八年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题04 正方形
正方形的判定培优(教案)
-解决实际问题时选择合适的方法：学生在面对具体问题时，可能不清楚如何选择恰当的正方形性质和判定方法进行求解。
举例：
a.在讲解判定条件时，通过对比矩形、菱形的判定方法，帮助学生区分并理解正方形的特殊性。
1.讨论主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用直尺、量角器等工具判定一个四边形是否为正方形。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
正方形的判定培优（册“几何图形的判定与应用”章节，主要内容为“正方形的判定培优”。将围绕以下要点展开：
1.掌握正方形的定义及基本性质；
2.学会运用邻边相等、对角线互相垂直平分、有一个角是直角的矩形等条件判定正方形；
3.熟练掌握正方形面积和周长的计算方法；
4.解决实际问题时，能够灵活运用正方形的性质和判定方法。
b.在逻辑推理过程中，通过逐步引导，让学生参与推导过程，加深对判定条件的理解。
c.针对实际应用问题，举例说明如何根据题目特点选择合适的正方形性质和判定方法，让学生在解决问题的过程中掌握方法选择的关键。
辅导培训--正方形能力提高题练习八年级数学
正方形能力训练点对点·课时内考点巩固6分钟1. (2019遵义)我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是()A. AC，BD相等且互相平分B. AC，BD垂直且互相平分C. AC，BD相等且互相垂直D. AC，BD垂直且平分对角2. (2019毕节)如图，点E在正方形ABCD边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD 的面积为()A. 3B. 3C. 5D. 53.(2019扬州)如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝________．第2题图第3题图点对线·板块内考点衔接15分钟1. (人教八下P67第1(3)题改编)如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为()A. 45°B. 55°C. 60°D. 75°2.把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为()A. 16 B.13 C.15 D.14第1题图第2题图123. (2019陕师大附中模拟)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以对角线AC 为一边作菱形AEFC ，连接AF 交BC 于点G ，则BG 的长为( )A. 22－2B. 22－1C. 2D. 14. (2019菏泽)如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC ＝8，AE ＝CF ＝2，则四边形BEDF 的周长是________．第3题图第4题图5. (2019黄冈)如图，ABCD 是正方形，E 是CD 边上任意一点，连接AE ，作BF ⊥AE ，DG ⊥AE ，垂足分别为F ，G .求证：BF －DG ＝FG .第5题图6. (2019凉山州)如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是OC 上一点，连接EB .过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F .求证：OE ＝OF .第6题图。
尖子生假期培优——正方形
尖子生假期培优正方形考点·方法·破译1．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形，即邻边相等的矩形或有一个角为直角的菱 形叫正方形．2．熟练掌握正方形的性质，并能在解决问题时将正方形与等腰直角三角形进行替换思考．3．掌握正方形的判断方法，并应用它的对称性质解决问题．经典•考题•赏析【例1】（上海）如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．⑴求证：四边形ABCD 是菱形；⑵若∠AED ＝2∠EAD ，求证：四边形ABCD 是正方形． 【解法指导】根据条件合理选择判断方法是解决问题的关键．本题可选“对角线垂直的平行四边形是菱形；有一个角为直角的菱形是正方形”． 证明：⑴∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ∵△ACE 是等边三角形，∴EO ⊥AC ，即DB ⊥AC ∴平行四边形ABCD 是菱形⑵∵△ACE 是等边三角形，∴∠ACE ＝60°，∵EO ⊥AC ，∴∠AEO ＝12 ∠ACE ＝30°，∵∠AED ＝2∠EAD ，∴∠EAD ＝15°，∵∠ADO ＝∠EAD ＋∠ADEO ＝45° ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADC ＝2∠ADO ＝90° ∴四边形ABCD 是正方形． 【变式题组】01．如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，点M 、N 分别在OA 、OD 上,且MN ∥AD ．探究：线段DM 和CN 之间的数童关系，写出结论并给出证明．02．如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上的点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，E 、F 是垂足，问PD 与EF 有怎样的关系？ 请说明理由．A B DO C EE GD FCBOA03．（荆州）如图，将正方形ABCD 中的 绕对称中心O 旋转至△GEF 的位置，EF 交AB 于M ，GF 交BD 于N ．请猜想BM 与FN 有怎样的数量关系？并证明你的结论．04．(荆州)把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图．【例2】（扬州）如图，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转n °后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 交于点O ． ⑴以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；⑵若正方形的边长为2cm ，重叠部分（四边形AEOD ）的面cm 2，求旋转的角度. 【解法指导】解⑴AO ⊥DE 证明：∵在Rt △ADO 与Rt △AEO 中，AD ＝AE ，AO ＝AO ，∴△ADO ∽△AEO (HL ) ，∴∠DAO ＝∠OAE (即AO 平分∠DAE ) ，AO ⊥DE (等腰三角形三线合一)[注：其他的结论也成立如GD ⊥BE ]⑵30°∵四边形AEOD cm 2，∴△ADO 的面积＝2AD DO ⨯=， 在Rt △AOD 中， AO 2＝OD 2＋AD 2， ∴AO ，∴AO ＝2OD ，∴AD ＝2，OD ，∠DAO ＝30°，∴∠DAE ＝60°，∴∠EAB ＝30°，【变式题组】01．(青岛)如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．02．我们给定两个全等的正方形ABCD 、AEFG 它们共顶点A (如图1)，可以绕顶点A 旋转，CD 、EF 相交于点P ． ⑴连接BE 、DG （如图2），求证：BE ＝DG ，BE ⊥DG⑵连接BG、CF(如图)，求证：BG∥CF．【例3】（临沂）数学课上，张老师提出了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E 是BC边的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE ＝EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则似AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．在此基础上，同学们进一步的研究：⑴小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2）小华提出：如图3，点E是边BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．【解法指导】若证明两个三角形中的线段相等，而这两三角形又不全等时，可通过构造全等三角形证明线段相等．解：⑴正确．证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．∴BM＝BE，∠BME＝45°，∴∠AME＝135°∵∠ECF＝∠ECD＋∠DCF＝135°∴∠AME＝∠ECF，∵∠1＋∠AEB＝90°，∠2＋∠AEB＝90°∴∠1＝∠2，∴△AME≌△ECF，AE＝EF⑵正确．如图，在BA延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°∠NAE＝90°＋∠1，∠CEF＝45°∴∠NAE＝∠CEF，△ANE≌△ECF∴AE＝EF【变式题组】01．(福建省宁德)如图，已知正方形ABCD在直线MN上方，BC在直线MN上；E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．⑴连接GD，求证：△ADG≌△ABE；⑵连接FG，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．02．(南宁)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE丄EF．⑴延长EF交正方形外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；⑵在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【例4】（荆州市竞赛题）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别CB、DC(或它们的延长线)点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BN＝DN 时（如图1），易证BM＋DN＝MN．⑴当∠MAN绕点A旋转到BN≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；⑵当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想并明．图1 图2 图3【解法指导】欲证两条线段之和等于第三条线段，可通过截长补短，构造全等三角形解决．解：⑴MN ＝BM＋DN．证明：延长CB到E，使BE＝DN，连接AE．∵AB＝AD，BE＝DN，∠ABE＝∠ADN，△ABE≌△ADN．∴∠1＝∠2，AE＝AN，∵∠MAN＝45°，∠1＋∠3＝45°∴∠1＋∠2＝45°，∴∠EAM＝∠NAM，AM＝AM∴△AEM≌△ANM，∴MN＝ME，∴MN＝BM＋DN⑵MN ＝DN－BM．证明：在DN上截取DF＝BM，连接AF．∵AB＝AD，∠D＝∠ABM，BM＝DF，∴△ABM≌△ADF．∴∠4＝∠5，AF＝AM，∵∠4＋∠6＝45°，∴∠5＋∠6＝45°，∴∠F AN＝45°∴∠F AN＝∴∠MAN，AF＝AM，AN＝AN，∴△AFN≌△AMN．∴MN＝FN，MN＝DN－BM．【变式題组】01．（衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：⑴∠EAF的大小是否有变化？请说明理由；⑵△ECF的周长是否有变化？请说明理由．02．如图，有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从边长为1的正方形ABCD 的四个顶点出发，沿AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动 ⑴试判断四边形PQEF 的形状，并证明；⑵PE 是否总过某一定点，并说明理由；⑶四边形PQEF 的顶点位于何处时，其面积最小和最大？各是多少？ 03．（济宁）在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y ＝x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y ＝x 于点M ，BC 边交x 轴于点N (如图)．⑴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；⑵设△MBN 的周长为p ，在正方形OABC 旋转的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论．【例5】小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到了这样一道题： “已知正方形ABCD ，点E 、F 、G 、H 只分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，若EG 丄FH ，则GE ＝FH ”经过思考，大家给出了以下两个方案：(甲）过点A 做AM ∥HF 交BC 于点M ，过点B 作BN ∥EG 交CD 于点N ； (乙）过点A 做AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ；小杰和他的同学顺利的解决了该题后，人家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索． ⑴对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）； ⑵如果把条件中的“EG 丄HF ”改为“EG 与HF 的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH (如图2)，试求EG 的长度．【解】⑴证明：如图3过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，∵正方形ABCD ，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠AND ＝90° ∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∴∠DAN在△ABM 和△ADN 中⎩⎪⎨⎪⎧∠BAM=∠DAN AB=AD ∠ABM=∠ADN ∴△ABM ≌△ADN ，∴AM ＝AN ，即EG ＝FH⑵解：如图4过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，过点A 作AN ∥EG 交于点N ，∵AB ＝1，AM ＝FH ，∴在Rt △ABM 中，BM ＝12将△ADN 绕点A 旋转到△APB ，∵EG 与FH 的夹角为45°∴∠MAN ＝45°，∴∠DAN ＋∠MAB ＝45°即∠P AM ＝∠MAN ＝45° 从而，△APM ≌△ANM ，∴PM ＝NM 设DN ＝x ，则NC ＝1－x ，MN ＝PM ＝12＋x在Rt △ABM 中，(12＋x )2＝14＋(1－x )2解得x ＝13，∴EG ＝AN ．【变式题组】01．（哈尔滨）若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF ＝AE ，则BM 的长为 ． 02．（天孝）如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为BC 边上一点，BE ＝1．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转 90°，得△ADE'，连接EE'，则EE'的长等于 ． 03．（上海）已知正方形ABCD 中,点E 在边DC 上，DE ＝2，EC ＝1(如图所示)把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为 ．04．(盐城)小明尝试着将矩形纸片ABCD (如图①，AD ＞CD )沿过A 点的直线折叠，使得B点落在AD 边上的点F 处,折痕为(如图②)；再沿过D 点的直线折叠，使得C 点落在DA 边上的点N 处，E 点落在AE 边上的点M 处，折痕为DG (如图③)．如果第二次折叠后，M 点正好在∠NDG 的平分线上，矩形ABCD 长与宽的比值为 ．05．（黑龙江鸡西）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB ＝90°）和一直线MN ．过点C 作以CE 丄MN 于点E ，过点B 作BF 丄MN 于点F ．当点E 与A 重合时（如图1），易证：AF ＋BF ＝2CE ．当三角板绕点A 顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF 、BF 、CE 之间又有怎样的数量关系，清直接写出你的猜想，并证明．演练巩固·反馈提高01．（江苏常州）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）A ．等腰梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．矩形 02．（烟台）如图，将n 个边长为1cm 瓜的正方形按如图所示的方法摆放，点A 1，A 2，…，A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）A ．14cm 2 B ．4n cm 2 C ．14n -cm 2 D ．1()4n cm 203．（山西省）如图⑴，把一个长为m 、宽为n 的长方形（m ＞n ）沿虚线剪开，并拼成图⑵，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）A ．2m n - B ．m －n C ．2mD ．2n 04．（白银）如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE 丄AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8， 则BE ＝（ ）A ．2B ．C ．3D 05．（抚顺）如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．B ．C ．3D 06．（贺州）如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2．07．如图，四边形ABCD 是正方形，直线l 1、l 2、l 3分别经过A 、B 、C 三点，且l 1∥l 2∥l 3，若l 1与l 2的距离为a ，l 2与l 3的距离为b ，则正方形ABCD 的面积是 ． 08．（重庆）如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线八AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点 A 恰好与BD 上的点F 重合．展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ．连接GF ．下列结论：①∠ADG ＝112．5°；②AD ＝2AE ；③S △ACG ＝ S △OCD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE ＝2OG ，其中正确的结论序号是 ． 09．（北京）如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A′，折痕交AD 于点E ，若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A′N ＝ ，若M 、N 分别是AD 、BC 边上的距DC 最近的n 等分点（n ≥2，且n 为整数），则A′N ＝ （用含有n 的式子表示）．10．（威海）如图1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG、FH，交点为O．