简单线性规划课件
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简单线性规划 课件(48张)
22
由 z＝x＋3y，得 y＝－13x＋3z，平移直线 x＋3y＝0 可
知，当直线 y＝－13x＋3z经过 A 点时 z 取最大值．由
2x＋y＝4，
得 A(1，2)，所以 zmax＝1＋2×3＝7.
x＝1，
2021/10/10
23
类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0，
[典例 2] 设实数 x，y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0，
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30
[变式训练] (1)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不
2x－y－2≥0， 等式组x＋2y－1≥0，所表示的区域上一动点，则直线
3x＋y－8≤0， OM 斜率的最小值为( )
A．2 B．1 C．－13 D．－12
2021/10/10
31
2x＋y－5≥0， (2)已知3x－y－5≤0，求(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大、
简单的线性规划
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1
[学习目标] 1.了解线性规划的意义，了解线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概 念． 2.掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求线性 目标函数的最大值、最小值． 3.训练数形结合、化归等 数学思想，培养和发展数学应用意识．
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x－2y＋5≥0， 最小值．
(1)解析：如图所示，
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32
2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0，
平面区域为图中的阴影部分．
x＋2y－1＝0，
由
得 A(3，－1)
3x＋y－8＝0，
当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
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简单线性规划最终版课件
【解题回顾】要能从实际问题中, 建构有关线 性规划问题的数学模型.关键求出 约束条件和目标函数.
32
解: 设投资方对甲、乙两个项目各投资x、y万元
依题意线性约束条件为： x y 10 目标函数为：Z x 0.5 y
3 x y 18
x
0
y 0
作出可行域
可知直线Z=x+0.5y通过点A时利润最大
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.
19
把问题1的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件)
4
0
16
0
4
12
1
2
8
2
3
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
20
y
4 3
4
0
8x
21
y
4 3
o
22
M
4
8
y
4 3
0
M（4, 2）
由
x y 3x
10 y 18
x y
4 6
A4,6
Zmax 4 6 0.5 7（万元） 答:
33
练习题
1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售 收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需 要在A.B两种设备上加工，在每台A.B上加工1件 甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时 分别为2h,1h.A.B两种设备每月有效使用台时数 分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最 大解？: 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每
规格类型 钢板类型
第一种钢板
A规格
2
B规格
32
解: 设投资方对甲、乙两个项目各投资x、y万元
依题意线性约束条件为： x y 10 目标函数为：Z x 0.5 y
3 x y 18
x
0
y 0
作出可行域
可知直线Z=x+0.5y通过点A时利润最大
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.
19
把问题1的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件)
4
0
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0
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1
2
8
2
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设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
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y
4 3
4
0
8x
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y
4 3
o
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M
4
8
y
4 3
0
M（4, 2）
由
x y 3x
10 y 18
x y
4 6
A4,6
Zmax 4 6 0.5 7（万元） 答:
33
练习题
1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售 收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需 要在A.B两种设备上加工，在每台A.B上加工1件 甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时 分别为2h,1h.A.B两种设备每月有效使用台时数 分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最 大解？: 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每
规格类型 钢板类型
第一种钢板
A规格
2
B规格
简单线性规划课件
结 论 : 形 如2 x y t ( t 0) 的直线与 2 x平面区域上 示的平面区域 x-4y≤-3 问题1：ｘ有无最大(小)值？
3x+5y≤25 x≥1
问题２：ｙ有无最大(小)值？
y
x=1
C
问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
x 4 y 3 1.先 作 出 3 x 5 y 25 x 1 所表示的区域 .
