拟合优度检验-

检验步骤： （一）提出无效假设与备择假设 H0：实际观察次数之比符合9∶3∶3∶1的理论比例。 HA：实际观察次数之比不符合9∶3∶3∶1的理论 比例。 （二）选择计算公式 由于本例的属性类别分类数 k=4：自由 度df=k1=4-1=3>1，故计算2。 （三）计算理论次数 依据各理论比例9:3:3:1计算理论次数：
为了弥补B这一不足，将各差数平方除以相应的理论
次数后再相加，并记之为2 ，即
(Oi Ti ) Ti
2
2
也就是说2是度量实际观察次数与理论次数偏离 程度的一个统计量， 2越小，表明实际观察次数 与理论次数越接近； 2 =0，表示两者完全吻合； 2越大，表示两者相差越大。
二、2分布
这时需要分析药物种类与疗效是否相关，若两者彼此 相关，表明疗效因药物不同而异，即两种药物疗效不 相同；若两者相互独立，表明两种药物疗效相同。这 种根据次数资料判断两类因子彼此相关或相互独立的 假设检验就是独立性检验。＊独立性检验实际上是基 于次数资料对因子间相关性的研究。
独立性检验与拟合优度检验是两种不同的 检验方法，除了研究目的不同外，还有以下区 别：
(i行总数）（j列总数） Tij 总数
例 7.3 下表是不同给药方式与给药效果表 给 药方式与给药效果的2×2列联表
给药方式 有效(A1)
口服(B1) 注射(B2) 58 64
无效(A2)
40 31
总 数
98 95
有效率
59.2％ 67.4％
总
数
122
71
193
上 表 称 为 2×2 列 联 表 (2×2 contingency table)。 2×2列联表的 2 检验一般需经以下各步：
P( AB) P( A) P( B)
反过来，若事件A和事件B同时出现的概率等于它们分 别出现的概率的乘积，那么事件A 和事件B是独立的两者无 关联。若事件A和事件B 同时出现的概率不等于它们分布出 现的概率的乘积，则这两个事件间是有关联的。
例 7.3 的零假设是给药方式与给药效果之间无关联，则 口服与有效同时出现的理论频率应为口服的频率与有效的 频率的乘积， P(BA) ＝ P(B)P(A) ＝ (98 ／ 193)(122 ／ 193) 。 其 理 论 数 T1 应 当 用 理 论 频 率 乘 以 总 数 得 出 ， T1 ＝ (98 ／ 193)(122／193)(193)＝(98)(122)／193＝61.15。同样可以 计算出另外三种情况的理论数。 （3）如吻合度检验那样计算2值。若2＜2α，则观察数 与理论数是一致的， 给药方式与给药效果间无关联的假设 可以成立。若2＞2α，则观察数与理论数不一致，说明给 药方式与给药效果间是有关联的，不同的给药方式产生不 同的效果。
7.1.2 拟合优度检验的统计量（P92）ห้องสมุดไป่ตู้
一、 2统计量的意义
为了便于理解，现结合一实例说明2 (读作卡方) 统计量的意义。根据遗传学理论，动物的性别比例 是1:1。统计某一年所产的876只实验动物，有雄性 428只，雌性448只。按1:1的性别比例计算，雌雄均 应为438只。以Oi表示实际观察次数，Ti 表 示 理 论 次数，可将上述情况列成下表。
比例发生了实质性的变化?
要回答这个问题： ①首先需要确定一个统计量用以表示实际观察次数与 理论次数偏离的程度； ②然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行 显著性检验。
为了度量实际观察次数与理论次数偏离程度：
A：最简单的办法是求出实际观察次数与理论次数的 差数。如上表：O1-T1 =-10，O2-T2=10，由于这两个 差数之和为0，显然此方法不可行； B：计算∑(O-T)2，其值越大，实际观察次数与理论次 数相差亦越大，反之则越小。但尚有不足。例如某一 组 实 际 观 察 次 数为505、理论次数为500，相差5； 而另一组实际观察次数为26、 理论次数为21，相差亦 为 5。
当自由度大于1时，原公式的2分布与连续型随机
变量2分布相近似，这时，可不作连续性矫正，但要
求各组内的理论次数不小于5。若某组的理论次数小 于5，则应把它与其相邻的一组或几组合并，直到理 论次数大 于5 为止。
• 统计量：
(Oi Ti ) Ti i 1
2 r
2
• 使用条件：
– 各理论值均大于5。 – 若自由度为1，则应作连续性矫正：
1、rc个理论次数的总和等于rc个实际次数的总和；
2、r个横行中的每一个横行理论次数总和等于该 行实际次数的总和 。 独立的行约束条件只有r-1个； 3、类似地，独立的列约束条件有c-1个。 因而在进行独立性检验时，自由度为rc-1-(r-1)-(c1)=(r-1)(c-1)，即等于（横行属性类别数-1）×（直 列属性类别数-1）。
上面引入了统计量2， 它近似地服从统计学中一种 连续型随机变量的概率分布2分布。下面对统计学 中的2分布作一简略介绍。 设有一平均数为μ、方差为 的正态总体。现从此 总体中独立随机抽取n个随机变量：x1、x2、…、xn， 并求出其标准正态离差：
2
u1
x1