⑴如图2，连接EF、FG、HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；⑵将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形，若正方形ABCD的边长为3 cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，则图3中阴影部分的面积为cm2．11．(黄石)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F．⑴探究线段OE与OF的数量关系并证明；⑵当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；⑶当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？12．（常德）如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG＝CE，AG⊥CE．⑴当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG＝CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑵当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H交，于AD于M．①求证：AG丄CH；②当AD＝4，DG CH的长．13．如图，在△AEC中，以∠AEC为锐角，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AH的中点是M．求证：△FMH是等腰直角三角形．培优升级·奥赛检测01．（南昌市八年级竞赛试题）P 为正方形ABCD 内一点，若P A ﹕PB ﹕PC ＝1﹕2﹕3，则∠APB 的度数为（ ） A ．120° B ．135° C ．150° D ．以上都不对02．（四川省初二联赛试题）如图，边长为1的正方形ABCD 绕A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（ ）A ．1BC ．1D ．1203．在正方形所在的平面内有一点P ，便△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 都是等腰三角形，那么具有这样性质的P 点共有（ ）A ．9个B ．7个C ．5个D ．1个04．如图，G 是边长为4的正方形ABCD 的边长BC 上一点，矩形DEFG 的边EF 过点A ，GD ＝5，则EG 的长为 ．05．（第十九届江苏省初二竞赛试題）如图，四边形ABCD 为正方形，AB 为边向正方形外作等边三角形ABE ．CE 与DB 相交于点F ，则∠AFD ＝ 度． 06．（荆州市八年级联赛试题）如图，已知：△AEC 是以正方形ABCD 的对角线为边的等边三角形，EF 丄AB ，交AB 延长线于F ，则∠BEF 的度数为 ．07．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间的小正方形（阴影部分）的周长为 ．08．如图，正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，点B 坐标为(4，4)，当三角板直角顶点P 坐标为(3，3)时，设一直角边与x 轴交于点E ，另一直角边与y 轴交点于F ．在三角板绕点P 旋转的过程中，使得△POE 成为等腰三角形．有满足条件的点F 的坐标为 ． 09．（湖州市竞赛试题）在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点坐标分别为O (0，0) 、A (100，0) 、B (100，100) 、C (0，100)．若正方形OABC 内部（边界及顶点除外）一格点P 满足；S △POA ×S △P AC ＝ S △P AB ×S △POC 就称格点P 为“好点”，则正方形OABC 内部“好点”的个数为 个．10．如图，已知正方形ABEF 和正方形ACGH 在△ABC 的外部．若M 是BC 的中点，求证FH ＝2AM1111．如图，把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上(CG ＞BC )，取线段AE 的中点M ．探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．12．（宁德）如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将服BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． ⑴求证：△AMB ≌△ENB ；⑵①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；⑶当AM ＋BM ＋CM1时，求正方形的边长．。
初二下册数学直升班培优讲义学生版第7讲 正方形
模块一正方形的性质和判定模块二弦图模块三垂直且相等模型2模块一 正方形的性质和判定1．定义：四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形2．性质：正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性质． 性质1：正方形的四个内角都相等，且都为90︒，四条边都相等．性质2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角．性质3：正方形具有4条对称轴，两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线． 另外，由正方形的性质可以得出：（1）正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形．（2）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半．3．判定：判定一个四边形是正方形，除了定义之外，还可以采用以下方法： （1）先证明是矩形，再证明该矩形有一组邻边相等，或对角线互相垂直． （2）先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等． 模块二 弦图及相关模型1．内弦图 2．外弦图（1）关于两个弦图的做法：内弦图：在正方形ABCD 的各边上分别取E 、F 、G 、H 四个点，使得AE DH CG BF ===，连接EH 、HG 、GF 、FE 可以得到内弦图．外弦图：在正方形ABCD 内，分别取点E 、F 、G 、H 四个点，连接AH 、BE 、CF 、DG ，使得DAH CDG BCF ABE ∠=∠=∠=∠，就可以得到外弦图．（2）关于弦图的作用：由弦图的做法，我们知道会产生四个全等的直角三角形，所以我们在平时的测试中会遇到这两个弦图或者其中的一部分，我们会常利用这两个弦图去构造全等去解决一些难题。
具体应用：①证明勾股定理；②解决复杂的面积问题；③构造全等三角形，求边的关系．（3）弦图常见辅助线添加方法：（△ABC 是等腰直角三角形）3模块三 垂直相等模型 1．模型I2．模型II （母子型）变型（M 为BE 的中点，O O 12、分别为正方形的中心）3．模型III （H 为DF 的中点）【教师备课提示】讲模型3时，铺垫：倍长证垂直相等当要证明的的两条边垂直且相等的时候，两条边在同一个三角形中，通常要倍长一条边，证垂直相等，如图要证明=AB CD ，且AB CD ⊥时，只需要延长CB 到点D 使BD BC =，连接AD ，只需证明=AC AD ，且AC AD ⊥；最后总结证明垂直且相等的方法： 1．构造全等当要证明的的两条边垂直且相等的时候，两条边没有在同一个三角形中，通常要构造两个边所在的三角形全等． 2．倍长证垂直相等当要证明的的两条边垂直且相等的时候，两条边在同一个三角形中，通常要倍长一条边，证垂直相等，如图要证明=AB CD ，且AB CD ⊥时，只需要延长CB 到点D 使BD BC =，连接AD ，只需证明=AC AD ，且AC AD ⊥．4（1）如图1-1，等边△BCP 在正方形ABCD 内，则APD ∠=________．（2）如图1-2，已知正方形ABCD 的面积是64，△BCE 为等边三角形，F 是CE 的中点，AE 、BF 交于点G ，连接CG ，连接BD 交AE 于点H ，则AHB ∠=____，CG =____．图1-1 图1-2（3）如图1-3，在正方形ABCD 中，点P ，Q 为正方形内的两点，且PD PB =，QB AB =，CBP QBP ∠=∠，则BQP ∠=____．（4）如图1-4，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP EF =；②AP EF ⊥；③△APD 一定是等腰三角形；④PFE BAP ∠=∠；⑤PD EC =2．其中正确结论的番号是____________． 图1-3 图1-4A BDF ECPBAC QPDD ACFEB HGCA BDP5（1）如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE AP ==1，PB =5．下列结论：①APD AEB △≌△；②点B 到直线AE 的距离为2；③EB ED ⊥；④△△APD APB S S +=1+6；⑤正方形ABCD S =4+6．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③④B ．①②⑤C ．③④⑤D ．①③⑤（2）如图，正方形ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B ，直角顶点P 在射线AC 上移动，另一边交DC 于Q ．Ⅰ、如图①，当点Q 在DC 边上时，写出PB 与PQ 数量关系（直接写出结论）； Ⅱ、如图②，当点Q 落在DC 延长线上时，写出PB 与PQ 的数量关系（直接写出结论）．图① 图②A B CD PQA B C D QPA EB C D P6已知：如图，在矩形ABCD 中，BE 平分ABC ∠，CE 平分DCB ∠，BF//CE ，CF//BE ．求证：四边形BECF 是正方形．（1）如图4-1，四边形ABCD 是正方形，直线l 、m 、n 分别通过A 、B 、C 三点，且////l m n ，若l 与m 的距离为5，m 和n 的距离为7，则正方形ABCD 的面积为________．（2）（树德半期改编）如图4-2，在△ABC 中，ACB ∠=90︒，AC BC ==10，在△DCE 中，DCE ∠=90︒，DC EC ==6，ACD ∠=60︒，MN BE ⊥，则CM 的长度为________．图4-1 图4-2D CAlBmnCABDE NM7如图，正方形ABCD 的边长为6，AE=4，O 是AD 的中点，且AE =4，那么△EFG 的面积为__________．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过点E 作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG CG =，且EG CG ⊥；（2）将图6-1中三角形BEF 绕B 点逆时针旋转45︒，如图6-2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ，求证：EG CG =且EG CG ⊥；（3）将图6-2中三角形BEF 绕B 点旋转任意角度，如图6-3所示，再连接相应的线段，问（2）中的结论是否仍然成立？图6-1 图6-2 图6-3图3图2图1AEB FC DAEBFC GDAE BF C GD 0推导垂直且相等模型的结论．（1）（2）（3）89笔 记 区1．如图1-1，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，点E 在AB 边上，EF AC ⊥于点F ，连接EC ，AF =3，△EFC 的周长为12，则EC 的长为__________．2．如图1-2，以正方形ABCD 的一边向正方形外作等边三角形ABE ，BD 与EC 交于F ，则AFD ∠等于（ ）A ．60︒B ．50︒C ．45︒D ．40︒图1-1 图1-23．如图1-3，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若EAF ∠=50︒，则CME CNF ∠+∠=__________︒．4．若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE =3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正 方形的一边于点F ，且BF AE =，求BM 的长．5．如图1-5，AD 为正方形ABCD 对角线，G 为对角线上任意一点，若GF ⊥GE ，且GF =4，则GE =______． 图1-3 图1-5演练 1DC A FEBAD E F C D AF EBCNMABFGC E D6．如图，正方形ABCD的边长为5，直线l1//l2//l3//l4，且直线l2和直线l3之间的距离为1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上．（1）证明：△≌△AED CFB；（2）求直线l1与l2之间的距离h．7．如图，以△ABC的边AC、AB为一边，分别向三角形的外侧作正方形ACFG和正方形ABDE，连接EG．求证：△△ABC AEGS S=．8．已知P为等腰直角△ABC的斜边AB上任意一点，PE、PF分别为AC、BC之垂线，垂足为E、F．M为AB之中点．求证E、M、F组成等腰直角三角形．PABCE1PH11l4l3l2l1ABDCEFFECDBAl1l2l3l4ABCEFPMNDGEFB CAMPECA AEC F BPM10。
专题5-5正方形专项提升训练(重难点培优)--2023-2024学年八年级数学(0002)
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题5.5正方形专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•阜平县期末）下列说法正确的是（）A．菱形的四个内角都是直角B．矩形的对角线互相垂直C．正方形的每一条对角线平分一组对角D．平行四边形是轴对称图形2．（2022春•巴中期末）下列说法正确的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是矩形3．（2022春•唐河县期末）已知：如图，M是正方形ABCD内的一点，且MC＝MD＝AD，则∠AMB的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°4．（2022春•青秀区校级期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别为AO、AD的中点，若EF＝3，则OD的长是（）A．3B．4C．5D．65．（2022春•肥城市期中）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AF、BE 相交于点G，下列结论中正确的是（）①AF＝BE；②AF⊥BE；③AG＝GE；④S△ABG＝S四边形CEGF．A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6．（2022秋•舞钢市期中）如图，正方形ABCD中，点P和H分别在边AD、AB上，且BP＝CH，AB＝15，BH＝8，则BE的长是（）A．B．5C．7D．7．（2022•大渡口区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若，则线段AC的长为（）A．B．C．D．8．（2021秋•吉州区期末）如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线CF滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形C．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形D．四边形ACDF不可能是正方形9．（2022秋•金水区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有（）①当AB＝DC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在边长为15的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝3，则EF的长为（）A．12B．13C．14D．15二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•北京期中）如果正方形的一条对角线长为3，那么该正方形的面积为．12．（2021秋•太原期末）添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是．13．（2022春•岱岳区期末）如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF ＝25°，则∠AED的大小为度．14．（2022秋•和平区校级期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，正方形ABCD的边长为3，BE＝1，则DF的长为．15．（2022春•吴中区校级月考）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H若AB＝2，AG＝，则EB＝．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点F在边DC上运动（不包含两个端点），点E是边BC的中点，连接AE，AF，EF．当△AEF为等腰三角形，AE为底边时，CF的长为．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•周至县期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AB上，且AF＝BE，AE、DF相交于点O．求证：∠BAE＝∠ADF．18．（2022•越秀区校级一模）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．19．（2021•陕西模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O．过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE交于点E，求证：DE＝CE．20．（2022春•东莞市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）21．（2022秋•牡丹区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB 边上点，过点D作DE⊥BC交直线MN与E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC再满足条件时，四边形CDBE是正方形（直接填写答案）．22．（2022•崂山区一模）如图，正方形ABCD，点P在边BC的延长线上，连接AP交BD于F，过点C作CG∥AP交BD于点G，连接AG，CF．（1）求证：△ADF≌△CBG；（2）判断四边形AGCF是什么特殊四边形？请说明理由．23．（2021秋•宁阳县期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，且∠CGD＝∠DGE，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）猜想：△DEH的形状，并说明理由．（2）猜想BH与AE的数量关系，并证明．。
初二数学知识点专题讲解与练习20---正方形(培优版)
F
A
D
M
B
C
A
D
F
EB
M C
E
G
图1
图G2
【例 3】如图，正方形 ABCD 中，E ，F 是 AB ，BC 边上两点，且 EF = AE + FC ， DG ⊥ EF 于 G ，求证： DG = DA .
