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《泛函分析讲义》（上）读书报告

《泛函分析讲义》(上)读书报告《泛函分析讲义》(上)读书报告泛函分析是一门较新的数学分支，是数学专业研究生两门专业基础课之一，是偏微分方程方向研究生为研究偏微必备的数学知识。

它把具体分析的问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了种种综合运用代数、几何的手段处理分析问题的新方法。

本门课以张恭庆、林源渠编著的《泛函分析讲义》(上)为教材蓝本，由安徽大学数学科学学院教授王良龙主讲，就简避烦，深入浅出，针对数学专业研究生的现实需要所开的一门课。

本册书共四章，分别为度量空间、线性算子与线性泛函、广义函数与索伯耶夫空间、紧算子与Fredholm算子，其中度量空间、线性算子与线性泛函以及线性算子的谱理论是我们掌握的重点。

度量空间又称距离空间，它是一种拓扑空间，其上的拓扑由指定的一个距离决定，这个距离必须满足正定性，对称性和三角不等式性。

引进距离空间的目的是刻画收敛，在收敛的基础上来叙述闭集、基本列和距离空间的完备性。

在这里我要强调度量空间的完备性与紧性，应该说这两种性质是我们解决空间问题绕不开的话题。

完备性是度量空间中重要的性质，并不是每个度量空间都具有完备性。

为了使某些度量空间完备，我们引入完备化这个概念，在不完备的度量空间中添加“理想元素”使之“扩充”为一个完备空间。

度量空间的完备性也是我们经常论证的问题，针对这一点，我们还是要理解完备空间的定义，适当构造基本列，使其成为收敛列。

压缩映像原理为解决常微分方程的初值问题的局部存在性的唯一性提供一种新的方法，在解决此问题的过程中，我们从中完全可以体会到泛函分析的巨大作用，也是我们偏微分方程方向的学生第一次感受到泛函在方程中的应用。

紧性也是度量空间中另一重要性质。

为什么要提出紧性?是因为并不是每个度量空间的任意点列都有收敛子列。

有限维的欧式空间可以做到这一点，但是其他空间却不能推广。

在紧性这一部分我们必须要明白几点：1.列紧、准紧、相对紧的概念等价;2.什么时候子集是准紧，是紧集;3.距离空间中紧的与自列紧的等价关系(他们分别从有限开覆盖与收敛自列的角度描绘了同一种概念，对于我们理解距离空间的紧性有很大的帮助)距离空间只有拓扑结构，对于许多分析问题只考虑拓扑结构不考虑代数结构是不够用的，因为分析中常遇到的函数空间，不但要考查收敛而且要考虑到元素间的代数运算。

泛函分析第二章知识点总结

泛函分析第二章知识点总结
泛函分析知识点总结Baire定理定理（Baire纲定理）完备的距离空间是第二类型集。

解释：完备的距离空间(X,d)(X,d)，∀x∈X∀x∈X都是内点，因为XX在XX中是开集。

一个无处稠密（nowhere dense）的集合就是闭包不含内点的集合不会是整个XX，即XX不是第一类型集，所以只能是第二类型集。

注：完备的距离空间是第二类型集，那么它的闭包至少存在一个内点。

这个经常被用来证明。

例如，开映射定理、闭图像定理等。

闭包和导集的区别根据定义，集合的闭包是集合的导集和集合的并。

导集是集合所有聚点组成的集合，不包含孤立点。

所以闭包是集合导集和孤立点组成的集合。

闭集在度量空间中，如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。

不动点定理压缩映射：设(X,d)(X,d)是距离空间，TT是XX到XX的映射，如果存在一个常数θ(0≤θ<1)θ(0≤θ<1)，对于所有的x,y∈Xx,y∈X，满足下述不等式：d(Tx,Ty)<θd(x,y)d(Tx,Ty)<θd(x,y)则称TT是XX上的一个压缩映射。

不动点定理：设XX是完备的距离空间，TT是XX到XX的压缩映射，则TT在XX上有唯一的不动点x∗x∗.即Tx∗=x∗Tx∗=x∗是方程Tx=xTx=x在XX上的唯一解。

(完整)泛函分析知识总结,推荐文档

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。

应用泛函分析读书报告范文

应用泛函分析读书报告范文泛函分析是现代数学的一个重要分支，是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门分析数学。

无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系统的数学工具。

因此，泛函分析是研究具有无穷多自由度的物理系统的有力工具。

控制科学与工程是一门研究控制的理论、方法、技术及其工程应用的学科。

它是20世纪最重要的科学理论和成就之一，控制科学以控制论、信息论、系统论为基础，研究各领域内独立于具体对象的共性问题，即为了实现某些目标，应该如何描述与分析对象与环境信息，采取何种控制与决策行为。

在《控制论与科学方法论》中谈到，所谓控制，便是研究确定事物发展的可能性空间，并通过一定的人为干预把可能性空间锁定或者缩小到期望的范围。

控制理论的研究对象是系统，所谓的控制是指对系统的控制。

对系统的研究，主要有研究系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性和方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能之间的关系，既是对系统进行分析和综合，以按照期望的性能和方式对系统进行控制。

然而，不管是对系统进行分析还是综合，首要前提就是建立起系统的数学模型，对系统的主要属性进行数学描述，利用适当的数学工具对系统属性间的关系进行定量描述和分析。

随着控制理论的发展，所用的数学工具也随着变化。

可以说，具体学科的发展为数学的发展提供了素材，而数学的发展，也为具体学科的发展提供了更为有力的工具。

控制科学作为具体的工程科学，基本的研究对象是自然界的物理系统。

所谓物理系统的自由度，是指用于完全描述系统行为的一组无关量的个数。

经典的数学分析是与经典力学的成就密切相关的，主要用来描述和分析物质作有限自由度连续运动的各种特性。

在此，主要研究一元函数或多元函数的性态，诸如单调性、连续性、可微性和可积性等，对连续函数建立了各种微积分运算。

数学的抽象把三维立体空间中向量的概念，推广到任意有限维线性空间；同时把力学中简单的坐标变换，推广到一般的线性变换，并且由此引出矩阵对线性变换的表示，以及矩阵的运算等，这些都是线性代数的研究内容。

泛函分析讲义02

泛函分析讲义第二讲：距离空间中的点集关键词：领域、内点、开集、聚点、导集、闭集、闭包；稠密子集、可分的主要内容：介绍距离空间中的开集、闭集定义及其性质；介绍可分空间的定义一、开集与闭集本节将直线上有关点集的基本概念推广到距离空间中去。

定义1. 设0x ),(ρX ∈，0>r ，以0x 为中心，以r 为半径的开球),(0r x S 称为0x 的一个球形邻域，简称为邻域。

设,,G x X G ∈⊂ 若存在x 的一个邻域,),(0G r x S ⊂则称x 是G 的一个内点。

若G 中每一个点都是它的内点，则称G 为开集。

例1．开球都是开集。

证明：设),(0r x S 为开球。

任取),(0r x S x ∈, 即r x x <),(0ρ,令0,(x x r ρε-=),),(εx S y ∈∀, 即ερ<),(y x ,则r r y x x x y x =+-<+≤εερρρ),(),(),(00∴).(),(,0r x S x S ⊂ε 即),(0r x S 为开集.定理1 设),(ρX 为距离空间, 则 (1) 空集φ全空间X 是开集. (2) 任意多个开集之并是开集. (3) 有限个开集之交是开集.证明：设I a a G ∈}{是一族开集，证明 IG ∈αα为开集。

对 IG x ∈∈∀αα，0α∃，使0αG x ∈，由0αG 是开集，则存在x 的一个邻域⊂),(r x S0αG ，从而⊂),(r x S IG ∈αα. ∴ x 是 IG ∈αα的一个内点，从而 IG ∈αα为开集。

(3). 设i G 是开集，n i ,...,2,1=，证明 ni i G 1=是开集。

对∈∀x ni i G 1=，则∈x i G n i ,...,2,1=，由i G 是开集，则存在x 的一个邻域⊂),(i r x S i G ，令},...,,min{21n r r r r =，则从而),(),(i r x S r x S ⊂，n i ,...,2,1=. 从而),(r x S ni i G 1=⊂，所以 ni i G 1=为开集。

泛函分析读书笔记(上)(可编辑修改word版)