u2
x2
黑色无角牛的理论次数T1：360×9/16=202.5；
黑色有角牛的理论次数T2：360×3/16=67.5； 红色无角牛的理论次数T3：360×3/16=67.5；
红色有角牛的理论次数T4：360×1/16=22.5。
或 T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5
（四）列表计算2
表 2计算表
2 c
的连续性矫正
由公式计算的2只是近似地服从连续型随机变量
2分布。在对次数资料进行2检验利用连续型随机变
量2分布计算概率时，常常偏低，特别是当自由度为1
时偏差较大。
Yates(1934)提出了一个矫正公式，矫正后的2值 记为 ：
2 c
=

( Oi Ti 0.5) Ti
2
(7-2)
生物统计学
第七章 拟合优度检验- 2检验
§7.1、拟合优度检验的一般原理
7.1.1 什么是拟合优度检验（P92）
拟合优度检验的意义
判断实际观察的属性类别分配是否符合已知属 性类别分配理论或学说的假设检验。 简单的说：＊用于检验总体是否服从某个指定 分布。 Ⅰ.检测观察数与理论数之间的一致性； Ⅱ.通过检测观察数与理论数之间的一致性来判定事 物之间的独立性。
7.2.2 对二项分布的检验（P93）
下面结合实例说明适合性检验方法。
（总体参数已知 ）
【例】 在研究牛的毛色和角的有无两对相对性状分离
现象时 ，用黑色无角牛和红色有角牛杂交 ，子二代出
现黑色无角牛192头，黑色有角牛78头，红色无角牛72 头，红色有角牛18头，共360头。试 问这两对性状是否 符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的遗传比例？
§7.3、独立性检验
7.3.1 列联表2 检验（P97）
一、独立性检验的意义
对次数资料，除进行拟合优度检验外，有时需 要分析两类因子是相互独立还是彼此相关。如研究 两类药物对实验动物某种疾病治疗效果的好坏，先 将动物分为两组，一组用第一种药物治疗，另一组 用第二种药物治疗，然后统计每种药物的治愈头数 和未治愈头数。
表
性别
动物性别实际观察次数与理论次数
实际观察 理论次 次数Oi 数Ti O i－T i （Oi－Ti）2/Ti
雌
雄 合计
428
448 876
438
438 876
-10
10 0
0.2283
0.2283 0.4563
从上表可以看到 ，实际观察次数与理论次数存在
一定的差异。 这个差异是属于抽样误差、还是其性别
～ 2 (n)；

