6.难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律
七年级第二学期数学训练题初一下学期数学难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律
第1页共3页难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究1．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2),,按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P 的坐标是________．2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P 1(0，1)，P 2(1，1)，P 3(1，0)，P 4(1，－1)，P 5(2，－1)，P 6(2，0)，,，则点P 2017的坐标是________．◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，,得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有() A ．10个B ．20个C ．40个D ．80个第3题图第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，,这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2︵，P 2P 3︵，P 3P 4︵，,得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，,得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)，P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为() A ．(－6，24) B ．(－6，25)C ．(－5，24)D ．(－5，25)◆类型三图形变化中的点的坐标探究5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB 沿x 轴正方向做无滑动的。
专题：平面直角坐标系中的变化规律(含答案)
专题：平面直角坐标系中的变化规律——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P2017的坐标是________．◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有() A．10个B．20个C．40个D．80个第3题图第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2︵，P2P3︵，P3P4︵，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上的点P9的坐标为()A．(－6，24) B．(－6，25)C．(－5，24) D．(－5，25)◆类型三图形变化中的点的坐标探究5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是()A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2)C．(14＋3π，2) D．(12＋3π，0)6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0)解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．2．(672，1)解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．3．C解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶可见，第n个正方形每条边上除顶点外还有(n－1)个整点，四条边上除顶点外有4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.4．B解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.5．C6．(1)(16，3)(32，0)(2)(2n，3)(2n＋1，0)解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点A n的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点B n的坐标为(2n＋1，0)．。
难点探究专题：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)
难点探究专题：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一沿坐标轴运动的点的坐标的探究1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．2．如图，平面直角坐标系上的点A(1，0)第1次跳至点A1(－1，1)，第2次跳至点A2(2，1)，第3次跳至点A3(－2，2)，第4次跳至点A4(3，2)……依此规律跳下去，点A第100次跳至的点A100的坐标是________．第2题图第3题图3．★如图，一个动点在第一象限内及x轴、y轴上运动，第1分钟从原点运动到(1，0)，第2分钟内从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向来回运动(在第一象限内运动时，运动方向与x轴或y轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．(1)当动点所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________；(2)在第2016分钟时，这个动点所在位置的坐标是________．◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标的探究4．