三角形内角和定理的几种证明方法
三角形的内角和定理
三角形的内角和定理三角形是平面几何中基础而重要的一个概念，对于三角形的性质和定理的研究，不仅可以帮助我们理解空间几何中的更复杂的概念，还可以应用到各种实际问题中。
其中，三角形的内角和定理是我们研究三角形性质时经常会用到的一个重要定理。
三角形的内角和定理是指，任意一个三角形的三个内角的和等于180°。
也就是说，对于任意给定的三角形ABC，角A、角B和角C 的度数之和等于180°。
为了更好地理解三角形的内角和定理，我们可以通过几何证明和代数验证两种方法来证明这一定理。
几何证明：我们取一个任意的三角形ABC，然后以顶点A为中心，画一条AB相等的射线AD，使得角BAD与角C形成一对对顶角。
如下图所示：A/ \/ \/ \D-------B\ /\ /\ /C在上图中，我们可以得到以下几个结论：1. 由于角BAD与角C是对顶角，所以它们的度数相等，即∠BAD=∠C；2. 根据直线上的内角和为180°的性质，我们知道∠BAD+∠BAD=180°；3. 根据等式的性质，我们可以得到2∠BAD=180°；4. 将上述等式除以2，得到∠BAD=90°。
同样的方法，我们也可以证明∠C和∠B分别等于90°。
因此，角A、角B和角C的度数之和等于180°，即三角形内角和定理得证。
代数验证：我们也可以通过代数方法来验证三角形的内角和定理。
假设三角形的三个内角分别为角A、角B和角C，其度数分别为a°、b°和c°。
根据三角形内角的定义，我们可以得到以下等式：a +b +c = 180°这个等式就是三角形的内角和定理的代数表达形式，通过将三个角的度数相加，结果等于180°。
例如，假设有一个三角形，其中角A=30°，角B=60°，角C=90°。
我们可以进行如下验证：30° + 60° + 90° = 180°正是由于这个等式的成立，我们可以确认三角形的内角和定理在这个例子中成立。
“三角形内角和是180°”的验证教学
“三角形内角和是180°”的验证教学几种常见方法的比较验证“三角形的内角和是180°”，常见的有三种方法：（1）用量角器量出三个角的度数，然后加起来看是不是180°（简称“测量求和法”）；（2）将三角形三个角剪下来，再将它们拼在一起看能不能组成平角（简称“剪拼法”）；（3）将三个角折起来拼在一起，看能不能组成平角（简称“折拼法”）。
这三种方法中，“测量求和法”的优点是：接近学生的思维水平，课堂上学生很容易想到，也很容易理解；缺点是：“测量”存在着误差，因此测得的三个角的度数加起来往往都不是180°。
这使得测量结果非但不能验证结论，相反却易给人造成“三角形内角和不是180°”的错误印象。
“剪拼法”的优点是：操作简单、看起来一目了然；缺点是：破坏了原图形，不能很好地体现原图形与撕下来后图形间的联系与变化。
“折拼法”有效地避免了量、撕的缺陷，可惜操作起来方法不明──学生并不能十分清楚地掌握折的方法。
因此，我们对教材中的“折拼法”方案稍作改进：首先让学生折“高”找到对应的“垂足”，然后将三角形三个“顶点”分别对准“垂足”进行折叠就行了（如图1）。
经改进操作起来简捷多了。
其实，对于三角形内角和的三种常见验证方法，或多或少都存在着误差。
用任何一种方法验证“三角形内角和是180°”，都不足以让人信服。
因此，让尽量多的验证方法出现在课堂上，“让各种方法相互解释、互相佐证”是上好这节课的关键。
然而事实并不随你我所愿。
正常情况下，学生上课时只能想到“量”这一种方法，其他方法的出现，充其量仅仅是一两个“优等生闻道预先”。
如何通过教师艺术的启发，引导出多样的验证方法呢？我们对课堂中可能出现的种种情况进行了预设：学生猜想“三角形内角和是180°”，教师将猜想板书在黑板上追问：三角形内角和真的是180°吗？说说你的依据。
（1）“测量求和法”的引出：采用“一点突破”，紧扣“内角和”逐步逼近。
三角形内角和定理的证明
随堂练习
☞
2、已知：如图在△ABC中， 已知：如图在△ABC中 DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： 求证： ∠ADE=500
