余弦三角函数值及知识点汇总

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余弦三角函数值及知识点汇总

【本讲教育信息】

一. 教学内容:

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质

1.3.3 已知三角函数值求角

二. 教学目的

1、掌握余弦函数、正切函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质,了解正切函数的渐近线。

2、会由已知的三角函数值求角,并了解反正弦、反余弦、反正切的意义,且会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示角。

三. 教学重点、难点

重点:

1、余弦函数和正切函数的图象及其主要性质;

2、已知三角函数值求角。

难点:

1、利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线,利用正切线画出函数

的图象,并使直线确实成为此图象的两条渐近线。

2、(1)根据[0,2π]范围确定有已知三角函数值的角;

(2)对符号arcsinx、arccosx、arctanx的正确认识;

(3)用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示所求角。

四. 知识分析

1、余弦函数的图象变换

(1)函数图象的左右变换,即由变换得到的图象。

函数的图象,可以看作把的图象上所有的点向左(当时)或向右(当时)平行移动∣∣个单位而得到的。

(2)函数图象的横向伸缩变换,即由变换得到图象。

函数(且)的图象,可以看作把的图象上的

所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的。

(3)函数图象的纵向伸缩变换,即由变换得到的图象

函数(A>0且A1)的图象,可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

(4)一般地,函数的图象可以看作是用下面的方法得到的:先把图象上所有的点向左()或向右()平行移动∣∣个单位,再把所得各点的横坐标缩短()或伸长()

到原来的倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

2、余弦曲线

如图是的图象。

余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是;余

弦曲线是轴对称图形,其所有对称轴方程是,余弦曲线的对称轴一定是过余弦曲线的最高点或最低点,此时余弦值为最大值或最小值。

余弦曲线的对称中心一定是过余弦曲线与x轴的交点,此时余弦值为零。

由上述图象可以看出,余弦曲线上有五个点起关键作用,这五个点是:

,我们可以利用这五个点画出余弦函数的简图。

3、余弦函数的性质

(1)余弦函数的定义域与值域。

余弦函数的定义域为R,值域从图象上可以看出是[-1,1]。

注意:当定义域不是R时,值域就不一定是[-1,1]了。

(2)余弦函数的周期性。

①余弦函数的周期可参照诱导公式:cos(x+2k)=cosx (k∈z),因而周期是2k(k∈Z且k0),最小周期是2。

②一般地,函数(A、、为常数且A0,>0)的最小正周期T=。

注意:如果则最小正周期为T=。

(3)余弦函数的奇偶性。

①由图像可以看出余弦曲线关于y轴对称,因而是偶函数。

②也可由诱导公式cos(-x)=cosx知,余弦函数为偶函数。

(4)余弦函数的单调性。

由余弦曲线可以知道:余弦函数y=cosx在每一个闭区间

上,都从-1增大到1,是增函数,在每一个闭区间

上,都从1减小到-1,是减函数,也不是说,余弦函数

的单调区间是及。

4、正切函数的性质

(1)定义域:{x|x∈R且x,k∈z}

(2)值域:R,函数无最大值、最小值;

(3)周期:;

(4)奇偶性:是奇函数;

(5)单调性:在每一个开区间,k∈z内均为增函数,须注意的两个问题:

①正切函数y=tanx,x∈(k∈z)是单调增函数,但不能说函数在其定义域内是单调增函数;

②函数y=Atan()(A>0,>0),其定义域由不等式(k ∈z)得到,其周期为。

5、正切函数的图象

根据正切函数的定义域和周期,我们取,利用单位圆中的正切线,通过平行移动,作出的图象(如图1),而后向左、右扩展

得到函的图象(如图2),并把它叫做正切曲线。

图1 图2 6、正切函数与正、余弦函数的比较

正切函数,其定义域不是R,又正切函数与正、余弦函数对应法则不同,因此一些性质与正、余弦函数的性质有了较大的差别,如正、余弦函数是有界函数,而正切函数是无界函数;正、余弦函数是连续函数,反应在图象上是连续无间断点,而正切函数在R上不连续,它有无数条垂直于x

轴的渐近线,图象被这些渐近线分隔开来;正、余弦函数既有

单调增区间又有单调减区间,而正切函数在每一个区间上都是增函数。它们也存在大量的共性,如均为周期函数,且对

而言,是奇函数,它的图像既可以类似地用正切线的几何方法作图,又可以类似于“五点法”用“三点两线法”作简图,

这里三个点为()、()、(),直线,直

线(其中)。作出这三个点和这两条渐近线,便可得到

在一个周期上的简图;正弦函数与正切函数同是中心对称图形(注意余弦函数同时也是轴对称图形)。

函数的对称中心的坐标是,的值域为R是显然的。

还须注意的是,对正、余切函数相关的表示式的一些性质不能由正、余弦函数的结论作一般的推广,须论证后加以应用,例如:的周期是

的周期的一半,而与的周期却相同,均为。再如

的周期可用最小公倍数法求,而的周期用最小公倍数计算时不一定是最小正周期。

7、已知三角函数值求角的有关概念

根据正弦函数的图象的性质,为了使符合条件sinx=a (-1≤a≤1)的角x

有且只有一个,我们选择闭区间作为基本的范围。在这个闭区间上,符合条件sinx= a(-1≤a≤1)的角x,记作arcsina,即x=arcsina,其中x∈

,且a=sinx。

根据余弦函数的图象的性质,为了使符合条件cosx=a(-1≤a≤1)的角x

有且只有一个,我们选择闭区间作为基本的范围。在这个闭区间上,符合

条件cosx=a(-1≤a≤1)的角x,记作arccosa,即x=arccosa,其中x∈,且a=cosx.。

根据正切函数的图象的性质,为了使符合条件tanx=a(a为任意实数)的角x

有且只有一个,我们选择开区间()作为基本的范围。在这个开区间内,符合条件tanx= a(a为任意实数)的角x,记作arctana,即x=arctana,其中

x∈(),且a=tanx。

注意:(1)arcsina、arccosa、arctana都表示一个角,它们的正弦值、余弦值、正切值分别都是a。并且arcsina∈、arccosa∈、arctana

∈()。

(2)arcsina、arccosa中的a∈,而arctana中的a∈R。

8、已知三角函数值时角的表示

三角函数值与角都在某一范围内变化时,三角函数值与角的对应关系如下表:

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