矩阵可逆的充分必要条件
逆矩阵存在的充分必要条件方阵A可逆且推论
B12 B22 Bs 2
B1t B2t Bst
s
C11 C12 C21 C22 则 AB C r 1 Cr 2
其中
Cij Aik Bkj
k 1
注意： A的列块数=B的行块数；A i k的列数=B k j的行数
例题：设
1 0 A 1 1
1 2 4 3 1 1 1 0 1 1 X A CB 6 1 1 0 1 2 1 2 1 / 4 0
1 1
★逆矩阵的性质
1、逆矩阵是唯一存在的。 2、AB=E BA=E （此性质可将定义简化）
T A21 T A22
T A2 s
ArT1 T Ar 2 T Ars
p11 p21 ... p n1
记作
p12 p22 ... pn 2
p1n 1 ... p2 n ... ... 0 ... pnn ...
★ 分块对角矩阵 （方阵）
A11 0 A ... 0 0 A22 ... 0 0 0 0 ... ... 0 Ass ...
其中对角线上的子块全是方阵，其余子块是零矩阵。如
2 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 9 0 0 2 0 8 0 0 3 0 7 是AFra bibliotek A且
n 1
推论：如果A是n阶方阵，则
2、逆矩阵存在的充分必要条件 方阵A可逆 推论：如果A可逆，则
det A 0
A
1
1 A
可逆矩阵
A( A 2E) 3( A 2E) 4E
( A 3E)(A 2E) 4E ( A 2E)1 1 (3E A)
4
定理2.5 设 A, B 均为 m n 阶矩阵，则
（1）A, B行等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵 P, 使得PA B.
（2）A, B 等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P, n阶可逆矩阵Q, 使得PAQ B.
对上式右乘 A1 得， Pl P2 P1E A1.
考虑对 A E 作行变换 P1, P2 , , Pl 即
Pl P2P1A E Pl P2P1A Pl P2P1E
E
A1
1 2 3
例4
设
A
2
2
1 , 求A1.
3 4 3
1 2 3 1 0 0
解：
A
E
2
3
2 4
1 3
0 0
1 0
0 1
r2 2r1 r3 3r1
1 2 3 1 0 0
0 2 5 2 1 0
0 2 6 3 0 1
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 1 0
1 0 0 1 3 2
0
0
2 0
5 1
2 1
1 1
0 1
r12r3 r2 5r3
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
由 BA E 可知 Eu O, 即 u O 矛盾！
充分性得证。
例7 设方阵 A 满足 A2 A 2E O,
证明 A 和 A+2E 都可逆, 并求其逆。
证明: A2 A 2E O A( A E) 2E
A 1 ( A E) E A1 1 ( A E)
矩阵可逆的一个充分必要条件的几种讲法
矩阵可逆的一个充分必要条件的几种讲法不论是在线性代数的教学中还是高等代数的教学中，矩阵的相关内容都是十分重要的。
而其中矩阵可逆的部分又是要重点讲授的，因为逆矩阵在讨论研究矩阵问题时有重要作用。
在矩阵可逆的这部分内容中，矩阵可逆及逆矩阵的定义是必然要介绍的，而矩阵可逆的条件中有一个充分必要条件即一个方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零是一定会讲授的，也是应用较多的，因此要求同学们一定理解掌握。
而就这一个充分必要条件不同的教师有不同的讲法，本文根据自己的体会，介绍了这一个充分必要条件的三种讲法并进行了一定的对比分析。
第一种讲法是非常常见的，很多教师都采用，特别是刚开始教线性代数的新教师。
我在第一次教这部分时也用的是这种讲法。
首先介绍了矩阵可逆的定义[1]，即设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B,使得AB=BA=E（E是n阶单位矩阵），则称方阵A是可逆的，而B称为A的逆矩阵。