证明： DE∥BC（已知） 证明：∵ DE∥BC（已知） ∴∠AED=∠C ∴∠AED=∠C D E 两直线平行，同位角相等） （两直线平行，同位角相等） C B ∵∠C=70 已知） ∵∠C=700（已知） （第2题） 题 ∴∠AED=70 等量代换） ∴∠AED=700（等量代换） ∵∠A+∠AED+∠ADE=180 ∵∠A+∠AED+∠ADE=1800 三角形的内角和定理） （三角形的内角和定理） 已知） ∠A=600（已知） ∴∠ADE=180 等量代换） ∴∠ADE=1800-600-700=500（等量代换） 即∠ADE=500
1 2
1 2 B D
图5
3
C
C
图6
D
…………
回顾与思考 ☞
言必有“据”
我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个 结论的探索过程吗? A (1)如图,当时我们是 1 把∠A移到了∠1的位 置,∠B移到了∠2的位 置.如果不实际移动 3 1 2 ∠A和∠B,那么你还有 B 2 C D 其它方法可以 达到同 样的效果? (2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一 结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明 过程吗?与同伴交流. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
三角形内角和定理---三角形内角和定理---三角形三个内角的和等于180 三角形三个内角的和等于1800
在证明三角形内角和定理时, 在证明三角形内角和定理时,小明的想法是 把三个角“ 他过点A 把三个角“凑”到A处,他过点A作直线 PQ∥BC(如图),他的想法可以吗 如图),他的想法可以吗? PQ∥BC(如图),他的想法可以吗? P A Q 1 3 2 证明：过点A作 ∥ ， 证明：过点 作PQ∥BC，则 两直线平行,内错角 ∠1=∠B(两直线平行 内错角 B ∠ 两直线平行 C ∠ 两直线平行,内错角相等 两直线平行 内错角相等 相等) 相等 ∠2=∠C(两直线平行 内错角相等) ∵∠1+∠ ∠3 ∠3=1800 (平角的定义 平角的定义) 又∵∠ ∠2+∠3 平角的定义 ∠C=1800 (等量代换 等量代换). ∴ ∠BAC+∠B+∠C ∠ ∠C 等量代换
初中几何证明口诀
初中几何证明口诀在初中几何中，证明是学习的重要内容之一、通过证明，可以巩固和提高自己对几何知识的理解和应用能力。
以下是一些常用的初中几何证明口诀：1.三角形的内角和定理：三角形内角和为180度。
可以通过绘制平行线、共线线段等方法证明。
2.外角定理：三角形的外角等于其余两个内角的和。
可以通过绘制平行线等方法证明。
3.垂直角定理：垂直角相等。
可以通过绘制平行线、共线线段等方法证明。
4.同位角定理：同位角相等。
可以通过平行线等方法证明。
5.三角形的相似性定理：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
可以通过AA、SSS、SAS等方法证明。
6.圆周角定理：圆周角是圆心角的两倍。
可以通过绘制弧、使用同位角等方法证明。
7.弦切角定理：弦切角等于其对应的弧的一半。
可以通过绘制切线、弧等方法证明。
8.正方形的特性：正方形的四条边相等，四个角为直角。
可以通过对角线等方法证明。
9.等腰三角形的特性：等腰三角形的两边相等，两个底角相等。
可以通过绘制高线等方法证明。
10.平行四边形的特性：平行四边形的对边相互平行，对角线相互平分。
可以通过角平分线等方法证明。
11.三角形的中线定理：三角形的三个中线交于一点，且这点距离三个顶点的距离是各边长的一半。
可以通过线段等方法证明。
12.直角三角形的勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
可以通过平行四边形等方法证明。
13.外切圆定理：三角形的外接圆的圆心是三个顶点的垂直平分线的交点。
可以通过角平分线、圆心角等方法证明。
14.圆的切线定理：切线与半径垂直。
可以通过绘制切线、使用垂直角等方法证明。
15.纵横切割定理：两条平行线被一条截线切割，那么两个内角和为180度。