（重庆市竞
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解题思路：构造 AE + FC 的线段是解本例的关键．
赛试题）
A
D
E
G
B
延长线上 (CG > BC) ，取线段 AE 的中点 M .连 MD ， MF ． （1）探究线段 MD ， MF 的关系，并加以证明． （2）将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角后（如图 2），其他条件不变． 探究线段 MD ， MF 的关系，并加以证明．
（大
连市中考题改编） 解题思路：由 M 为 AE 中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．
（黑龙江省中考 试题）
解题思路：对于（2），构造 DN − BM 是解题的关键．
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A
D
N
BM
C
图1
A
D
C MB
A
D
N
BM
C
图2
人教版数学八年级培优竞赛 正方形 专题课件
CD 于 F.
A
D
E
A
D
E
P
F
P
F
B
图⑴
C
B
C
图⑵
（1）求证：PC=PE； （2）求 CPE 的度数； （3）如图②，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，若 ABC 65 ，则 CPE =__________.
（1）提示：证△ABP≌△CBP（SAS）； （2）由（1）知，AABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA ＝PE， ∴∠DAP＝∠E，.∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等）， ∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°； （3）115.
B A
图1
B A
图2
10.如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格图中有两个格点 A、B.（注： 网格线交点称为格点）
（1）请在图 1 中确定格点 C，使得△ABC 的面积为 12.如果符合题意的格点 C 不止一个，请分别用 C1 、 C2 、 C3 …表示；
（2）请用无刻度的直尺在图 2 中以 AB 为一边画一个面积为 18 的矩形 ABMN.
（第 3 题）
H
A
D
F
E
G
B
C
（第4题）
4.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AC，BD 是对角线，将△DCB 绕着点 D 顺时针旋转 45 得到△DGH，
HG 交 AB 于点 E，连接 DE 交 AC 于点 F，连接 FG.则下列结论：
① 四边形 AEGF 是菱形； ②△AED≌△GED； ③ DFG 112.5 ；④ BC+FG=1.5
专题正方形综合问题大题专练八年级数学下册尖子生同步培优题典原卷版浙教版
八年级数学下册尖子生同步培优题典【浙教版】专题5.8正方形综合问题大题专练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一．解答题（共24小题）1．（2020春•皇姑区期末）如图，在▱BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）若CA＝CB，则▱ADCF为（填矩形、菱形、正方形中的一个）．2．（2021春•台江区校级期中）如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE⊥BC，PF ⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：四边形PECF为矩形；（2）试探究AP与EF的数量关系，并说明理由．3．（2020秋•沈阳期末）如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB交AD 边于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N．（1）求证：PM＝PN；（2）求证：EM＝BN．4．（2021秋•南海区月考）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC＝4，DE＝1，求△ABF的面积．5．（2020春•潼南区期末）如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB 边上一点，满足CF⊥CP，过点B作BM⊥CF，分别交AC、CF于点M、N．（1）若AC＝AP，AC＝3，求△ACP的面积；（2）若BC＝MC，证明：CP＝BM+2FN．6．（2021春•黄石港区期末）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别为E，F．（1）求证：AP＝PC；（2）若∠DAP＝30°，PD＝，求EF的长．7．如图，在△AFE中，∠F AE＝90°，AB是EF边上的高，以AB为一边在AB的右侧作正方形ABCD，CD交AE于点M．（1）求证：△ABF≌△ADM；（2）若AF＝13，DM＝5，求CM的长；（3）连接DF交AB于点G，连接GM，若∠DFB＝∠F AB，求证：四边形AGMD是矩形．8．（2019春•沙河市期末）如图，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分别为AD、BC中点，连接AF、HG、AH．（1）求证：AF＝HG；（2）求证：∠F AE＝∠GHC；9．（2021春•沙坪坝区期末）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．10．（2017春•凌源市期末）如图，正方形ABCD中，G为DC上一点，E为BC上一点．AG平分∠DAE，AG的延长线交BC的延长线于点F．（1）若BF＝8，CD＝4，求BE的长．（2）求证：EF﹣DG＝BE．11．（2019春•西城区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO 并延长，交BC于点F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，AC＝4．①直接写出▱ABCD的边BC上的高h的值；②当点E从点D向点A运动的过程中，下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中，正确的是A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形12．（2021春•中山市期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，点E在对角线AC上，连接DE，过点E 作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：ED＝EF；（2）若四边形DECG的面积为9，求CE+CG的值．13．（2020•昭阳区模拟）如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：四边形PECF为矩形；（2）若正方形ABCD的边长为2，EC：FC＝1：3，求AP的值．14．（2019春•安陆市期中）在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你探究AE与EF存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确．经过探究，小明得出的结论是AE＝EF．而要证明结论AE＝EF，就需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC 的中点，小明想到的方法是如图2，取AB的中点M，连接EM，证明△AEM≌△EFC．从而得到AE＝EF．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，证明结论AE＝EF仍然成立．（2）如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为：“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．15．（2021春•浦东新区期末）如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外做正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长．16．（2019春•浦东新区期末）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A和B，以AB为边作正方形ABCD．（1）求点A、B、D的坐标．（2）设点M在x轴上，如果△ABM为等腰三角形，求点M的坐标．17．（2021春•杨浦区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G．（1）求证：CG＝CE；（2）联结CF，求证：∠BFC＝45°；（3）如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长．18．（2019•金山区二模）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．19．（2019•宽城区一模）问题探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF．线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线．（1）求证：△ABE≌△DAF．（2）判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由．问题拓展：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G．若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为．20．（2020春•兴化市期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DF A的大小；（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．21．（2019秋•邳州市期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝45°．（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．22．（2021秋•宿豫区期中）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF ＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．23．（2020秋•海珠区校级期中）（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．24．（2019春•滨海县期中）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF ＝45°．（1）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N，求证：EF2＝ME2+NF2；（2）如图2，将正方形改为矩形，若其余条件不变，请写出线段EF、BE、DF之间的数量关系，并说明理由．。
八年级数学竞赛专题第十六讲 完美的正方形
第十六讲完美的正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质．矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系．连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数形结合思想．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．(北京市竞赛题)思路点拨图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算．注可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大．我们熟悉的“七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块，用它可以拼出许多巧妙的图形，“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶．【例2】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OC⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )A．7 B．5 C．4 D．3(江苏省泰州市中考题)思路点拨AE、CF、EF不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中．【例3】如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求证：DC=DA．(重庆市竞赛题)思路点拨构造AE+FC的线段是解本例的关键．【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM 且交∠CBZ的平分线于N(如图甲)．(1)求证：MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于图甲，取AD中点F，通过构造全等三角形证明MD=MN；这种证法能否迁移到图乙情景中去?从而作出正确的判断．注探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求．数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题．对于例3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，(1)∠EDF等于多少度?(2)怎样证明明逆命题?例4改变点的位置，赋以运动，从特殊到一般，(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据，又为猜想设置了障碍，前面的证明思路是后面的证明模式．【例5】操作：将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A，P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)．思路点拨 本例是探究式的操作型试题，第(1)问需抓住滑动中∠BPQ 是直角这一不变量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ 是等腰三角形的两种情形．注 数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论．学力训练1．如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB=3，则PP ′= ． 河南省中考题) 2．如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，CE=CF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为 ． (苏州市中考题)3．如图，∠POQ=90°，边长为2㎝的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC=30°，则A 、D 到OP 的距离分别为 ． (南京市中考题)4．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE ＝35°，则∠ANM 的度数是 ． 5．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为( ) (河北省中考题) A ．22 B ．21 C ．23 D ．326．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ，8 ABCD S 四边形，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．22 (武汉市选拔赛试题)7．如图，在正方形ABCD 中，C 为CD 上的一点，延长月C 至F ，使CF=CE ，连结DF ，BE 与DF 相交于G ，则下面结论错误的是( )A ．BE=DFB ．BG ⊥DFC ．∠F+∠CEB=90°D ．∠FDC+∠ABG ＝90°(山东省临沂市中考题)8．如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值是( )A．15 B．12 C ．11 D．109．(1)如图甲，若点P为正方形ABCD边AB上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP交BE于点H，求证：DH⊥BF；(2)如图乙，若点P为正方形ABCD内任一点，其余条件不变，(1)的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(泰州市中考题)10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PF⊥CD，PE⊥BC，C、F分别为垂足，探索AP与EF的关系．