在同学们知道理解了矩阵可逆及逆矩阵概念后，就引入介绍矩阵可逆的条件，我们主要介绍矩阵可逆的一个常用的充分必要条件。
而为了介绍这个充分必要条件，首先需要介绍一个相关的内容，那就是伴随矩阵的相关概念[2] 。
对于伴随矩阵首先介绍伴随矩阵的定义：设矩阵A，则称矩阵为A的伴随矩阵，其中Aij是矩阵A中元素aij 的代数余子式。
接着介绍伴随矩阵的一个重要性质：同时给出其证明：事实上，由代数余子式的性质同理可得，所以。
这样准备工作已做好，就来讲最重要的矩阵可逆的充分必要条件。
定理（矩阵可逆的充分必要条件）矩阵 A 可逆的充分必要条件是，且。
证明：（必要性）若，且，则，故 A 可逆且。
（充分性）若 A 可逆，，那么，因此。
以上是第一种讲法的基本过程，当然这其中还有很多教师的引导讲解，这里未体现。
但这种讲法的讲授思路和顺序基本按照教材中给出的顺序来讲，其实就是直接教授给学生们概念和结论，让学生们去理解应用，缺乏探究这些结论的过程。
而第二种讲法恰恰是由矩阵可逆的定义出发按照正常的推理过程得到了矩阵可逆的充分必要条件。
可 逆 矩 阵
可逆矩阵
二、 矩阵可逆的充要条件
在数的运算中，并不是所有的数都有倒数， 只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶 方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为 任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接 下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下 可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先 介绍一个转置伴随矩阵的概念．
可逆矩阵
因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义211，有
AB1=B1A=E，AB2=B2A=E 于是 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2 这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆 矩阵记作A-1，则有 AA-1=A-1A=E
可逆矩阵
【例2-13】
若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出 其逆阵．
可逆矩阵
性质2-5
可逆矩阵
可逆矩阵
【例2-17】
可逆矩阵
故Λ-1=B．
谢谢聆听
可逆矩阵
【例2-16】
证明：若A，B是同阶方阵，且满足AB=E或BA=E，则 A，B都可逆，且
A-1=B，B-1=A 证明 由A，B是同阶方阵且AB=E可得|AB|=|||B|=|E|=1． 所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．
可逆矩阵
在等式AB=E的两边同时左乘A-1，可得A1(AB)=A-1E，即A-1=B．
(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11
性质2-3
可逆矩阵
若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T． 因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据 矩阵的转置运算规律，有 AT(A－1)T=(A－1A) T=ET=E 则AT可逆，且(AT)-1 =(A-1)T．
逆矩阵存在的充分必要条件方阵A可逆且推论
再转置。如
3 1 3 3 3 3 3 T 4 2 1 3 3 1 4 3 T 0 5 6 5 6
T
先把子块当作元素运算，然后子块再运算。
1 1 3 A23 1 3 2 1
1 1 A33 2 3 1
1 3 7 A31 1 A32 3 2 1 2
0 1 1 * A 5 3 7 1 1 2