可以通过平行线等方法证明。
这些口诀可以帮助初中生记住一些重要的初中几何证明定理，并引导他们学习如何使用特定的几何性质进行证明。
同时，更重要的是理解定理的证明过程，培养逻辑思维能力和几何推理能力。
整理三角形内角和定理的证明方法
整理三角形内角和定理的证明方法嘿，咱今儿就来聊聊三角形内角和定理的证明方法，这可有意思啦！
你想想看，三角形那三个角，它们加起来到底为啥就是 180 度呢？
这就好像一个神秘的谜团等着我们去解开。
第一种方法呢，就像是搭积木一样。
我们可以画一个三角形，然后
延长它的一边，再通过平行线的魔力，就能发现一些奇妙的角度关系，顺藤摸瓜就证明出来啦！你说神奇不神奇？
还有一种方法呢，就像是变魔术。
把三角形的三个角剪下来，然后
拼在一起，嘿，你猜怎么着，就拼成了一个平角，那不就正好 180 度嘛！这就像把分散的力量一下子聚集起来了。
再有一种方法，是通过几何图形的巧妙构造。
就好像是建筑师在搭
建一个特别的建筑，用各种线条和角度的组合来证明这个定理。
这需
要我们有一双善于发现的眼睛和灵活的思维，就像在迷宫中找到正确
的道路一样刺激！
咱说三角形内角和定理，那可是几何学里的宝贝呀！它就像一把钥匙，能打开好多知识的大门。
以后遇到和三角形有关的问题，咱就可
以拿出这个定理来，就像将军拿出宝剑一样威风！
你说要是没有这个定理，那我们对三角形的理解得少多少乐趣呀！
它就像星星一样，在数学的天空中闪闪发光。
整理这些证明方法，就像是在整理一个宝藏箱，每一种方法都是一
颗璀璨的宝石。
我们可以慢慢欣赏，慢慢琢磨，感受数学的魅力。
这就是三角形内角和定理的证明方法，是不是很有趣呀？它们就像
是一个个小精灵，在数学的世界里跳跃，等待着我们去发现和探索呢！。
三角形内角和定理
三角形内角和定理三角形内角和定理是初中数学中的一个重要定理，简称“内角和定理”。
该定理表明，一个三角形的三个内角之和等于180度。
三角形是平面几何中最基本的图形，由三条边和三个内角组成。
三角形的内角和定理可以帮助我们理解三角形的性质，并且在解决与三角形相关的各类问题时起到重要的作用。
对于任意一个三角形 ABC，我们可以用∠A、∠B、∠C 分别表示其三个内角。
根据内角和定理，我们可以得到以下等式：∠A + ∠B + ∠C = 180°这个定理可以通过几何推理和数学推导来证明。
下面给出了该定理的一种证明方式：首先，我们假设有一个平面，其中有一条直线 AB，并在 AB 上取一点 O。
以 O 为圆心，做一个半径为 r 的圆。
然后，以点 A、B 为切点，分别画两条弧，分别记为 AC 和 BC。
由于圆上的点到圆心的距离是相等的，所以 OA = OB = OC = r。
因此，三角形 AOC 和 BOC 是等边三角形，即 OA = OC，OB = OC。
我们知道，在等边三角形中，三个内角是相等的，所以∠AOC = ∠ACO，∠BOC = ∠BCO。
而∠AOC、∠ACO、∠BOC、∠BCO 加起来等于360度。
另外，我们可以通过画一条直线 CD，使得∠ACD 和∠BCD 为直角。
这样，我们可以得到四边形 ABCD，其中∠AOC 和∠BOC 分别是∠ACD 和∠BCD 的外角。
根据外角和定理，我们知道∠AOC = ∠ACD + ∠CDA，∠BOC = ∠BCD + ∠CDB。
将得到的等式代入之前得到的等式中，可以得到：∠AOC + ∠BOC = (∠ACD + ∠CDA) + (∠BCD + ∠CDB)= ∠ACD + ∠CDA + ∠BCD + ∠CDB= 360°将这个等式改写为∠AOC + ∠BOC - 360° = 0，然后代入到之前的等式中，得到：∠AOC + ∠ACO + ∠BOC + ∠BCO - 360° = 0再将∠ACO 和∠BCO 替换为∠A 和∠B，即可得到三角形内角和定理的表达式：∠A + ∠B + ∠C - 360° = 0进一步，可以将上述等式转化为∠A + ∠B + ∠C = 180°。
三角形的内角和定理
三角形的内角和定理三角形的内角和定理是数学中一个重要的定理，它描述了任意三角形内角的和。
三角形是由三条线段连接起来的图形，它有三个顶点和三条边。
我们可以把三角形的内角分为三个部分，分别称为三角形的内角A、内角B和内角C。