11．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．( “希望杯”邀请赛试题)12．如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，OC=24，则BC边的长为．( “希望杯”邀请赛试题)14．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则△CDE的面积等于cm2．(武汉市选拔赛试题)15．如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13cm ，则线段CE 的长为 ． (北京市竞赛题) 16．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．9 (江苏省竞赛题)17．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )A ．65°B ． 60°C ．35°D ．70°18．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =32，则a b 等于( ) A ．22 B ．32 C ．23D ．33 ( “希望杯”邀请赛试题)19．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE=AC ，CF ∥AC ，则∠BCF 等于( )A ．150°B ．135°C ． 105°D ．120°20．图甲中，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR 为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH 的面积． (江苏省竞赛题)21．如图，在正方形ABCD 中，P 是CD 上一点，且AP=BC+CP ，Q 为CD 中点，求证：∠BAP=2∠QAD ．22．如图，有4个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的4个顶点出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动． (1)判定四边形PQEF 的形状；(2)PE 是否总是经过某一定点，井说明理由；(3)四边形PQEF 的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?23．如图a，D为线段AE上任一点，分别以AD、DE为边作正方形ABCD和正方形DEFG，连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD，DC于P、Q两点．(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外)；②找出图中三对相等的钝角；③找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗?(2)如图b，当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形，且∠GDE=∠ADC时，(1)中的结论哪些成立，哪些不成立?请对不成立的情况说明理由．(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形，且DA＞DC，DE>DG，△ABD∽△EFD时，(1)中的结论哪些不成立，哪些成立？．如果成立，请证明．(郴州市中考题)24．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．(北京市竞赛题)。
《5.3正方形》同步优生辅导训练浙教版八年级数学下册
2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步优生辅导训练（附答案）1．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CBE；（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．2．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．4．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE ＝DF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝5，请求出EF的长．5．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A 作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．6．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，交DG于点P．（1）求证：BH＝EC．（2）若AB＝3，EC＝4，求DP的长．7．在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB 上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠AEB＝∠OME．（1）如图1，求证：EB＝EF；（2）如图2，点N在线段EF上，AN＝EN，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DF＝AH．8．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．9．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．（1）求证：FH＝ED；（2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠F AD的度数．10．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．11．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DF A的大小；（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．12．在正方形ABCD中，如图1，点E是AB边上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE．（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，若AB＝2，求DG的长．13．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AD、DC上，BE与AF相交于点G，且BE＝AF．（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）求证：BE⊥AF；（3）如果正方形ABCD的边长为5，AE＝2，点H为BF的中点，连接GH．求GH的长．14．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠P AE ＝∠E，PE交CD于点F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．15．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．16．四边形ABCD是正方形，G是直线BC上任意一点，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F，当点G在BC边上时（如图1），易证DF﹣BE＝EF．（1）当点G在BC延长线上时，在图2中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，并证明．（2）当点G在CB延长线上时，在图3中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，不用证明．17．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD 于E，连接EO，AE．（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．18．如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边所在直线上的点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）当点E在线段BC中点时（如图1），易证AE＝EF，不需证明；（2）当点E在线段BC上（如图2）或在线段BC延长线上（如图3）时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并选择图2或图3的一种结论给予证明．19．如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF＝45°，易证：AE+CF＝EF（不用证明）．（1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝120°，DA＝DC，∠DAB＝∠BCD＝90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF＝60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC＝2α，DA＝DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF＝α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明．20．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．21．（1）如图①，分别以△ABC的边AB、AC为一边向形外作正方形ABDE和正方形ACGF．求证S△AEF＝S△ABC．（2）如图②，分别以△ABC的边AB、AC、BC为边向形外作正方形ABDE、ACGF、BCHI，可得六边形DEFGHI，若S正方形ABDE＝17，S正方形ACGF＝25，S正方形BCHI＝16，求S六边形DEFGHI．22．如图1，已知，正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．（1）证明BE＝DG且BE⊥DG；（2）如图2，已知AB＝4，AE＝，当点F在边AD上时，求BE的长．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）；（2）∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠AEC＝140°，∴∠CEB＝70°，∵∠DEC+∠CEB＝180°，∴∠DEC＝180°﹣∠CEB＝110°，∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，∴∠DFE＝∠DEC﹣∠ADB＝110°﹣45°＝65°．2．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE＝DF．3．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）解：如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AC＝AG+GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC﹣CE＝＝；如图2所示，同理可得，FN＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AF∥CD，∴AG＝4，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE＝，∴GE＝GA+AE＝5．综上所述：GE的长为：，5．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，∵∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠DAF+∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，∴EF＝AE＝5．5．证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．6．解：（1）根据题意可得四边形AHGD是平行四边形，BH＝BC+CH，CG＝HG+CH，即BH＝CG，根据正方形的性质得：BH＝EC；（2）由（1）得BH＝EC，在Rt△ABH中，由勾股定理得，AH＝＝5，同理FH＝5，连接AF延长AD交FG于点M，在Rt△AFM中，由勾股定理得，AF＝＝5，∵AH2+FH2＝50，AF2＝50，∴AH2+FH2＝AF2，即△AHF为直角三角形，∴AH⊥FH，由（1）得AH∥DG，∴DG⊥HF，S△FHG＝HG×FG＝HF×PG，⇒×3×4＝×5×PG，∴PG＝，∴DP＝DG﹣PG＝5﹣＝，故答案为：．7．证明：（1）如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，∴在Rt△OME和Rt△OEB中，∠3+∠OME＝∠4+∠OEB＝90°，∵∠OME＝∠OEB，∴∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠FBE，∴EF＝EB；（2）连接DE，∵AN＝EN，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，AC⊥BD，∴∠7＝∠8＝90°，在△AOH和△BOE中，，∴△AOH≌△BOE（ASA），AH＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠1＝∠2＝45°，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝BE＝AH＝EF，∵AC⊥BD，∴∠6＝∠AEB，∵∠3＝∠4，∠4+∠AEB＝90°，∴∠3+∠6＝90°，即∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴．8．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．9．（1）证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE＝EF，∵∠FEC＝∠FEH+∠CED＝90°，∠DCE+∠CED＝90°，∴∠FEH＝∠DCE，在△FEH和△ECD中，∴△FEH≌△ECD（AAS），∴FH＝ED；（2）解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∴CD＝AB＝3，∵AE＝1，∴DE＝4，∵△FEH≌△ECD，∴FH＝DE＝4，EH＝CD＝3，∴AH＝4，∴AH＝FH，∵∠FHE＝90°，∴∠F AD＝45°．10．（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△F AE和△GAF中，，∴△F AE≌△GAF（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12+32，∴MN＝．11．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBA＝∠BAD＝90°，∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠HAD＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBA＝∠BAD＝∠ADF＝90°，∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣α，∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣（90°﹣α）＝α﹣45°，∴∠DF A＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（α﹣45°）＝135°﹣α；（3）∠BEA＝∠FEA，理由如下：延长CB至I，使BI＝DF，连接AI．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABC＝90°，∴∠ABI＝90°，又∵BI＝DF，∴△DAF≌△BAI（SAS），∴AF＝AI，∠DAF＝∠BAI，∴∠EAI＝∠BAI+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°＝∠EAF，又∵AE是△EAI与△EAF的公共边，∴△EAI≌△EAF（SAS），∴∠BEA＝∠FEA．12．（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠GBC＝90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠GBA+∠GBC＝90°，∴∠GCB＝∠FBA，又∵BC＝AB，∠F AB＝∠EBC＝90°，在△ABF与△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS）；（2）解：过点D作DH⊥CE于点H，∵E为AB中点，∴EB＝1，∵AB＝2，∴BC＝2，∴CE＝＝＝，在Rt△CEB中，由CE•BG＝EB•BC得BG＝＝＝，∴，∵∠DCE+∠BCE＝∠BCE+∠CBF＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，又∵DC＝BC＝2，∠CHD＝∠CGB＝90°，在△CHD与△BGC中，，∴△CHD≌△BGC（AAS）∴CH＝BG＝，∴GH＝CG﹣CH＝＝CH，∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，在△DGH与△DCH中，，∴△DGH≌△DCH（SAS），∴DG＝DC＝2．