所以
1 0 1 A 1 5 3 7 1 1 2
——只适用于矩阵的加、减、数乘、相乘、转置等运算。
★ 分块矩阵的乘法运算
设A、B矩阵分块得
A11 A21 A A r1
A12 A22 Ar 2
A1s A2 s Ars C1t C2 t Crt
B11 B21 B B s1
0 n 0 n
列分块
P 1
P 2
1 ... P n 0
P P2 ... Pn 1
分块矩阵的转置运算——子块当作元素转置后子块本身
T 3 2 T 3 2 1 0 1T 3 1 4 5 3 3 3 6 T 0
A为分块对角矩阵。
A11 A
A22
Ass
其中A i i 为方阵子块，其余子块 均为零子块
★分块对角矩阵的性质 （1） A A 11 A 22
1 A11 （2）若A可逆，则 A1 1 A22
Ass
1 Ass
2.3 可逆矩阵
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 2 1 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0 7 5 2 0 1 0 5 4 2 0 0 1 3 2 1 0 0 1 2 7 2 3 7 5 2 1 A 5 4 2 ，BA 1 1 4 ，X 3 3 2 3 2 1 3 5 2 3 2 2 3 2 1
A B B AEij ci k A B B AE(i(k )) ci kc j B AE( j, i(k )) A B
a12 a13 1 0 0 a11 a12 a13 a11 例5 0 1 2 a 21 a 22 a 23 = a 21 2a 31 a 22 2a 32 a 23 2a 33 0 0 1 a a a a a a 31 32 33 31 32 33
2、初等方阵的性质 （1）初等方阵可逆且 其逆矩阵也是初等方阵， 即 1 1 1 1 E ij E ij ，E (i (k )) E (i( ))，E (i, j (k )) E (i, j (k )) k （2）用初等方阵左（右）乘 A， 相当于对 A 作初等行 （列）变换得到的矩阵， 即
3、用初等行变换求逆
行 A 可逆 A E 依据：Th2.3.2 ,
A B1 ( P1 A) B2 ( P2 B1 P2 P1 A)
行 行
行 Bm ( Pm Bm 1 Pm P2 P1 A) 行
A E Pm P2 P1 A E
矩阵可逆的充分必要条件
逆矩阵与转置
若A是可逆矩阵，则A的转置A^T也 是可逆的，且(A^T)^-1 = (A^1)^T。
逆矩阵与行列式
一个方阵A可逆的充分必要条件是其 行列式|A| ≠ 0。
判别方法
高斯消元法
通过高斯消元法将给定矩阵化为行阶梯形 式，若存在全零行或主元位置为0，则该
此，不是所有对称矩阵都是可逆的。
稀疏矩阵与可逆性
稀疏矩阵的定义
若一个矩阵中大部分元素为0，则该矩阵称为稀疏矩阵。
稀疏矩阵与可逆性的关系
稀疏矩阵并不一定是可逆的，其可逆性与矩阵中非零元素的分布和数量有关。只有当稀 疏矩阵的行列式不等于0时，它才是可逆的。因此，需要根据具体情况来判断稀疏矩阵
的可逆性。
特征值均非零
矩阵可逆的第三个充分必要条件是其所有特征值均非零。
特征值是矩阵的一个重要性质，反映了矩阵变换对特征向量的缩放程度。
当且仅当矩阵的所有特征值均不为零时，矩阵才具有逆矩阵。这是因为如果存在零特征值，则对应的特 征向量在变换后会被压缩到零向量，导致逆变换无法恢复原始向量。
PART 03
必要条件探讨
矩阵可逆定义及性质
可逆矩阵定义
方阵
可逆矩阵必须是方阵，即行数和列数相等的矩阵。
存在逆矩阵
存在一个与给定矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵， 称为该矩阵的逆矩阵。
非奇异矩阵
可逆矩阵也称为非奇异矩阵，与之相对的是奇异 矩阵（不可逆矩阵）。
性质与定理
逆矩阵的唯一性
一个可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的运算性质
优点是数值稳定性好，适用于中小规模矩阵 ；缺点是对于大规模矩阵，计算量较大。
二阶矩阵可逆的条件