根据三角形的内角和定理，三角形的内角A、内角B和内角C的和等于180度。
证明这个定理可以使用几何方法或者代数方法。
接下来，我将用几何方法来证明这个定理。
我们先假设有一个任意三角形ABC。
我们可以通过辅助线BD将这个三角形分成两个小三角形，即三角形ABD和三角形CBD。
通过划分这些线段，我们可以得到以下几个角度：角BAD、角ADC、角BDC和角BCA。
根据三角形的性质，直角的两条边相互垂直。
因此，角BAD和角ADC是直角。
由于直角的度数为90度，我们可以得出角BAD和角ADC分别为90度。
接下来，我们继续观察三角形ABD和三角形CBD。
由于它们共用边BD，并且角BAD和角ADC都是直角，我们可以推断出这两个三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，它们对应角的度数相等。
因此，我们可以得到角ABC和角BCD的度数相等。
最后，我们将所有角度的度数相加：90度（角BAD）+ 90度（角ADC）+ 角ABC + 角BCD + 角BCA = 180度。
因此，我们证明了三角形的内角和定理，即三角形的内角A、内角B和内角C的和等于180度。
三角形的内角和定理在解决与三角形相关的问题时非常有用。
无论是计算未知角度，还是研究三角形的性质，这个定理都能够帮助我们更好地理解和解决问题。
总结一下，三角形的内角和定理指出了三角形内角的和为180度。
这个定理通过几何方法证明，并在数学中起着重要的作用。
理解和掌握这个定理对于解决三角形相关的问题非常重要。
三角形的内角和定理的证明
三角形的内角和定理的证明
三角形的内角和定理是指任意三角形的三个内角的和等于180度。
在
数学中，三角形是最基本的几何图形之一，研究三角形性质的重要一环就
是研究三角形的内角和。
证明三角形的内角和定理可以通过几何方法或代
数方法。
下面我将通过几何方法进行证明。
证明三角形的内角和定理：
D_____________E
____________
由平行线的性质，得∠ACD=∠CDE（对应角）、∠CBD=∠CDE（同位角）。
则∠ACD+∠CBD=∠ACD+∠CDE+∠CBD=∠CDE+∠CDE=2∠CDE。
而∠ACB和∠CDE是同位角，根据同位角相等的性质，得∠ACB=∠CDE。
因此，∠ACB+∠CDE=∠ACB+∠ACB=2∠ACB。
类似地，我们还可以得到∠ABC+∠CDE=2∠ACB。
再根据同位角相等的性质，得∠ABC+∠ACB=∠ACB+∠ACB=2∠ACB。
综上所述，∠ACB+∠ABC+∠ACB=2∠ACB+2∠ACB=4∠ACB。
(1)
另一方面，由三角形的补角性质可知，∠ACB和∠ABC是补角，即
∠ACB+∠ABC=180度。
(2)
将方程(2)代入方程(1)中，得4∠ACB=180度，即∠ACB=45度。
所以，三角形的内角和定理得证，即∠ACB+∠ABC+∠ACB=180度。
综上所述，任意三角形的三个角的和等于180度，即三角形的内角和定理成立。
【注意】：
实际上，这个证明是利用了平行线和同位角的性质，通过构造了平行线DE来推导三角形的内角和定理。
三角形内角和的两种证明方法
三角形内角和的两种证明方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊三角形内角和的两种证明方法，这可超级有趣哦！
第一种方法呢，就像是搭积木一样。
想象一下，你有一个三角形，把它的三个角剪下来（就像从积木堆里挑出三块特定的积木），然后试着把它们拼在一起，哇塞，你会惊奇地发现它们竟然能拼成一个平角！这不就说明了三角形内角和是 180 度嘛！你说神奇不神奇？
再来说说第二种方法，这就像走迷宫找出口一样。
我们过三角形的一个顶点作对边的平行线（这不就像在迷宫里找到一条关键的路），然后通过一些巧妙的角度转换和推理，最后就能得出三角形内角和是 180 度啦！是不是很有意思呢？
所以呀，通过这两种方法，我们就能确切地知道三角形内角和真的就是180 度哟！简单又明了，对吧！。
三角形内角和定理
？ ？
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换).