第一部分线性代数第一章线性空间第一节线性空间一、基本概念1、定义：数域P ＝复数子集＋四则运算封闭2、定义：线性空间=•+），；；（P V 数域P 上的线性空间V ＝线性空间V ⑴、解释：=V 非空集合⑵、解释：V V V →⨯=+【加法，加法保持封闭】 ⑶、解释：V V P →⨯=•【数乘，数乘保持封闭】 ⑷、解释：=•+），（线性运算【满足8条规则】3、 8条规则加法规则：⑴、交换律：αββα+=+⑵、结合律：)()(γβαγβα++=++⑶、零元素：V ∈∃0，对于V ∈∀α，都有αα=+0⑷、负元素：对于V ∈∀α，V ∈∃β，使得0=+βα【记为：α-】数乘规则：⑸、αα=1⑹、αα)()(kl l k =加法数乘规则：⑺、βαβαk k k +=+)(⑻、αααl k l k +=+)(二、基本性质1、性质⑴、性质：零元素唯一⑵、证明：假设：V ∈∃10，对于V ∈∀α，都有αα=+10 V ∈∃20，对于V ∈∀α，都有αα=+20 对于V ∈∀α，都有⇒=+αα10特别：212000=+对于V ∈∀α，都有⇒=+αα20特别：121000=+12120000+=+【交换律】2100=⇒ ⑶、性质：负元素唯一2、性质⑴、性质：ααα-=-==)1(0000，，k⑵、证明：ααααααα==+=+=+1)10(100【规则5＋规则8】 )()(]0[0αααααααα-+=-++⇒=+⇒αααααααα000)]([0)(]0[=+=-++=-++⇒【结合律】0)(=-+αα【负元素的定义】00=⇒α第二节线性无关一、基本概念1、概念：线性组合（线性表出）如果：r r k k k αααα+++=Λ2211则称：向量α是向量组r ααα，，，Λ21的一个线性组合或称：向量α可由向量组r ααα，，，Λ21线性表出2、概念：线性相关如果：存在不全为0的P k k k r ∈，，，Λ21 使得：02211=+++r r k k k αααΛ则称：向量组r ααα，，，Λ21线性相关3、概念：线性无关如果：不存在不全为0的P k k k r ∈，，，Λ21 使得：02211=+++r r k k k αααΛ则称：向量组r ααα，，，Λ21线性无关 4、关键：00212211====⇒=+++r r r k k k k k k ΛΛααα二、基本性质1、性质⑴、性质：向量组r ααα，，，Λ21线性相关 ⇔其中某一向量可由其余向量线性表出 ⑵、证明：必要性：r r r r k kk k k k k αααααα)()(0121212211-++-=⇒=+++ΛΛ 充分性：0)()(221221=-++-+⇒++=r r r r k k k k ααααααΛΛ2、性质⑴、性质：如果：向量组r ααα，，，Λ21线性无关并且：可由向量组s βββ，，，Λ21线性表出则有：s r ≤⑵、证明：∑∑===⇒=⇒+++=sj j ji i sj j j s s t tt t t 111112211111βαβαβββαΛ∑∑∑∑∑=======⇒=+++s j ri j ji i ri sj j jiiri iir r t k tk k k k k 111112211][][0ββααααΛ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒=+++=+++=+++⇒000221122222111122111sr r s s rr r r t k t k t k t k t k t k t k t k t k ΛΛΛΛs 个方程，r 个未知数⇒如果s r >，则方程存在非零解r k k k ，，，Λ21 ⇒向量组r ααα，，，Λ21线性相关⇒矛盾3、等价⑴、概念：两个向量组等价【互相线性表出】⑵、性质：两个等价的线性无关向量组，必定含有相同数目的向量⑶、证明：假设：向量组r ααα，，，Λ21线性无关向量组s βββ，，，Λ21线性无关4、性质⑴、性质：如果：向量组r ααα，，，Λ21线性无关并且：向量组βααα，，，，r Λ21线性相关那么：β可由向量组r ααα，，，Λ21线性表出，并且表法唯一 ⑵、证明：向量组βααα，，，，r Λ21线性相关 ⇒存在不全为0的P k k k k r ∈β，，，，Λ21 使得：02211=++++βαααβk k k k r r Λr r k kk k k k k αααβββββ)()()(02221-++-+-=⇒≠⇒Λ 假设：r r k k k αααβ+++=Λ2211r r l l l αααβ+++=Λ22110)()()(222111=-++-+-⇒r r r l k l k l k αααΛ⇒===⇒r r l k l k l k ，，，Λ2211表法唯一第三节维数、基和坐标1、定义：n 维线性空间V ：恰好存在n 个线性无关的向量2、定义：n 维线性空间V 的一组基：n 个线性无关的向量n εεε，，，Λ213、定义：坐标：对于V ∈∀α，向量组n εεε，，，Λ21线性无关向量组n a εεε，，，，Λ21线性相关【否则1+n 维】 n n a a a εεεα+++=⇒Λ2211⇒坐标)(21n a a a ，，，Λ=4、定理⑴、定理：如果：向量组n ααα，，，Λ21线性无关并且：线性空间V 中的任意向量，均可由它们线性表出那么：V 的维数n =，并且n ααα，，，Λ21是V 的一组基 ⑵、证明：假设：V 的维数1+=n⇒121+n βββ，，，Λ线性无关，可由向量组n ααα，，，Λ21线性表出 ⇒n n ≤+1⇒矛盾第四节极大线性无关组1、定义：极大线性无关组：一个向量组的一部分组称为极大线性无关组如果：该部分组线性无关并且：添加任一向量均线性相关2、性质⑴、性质：极大线性无关组与向量组本身等价⑵、证明：假设：向量组r k αααα，，，，，ΛΛ21= 极大线性无关组k ααα，，，Λ21= k ααα，，，Λ21⇒可由r k αααα，，，，，ΛΛ21线性表出对于}{21r k ααααβ，，，，，ΛΛ∈∀ βααα，，，，k Λ21⇒线性相关【否则与极大线性无关组矛盾】 β⇒可由k ααα，，，Λ21线性表出3、性质⑴、性质：向量组的极大线性无关组，含有相同个数的向量 ⑵、证明：向量组与极大线性无关组1等价向量组与极大线性无关组2等价⇒极大线性无关组1与极大线性无关组2等价【等价的传递性】第五节线性子空间1、定义：），；；（•+P W 是线性空间），；；（•+P V 的一个子空间＝W 是数域P 上的线性空间V 的一个子空间＝W 是线性空间V 的一个子空间如果：⑴、V W =的非空子集⑵、两种运算封闭：W W W ∈+∈∀∈∀βαβα，， W k W P k ∈∈∀∈∀αα，，2、 )(21r L ααα，，，Λ ⑴、性质：如果：∈r ααα，，，Λ21线性空间V 那么：所有可能的线性组合r r k k k ααα+++Λ2211构成V 的一个子空间称为：由r ααα，，，Λ21生成的子空间记为：)(21r L ααα，，，Λ ⑵、证明：非空子集＋两种运算封闭3、性质⑴、性质：)()(2121s r L L βββααα，，，，，，ΛΛ= ⇔向量组r ααα，，，Λ21与向量组s βββ，，，Λ21等价⑵、证明：①：充分性：∑==+++=⇒∈∀ri ii r r r k k k k L 1221121)(αααααααααΛΛ，，，∑∑===⇒=+++=sj j ji i s j j j s s i t t t t t 1111221111βαββββαΛ∑∑∑∑∑========⇒s j ri j ji i r i sj j jiir i ii t k tk k 11111][][ββαα)()()(212121s r s L L L βββαααβββα，，，，，，，，，ΛΛΛ⊂⇒∈⇒ ②：必要性：)()(2121s i r i L L βββααααα，，，，，，ΛΛ∈⇒∈ i α⇒可由向量组s βββ，，，Λ21线性表出4、性质⑴、性质：如果：W 是n 维线性空间V 的一个m 维子空间并且：m ααα，，，Λ21是W 的一组基那么：m ααα，，，Λ21可以扩充为线性空间V 的一组基 ⑵、证明：V ∈∃β，使得βααα，，，，m Λ21线性无关反证法：βαααβ，，，，，m V Λ21∈∀线性相关 β∀⇒可由m ααα，，，Λ21线性表出 ⇒线性空间V 的维数⇒=m 矛盾第六节子空间的交与和1、定义：}|{22112121V V V V ∈∈+=+αααα，2、性质⑴、性质：如果：21V V ，是线性空间V 的两个子空间那么：21V V I 也是线性空间V 的子空间 ⑵、证明：=21V V I 非空子集【至少都包含零元素】 2121V V V V ∈∈⇒∈∀ααα，I 2121V V V V ∈∈⇒∈∀βββ，I2121V V V V I ∈+⇒∈+∈+⇒βαβαβα，3、性质⑴、性质：如果：21V V ，是线性空间V 的两个子空间那么：21V V +也是线性空间V 的子空间 ⑵、证明：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀αααααα，， 22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀ββββββ，， 222111V V ∈+∈+⇒βαβα，2122112121)()()()(V V +∈+++=+++=+⇒βαβαββααβα4、维数公式⑴、公式：维+1V 维=2V 维+)(21V V I 维)(21V V +⑵、证明：假设：m αα，，Λ1是21V V I 的一组基 111n m ββαα，，，，，ΛΛ是1V 的一组基 211n m γγαα，，，，，ΛΛ是2V 的一组基证明：21111n n m γγββαα，，，，，，，，ΛΛΛ是21V V +的一组基①、线性无关：022********=++++++++n n n n m m q q p p k k γγββααΛΛΛ2211111111n n n n m m q q p p k k γγββααα---=+++++=ΛΛΛm m l l V V V V αααααα++=⇒∈⇒∈-∈⇒ΛI 112121， m m n n m m l l p p k k ααββαα++=+++++ΛΛΛ11111111 01111====⇒n m m p p l k l k ，，m m n n l l q q ααγγ++=++ΛΛ11221100211=====⇒n m q q l l ，Λ②、21V V +∈∀α，均可由21111n n m γγββαα，，，，，，，，ΛΛΛ线性表出第七节子空间的直和1、直和⑴、定义：=+21V V 直和⇔任何元素的分解式唯一⑵、分析：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀αααααα，，唯一2、性质⑴、性质：=+21V V 直和⇔零元素的分解式唯一⑵、证明：充分性：假设：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈αααααα，，221121V V ∈∈+=ββββα，，)()()()(022112121βαβαββαα-+-=+-+=⇒ 2211βαβα==⇒，3、性质⑴、性质：=+21V V 直和}0{21=⇔V V I⑵、证明：充分性：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀αααααα，，2211210V V ∈∈+=⇒αααα，，1221221121V V V V ∈∈∈∈⇒-=⇒αααααα，，， 021212211==⇒∈∈⇒ααααV V V V I I ，必要性：212121V V V V V V ∈-∈⇒∈∈⇒∈∀ααααα，，I 00)(=⇒=-+ααα4、性质⑴、引理：⇔=}0{V 维0=V⑵、证明：必要性：向量0线性相关⇒不存在线性相关的向量组充分性：假设：线性空间V 至少包括一个非零向量α ⇒≠⇒0α向量α线性无关α⇒可以扩充为线性空间V 的一组基⇒维1≥V ⇒矛盾⑶、性质：=+21V V 直和⇔维+1V 维=2V 维)(21V V +第八节线性空间的同构1、定义：同构如果：=W V ，线性空间并且：存在W V →的双射σ【双射＝一一映射＝满射＋单射】并且：σ满足两条性质：①)()()(βσασβασ+=+②)()(ασασk k = 则称：V 和W 同构，=σ同构映射2、基本性质⑴、性质：数域P 上的n 维线性空间V 与n P 同构⑵、证明：①、=•+)(，，；P P n线性空间【两种运算封闭＋满足8条性质】 n n n n P b b b P a a a ∈=∀∈=∀)()(2121，，，，，，，ΛΛβα )(2211n n b a b a b a +++=+⇒，，，Λβα n n P a a a P k ∈=∀∈∀)(21，，，，Λα)(21n ka ka ka k ，，，Λ=•⇒α ②、构造nP V →的双射σ【向量到坐标的双射】假设：V n =εεε，，，Λ21的一组基 )()(212211n n n a a a a a a V ，，，ΛΛ=⇒++=⇒∈∀ασεεεαα ③、σ满足两条性质)()(212211n n n a a a a a a V ，，，ΛΛ=⇒++=⇒∈∀ασεεεαα )()(212211n n n b b b b b b V ，，，ΛΛ=⇒++=⇒∈∀βσεεεββn n n b a b a b a εεεβα)()()(222111+++++=+⇒Λ)()()()(2211βσασβασ+=++++=+⇒n n b a b a b a ，，，Λ3、性质群1⑴、性质：)()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ΛΛ ⑵、证明：σ的两条性质⑶、性质：r ααα，，，Λ21线性无关)()()(21r ασασασ，，，Λ⇔线性无关 ⑷、证明：必要性：假设：0)()()(2211=+++r r k k k ασασασΛ0)(2211=+++⇒r r k k k ααασΛ由于0)0(=σ，并且=σ双射00212211====⇒=+++⇒r r r k k k k k k ΛΛααα⑸、性质：r ααα，，，Λ21线性相关)()()(21r ασασασ，，，Λ⇔线性相关 ⑹、证明：反证法⑺、性质：同构的线性空间同维⑻、证明：假设：线性空间V 和W 同构，并且维n V =)(，维m W =)(维⇒=n V )(存在n 个线性无关的向量组V n ∈ααα，，，Λ21 ⇒存在n 个线性无关的向量组W n ∈)()()(21ασασασ，，，Λ ⇒维n m W ≥=)( 同理：n m n m =⇒≤4、性质群2⑴、性质：如果：1V 是线性空间V 的一个子空间那么：}|)({)(11V V ∈=αασσ是线性空间)(V σ的子空间 ⑵、证明：①、=1V 非空子集=⇒)(1V σ非空子集②、两种运算封闭假设：111*)()(*)(*V V ∈=⇒=⇒∈∀-αασασασα【双射】 111*)()(*)(*V V ∈=⇒=⇒∈∀-ββσβσβσβ111*)(*)(V ∈+⇒--βσασ【运算封闭】)(*)](*)([111V σβσασσ∈+⇒--【定义】【σ的两条性质】***)]([*)]([*)](*)([1111βαβσσασσβσασσ+=+=+----)(**1V σβα∈+⇒⑶、性质：=-στσ、1同构映射 ⑷、证明：①、=-1σ双射②、1-σ的两条性质)]([)]([)]([111βσσασσβασσβαβα---+=+⇒+=+ )]()([)]([111βσασσβασσ---+=+⇒【σ的两条性质】)()()(111βσασβασ---+=+⇒第二章欧几里得空间第一节实线性空间1、定义：实线性空间)(•+=，；；R R n⑴、两种运算：①、向量加法n n n n R b b b R a a a ∈=∀∈=∀)()(2121，，，，，，，ΛΛβα)(2211n n b a b a b a +++=+⇒，，，Λβα ②、向量数乘n n R a a a R k ∈=∀∈∀)(21，，，，Λα)(21n ka ka ka k ，，，Λ=•⇒α ⑵、两种运算封闭＋满足8条性质第二节欧几里得空间一、基本概念1、定义：内积==)(βα，内积的4条性质 ⑴、交换：)()(αββα，，= ⑵、数乘：)()(βαβα，，k k =⑶、分解：)()()(γβγαγβα，，，+=+ ⑷、正定：0)(≥αα，，00)(=⇔=ααα，2、欧几里得空间【欧氏空间】⑴、定义：欧几里得空间+•+=)(，；；R V 内积⑵、分析：未确定因素；③，；②①•+V 内积⑶、典例：=nE 实线性空间+•+)(，；；R R n内积 ⑷、分析：①、nR V =；②、=•+，向量加法＋向量数乘；③、内积：n n n n R b b b R a a a ∈=∀∈=∀)()(2121，，，，，，，ΛΛβα n n b a b a b a +++=⇒Λ2211)(βα，【满足内积的4条性质】3、基本概念⑴、概念：向量长度)(||ααα，== ⑵、概念：单位向量||αα=⑶、概念：向量距离)(||)(βαβαβαβα--=-==，，d ⑷、概念：夹角||||)(cos 1βαβαβα，，->==<二、柯西不等式1、基本公式⑴、公式：|||||)(|βαβα≤，⑵、证明：①0)(0||0==⇒=βαββ，， ②⇒≠0β令βαγt +=022≥++=++=⇒），（），（），（），（），（βββαααβαβαγγt t t t04]2[2≤-=∆⇒），）（，（），（ββααβα【开口向上＋单根或者无根】），）（，（），（ββααβα≤⇒2][③等号成立条件：βαβαγγγt t -=⇒=+⇒=⇒=000），（），（），（βββα-=-=a b t 2【单根】 βαββββαα、），（），（⇒=⇒线性相关2、推论⑴、推论：||||||βαβα+≤+⑵、证明：），（），（），（），（βββαααβαβα++=++2 222|]||[|||||||2||βαββαα+=++≤⑶、推论：||||||γββαγα-+-≤-⑷、证明：令γαβαγβββαα-=+⇒-=-=，【代入上式】第三节标准正交基1、基本概念⑴、定义：两个向量正交【如果0)(=βα，，则称βα、正交，记为βα⊥】⑵、性质：n 维欧几里得空间V 的内积∑∑====n j ni jiji b a 11)()(εεβα，，⑶、证明：假设：V n =εεε，，，Λ21的一组基 n n a a a V εεεαα+++=⇒∈∀Λ2211n n b b b V εεεββ+++=⇒∈∀Λ22112、基本概念⑴、定义：正交向量组＝两两正交的非零向量组⎩⎨⎧≠==≠==ji ji j i 00)(αα，⑵、定义：正交基＝正交向量组＋基⑶、定义：标准正交基＝正交基＋单位向量3、基本性质⑴、性质：正交向量组线性无关⑵、证明：假设：=r ααα，，，Λ21正交向量组 02211=+++++⇒r r i i k k k k ααααΛΛ0)()(2211==+++++⇒i i i i r r i i k k k k k ααααααα，，ΛΛ 0=⇒i k4、定理⑴、定理：任何一个正交向量组，可以扩充为一组正交基⑵、证明：①假设：=m ααα，，，Λ21线性空间V 的正交向量组 V ∈∃β，使得βααα，，，，m Λ21线性无关否则：βαααβ，，，，，m V Λ21∈∀线性相关 β∀⇒可由m ααα，，，Λ21线性表出 ⇒维V ⇒=m 矛盾 ②∑=+-=mj jj m k 11αβαm i k i mj j j i m ，，，，，，Λ21)()(11=-=⇒∑=+ααβαα0))1=-=-=∑=），（，（），（，（i i i i i mj j j i k k αααβαααβ），（，（i i i i k αααβ)=⇒5、定理⑴、定理：如果：V n =εεε，，，Λ21的一组基那么：可以找到一组标准正交基n ηηη，，，Λ21 并且：)()(2121n n L L ηηηεεε，，，，，，ΛΛ= ⑵、证明：①||111εεη=②假设：已经找到一组单位正交向量m ηηη，，，Λ21 使得：)()(2121m m L L ηηηεεε，，，，，，ΛΛ= ∑=+++-=⇒mj j j m m m 1111)(ηηεεγ，m i i mj j j m m i m ，，，，，，，Λ21))(()(1111=-=⇒∑=+++ηηηεεηγ))(()())(()(11111i i i m i m i mj j j m i m ηηηεηεηηηεηε，，，，，，++=++-=-=∑0))(()(11=-=++i i i m i m ηηηεηε，，， ||111+++=⇒m m m γγη ③∑=++++-=nj j j m m m m 11111)(||ηηεεγη，1+⇒m η可由121+m εεε，，，Λ线性表出 1+m ε可由121+m ηηη，，，Λ线性表出121+⇒m εεε，，，Λ与121+m ηηη，，，Λ等价 )()(121121++=⇒m m L L ηηηεεε，，，，，，ΛΛ第四节正交补1、基本概念⑴、定义：V ⊥α：如果V ∈∀β，都有0)(=βα，则称V 、α正交，记为V ⊥α⑵、定义：W V ⊥：如果W V ∈∀∈∀βα，，都有0)(=βα，则称W V 、正交，记为W V ⊥⑶、定义：正交补：假设：=21V V ，线性空间V 的两个子空间如果：V V V V V =+⊥2121，则称：12V V =的正交补，记为：⊥=12V V2、性质⑴、性质：如果：s V V V ，，，Λ21两两正交那么：=+++s V V V Λ21直和 ⑵、证明：假设：i i s V ∈+++=αααα，Λ21000)(0)(21=⇒=⇒=+++⇒i i i i s ααααααα，，Λ3、性质⑴、性质：任何子空间的正交补，存在并且唯一⑵、证明：假设：=1V 线性空间V 的一个子空间，⊥=12V V ①、V V V =⇒=21}0{②、1211}0{V V m =⇒≠εεε，，，Λ的一组正交基 ⇒可以扩充为=n m εεε，，，，ΛΛ1V 的一组正交基 )(12n m L V εε，，Λ+=⇒⊥=⇒12V V 【证明集合相等】【根据定义证明正交】③、假设：21V V ⊥，并且V V V =+2131V V ⊥，并且V V V =+313311312222V V V V ∈∈+=⇒∈∀⇒∈∀ααααααα，，00((111131112=⇒=⇒+=⇒ααααααααα），），（），），（ 32323323V V V V ⊂⇒∈⇒∈=⇒αααα，同理可证：3223V V V V =⇒⊂第三章线性变换一、线性变换的定义1、定义：线性变换假设：=T 线性空间），；；（•+P V 的一个变换如果：T 满足两个条件⑴、V T T T ∈∀+=+βαβαβα，，)()()( ⑵、V P k kT k T ∈∀∈∀=ααα，，)()(则称：=T 线性变换2、等价条件⑴、性质：T 的两个条件等价于V P k k T k T k k k T ∈∀∈∀+=+βαβαβα，，，，212121)()()(⑵、证明：①必要性：)()()()()(212121βαβαβαT