(甘孜州中考)如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…)的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点A20的坐标为________．第4题图第5题图5．★如图，一甲虫从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到A1(1，0)，第2次运动到A2(1，1)，第3次运动到A3(－1，1)，第4次运动到A4(－1，－1)，第5次运动到A5(2，－1)……则第2015次运动到的点A2015的坐标是________．◆类型三图形变化的点的坐标的探究6．如图，长方形ABCD 的两边BC 、CD 分别在x 轴、y 轴上，点C 与原点重合，点A (－1，2)，将长方形ABCD 沿x 轴向右翻滚，经过1次翻滚点A 对应点记为A 1，经过2次翻滚点A 对应点记为A 2……依此类推，经过5次翻滚后点A 对应点A 5的坐标为( )A ．(5，2)B ．(6，0)C ．(8，0)D ．(8，1)7．如图，在直角坐标系中，第1次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第2次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第3次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3.已知A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA 3B 3变换成△OA 4B 4，则A 4的坐标是________，B 4的坐标是________；(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB 进行了n 次变换，得到△OA n B n ，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A n 的坐标是________，B n 的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0) 解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P 点运动到x 轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P 的坐标是(2016，0)．2．(51，50) 解析：由题意，得A 100在第一象限，纵坐标为1002＝50，横坐标比纵坐标大1.∴点A 100的坐标为(51，50)．3．(1)6分钟(2)(44，8) 解析：观察图形得第12分钟坐标为(1，0)，第22分钟坐标为(0，2)，第32分钟坐标为(3，0)，第42分钟坐标为(0，4)……∵2016<452＝2025，第2025分钟坐标为(45，0)，第2024分钟坐标为(44，0)，2024－2016＝8，∴在第2016分钟时，这个动点所在位置的坐标是(44，8)．4．(5，－5) 解析：∵20÷4＝5，∴点A 20在第四象限．∵点A 4所在正方形的边长为2，∴点A 4的坐标为(1，－1)，同理可得点A 8的坐标为(2，－2)，点A 12的坐标为(3，－3)，∴点A 20的坐标为(5，－5)．5．(－504，504) 解析：观察图形序号(大于4)，被4除余数为1的点在第四象限，被4除余数为2的点在第一象限，余数为3的点在第二象限，能被4整除的点在第三象限.2015被4除商为503，余数为3.由A 3(－1，1)，A 7(－2，2)，可得A 2015(－504，504)．6．D 解析：由题意可得下图，经过5次翻滚后点A 对应点A 5的位置如图所示，故A 5的坐标为(8，1)．故选D.7．(1)(16，3) (32，0) (2)(2n ，3) (2n ＋1，0)解析：(1)∵A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，∴A 4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故A 4的坐标为(16，3)．∵B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)，∴B 4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B 4的坐标为(32，0)；(2)由A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n ，纵坐标都是3.故A n 的坐标为(2n ，3)．由B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n ＋1，纵坐标都是0.故B n 的坐标为(2n ＋1，0)．。
6.难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律
难点研究专题：平面直角坐标系中的变化规律——掌握不一样规律，以不变应万变◆ 种类一沿坐标轴方向运动的点的坐标规律研究1．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点 (1， 1)，第 2 次接着运动到点 (2， 0)，第 3 次接着运动到点 (3， 2)按这样的运动规律，经过第 2016 次运动后，动点 P 的坐标是 ________．2．(2017 阿·坝州中考 )如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，沿着箭头所示方向，每次挪动 1 个单位，挨次获得点 P1(0，1)，P2(1，1)， P3(1， 0)，P4(1，－ 1)，P5(2，－1)， P6(2， 0)，，则点 P2017的坐标是 ________．◆ 种类二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律研究3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第 2 个正方形开始，分别是由第 1 个正方形各极点的横坐标和纵坐标都乘2，3，获得的，请你察看图形，猜想由里向外第10 个正方形四条边上的整点个数共有() A． 10 个B．20 个C．40 个D．