分离变量法求解偏微分方程

(
x,
0)
(
x),
ux (0,t) ux (l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l] t0
两端自由的边界条件
X (x) X (x) 0
X
(0)
X
(l)
0
n
n
l
2
,
Xn (x)
cos
n
l
x
,
n 0,1, 2,3,L
2u u(tx2 ,
a2 0)
2u x2 ,
X (0) X (l) 0
T(t)： T (t) a2T (t) 0
本征值问 题
第二步：求本征值 和本征函数 X(x)， 以及 T(t)的表达式
本征值和 本征函数
n
n
l
2
,
Xn (x)
sin
n
l
x
,
n 1, 2,3,L
Tn (t)
An
cos
an
l
t
Bn
sin
an
l
t
n 1, 2,3,L
T(t)的表达 式
第三步：利用初始条件求得定解问题的解
u( x, t )
n1
An
cos
an
l
t
Bn
sin
an
l
t
sin
n
l
x
利用初始条件得
An
2 l
l
(
0
) sin
n
l
d
Bn
2
an
l
0
(
) sin
n
l
d
驻波 o
n=4 l
un (x,t)
An
cos
an
l
t
u(0,t) ux (l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l] t0
物理解释：
一根长为 l 的均匀细杆，其右端保持绝热， 左端保持零度，给定杆内的初始的温度分 布，在没有热源的情况下杆在任意时刻的 温度分布
求解的基本步骤
第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解
u(0,t) u(l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l] t0
物理解释：
一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位 移和速度，在没有强迫外力作用下的振动
求解的基本步骤
第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解
u(x,t) X (x)T (t)
X(x)：
X (x) X (x) 0
)
x
当 u0=1 时，杆内温度随时间的变化
第三节 特殊区域上的位势方程
矩形域上的边值问题
第三类边界条件的混合问题的求解中遇到的困难
2u u(tx2 ,
a2 0)
2u , x2
( x),
ut
(
x,
0)
(
x),
ux (0,t) u(0,t) u(l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l] t0
X (x) X (x) 0
X (0) X (0) X (l) 0
( x),
ut
(
x,
0)
(
x),
ux (0,t) u(l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l] t0
左端点自由、右端点固定的边界条件
X (x) X (x) 0
X
(0)
X
(l)
0
n
n
1 2
l
2
,
Xn (x)
cos
n
l
1 2
x,
n 0,1, 2,3,L
2u u(tx2 ,
x,
n 0,1, 2,3,L
Tn
(t)
An
exp
a2
(n
1 2
l2
)2
2
t
n 0,1, 2,3,L
T(t)的表达 式
第三步：利用初始条件求得定解问题的解
u( x, t )
n0
An
exp
a2
(n
1 2
)2
2
l2
t
sin
(n
l
1 2
)
x
利用初始条件得
Fra Baidu bibliotek
2
An l
l 0
(
Bn
sin
an
l
t
sin
n
l
x
Nn
sin
n
l
x
sin
an
l
t
n
其中
Nn An2 Bn2 ,
振
幅
an
N
n
sin
n
l
x
频
率
n
an
l
初相位 n
n
arctan
An Bn
振动元素，本征振动
驻波
其它边界条件的混合问题
2u u(tx2 ,
a2 0)
2u , x2
( x),
ut
第十章 分离变量法
第一节 有界弦的自由振动 第二节 有限长杆上的热传导 第三节 特殊区域上的位势方程 第四节 高维定解问题的分离变量法 第五节 对非齐次边界条件和非齐次方程
的处理
第一节 有界弦的自由振动
2u u(tx2 ,
a2 0)
2u x2 ,
( x),
ut
(
x,
0)
(
x),
) sin
(n
l
1 2
)
d
举例
u
t
a2
2u x2
,
u(x, 0)
u0 l
x,
u(0,t) ux (l,t) 0,
x (0,l),t 0 x [0,l] t0
u( x, t )
2u0
2
n0
(1)n
(n
1 2
)2
exp
a2
(n
1 2
)2
2
l2
t
sin
(n
l
1 2
a2 0)
2u x2 ,
( x),
ut
(
x,
0)
(
x),
u(0,t) ux (l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l] t0
左端点固定、右端点自有的边界条件
X (x) X (x) 0
X
(0)
X
(l)
0
n
n
1 2
l
2
,
Xn (x)
sin
n
l
1 2
x,
n 0,1, 2,3,L
n
l
x
对不同的 c ，有界弦的自由振动
当 c=0.2l 时，有界弦的自由振动
当 c=0.5l 时，有界弦的自由振动
再例-弦的拨动
2u
t
2
a2
2u x2
,
u
(
x,
0)
1 d
x
1 ld
(l
x)
,
ut
(
x,
0)
0,
x (0,l),t 0 x [0, l], 0 d l
u(0,t) u(l,t) 0,
u(x,t) X (x)T (t)
X(x)：
X X
(x) X (x)
(0) X (l)
0
0
本征值问题
T(t)： T (t) a2T (t) 0
第二步：求本征值 和本征函数 X(x)， 以及 T(t)的表达式
本征值和 本征函数
n
n
1 2
l
2
,
Xn (x)
sin
n
l
1 2
t0
u( x, t )
2l 2
2d (l d )
n1
1 n2
sin
n d
l
cos
an
l
t
sin
n
l
x
对不同的 d ，有界弦的自由振动
当 d=0.5l 时，有界弦的自由振动
当 d=0.3l 时，有界弦的自由振动
第二节 有限长杆上的热传导
u(utx,0a) 2x2u(2x,),
l tan l
举例-弦的敲击
2u u(tx2 ,
a2 0)
2u x2 0, ut
, (
x,
0)
(
x
c),
u(0,t) u(l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l], 0 c l t0
u(x,t)
2
a
n1
1 n
sin
n
l
c
sin
an
l
t
sin