k T k k T k T k k T +=+=+②充分性：)()()(121βαβαT T T k k +=+⇒==)()(021ααkT k T k k k =⇒==，二、线性变换的运算1、线性变换的乘积⑴、定义：V T T T T ∈=ααα，))(())((2121 ⑵、性质：线性变换的乘积，仍是线性变换⑶、证明：①))(())(())((2212121βαβαβα（）T T T T T T T +=+=+))(())(())(())((21212121βαβαT T T T T T T T +=+=②）））ααααα)(()(()(())(())((2121212121T T k T kT kT T k T T k T T ====2、线性变换的加法⑴、定义：V T T T T ∈+=+αααα，)()())((2121 ⑵、性质：线性变换的加法，仍是线性变换 ⑶、证明：同上类似三、线性变换的矩阵1、定理：⑴、定理：如果：=V 数域P 上的n 维线性空间），；；（•+=P V V n =εεε，，，Λ21的一组基 =n a a a ，，，Λ21任意一组向量那么：存在唯一的一个线性变换T使得：n i a T i i ，，，，Λ21==ε ⑵、证明：存在性和唯一性2、唯一性⑴、性质：如果：n i T T i i ，，，，Λ2121==εε 那么：21T T =⑵、证明：n n x x x x V x εεε+++=⇒∈∀Λ2211n n n n T x T x T x x x x T x T εεεεεε1212111221111)(+++=+++=⇒ΛΛ x T x x x T T x T x T x n n n n 2221122222121)(=+++=+++=εεεεεεΛΛ3、存在性⑴、性质：如果：=V 数域P 上的n 维线性空间），；；（•+=P V V n =εεε，，，Λ21的一组基=n a a a ，，，Λ21任意一组向量那么：存在一个线性变换T使得：n i a T i i ，，，，Λ21==ε⑵、证明：①变换T ：∑==+++=⇒∈∀ni ii n n x x x x x V x 12211εεεεΛ∑==+++=⇒ni ii n n ax a x a x a x Tx 12211Λ②线性变换T ：假设：∑∑===⇒∈∀=⇒∈∀ni ii ni i i z z V z y y V y 11εε，∑∑===+=+⇒ni i i ni i i iky ky z yz y 11)(εε，Tz Ty a z a y a z yz y T ni i i n i i i ni i i i+=+=+=+⇒∑∑∑===111)()(kTy a y k aky ky T ni i i ni ii ===⇒∑∑==11)(③证明i i a T =ε：n i i εεεεε010021+++++=ΛΛi n i a a a a a T =+++++=⇒0100221ΛΛε4、定义：如果：=V 数域P 上的n 维线性空间），；；（•+=P V V n =εεε，，，Λ21的一组基 V T =的一个线性变换那么：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=⇒nnn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛ22112222112212211111 )()(2121222211121121n nn n n n n n T T T a a a a a a a a a εεεεεε，，，，，，ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇒ )()(2121n n T T T A εεεεεε，，，，，，ΛΛ=⇒ 则称：=A 线性变换T 在n εεε，，，Λ21下的矩阵⑵、性质：如果：取定一组基并且：=ϕ线性变换n n T ⨯→矩阵的一个映射那么：=ϕ双射⑶、证明：①单射：假设：2211)()(A T A T ==ϕϕ，212121T T T T A A i i =⇒=⇒=εε【唯一性】②满射：i i ni i i i a T a a a a A =⇒=⇒ε)(21，，，Λ【存在性】5、定理⑴、线性变换的加法，对应于矩阵的加法⑵、线性变换的乘积，对应于矩阵的乘积⑶、线性变换的数乘，对应于矩阵的数乘⑷、线性变换的逆，对应于矩阵的逆第二部分泛函分析第一章度量空间第一节度量空间一、度量空间1、符号约定：），；；（），；；（•+⇒•+F R P V2、定义：距离ρρ==），（y x 的两条性质⑴、正定：R y x y x y x y x ∈∀=⇔=≥，；），（，），（00ρρ⑵、三角不等式：R z y x z y z x y x ∈∀+≤，，）；，（），（），（ρρρ3、定义：度量空间)ρ，（R =【距离空间】⑴、解释：=R 非空集合⑵、解释：=ρ距离【满足ρ的两条性质】4、对称性⑴、性质：），（），（x y y x ρρ= ⑵、证明：），（），（），（z y z x y x ρρρ+≤），（），（），（），（），（x y y x x y x x y x ρρρρρ≤⇒+≤⇒同理可证：），（），（），（），（x y y x y x x y ρρρρ=⇒≤二、基本概念1、子空间⑴、性质：度量空间的任何子空间，仍是度量空间⑵、证明：假设：=)ρ，（R 度量空间， =)ρ，（M 度量空间的子空间证明：=M 非空子集，ρ的两条性质仍然满足2、一致离散：如果：0>∃α使得：y x R y x ≠∈∀，，；都有：αρ>），（y x则称：=R 一致离散的度量空间3、等距映射和等距同构⑴、定义：等距映射：假设：=))11ρρ，，（，（R R 度量空间；1R R →=ϕ的映射如果：），（），（y x y x ϕϕρρ1= 则称：1R R →=ϕ的等距映射⑵、性质：1R R →=ϕ的等距映射1R R →=⇒ϕ的单射⑶、证明：y x y x y x y x ϕϕϕϕρρ≠⇒≠⇒≠⇒≠001），（），（⑷、定义：等距同构：假设：1R R →=ϕ的等距映射如果：1)(R R =ϕ则称：=))11ρρ，，（，（R R 等距同构【双射】 ⑸、性质：11)(R R R R →=⇒=ϕϕ的满射三、极限1、极限⑴、定义：假设：=R 度量空间，R x n x n ∈=，，，)21(Λ 如果：0)(lim =∞→x x n n ，ρ则称：点列}{n x 按距离收敛于x记为：x x n →【x x n n =∞→lim 】并称：=}{n x 收敛点列，}{n x x =的极限⑵、归纳：0)(lim lim =⇔=⇔→∞→∞→x x x x x x n n n n n ，ρ2、性质⑴、性质：收敛点列的极限唯一⑵、证明：假设：0)(lim =⇒→∞→x x x x n n n ，ρ 0)(lim =⇒→∞→y x y x n n n ，ρ )()()(0y x x x y x n n ，，，ρρρ+≤≤⇒【三角不等式】0)]()([lim )(0=+≤≤⇒∞→y x x x y x n n n ，，，ρρρ【夹逼原则】 y x y x =⇒=⇒0)(，ρ3、性质⑴、性质：如果：00y y x x n n →→，那么：)()(lim 00y x y x n n n ，，ρρ=∞→【y x y x ，，=)(ρ的连续函数】 ⑵、证明：0)(lim 00=⇒→∞→x x x x n n n ，ρ 0)(lim 00=⇒→∞→y y y y n n n ，ρ )()()()(0000n n n n y y y x x x y x ，，，，ρρρρ++≤)()()()(0000y y x x y x y x n n n n ，，，，ρρρρ+≤-⇒)()()()(0000y y y x x x y x n n n n ，，，，ρρρρ++≤)()()()(0000y y x x y x y x n n n n ，，，，ρρρρ+≤-⇒)()(|)()(|00000y y x x y x y x n n n n ，，，，ρρρρ+≤-≤⇒0)]()([lim |)()(|lim 00000=+≤-≤⇒∞→∞→y y x x y x y x n n n n n n ，，，，ρρρρ )()(lim 00y x y x n n n ，，ρρ=⇒∞→4、定义：开球})(|{)(00R x r x x x r x O ∈<==，，，ρ其中：=R 度量空间，R x ∈0，+∞<<r 0【=r 有限正数】5、定义：有界集：假设：=R 度量空间，R M =中的点集如果：M 包含在某个开球)(0r x O ，中则称：R M =中的有界集6、性质⑴、性质：如果=}{n x 收敛点列，那么=}{n x 有界集⑵、证明：=}{n x 收敛点列0lim x x n n =⇒∞→ 0>∃⇒N ，使得当N n >时，都有1)(0<x x n ，ρ1)1)()(m ax (001+=⇒，，，，，x x x x r N ρρΛ }{n x ⇒包含在开球)(0r x O ，中四、常见的度量空间1、欧氏空间nE =，其中：)()(y x y x y x --=，，ρ【内积】2、函数空间==][b a C ，区间][b a ，上的连续函数的全体其中：|)()(|max )(][t y t x y x b a t -=∈，，ρ第二节范数一、范数1、定义：R 上的实值函数)(x P 的4个条件【范数的4个条件】⑴、正定1：R x x P ∈∀≥，0)(⑵、齐次性：R x F x P x P ∈∀∈∀=，，ααα)(||)(⑶、三角不等式：R y x y P x P y x P ∈∀+≤+，，)()()(⑷、正定2：00)(=⇔=x x P2、定义：范数：假设：=•+），；；（F R 实数域F 上的线性空间如果：R 上的实值函数)(x P 满足范数的4个条件则称：x x P =)(的范数记为：x x =||||的范数【)(||||x P x =】并称：=R 赋范线性空间【赋范空间】3、性质⑴、定义：半范数：如果满足范数的前3个条件⑵、性质：范数的第4个条件可以简化为：00)(=⇒=x x P⑶、证明：0)0(0)(|0|)0()0(00=⇒===⇒=P x P x P P x4、典例：函数空间][b a C ，⑴、性质：如果：][|)(|max ||||][b a C f x f f b a x ，，，∈∀=∈ 那么：=][b a C ，赋范线性空间⑵、证明：①=][b a C ，线性空间），；；（•+F R 定义：=+向量加法，=•向量数乘⇒两种运算封闭＋满足8个条件②范数的4个条件正定1：0|)(|max ||||][≥=∈x f f b a x ，齐次性：||||*|||)(|max |||)(|max ||||][][f x f x f f b a x b a x αααα===∈∈，，三角不等式：|)()(|max ||||][x g x f g f b a x +=+∈， |||||||||)(|max |)(|max ][][g f x g x f b a x b a x +=+≤∈∈，，正定2：0)(0|)(|max 0||||][=⇒=⇒=∈x f x f f b a x ，5、典例：n 维向量空间n R⑴、范数1：n n ni i R x x x x x x x x x ∈=∀===∑=)()(||||||2112，，，，，Λ ⑵、范数2：∑==n i ix x 1|||||| ⑶、范数3：||max ||||1i ni x x ≤≤=二、范数和距离1、性质⑴、性质：利用范数可以定义距离：||||)(y x y x -=，ρ⑵、证明：距离的两个条件①正定：0||||)(≥-=y x y x ，ρy x y x y x =⇔=-⇔=0||||0)(，ρ②三角不等式：||||||||||||y x y x +≤+y x y x y z y z x x -=+⇒-=-=，||||||||||||||||||||z y z x y z z x y x -+-=-+-≤-⇒)()()(z y z x y x ，，，ρρρ+≤⇒⑶、归纳：赋范线性空间＋利用范数定义距离⇒度量空间【线性空间＋范数＋距离】2、极限⑴、定义：假设：=R 赋范线性空间，R x n x n ∈=，，，)21(Λ 如果：0||||lim =-∞→x x n n 则称：点列}{n x 按范数收敛于x记为：x x n →【x x n n =∞→lim 】 ⑵、归纳：0||||lim lim =-⇔=⇔→∞→∞→x x x x x x n n n n n3、性质⑴、性质：如果0x x n →，那么||||||||lim 0x x n n =∞→【x x =||||的连续函数】 ⑵、证明：0||||lim 00=-⇒→∞→x x x x n n n ||||||||||||||||||||||||0000x x x x x x x x n n n n -≤-⇒+-≤||||||||||||||||||||||||0000x x x x x x x x n n n n -≤-⇒+-≤||||||||||||||000x x x x n n -≤-≤⇒0||||lim |||]||||[|||lim 000=-≤-≤⇒∞→∞→x x x x n n n n ||||||||lim 0||]||||[||lim 0||||||||||lim 000x x x x x x n n n n n n =⇒=-⇒=-⇒∞→∞→∞→4、性质⑴、性质：利用范数定义距离，必然满足两个条件①、)0()(，，y x y x -=ρρ②、)0(||)0(，，x x ρααρ=⑵、证明：①、||||)(y x y x -=，ρ||||||0||)0(y x y x y x -=--=-，ρ②、||||*||||||||0||)0(x x x x ααααρ==-=，||||*||||0||*||)0(||x x x ααρα=-=，5、性质⑴、性质：如果：)(y x ，ρ满足两个条件那么：可以利用距离定义范数：)0(||||，x x ρ=⑵、证明：范数的4个性质①正定1：0)0(||||≥=，x x ρ②齐次性：||||*||)0(||)0(||||x x x x αρααρα===，，③三角不等式：），（），（），（z y z x y x ρρρ+≤ ），（），（），（），（），（），（00000y x y x y x y x ρρρρρρ+≤-⇒+≤⇒ ），（），（），（00|1|0y y y ρρρ=-=- ），（），（），（），（），（），（000000y x y x y x y x ρρρρρρ+≤+⇒-+≤-⇒ ||||||||||||y x y x +≤+⇒④正定2：00)0(0||||=⇒=⇒=x x x ，ρ6、定理⑴、利用范数，可以定义距离⑵、利用函数，可以定义距离＋满足两个条件⑶、利用距离＋满足两个条件，可以定义范数⑷、利用距离，不一定可以定义范数【反例】第二章有界线性算子第一节度量空间中的点集1、基本概念⑴、概念：0x 的-ε环境})(|{)(00R x x x x x O ∈<==，，，ερε⑵、概念：A x =0的内点：如果存在0x 的一个-ε环境A x O ⊂=)(0ε，⑶、概念：=A 开集：如果A 的每一个点都是内点⑷、概念：0x 的环境==)(0x O 包含0x 的开集2、基本性质⑴、性质：)(00ε，x O x ∈，)(00ε，x O x =的内点【ερ<=0)(00x x ，】【2*εε=】⑵、性质：)(00x O x ∈，)(00x O x =的内点【定义】3、重要性质⑴、性质：=)(0ε，x O 开集⑵、证明：ερε<⇒∈∀)()(00x z x O z ，，)(*0)(000x z x z ，，ρεερε-<<⇒-<⇒*)(*)(ερε<⇒∈∀z x z O x ，， ερερρρ<+<+≤⇒)(*)()()(000z x z x z x x x ，，，，)(*)()(00εεε，，，x O z O x O x ⊂⇒∈⇒)(0ε，x O z =⇒的内点=⇒)(0ε，x O 开集4、重要性质⑴、性质：0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O =，都是0x 的环境⑵、意义：-ε环境=环境的特殊情况⑶、证明：=∈)()(000εε，，，x O x O x 开集⑷、性质：A x =0的内点⇔存在0x 的一个环境A x O ⊂=)(0⑸、意义：利用环境定义内点⑹、证明：①：A x =0的内点⇒存在0x 的一个-ε环境A x O ⊂=)(0ε，⇒存在0x 的一个环境A x O ⊂=)(0②：存在0x 的一个环境A x O ⊂=)(0)(00x O x =⇒的内点⇒存在0x 的一个-ε环境)()(00x O x O ⊂=ε，⇒存在0x 的一个-ε环境A x O ⊂=)(0ε，A x =⇒0的内点5、定理⑴、定理：⇔→0x x n对于0x 的任何环境)(0x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0x O x n ∈⑵、意义：利用环境定义收敛点列⑶、证明：①：任取0x 的一个环境)(0x O =)(00x O x =⇒的内点⇒存在0x 的一个-ε环境)()(00x O x O ⊂=ε，⇒→0x x n 对于0>ε，存在0>N ，当N n >时，ερ<)(0x x n ，)()(00x O x x O x n n ∈⇒∈⇒ε，②：对于0x 的任何环境)(0x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0x O x n ∈⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈00)(x x x x n n →⇒<⇒ερ，⑷、推论：⇔→0x x n对于0x 的任何-ε环境)(0ε，x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈ ⑸、意义：利用-ε环境定义收敛点列第二节连续映射1、函数)(x f 在0x 点连续⑴、传统描述：对于00>∃>∀δε，，当δ<-||0x x 时，ε<-|)()(|0x f x f⑵、环境描述：对于)(0x f 的任何-ε环境))((0ε，x f O =存在0x 的一个-δ环境)(0δ，x O =当)(0δ，x O x ∈时，))(()(0ε，x f O x f ∈2、映射f 在0x 点连续【双重扩展】⑴、定义：假设：=Y X ，度量空间，X D =的一个子空间，Y D f →=的映射如果：对于)(0x f 的任何环境Y x f O ⊂=))((0存在0x 的一个环境D x O ⊂=)(0当)(0x O x ∈时，))(()(0x f O x f ∈则称：映射f 在0x 点连续⑵、定义：如果：映射f 在D 上的每一点都连续则称：D f =上的连续映射3、等价定理⑴、定理：①：映射f 在0x 点连续②：对于)(0x f 的任何-ε环境))((0ε，x f O =存在0x 的一个-δ环境)(0δ，x O =当)(0δ，x O x ∈时，))(()(0ε，x f O x f ∈③：)()(00x f x f x x n n →⇒→⑵、证明：①⇒②映射f 在0x 点连续⇒对于)(0x f 的任何环境))((0x f O =存在0x 的一个环境)(0x O =当)(0x O x ∈时，))(()(0x f O x f ∈【定义】⇒对于)(0x f 的任何-ε环境))((0ε，x f O =存在0x 的一个环境)(0x O =当)(0x O x ∈时，))(()(0ε，x f O x f ∈【-ε环境=环境的特殊情况】 )(00x O x =的内点⇒存在0x 的一个-δ环境)()(00x O x O ⊂=δ，⇒结论【全局满足则局部满足】⑶、证明：②⇒③⇒→0x x n 对于0>∀δ，存在0>N ，当N n >时，)(0δ，x O x n ⊂ N 由δ决定，δ由ε决定⇒N 由ε决定⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，))(()(0ε，x f O x f n ∈)()(0x f x f n →⇒⑷、证明：③⇒①反证法：映射f 在0x 点不连续⇒存在)(0x f 的一个环境))((0x f O =对于0x 的任何环境)(0x O =存在)(0x O x ∈，))(()(0x f O x f ∉⇒对于0x 的任何环境)1(0nx O ，=，存在)(0x O x n ∈，))(()(0x f O x f n ∉ 0)(lim 1)(0)(000=⇒<<⇒∈∞→x x nx x x O x n n n n ，，ρρ【夹逼定理】 )()(00x f x f x x n n →⇒→⇒【条件】⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，))(()(0ε，x f O x f n ∈ ))(()(00x f O x f =的内点⇒存在)(0x f 的一个-*ε环境))((*))((00x f O x f O ⊂=ε，⇒对于0*>ε，存在0>N ，当N n >时，))((*))(()(00x f O x f O x f n ⊂∈ε， ⇒存在0>N ，当N n >时，))(()(0x f O x f n ∈⇒矛盾【N 由*ε决定，*ε由))((0x f O 决定】第三节线性算子1、算子⑴、定义：算子＝映射⑵、定义：泛函＝取值于实数域或者复数域的算子2、线性算子⑴、定义：假设：=Y X ，实数域F 上的线性空间X D =的子空间Y D T →=的映射如果：T 满足条件：D F k k T k T k k k T ∈∀∈∀+=+βαβαβα，，，，212121)()()(则称：=T 线性算子并称：T D =的定义域，T D x Tx TD =∈=}|{的值域⑵、定义：如果：=T 线性算子并且：F TD ⊂则称：=T 线性泛函第四节线性算子的有界性与连续性一、有界算子1、连续定理⑴、定理：线性算子一点连续，处处连续⑵、描述：假设：=Y X ，赋范线性空间，X D =的一个子空间，Y D T →=的线性算子如果：T 在D x ∈0连续那么：D T =上的连续算子⑶、证明：①：假设：x x D x n →∀⇒∈∀②：x x n →⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，ερ<)(x x n ，||||)(x x x x n n -=，ρ【=X 赋范线性空间】||||)(00x x x x x x n n -=+-，ρ⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，ερ<+-)(00x x x x n ，00x x x x n →+-⇒③：T 在0x 点连续00)(Tx x x x T n →+-⇒【等价定理①⇒③】00Tx Tx Tx Tx n →+-⇒【=T 线性算子】Tx Tx n →⇒【=Y 赋范线性空间】T ⇒在x 点连续【+∀n x 等价定理③⇒①】T ⇒在D 上处处连续【x ∀】。