×
？ 。 ？
A
E
。 ×2
C D
1
B
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，ABCD
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′： 作BC的延长线CD， 画CE∥BA， 于是∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)， ∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换). A 评： 。 图形相同，
＝１８０°－９０°－７２° ＝１８° （ 三角形内角和是180° ）
三角形内角和
方法一： 方法一： 度量法
60° ° 45° ° 90° ° 30° °
90° °
30°+60°+ 80°= 180° ° ° °
45° °
45°+45°+90°=180 ° ° ° ° 其它三角形可以用量角器来度量。 其它三角形可以用量角器来度量。
方法二 ：拼合法
拼法一
拼法二
刚才拼角的过程中你能想出证明的方法吗? 从刚才拼角的过程中你能想出证明的方法吗?
F
B
C
证法2： 证法 ：
已知： 已知：△ABC 求证： 求证：∠A+∠B+∠C=180° ∠ ∠ ° 延长BC到 ， 延长 到D，过C作CE∥BA 作 ∥ ∴∠A=∠ ∴∠ ∠1 两直线平行，内错角相等） （两直线平行，内错角相等） A ∠B=∠2 ∠ 两直线平行，内错角相等） （两直线平行，内错角相等） 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∵∠1+∠2+∠ACB=180° 1+∠2+∠ACB=180 平角的定义） （平角的定义） B ∴∠A+∠B+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° 等量代换） （等量代换）
B A
C
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. ∠A+∠B+∠C=1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C= 中 ∠A+∠B+∠C=
的几种变形: 三角形内角和定理的几种变形 ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠A= (∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠B= (∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠C= (∠A+∠B). B ∠A+∠B=1800-∠C. ∠A+∠B= ∠C. ∠B+∠C=1800-∠A. ∠B+∠C= ∠A. ∠A+∠C=1800-∠B. ∠A+∠C= ∠B. 这里的结论,以后可以直接运用.
三角形内角和证明方法
三角形内角和证明方法三角形内角和是指三角形的三个内角的度数之和，它是三角形最基本的性质之一。
在本文中，我们将介绍一些关于三角形内角和的证明方法。
1.我们可以使用三角形内角和定理来证明三角形内角和的性质。
根据该定理，三角形的内角和等于180度。
证明方法：假设ABC是一个三角形，我们可以作三角形的外接圆O。
连接AO，BO，CO，以及连接AO与BC的垂线OD。
根据外接圆的性质，AO的长度等于半径R，而R为定值。
又因为AO与OD相交，所以AO的垂足D到外接圆的距离等于OD的长度。
由于OD与BC垂直，并且是BC的中线，所以OD的长度等于BC的一半，即OD=BC/2。
根据三角形ABC的内角和定理，∠A+∠B+∠C=180度，而∠A和∠B是三角形的两个锐角，它们可以理解为AO和BO在三角形内角A和B上的倒影，所以∠A和∠B的和等于AO和BO的倒影两个角之和，即∠A+∠B=∠DOA+∠DOB。
同理，∠B+∠C=∠BOC+∠BOA，∠C+∠A=∠COA+∠COD。
因为∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD=360度，而∠A+∠B+∠C=180度，所以∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD-∠A-∠B-∠C=360度-180度=180度。
同理∠DOA+∠COA=180度-∠A-∠C，∠DOB+∠BOA=180度-∠A-∠B，∠BOC+∠COD=180度-∠B-∠C。
将上述等式代入∠A+∠B+∠C=180度，得到：(180度-∠A-∠C)+(180度-∠A-∠B)+(180度-∠B-∠C)=180度。
化简上述等式，可以得到3*180度-2*(∠A+∠B+∠C)=180度，即3*180度=2*(∠A+∠B+∠C)，进一步化简为∠A+∠B+∠C=180度。
证明完毕。