80 个第 3题图第4题图4． (2017 ·州中考温 )我们把 1， 1，2， 3， 5，8， 13， 21，这组数称为斐波那契数列，︵︵︵为了进一步研究，挨次以这列数为半径作90°圆弧 P1P2， P2P3，P3P4，获得斐波那契螺旋线，而后按序连结P1P2， P2P3， P3P4，获得螺旋折线(如图 )，已知点P1(0， 1)， P2(－ 1，0)， P3(0，－ 1)，则该折线上的点 P9的坐标为 ()A． (－ 6， 24) B ． (－ 6，25)C． ( －5， 24) D ． (－ 5，25)◆ 种类三图形变化中的点的坐标研究5．(2017 ·南模拟河 )如图，点 A(2，0) ，B(0，2)，将扇形AOB 沿 x 轴正方向做无滑动的转动，在转动过程中点O 的对应点挨次记为点O1，点 O2，点 O3，则 O10的坐标是 ()A． (16＋ 4π， 0)B． (14＋ 4π， 2)C． (14＋ 3π， 2)D． (12＋ 3π， 0)6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA1B1，第二次将三角形 OA1 B1变换成三角形 OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知 A(1， 3)，A1(2， 3)， A2 (4，3)， A3(8， 3)， B(2，0)， B1(4， 0)， B2 (8， 0)，B3(16， 0)．(1)察看每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则 A4的坐标是 __________， B4的坐标是 __________ ；(2)若按 (1) 中找到的规律将三角形OAB 进行了 n 次变换，获得三角形 OA n B n，比较每次变换中三角形极点坐标有何变化，找出规律，推断点A n的坐标是 __________，点 B n的坐标是 __________ ．参照答案与分析1． (2016， 0)分析：联合图象可知，当运动次数为偶数次时，横坐标与运动次数相等．∵2016 为偶数，∴运动2016 次后，动点P 点运动到x 轴上，且P 的坐标是 (2016 ，0) ．2．(672，1)分析：由已知得P7(2，1)， P13(4，1)，因此3361，因此 P2017(336× 2， 1)，即 P2017(672，1)．3． C分析：每个正方形四个极点必定为整点，由里向外第P6n＋1(2n，1)．由于 2017 ÷6＝n 个正方形每条边上除顶点外的整点个数以下表所示：可见，第由里向外第n 个正方形每条边上除极点外的整点个数n 个正方形每条边上除极点外还有123 4012 3(n－ 1)个整点，四条边上除极点外有4(n－1)个整点，加上 4 个极点，共有 4(n－ 1)＋ 4＝4n(个)整点．当 n＝ 10 时， 4n＝ 4×10＝ 40，即由里向外第10 个正方形的四条边上共有40 个整点．应选 C.4．B 分析：由题意， P5在 P2的正上方，推出 P9在 P6的正上方，且到P6的距离为 21 ＋ 5＝ 26，因此 P9的坐标为 (－ 6， 25)，应选 B.5． C6． (1)(16 ， 3) (32，0) (2)(2 n， 3) (2n＋1， 0)24＝ 16，纵坐标为 3.故点分析： (1)∵A1(2， 3)， A2(4， 3)， A3(8，3)，∴ A4的横坐标为A4的坐标为 (16，3)．又∵ B1(4， 0)，B2(8， 0)，B3(16，0) ，∴ B4的横坐标为25＝ 32，纵坐标为 0.故点 B4的坐标为 (32，0)． (2)由 A1 (2，3)， A2 (4，3)， A3(8，3)，能够发现它们各点坐标的关系为横坐标是 2n，纵坐标都是 3.故点 A n的坐标为 (2n，0)．由 B1(4，0)，B2 (8，0)，B3(16，0)，能够发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点 B n的坐标为 (2n＋1，0)．。
平面直角坐标系变化规律
平面直角坐标系变化规律一、平面直角坐标系中的平移变化规律1. 点的平移- 在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点(x + a,y)（或(x - a,y)）；- 将点(x,y)向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y + b)（或(x,y - b)）。
- 例如：点A(2,3)向右平移3个单位长度，得到点A'(2 + 3,3)=(5,3)；点A(2,3)向下平移2个单位长度，得到点A''(2,3 - 2)=(2,1)。
2. 图形的平移- 图形的平移实际上就是图形上各个点的平移。
例如，三角形ABC三个顶点A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3)，将三角形ABC向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度，则A点变为A'(x_1 + a,y_1 + b)，B点变为B'(x_2+a,y_2 + b)，C点变为C'(x_3 + a,y_3 + b)，新的三角形A'B'C'就是原三角形ABC平移后的图形。
二、平面直角坐标系中的对称变化规律1. 关于x轴对称- 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。
- 例如：点P(3,4)关于x轴对称的点P'(3,-4)。
- 对于图形来说，图形关于x轴对称，就是图形上所有点关于x轴对称后得到的新图形。
如三角形ABC关于x轴对称，A(x_1,y_1)变为A''(x_1,-y_1)，B(x_2,y_2)变为B''(x_2,-y_2)，C(x_3,y_3)变为C''(x_3,-y_3)，新的三角形A''B''C''就是三角形ABC关于x轴对称后的图形。
2. 关于y轴对称- 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为( - x,y)。
难点探究专题：平面直角坐标系中的新定义与规律探究北师大版八年级上册数学作业课件
形AENK中，∴x＜3，y＞－3.∴方程②可变形为 1)→