2
若用样本平均数
量
n
x 代替总体平均数μ，则随机变
2 i
x
2
(x x)
i 1

2

(n 1) S 2
2
服从自由度为n-1的2分布，记为
(n 1) S
2
～

2

2
( n 1)
显 然 ，2≥0 ， 即 2 的 取 值 范 围 是[0,+∞；2 分布密度曲线是随自由度不同而改变的一组曲线。随 自由度的增大， 曲线由偏斜渐趋于对称；df≥30时， 接近正态分布。下面给出了几个不同自由度的2概率 分布密度曲线。

un
xn

记这n个相互独立的标准正态离差的平方和 为 2 ：
x u u ... u
2 2 1 2 2
n
u (
2 i
xi

)2
(x )
i 1 i
2 n
2
2
它服从自由度为n的2分布，记为
2 ( x ) i i 1 n
（三）在无效假设成立的条件下，按已知属性
类别分配的理论或学说计算 各属性类别的理论
次数。
（四）计算出2或2c。
（五）根据自由度k-1（若属性类别分类数为 k ，则 适合性检验的自由度为 k-1）查2值表(附表)所得的临 界2值：20.05、20.01，将所计算得的2或2c值与其比 较，作出统计推断： 若2 (或2c)＜20.05，P＞0.05，表明实际观察次 数与理论次数差异不显著，可以认为实际观察的属性 类别分配符合已知属性类别分配的理论或学说； 若20.05≤2 (或2c)＜20.01， 若2 ( 或2c)≥20.01，

2 i 1
r
( Oi Ti 0.5) Ti
2
§7.2、拟合优度检验
7.2.1 一般程序（P93）
方法为：
– 把x的值域分为r个不相重合的区间， 再计算在指定的分布下，x落入每一区 间的概率pi – 统计样本含量为n的抽样中，观察值落 入各区间的次数Oi – 用统计量进行检验，步骤如下：
（一） 独立性检验的次数资料是按两因子属性类 别进行归组。根据两因子属性类别数的不同而构成 2×2、2×c、r×c列联表（r 为行因子的属性类别数， c 为 列 因子的属性类别数）。而适合性检验只按某一 因子的属性类别将如性别、表现型等次数资料归组。
（二）拟合优度检验按已知的属性分类理论或学说， 计算理论次数。独立性检验在计算理论次数时没有现 成的理论或学说可资利用，理论次数是在两因子相互 独立的假设下进行计算。 （三）在拟合优度检验中确定自由度时，只有一个 约束条件：各理论次数之和等于各实际次数之和，自 由度为属性类别数减1。而在r×c列联表的独立性检 验中，共有rc个理论次数，但受到以下条件的约束：
（1）提出零假设：认为有效或无效与给药方式并无关联。 实际观察的结果与在两者之间并无关联的前提下，从理论 上推导出的理论数之间无差异。即H0：O－T＝0。 （ 2 ）根据概率乘法法则，若事件 A 和事件 B 是相互独立 的，或者说它们之间并无关联，这时事件A和事件B同时出 现的概率等于它们分别出现的概率乘积。
显著， 可以认为毛色与角的有无两对性状杂 交 二 代
的 分 离 现 象 符 合 孟 德 尔遗传规律中9∶3∶3∶1 的遗传比例。
例7.1；7.2（P93;94）
• 总体参数未知 例P95，表7-1 不同之处：要由样本估计出总体参数。
7.2.3 对正态分布的检验（P96） 7.2.4 其他类型问题的检验（P97）
二、独立性检验的方法
（一）2×2列联表的独立性检验
2×2列联表的一般形式如下表所示，其自由度 df=( c -1) (r-1)=(2-1) (2-1)=1，在进行2检验时，需作连续性矫 2 正，应计算 c 值。
表 2×2列联表的一般形式
其中Aij为实际观察次数，Tij为理论次数。
• 其理论数的计算为：
检验步骤如下： （一）提出无效假设与备择假设 （二）选择计算公式 （三）计算理论次数
＊
（四）计算2值
(五) 查临界2值，作出统计推断
说明：
（一） H0：实际观察的属性类别分配符合已知
属性类别分配的理论或学说；HA：实际观察的
属性类别分配不符合已知属性类别分配的理论
或学说。
（二）选择计算出2还是2c。
(Oi Ti ) (AT) x Ti T
2 2
2
=0.5444+1.6333+1.6333+0.9
=4.711
（五）查临界2值，作出统计推断 当df=3时，20.05(3)=7.81，因 2<2005(3) ，P>0.05， 不能否定H0 ，表明实际观察次数与理论次数差异不