C
5
2.作直线 l0 : 2 x y 0
3.作一组与直线 l 0 平行的 直线l : 2 x y t , t R
A B
O
1 5 x=1
2x y 0
直线L越往右平移 ,t的值越大. x 以经过点A(5,2)的 3x+5y-25=0 直线所对应的t值 最大;经过点 B(1,1)的直线所对 应的t值最小. Z max 2 5 2 12, Z min 2 1 1 3
x y 1, y x, y 0,
答案:当x=1，y=0时，z=2x+y有最大值2。
练习2 ： 求z=3x+y的最 大值，使式中x、y满足 下列条件：
2x 3 y 24 x y 7 y 6 x 0 y 0
8 (0,6)
不等式组称为x，y 的约束条件。
线性约束条件：关于x，y 的一次不等式或方程
组成的不等式组称为x，y 的线性约 束条件。
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变
量x，y 的解析式称为目标函数。
线性目标函数：关于x，y 的一次目标函数称
为线性目标函数。
线性规划的相关概念
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
数学：3.5.2《简单线性规划》课件(新人教B版必修5)
x - y 0 Zmin=2x+y=2x(-1)+(-1)=-3 (1)已知 x y - 1 0 y 1 0
求z=2x+y的最大值和最小值。
x+2y4, （2）在约束条件 x–y 1, 下 x+20 求目标函数z=3x–y的最小值和最大值 zmin=3(–2)–3= –9.
m ax
m in
11
求：
因此当x＝9，y＝8时，zmin＝－3×9＋2×8＝－11. 5 5 当x＝－2，y＝2时，zmax＝－3×(－2)＋2×2＝11.
例2.某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1 kg要用煤9 t，电力4 KW，劳动力(按工作日计算)3个；制造乙产品1 kg 要用煤4 t，电力5 KW，劳动力10个．又知制成甲产品1 kg 可获利7万元，制成乙产品1 kg可获利12万元，现在此工厂只 有煤360 t，电力200 KW，劳动力300个，在这种条件下应生 产甲、乙两种产品各多少千克获得最大经济效益？ 解：设此工厂应分别生产甲、乙产品x kg、y kg，利润z万元，则依 题意可得约束条件：
y
x=1
C
x-4y=-3
A
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 3x+5y≤25 ， x≥1
y x=1
C x-4y=-3
Ａ
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 3x+5y≤25， x≥1
x－y－2＝0， 3 2 2 71 3 (2)求z＝x ∴t＝ 远．联立 ， ＋y 的最值．∴t＝，2 得C 24， 2 2y－3＝0，
0051数学课件：简单的线性规划
坐标即为最优整解．
2.调整优解法：即先求非整数条件下的最优解，
调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小） 的整点值，最后筛选出整点最优解．
巩固练习一
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖 9 x 4 y 3600 4 x 5 y 2000 3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g．已知每天原料 的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖3000g,如果甲种饮 3x 10 y 3000 料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料 x 0 的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少 目标函数为：z =0.7x +1.2y y 0 杯能获利最大？ 练习一.gsp 解：将已知数据列为下表：
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 答（略） 你能否猜测一下Z的最小值可能是多少?
3.最优解的几何意义是什么 (最优解可以转化为什么几何意义)?
结论2:
线性规划求最优整数解的一般方法:
1.平移找解法： 即先打网格，描出可行域内的
整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点
9 x + 4 y = 3600 _
得点C的坐标为（200，240）
小结
答:每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯可获取最大利润.
巩固练习 二
某货运公司拟用集装箱托运甲.乙两种货物,一个大集装箱所装托 3 运货物的总体积不能超过24 m ,总重量不能超过1500kg,甲.乙 两种货物每袋的体积.重量和可获得的利润,列表如下:
原 料 奶粉(g) 咖啡(g) 糖(g) 利 润(元) 每配制1杯饮料消耗的原料 甲种饮料 x 乙种饮料 y 9 4 3 0.7 4 5 10 1.2 原 料限 额 3600 2000 3000
课件—简单线性规划
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产品 生产甲种产品 1工时 生产乙种产品 1工时
原料A数量 原料B数量 (kg) (kg) 3 2 1 2
利润 （元） 30
限额数量
1200
800
40 复习提问 问题导入 例01解析 例02解析 例03解析 课堂小结 布置作业
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快进
解析:设计划生产甲种产品x工时,乙种产品y工时, 3x 2 y 1200 x 2 y 800 则x, y满足线性约束条件 : x 0 y 0