二阶矩阵可逆的条件二阶矩阵可逆的条件二阶矩阵是指由两行两列的数构成的矩阵。
在线性代数中，矩阵的可逆性是一个重要的概念。
一个矩阵可逆，当且仅当它的行列式不为零。
对于二阶矩阵而言，它的可逆性可以通过一个简单的公式来判断。
设二阶矩阵为A，其行列式为|A|，则A可逆的条件为：|A| ≠ 0也就是说，当且仅当二阶矩阵的行列式不为零时，它才是可逆的。
那么，为什么行列式不为零就意味着矩阵可逆呢？首先，我们需要了解行列式的概念。
行列式是一个数，它是由矩阵中各行各列元素的代数和所组成的。
对于二阶矩阵而言，行列式的计算公式为：|A| = a11a22 - a12a21其中，a11、a12、a21、a22分别表示矩阵A中的元素。
当行列式不为零时，它的值就不为零。
这意味着矩阵中的各行各列元素不是线性相关的，也就是说，它们可以通过一定的线性组合得到任意一个向量。
因此，矩阵A就是可逆的。
反之，当行列式为零时，它的值为零。
这意味着矩阵中的各行各列元素是线性相关的，也就是说，它们不能通过一定的线性组合得到任意一个向量。
因此，矩阵A就是不可逆的。
总之，二阶矩阵可逆的条件是行列式不为零。
这个条件非常简单，但却非常重要。
它不仅可以帮助我们判断矩阵是否可逆，还可以帮助我们求解矩阵的逆矩阵。
因此，对于学习线性代数的人而言，掌握这个条件是非常必要的。
除了二阶矩阵外，对于任意n阶矩阵而言，它的可逆性也可以通过行列式来判断。
具体来说，一个n阶矩阵可逆的条件是其行列式不为零。
但是，对于高阶矩阵而言，行列式的计算会变得非常复杂，因此，我们通常会使用高斯消元法等方法来求解矩阵的行列式和逆矩阵。
总之，矩阵的可逆性是线性代数中的一个重要概念。
对于二阶矩阵而言，它的可逆性可以通过行列式来判断。
因此，我们需要掌握行列式的计算方法和判断矩阵可逆性的条件，以便更好地理解线性代数的相关知识。
可逆线性变换与可逆矩阵的定义与性质
可逆线性变换与可逆矩阵的定义与性质可逆线性变换与可逆矩阵是线性代数中非常重要的概念。
在研究线性变换和矩阵的性质时，我们经常会遇到可逆变换和可逆矩阵，它们具有很多重要的性质和应用。
本文将深入探讨可逆线性变换与可逆矩阵的定义与性质，帮助读者更好地理解和应用它们。
一、可逆线性变换的定义与性质1. 定义：一个线性变换T称为可逆的，如果存在另一个线性变换S，使得TS = ST = I，其中I为恒等变换。
简单来说，可逆线性变换存在一个逆变换，使得它们的乘积等于恒等变换。
2. 性质1：如果线性变换T可逆，那么它的逆变换是唯一的。
换句话说，如果TS = ST = I，那么逆变换S就是唯一的，记作T^{-1}。
3. 性质2：可逆线性变换的逆变换也是可逆的。
如果T可逆，则T^{-1}也可逆，且(T^{-1})^{-1} = T。
4. 性质3：可逆线性变换的转置也是可逆的。
如果T可逆，则其转置T^T也可逆，且(T^T)^{-1} = (T^{-1})^T。
5. 性质4：可逆线性变换的乘积也是可逆的。
如果T和U都是可逆的线性变换，则TU也是可逆的，且(TU)^{-1} = U^{-1}T^{-1}。
二、可逆矩阵的定义与性质1. 定义：一个n阶方阵A称为可逆的，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB = BA = I。
类似于可逆线性变换，可逆矩阵存在一个逆矩阵，使得它们的乘积等于单位矩阵。
2. 性质1：如果矩阵A可逆，那么它的逆矩阵是唯一的。
换句话说，如果AB = BA = I，那么逆矩阵B就是唯一的，记作A^{-1}。
3. 性质2：可逆矩阵的逆矩阵也是可逆的。
如果A可逆，则A^{-1}也可逆，且(A^{-1})^{-1} = A。
4. 性质3：可逆矩阵的转置也是可逆的。
如果A可逆，则其转置A^T也可逆，且(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T。
5. 性质4：可逆矩阵的乘积也是可逆的。
如果A和B都是可逆的矩阵，则AB也是可逆的，且(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}。
可逆线性变换与可逆矩阵的判定
可逆线性变换与可逆矩阵的判定可逆线性变换与可逆矩阵是线性代数中非常重要的概念。
