陕西省榆林市定边四中2020-2021年高一下学期期末数学试题

陕西省榆林市定边四中2019-2020年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下面哪些变量是相关关系（ ） A ．出租车费与行驶的里程 B ．房屋面积与房屋价格 C ．身高与体重D ．铁的体积与质量2．已知圆的半径为π，则60︒圆心角所对的弧长为（ ）A ．3πB ．23πC ．23πD ．223π3．已知正方形ABCD ，则2AB AC AD ++＝（ ）A ．2B ．6C ．4D ．4．已知向量(4,2)a =，(,3)b x =，若//a b ，则实数x 的值为（ ） A ．3B ．23C ．32D ．65．如图是2013年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，4D ．85，1.66．给出一个算法的程序框图如图所示，该程序框图的功能是（ ）A ．求出,,a b c 三数中的最小数B ．求出,,a b c 三数中的最大数C ．将,,a b c 从小到大排列D ．将,,a b c 从大到小排列7．已知2tan α=，则2212sin cos sin cos αααα+-的值是（ ） A ．13B ．3C ．13-D ．–38．某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 ( ) A ．3.5B ．3C ．-0.5D ．-39．阅读如图所示的程序框图，若输出30S =，则在判断框内应填入（ ）A ．5i >B ．6i >C ．4i >D ．4i10．x 是1x ，2x ，...，100x 的平均值，1a 为1x ，2x ，...40x 的平均值，2a 为41x ，42x ， (100)x 的平均值，则下列各式正确的是（ ） A ．12235a a x +=B ．12325a a x +=C ．12x a a =+D ．122a a x +=11．已知如图是函数2sin()||2y x πωϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象上的一段，则（ ）A ．1011ω=，6π=ϕB ．1011ω=，6πϕ=-C ．2ω=，6π=ϕ D ．2ω=，6πϕ=-12．在5件产品中，有4件正品，从中任取2件，2件都是正品的概率是（ ） A ．45B ．15C ．35D ．25二、填空题13．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为36的样本，用分层抽样方法应分别从老年人、中年人、青年人中各抽取__________人、__________人、__________人.14．函数1y =__________. 15．若π3sin(+θ)=25，则cos2θ= ．三、双空题16．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为1a ，2a ，…，n a ，则如图所示的程序框图输出的s =__________，s 表示的样本的数字特征是__________.四、解答题17．已知向量(sin ,cos 2sin )AB θθθ=-，(1,2)CD =. （1）已知(3,4)C ，求D 点坐标； （2）若//C B D A ，求tan θ的值 18．完成下列两题：（1）在长16cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于225cm 与281cm 之间的概率.（2）如图所示，在一个边长为5cm 的正方形内部有一个边长为3cm 的正方形，向大正方形内随机投点，求所投的点落入大正方形内小正方形外的概率.19．设计算法流程图，要求输入自变量x 的值，输出函数()5,020,0,3,02x x f x x x x ππ⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩的值，并用复合if 语句描述算法．20．如图，从参加数学竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：（Ⅰ）79.5-89.5这一组的频数、频率分别是多少？ （Ⅱ）估计这次数学竞赛的平均成绩是多少？（Ⅲ）估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）.21．已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,1)b x =，函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图像过点(12π. （1）求m 的值；（2）将()y f x =的图像向左平移(0)φφπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各点最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.22．袋中有大小、形状相同的白球、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球.（1）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（2）若摸到白球时得1分，摸到黑球时得2分，求3次摸球所得总分大于4分的概率.参考答案1．C 【解析】试题分析：由出租车费与行驶的里程、房屋面积与房屋价格和铁块的大小与质量知它们都是确定的函数关系，故A 、B 、C 不对，根据经验知人的身高会影响体重但不是唯一因素，故是相关关系．从而得出正确答案．解：A 、由出租车费与行驶的里程的公式知，是确定的函数关系，故A 不对； B 、房屋面积与房屋价格，是确定的函数关系，故B 不对； C 、人的身高会影响体重，但不是唯一因素，故C 对； D 、铁块的大小与质量，是确定的函数关系故D 不对． 故选C ．考点：变量间的相关关系． 2．C 【解析】60化为弧度制为3π，由弧长公式有233l r ππαπ==⨯=，选C. 3．B 【分析】先求出2AC =，再利用向量的平行四边形法则得到AB AD AC +=，再利用向量的模求解即可. 