13．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在Rt△ABE和Rt△DAF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）；（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DAF，∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∴BE⊥AF；（3）∵BE⊥AF，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，∵在Rt△BCF中，BC＝5，CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，根据勾股定理，得∴BF＝＝，∴GH＝．14．（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，在△ADP和△CDP中，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴P A＝PC，∵∠P AE＝∠E，∴P A＝PE，∴PC＝PE；（2）∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠EDF＝90°，由（1）知，△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP，∵∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°．15．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，在△OAM和△OBN中，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为8，∴OH＝HA＝4，∵E为OM的中点，∴HM＝8，则OM＝＝4，∴MN＝OM＝4．16．证明：如图1，∵ABCD是正方形，∴AB＝DA、AB⊥AD．∵BE⊥AG、DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴DF﹣BE＝AE﹣AF＝EF．（1）如图2，DF、BE、EF的数量关系是：BE＝DF+EF，理由是：∵ABCD是正方形，∴AB＝DA、AB⊥AD．∵BE⊥AG、DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴BE＝AF＝AE+EF＝DF+EF；（2）如图3，DF、BE、EF的数量关系是：EF＝DF+BE；理由是：∵ABCD是正方形，∴AB＝DA，AB⊥AD．∵BE⊥AG，DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴EF＝AE+AF＝DF+BE．17．解：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，∴∠DBC＝∠CDB＝45°，∵∠PBC＝α，∴∠DBP＝45°﹣α，∵PE⊥BD，且O为BP的中点，∴EO＝BO，∴∠EBO＝∠BEO，∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α；（2）BP＝．证明如下：连接OC，EC，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，设∠PBC＝α，在Rt△BPC中，O为BP的中点，∴CO＝BO＝，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠COP＝2 α，由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，又由（1）知BO＝EO，∴EO＝CO．∴△EOC是等腰直角三角形，∴EO2+OC2＝EC2，∴EC＝OC＝，即BP＝，∴BP＝．18．解：（1）取AB中点M，连接ME，∵点E在线段BC中点，点M是AB中点，∴AM＝BM＝BE＝CE∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．（2）图2：结论是AE＝EF理由如下：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．图3结论是AE＝EF，理由如下：在BA的延长线上取一点N．使AN＝CE，连接NE．∴BN＝BE，∴∠N＝∠NEC＝45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE＝45°，∴∠N＝∠ECF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，即∠DAE+90°＝∠BEA+90°，∴∠NAE＝∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．19．解：（1）图2猜想：AE+CF＝EF，证明：在BC的延长线上截取CA'＝AE，连接A'D，∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴∠DAB＝∠DCA'＝90°，又∵AD＝CD，AE＝A'C，∴△DAE≌△DCA'（SAS），∴ED＝A'D，∠ADE＝∠A'DC，∵∠ADC＝120°，∴∠EDA'＝120°，∵∠EDF＝60°，∴∠EDF＝∠A'DF＝60°，又DF＝DF，∴△EDF≌△A'DF（SAS），则EF＝A'F＝FC+CA'＝FC+AE；（2）如图3，AE+CF＝EF，证明：在BC的延长线上截取CA'＝AE，连接A'D，∵∠DAB与∠BCD互补，∠BCD+∠DCA'＝180°∴∠DAB＝∠DCA'，又∵AD＝CD，AE＝A'C，∴△DAE≌△DCA'（SAS），∴ED＝A'D，∠ADE＝∠A'DC，∵∠ADC＝2α，∴∠EDA'＝2α，∵∠EDF＝α，∴∠EDF＝∠A'DF＝α又DF＝DF，∴△EDF≌△A'DF（SAS），则EF＝A'F＝FC+CA'＝FC+AE．20．解：（1）PC＝PE，PC⊥PE证明∵点P位于AE的垂直平分线上，∴P A＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，∵PD＝PD，∴△ABP≌△CBP（SAS）∴P A＝PC，∴PC＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，∵PB＝PB，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠P AD＝∠PCD，∵P A＝PE，∴∠P AD＝∠E，∴∠PCD＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，∴△CPF∽△EDF，∴∠CPF＝∠FDE，∵四边形ABCD是正方形，，∴∠ADC＝90°，∴∠FDE＝90°，∴∠CPF＝90°，∴PC⊥PE．（2）P A＝CE．理由如下：证明：∵点P位于AE的垂直平分线上，∴P A＝PE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，∵PD＝PD，∴△ABP≌△CBP，∴P A＝PC∴PC＝PE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，∵PB＝PB，∴△ADP≌△CDP，∴∠P AD＝∠PCD，∵P A＝PE，∴∠P AD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED，∵∠PFC＝∠DFE，∴△CPF∽△EDF，∴∠CPF＝∠EDF，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°∴∠ADC＝∠ABC＝120°∴∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°∴∠CPF＝60°∵PE＝PC∴△PCE是等边三角形∴CE＝PE∴AP＝CE．21．证明：（1）如图①，过点C作CM⊥AB，过F作FN⊥EA与EA的延长线交于点N，∴∠CMA＝∠ANF＝90°，∵四边形ABDE和四边形ACGF是正方形，∴AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠CAM+∠CAN＝∠F AN+∠CAN＝90°，∴∠CAM＝∠F AN，在△AMC和△ANF中，∵，∴△AMC≌△ANF（AAS），∴CM＝FN，∴AE•FN＝，∴S△AEF＝S△ABC．（2）由上题结论得：S△AEF＝S△ABC＝S△BDI＝S△CHG，由题意得：AB＝，AC＝5，BC＝4，过点O作AO⊥BC，设BO＝x，则CO＝4﹣x，在Rt△ABO和Rt△ACO中，AO2＝AB2﹣BO2＝AC2﹣CO2，即17﹣x2＝25﹣（4﹣x）2，解得：x＝1，∴AO＝4，S六边形DEFGHI＝S正方形ABDE+S正方形BCHI+S正方形ACGF+S△AEF+S△BDI+S△CHG+S△ABC，＝17+25+16+4××4×4，＝90．22．解：（1）如图1所示，∵正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，∴AG＝AE，AD＝AB，∠EAG＝∠BAD＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，又∵∠BMA＝∠DMN，∴∠BAM＝∠DNM＝90°，∴BE⊥DG；（2）如图2所示，过E作EH⊥AB于H，∵点F在边AD上，∴∠F AE＝45°，又∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＝45°，又∵∠AHE＝90°，∴∠AEH＝45°＝∠AHE，∴AH＝EH，∵AE＝，∴AH＝EH＝1，又∵AB＝4，∴BH＝3，∴Rt△BEH中，BE＝＝＝．。
八年级数学竞赛例题专题-正方形
八年级数学竞赛例题专题-正方形专题20正方形阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．例题与求解【例l】如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交，于点，.下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤.其中，正确结论的序号是______________．（重庆市中考试题）解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．【例2】如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点.连，．（1）探究线段，的关系，并加以证明．（2）将正方形绕点旋转任意角后（如图2），其他条件不变．探究线段，的关系，并加以证明．（大连市中考题改编）解题思路：由为中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．【例3】如图，正方形中，，是，边上两点，且，于，求证：.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造的线段是解本例的关键．【例4】如图，正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍，试确定的大小，并证明你的结论．（北京市竞赛试题）解题思路：先猜测的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．【例5】如图，在正方形中，，分别是边，上的点，满足，分别与对角线交于点．求证：（1）；（2）．（四川省竞赛试题）解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．【例6】已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点．当绕点旋转到时（如图1），易证．（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2），构造是解题的关键．能力训练A级1.如图，若四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为__________. （北京市竞赛试题）2.四边形的对角线相交于点，给出以下题设条件：①；②；③；④．其中，能判定它是正方形的题设条件是______________.（把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是__________. （青岛市中考试题）第1题图第3题图第4题图4.如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转至能与重合，若，则=__________.（河南省中考试题）5.将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为()A.B．C.D.（晋江市中考试题）第5题图第6题图6.如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，则的长为()A.12B．8C.D.（浙江省竞赛试题）7．如图，正方形中，，那么是()A.B．C.D.8．如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是()A．15B．12C．11D．109．如图，在正方形中，是边的中点，与交于点，求证：．10.如图，在正方形中，是边的中点，是上的一点，且．求证：平分．11.如图，已知是正方形对角线上一点，分别是垂足．求证：．（扬州市中考试题）12.（1）如图1，已知正方形和正方形，在同一条直线上，为线段的中点．探究：线段的关系．（2）如图2，若将正方形绕点顺时针旋转，使得正方形的对角线在正方形的边的延长线上，为的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（大连市中考试题）图1图2B级1.如图，在四边形中，，于，若四边形的面积为8，则的长为__________.2.如图，是边长为1的正方形内一点，若，则__________.（北京市竞赛试题）3.如图，在中，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，且，则的长为__________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长一定的正方形，是上一动点，交于，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值，其中一定成立的是()A.①②③B．①②④C.②③④D.①②③④5.如图，是正方形，，是菱形，则与度数的比值是()A.3B．4C.5D.不是整数6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是()A.B．C.8D.E.（美国高中考试题）7.如图，正方形中，，是的中点，设，在上取一点，使，则的长度等于()A.1B．2C.3D.（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形中，是中点，是延长线上一点，且交平分线于（如图1）（1）求证：；（2）若将上述条件中的“是中点”改为“是上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（临汾市中考试题）`9.已知求证：10.如果，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数．（“祖冲之杯”邀请赛试题）11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形，对角线分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：，且．（北京市竞赛试题）12.如图，正方形内有一点，以为边向外作正方形和正方形，连接．求证：．（武汉市竞赛试题）。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题20 正方形_答案[精品]