2.另一种证明三角形内角和的方法是使用拓扑学中的欧拉公式。
根据欧拉公式，一个简单多边形的顶点数、边数和面数之间存在着一个关系。
三角形内角和定理的证明及应用
根据三角形内角和定理，当三角形的内角和等于180度时，可以判断该三角形是一个平面三角形。如果内角和小于180度，则意味着这不是一个三角形，而是一个非平面图形。如果内角和大于180度，则意味着这个图形是一个凹多边形，而不是三角形。
2.求解缺失的内角：
在已知三个内角中，若已知其中两个内角的度数，可以利用三角形内角和定理计算第三个内角的度数。例如，若已知∠A = 60°和∠B = 80°，可以计算出∠C = 40°。
由于∠A和∠B被直线DE分割成两个角，可以得到：
∠A + ∠B + ∠EDC = 180° (3)
同样地，由于∠B和∠C被直线FG分割成两个角，可以得到：
∠B + ∠C + ∠FGA = 180° (4)
将等式（1）和（2）代入等式（3）和（4）中，我们得到：
∠A + ∠B + ∠C + ∠EDC + ∠FGA = 360°
首先，我们可以利用平行线之间的性质对三角形进行分析。假设通过点A和点C分别作与边BC平行的直线DE和FG。如图1所示：
```
A
/ \
/ \
/ \
D-F-----G-----B
```
由于AB和DE是平行线，根据平行线与交叉线的性质，得知∠A和∠EDC是同位角，它们对应于相交线段BC。
3.推导其他几何定理：
三角形内角和定理是许多其他几何定理的基础。例如，通过三角形内角和定理，可以推导出三角形的外角和定理，即三角形的外角和等于360度。这个定理在解决许多涉及三角形外角的问题时非常有用。
总结：
三角形内角和定理是几何学中一项重要的定理，它表明了三角形内角的度数之和等于180度。这个定理在解决三角形相关问题时起着重要的作用，例如判断三角形的类型和计算缺失的内角。同时，通过这个定理还可以推导出其他几何定理。理解并应用三角形内角和定理对于几何学的学习和问题解决具有关键意义。
三角形内角和与外角
三角形内角和定理的证明知识梳理:一．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.变式：∠A＝180°－∠B－∠C.谈重点三角形内角和解读(1)三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°；(2)三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；(4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余．例：1、在一个三角形中，下列说法错误的是()．A．可以有一个锐角和一个钝角B．可以有两个锐角C．可以有一个锐角和一个直角D．可以有两个钝角2、已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为()．A．60°B．75°C．90°D．120°3、一副三角板（分别含45°角和60°角）如图1叠放在一起，求图中∠α的度数。
分析：欲求∠α的度数，需先求出∠BAE，而∠BAE＋∠B=∠FED，求∠BAE要用三角形外角的性质。
二．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．(2)三角形外角的特征三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．(3)三角形外角的实质是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°.如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°.三角形外角定理：三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角的和。
如刚才的例子，∠ACD=∠A+∠B。
试证明之：例：1、如图所示，∠1为三角形的外角的是()．2、如图所示，在△ABC中D是AC延长线上的一点，∠BCD等于（）A．72°B．82°C．98°D．124°（1）如右图所示，△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，若∠ADB=93•°，•则∠A=_________．3．（2）三角形的三个外角中，最多有______个锐角．3、已知△ABC中，点P是△ABC内的一点，连接BP、CP，试说明：∠BPC=∠ABP＋∠ACP＋∠A。
三角形内角和定理的几种证明方法
三角形内角和定理的几种证明方法有很多种方法可以证明三角形的内角和定理，下面列举了其中的几种常见证明方法。
方法一：利用平行线的性质1.加边法：首先，将三角形ABC边AB上延长一条边AD，使得AD与BC平行。
然后，利用平行线性质可得∠BAC和∠DCA是同位角。