货物 甲 每袋体积 每袋重量 每袋利润 （单位：m3) （单位：百千克） （单位：百元） 复习提问 5 1
20 问题导入 例01解析 乙 4 2.5 10 例02解析 例03解析 问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋（不一定 都是整袋）时，可获得最大利润？ 课堂小结 布置作业
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即 : M 200,300
3x 2 y 1200 x 200 解方程组 x 2 y 800 y 300
zmax 30 200 40 300 18000 答 : 用200工时生产甲种产品用300工时生产 , 复习提问
快速定位
解析:设购买甲种食物x千克,乙种食物y千克,则购 买丙种食物 10 x y 千克.x, y满足线性约束条件 : 400 x 600 y 400 10 x y 4400 y 2 2 x y 4 800 x 200 y 400 10 x y 4800 复习提问 x 0, y 0 x y 10 10 x y 0 注意考虑问题的实际意义. x 0 问题导入
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产品 生产甲种产品 1工时 生产乙种产品 1工时
原料A数量 原料B数量 (kg) (kg) 3 2 1 2
利润 （元） 30
限额数量
1200
800
40 复习提问 问题导入 例01解析 例02解析 例03解析 课堂小结 布置作业
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解析:设计划生产甲种产品x工时,乙种产品y工时, 3x 2 y 1200 x 2 y 800 则x, y满足线性约束条件 : x 0 y 0
货物 甲 每袋体积 每袋重量 每袋利润 （单位：m3) （单位：百千克） （单位：百元） 复习提问 5 1
20 问题导入 例01解析 乙 4 2.5 10 例02解析 例03解析 问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋（不一定 都是整袋）时，可获得最大利润？ 课堂小结 布置作业
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即 : M 200,300
3x 2 y 1200 x 200 解方程组 x 2 y 800 y 300
zmax 30 200 40 300 18000 答 : 用200工时生产甲种产品用300工时生产 , 复习提问
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解析:设购买甲种食物x千克,乙种食物y千克,则购 买丙种食物 10 x y 千克.x, y满足线性约束条件 : 400 x 600 y 400 10 x y 4400 y 2 2 x y 4 800 x 200 y 400 10 x y 4800 复习提问 x 0, y 0 x y 10 10 x y 0 注意考虑问题的实际意义. x 0 问题导入
简单的线性规划问题课件
y
y 2x 12
y 2x 3
C(1, 4.4)
y 2x 5
x 4 y 3 这 纵是 截3xx斜距1率为5为zy的-2直，2线5
B(1, 1)
O1
x=1
x－4y+3=0 求z=2x+y的最大
A(5, 2)
值和最小值。
所以z最大值12
5
x
3x+5y－25=0
z最小值为3
【解析】
由z 2x y y 2x z
A
3, 2
5 2
,
zmax
17
B 2, 1, zmax 11
5x＋3y≤15 y≤ x＋1 x－5y≤3
【解析】
5x 3y 15 0
x y1 0
A
练习 B
x 5y 3 0
7
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域,
和直线 ax by 不0(全a,b为 目标0函，数为
y
C
5
A B
O1
x
5
1
复习： vv二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角 坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有 点组成的平面区域。
确定方法：
方法1：直线定界，特殊点定域；
若C≠0，则直线定界，原点定域；
方法2：如：x－y+1<0
x<y－1
表示直线x-y+1=0左侧的区域。
注意：若不等式中是严格不等号，则边界
【解析】
由z 2x y y 2x z
A(5,2) C(1, 22)
5
zmin
21
22 5
3.4.2《简单线性规划》课件(北师大版必修5)
所以 zmin＝4＋3＝7.
x＋3y≥12 线性约束条件x＋y≤10 3x＋y≥12 最小值．
下， z＝2x－y 的最大值和 求
• 先画出可行域，利用直线z＝2x－y的平移来
寻求最优解，最先或最后通过的可行域顶点 坐标即为最优解，它可以使目标函数取得最 大值或最小值．
[解题过程] 如图作出线性约 x＋3y≥12 束条件 x＋y≤10 3x＋y≥12
2 3 ＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，求a＋b的最小值．
解析： 不等式组表示的平面区域如图 所示阴影部分． 作直线l：ax＋by＝0(a＞0，b＞0)向 上平移直线l，目标函数z＝ax＋by(a＞0， b＞0)的值随之增大．由图可知当直线l过 直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点A(4,6)时，目标函 数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值为12，
1 1－－2
7 2 7 kQA＝ ＝ ＝ . 1－－1 2 4
3 7 故z＝2k∈4，2.