泛函分析报告知识的总结

泛函分析报告知识的总结泛函分析是数学中的一个重要分支领域，它研究的是无穷维空间上的函数及其性质。

泛函分析的应用广泛，包括函数空间、傅里叶分析、偏微分方程等等。

下面是我对泛函分析的一些知识进行总结。

首先，泛函分析的基础是线性代数和实分析。

线性代数研究的是向量空间及其线性关系，实分析则研究的是实数空间上的函数性质，例如收敛性、极限、连续性等等。

这两个基础学科为泛函分析的理论及应用打下了坚实的基础。

其次，泛函分析的核心是函数空间的研究。

函数空间是指一组函数的集合，其中的函数可以是有界函数、可积函数、连续函数等等。

泛函分析研究的是函数空间上的线性算子及其性质，例如范数、内积、完备性等等。

常见的函数空间有Lp空间、C(X)空间、Sobolev空间等等。

然后，泛函分析的重要工具是算子理论。

算子理论研究的是线性算子的性质和作用。

在泛函分析中，线性算子可以将一个函数映射到另一个函数，例如导数、积分等。

算子理论主要研究线性算子的性质，例如有界算子、紧算子、自伴算子等等。

算子理论在解析、几何等问题中有着广泛的应用。

此外，泛函分析也研究了拓扑结构及度量空间的性质。

拓扑结构是用来描述集合上点的邻域关系的概念，是泛函分析中重要的概念。

度量空间是带有度量函数的拓扑空间，度量函数可以度量空间中两个点之间的距离。

拓扑结构和度量空间的研究为泛函分析提供了一种统一的框架。

最后，泛函分析的应用广泛，特别是在数学的其他分支领域中。

在偏微分方程中，泛函分析可以用来研究问题的存在性、唯一性和稳定性；在概率论中，泛函分析可以用来研究随机过程的性质和收敛性；在图像处理中，泛函分析可以用来研究图像的压缩和恢复等等。

总之，泛函分析在数学及其应用领域中具有重要的地位和作用。

总结起来，泛函分析研究的是无穷维空间上的函数及其性质，它的基础是线性代数和实分析。

泛函分析的核心是函数空间的研究，它的重要工具是算子理论及拓扑结构和度量空间的性质。

泛函分析的应用非常广泛，涉及到数学的各个分支领域。

泛函分析读书笔记

泛函分析读书笔记在学习泛函分析之前，就听说泛函是大学里最难学的一门课，却也是很重要而不得不学的！泛函分析结课之际，利用上课所做的笔记，加上课外阅读，简单谈谈我对泛函分析的了解。

泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。

它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。

它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。

泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。

近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。

它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。

泛函分析是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。

泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。

比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。

它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

这是泛函分析的发展、应用、研究对象以及特点。

由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型（比如逐点收敛、一致收敛、弱收敛等），这说明函数空间里有不同的拓扑。

而函数空间一般是无穷维线性空间。

所以抽象的泛函分析研究的是一般的（无穷维的）带有一定拓扑的线性空间。

拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。

泛函中存在诸多空间，这里对于几个重要的空间予以认识。

1. 度量空间（距离空间）定义：设X 是一个集合，,x y X ∀∈，若能定义实函数(),x y ρ，使距离满足：（1）非负性：(),0x y ρ≥ （2）对称性：()(),=x y y x ρρ，（3）三角不等式：()()(),x y x z z ρρρ≤+，y ， z X ∀∈ 则称X 为度量空间。

Strongart数学笔记：泛函分析的若干参考书

泛函分析的若干参考书自从我开始发布泛函分析公开课视频一来，总有人问我用神马参考书，其实我的讲座一般都是没有固定参考书的，倒是希望有人把笔记整理出来，变成一本新的泛函分析参考书。

下面我就来罗列一下泛函分析及其后续课程的相关参考书，可能不是多么全面，但却更有Strongart教授本人的个性特征啊！最简单的泛函分析入门书籍应该是：[1] 克雷斯齐格, Kreyszing E, 蒋正新, 等. 泛函分析导论及应用[M]. 北京航空学院出版社, 1987.这本书实际上是中译本，原始版本就不再考证了，它更适合一般理工科学生学习，没有实变函数基础也能顺利阅读，而且也包括了泛函中的经典内容。

即便是学了高深的内容，回头看一下对应的初级讲法与例子也是很有意思的。

当然啦，一般还是希望学泛函之前先学好实分析，国内有些地方喜欢把实变函数与泛函分析合在一起，相应的教材大都比较陈旧，这里我就不推荐了，可以使用的泛函分析中文书有：[2] 张恭庆, 林源渠, 郭懋正. 泛函分析讲义[M]. 北京大学出版社, 1990.此书有上下两册，写的还是比较简明的，三大定理与Hilbert空间的谱论都写的比较清晰，同时包括了泛函分析对其他数学学科的经典应用，一般学到下册第六章前半部分就可以了，后面基本上属于比较专题的内容。

假若想要详细学习泛函的话，可以选用这本比较有革新意义的教材：[3] 定光桂. 泛函分析新讲[M]. 科学出版社, 2007.这本书应该说是脱胎于他巴拿赫空间引论，其丰富程度要超过一般的泛函分析书籍，可以说是泛函分析方向（而不是一般数学研究生）所用的泛函分析书，只要有点耐心的话一定是大有收获的。

中文书还要提两本辅助读物，先是一本带有布尔巴基风格的参考书：[4] 胡适耕，张显文抽象空间引论[M]. 科学出版社，2005.它包括了一般拓扑学与泛函分析的主干内容，把不同的知识放到最适合它的舞台上，其证明常常是最小化的，只是相应的知识密度比较大，不适合用来初学入门，但学到相关知识时用来查阅还是不错的。

泛函分析读书笔记(下)