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专题 20 正方形例1 ①④⑤ 提示：在AD 上取AH ＝AE ，连EH ，则∠AHE ＝45°，∴∠HED ＝∠HDE ＝22.5°，则HE ＝HD ．又∵HE ＝HD ＞AE ，故②不正确．又AGD FGD CGD S S S ∆∆∆=> ，故③不正确．例2 提示：(1)延长DM 交CE 于N ，连DF ，NF ，先证明△ADM ≌△ENM ，再证明△CDF ≌△ENF 得FD ＝FN ，∠DFN ＝∠CFE ＝90°，故MD ⊥MF 且MD ＝MF ．(2)延长DM 到N 点，使DM ＝MN ，连FD ，FN ，先证明△ADM ≌△ENM ，得AD ＝EN ，∠MAD ＝∠MEN ，则AD ∥EN ．延长EN ，DC 交于S 点，则∠ADC ＝∠CSN ＝90°．在四边形FCSE 中，∠FCS ＋∠FEN ＝180°，又∵∠FCS ＋∠FCD ＝180°，故∠FEN ＝∠FCD ，再证△CDF ≌△ENF ．∴(1)中结论仍成立．例3 提示：延长BC 至点H ，使得CH ＝AE ，连结DE ，DF ，由Rt △DAE ≌Rt △DCH 得，DE ＝DH ，进而推证△DEF ≌△DFH ，Rt △DGE ≌Rt △DCH ． 例4 设AG ＝a ，BG ＝b ，AE ＝x ，ED ＝y ，则,2. a b x y ax by +=+⎧⎨=⎩①②由①得a －x ＝y －b ，平方得a 2－2ax ＋x 2＝y 2－2by ＋b 2． 将②代入得a 2－2ax ＋x 2＝y 2－4ax ＋b 2， ∴(a ＋x )2＝b 2＋y 2，得a ＋x∵b 2＋y 2＝CH 2＋CF 2＝FH 2， ∴a ＋x ＝FH ，即DH ＋BF ＝FH ．延长CB 至M ，使BM ＝DH ，连结AM ，由Rt △ABM ≌Rt △ADH ，得AM ＝AH ，∠MAB ＝∠HAD ． ∴∠MAH ＝∠MAB ＋∠BAH ＝∠BAH ＋∠HAD ＝90°． 再证△AMF ≌△AHF ．∴∠MAF ＝∠HAF ． 即∠HAF ＝12∠MAH ＝45°． 例5 (1)如图，延长CD 至点E 1，使DE 1＝BE ，连结AE 1，则△ADE 1≌△ABE ． 从而，∠DAE 1＝∠BAE ，AE 1＝AE ，于是∠EAE 1＝90°．在△AEF 和△AE 1F 中，EF ＝BE ＋DF ＝E 1D ＋DF ＝E 1F ，则△AEF ≌△AE 1F ． 故∠EAF ＝∠E 1AF ＝12∠EAE 1＝45°． (2)如图，在AE 1上取一点M 1，使得AM 1＝AM ，连结M 1D ，M 1N ．则 △ABM ≌△ADM 1，△ANM ≌△ANM 1， 故∠ABM ＝∠ADM 1，BM ＝DM 1，MN ＝M 1N ．∵∠NDM 1＝90°，从而M 1N 2＝M 1D 2＋ND 2，∴MN 2＝BM 2＋DN 2．FEAD CB MNM E 11A D CFHB MGEP例6 (1)BM ＋DN ＝MN 成立．如图a ，把△AND 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ，E 、B 、M 三点共线，则△DAN ≌△BAE ， ∴AE ＝AN ，∠EAM ＝∠NAM ＝45°，AM ＝AM ，得△AEM ≌△ANM ，∴ME ＝MN ． ∵ME ＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴DN ＋BM ＝MN ． (2)DN －BM ＝MN ．如图b ，对于图2，连BD 交AM 于E ，交AN 于F ，连EN ，FM 可进一步证明：①△CMN 的周长等于正方形边长的2倍； ②EF 2＝BE 2＋DF 2；③△AEN ，△AFM 都为等腰直角三角形； ④2AMN AEF S S ∆∆=．A 级1．75°2．②3．34．5．C 6．B 7．B 8．B9．提示：△ABE ≌△DCE ，△ADF ≌△CDF ，证明∠ABE ＋∠BAF ＝90°． 10．提示：延长CE 交DA 的延长线于G ，证明FG ＝FC ． 11．提示：连PC ，则PC ＝EF ．12．(1)延长DM 交EF 于N ，由△ADM ≌△ENM ，得DM ＝NM ，MF ＝12DN ，FD ＝FN ，故MD ⊥MF ，且MD ＝MF ．(2)延长DM 交CE 于N ，连结DF ，FN ，先证明△ADM ≌△ENM ，再证明△CDF ≌△ENF ，(1)中结论仍成立．B 级1.2 22.60°°提示：MA 2＋MC 2＝MD 2＋MB 23.54.D5.C6.B7.B8.提示:⑴在AD 上截取AF ＝AM ，∠DFM ＝∠MBN ，由△DFM ≌△MBN ，故DM ＝MN . ⑵证法同上，结论仍成立.⑶在AD 延长线取一点E ，使DE ＝BM ，可证明△DEM ≌△MBN ，故DM ＝MN .9.提示：构造边长为1的正方形ABCD ，P 为正方形ABCD 内一点，过P 作FH ∥AB 交AD 于F ，交BC 于H,作EG ∥AD 交AB 于E ，交CD 于G .设AE ＝a,则BE ＝1－a .设AF ＝b ，则DF ＝1－b .∴PA ＝a 2＋b 2,同理：PB ＝(1－a )2＋b 2,PC ＝(1－a )2＋(1－b )2，PD ＝a 2＋(1－b )2. 又∵PA ＋PB ＋PC ＋PD ≥2AC ＝22，∴命题得证.图b图aEEFADCBM N NM BCD A10.提示：MN ＝BM ＋DN ，延长CD 至M ',使M 'D ＝BM ，证明△ADM '≌△ABM ，△AM 'N ≌△AMN ，则∠MAN ＝∠M 'AN ＝12∠M ’AM ＝45°.11.提示：八边形八个内角分成两组，每一组四个角都相等.12.连结RN,MP ，△MPC ≌△BAC ≌△BRN ，则RB ＝MP ，又△RNM ≌△PCB ，则RM ＝BP ，从而四边形RBPM 是平行四边形，故BP ∥RM .。
【华师大版八年级下册进阶培优训练】第十六讲 平行四边形、矩形、菱形、正方形综合培优辅导【含答案】
第十六讲平行四边形、矩形、菱形、正方形培优竞赛辅导一【知识点精析】背一背：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及判定（各有几条）填一填：二、基础达标训练：（1）两条对角线的四边形是平行四边形；（2）两条对角线的四边形是矩形；（3）两条对角线的四边形是菱形；（4）两条对角线的四边形是正方形；（5）两条对角线的平行四边形是矩形；（6）两条对角线的平行四边形是菱形；（7）两条对角线的平行四边形是正方形；（8）两条对角线的矩形是正方形；（9）两条对角线的菱形是正方形。
三、易错题精选选择题1、菱形的两条对角线的长分别是10和24，则这个菱形的周长是（）A． 24 B． 52 C． 10 D． 342、下列命题中，假命题是（）。
A、四个内角都相等的四边形是矩形B、四条边都相等的平行四边形是正方形C、既是菱形又是矩形的四边形是正方形D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形3、下列各句判定矩形的说法（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边形是矩形；（6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；是正确有几个（）A． 2个B． 3个C． 4个D． 5个4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A．（1）（2）（5）B．（2）（3）（5）C．（1）（4）（5）D．（1）（2）（3）5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（）．D．3 A．B．C．1+6、如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个7、如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④GE=FC；其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C． 3 D．4个8、如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△BGH是等腰直角三角形，其中正确的结论有（）A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④．5题图6题图7题图8题图填空题1、已知直角三角形两条边的长分别为8和6，则斜边上的中线为_________．2、矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=1，则矩形的面积等于_________．3、菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为_________．4、在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为_________．5、如图，一块长为a米，宽为b米的矩形土地被踩出两条小路（过A，B间任意一点作AD的平行线，被每条小路截得的线段长都是2米）．若小路①，②的面积分别为S1，S2，则S1，S2的大小关系是s1_s2．6、如图，直线l是矩形ABCD的一条对称轴，点P是直线l上一点，且使得△PAB和△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P共有_________个．7、如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB=，，求点A′的坐标为_________．5题图6题图7题图8题图8、如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．9、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为_________．10、如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（）A．1或2 B．2或3 C． 3或4 D．4或511、如图，直线y=﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=（k≠0）上的点D1处，则a=_______．FDA EB C9题图10题图11题图例1图四、经典例题精讲例1以△ABC的边AB、AC为边作等边△ABD和等边△ACE，四边形ADFE是平行四边形．（1）当∠BAC等于时，四边形ADFE是矩形；当∠BAC等于时，平行四边形ADFE不存在；（2）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形ADFE是菱形、正方形．变式题组如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=度；（2）求证：NM=NP；（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．变式题组如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．例2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求t的值及四边形PBQD的周长；（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．培优竞赛升级检测Ａ ＦＣＤＢＥ 第2题图第5题图 1、下列命题中，真命题是（ ）Ａ两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 2、如图在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法： ①四边形AEDF 是平行四边形；②如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形.其中，正确的有 .（只填写序号）3、如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是线段AD 及其延长线上，且DE=DF ，给出下列条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥EC ；③AB=AC ，从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，并给出证明，你选择的条件是 （只填写序号）．3题图 4题图4、如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点.动点R 从点B 出发，沿B→C →D →F 方向运动至点F 处停止．设点R 运动的路程为x ，EFR △的面积为y ，当y 取到最大值时，点R 应运动到( ) A ．BC 的中点处 B ．C 点处C ．CD 的中点处D ．D 点处5、如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，AB ＝4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF ＝CG ＝2，BE ＝DH ＝1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连结PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和等于 .6、如图1，在△ABC 和△EDC 中，AC=CE=CB=CD ；∠ACB=∠DCE=90°，AB 与CE 交于F ，ED 与AB ，BC ，分别交于M ，H ．（1）求证：CF=CH ；（2）如图2，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．7、在正方形ABCD 中，点P 是CD 边上一动点，连接P A ，分别过点B 、D 作BE ⊥P A 、DF ⊥P A ，垂足分别为E 、F ，如图①．(1)请探究BE 、DF 、EF 这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P 在AB C DP EF ADB C P E F AP F EB C D图① 图② 图③ DC 的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在CD 的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明．8、如图1，若四边形ABCD 、四边形GFED 都是正方形，显然图中有AG ＝CE ，AG ⊥CE ．⑴当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG ＝CE 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说 明理由；⑵当正方形GFED 绕D 旋转到如图3的位置时，延长CE 交AG 于H 交，于AD 于M ．①求证：AG 丄CH ；②当AD ＝4，DG 2CH 的长．第十六讲 平行四边形、矩形、菱形、正方形培优竞赛辅导答案一【知识点精析】背一背：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及判定（各有几条） 填一填：二、基础达标训练：（1）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；（3）两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（4）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形；（5）两条对角线相等的平行四边形是矩形；（6）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（7）两条对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；（8）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；（9）两条对角线相等的菱形是正方形。
部编数学八年级下册专题18.7正方形专项提升训练(重难点培优)【拔尖特训】2023年培优(解析版)【