再进一步，由三角形内角和定理可知∠BAC+∠ACB+∠DCA=180°，再结合∠ACB+∠DCA=180°，得到∠BAC+∠ACB+∠DCA=360°，即证明了三角形内角和定理。
方法二：利用直线的性质1.平行线截三角形法：首先，通过点B和点C分别作直线DE和直线AF与边AC交于点D和点E，点AB交于点F。
然后，利用平行线截三角形的性质可知，三角形ADF与三角形ABC相似，三角形CDE与三角形ABC相似。
根据相似三角形的内角和相等，我们可以得到三角形ADF的内角和为∠ADF+∠DAF+∠AFD=180°，以及三角形CDE的内角和为∠CDE+∠EDC+∠DEC=180°。
进一步，根据三角形内角和的性质，我们可以推出∠BAC+∠ACB+∠ABC=∠ADF+∠DAF+∠AFD+∠CDE+∠EDC+∠DEC=180°+180°=360°，即证明了三角形内角和定理。
方法三：利用三角形面积的性质1.面积法：首先，画出三角形ABC，并作高BD。
然后，利用三角形面积的公式S=1/2*底*高，可知三角形ABC的面积为S=1/2*AB*BD+1/2*AC*CD+1/2*BC*CE。
再进一步，可知三角形ABC的面积为S=1/2*(AB*BD+AC*CD+BC*CE)。
由于BD=CD+CE，代入原式可得S=1/2*(AB*CD+AC*CD+BC*CE+BC*CE)。
化简得S=1/2*(AB*CD+AC*CD+BC*2CE)=1/2*(AB+AC+BC)*CD。
由于三角形ABC的面积等于三角形ABC的高与底乘积的两倍，即S=1/2*(AB+AC+BC)*CD。
三角形内角和的证明
三角形内角和的证明三角形是平面几何中的基本图形之一，它有三条边和三个角。
这篇文章将会证明一个结论：三角形的三个内角和为180度。
首先，我们来考虑一个边长为a，b，c的三角形ABC。
我们可以用三角形的三个顶点来定义三个向量a，b，c，这些向量的长度分别为a，b，c。
那么，我们可以在向量b上找到一个点D，使得AD与向量c重合，那么这条直线就称为CD。
（插入一张图，图中ABC为三角形）我们可以找到一个向量m，它垂直于向量b和CD。
那么向量m与向量b的夹角记为α，向量m和CD的夹角记为β，向量a和向量m的夹角记为γ。
现在，我们来看向量m与向量b的夹角α。
根据向量的点积公式，有：m·b = |m||b| cos(α) （1）因为向量m是垂直于向量b，所以m·b=0，所以：因为向量m和向量b的长度都是正数，所以cos(α)必须等于零，也就是说α=90度。
这意味着向量m是向量b的一个垂线。
同理，我们可以得到：因为α=90度，所以向量m和向量CD是平行的。
我们可以得到一个证明：同理：现在，我们来计算三角形ABC的面积S。
由于向量b和向量CD重合，所以S=1/2|b+c|·h，其中h为三角形ABC到CD的距离。
同理，又有S=1/2|a+c|·h这两式联立，得到：|b+c| = |a+c|这意味着三角形ABC的边长a，b，c之间满足某种关系：a²+b²=c²。
现在，我们可以用余弦定理来证明三角形的三个内角和为180度。
根据余弦定理：cosA = (b²+c²-a²)/2bccosB = (a²+c²-b²)/2accosC = (a²+b²-c²)/2ab现在，我们来计算cosA+cosB+cosC，有：= a²b² + b²c² + c²a² - a⁴ - b⁴ - c⁴ / 2abc= (a²+b²+c²) / 2abcosA + cosB + cosC = a / ccosA + cosB + cosC = b / a三个式子联立，解得cosA+cosB+cosC=1。
三角形内角和180°证明7种方法
三角形内角和180°证明方法1.如图，证明∠B+∠C+∠BAC=180° 证明：过A 点作DE ∥BC∵DE ∥BC∴∠B=∠DAB ，∠C=∠EAC （两直线平行，内错角相等） ∵D,A,E 三点共线 ∴∠DAE=180°∵∠DAE=∠DAB+∠BAC +∠CAE ∴∠DAB+∠BAC +∠CAE=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180°2.如图，证明：∠B+∠A+∠ACB=180°证明：过C 点作CD ∥AB ，延长BC 交CD 于C∵CD ∥AB ∴∠A=∠ACD （两直线平行，内错角相等） ∠B=∠DCE （两直线平行，同位角相等） ∵B,C,E 三点共线 ∴∠BCE=180°∵∠BCE=∠ACB+∠ACD+∠DCE ∴∠ACB+∠ACD+∠DCE=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°3.如图，证明：∠C+∠BAC+∠B=180° 证明：过A 点作AD ∥BC∵AD ∥BC∴∠C=∠ADC （两直线平行，内错角相等）∠DAC+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠DAC=∠DAC+∠CAB∴∠DAC+∠CAB+∠B=180° ∵∠C=∠ADC∴∠C+∠CAB+∠B=180°4.