第一章预备知识第一节极限点和闭集一、极限点1、定义：极限点：假设：=R 度量空间，R A =中的点集，R x ∈0 如果：对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O都有：∅≠-A x x O I }){)((00ε，则称：A x =0的极限点2、性质⑴、性质：内点是极限点，孤立点不是极限点⑵、证明：A x =0的内点0x ∃⇒的一个-*ε环境A x O ⊂*)(0ε，对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O①如果*εε≥：A x x O A x x O I I }){*)((}){)((0000-⊃-εε，，∅≠-=}{*)(00x x O ε，②如果*εε<：∅≠-=-}{)(}){)((0000x x O A x x O εε，，I⑶、归纳：点=内点+边缘点+孤立点，极限点=内点+边缘点3、等价定理⑴、定理：假设：=R 度量空间，R A =中的点集，R x ∈0①、A x =0的极限点②、00x x x x A x n n n →≠∈∃，，③、∃各不相同的00x x x x A x n n n →≠∈，，④、对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的无穷多个点⑵、证明：②①⇒A x =0的极限点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，都有∅≠-A x x O I }){)((00ε，⇒对于0x 的任何一个-ε环境)1(0n x O ，，都有∅≠-A x nx O I }){)1((00， A x nx O x n I }){)1((00-∈∃⇒， A x x x nx O x n n n ∈≠∈∃⇒，，，00))1(( 在度量空间中，0lim 00=⇔→∞→），（x x x x n n n ρ 00x x x x A x n n n →≠∈∃⇒，，⑶、证明：③②⇒00x x x x A x n n n →≠∈∃，，反证法：假设}{n x 含有有限多个不同的点00x x x n ∃⇒≠的一个-ε环境)(0ε，x O ，)(0ε，x O x n ∉【剔除有限个点】但是⇒→0x x n 对于00>∃>∀N ，ε，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈⇒矛盾}{n x ⇒含有无穷多个不同的点∃⇒各不相同的子点列}{k n x⑷、证明：④③⇒∃各不相同的00x x x x A x n n n →≠∈，，对于0x 的任何一个环境)(0x O)(00x O x =⇒的内点0x ∃⇒的一个-ε环境)()(00x O x O ⊂ε，⇒→0x x n 对于00>∃>∀N ，ε，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈ N ∃⇒，当N n >时，)()(00x O x O x n ⊂∈ε，)(0x O ⇒含有无穷多个n x )(0x O ⇒含有A 的无穷多个点【A x n ∈】⑸、证明：①④⇒对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的无穷多个点⇒0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，含有A 的无穷多个点⇒}{)(00x x O -ε，，含有A 的无穷多个点∅≠-⇒A x x O I }){)((00ε，二、闭集1、基本概念⑴、定义：A A ='的导集A =的所有极限点 ⑵、定义：A A =的闭包'A A Y =⑶、定义：=A 闭集，如果A A ⊂'2、分析⑴、=A 内点+边缘点+∈)(A 孤立点⑵、='A 内点+边缘点=内点+边缘点+∈)(A 边缘点)(A ∉ ⑶、=A 内点+边缘点+孤立点3、等价定理⑴、定理：假设：=R 度量空间，R A =中的点集，R x ∈0 ①、A x ∈0②、对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的点③、0x x A x n n →∈∃，⑵、证明：②①⇒A x A A x A x ∈⇒∈⇒∈000'Y 或者'0A x ∈如果：⇒∈A x 0对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的点如果：A x A x =⇒∈00'的极限点⇒对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的无穷多个点⑶、证明：③②⇒对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，含有A 的点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)1(0nx O ，，含有A 的点 )1(0nx O x A x n n ，，∈∈∃⇒ 0x x A x n n →∈∃⇒，⑷、证明：①③⇒0x x A x n n →∈∃，如果：A x A x ∈⇒∈00如果：000x x x x A x A x n n n →≠∈∃⇒∉，，A x =⇒0的极限点A x A x ∈⇒∈⇒00'4、核心定理⑴、定理：=A 闭集A x x x A x n n ∈⇒→∈∀⇔00，⑵、证明：①必要性：反证法：假设A x ∉0000x x x x A x A x n n n →≠∈⇒∉，，A x =⇒0的极限点'0A x ∈⇒=A 闭集A A ⊂⇒'⇒∈⇒A x 0矛盾②充分性：反证法：假设≠A 闭集≠A 闭集A x A x A A ∉∈∃⇒⊄⇒，''A x A x =⇒∈'的极限点x x x x A x n n n →≠∈∃⇒，，⇒⊂⇒A x 矛盾5、性质 ⑴、性质：=A A ，'闭集⑵、证明：='A 闭集')''(00A x A x =⇒∈∀的极限点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，都有∅≠-'}){)((00A x x O I ε， ')('}){)((0000A y x y x O y A x x O y ∈≠∈∃⇒∅≠-∈∃⇒，，，，εεI A y A y =⇒∈'的极限点⇒对于y 的任何一个-δ环境)(δ，y O ，∅≠-A y y O I }){)((δ，构造))0()0(min(y x y x ，，，ρερδ-=y ⇒的-δ环境)(δ，y O 满足： ①：)()(0εδ，，x O y O ⊂②：)(0δ，y O x ∉③：∅≠-A y y O I }){)((δ，A x y x y O x A y y O x ∈≠∈∃⇒∅≠-∈∃⇒，，，，)(}){)((δδI ∅≠-⇒∈≠∈∃⇒A x x O A x x x x O x I }){)(()(0000εε，，，，A x =⇒0的极限点=⇒⊂⇒∈⇒')''(''0A A A A x 闭集 ⑶、证明：=A 闭集：证明同上6、性质⑴、性质：⊂A 闭集F A F ⊂⇒⑵、证明：①：首先证明：⊂A 闭集''F A F ⊂⇒A x A x =⇒∈∀'的极限点⇒对于x 的任何一个-ε环境)(ε，x O ，都有∅≠-A x x O I }){)((ε，⇒对于x 的任何一个-ε环境)(ε，x O ，都有∅≠-F x x O I }){)((ε， F x =⇒的极限点'''F A F x ⊂⇒∈⇒②：=F 闭集F F ⊂⇒'F A A F A A F A ⊂⇒⊂⇒⊂⇒Y Y ''⑶、推论：=A 包含A 的最小闭集⑷、证明：假设：=*A 包含A 的最小闭集=A 闭集，⇒⊂A A =A 包含A 的闭集A A ⊂⇒*【最小】=*A 包含A 的闭集=⇒*A 闭集，**A A A A ⊂⇒⊂【定理】 A A =⇒*7、性质⑴、性质：=A 闭集A A =⇔⑵、证明：①必要性：=A 闭集A A A A A A A A ⊂⇒⊂⇒⊂⇒Y Y '' A A A A A ⊂⇒='YA A =⇒ ②充分性：=⇒⊂⇒=⇒=A A A A A A A A ''Y 闭集8、基本概念⑴、定义：如果：=R 赋范线性空间，R A =中的点集则称：==)()(A span A L 由A 张成的线性子空间A =中向量的所有可能的线性组合 ⑵、定义：==)()(A span A L 由A 张成的闭线性子空间第二节 Holder 不等式和Minkowski 不等式1、定义：共轭指标：如果：1>q p ，并且：111=+qp 则称：=q p ，一对共轭指标2、引理 ⑴、公式：q p b qa p ab 11+≤ 其中：=q p ，一对共轭指标，1>b a ， ⑵、证明：1)1)(1(111=--⇒+=⇒=+q p q p pq qp 假设：1111---==⇒=q p p y yx x y q p b q a p b q a p dy y dx x ab 110101+=+≤⇒⎰⎰--3、 Holder 不等式 ⑴、公式：qnk q k pnk pk nk kky x yx 11111)||()||(||∑∑∑===≤其中：=q p ，一对共轭指标，)n 21(，，，，Λ=∈k R y x k k 【实数点列】⑵、证明： ①：如果：0||1=∑=nk pkx或者0||1=∑=nk q k y 0=⇒k x 或者⇒=0k y 结论成立②：否则：令qnk q k k k pn k p k k k y y b x x a 1111)||(||)||(||∑∑====，∑∑∑∑====+=+=⇒nk q k qk n k p k p k q k p k qn k q k p n k p k k k k k y y qx x p b q a p y x y x b a 111111||||1||||111)||()||(||， ∑∑∑∑====+≤⇒nk q k qk n k p k p k q n k q k p n k p k k k y y q x x p y x y x 111111||||1||||1)||()||(||111||||1||||1)||()||(||111111111=+=+≤⇒∑∑∑∑∑∑∑=======qp yy qx x py x yx nk qknk qkn k pk nk pkqnk q k pnk p k nk kkqnk q k pnk pk n k k k y x y x 11111)||()||(||∑∑∑===≤⇒4、 Minkowski 不等式 ⑴、公式：pnk pk pnk pk pnk pk ky x y x111111)||()||()||(∑∑∑===+≤+其中：1>p ，)n 21(，，，，Λ=∈k R y x k k⑵、证明：令p q =的共轭指标∑∑∑∑=-=-=-=+++≤++=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111||||||||||||||qnk q k pnk p k nk kky x yx 11111)||()||(||∑∑∑===≤qnk p k k pnk pk qnk p q k k pnk pk nk p k k k y x x y x x y x x 111111)1(1111)||()||()||()||(||||∑∑∑∑∑===-==-+=+≤+⇒qnk p k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k k ky x y y x y y x y111111)1(1111)||()||()||()||(||||∑∑∑∑∑===-==-+=+≤+qnk p k k pnk p k qnk p k k pnk p k nk pk k y x y y x x y x 111111111)||()||()||()||(||∑∑∑∑∑=====+++≤+⇒pnk p k pnk p k qn k p k k nk pk ky x y x y x1111111)||()||()||(||∑∑∑∑====+≤++⇒pnk pk pnk pk pnk pk k y x y x 111111)||()||()||(∑∑∑===+≤+⇒5、积分形式的Holder 不等式和Minkowski 不等式⑴、Holder 不等式qbaq pbapb adx x g dx x f dx x g x f 11)|)(|()|)(|(|)()(|⎰⎰⎰≤⑵、Minkowski 不等式pbap pbap bapp dx x g dx x f dx x g x f 111)|)(|()|)(|()|)()(|(⎰⎰⎰+≤+第三节 ][b a L p，和pl一、定义1、定义：}|)(||)({][+∞<=⎰bappdx x f x f b a L ，2、定义：}|||{1+∞<=∑+∞=n p nn pxx l二、线性空间1、性质：=][b a L p，线性空间⑴、思路：①：定义加法：函数相加，定义数乘：函数数乘②：两种运算保持封闭 ③：满足8条规则⑵、证明：加法封闭：][)()(][)()(b a L x g x f b a L x g x f pp，，，∈+⇒∈∀⎰⎰≤+bap bap dx x g x f dx x g x f |)])(|)(m ax (|2[|)()(|，⎰⎰+≤=bap ppba p pdx x g x f dx x g x f ]|)(||)([|2|)])(|)([m ax (|2，+∞≤+≤⎰⎰b ap p b ap p dx x g dx x f |)(|2|)(|22、性质：=pl 线性空间⑴、思路：定义加法：数列相加，定义数乘：数列数乘 ⑵、证明：同上三、赋范线性空间1、性质：=][b a L p，赋范线性空间⑴、定义：pba pp dx x f f 1)|)(|(||||⎰=⑵、证明：满足范数的3条性质①：齐次性：p pbappbapp f dx x f dx x f f ||||*||)|)(|(||)|)(|(||||11αααα===⎰⎰②：三角不等式：p p p g f g f ||||||||||||+=+【Minkowski 不等式】③：正定性：0)|)(|||||1≥=⎰pbapp dx x f f0)(0)|)(|(0||||1=⇔=⇔=⎰x f dx x f f pb ap p2、性质：=pl 赋范线性空间 ⑴、定义：pn p nn xx 11)||(||||∑∞+==⑵、证明：同上四、Banach 空间1、性质：=ppl b a L 、，][Banach 空间 2、证明：详见夏道行P61五、Hilbert 空间1、性质：=][2b a L ，Hilbert 线性空间 ⑴、定义：⎰>=<ba dx x g x f x g x f )()()()(，⑵、证明：满足内积的3条性质 ①：共轭对称性：><==>=<⎰⎰)()()()()()()()(x f x g dx x f x g dx x g x f x g x f baba，，②：第一变元的线性：⎰+>=+<badx x z x g x f x z x g x f )()]()([)()()(βαβα，⎰⎰+=babadx x z x g dx x z x f )()()()(ββα><+><=)()()()(x z x g x z x f ，，βα③：正定性：0|)(|)()()()(2≥=>=<⎰⎰babadx x f dx x f x f x f x f ，0)(0|)(|0)()(2=⇔=⇔>=<⎰x f dx x f x f x f ba，2、性质：=2l Hilbert 线性空间 ⑴、定义：∑+∞=>=<1n n nn n y xy x ，⑵、证明：同上3、性质：)2(][≠p l b a L pp 、，不是Hilbert 空间第二章 Hilbert 空间第一节极限和连续性1、度量空间⑴、定义：0)(lim 00=⇔→→∞x x x x n n n ，ρ⑵、性质：距离)(y x ，ρ的连续性：)()(lim 0000y x y x y y x x n n n n n ，，，ρρ=⇒→→∞→2、赋范线性空间⑴、定义：0||||lim 00=-⇔→∞→x x x x n n n⑵、性质：范数||||x 的连续性：||||lim ||||lim 00x x x x n n n n ∞→∞→=⇒→3、内积空间⑴、定义：0||||lim 00=-⇔→∞→x x x x n n n 【利用内积定义范数，再利用范数定义极限】⑵、性质：内积)(y x ，的连续性：)()(lim 0000y x y x y y x x n n n n n ，，，=⇒→→→∞第二节投影定理一、正交和投影1、基本概念⑴、定义：0)(=⇔⊥y x y x ，⑵、定义：⇔⊥M x 对于0)(=∈∀y x M y ，，⑶、定义：⇔⊥N M 对于0)(=∈∀∈∀y x N y M x ，，， ⑷、定义：=⊥M 所有与M 正交的向量2、基本性质：M x M x ⊥⇔∈⊥3、性质⑴、性质：x y y x ⊥⇒⊥⑵、证明：x y x y y x y x ⊥⇒=⇒=⇒⊥0)(0)(，，⑶、性质：0=⇒⊥x H x⑷、证明：00)(=⇒=⇒∈⊥x x x H x H x ，，⑸、性质：⊥⊥⊂⇒⊂M N N M⑹、证明：⇒⊥⇒∈∀⊥N x N x 对于0)(=∈∀y x N y ，，⇒⊂N M 对于⊥∈⇒⊥⇒=∈∀M x M x y x M y 0)(，，⑺、性质：{0}=⊥MM I⑻、证明：00)(=⇒=⇒∈∈⇒∈∀⊥⊥x x x M x M x M M x ，，I⑼、性质：勾股定理：222||||||||||||y x y x y x +=+⇒⊥⑽、证明：)()()()()(||||2y y x y y x x x y x y x y x ，，，，，+++=++=+ 0)(0)(==⇒⊥x y y x y x ，，，222||||||||)()(||||y x y y x x y x +=+=+⇒，，4、正交补定理⑴、定理：⊂M 内积空间H H M =⇒⊥的闭线性子空间⑵、证明：①：=⊥M 线性子空间两种运算封闭：⊥⊥∈+⇒∈∀M y x M y x ，0)(=⇒∈∈∀⊥z x Mx M z ，，0)(=⇒∈⊥z y M y ，⊥∈+⇒⊥+⇒⊥+⇒=+⇒M y x M y x z y x z y x 0)(，②：=⊥M 闭集假设：0x x M x n n →∈∀⊥，⇒⊥⇒∈∀⊥M x M x n n 对于0)(=∈∀y x M y n ，，根据内积的连续性0)()(lim 0==⇒∞→y x y x n n ，，=⇒∈⇒⊥⇒⊥⇒⊥⊥M M x M x y x 000闭集⑶、推论：⊂M 内积空间H ⊥⊥=⇒M M span )( ⑷、证明：①：⊥⊥⊂⇒⊂M M span M span M )()(②：⊥⊥⊥⊂⇒⊂⇒∈∀}{}{x M M x Mx⊥⊂⇒}{)(x M span 【=⊥}{x 线性子空间，线性运算封闭】⊥⊂⇒}{)(x M span 【=⊥}{x 闭集，最小闭集】⊥⊥⊥⊥⊂⇒∈⇒⊂⇒)()()(}{M span M M span x M span x5、投影⑴、定义：投影：假设：=M 内积空间H 的线性子空间如果：对于H x ∈，存在：⊥∈∈M x M x 10，使得：10x x x +=，则称：x x =0在M 上的投影⑵、关键：投影投在线性子空间⑶、性质：x x =0在M 上的投影⊥∈-∈⇒M x x M x 00，⑷、性质：投影不一定存在，如果存在必定唯一⑸、证明：假设：x x =0在M 上的投影⊥∈-∈⇒M x x M x 00，x x ='0在M 上的投影⊥∈-∈⇒M x x M x ''00，=M 线性子空间M x x ∈-⇒'00=⊥M 闭线性子空间⊥⊥∈-⇒∈---⇒M x x M x x x x ')'()(0000'0)''(000000x x x x x x =⇒=--⇒，6、最佳逼近⑴、定理：假设：=M 内积空间H 的线性子空间如果：H x ∈，x x =0在M 上的投影那么：||||||||inf 0x x y x My -=-∈并且：M x =0上使等式成立的唯一向量⑵、思想：①：利用M 上的变元y ，来逼近H 中的x②：如果存在投影，则最佳逼近等于投影⑶、证明：①x x =0在M 上的投影M x x M x ⊥-∈⇒00， y x x x M y x M x M y -⊥-⇒∈-⇒∈∈∀0000，2020200||||||||||||y x x x y x x x -+-=-+-⇒【勾股定理】 20202||||||||||||y x x x y x -+-=-⇒||||||||inf ||||||||||||||||00202x x y x x x y x x x y x My -≥-⇒-≥-⇒-≥-⇒∈②唯一性：假设：M y =0上使等式成立的向量 ||||||||00x x y x -=-⇒0020020200||||||||||||x y y x x x y x =⇒=-⇒-=-⇒二、投影定理1、变分引理【极值可达】⑴、定义：x 到M 的距离||||inf )(y x M x d d My -===∈，⑵、性质：完备⇔闭集，线性子空间⇒凸集⑶、定理：假设：=M 内积空间H 的完备凸集如果：H x ∈那么：存在唯一的M x ∈0，使得d x x =-||||0 ⑷、关键：①：x 到M 的距离②：完备凸集则极值可达⑸、证明：①：点列||||inf y x d My -=∈⇒存在点列M x n ⊂}{，d x x n n =-∞→||||lim②：基本点列平行四边形公式：2222||||2||||2||||||||y x y x y x +=-++2222||2||2||2||2||||||||x x x x x x x x x x x x n m n m n m +--+-+-=-+-⇒2222||2||2||2||2||||||||n m n m n m x x x x x x x x x -+-+=-+-⇒2222||2||2||||||||||2||2x x x x x x x x x nm n m n m -+--+-=-⇒=M 凸集d x x x M x x nm n m ≥+-⇒∈+⇒||2||222222||||||||||2||2d x x x x x x n m n m --+-≤-⇒22222||||lim ||||lim ||2||2lim 0d x x x x x x n m n m m n n m m n --+-≤-≤⇒∞→∞→∞→，，，⇒=-⇒∞→0||||lim 2n m m n x x ，=}{n x 基本点列③：收敛点列=M 完备=⇒}{n x 收敛点列0x x n →⇒④：存在性=M 完备⇒=M 闭集，M x n ∈，M x x x n ∈⇒→00根据范数的连续性d x x x x n n =-=-⇒∞→||||||||lim 0⑤：唯一性假设存在M y ∈0，使得d y x =-||||0构造点列：}{}{0000Λ，，，，y x y x z n = =⇒=-⇒=-⇒∞→}{||||lim ||||n n n n z d z x d z x 基本点列【证明同上】0||||lim 0||||lim 0||||lim 001=-⇒=-⇒=-⇒∞→+∞→∞→y x z z z z n n n n m n m n ，00000||||x y y x =⇒=-⇒2、投影引理⑴、定理：假设：=M 内积空间H 的线性子空间 H x ∈，M x ∈0 如果：d x x =-||||0 那么：M x x ⊥-0 ⑵、思想：极值可达点正交⑶、证明：⇒∈≠∀M z 0对于λ∀，M z x ∈+λ0220220||||||)(||d z x x d z x x ≥--⇒≥+-⇒λλ )(||||0020z x x z x x z x x λλλ----=--，22020||||||)}(Re{2||||z z x x x x λλ+---=，令2020||||)(||||)(z z x x z z x x ，，-=⇒-=λλ 2202002020||||||||)(||||)()(||||)(2||||z z z x x z z x x z x x z z x x x x ，，，，--+----⇒ 22020||||||)(||||||z z x x x x ，---= 0||||||)(||||||||)(||||||220222020=-⇒≥---⇒z z x x d z z x x x x ，， M x x z x x z x x ⊥-⇒⊥-⇒=-⇒0000)(，3、投影定理⑴、定理：如果：=M 内积空间H 的完备线性子空间那么：对于H x ∈∀存在：M x M x ⊥∈10，，使得：10x x x +=⑵、思想：任意向量x 在M 上的投影，存在并且唯一⑶、证明：①存在性：变分引理M x ∈∃⇒0，使得d x x =-||||0 投影引理M x x ⊥-⇒0 构造01x x x -=M x ⊥⇒1②唯一性：参见变分引理4、推论⑴、推论：如果：=M 内积空间H 的完备线性子空间那么：⊥⇒≠M H M 含有非零元素 ⑵、证明：M x H x M H x H M ∉∈∃⇒-∈∃⇒≠，投影定理⇒投影存在⇒假设x x =0在M 上的投影⊥∈-⇒M x x 0000≠-⇒∈∉⇒x x M x M x ，第三节就范正交系一、级数1、基本概念 ⑴、定义：级数：∑∞=++++=121i i iu u u uΛΛ⑵、定义：部分和：∑==ni in us 1【将级数转换为数列】⑶、定义：收敛级数：如果s s n n =∞→lim ，则称∑∞=1i iu收敛2、基本性质 ⑴、性质：∑∞=1i iu收敛s s u un n ni i n i i===⇒∞→=∞→∞=∑∑lim lim 11⑵、性质：∑∞=1i iu收敛0lim =⇒∞→i n u 【1--=i i i s s u 】⑶、性质：Cauchy 收敛原理∑∞=1i iu收敛⇔对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，ε<∑=||mni iu二、有限正交系1、基本概念⑴、定义：正交系：假设：=F 内积空间H 的一族非零向量如果：对于F y x ∈∀，，都有：0)(=y x ，则称：=F 正交系⑵、定义：就范正交系：如果：=F 正交系并且：对于F x ∈∀，都有：1||||=x 则称：=F 就范正交系2、基本性质⑴、性质：假设：=}{21n e e e ，，，Λ内积空间H 中的就范正交系如果：H x ∈，∑==ni iie e x x 10)(，那么：)()(0i i e x e x ，，=⑵、证明：)())(())(())(((10iiiiiiinj ijji e x e e e x e e e x e e e x e x ，，，，，，，），====∑=3、定理⑴、定理：假设：=}{21n e e e ，，，Λ内积空间H 中的就范正交系如果：H x ∈，∑==ni iie e x x 10)(，，}{21ne e e span M ，，，Λ= 那么：x x =0在M 上的投影并且：∑==ni ie x x 1220|)(|||||，，20202||||||||||||x x x x -+=⑵、证明：①：M x ∈0②：∑==⇒∈⇒∈∀ni i i n e y e e e span y M y 121}{α，，，Λ0)()()(10100=-=-=-⇒∑∑==ni i i ni i i e x x e x x y x x ，，，ααM x x y x x ⊥-⇒⊥-⇒00x x =⇒0在M 上的投影 ③：))(()(||||100020∑===ni i i e e x x x x x ，，，21110|)(|)()()()(∑∑∑======ni i ni i i ni i i e x e x e x e x e x ，，，，，④：0000x x x M x x M x ⊥-⇒⊥-∈，【勾股定理】20202002||||||||||||||||x x x x x x x -+=-+=⇒4、推论⑴、性质：如果：=}{21n e e e ，，，Λ就范正交系，H x ∈ 那么：∑=≥ni i e x x 122|)(|||||， ⑵、证明：∑==≥⇒-+=ni ie x x x x x x x 1220220202|)(|||||||||||||||||||||，⑶、性质：如果：=}{21n e e e ，，，Λ就范正交系，H x ∈ 那么：对于i α∀，||)(||||||11∑∑==-≥-ni iin i ii e e x x e x ，α⑷、证明：假设：∑==ni iie e x x 10)(，，}{21ne e e span M ，，，Λ= x x =⇒0在M 上的投影假设：M y ey ni ii ∈⇒=∑=1α根据最佳逼近定理||||||||inf 0x x y x My -=-⇒∈||||||||0x x y x -≥-⇒||)(||||||11∑∑==-≥-⇒ni i i n i i i e e x x e x ，α三、无限正交系1、 Bessel （贝塞尔）不等式⑴、定理：如果：=∈}|{N i e i 内积空间H 中的就范正交系那么：对于H x ∈∀，∑∞=≥122|)(|||||i ie x x ，⑵、证明：=∈}|{N i e i 就范正交系⇒对于n ∀，=}{21n e e e ，，，Λ就范正交系 ∑=≥⇒ni i e x x 122|)(|||||，【单调递增，必有极限】∑∑∞==∞→≥⇒≥⇒122122|)(||||||)(|lim ||||i i n i i n e x x e x x ，，2、性质⑴、性质：如果：=∈}|{N i e i 内积空间H 中的就范正交系那么：对于H x ∈∀，0)(lim =∞→i i e x ，⑵、证明：对于H x ∈∀，⇒≥∑∞=122|)(|||||i ie x x ，∑∞=12|)(|i i e x ，收敛0)(lim 0|)(|lim 2=⇒=⇒∞→∞→i i i i e x e x ，，四、完备正交系1、定义：完备正交系：假设：=∈}|{N i e i 内积空间H 中的就范正交系如果：对于H x ∈∀，都有：∑∞==122|)(|||||i ie x x ，则称：=∈}|{N i e i 完备正交系2、性质 ⑴、性质：∑∞=1i i i e α收敛y s e en n ni i i n i ii ===⇔∞→=∞→∞=∑∑lim lim 11αα⑵、性质：=⇒∞<∑∑=∞=}{||112ni i i i ie αα基本点列⑶、证明：假设：∑==ni ii n es 1α||||||||1∑+==-⇒mn i i i n m e s s α2111212||)(||||||||∑∑∑∑+=+=+=+====-⇒mn i imn i i i mn i i i mn i ii n m e e e s s αααα，=⇒∞<∑∑∞=∞=1212||||i i i iαα收敛级数=⇒∑=}||{12ni i α基本点列⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，εα<∑+=||||12mn i i⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，ε<-||||||2n m s s=⇒}{n s 基本点列3、定义：傅里叶级数：如果：=∈}|{N i e i 就范正交系，H x ∈ 则称：==∑∞=1)(i iiee x x ，傅里叶级数4、定义：=∈}|{N i e span i 由}|{N i e i ∈张成的线性子空间}|{N i e i ∈=的所有可能的有限个向量的线性组合5、等价定理⑴、定理：如果：=∈}|{N i e i 就范正交系，}|{N i e span E i ∈= 那么：①E x ∈；②∑∞==122|)(|||||i ie x x ，；③∑∞==1)(i iie e x x ，⑵、证明：②①⇒反证法：假设：∑∞=≠122|)(|||||i ie x x ，E x ∈∃⇒，)0(0|)(|||||2122>>=-∑∞=ααi i e x x ， x x N i e span x N i e span x E x n i n i →∈∈∃⇒∈∈⇒∈，}|{}|{∑==⇒∈∈ni i i n i n e x N i e span x 1}|{α0||||lim 2=-⇒→∞→x x x x n n n⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N n >时，ε<-||||x x n⇒对于00>∃>N ，α，当N n >时，α<-||||x x n212122||)(||||||||||||||∑∑==-≥-=->⇒<-ni i i ni i i n n e e x x e x x x x x ，ααα⇒=-≥-=∑∑∞==2212212|)(||||||)(|||||αi i ni i e x x e x x ，，矛盾③②⇒ 21221|)(|||||||)(||∑∑==-=-ni i ni iie x x e e x x ，，]|)(|||[||lim ||)(||lim 21221∑∑=∞→=∞→-=-⇒ni i n ni i i n e x x e e x x ，，212121||)(||||)(lim ||||)(||lim ∑∑∑∞==∞→=∞→-=-=-i i i n i i i n ni iin e e x x e e x x e e x x ，，，0|)(|||||]|)(|||[||lim 212212=-=-=∑∑∞==∞→i i ni i n e x x e x x ，，∑∑∞=∞==⇒=-⇒121)(0||)(||i i i i iie e x x e e x x ，，①③⇒假设：∑==ni iin e e x x 1)(，n n ni i i n i i i x e e x e e x x ∞→=∞→∞====⇒∑∑lim )(lim )(11，，=⇒E 闭集，E x x x E x n n ∈⇒→∈，第四节 Banach 空间的共轭算子一、)(Y X →和)(Y X B →1、 )(Y X →⑴、定义：Y X Y X →=→)(的全体线性算子，其中：=Y X 、线性空间 ⑵、性质：=•+→))((，；；P Y X 线性空间⑶、证明：①：定义加法：)()())((x B x A x B A +=+ 定义数乘：)())((x A x A αα=②：两种运算封闭：)()())((y x B y x A y x B A βαβαβα+++=++)()()()()()()()(y B x B y A x A y B x B y A x A βαβαβαβα+++=+++= ))(())(()()()()(y B A x B A y B y A x B x A +++=+++=βαββαα2、 )(Y X B →⑴、定义：Y X Y X B →=→)(的全体有界线性算子，其中：=Y X 、赋范线性空间 ⑵、性质：=•+→))((，；；P Y X B 赋范线性空间⑶、证明：①：定义算子范数：||||||||sup||||0x Tx T x ≠= ②：算子范数满足范数的3条性质【齐次性，三角不等式，正定性】3、定理⑴、定理：如果：=X 赋范线性空间，=Y Banach 空间那么：=→)(Y X B Banach 空间 ⑵、证明：①：假设：)(}{Y X B T n →=的基本点列⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，ε≤-||||m n T T⇒对于00>∃>∀∈∀N X x ，，ε，当N m n >，时，||||||||*||||||)(||||||x x T T x T T x T x T m n m n m n ε<-≤-=-【=n T 有界】 =⇒}{x T n 基本点列【固定x 】=⇒}{x T n 收敛点列【=Y 完备】②：定义：算子T ：x T Tx n n ∞→=limY X T →=的算子：=Y 闭集，Y Tx Tx x T Y x T n n ∈⇒→∈，Y X T →=的线性算子：21212121lim lim )(lim )(Tx Tx x T x T x x T x x T n n n n n n +=+=+=+∞→∞→∞→Y X T →=的有界线性算子：||||||||||||||||lim ||||||||x Tx x T x x T x T x x T x T n m n m m n εεε<-⇒<-⇒<-∞→)()()(Y X B T Y X B T Y X B T T n n →∈⇒→∈→∈-⇒，③：εεε<-=-⇒<-⇒<-≠||||||||sup ||||||||||||||||||||0x Tx x T T T x Tx x T x Tx x T n x n n n=⇒→⇒=-⇒∞→n n n n T T T T T 0||||lim 收敛点列二、共轭空间1、共轭空间⑴、定义：如果：=X 赋范线性空间，X X =*上的全体连续线性泛函则称：X P X =•+)*(，；；的共轭空间⑵、性质：=•+)*(，；；P X 赋范线性空间【实数域=赋范线性空间】2、二次共轭空间⑴、定义：如果：=*X 赋范线性空间，***X X =上的全体连续线性泛函则称：X P X =•+)**(，；；的二次共轭空间⑵、性质：=•+)**(，；；P X 赋范线性空间3、基本概念⑴、定义：**x ：)()*(*x f f x =其中：***X x =上的泛函，X x X f ∈∈，*⑵、定义：保范算子：假设：=Y X ，赋范线性空间，Y X U →=的算子如果：对于X x ∈∀，都有：||||||||x Ux = 则称：Y X U →=的保范算子4、基本性质⑴、性质：***X x =上的线性泛函⑵、证明：))(()*(*22112211x f k f k f k f k x +=+)*(*)*(*)()(22112211f x k f x k x f k x f k +=+=⑶、性质：***X x =上的有界泛函 ⑷、证明：||||*||||||)(||||)*(*||x f x f f x ≤=⑸、性质：||||||**||x x ≤⑹、证明：||||||||||)*(*||sup ||**||||||||||||)*(*||||||*||||||)*(*||0x f f x x x f f x x f f x f ≤=⇒≤⇒≤≠⑺、性质：***X x =上的保范线性算子 ⑻、证明：未能证明三、共轭算子1、定义：共轭算子：假设：=Y X ，赋范线性空间，)(Y X B A →∈ 如果：存在***X Y A →=使得：对于*Y h X x ∈∀∈∀，，都有：)())(*(Ax h x h A = 则称：A A =*的共轭算子2、共轭定理⑴、定理：如果：=Y X ，赋范线性空间那么：对于)(Y X B A →∈∀，共轭算子存在并且唯一 ⑵、证明：①定义：对于*Y h A x ∈∀∈∀，定义X Ax h x A =→=)('上的泛函)()('Ax h x A =⇒②线性：)]()([)]([)('212121x A x A h x x A h x x A +=+=+)(')(')]([)]([2121x A x A x A h x A h +=+=③有界：||||*||||*||||||||*||||||)(||||)('||x A h Ax h Ax h x A ≤≤= ④存在：='A 有界线性泛函*'X A ∈⇒定义**'*X Y A h A →=→=的算子'*A h A =⇒)())(*()()(''*Ax h x h A Ax h x A A h A =⇒==，⑤唯一：假设：)())(()())((*2*1Ax h x h A Ax h x h A ==，))(())((*2*1x h A x h A =⇒【*Y h A x ∈∀∈∀，】*2*1*2*1A A h A h A =⇒=⇒第五节 Hilbert 空间的共轭算子一、连续线性泛函的表示1、定理⑴、定理：如果：=X 赋范线性空间，X F =上的线性泛函那么：=F 连续F ⇔的零空间===}0)(|{x F x M 闭线性子空间 ⑵、证明：①必要性：假设：x x M x n n →∈∀，=→F x x n ，连续)()(x F x F n →⇒=⇒∈⇒==⇒∞→M M x x F x F n n 0)(lim )(闭集②充分性：反证法：≠F 有界∞=⇒=|)(|sup 1||||x F x⇒存在点列}{n x ，n x F x n n ≥=|)(|1||||， ⇒构造点列}{n y ，M y y F x F xx F x y n n n n n ∈⇒=⇒-=0)()()(11 )()()()(1111n nn n n n x F x x F x y x F x x F x y =+⇒-=|)(|1||)(||||)(||11n n n n x F x F x x F x y ==+⇒ )(0|)(|1lim ||)(||lim 1111x F xy x F x F x y n n n n n -→⇒==+⇒∞→∞→ =M 闭集，M x F xx F x y M y n n ∈-⇒-→∈)()(1111，但是⇒∉≠-=-M x F x F 01))((11矛盾2、性质⑴、性质：如果：)()(y x x F y ，=【固定H x H y ∈∀∈，】那么：=y F 由y 导出的有界线性泛函并且：||||||||y F y =⑵、证明：①线性：)()(22112211y x k x k x k x k F y ，+=+)()()()(22112211x F k x F k y x k y x k y y +=+=，，②有界：||||*||||||)(||||)(||y x y x x F y ≤=，【固定H y ∈】 ③公式：||||||||)(sup||||||||)(||||*||||||)(||0y x x F F y x x F y x x F y x y y y ≤=⇒≤⇒≤≠||||||||)(||||)()()()(2y y y F y y y y F y x x F y y y =⇒==⇒=，，||||||||y F y =⇒3、 Riesz 定理⑴、定理：如果：=H Hilbert 空间，H F =上的连续线性泛函那么：存在唯一的H y ∈使得：对于H x ∈∀，都有：)()(y x x F ，= 并且：||||||||y F =⑵、证明：①存在性：假设：}0)(|{==x F x M00=⇒=y FM x H x x F H x F ∉∈∃⇒≠∈∃⇒≠，，0)(0⊥⇒≠⇒M H M 含有非零元素⊥∈≠∃⇒M z z ，0 0)(}0{≠⇒∉⇒=⊥z F M z M M I⇒对于M z z F x F x z z F x F x F H x ∈-⇒=-∈∀)()(0))()((， 2||||)()()()()()(0))()((z z F x F z z z F x F z x z z z F x F x ==⇒=-⇒，，， z z z F y z z z F x z x z z F x F 222||||)()||||)(()(||||)()(=⇒==⇒，， ②唯一性：假设：H y ∈∃，对于H x ∈∀，都有)()(y x x F ，=H z ∈∃，对于H x ∈∀，都有)()(z x x F ，=⇒对于H x ∈∀，z y z y x =⇒=-0)(，否则⇒≠--⇒≠-⇒≠0)(0z y z y z y z y ，矛盾二、共轭算子1、定理⑴、定理：如果：=H Hilbert 空间，=G 内积空间，)(G H B A →∈ 那么：存在唯一的)(H G B B →∈使得：对于G y H x ∈∀∈∀，，都有：)()(By x y Ax ，，= ⑵、证明：①定义：)()(y Ax x y ，=ϕ【固定H x G y ∈∀∈，】线性：)()()()())(()(21212121x x y Ax y Ax y x x A x x y y y ϕϕϕ+=+=+=+，，，有界：||||*||||*||||||||*||||||)(||||)(||y x A y Ax y Ax x y ≤≤=，ϕ ||||*||||||||||)(||sup||||||||*||||||||||)(||0y A x x y A x x y x y y ≤=⇒≤⇒≠ϕϕϕH y Ax x y ==⇒)()(，ϕ上的有界线性泛函⇒根据Riesz 定理：存在唯一的H z ∈，使得)()()(z x y Ax x y ，，==ϕ，并且||||||||z y =ϕ②定义：H G z y B →=→=的算子z By =⇒【给定一个y ，得到一个z 】线性：))(()(2121y y B x y y Ax +=+，，)()()()()()(21212121By By x By x By x y Ax y Ax y y Ax +=+=+=+，，，，，，⇒对于H x ∈∀，21212121)(0))((By By y y B By By y y B x +=+⇒=--+，有界：||||*||||||||||||||||||||||||y A z z By z By y y ≤==⇒=ϕϕ，，||||||||||||sup ||||||||||||||||||||*||||||||0A y By B A y By y A By y ≤=⇒≤⇒≤⇒≠③唯一：假设：)()()()(21y B x y Ax y B x y Ax ，，，，，==2121210)(0))((B B y B B y B B x =⇒=-⇒=-⇒，【G y H x ∈∀∈∀，】2、共轭算子⑴、定义：假设：=G H ，内积空间，)(*)(H G B A G H B A →∈→∈，如果：对于G y H x ∈∀∈∀，，都有：)*()(y A x y Ax ，，= 则称：A A =*的共轭算子（伴随算子）⑵、定理：如果：=H Hilbert 空间，=G 内积空间那么：对于)(G H B A →∈∀，存在唯一的)(*H G B A →∈3、 Banach 空间与Hilbert 空间中的共轭算子⑴、性质：在Banach 空间中，**)*(B A B A βαβα+=+ ⑵、证明：)())(*(Ax h x h A =)()()))((())(*)((Bx h Ax h x B A h x h B A βαβαβα+=+=+⇒))(*)*(())(**())(*())(*(x h B A x h B h A x h B x h A βαβαβα+=+=+=⑶、性质：在Hilbert 空间中，**)*(B A B A βαβα+=+ ⑷、证明：)*()(y A x y Ax ，，=)()())(()*)((y Bx y Ax y x B A y B A x ，，，，βαβαβα+=+=+⇒ )*)*(()**()*()*(y B A x y B y A x y B x y A x βαβαβα+=+=+=，，，，4、性质：假设：=K H ，Hilbert 空间，=G 内积空间 )()(H K B C G H B B A →∈→∈，， ⑴、性质：A A =*)*(⑵、证明：A A Ax y x y A y A x y Ax **)()()*()*()(⇒=⇒=，，，，⑶、性质：||||*||||||||B A AB ≤⑷、证明：||||*||||*||||||||*||||||||x B A Bx A ABx ≤≤||||*||||||||||||sup ||||||||*||||||||||||0B A x ABx AB B A x ABx x ≤=⇒≤⇒≠⑸、性质：)*()(y A Cx y ACx ，，=⑹、证明：)*()()*()(y A Cx y ACx Cx z y A z y Az ，，，，，=⇒==⑺、性质：||*||||||||*||22A A A A ==⑻、证明：①：根据共轭定理：||||||*||||||||||A A A B ≤⇒≤||*||||||||*|||*)*(||||||A A A A A =⇒≤=⇒②：2||||||*||*||||||*||A A A AA =≤对于)*()(||||1||||2x Ax A Ax Ax Ax x H x ，，，==⇒=∈∀ ||*||||||*||*||||*||||||*||*||||||2A A x A A Ax A x Ax A Ax =≤=≤⇒||*||||||sup ||||21||||2A A Ax A x ≤=⇒=复习和重点归纳第一章预备知识第一节极限点和闭集1、极限点⑴、定义：A x =0的极限点∅≠-⇔A x x O I }){)((00ε， ⑵、定理：A x =0的极限点00x x x x A x n n n →≠∈∃⇔，，2、闭集⑴、定义：导集'A 、闭包A 、=A 闭集⑵、定理：=A 闭集A x x x A x n n ∈⇒→∈∀⇔00， ⑶、性质：①：=A A ，'闭集 ②：=A 包含A 的最小闭集 ③：=A 闭集A A =⇔3、定义：)()(A span A L =，)()(A span A L =第二节 Holder 不等式和Minkowski 不等式1、 Holder 不等式：qnk q k pnk pk nk kky x yx 11111)||()||(||∑∑∑===≤2、 Minkowski 不等式：pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x111111)||()||()||(∑∑∑===+≤+第三节 ][b a L p，和pl1、 =ppl b a L ，，][赋范线性空间⑴、定义范数：pba pp dx x f f 1)|)(|(||||⎰=⑵、定义范数：pn pnn xx 11)||(||||∑∞+==2、 =22][l b a L ，，Hilbert 空间 ⑴、定义内积：⎰>=<badx x g x f x g x f )()()()(，⑵、定义内积：∑+∞=>=<1n n nn n y xy x ，第二章 Hilbert 空间一、投影定理1、归纳：极限和连续⑴度量空间⑵赋范线性空间⑶内积空间2、正交：⑴：定义：①y x ⊥②M x ⊥③N M ⊥④⊥M⑵：性质：①M x Mx ⊥⇔∈⊥②⊥⊥⊂⇒⊂M N N M③勾股定理④0=⊥MM I⑶：正交补定理①=⊥M 闭线性子空间②⊥⊥=M M span )(3、投影：⑴：投影的定义和性质⑵：最佳逼近：如果：=M 线性子空间，H x ∈，x x =0在M 上的投影那么：||||||||inf 0x x y x My -=-∈⑶：变分引理：如果：=M 完备凸集，H x ∈那么：存在唯一的M x ∈0，使得d x x =-||||0 ⑷：投影引理：如果：=M 线性子空间，M x H x ∈∈0，那么：M x x d x x ⊥-⇒=-00|||| ⑸：投影定理：如果：=M 完备线性子空间，H x ∈∀那么：⊥∈∃∈∃M x M x 10，，使得10x x x +=，分解式唯一 ⑹：推论：⊥⇒≠M H M 含有非零元素二、就范正交系1、基本概念：⑴正交系⑵就范正交系⑶完备正交系2、有限正交系：定理：假设：=}{21n e e e ，，，Λ内积空间H 中的就范正交系如果：H x ∈，∑==ni iie e x x 10)(，，}{21ne e e span M ，，，Λ= 那么：x x =0在M 上的投影并且：∑==ni ie x x 1220|)(|||||，，20202||||||||||||x x x x -+=3、无限正交系：⑴：Bessel 不等式：∑∞=≥122|)(|||||i ie x x ，⑵：等价定理：①E x ∈②∑∞==122|)(|||||i ie x x ，③∑∞==1)(i iie e x x ，三、Banach 空间的共轭算子1、 )(Y X →和)(Y X B →⑴、性质：如果：Y X Y X →=→)(的全体线性算子，其中=Y X 、线性空间那么：=•+→))((，；；P Y X 线性空间⑵、性质：如果：Y X Y X B →=→)(的全体有界线性算子，其中=Y X 、赋范线性空间那么：=•+→))((，；；P Y X B 赋范线性空间⑶、性质：如果：=X 赋范线性空间，=Y Banach 空间那么：=→)(Y X B Banach 空间2、二次共轭空间⑴、概念：共轭空间⇒二次共轭空间⇒⇒**x 保范算子⑵、性质：***X x =上的连续有界泛函***||||||**||X x x x =⇒≤⇒上保范线性算子3、共轭算子⑴、概念：共轭算子⑵、定理：对于)(Y X B A →∈∀，共轭算子存在并且唯一。