1 3－－2
y－b [题后感悟] 若目标函数为形如z＝ ，可考虑(a，b) x－a 与(x，y)两点连线的斜率． 若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与 (a，b)两点距离的平方．
x－y－2＝0， 2y－3＝0，
得C
7 3 ， 2 2
7 3 ，所以当x＝ 2 ，y＝ 2
7 3 29 2 ＋ 2＝ . 时，目标函数z取最大值，zmax＝ 2 2 2
3 13 综上，当x＝1，y＝2时，z的最小值为 4 . 7 3 29 当x＝2，y＝2时，z的最大值为 2 .
• [题后感悟] 这是一道线性规划的逆向思维
问题．解答此类问题必须明确线性目标函 数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．边界直线 斜率与目标函数斜率间的关系往往是解题 的关键．
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当b>0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上平移到端点(一般是 两直线交点)的位置得到的；当b<0时，则是向下方平移．
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
x－4y＋3≤0， 变量 x，y 满足3x＋5y－25≤0， x≥1，
(1)假设 z＝4x－3y，求 z 的最大值； y (2)设 z＝ ，求 z 的最小值； x (3)设 z＝x2＋y2，求 z 的取值范围．
50x＋40y≤2 000 答案： x∈N＋ y∈N ＋
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
判断二元一次不等式(组)表示平面区域的方法 直接定界，特殊定域
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时
直线画成实线．若直线不过原点，则以原点坐标(0,0)代入验证判断；若
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
(1)由 z＝5x＋y 知，当 y＝－5x 向上平移且过点(1,0)时取得最大值， 即 zmax＝5×1＋0＝5； y y (2)z＝ 表示可行域内任一点与点(－1,0)连线的斜率， 因此 的 x＋1 x＋1 范围为直线 CD 的斜率到直线 CA 的斜率，
y＝x 1 1 而由 得 A2，2， x＋y－1＝0 x＋y－1＝0 由 得 D(1,0)， x＋2y－1＝0
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
解析： 由题意可画表格如下： 方木料(m3) 书桌(张) 书橱(个) 0.1 0.2 五合板(m2) 2 1 利润(元) 80 120
(1)设只生产书桌 x 张，可获得利润 z 元，
0.1x≤90 x≤900 则 ⇒ ⇒x≤300. 2x≤600 x≤300
＋y 的最大值是( A．1 C．2 ) 3 B. 2 D．3
的目标函数 z＝x
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
解析： 可行域如图阴影部分所示，易得A(1,1)．
z＝x＋y在A(1,1)处取得最大值zmax＝2.
答案： C
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
4．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值是________．
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
作出可行域如图，则z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)， D(0,8)处的值分别是 zA＝2.5×9＋4×0＝22.5， zB＝2.5×4＋4×3＝22，
zC＝2.5×2＋4×5＝25，
zD＝2.5×0＋4×8＝32.
比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单
关于x，y的函数， 解析式 如z＝2x＋3y等 (x，y) 关于x，y的 一次 解析式
满足线性约束条件的解 所有可行解组成的 集合 使目标函数取得 的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或 最小值 问题 最大值或最小值
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
【思考探究】 可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？ 提示： 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解
∴平面区域满足不等式x＋y－1＞0.
答案： B
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
2x－y＋1≥0 2．不等式组x－2y－1≤0 表示的平面区域为( x＋y≤1
A．四边形及其内部 B．等腰三角形及其内部 C．在第一象限内的一个无界区域 D．不包含第一象限内的点的一个有界区域
)
工具
第六章
第4课时 简单线性规划
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
1．二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)．所有这
样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的 2．二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成 三类： 解集． .
