摆做简谐运动的条件

①推导：在摆角很小时，sin θ＝l

x 又回复力Ｆ＝mg sin θ Ｆ＝mg ·l x

（ｘ

表示摆球偏离平衡位置的位移，ｌ表示单摆的摆长）

②在摆角θ很小时，回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相

反，大小成正比，单摆做简谐运动.

③简谐运动的图象是正弦(或余弦曲线)，那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线.

单摆周期公式推导

设摆线与垂直线的夹角为θ, 在正下方处时θ=0,逆时针方向为正，反之为负。

则 摆的角速度为θ’（ 角度θ对时间t 的一次导数）, 角加速度为θ’’（ 角度θ对时间t 的二次导数）。对摆进行力学分析，

由牛顿第二运动定律，有

(m)*(l)* θ’’ = - mg*sin θ

即θ’’+ (g/l )*sin θ = 0

令 ω = (g/l)1/2 ,有

θ’’ + (ω2)*sin θ = 0

当 θ很小时， sin θ ≈ θ （这就是考虑单摆运动时通常强调“微”摆的原因） 这时， 有

θ’’ + (ω^2)*θ ≈ 0

该方程的解为

θ = A*sin(ωt+φ)

这是个正弦函数，其周期为

T = 2π/ω = 2π*√(l/g)