【详解】由正方形ABCD 可得正方形ABCD 的对角线长2AC =， 利用向量的平行四边形法则可得：AB AD AC +=，则23326AB AC AD AC ++==⨯=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的平行四边形法则以及求向量的模.属于容易题.4．D 【分析】直接由两向量平行，列方程可求得结果 【详解】解：因为向量(4,2)a =，(,3)b x =，且//a b ， 所以24312x =⨯=，解得6x =， 故选：D 【点睛】此题考查由向量平行求参数，属于基础题 5．C 【解析】试题分析：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为：84,84,86,84,87，所以平均数为4+4+6+4+7=80+=855x ，方差为：()()()()()2222221S =84-85+84-85+86-85+84-85+87-855⎡⎤⎣⎦=1.6.考点：茎叶图；平均数；方差公式．点评：本题主要考查平均数与方差的求法，熟记方差公式，属于基础题型． 6．A 【分析】对a 、b 、c 赋三个不等的值，并根据程序框图写出输出的结果，可得知该程序的功能． 【详解】令2a =，3b =，1c =，则23>不成立，21>成立，则1a =，输出的a 的值为1， 因此，该程序的功能是求出a 、b 、c 三数中的最小数，故选A ． 【点睛】本题考查程序框图的功能，解题的关键就是根据题意将每个步骤表示出来，考查分析问题的能力，属于中等题． 7．B 【分析】利用三角函数的基本关系式将1写成α的正弦、余弦平方和的形式，然后利用商数关系化为tan α的代数式，代入求值．【详解】解：原式＝()()()2cos sin cos sin 1tan 123cos sin cos sin cos sin 1tan 12αααααααααααα++++====-++-+-+-+．故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数的基本关系式的运用，化简三角函数式；熟练运用基本关系式是关键，属于基础题． 8．D 【详解】因为错将其中一个数据105输入为15,所以此时求出的数比实际的数差是1510590-=-,因此平均数之间的差是90330-÷=-. 故答案为D 9．C 【分析】分析题意知，该程序框图的作用是累加并输出S 的值，条件框内的语句决定是否结束循环；再利用已知条件，输出的结果为2222301234=+++，如此即可得出结论. 【详解】由程序框图知，算法结构为直到型循环结构， 因为2222301234=+++， 所以条件应该为4?i >. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了程序框图，明确程序框图的计算规律是解题的关键.属于较易题. 10．A 【分析】由题意，结合平均数的计算公式，可得1240140x x x a ++⋯+=，4142100260x x x a ++⋯+=；从而得到12100124060x x x a a ++⋯+=+，进而可得出结果. 【详解】因为1a 为1x ，2x ，…40x 的平均值，2a 为41x ，42x ，…100x 的平均值, 所以1240140x x x a ++⋯+=，4142100260x x x a ++⋯+=， 则有1121002124060231001005x x x a a a a x ++⋯+++===.故选：A. 【点睛】本题主要考查平均数的相关计算，熟记公式即可，属于基础题型. 11．C 【分析】根据周期可求出ω的值，利用五点法作图的过程得262ππϕ⨯+=，由此可求ϕ的值【详解】解：由图像知函数周期11()1212T πππ=--=， 所以22πωπ==，又函数图像过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，由五点作图得，262ππϕ⨯+=，解得6π=ϕ，所以2ω=，6π=ϕ， 故选：C 【点睛】此题考查五点作图的方法，考查由函数图像求解析式，属于基础题 12．C 【分析】根据题意，对5件产品编号，列举出从5件产品中任取2件所包含的基本事件，再列举出2件都是正品所包含的基本事件，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】将4件正品分别记作a ，b ，c ，d ，1件次品记作M ，从这5件产品中任取2件所包含的基本事件有：(),a M ，(),b M ，(),c M ，(),d M ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共10个基本事件；2件都是正品包含的基本事件有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共6个基本事件；则2件都是正品的概率是63105P ==. 故选：C.【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.13．6. 12. 18.【分析】按照各层所占的比例即可确定各层人数.【详解】 解：老年人应抽取27366275481⨯=++， 中年人应抽取543612275481⨯=++， 青年人应抽取813618275481⨯=++. 故答案为：6；12；18.【点睛】考查分层抽样的应用，基础题.14．2,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】开偶次方根时被开方数非负即可.【详解】 解：函数有意义，则：1cos 02x -≥ ， 求解三角不等式可得函数的定义域为2,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦故答案为：2,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】考查求函数的定义域以及解三角不等式，基础题.15．【解析】试题分析：∵π3sin(+θ)=25，∴3cos θ=5，∴27cos2θ=2cos θ1=25－－，故答案为. 考点：诱导公式；二倍角的余弦.16．