在本文中，我们将解释什么是可逆线性变换和可逆矩阵，并介绍如何判定它们的性质。
1. 可逆线性变换可逆线性变换是指一个线性变换，它既是一对一的（injective），又是满的（surjective）。
换句话说，对于一个可逆线性变换 T，存在另一个线性变换 T'，使得 T(T'(v)) = v 对于所有的向量 v 成立。
我们可以用一个方程来表达可逆线性变换：Tv = u，其中 T 是一个n×n 的矩阵，v 和 u 是 n 维列向量。
如果存在另一个矩阵 S，使得 ST =I 和 TS = I（I 是单位矩阵），那么 T 是可逆的。
2. 可逆矩阵可逆矩阵是指一个方阵，存在一个矩阵使得它们的乘积等于单位矩阵。
如果一个 n×n 的矩阵 A 可逆，那么存在另一个矩阵 B，使得 AB = BA = I，其中 I 是 n×n 的单位矩阵。
一个矩阵 A 可逆的充分必要条件是它的行列式不为零。
也就是说，如果det(A) ≠ 0，那么 A 是可逆的。
3. 判定可逆线性变换和可逆矩阵为了判定一个线性变换或矩阵是否可逆，我们可以使用以下方法：3.1. 行化简对于矩阵 A，通过行变换将其化为阶梯形矩阵。
如果阶梯形矩阵的每一行都不全为零，则 A 是可逆的。
否则， A 不可逆。
3.2. 行列式计算矩阵 A 的行列式 det(A)，如果det(A) ≠ 0，则 A 是可逆的。
否则， A 不可逆。
3.3. 逆矩阵计算矩阵 A 的逆矩阵 A^{-1}。
如果 A^{-1} 存在，则 A 是可逆的。
否则， A 不可逆。
需要注意的是，可逆矩阵和可逆线性变换具有相同的性质。
如果一个线性变换可逆，则对应的矩阵也是可逆的，反之亦然。
4. 应用可逆线性变换和可逆矩阵在许多领域都有重要应用，例如图像处理、密码学和通信系统等。
在图像处理中，我们可以使用可逆线性变换来进行图像的旋转、缩放和平移等操作。
线性代数模拟试题及答案
班级： 姓名： 学号：131《 线性代数期末模拟试题一 》一、填空（本题20分每小题2分）1．设为四阶行列式,若表示元素的余子式，表示元素的代数余子式，则+= .2．三阶行列式中只有位于两条对角线上的元素均不为零， 则该三阶行列式的所有项中有 项不为零，这一结论对阶行列式（填成立或不成立）。
3．设均为3维列向量，记矩阵记矩阵，若，则。
4．设矩阵,则。
5．设矩阵可逆，且矩阵,所以矩阵一定可以由矩阵经过（填行或列)初等变换而得到.6．设向量组，若 则一定可以由向量唯一的线性表示。
7．非齐次线性方程组有 唯一的解是对应的齐次方程组只有零解的充分但不必要条件。
8．设3阶矩阵的行列式 ，则矩阵一定有一个特征值。
9．阶矩阵有个特征值1，2，，阶矩阵与相似，则. 10．向量组: （填是或不是）向量空间一个规范正交基。
二、单项选择（本题10分，每小题2分）得分阅卷人班级： 姓名： 学号：132注意:请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！1．设矩阵为阶方阵，则关于非齐次线性方程组的解下列说法( ）不正确 （A ） 若方程组有解,则系数行列式； （B ） 若方程组无解,则系数行列式；(C ） 若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解； （D) 系数行列式是方程组有唯一解的充分必要条件.2。
设为阶可逆矩阵，下列正确的是（ ） （A ） ； （B) ； （C ） ；（D ） 。
3。
奇异方阵经过( ）后，矩阵的秩有可能改变。
(A ） 初等变换； (B ） 左乘初等矩阵； (C ） 左、右同乘初等矩阵； (D ） 和一个单位矩阵相加。
4．设非齐次线性方程组的系数矩阵是矩阵，且的行向量组线性无关，则有（ ）。
（A) 的列向量组线性无关；(B) 增广矩阵的行向量组线性无关；(C) 增广矩阵的任意4个列向量组线性无关； （D) 增广矩阵的列向量组线性无关。
5．设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为 ( ) （A ） 4/3; (B) 3/4；(C ） 1/2； （D) 1/4。
浅谈逆矩阵的多种求解方法
例2：已知 ，求A-1.