泛函分析学习心得

泛函分析学习心得学习《实变函数论与泛函分析》这门课程已有将近一年的时间，在接触这门课程之前就已经听闻这门课程是所有数学专业课中最难学的一门，所以一开始是带着一种“害怕学不好”的心理来学.刚开始接触的时候是觉得很难学，知识点很难懂，刚开始上课时也听不懂，只顾着做笔记了.后来慢慢学下来，在课前预习、课后复习研究、上课认真听课后发现没有想象中的那么难，上课也能听懂了.因此得出了一个结论：只要用心努力去学，所有课程都不会很难，关键是自己学习的态度和努力的程度.在学习《泛函分析》的前一个学期先学习了《实变函数论》，《实变函数论》这部分主要学习了集合及其运算、集合的势、n 维空间中的点集、外测度与可测集、Lebesgue 可测集的结构、可测函数、P L 空间等内容，这为这学期学习《泛函分析》打下了扎实的基础.我们在这个学期的期中之前学习的《泛函分析》的主要内容包括线性距离空间、距离空间的完备性、内积空间、距离空间中的点集、不动点定理、有界线性算子及其范数等.下面我谈谈对第一章的距离空间中部分内容的理解与学习：第一章第一节学习了线性距离空间，课本首先给出了线性空间的定义及其相关内容，这与高等代数中线性空间是基本一样的，所以学起来比较容易.接着是距离空间的学习，如果将n 维欧氏空间n R 中的距离“抽象”出来，仅采用性质，就可得到一般空间中的距离概念：1.距离空间（或度量空间）的定义：设X 为一集合，ρ是X X ⨯到n R 的映射，使得使得X z y x ∈∀,,，均满足以下三个条件：（1）)(0,≥y x ρ，且)(0,=y x ρ当且仅当y x =（非负性）（2）)()(x y y x ,,ρρ=（对称性）（3）)()()(z y y x z x ,,,ρρρ+≤（三角不等式），则称X 为距离空间（或度量空间），记作)(ρ,X ，)(y x ,ρ为y x ,两点间的距离.学习了距离空间定义后，我们可以验证：欧式空间n R ，离散度量空间，连续函数空间],[b a C ，有界数列空间∞l ，p 次幂可和的数列空间p l ，p 次幂可积函数空间],[b a L p )1(≥p ，均满足距离空间的性质.2.距离空间的完备性设)(ρ,X 是距离空间（或赋范空间），如果X 中的点列{}n x 满足()0,→m n x x ρ ()∞→m n ,则称{}n x 是X 中的基本列（或Cauchy 列），若X 中任意基本列都在X 中收敛，则称)(ρ,X 是完备的距离空间（或赋范空间）.在上学期学习《实变函数论》时我们已讨论过P L ()∞<≤ρ1空间的完备性，除此之外，我们可知道[]()b a C ,按距离()()()t y t x y x bt a -=≤≤max ,ρ是完备的、p l ()∞≤≤ρ1是完备的.第一章第三节的内容是内积空间，与高等代数中的欧式空间类似，但又不一样，在n 维欧式空间中，向量的“夹角”是利用内积来定义的.两个向量v u ,的夹角指的是()v u v u ⋅=,arccosθ，其中()v u ,是u 与v 的内积，u 是u 的模或长度，它等于()v u ,.如果抛开n R 中内积的具体形式，将其性质抽象出来，就可得到抽象空间上的内积概念：设X 是复数域上的线性空间，)(⋅⋅,是X X ⨯到复数域C 的二元函数，使得对任意C X z y x ∈∈α及,,满足：(1)()()00,,0,==≥x x x x x 当且仅当且(2)()()()z y z x z y x ,,,+=+(3)()()y x y x ,,αα=(4)()()x y y x ,,=则称)(⋅⋅,为X 上的内积，称X 为具有内积)(⋅⋅,的内积空间，也记为()()⋅⋅,,X .在学习了内积空间的定义后，我们知道若在()E L 2上定义()()()dx x g x f g f E ⎰=, ()()E L g f 2,∈则()E L 2是内积空间.还有其他的内积空间需要我们去探究和研究.以上是我对本学期学习的《泛函分析》的一小部分内容的理解，学习了《泛函分析》后发现这是一门很值得学习和研究的课程，同时是一门相对比较深奥的课程，需要我们更用心去学习.这门课程与其他数学学科有密切的联系，但又有本质的区别，我会在日后更加努力认真学习，去研究和探究其与其他学科的联系与区别，希望能运用《泛函分析》的知识和观点去解决其他学科的问题.。

泛函分析绪论笔记

泛函分析绪论笔记1、泛函分析课程的主要学习目标是什么？了解和掌握空间理论(包括距离空间、赋范空间、内积空间)和线性算子理论(包括线性算子空间、线性算子谱分析)中的基本概念和基本理论；运用全新的、现代数学的视点审视和处理数学基础课程的内容和问题。

本课程努力使学生从全新的视点审视和处理数学基础课程（例如数学分析、线性代数、解析几何、微分方程）。

2、泛函分析的研究对象主要有哪些？主要的研究方法是什么？主要研究对象：1）映射2）运算（算子）微分、积分是线性运算.运算也是一种映射3）无穷维空间主要研究方法：1）综合分析、代数、几何的观点和方法研究无穷维空间上的函数、算子和极限理论，处理和解决数学研究中最关心的一些基本问题.2）几何化泛函分析的特点是把古典分析的基本概念和方法一般化、几何化.3、无穷维空间作为泛函分析的一个主要研究对象，与数学分析和高等代数中大家非常熟悉的有限维空间有什么本质的区别，为什么在研究无穷维空间时还是需要首先研究其中收敛（极限）的问题？无穷维空间与有限维空间本质区别：（一）相同点：讨论线性空间.（二）不同点：1、讨论无穷维。

有限维空间处理方法搬到无穷维2、收敛性有无极限，无穷维求和是一个极限过程研究收敛性的需要：无穷维求和是一个极限过程，加法与无穷级数的区别4、研究无穷维空间时的类比和联想主要是指哪些方面？通过“类比和联想”，把有限维空间处理问题的这种方式推广到更一般的空间(无穷维空间)，复杂问题简单化。

1)无穷维空间的几何结构；2)线性算子的特征和结构；特别是：线性算子T能不能分解?3)无穷维空间的坐标分解解决问题的模式进行类比，泛函分析正是从这些类似的东西中探寻一般的、真正属于本质的东西，把它们抽象化并加以统一处理.类比建立空间框架.从分析、代数中的问题出发，引出泛函分析研究的思想方法。