11ni i a n =∑ 平均数 【分析】根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是计算依次输入的n 个数1a ，2a ，…，n a 的算术平均数，根据统计中的定义，不难确定s 的表达式及所表示的样本的数字特征【详解】解：分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算依次输入的n 个数1a ，2a ，…，n a 的算术平均数，即11ni i s a n ==∑， 根据统计中的定义，样本数据的算术平均数所表示的样本的数字特征为样本平均数，故答案为：11ni i a n =∑，平均数 【点睛】此题考查程序框图，考查样本的数字特征，属于基础题17．（1）(4,6)，（2）14 【分析】（1）利用向量的坐标算法可求出D 点坐标；（2）由//C B D A ，可得cos 2sin 2sin θθθ-=，化简再利用同角三角函数的关系可求出tan θ的值【详解】解：（1）设D 点坐标为(,)x y ，因为(3,4)C ，所以(3,4)CD x y =--，因为(1,2)CD =，所以3142x y -=⎧⎨-=⎩，解得46x y =⎧⎨=⎩， 所以D 点坐标为(4,6)，（2）因为(sin ,cos 2sin )AB θθθ=-，(1,2)CD =，且//C B D A ，所以cos 2sin 2sin θθθ-=，所以cos 4sin θθ=，所以cos 0θ≠，所以sin 1tan cos 4θθθ==， 【点睛】此题考查向量的坐标运算，考查共线向量的坐标表示，属于基础题18．（1）14，（2）1625 【分析】（1）由题意可知，AM 介于5cm 与9cm 之间，代入几何概率的计算公式可求；（2）记“所投的点落入大正方形内小正方形外”为事件A ，则“所投的点落入小正方形内”为事件A 的对立事件A ，所以()1()P A P A =-可求得答案【详解】解：（1）由题意得，以线段AM 为边长的正方形面积要介于225cm 与281cm 之间，即要求AM 介于5cm 与9cm 之间，所以正方形的面积介于225cm 与281cm 之间的概率为951164-=， （2）记“所投的点落入大正方形内小正方形外”为事件A ，则“所投的点落入小正方形内”为事件A 的对立事件A ， 所以22316()1()1525P A P A =-=-= 【点睛】此题考查了与面积和长度有关的几何概率公式的应用，属于中档题19．见解析【详解】试题分析：结合题意，将分段函数利用流程图设计为条件结构即可，然后结合流程图即可写出具体的算法语句，注意if与else的灵活准确应用.试题解析：输入x；if x < 0，then f(x)= π/2∙x+3；else if x = 0，then f(x)=0；else f(x)= π/2∙x-5.输出f(x).20．（Ⅰ）15；0.25；（Ⅱ）70.5；（Ⅲ）75%.【分析】（Ⅰ）利用计算出79.589.5这一组的矩形的面积可得出79.589.5这一组的频率，再乘以60可得出79.589.5这一组的频数；（Ⅱ）利用在频率分布直方图中求平均数的方法求解即可；（Ⅲ）计算出60分以上的频率，即可得出及格率.【详解】⨯=，（Ⅰ）79.589.5这一组的频率为0.025100.25⨯=；79.589.5这一组的频数为600.2515（Ⅱ）估计这次数学竞赛的平均成绩是：44.50.154.50.1564.50.1574.50.384.50.2594.50.0570.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故估计这次数学竞赛的平均成绩是70.5.（Ⅲ）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）()10.010.0151075%P =-+⨯=.【点睛】本题主要考查了利用频率分布直方图计算频数、频率以及平均数，考查计算能力，属于较易题.21．（1）m =；（2）,,2πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z . 【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式化简函数的解析式，再把点12π⎛ ⎝代入，求得m 的值（2）根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得()y g x =的单调递增区间．【详解】（1）已知()sin2cos2f x a b m x x =⋅=+， ()f x 过点,12π⎛ ⎝ sin cos 1266f m πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭解得: m =；（2）()cos22sin(2)6f x x x x π=+=+()f x 左移ϕ后得到()2sin(22)6g x x πϕ=++设()g x 的图象上符合题意的最高点为()02x ,，11d =+=解得00,(0)2x g =∴=，解得6π=ϕ， ()2sin(2)2cos236g x x x ππ∴=++=， 222,,,2k x k k z k x k k z ππππππ∴-+≤≤∈-+≤≤∈，()f x ∴的单调增区间为,,2k k k z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了三角函数与向量的简单运算知识点，以及函数()sin y A ωx φ=+的图象变换，属于中档题.22．（1）一共有8种不同的结果；结果见解析； （2）12 【分析】（1）由分步计数原理知这个过程一共有8个结果，按照一定的顺序列举出所有的事件，顺序可以是按照白球的个数由多变少变化，这样可以做到不重不漏．（2）本题是一个等可能事件的概率，由前面可知试验发生的所有事件数，而满足条件的事件包含的基本事件为:(黑、黑、黑)、(白、黑、黑)、(黑、白、黑)、(黑、黑、白)，根据古典概型公式得到结果．【详解】（1）一共有8种不同的结果，列举如下:(白、白、白)、(白、白、黑)、(白、黑、白)、(白、黑、黑)、(黑、白、白)、(黑、白、黑)、(黑、黑、白)、(黑、黑、黑)（2）本题是一个等可能事件的概率记"3次摸球所得总分大于4分"为事件A事件A 包含的基本事件为:(黑、黑、黑)、(白、黑、黑)、(黑、白、黑)、(黑、黑、白)事件A 包含的基本事件数为4由（1）可知，基本事件总数为8，∴事件A 的概率为()4182P A ==. 【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.。