3．平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为点M，N的“和 点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A(2，5)，B(－1，
∴－1＜x＜5，－5＜y＜1.又∵M到A，B，C距离
解析：设M(x，y)，由“实际距离”的定义可知点M只能在长方形ECFG区域内，
相等，∴|x－3|＋|y－1|＝|x－5|＋|y＋3|＝|x＋1|＋ (1，0)→…]，每秒移动一个单位，
又∵M到A，B，C距离相等，∴|x－3|＋|y－1|＝|x－5|＋|y＋3|＝|x＋1|＋|y＋5|①. (2)根据图示知O的坐标是(0，0)．
m2 y＝－2.∴点M的坐标为(1，－2)．
3．平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)， 规定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c， b＋d)为点M，N的“和点”．若以坐标原点O与任 意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形， 则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A(2， 5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四 边形是“和点四边形”，则点C的坐标是__(1_，__8_)_或___ __(_－__3_，__－__2_)或__(_3_，__2_)____ ．
设C点的坐标为(x2，y2)，则2＝－1＋x2，5＝3＋y2， 解得x2＝3，y2＝2，故C(3，2)．综上所述，点C的 坐标为(1，8)或(－3，－2)或(3，2)．
人教版七年级数学下册 复习课专题(二) 难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律课件(共23张PPT)
y A2
A6
O 3 6 9 12 15
A1
x
A4
A5
12
知识点二：图绕原点呈“回”字型运动点的坐标规律探究
学以致用
3、小明在学习了平面直角坐标系后,突发 奇想,画出了如图的图形，他把图形与x轴 正半轴的交点依次记A1(1,0),A2(5,0),…,An。, 图形与y轴正半轴的交点依次记作B1(0,2), C2 C 1 B2(0,6)，…，Bn。图形与x轴负半轴的交点 -5 -4 -3 依次记作C1(- 3,0),C2(- 7,0),…,Cn，图形与y 轴负半轴的交点依次记作D1(0,-4),D2(0,8),…，Dn，发现其中包含了一定的数学规 律.请根据你发现的规律完成下列题目: (1)请分别写出下列点的坐标:A3,B3 ,C3,D3; 解:(1)A3,(9,0) ,B3(0,10)，C3(-11,0),D3(0，-12).
知识结构图
沿坐标轴方向运动的点 的坐标规律
在平面直角坐标系中 的变化规律
图绕原点呈“回”字型 运动点的坐标规律 图形变化中的点的坐标 规律
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蓦然回首
对自己说，你有什么收获？
对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？
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作业布置
1.《导学案》第91页单元测；
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3 2 1
y A A1 A2
O
[解析](1)∵A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3), ∴A4的横坐标为24=16，纵坐标为3. 故点A4的坐标为(16,3). 又∵B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0), ∴B4的横坐标为25=32,纵坐标为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 x B2 B B1 故点BB 的坐标为 (32,0). 4 3
难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律解题技巧.doc
难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P2017的坐标是________．◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有( ) A．10个B．20个C．40个D．80个第3题图第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2︵，P 2P 3︵，P 3P 4︵，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)，P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为( )A ．(－6，24)B ．(－6，25)C ．(－5，24)D ．(－5，25)◆类型三 图形变化中的点的坐标探究5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB 沿x 轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O 的对应点依次记为点O 1，点O 2，点O 3…，则O 10的坐标是( )A ．(16＋4π，0)B ．(14＋4π，2)C ．(14＋3π，2)D ．(12＋3π，0)6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1，第二次将三角形OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3.