解：∵| A | = 2≠0
∴A可逆.由已知得
A-1=A* =
4.3初等变换法：
注意：
①对于阶数较高（n≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.
②也可以利用 求得A的逆矩阵.
例1：设A为n阶矩阵，且满足 ，求A-1.
解：
4.2伴随矩阵法：A-1=A*
定理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有A-1=A*.
注意：
①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* =（Aji）n×n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵 ，其伴随矩阵 ,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.
且A-1= B.
3、逆矩阵的性质
设A，B是n阶可逆矩阵，则
（1）（A-1）-1= A；
（2）若k≠0，则kA可逆，且（kA）-1=A-1；
（3）AB可逆，且（AB）-1= B-1A-1；
（4）AT可逆，且（AT）-1=（A-1）T；
（5）Ak可逆，且（Ak）-1=（A-1）k；
（6）| A-1| = | A |-1；
解：
构造矩阵 有：
将第一行依次乘以-2，-3和1，分别加到第二行、第三行和第五行，得;
将第二行依次乘以-1和1，分别加到第三行和第四行，得：
再将第三行依次乘以-3、2和-1，分别加到第四行、第五行、第六行，得：
故：
参考文献
[1]杜汉玲.求逆矩阵的方法与解析[J].高等函授学报(自然科学版), 2004, (04) .
简谈矩阵可逆的判别法与其运用
简谈矩阵可逆的判别法与其运用内容摘要：逆矩阵的计算与证明是线性代数中关于矩阵这一条主线的重要知识点，逆矩阵的性质、矩阵可逆的充分必要条件以及逆矩阵的各类计算方法已成为学习高等代数的一大重点，许多同学在复习的过程中对逆矩阵的计算投入了许多时间去反复训练，而对证明却相对有所忽略，以致某些情况下对可逆性的证明无从下手，我就我学习高等代数以来对逆矩阵的思考和心得和大家分享分享。
首先，矩阵乘法有别于同学们之前接触过的乘法运算的一个最重要的不同点就是矩阵的乘法不满足交换律，与矩阵相交换有联系的主要是逆矩阵的定义式，这也是关于矩阵可逆性证明的一个重要突破点。
下面主要介绍几个可以证明矩阵可逆的判别方法。
关键词：可逆，矩阵，判别法，扩充，1.导言：矩阵与生活有着密不可分的联系，矩阵的逆矩阵也是矩阵的重中之重，很多同学只知道逆矩阵的求法，算法，却并不知道矩阵在什么情况下存在逆矩阵，书上只定义了两种判断矩阵是否可逆的方法，但在面对种类繁多的各种逆矩阵存在性证明的题时，尚显不足，本文从各个方面，各个角度讲了矩阵可逆的判别法。
2.预备知识：逆矩阵定义：n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB=BA=E ；这里E是单位矩阵。
记作B=1-A 。
判别法1：矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 非退化。
判别法2：n 级矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积。
引理3：如果齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的行列式|A|≠0，那么它只有零解。
引理4:对矩阵A 进行初等行（列）变换得到矩阵B ，矩阵旳秩rank(A)=rank(B)。
引理5：设∂是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P 中一数0λ，存在一个非零向量ξ，使得ξλξ0=∂.那么0λ称为∂的一个特征值，而ξ称为∂的属于0λ的一个特征向量。