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题18.7正方形专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•锡山区期末）下列说法正确的是（ ）A．菱形的四个角都是直角B．菱形的对角线相等C．矩形的对角线相等垂直D．正方形的对角线相等【分析】直接根据矩形，菱形，正方形的性质进行判断．【解答】解：∵菱形的四条边相等，但四个角不一定相等；对角线互相垂直且平分，但不一定相等，∴选项A，B错误；∵矩形的对角线相等，但不一定垂直．∴选项C错误；∵正方形的对角线相等且互相垂直平分．∴选项D正确．故选：D．2．（2022春•丹凤县期末）下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）A．两组对边分别平行B．对角线互相垂直C．四个角都为直角D．对角线互相平分【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断．【解答】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．故选：B．3．（2022春•安宁市期末）如图，在正方形ABCD外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为（ ）A．15°B．22.5°C．20°D．10°【分析】由四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形可得AB＝AE，利用正方形和正三角形的内角性质即可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，又∵△ADE是正三角形，∴AE＝AD，∠DAE＝60°，∴△ABE是等腰三角形，∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠ABE＝∠AEB＝15°．故选：A．4．（2022春•青秀区校级期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别为AO、AD的中点，若EF＝3，则OD的长是（ ）A．3B．4C．5D．6【分析】由题意可得，EF是△AOD的中位线，然后根据中位线的性质定理解答即可．【解答】解：∵E、F分别为AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线．∴EF＝OD，即OD＝2EF．∵EF＝3，∴OD＝6．故选：D．5．（2022春•石家庄期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（ ）A．70°B．65°C．30°D．60°【分析】依据正方形的性质以及折叠的性质，即可得到∠AEB'＝60°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∴∠BEF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝120°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，故选：D．6．（2022春•唐河县期末）已知：如图，M是正方形ABCD内的一点，且MC＝MD＝AD，则∠AMB的度数为（ ）A．120°B．135°C．145°D．150°【分析】利用等边三角形和正方形的性质求得∠ADM＝30°，然后利用等腰三角形的性质求得∠MAD的度数，从而求得∠BAM＝∠ABM的度数，利用三角形的内角和求得∠AMB的度数．【解答】解：∵MC＝MD＝AD＝CD，∴△MDC是等边三角形，∴∠MDC＝∠DMC＝∠MCD＝60°，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADM＝30°，∴∠MAD＝∠AMD＝75°，∴∠BAM＝15°，同理可得∠ABM＝15°，∴∠AMB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，7．（2022秋•苏州期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD 于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】如图，首先把△ADF旋转到△ABG，然后利用全等三角形的性质得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF＝3，AB＝6和勾股定理，可以求出BE的长，本题得以解决．【解答】解；如图，把△ADF绕A逆时针旋转90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°，∴∠ABG+∠ABE＝180°，∴G、B、E三点共线，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，设BE＝x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，∴BE的长为2．故选：A．8．（2022春•肥城市期中）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AF、BE 相交于点G，下列结论中正确的是（ ）①AF＝BE；②AF⊥BE；③AG＝GE；④S△ABG＝S四边形CEGF．A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定定理和性质、垂直的判定依次进行判断即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，在△ABF与△BCE中，，∴ΔABF≌ΔBCE，∴AF＝BE，故①正确；∵∠BAF+∠BFA＝90°，∠BAF ＝∠EBC ，∴∠EBC +∠BFA ＝90°，∴∠BGF ＝90°，∴AF ⊥BE ，故②正确；∵GF 与BG 的数量关系不清楚，∴无法得AG 与GE 的数量关系，故③错误；∵△ABF ≌△BCE ，∴S △ABF ＝S △BCE ，∴S △ABF ﹣S △BGF ＝S △BCE ﹣S △BGF ，即S △ABG ＝S 四边形CEGF ，故④正确；综上可得：①②④正确，故选：B ．9．（2022春•鹿城区校级期中）如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD 的边长为4，则图2中E ，F 两点之间的距离为（ ）A ．B ．2C ．D ．【分析】过E 作EG ⊥FG 于G ，由七巧板和正方形的性质可知，EG ＝1，FG ＝1+4＝5，再利用勾股定理可得答案．【解答】解：如图，过E 作EG ⊥FG 于G ，由七巧板和正方形的性质可知：EG ＝1，FG ＝1+4＝5，在Rt△FEG中，由勾股定理得，EF＝＝，故选：A．10．（2022秋•市南区校级月考）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝DF；②四边形PECF的周长为8；③EF的最小值为2；④AP⊥EF．其中正确结论的序号为（ ）A．①②B．①②④C．②③④D．①②③【分析】①先证△PDF是等腰直角三角形，则PD＝DF，即可判断；②先证明△PEB是等腰直角三角形，再根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形PECF为矩形，则四边形PECF的周长＝2BC＝8，即可判断；③证明△ADP≌△CDP，则AP＝PC，根据矩形对角线相等得PC＝EF，当AP⊥BD时，垂线段最短，即可判断；④证明Rt△AMP≌Rt△FPE，得到∠BAP＝∠PFE，进而求解．【解答】解：如图，连接PC，①∵正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，∴∠PDC＝45°，又∵PF⊥CD，∴∠PFD＝90°，∴△PDF为等腰直角三角形，∴PD＝DF，故①正确；②由①同理得：△BPE是等腰直角三角形，∴PE＝BE，∵∠PEC＝∠ECF＝∠PFC＝90°∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2（CE+BE）＝2BC＝2×4＝8，故②正确；③∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝PC，∴AP＝EF，当AP最小时，EF最小，∴当AP⊥BD时，垂线段最短，即AP＝BD＝2时，EF的最小值等于2；故③错误；④延长FP交AB于M，延长AP交EF于H，∵AB∥CD，PF⊥CD，∴FM⊥AB，∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，∴PM＝PE，∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，∴Rt△AMP≌Rt△FPE（HL），∴∠BAP＝∠PFE，∵∠AMP＝90°，∴∠BAP+∠APM＝90°，∵∠APM＝∠HPF，∴∠PFH+∠HPF＝90°，∴∠PHF＝90°，∴AP⊥EF，故④正确；综上，①②④正确．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•北京期中）如果正方形的一条对角线长为3，那么该正方形的面积为 9 ．【分析】利用对角线乘积的一半即可求出正方形的面积．【解答】解：正方形的面积是：3×3×＝9．故答案为：9．12．（2022春•嘉兴期末）已知矩形ABCD，请添加一个条件： AB＝BC（答案不唯一） ，使得矩形ABCD 成为正方形．【分析】根据正方形的判定添加条件即可．【解答】解：添加的条件可以是AB＝BC．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形．故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．13．（2022•新野县三模）在▱ABCD中，已知AC，BD为对角线，现有以下四个条件：①∠ABC＝90°；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB＝BC．从中选取两个条件，可以判定▱ABCD为正方形的是 ①③（答案不唯一） ．（写出一组即可）【分析】根据正方形的判断方法即可判断．【解答】解：根据正方形的判断方法可知：满足条件①③或①④或②③或②④时，▱ABCD是正方形．故答案为：①③（答案不唯一）．14．（2022秋•通海县校级期中）如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠AEB＝ 135 度．【分析】将△BCE绕点B顺时针旋转270°，△FBE是等腰直角三角形，可得∠FEB＝45°，再证明△AFE是直角三角形，可得∠AEF＝90°，进而可得∠AEB的度数．【解答】解：如下图，将△BCE绕点B逆时针旋转90°，∵△BCE绕点B顺时针旋转90°，∴∠FBE＝90°，∵BE＝BF＝2，∴△FBE是等腰直角三角形，∴∠FEB＝45°，FE＝2，∵AF＝CE＝3，AE＝1，FE＝2，∴AF2＝32＝9，AE2+FE2＝12+（2）2＝1+8＝9，∴AF2＝AE2+FE2，∴△AFE是直角三角形，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB＝∠FEB+∠AEF＝45°+90°＝135°．故答案为：135．15．（2022春•冠县期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段AC上以0.5cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为ts．连接DE，DF，BE，BF，当t＝ 4 s时，四边形DEBF为正方形．【分析】根据等边三角形的性质，可以得到BD的长，然后根据菱形的性质可以得到OD的长和BD⊥EF，再根据正方形的性质，可以得到OD＝OE，然后即可计算出t的值．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠DAB＝60°，∴△ABD是边长为4cm的等边三角形，∴BD＝4cm，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴OD＝2cm，∵四边形DEBF为正方形，∴OD＝OE，∴t＝2÷0.5＝4，即t＝4时，四边形DEBF为正方形，故答案为：4．16．（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有 ①②③④ （填上所有正确结论的序号）．【分析】①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确；②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确；③先证明AE＝AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确．【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形，∴当AB＝AC时，AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．17．（2022春•鄂州期中）如图，分别以△ABC的边AB，AC为边往外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，则BC2+EG2的值为 20 ．【分析】连接BE，CG，先证明△BAG≌△EAC，得∠ABG＝∠AEC，可得BG⊥CE，最后由勾股定理可得结论．【解答】解：如图，连接BE，CG，∵正方形ABDE和正方形ACFG，∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAG＝∠CAE，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AHB＝∠OHE，∴∠EOH＝∠BAH＝90°，∴∠EOG＝∠BOC＝90°，∴BC2+EG2＝OB2+OC2+OE2+OG2＝BE2+CG2，∵AB＝3，AC＝1，∴BE2＝32+32＝18，CG2＝12+12＝2，∴BE2+CG2＝18+2＝20，∴BC2+EG2＝20．故答案为：20．18．（2022春•番禺区校级期中）如图，正方形ABCD中，H为CD上一动点（不含C、D），连接AH交BD 于G，过点G作GE⊥AH交BC于E，过E作EF⊥BD于F，连接AE，EH．下列结论：①AG＝EG；②GE平分∠FEC；③∠EAH＝45°；④BD＝2GF．正确的是 ①③④ （填序号）．【分析】连接CG，由四边形ABCD是正方形，得AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，即可证明∠ABG＝∠CBG＝45°，进而证明△ABG≌△CBG，得AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，再证明∠BCG＝∠GEC，得EG＝CG，所以AG＝EG，可判断①正确；因为AG＝EG，∠AGE＝90°，∠EAH＝∠AEG＝45°，可判断③正确；连接AC交BD于点I，则AC⊥BC，而EF⊥BD，所以∠GFE＝∠AIG＝90°，得∠GEF＝∠AGI＝90°﹣∠EGF，即可证明△GEF≌△AGI，得GF＝AI，由正方形的性质可证明BD＝AC＝2AI＝2GF，可判断④正确；假设GE平分∠FEC，则∠FEG＝∠CEG，可推导出∠DHG＝∠DGH＝67.5°，与已知条件“H为CD上一动点”相矛盾，可判断②错误．【解答】解：连接CG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠ABG＝∠CBG＝45°，在△ABG和△CBG中，，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠AHD，∴∠BCG＝∠AHD，∵GE⊥AH，∴∠AGE＝∠HGE＝90°，∴∠GEC+∠AHC＝180°，∴∠GEC＝180°﹣∠AHC＝∠AHD，∴∠BCG＝∠GEC，∴EG＝CG，∴AG＝EG，故①正确；∵AG＝EG，∠AGE＝90°，∴∠EAH＝∠AEG＝45°，故③正确；连接AC交BD于点I，则AC⊥BC，∵EF⊥BD，∴∠GFE＝∠AIG＝90°，∴∠GEF＝∠AGI＝90°﹣∠EGF，在△GEF和△AGI中，，∴△GEF≌△AGI（AAS），∴GF＝AI，∠FEG＝∠IGA＝∠DGH，∵AI＝CI＝AC，AC＝BD，∴BD＝AC＝2AI，∴BD＝2GF，故④正确；假设GE平分∠FEC，则∠FEG＝∠CEG，∴∠DGH＝∠CEG，∴∠DHG＝180°﹣∠AHC＝∠CEG，∴∠DHG＝∠DGH＝＝67.5°，显然与已知条件“H为CD上一动点”相矛盾，∴GE不一定平分∠FEC，故②错误，故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022秋•青岛期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，DC⊥AC，∠B＝∠D，点E，F分别是BC，AD的中点．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）求证：四边形AECF是菱形；（3）给三角形ABC添加一个条件 AB＝AC ，使得四边形AECF是正方形，并证明你的结论．【分析】（1）根据AAS可证明△ABC≌△CDA；（2）证出AB＝CD，AD＝BC，则可得出四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形的性质证出AE＝BC＝EC，则可得出结论；（3）根据正方形的判定可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB⊥AC，DC⊥AC，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（AAS）；（2）证明：∵△ABC≌△CDA，∴AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴EC＝BC，AF＝AD，∴EC＝AF，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，∴AE＝BC＝EC，∴平行四边形AECF是菱形；（3）解：添加一个条件是AB＝AC．∵AB＝AC，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，即∠AEC＝90°，∵平行四边形AECF是菱形，∴四边形AECF是正方形．故答案为：AB＝AC．20．（2022春•东莞市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECF是正方形？（不必说明理由）【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；（3）当∠A＝45°，四边形BECD是正方形．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形．21．（2022春•寻乌县期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC 交AB于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）当△ABC满足条件 ∠BAC＝90° 时，四边形AEDF是正方形．【分析】（1）先证四边形AEDF是平行四边形，再证EA＝ED，即可得出结论；（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴平行四边形AEDF为菱形；（2）在△ABC中，当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形，∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．故答案为：∠BAC＝90°．22．