已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B(2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA 3B 3变换成三角形OA 4B 4，则A 4的坐标是__________，B 4的坐标是__________；(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB 进行了n 次变换，得到三角形OA n B n ，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n 的坐标是__________，点B n 的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0) 解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．2．(672，1) 解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．3．C 解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶点外的整点个数如下表所示：4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.4．B 解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.5．C6．(1)(16，3) (32，0) (2)(2n，3) (2n＋1，0)解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点A n的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点B n的坐标为(2n＋1，0)．。
平面直角坐标系中的规律探究问题(解析版)-2023-2024学年八年级数学上册学与练(北师大)
第04讲难点探究专题：平面直角坐标系中的规律探究问题目录【类型一平面直角坐标系中动点移动问题】..................................................................................................1【类型二平面直角坐标系中图形翻转问题】..................................................................................................7【类型三平面直角坐标系中新定义型问题】 (11)【类型一平面直角坐标系中动点移动问题】例题：（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一动点沿箭头所示的方向，依次得到点1(01)P ，，2(11)P ，，3(10)P ，，4(11)P ，-，5(21)P ，-，…，则2023P 的坐标是．【答案】(674,1)【分析】由图可得，1(01)P ，，6(24)P ，，9(30)P ，，12(40)P ，，…，当n 能够被3整除时，点坐标为(0)3nnP ，，根据20223674÷=得2022(6740)P ，，点按“上→右→下→下→右→上”6次一循环，则20236=3371÷ ，根据点2023P 在点2022P 的上方，即可得．【详解】解：由图可得，1(01)P ，，6(24)P ，，9(30)P ，，12(40)P ，，…当n 能够被3整除时，点坐标为(0)3n nP ，，∵20223674÷=，∴2022(6740)P ，，∵按“上→右→下→下→右→上”6次一循环，∴20236=3371÷ ，∵点2023P 在点2022P 的上方，∴2023(674,1)P 故答案为：(674,1)．【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，解决问题的关键找出图形的变化规律．【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A 从()10，出发，向上运动1个单位长度到达点B ()11，，分裂为两个点，分别向左、右运动到点C ()02，，D ()22，，此时称动点A 完成第一次跳跃；再分别从C ，D 点出发，每个点重复上面的运动，到达点G ()14-，，H ()14，，I ()34，，此时称动点A 完成第二次跳跃；依此规律跳跃下去，动点A 完成第2023次跳跃时，最右边一个点的坐标是（）A ．()20234046，B ．()202320232，C ．()20244046，D ．()202320242，【答案】C【分析】根据题意找到点坐标变化的规律即可．【详解】解：由题意可得：A ()10，、D ()22，、I ()34，．．．每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1，则动点A 完成第2023次跳跃时，最右边一个点纵坐标为202324046⨯=，横坐标为：202312024+=故选：C ．【点睛】本题考查了点坐标规律的探索．根据题意寻找变化规律是解题关键．2．（2023春·重庆·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排列，如(1)0，，(2)0，，(21)，，(32)，，(3)1，，(30)，，…，根据规律探索可得，第40个点的坐标为()A ．(9)2，B ．(93)，C ．(9)4，D ．(9)5，【答案】D【分析】由题意知，把第一个点(1)0，作为第一列，(2)0，，(21)，作为第二列，(32)，，(3)1，，(30)，作为第三列，进而可推导一般性规律为：第n 列有n 个数，则n 列共有()12n n +个数，且奇数列的点的顺序由上到下，偶数列点的顺序由下到上，由()881362⨯+=，可知第40个点的坐标在第9列，从上往下第4个点，进而可求点坐标．【详解】解：由题意知，把第一个点(1)0，作为第一列，(2)0，，(21)，作为第二列，(32)，，(3)1，，(30)，作为第三列，进而可推导一般性规律为：第n 列有n 个数，则n 列共有()12n n +个数，且奇数列的点的顺序由上到下，偶数列点的顺序由下到上，∵()881362⨯+=，∴第40个点的坐标在第9列，从上往下第4个点，坐标为()95，，故选：D ．【点睛】本题考查了点规律的探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．3．