引理6：设的特征多项式为的特征矩阵，称为称A A E A A E P A n --∈⨯λλ,n且A E -λ=()()A S S nk n k kn n 1111-++-++--- λλλ，其中k S 为A 中一切k 阶主子式之和，由此可知A E -λ=0在P 中最多有n 个不同的解，但在P 中也可能没有一个解，但在复数域C 中，A 一定有n 个解（包括重根个数）。
矩阵可逆的概念
矩阵可逆的概念矩阵可逆是线性代数中一个重要的概念。
在矩阵理论中，可逆矩阵是指一个方阵，它存在一个逆矩阵，使得两者相乘得到单位矩阵。
可逆矩阵也被称为非奇异矩阵或满秩矩阵。
为了更好地理解矩阵可逆的概念，我们首先需要了解一些相关的基本概念。
1. 方阵：方阵是指行数和列数相等的矩阵。
在线性代数中，方阵是最常见的矩阵类型。
2. 单位矩阵：单位矩阵是一个特殊的方阵，它的主对角线上的元素都是1，其余元素都是0。
单位矩阵在矩阵运算中起到类似于数字1的作用。
3. 逆矩阵：对于一个方阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵。
逆矩阵也被称为反矩阵。
有了上述基本概念的铺垫，我们可以进一步探讨矩阵可逆的概念。
一个矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零。
行列式是一个方阵的一个标量值，它可以通过一系列运算得到。
如果一个方阵的行列式为零，那么这个方阵就是奇异的，也就是不可逆的。
为了更好地理解这个概念，我们可以通过一个例子来说明。
考虑一个2x2的方阵A，其元素为a、b、c、d。
如果A可逆，那么存在一个逆矩阵B，使得AB=BA=I。
我们可以通过矩阵乘法的定义来解这个方程组：AB = BA = I(a b) (e f) = (1 0)(c d) (g h) (0 1)根据矩阵乘法的定义，我们可以得到以下两个等式：ae + bg = 1af + bh = 0ce + dg = 0cf + dh = 1通过解这个方程组，我们可以得到逆矩阵B的元素：e = d / (ad - bc)f = -b / (ad - bc)g = -c / (ad - bc)h = a / (ad - bc)如果ad - bc = 0，那么逆矩阵B的元素将无法计算，也就是说矩阵A不可逆。
从这个例子可以看出，矩阵可逆的一个必要条件是其行列式不等于零。
但是这个条件并不充分，也就是说行列式不等于零只是矩阵可逆的一个必要条件，而不是充分条件。
逆矩阵的充分条件
逆矩阵的充分条件逆矩阵是矩阵理论中一个重要的概念，它可以用来解决线性方程组、计算行列式、求解线性变换等问题。
在回答你的问题之前，我先解释一下矩阵的相关概念。
1. 矩阵：矩阵是一个二维数组，由若干个数按照一定的规律排列组成。
矩阵通常用大写字母表示，如A、B。
一个矩阵可以有多个行和多个列，我们称一个矩阵有m行n 列，记作m×n矩阵。
2. 行列式：行列式是一个与矩阵相关的数值，它可以用来判断一个矩阵是否可逆。
行列式通常用竖线括起来表示，如|A|。
对于一个n×n矩阵A，它的行列式可以用|A|表示，它是一个数值。
3. 逆矩阵：对于一个n×n矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么我们称B是A的逆矩阵，记作A^{-1}。
逆矩阵的存在性是判断一个矩阵是否可逆的关键条件。
现在我们来回答你的问题，逆矩阵的充分条件是：一个n×n矩阵A的逆矩阵存在，当且仅当A的行列式不等于零。
即，如果|A|≠0，那么A一定存在逆矩阵A^{-1}。
解释：一个矩阵A的行列式是一个和A有关的数值，它可以通过一定的计算方法求得。
当且仅当A的行列式不等于零时，矩阵A存在逆矩阵A^{-1}。
这是逆矩阵存在的充分条件，即如果一个矩阵的行列式不等于零，那么它一定存在逆矩阵。
为什么这个条件是充分条件呢假设A的行列式不等于零，那么它的逆矩阵A^{-1}存在。