如图，证明：∠BAC+∠C+∠B=180° 证明：过A 点作DE ∥BC ，延长AC 、BC 交DE 于A 点∵DE ∥BC∴∠C=∠FDA ，∠B=∠GAE （两直线平行，同位角相等）∵D,A,E 三点共线 ∴∠DAE=180°∵∠DAE=∠DFA+∠FAG+∠GAE ∴∠DFA+∠FAG+∠GAE=180° ∵·∠GAE=∠BAC （对顶角相等）∴∠BAC+∠C+∠B=180°5.如图，证明：∠A+∠C+∠B=180°证明：作直线DE∥AC，FE∥AB交BC于E∵DE∥AC∴∠AFE+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∠C=∠DEB（两直线平行，同位角相等）∵FE∥AB∴∠AFE+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）∠B=∠FEC（两直线平行，同位角相等）∴∠A=∠DEF∵B,C,E三点共线∴∠BCE=180°∵∠BCE=∠DEB+∠DEF+∠FEC∴∠DEB+∠DEF+∠FEC =180°∴∠A+∠C+∠B=180°6.如图，证明：∠A+∠B+∠C=180°证明：作DE∥AC，FG∥AB，MN∥BC，都交于点O∵DE∥AC∴∠AFO+∠FOD=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵FG∥AB∴∠AFO+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A=∠FOD∵MN∥BC∴∠C=∠FNO∵DE∥AC∴∠FNO=∠DOM∴∠C=∠DOM∵MN∥BC∴∠B=∠DMO（两直线平行，同位角相等）∵FG∥AB∴∠DMO=∠FON（两直线平行，同位角相等）∴∠B=∠FNO∵M,O,N三点共线∴∠MON=180°∵∠MON=∠DOM+∠DOF+∠FON∴∠DOF+∠DOM+∠FON=180°∴∠A+∠B+∠C=180°7. 如图，证明：∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°证明：作DE∥AC，FG∥AB，MN∥BC，都交于点O延长AC交FG于点K，延长AB到点L，延长BC交FG于点P∵ MN∥BC∴∠ABC=∠AHN，∠ACB=∠ANM（两直线平行，同位角相等）Array∵ AB∥FG∴∠AHN=∠FON，∠BAC=∠AKO（两直线平行，同位角相等）∴∠ABC=∠FON∵ DE∥AC∴∠ANM=∠DOM（两直线平行，同位角相等）∠OKA=∠DOF（两直线平行，内错角相等）∴∠ACB=∠DOM∵ FG∥AB∴∠BAC=∠OKA（两直线平行，同位角相等）∴∠BAC=∠DOF∵ M,O,N三点共线∴∠MON=180°∵∠MON=∠DOM+∠DOF+∠FON∴∠DOM+∠DOF+∠FON=180°∴∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
三角形的内角和的证明方法
三角形的内角和的证明方法三角形内角和的证明：一次几何学的探索之旅在几何学的世界里，三角形是一个基础且重要的元素，它的性质和定理构成了许多复杂几何问题的基础。
其中，三角形的内角和定理是初等几何中的一个基本事实，它揭示了三角形内部三个角度的总和始终等于180度。
这个看似简单的定理，其实蕴含了丰富的几何思想和证明技巧。
本文将深入探讨这个定理的证明方法，以揭示其背后的数学魅力。
首先，我们可以从欧几里得几何的角度出发进行证明。
欧几里得，古希腊的数学家，他的《几何原本》是几何学的基石。
在第五公设中，他提出“在平面上，过直线外一点，只能画一条直线与已知直线平行”。
基于此，我们可以这样证明：假设三角形ABC，过点A画一条与BC平行的直线DE，那么∠BAD和∠BAC互补（因为DE平行于BC），同理，∠CAD和∠CAB互补。
所以，∠BAD+∠BAC+∠CAD=180°。
而∠BAC是∠BAD和∠CAD的公共角，所以∠B+∠C=∠BAD+∠CAD=180°-∠A，同样可以得到∠A+∠B=180°-∠C，∠A+∠C=180°-∠B。
三者相加，得到2(∠A+∠B+∠C)=360°，从而得出∠A+∠B+∠C=180°。
另一种证明方式是利用相似三角形。
如果两个三角形是相似的，那么它们的对应角相等。
考虑一个直角三角形ABC，∠C为90°，根据相似三角形的性质，我们可以得到∠A+∠B=90°。
现在，如果我们把直角三角形旋转180°，使其与原来的三角形重合，那么原来的∠C就会变成新的∠A或∠B，因此，新的三角形的三个角之和也是180°。
由于这两个角度的总和等于180°，所以原来的∠A+∠B+∠C也必须等于180°。
此外，我们还可以借助平面直角坐标系来证明。
假设三角形ABC的顶点在坐标轴上，那么可以将每个角表示为两条射线的夹角。