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形1OABC 是正方形，曲线12345C C C C C 叫作“正方形的渐开线”，其中 12C C ， 23C C ， 34C C ， 45C C ，…的圆心依次按O ，A ，B ，1C 循环．当1OA =时，点2023C 的坐标是()A ．)12(022--，B ．)20231(-，C ．)12(023--，D ．(2022)0，【答案】A【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出2023C 在第三象限，与3C ，7C ，11C ，…符合同一规律，探究出3C ，7C ，11C ，...的规律即可．【详解】解：由图得123450110()()()()(140)205C C C C C ---，，，，，，，，，，67(506)1()C C --，，，，…点C 的位置每4个一循环，202350543=⨯+，∴2023C 在第三象限，与3C ，7C ，11C ，…符合规律()11n --+，，∴2023C 坐标为)12(022--，．故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点()11,1P --；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点2P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点3P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4P ，…，按此作法进行下去，则点2023P 的坐标为．【答案】(1012,1012)--【分析】对奇数点，偶数点分开讨论，找出点坐标与序数的关系，总结规律求解．【详解】解：()11,1P --，1112+-=-；2(1,1)P ，212=；3(2,2)P --，3122+-=-；4(2,2)P ，422=；……当n 为奇数时，11,22n n n P ⎛⎫⎪⎝++-⎭-；当n 为偶数时，,22n n n P ⎛⎫⎪⎝⎭；∴20232023120231(,)22P ++--，即2023(1012,1012)P --．故答案为：(1012,1012)--．【点睛】本题考查点坐标规律探索，由开始的几个点坐标总结规律是解题的关键，注意分开讨论．5．（2023秋·黑龙江佳木斯·八年级佳木斯市第五中学校联考开学考试）如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点()11-，，第2次接着运动到点()20-，，第3次接着运动到点()32-，，……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P 的坐标是．【答案】()20251-，【分析】设动点P 运动了n 次，则点P 的横坐标为n -，点P 的纵坐标按1，0，2，0，1，0，2，0，⋅⋅⋅⋅⋅⋅重复出现，每4个数为一个循环．【详解】解：设动点P 运动了n 次．观察图形中点的坐标可知：点P 的横坐标为n -，点P 的纵坐标按1，0，2，0，1，0，2，0，⋅⋅⋅⋅⋅⋅重复出现，每4个数为一个循环．∵202545061÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴当点P 经过2025次运动后，横坐标为2025-，纵坐标为1．即点P 的坐标为()20251-，．故答案为：()20251-，．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标的规律，根据已知点的坐标归纳概括出点的坐标的规律是解题的关键．6．（2023春·四川内江·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，(1,1),(1,1),(1,2),(1,2)A B C D ----把一条长为a 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A B C D A →→→→⋅⋅⋅的规律紧绕在四边形ABCD 的边上．（1）当12a =时，细线另一端所在位置的点的坐标是；（2）当2023a =时，细线另一端所在位置的点的坐标是．【答案】()1,1-()1,0-【分析】根据点的坐标，求出四边形ABCD 的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．【详解】解：∵()()()()1,11,11,21,2A B C D ----，，，，∴2323AB BC CD DA ====，，，，∴四边形ABCD 的周长为232310+++=，∴细线绕一圈的长度为10，∵121012÷= ，∴当12a =时，细线另一端所在位置的点与点B 重合，坐标为：()1,1-；∵2023102023÷= ，∴当2023a =时，细线另一端所在位置的点在点B 下方1个单位长度处，即为：()1,0-；故答案为：()1,1-，()1,0-；【点睛】本题考查坐标与图形，点的规律探究，解题的关键是求出四边形ABCD 的周长。
专题5：平面直角坐标系中的变化规律
∵45²=2025,45是奇数, ∴第2025个点是(45,0), 第2023个点是(45, 3),
针对练习
2.如图，在平面直角坐标系中，每个小正 方形方格的边长都是1个单位长度， P1,P2,P3 ......均在格点上，其顺序按箭头方 向排列，如： P1(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(1,-1), P5(-1,-1),P6(-1,2) ......根据这个规律， 点P2016的坐标为则顶点P2018的坐标是 (,)
知识点二：图绕原点呈“回”字型运动点的坐标规律探究
例2. 如图,由里向外数第2个正方 形开始，分别是由第1个正方形各 顶点的横坐标和纵坐标都乘2,3,… 得到的,请你观察图形，猜想由里 向外第10个正方形四个顶点的坐 标分别是多少？
（0，10） （10，0）
（-10，0） （0，-10）
y
4 3 2 1
人教版.七年级下册 专题5：平面直角坐标系中的变化规律
学习目标： 1. 在掌握点的平移与坐标变化之间的关系的基础上解决点 的坐标规律问题. 2.通过图形的变化探究图形各个点的坐标变化规律，从而 解决图形变化的点的坐标规律问题 重、难点： 图形变化的点的坐标规律问题.