我们可以进行计算验证：AB=BA=I，其中B是A的逆矩阵，而I是单位矩阵。
这意味着矩阵A和它的逆矩阵A^{-1}相互逆运算，互为对方的逆矩阵，这正是逆矩阵的定义。
反过来，如果A的行列式等于零，那么A不存在逆矩阵。
这是因为，如果A的行列式等于零，那么我们无法找到一个矩阵B，使得AB=BA=I。
因此，行列式等于零是逆矩阵不存在的必要条件。
总结起来，逆矩阵的充分条件是矩阵的行列式不等于零。
当矩阵的行列式不等于零时，矩阵存在逆矩阵；当矩阵的行列式等于零时，矩阵不存在逆矩阵。
逆矩阵的充分条件
逆矩阵的充分条件矩阵在数学中有着广泛的应用，而其中的逆矩阵也是一个重要的概念。
逆矩阵是指对于一个方阵A，存在一个矩阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵。
逆矩阵的存在与否是矩阵是否可逆的关键判断条件，下面将介绍逆矩阵的充分条件。
充分条件一：A的行列式不等于零逆矩阵的第一个充分条件是矩阵A的行列式不等于零。
行列式是一个与矩阵相关的数值，它的值代表了矩阵的某些性质。
如果一个矩阵的行列式为零，那么它是不可逆的，因为不存在满足乘积等于单位矩阵的逆矩阵。
充分条件二：A的秩等于其阶数逆矩阵的第二个充分条件是矩阵A的秩等于其阶数。
矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵的行向量或列向量的线性无关的最大个数。
如果一个矩阵的秩小于其阶数，那么它是不可逆的，因为它的行向量或列向量存在线性相关关系，无法找到一个满足乘积等于单位矩阵的逆矩阵。
充分条件三：A的列向量线性无关逆矩阵的第三个充分条件是矩阵A的列向量线性无关。
矩阵的列向量线性无关意味着矩阵的每一列向量都不能表示为其他列向量的线性组合。
如果一个矩阵的列向量线性相关，那么它的秩必然小于其阶数，从而不可逆。
充分条件四：A的行向量线性无关逆矩阵的第四个充分条件是矩阵A的行向量线性无关。
矩阵的行向量线性无关与列向量线性无关类似，意味着矩阵的每一行向量都不能表示为其他行向量的线性组合。
如果一个矩阵的行向量线性相关，那么它的秩必然小于其阶数，从而不可逆。
充分条件五：A的特征值不等于零逆矩阵的第五个充分条件是矩阵A的特征值不等于零。
特征值是矩阵的一个重要性质，它表示矩阵在某个方向上的拉伸或压缩倍数。
如果一个矩阵的特征值存在零，那么它是不可逆的，因为存在特征向量为零向量的情况，无法找到一个满足乘积等于单位矩阵的逆矩阵。
逆矩阵的充分条件包括矩阵的行列式不等于零、秩等于阶数、列向量线性无关、行向量线性无关和特征值不等于零。
当满足这些条件时，矩阵存在逆矩阵；反之，如果不满足这些条件，矩阵就是不可逆的。
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A 的秩为 n 。 符号表示为 R(A) = n p 67～68
一个 n 阶方阵 A 可逆有以下充分必
要条件 (续前页)：
以 A 为系数矩阵的 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解。 可从 p 72 定理 3 (ii) 推得
以 A 为系数矩阵的 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有唯一解。 可从 p 72 定理 3 (ii) 可得
方阵可逆的充分必要条件整理
一个 n 阶方阵 A 可逆有以下充分必 要条件：
A 的行列式 不等于 0 。 用行列式符号表示为 |A| ≠ 0 或 det(A) ≠ 0 ； 或说 A 是非奇异矩阵。 课本 p 40
A 可写成有限个初等矩阵的乘积。 p 62 性质 1
A 和 n 阶单位矩阵行等价。 A ～r E，也就是说 A 对应的行最简形矩阵为
A 的行 (列) 向量组线性无关。 可从 p 88 定理 4 推得
A 的列 (行)向量组的秩为 n。
符号表示为 R(A) = n 可从 p p 120