比如三维（实数）和n维欧几里得空间的向量分解一、无穷维空间线性算子与坐标系我们再把无穷维空间的线性算子(微分运算)与有限维空间的线性算子相对照，进而研究线性算子的分解问题.不同的对称矩阵可以产生不同的正交系.问题:在Fourier级数展开中，这个正交坐标系(1, cosx,sinx, ... ,cos kx, sin kx,...)是否也可以是一些运算(算子)的特征函数?二、无穷维空间线性算子性质上的差别微分和积分是高等数学研究的主要对象.共同点:它们都是线性运算;不同点:粗略地说微分可能把函数放大，积分可能把函数“变小”.三、数学分析、线性代数、微分方程在处理问题.上有许多相似的方法（以上述例子为例）1、问题和元素更一般化(抽象化),空间中的元素(向量)可以是函数或运算(矩阵运算、微分运算、积分运算，级数(极限)运算).2、建立一种空间的框架，把元素(可以是函数或运算)进行坐标分解.我们希望通过类比等方法把它们推广到(结果可能会有差异)泛函分析的研究中去.3、应用几何、代数和分析的综合手段研究解决问题，研究无限维线性空间.上的泛函和算子理论.四、本书的主要内容:（1）第一到第三章，首先引入空间，极限这些概念，讨论它们的性质.i.距离空间;线性赋范空间;内积空间.（2）第四到第五章，研究线性算子(线性算子空间)的性质.有界线性算子，有界线性算子的重要性质;共轭空间;特别是Hilbert空间的共轭空间和共轭算子.重要定理包括:一致有界原则;开映射定理、逆算子定理;闭图像定理;线性泛函的延拓定理(Hahn- Banach定理).这是最核心也是最难的部分.（3）最后两章是线性算子的谱理论.谱分解从结构上展示了线性算子的基本运算特征，特别是紧的自共轭算子的谱分解和有限维空间对称矩阵的分解十分相似.五、目标:(1)理解为什么会有泛函分析，明白泛函分析在做什么;最基本的概念(概念的来源和背景);数学研究的基本方法:化归、类比、归纳、联想;一定的抽象思维的能力;概念清楚，思维清晰(2)努力感悟数学的美学结构.注意：1.要从整体上了解数学.2.要从具体的实例中感悟数学的思想方法.。

泛函分析读书笔记 - 副本

《泛函分析》读书笔记Reading Notes about Functional Analysis崔继峰所谓的泛函呢，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。

在学习泛函之前，需要有扎实的《实变函数》知识。

大学期间，曾用半年时间学过由南开大学刘炳初教授编著，科学出版社出版的《泛函分析》，讲课的是哈尔滨工业大学的包革军教授，他讲泛函的最大特点是把泛函与几何图形有机结合，把艰深的纯理论讲的惟妙惟肖。

在进入研究生学习阶段，《泛函分析》作为计算数学研究生的基础理论课程，是必选的。

我们选用的教材是由武汉大学刘培德教授主编，武汉大学出版社出版的《泛函分析（第二版）》，该教材是面向本科生的，系里之所以考虑选择此教材，是由于考虑到有些学生在本科阶段没有或者很粗浅的认识了《泛函分析》这门课程，主讲该课程的是高云兰博士，她的方向就是算子方面的研究，所以讲解该课程那是轻车熟路了。

课时大约是48学时（粗略估计）。

由于以下两方面的原因：1）对于《泛函分析》认识很粗浅；2）第一次写读书笔记（尤其是专业课类），不知道如何从略。

所以读书笔记可能从在诸多问题，希望老师见谅！下面我从几个方面写本学期学习《泛函分析》的感受和认识。

我本着这样态度写该笔记：1）了解泛函是什么，泛函的发展（很多教材把这个从略）2）把空间的理论知识系统学习，对于其他理论的学习作抛砖引玉之用。

3）学习泛函的实际作用（也就是附录里的滤波器理论的应用）。

泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。

它是20世纪30年代形成的。

从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。

一、泛函分析的产生十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。

这就是，由于对欧几里德第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。

泛函分析部分知识点汇总

度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。

泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。

一、度量空间的进一步例子1、度量空间设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°的充要条件为x=y 2°对任意的z 都成立，则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。

x 中的元素称为点。

2、常见的度量空间（1）离散的度量空间设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点，令称为离散的度量空间。

（2）序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点令称为序列空间。

（3）有界函数空间B(A ）设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义（4）可测函数空间设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若，对任意两个可测函数及由于，所以这是X 上的可积函数。

令（5）C[a,b]空间令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y ，定义二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间1、收敛点列设是（X ，d ）中点列，如果存在，使则称点列是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列的极限。

收敛点列性质：（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。

（2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。

(,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠⎧=⎨=⎩(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()|f tg t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-⎰(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x2、收敛点列在具体空间中的意义（1）n 维欧式空间中：为中的点列，即：按欧式距离收敛于x 的充要条件是依坐标收敛于（2）序列空间S 中：为 S 中的点列，（3）C[a,b]空间设及X 分别为C[a,b] 中的点列及点，（4）可测函数空间M(X)设及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，3、稠密集，可分空间（1）设X 是度量空间，E 和M 是X 中的两个子集，令表示M 的闭包，如果，那么称集M 在集E 中稠密。

泛函分析部分知识总结

泛函分析单元知识总结与知识应用一、单元知识总结第七章、度量空间和赋范线性空间 §1 度量空间§1.1定义：若X 是一个非空集合，:dX X R ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有（1）(,)0d x y =当且仅当xy =；（2）(,)(,)d x y d y x =；（3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。

例：1、设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y≠⎧=⎨⎩当当，则(,)X d 为离散的度量空间。

2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i ii i d x y ξηξη∞=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t Ad x y x y ∈=是度量空间4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t bd x y x y ≤≤=是度量空间5、空间2l ，122=1(,)[(-)]kki d x y y x ∞=∑是度量空间§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §2.1收敛点列：设{}n x 是(,)X d 中点列，如果∃x X ∈，使n lim (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列。

例：1、nn x R ∈，{}n x 按欧氏距离收敛于x 的充要条件为1,i n ∀≤≤各点列依分量收敛。

2、[a,b]C 中(,)0k d x y x x →⇔→（一致）3、可测函数空间()M X 中点列(,)0n n d f f f f→⇔⇒（依测度）稠密子集与可分空间:设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M M M ⊂表示的闭包，如果E ,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时，称M 为X 的一个稠密子集，如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。

2019-2020学年第1学期泛函分析

10.2 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11 线性算子的谱
79
11.1 教学计划 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
= 0.
设 h ∈ C∞[a, b], 则对任意自然数 r ∈ N 以及任意 t ∈ [a, b], 都有
f (r)(t) − g(r)(t) ≤ f (r)(t) − h(r)(t) + g(r)(t) − h(r)(t) ,
从而,
f (r)(t) − g(r)(t)
1 + f (r)(t) − g(r)(t)
5. Cauchy 点列和完备度量空间的定义. Cauchy 点列和收敛点列的关系. 完备和不完备度量空间的具体例子及验证方法 (课本例题以及习题 15 题). 度量空间之间的等距同构, 不完备空间的完备化定理 (Cauchy 等价类方法, 证明略).
6. (列) 紧集的定义 (列) 紧集和有界 (闭) 集的关系. 紧集的拓扑定义——有限覆盖条件. C[a, b] 中列紧集的判别方法——Ascoli-Arezela 定理 (A-A 定理).
7.2 习题
练习 7.1 设 (X, d) 是一个度量空间, x0 ∈ X, ϵ > 0. 令 U(x0, ϵ) = {x | d(x, x0) < ϵ }, S(x0, ϵ) = {x | d(x, x0) ≤ ϵ },
问 U(x0, ϵ) 的闭包是否等于 S(x0, ϵ)?
7.2 习题
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泛函分析笔记

泛函分析笔记作者：邝雪冰笔记题目：纲与开映像定理纲与开映像定理报告人：邝雪冰作者简介：邝雪冰性别：女，硕士研究生学号：14110011020 导师：李应求教授研究方向：概率论与数理统计摘要：本节对有界线性算子的逆算子的有界性问题是在本节中做了初步的讨论，首先从引入疏集的概念，开映射，空间的完备性开始．其次，讲述三个重要的定理：开映像定理，闭图像定理，共鸣定理．有界线性算子是开映射的充分条件[1]．闭图像定理主要是研究算子的连续性与闭性的关系．共鸣定理又称算子族的一致有界原理，其含义是在一定条件下由算子族的点点有界可得出范数有界[2]．一、知识背景对于解方程的问题从泛函分析的角度来看，就是对给定算子:T X Y →，求x X ∈，使得Tx y = （3.1）解的存在性表达成算子T 有右逆1r T -：1r TT I -= （I 表示恒同算子）若令1r x T y -=，则有1r Tx TT y y -==；而解的唯一性表达成算子T 有左逆1l T -：1l T T I -=由Tx y =及1l T -存在，得11l l x T Tx T y --==，所以解x 唯一地被y 决定．也就是说解存在且唯一，当且仅当线性算子T 即既有左逆又有右逆．如果算子T 左右逆同时存在，则它们一定相等，即()()11111111l l l r l r r r T T I T TT T T T IT T --------=====所以这时称算子T 有逆，并记此逆为1T -．设f 是由集合A 到集合B 的映射，如果,x y A ∈，且x y ≠等价于()()f x f y ≠，则称f 为由A 到B 的单射．设f 是从集合A 到集合B 的映射，若()f A B =,即B 中任一元素b 都是A 中某元素的像，则称f 为A 到B 上的满射．换句话来说就是，设,X Y 都是B 空间，(),T L X Y ∈，算子T 称为是单射，是指T 是1-1的，算子T 称为是满射，是指()T x y =．若映射f 既是单射，又是满射，则称映射f 为A 到B 的双射．注（i ）设,X Y 是线性空间，线性算子:A X Y →，如果1A -存在，则1A -也是线性算子；（ii ）设,X Y 是*B 空间，(),A L X Y ∈，如果1A -存在，()R A Y =且1A -是有界线性算子，那么称A 是正则算子；（iii ）设,X Y 是*B 空间，(),A L X Y ∈有界，A 是双射，那么1A -是Y 在X 上的线性算子．一般来说，1A -未必是有界算子．一、主要内容 3.1纲与纲推理定义 3.1.1 设(),X ρ是一个度量空间，集E X ⊂，则称E 是疏的，如果E 的内点是空．命题 3.1.2 设(),X ρ是一个度量空间，为了E X ⊂是疏集必须且仅须：∀球()()()001100,,,,B x r B x r B x r ∃⊂，使得()11,E B x r φ= ．证明：必要性因为E 无内点，所以E 不能包含任一球()00,B x r ．从而()100,x B x r ∈，使得1x E ∉．又由E 是闭，所以10ε∃>，使得()11,B x E εφ= ．取()()110010min ,,r r x x ερ<<-便有()()()110011,,,,B x r B x r E B x r φ⊂= 充分性若E 不疏，既E 有内点，则()00,B x r E ∃⊂．但由假设()()1100,,B x r B x r ∃⊂，使得()11,B x r E φ= ．一方面有()()1111,,B x r E B x r = ；另一方面()11,B x r E φ= 即得矛盾．定义3.1.3 在距离空间(),X ρ上，集合E 称为第一纲的，如果1n n E E ∞== ，其中nE 是疏集．不是第一纲的集合是第二纲集．定理3.1.4 （Baire ）完备度量空间(),X ρ是第二纲集．证：反证法倘若X 是第一纲集，即存在疏集{}n E ，使得1n n X E ∞== （3.2）对任意球()()()()0011001,,,,1B x r B x r B x r r ∃⊂<，使得()111,B x r E φ= ；对()()()11221121,,,,2B x r B x r B x r r ⎛⎫∃⊂< ⎪⎝⎭，使得()()2212,B x r E E φ= ；如此继续下去，对()()()11111,,,,n n n n n n n B x r B x r B x r r n ----⎛⎫∃⊂< ⎪⎝⎭，使得(),n n n B x r E φ= ，从而()1,n n n i i B x r E φ=⎛⎫= ⎪⎝⎭()n ∀∈ （3.3）于是我们得到()()()1122,,,n n B x r B x r B x r ⊃⊃⊃而()1,n p n n x x r nρ+≤< ()n ∀∈ （3.4）由此可见{}n x 是基本列，从而x X ∃∈，使得lim n n x x →∞=．另一方面在（3.4）式中令p →∞得(),n n x x r ρ≤，从而(),n n x B x r ∈ ()n ∀∈ （3.5）联合（3.3）和（3.5）式，有1n n x E ∞=∉ ，这与（3.2）式矛盾．3.2开映像定理如果T 是一个单射，则定义1T -，它是线性的．但它的定义域不一定是全空间Y ，当且它是一个满射时，1T -才是Y 到X 的一个线性算子，此时，我们讨论1T -是不是连续的．定义3.2.1 设,X Y 为两个Banach 空间，T 为X 到Y 的映射，若对于X 中的任意开集G ，G 的像()T G 为Y 中的开集，则称T 为开映射[3]（把开集映射为开集）．定理3.2.2 （Banach ）设,X Y 是B 空间，若(),T L X Y ∈，它既是单射又是满射，那么()1,T L X Y -∈．证明根据定理3.2.3证明中的第（3）段，已知()1,1,U TB θθδ⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭即()11,1,T U B θθδ-⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭或11T y δ-< (),1y Y y ∀∈<．特别地由模的齐次性，y Y ∀∈，0ε∀>，有()11T y y εδ-+<．令0ε→得11T y y δ-<()y Y ∀∈．从而()1,TL X Y -∈．这一定理有一个更一般的形式，也就是定理3.2.3．定理 3.2.3 设,X Y 是B 空间，若(),T L X Y ∈是一个满射，则T 是开映像证明用()0,B x a ，()0,U y b 分别表示,X Y 中的开球．（1）证明是T 开映射，即∀开集W ，()T W 是开集，必须且仅须证明：0δ∃>使得()(),1,TB U θθδ⊃ （3.6）必然性是显然的．充分性由于T 是线性，条件（3.6）等价于()()00,,TB x r U Tx r δ⊃ ()0,0x X r ∀∈∀>()0y T W ∀∈，按定义0x W ∃∈，使得00y Tx =。

泛函分析讲义(中文版-武汉大学)-4a786423a5e9856a5612604e

定义 1
设 X 是某个集合， d : X × X → R 是一个二元映射，满足
（1） d ( x, y ) ≥ 0 ； d ( x, y ) = 0 当且仅当 x = y ．（2） d ( x, y ) = d ( y, x) ．（3） d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) （三角不等式）．则称 d 是 X 上的度量（距离）函数，称 X 为度量（距离）空间．有时为了明确，记为 ( X , d ) ．度量空间的子集合 E ，仍以 d 为 E 上度量构成的度量空间称为 ( X , d ) 的子空间．例1 对于 n 维空间 Φ n 中的点 x = ( x1 ,
Hamel 基．换句话说，任一线性空间必存在 Hamel 基．
凸集和子空间是线性空间中时常用到的子集． X 的子集 E 称为是凸的，若 ∀x, y ∈ E ，
0 ≤ r ≤ 1 ， rx + (1 − r ) y ∈ E ．对于任一集合 E ⊂ X ，记
n n co E = ∑ ri xi : xi ∈ E , ri ≥ 0, ∑ ri = 1, n = 1, 2, i =1 i =1
（提示：设 X 不是仅有 0 元构成，记 X 中全体线性无关子集全体为 F，以集合包含关系为 F 上的半序，则 F 成为半序集。验证其中的每个全序子集族之并是这个全序子集族的上界。根据 Zorn 引理，F 有极大元，此极大元就是 X 的 Hamel 基。读者在第一次阅读时可以隔过这一问题） 4、设 X 是线性空间，证明 E ⊂ X 是 X 的线性子空间当且仅当
记此空间为 (Φ n , d ) . 称之为 n 维欧几里德（Euclid）空间．实际上在 Φ n 上还可以定义其他度量，例如 d1 ( x, y ) = max xi − y i ，此时 (Φ n , d1 ) 仍是度