知识点一：沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究
y
3
A A1
A2
A3
2
1
O 1 B2 3 B41 5 6 7 B8 2 9 10 11 12 13 14 15 16B137
x
分析：由A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3)，可以发现它们各点横坐标 是2n，纵坐标都是3.故点An的坐标为(2n,3).由B1(4.0)、 B2(8,0),B3(16,0)，可以发现它们各点横坐标是2n+1，纵坐标都 是0，故点Bn的坐标为(2n+1,0).
北师大版数学八年级上册难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律-课件
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/252021/9/25Saturday, September 25, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/252021/9/252021/9/259/25/2021 1:20:23 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/252021/9/252021/9/25Sep-2125-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/252021/9/252021/9/25Saturday, September 25, 2021
• You have to believe in yourself.பைடு நூலகம்That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/252021/9/252021/9/252021/9/259/25/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月25日星期六2021/9/252021/9/252021/9/25 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/252021/9/252021/9/259/25/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/252021/9/25September 25, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/252021/9/252021/9/252021/9/25
人教版数学七年级下册7.平面直角坐标系中的变化规律-课件
典例精讲
例：如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，
A5(2，－1)，…，则A2 013的坐标为_(_5_0_4_，_-_5_03_)．
2 013＝4×503＋1 (n＝503)，
典例精讲
例：如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，0）、B（0，4）， 且AB=5，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、 △4…，则△2013的直角顶点的坐标为 (8052, 0)．
∵671×12=8052， ∴△2013的直角顶点的坐标为(8052，0).
课典堂例小精结讲
平面直角坐标系中的变化规律 Nhomakorabea方法： 动点找规律——分析横、纵坐标与运动次数n的关系
图形运动找规律——先分析图形整体位置，再看所研究点的位置
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使使
人人
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细实
；；
博会
物谈
使使
人人
深敏
沉捷
；；
You made my day!
典例精讲
类型一：沿坐标轴运动的点的坐标规律探究
例：如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上
、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得
到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，…，那么点A4n＋1(n是
自然数)的坐标为___(2_n，__1)_____．
伦 理 使 人 庄 重 ； 逻 辑 与 修 辞 使 人 善 辩 。
写 作 与 笔 记 使 人 精 确 ； 史 鉴 使 人 明 智 ； 诗
歌
每三个三角形为一个循环组依次循环， 一个循环组前进的长度为4+5+3=12，
人教版2018-2019年七年级数学下册 难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律(含答案)
难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一 沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究1．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P 的坐标是________．2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P 1(0，1)，P 2(1，1)，P 3(1，0)，P 4(1，－1)，P 5(2，－1)，P 6(2，0)，…，则点P 2017的坐标是________．◆类型二 绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有( )A ．10个B ．20个C ．40个D ．80个第3题图 第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2︵，P 2P 3︵，P 3P 4︵，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)，P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为( )A ．(－6，24)B ．(－6，25)C ．(－5，24)D ．(－5，25)◆类型三 图形变化中的点的坐标探究5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是()A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2)C．(14＋3π，2) D．(12＋3π，0)6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0)解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．2．(672，1)解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．3．C解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶点外的整点个数如下表所示：可见，第n个正方形每条边上除顶点外还有(n－1)个整点，四条边上除顶点外有4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.4．B解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.5．C6．(1)(16，3)(32，0)(2)(2n，3)(2n＋1，0)解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点A n的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点B n的坐标为(2n＋1，0)．。