（2022秋•江阴市期中）如图，正方形ABCD的边长为8cm，点E在AD边上，AE＝6cm，动点P从点A 出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→D运动，设运动时间为t秒．（1）BE＝ 10cm ；（2）当点P在BE的垂直平分线上时，求t的值；（3）当t＝ 20 ，PE平分∠BED，试猜想此时PB是否为∠EBC的角平分线，并说明理由．【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）如图1中，设BE的垂直平分线交AB于点P，交CD于点P′，连接PE．过点P′作P′T⊥AB 于点T．由题意PB＝PE＝8﹣t，利用勾股定理求出t，再证明PT＝AE＝6cm，求出BT，可得结论；（3）结论：PB是∠EBC的角平分线．如图2中，连接PB，过点P作PK⊥BE于点K．利用全等三角形的性质证明PD＝PK＝PC，可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，∴BE＝＝＝10（cm），故答案为：10cm；（2）如图1中，设BE的垂直平分线交AB于点P，交CD于点P′，连接PE．过点P′作P′T⊥AB 于点T．由题意PB＝PE＝8﹣t，在Rt△APE中，则有t2+62＝（8﹣t）2，∴t＝．∵∠C＝∠CBT＝∠BTP′＝90°，∴四边形CBTP′是矩形，∴CP′＝BT，P′T＝BC＝AB，∵∠A＝∠P′TB＝90°，∠ABE+∠TPP′＝90°，∠P′PT+∠PP′T＝90°，∴∠ABE＝∠PP′T，∴△P′TP≌△BAE（AAS），∴PT＝AE＝6cm，∴BT＝AB﹣AP﹣PT＝8﹣﹣6＝，∴运动到P′时，t＝8+8+＝，综上所述，满足条件的t的值为或．（3）结论：PB是∠EBC的角平分线．理由：如图2中，连接PB，过点P作PK⊥BE于点K．∵PE平分∠BED，PK⊥BE．PD⊥ED，∴∠PED＝∠PEK，∠D＝∠PKE＝90°，∵PE＝PE，∴△PED≌△PEK（AAS），∴PD＝PK，ED＝EK＝2cm，∵BE＝10cm，∴BK＝8cm＝BC，∵PB＝PB，∠C＝∠PKB＝90°，∴△BPK≌△BPC（AAS），∴PK＝PC，∴PD＝PC，∵PK⊥BE，PC⊥BC，∴∠PBK＝∠PBC，∴PB平分∠EBC，∵PD＝PC，∴t＝8+8+4＝20．故答案为：20．23．（2022•六合区校级开学）课本上有一道习题：如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC 上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝90°．（1）请完成上题的证明过程；（2）如图2，在菱形ABCD中，点E在AB上，点F在射线BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝∠B．【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件证明Rt△DAE≌Rt△ABF，再通过证明∠ADE+∠DAF＝90°证明∠DGF＝90°；（2）作AH⊥BC于点H，EK⊥CD于点K，根据同一个菱形的高相等证明EK＝AH，再由AF＝DE证明Rt△EKD≌Rt△AHF得到∠EDC＝∠F，再推出∠DGF＝∠B．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠DAE＝∠B＝90°，∵AF＝DE，∴Rt△DAE≌Rt△ABF（HL），∴∠ADE＝∠BAF，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝∠DAB＝90°，∴∠DGF＝∠ADE+∠DAF＝90°．（2）证明：如图2，作AH⊥BC于点H，EK⊥CD于点K，则∠EKD＝∠AHF＝90°，设AF交CD于点R，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，＝EK•DC＝AH•BC，∴S菱形ABCD∴EK＝AH，∵AF＝DE，∴Rt△EKD≌Rt△AHF（HL），∴∠EDC＝∠F，∴∠DRF﹣∠EDC＝∠DRF﹣∠F，∵∠DGF＝∠DRF﹣∠EDC，∠DCF＝∠DRF﹣∠F，∴∠DGF＝∠DCF，∵CD∥AB，∴∠DCF＝∠B，∴∠DGF＝∠B．24．（2022春•海陵区校级期末）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD 边上的动点，AF和EG交于点H．有2个选项：①AF⊥EG②AF＝EG．（1）请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的条件是 ① ，结论是 ② （只要填写序号）；（2）若AB＝6，BF＝2．①若BE＝3，求AG的长；②连结AG、EF，直接写出AG+EF的最小值．【分析】（1）条件是①，结论是②．过点G作GP⊥AB交于P，证明△ABF≌△GPE（ASA）即可；（2）①在Rt△APG中，求出AP＝1，PG＝6，利用勾股定理得出AG＝；②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF，当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，证明△AFQ是等腰直角三角形，由勾股定理即可求AQ的值即为所求．【解答】解：（1）（答案不唯一）选择的条件是①，结论是②．理由如下：如图1，过点G作GP⊥AB交于P，∵AH⊥EG，∴∠AEH+∠DAH＝90°，∵∠PEG+∠PGC＝90°，∴∠EAH＝∠PGE．在△ABF与△GPE中，，∴△ABF≌△GPE（ASA），∴AF＝EG．故答案为：①，②（答案不唯一）；（2）①∵BF＝2，∴PE＝2，∵AB＝6，BE＝3，∴AE＝3，∴AP＝1，在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6，∴AG＝＝；②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF，∴四边形EFQG为平行四边形，∴GQ＝EF，∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，∴当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，∵EG＝AF，EG＝FQ，∴AF＝FQ，∵AF⊥EG，∴AF⊥FQ，∴△AFQ是等腰直角三角形，∵AF＝＝2，∴AQ＝4，∴AG+EF的最小值为4．。
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专题04 正方形专题解读】静态上，正方形既是矩形又是菱形，动态上，等腰直角三角形绕着斜边中点“旋转”，亦可以看成等腰直角三角形沿斜边“翻折”；正方形邻边垂直且相等，常利用“旋转90”构造全等来拓展思路. 思维索引例1 （1）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件，下面给了四组条件：①AB⊥AD,且AB=AD；②AB=BD,且AB⊥BD；③OB=OC,且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD.其中正确的序号是____________.（2）如图1，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB.下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AEEB⊥ED；④0.5APD APBS S∆∆+=；⑤5ABCDS=+正方形其中正确结论的序号是_____________.（图 2 ）EQP DCBA例2（1）如图2，正方形ABCD的边长是4，DAC∠的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为_____________.（2）如图3，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，有一个格点三角形ABC.（注：顶点均在网格线交点处的三角形称为格点三角形.）若P、Q分别为线段AB、BC上的动点，当PC+PQ取得最小值时，①在网格中用无刻度的直尺，画出线段PC、PQ.（请保留作图痕迹.）②直接写出PC+PQ的最小值：____________.（图3）CB A例3 如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PE =P A ,PE 交CD 于F .图 ⑴PFED CBA图 ⑵PFED CB A（1）求证：PC =PE ； （2）求CPE ∠的度数；（3）如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，若65ABC ∠=，则CPE ∠=__________.素养提升1．如图，等腰Rt △ABC 分别沿着某条直线对称得到图形b ,c ,d .若上述对称关系保持不变，平移△ABC ，使得四个图形能够围成一个不重叠且无缝隙的正方形，此时点B 的坐标和正方形的边长为（ ）A .11(,)222-，B . (1,1)2-，C . (1,1)2-，D . 11(,)222-， dcb-1-11B CO xy （ 第 1 题 ）2.从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（ ） A .① B . ② C . ③ D .④3.如图在3⨯4的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，定义：以网格中小正方形的顶点为顶点的正方形叫作格点正方形，图中包含“△”的格点正方形的个数有（ ）. A .5个 B .6个 C .7个 D .9个（第 3 题）（ 第 4 题 ）FGEHDCBA4.如图，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线，将△DCB 绕着点D 顺时针旋转45得到△DGH ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG .则下列结论：① 四边形AEGF 是菱形； ②△AED ≌△GED ； ③ 112.5DFG ∠=；④ BC +FG =1.5 其中正确的结论是（ ）A .①②③④B . ①②③C .①②D .②5.如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1,CE =3,H 是AF 的中点，那么CH 的长是________.6.如图，已知正方形ABCD ，点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合），且AM <AB , △CBE 由 △DAM 平移得到.若过点E 作EH ⊥AC ，H 为垂足，则有以下结论：①点M 位置变化，使得60DHC ∠=时，2BE =DM ； ②无论点M 运动到何处，都有DMHM ； ③无论点M 运动到何处，CHM ∠一定大于135.其中正确结论的序号为______________.( 第 5 题 ）HGFED CBA ( 第 6 题 ）BE AMDC7.如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E 、F 分别在AD 、DC 上，AE =DF =2,BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为____________.8.如图，正方形ABCD 的边长为1，点A 与原点重合，点B 在y 轴的正半轴上，点D 在x 轴的负半轴上，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30至正方形'''AB C D 的位置，''B C 与CD 相交于点M ，则点M 的坐标为_______.( 第 7 题 ）HGFEDCBA（ 第 8 题 ）9.如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 是边AB 上一点，点P 是对角线BD 上一点，且PE PC . （1）求证：PC =PE ； （2）若BE =2,求PB 的长.CDPBEA10.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有两个格点A 、B .（注：网格线交点称为格点） （1）请在图1中确定格点C ，使得△ABC 的面积为12.如果符合题意的格点C 不止一个，请分别用1C 、2C 、3C …表示；（2）请用无刻度的直尺在图2中以AB 为一边画一个面积为18的矩形ABMN .BA 图1图2A B11.如图，E 是正方形ABCD 内一点，E 到点A 、D 、B 的距离EA 、ED 、EB 分别为1、长AE 交CD 于点F ，求四边形BCFE 的面积.CF DEBA12.在平面直角坐标系中，已知A （2,0），以OA 为一边在第四象限内画正方形OABC ，D （m ,0）为x 轴上的一个动点（m >2）,以BD 为一直角边画等腰直角△BDE ,其中90DBE ∠=,点E 在第四象限. （1）试判断线段AE 与CD 的数量关系，并说明理由；（2）设DE 的中点为F ，直线AF 交y 轴于点G .问：随着点D 的运动，点G 的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G 的坐标；若发生变化，请说明理由.13.已知正方形ABCD与正方形CEFG,M是AF的中点，连接DM,EM.（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM,EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请说明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D、E、F三点在一条直线上，若AB=13,CE=5,请画出图形，并直接写出MF的长.图 1DEMFGCBA图 2 F ECD GM BA专题04正方形思维索引】例1.（1）①③④；（2）①③④.例2.（1）（2）①作C 关于AB 的对称点D ，过D 作BC 的垂线交AB 于P ，交CB 于Q例3.（1）提示：证△ABP ≌△CBP （SAS ）；（2）由（1）知，AABP ≌△CBP ，∴∠BAP ＝∠BCP ，∴∠DAP ＝∠DCP ，∵P A ＝PE ， ∴∠DAP ＝∠E ，.∴∠DCP ＝∠E ，∵∠CFP ＝∠EFD （对顶角相等）， ∴180°－∠PFC －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E ，即∠CPF ＝∠EDF ＝90°； （3）115. 素养提升】1.D ；2.D ；3.D ；4.B ：5：6.①②③：7； 8.（－1）9.（1）过P 作PF ⊥AB 于F ，PG ⊥BC 于G ，可证△PFE ≌△PGC （ASA ），故PC ＝PE ；（2）可证四边形PFBG 为正方形，设EF ＝CG ＝x ，则BF ＝BG ＝x ＋2，有x ＋2＋x ＝6，∴x ＝2，则BG ＝4，故，PB＝10．第12题图2图1A BCDEGH11.将△AED 绕点A 顺时针旋转90°至△AGB的位置，连接EG ，由旋转知△EAG 为等腰直角三角形，EG，BG ＝CE ＝EGB ＝∠BAD ＝90°，可进一步证得D 、E 、G 三点共线，∠AED ＝∠AGB ＝135°，则∠DEF ＝45°，过D 作DH ⊥AF 于H ，DH ＝EH ＝3，在RI △AHD 中，由勾股定理得AD ＝5，设HF ＝m ，则（m ＋4）2＝5＋m 2＋9，解得m ＝94，故S 四边形 BCFE ＝S 正方形ABCD 一S四边形AEBG －S∆DEF＝109812.（1）AE＝C D.理由：由正方形OABC，可得BC＝BA，∠ABC＝90°，由等腰直角三角形BDE，可得BD ＝BE，∠DBE＝90°，∴∠ABC＋∠ABD＝∠DBE＋∠ABD，即∠CBD＝∠ABE，∴△CBD≌△ABE，∴CD＝AE；（2）点G的位置不会发生变化.理由：过点E作PQ∥OD，分别交直线AB，AF于点P，Q，∵∠DAB＝∠P＝∠DBE＝90°，∴∠ADB＋∠ABD＝∠PBE＋∠ABD＝90°，∴∠ADB＝∠PBE，又∵DB＝BE，∴△ADB≌△PBE，∴AD＝PB，AB＝PE，∵F是DE的中点，∴DF＝EF，∵AD//EO，∴∠DAF＝∠Q，又∵∠AFD＝∠OFE，.△ADF≌∆QEF，∴AD＝OE，∴AB＋BP＝PE＋EQ，即AP＝QP，.∠AQP＝45°，又∵PQ//OD，.∠OAG＝∠Q＝45°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴GO＝AO＝2，∴G（0，2），即点G的位置不会发生变化.13.解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM.理由：延长EM交AD于H.∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，.∴AD//EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌∆FME，∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME.（2）结论不变。
DM⊥EM，DM＝EM.理由：延长EM交DA的延长线于H.∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴.∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴.AD//EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，.MH＝ME，AH＝EF＝EC，.DH＝DE，∵∠EDH＝90°，.∴DM⊥EM，DM＝ME.（3）MF。