平面直角坐标系中点的变化规律
平面直角坐标系中点的变化规律1. 引言在数学的世界里，坐标系就像一张大地图，帮我们搞清楚每一个点的位置。
今天，我们来聊聊平面直角坐标系中的点是怎么变化的，听起来可能有点抽象，但其实很有趣。
2. 基本概念2.1 坐标系的构成平面直角坐标系就是我们常说的“X轴”和“Y轴”组成的坐标系统。
X轴横着，Y轴竖着，两者交汇的地方就是原点（0,0）。
点的位置就靠它的坐标（X, Y）来决定。
2.2 点的移动说到点的移动，就是在这个坐标系里，点的位置怎么随着某些因素发生变化。
比如，如果点的X坐标增加了，那点就往右移动；Y坐标增加了，点就往上移动。
简单来说，就是看着点在“X”方向和“Y”方向上的变化。
3. 点的变化规律3.1 按X轴方向的变化当我们谈到点在X轴方向的变化时，想象一下你在坐标系上滑动小点。
比如，点从（2, 3）移动到（5, 3），你会发现它只是在水平线上移动，没有垂直的变化。
这种变化就是X坐标变化了，而Y坐标保持不变。
3.2 按Y轴方向的变化而点在Y轴方向的变化，情况就不同了。
比如，点从（2, 3）移动到（2, 6），你会看到它只是沿着竖直方向移动。
这个时候，X坐标保持不变，而Y坐标增加了。
4. 综合变化4.1 同时改变X和Y有时候，点的变化是同时发生在X和Y两个方向上的。
例如，点从（1, 1）变到（4, 5），你可以看到，它在X方向上移动了3单位，在Y方向上移动了4单位。
这种情况可以用坐标的变化量来描述，也就是（41, 51）。
4.2 变化规律的实际应用这些点的变化规律不仅仅是在课堂上有用，它们在实际生活中也有很大的作用。
例如，你在设计图纸时，需要根据坐标系来确定每个点的位置；或者在地图上找到某个位置，也离不开这些坐标的变化规律。
5. 总结了解平面直角坐标系中的点如何变化，就像是掌握了如何在地图上找到自己的位置。
它不仅让我们理解坐标的基本操作，还能帮助我们在实际生活中解决问题。
只要把握了点在X轴和Y轴上的变化规律，我们就能更加得心应手地应对各种数学和实际问题。
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难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律
——掌握不同规律，以不变应万变
类型一 沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究
◆1．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P 的坐标是________．
2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P 1(0，1)，P 2(1，1)，P 3(1，0)，P 4(1，－1)，P 5(2，－1)，P 6(2，0)，…，则点P 2017的坐标是________．
类型二 绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究
◆3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有( )
A ．10个
B ．20个
C ．40个
D ．80个
第3题图 第4题图
4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，
为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋
P 1P 2︵ P 2P 3︵ P 3P 4︵ 线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)，
P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为( )
A ．(－6，24)
B ．(－6，25)
C．(－5，24) D．(－5，25)
◆
类型三 图形变化中的点的坐标探究
5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动
的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是( ) A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2)
C．(14＋3π，2) D．(12＋3π，0)
6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．
(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变
换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；
(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每
次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的
坐标是__________．
参考答案与解析
1．(2016，0) 解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．2．(672，1) 解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为
2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．
3．C 解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶点外的整点个数如下表所示：
由里向外第n个正方形1234…
每条边上除顶点外的整点个数0123…
可见，第n个正方形每条边上除顶点外还有(n－1)个整点，四条边上除顶点外有
4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，
4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.
4．B 解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.
5．C
6．(1)(16，3) (32，0) (2)(2n，3) (2n＋1，0)
解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点A n的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点B n的坐标为(2n＋1，0)．。