不一定唯一，有时唯一，有时有多个．
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
1．如图所示的平面区域(阴影部分)满足
不等式( ) B．x＋y－1＞0 D．x－y－1＞0
A．x＋y－1＜0 C．x－y－1＜0
解析： ∵边界过(0,1)和(1,0)点， ∴对应的直线为x＋y－1＝0， 又∵原点(0,0)不在区域内，
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
x－4y＋3＝0， 由 3x＋5y－25＝0，
解得 B(5,2)． 4 z (1)由 z＝4x－3y，得 y＝ x－ . 3 3 4 z z 求 z＝4x－3y 的最大值， 相当于求直线 y＝ x－ 的纵截距－ 的最小 3 3 3 4 值．平移直线 y＝ x 知， 3
z＝80x 所以当 x＝300 时，zmax＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产 书桌，最多可生产 300 张书桌，获得利润 24 000 元．
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
【变式训练】 3.某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加 工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，
生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2，出售一张书桌可获利润80
元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？
解析： 由不等式组画出可行域如图．
当直线x－y－z＝0过点A(1,0)时，z＝x－y取得最大值， zmax＝1－0＝1. 答案： 1
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资 每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木 工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是______________________．
直线过原点，可选取(0,1)、(1,0)等点代入验证判断．
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第六章
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x≥0， 若不等式组x＋2y≥4， 所表示的平面区域被直线 y＝kx＋2 分为 2x＋y≤4
面积相等的两部分，则 k 的值是( A．1 1 C. 2 B．2 D．－1 )
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符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有 符号． 相反 的
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4．线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 意义 不等式(组)
由变量x，y组成的 由x，y的 一次 不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题
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解析：
画出不等式组表示的
平面区域如图，易知2x－y＋1＝0与x
－2y－1＝0关于y＝x对称，与x＋y＝1
所成角相等，故不等式组表示的平面 区域为等腰三角形及其内部． 答案： B
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2x＋y≤3， x＋2y≤3， 3． (2010· 上海卷)满足线性约束条件 x≥0， y≥0
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x－4y＋3≤0， 解析： 由约束条件3x＋5y－25≤0， x≥1，
作出(x，y)的可行域如图所示．
x＝1， 由 3x＋5y－25＝0， 22 1， . 解得 A 5 x＝1， 由 解得 C(1,1)， x－4y＋3＝0，
x≥0，y≥0， 3x＋2y≥16， 即 x＋y≥7， 3x＋5y≥27.
作出可行域如图， 让目标函数表示的直线 2.5x＋4y＝z 在可行域上平 移，由此可知 z＝2.5x＋4y 在 B(4,3)处取得最小值． 因此，应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐，就可 满足要求．
位的晚餐，就可满足要求．
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方法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个 单位，所花的费用为 z 元，则依题意，得 z＝2.5x＋4y，且 x，y 满足
x≥0，y≥0， 12x＋8y≥64， 6x＋6y≥42， 6x证明
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解析：
方法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单
位和 y 个单位，所花的费用为 z 元，则依题意，得 z＝2.5x＋4y，且 x，y
x≥0，y≥0， 12x＋8y≥64， 满足 6x＋6y≥42， 6x＋10y≥54，
x≥0，y≥0， 3x＋2y≥16， 即 x＋y≥7， 3x＋5y≥27.
(1)满足Ax＋By＋C ＝ 0的点；
(2)满足Ax＋By＋C ＞ 0的点；
(3)满足Ax＋By＋C ＜ 0的点．
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3．二元一次不等式表示平面区域的判断方法 直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，
当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有 相同 的
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【变式训练】
1.(2011·吉 林 延 边 州 一 模 ) 若 不 等 式 组
x－y＋5≥0， 表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是 y≥a， 0≤x≤3
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x－4y＋3≤0， 变量 x，y 满足3x＋5y－25≤0， x≥1，
(1)假设 z＝4x－3y，求 z 的最大值； y (2)设 z＝ ，求 z 的最小值； x (3)设 z＝x2＋y2，求 z 的取值范围．
50x＋40y≤2 000 答案： x∈N＋ y∈N ＋
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判断二元一次不等式(组)表示平面区域的方法 直接定界，特殊定域
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时
直线画成实线．若直线不过原点，则以原点坐标(0,0)代入验证判断；若
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(1)由 z＝5x＋y 知，当 y＝－5x 向上平移且过点(1,0)时取得最大值， 即 zmax＝5×1＋0＝5； y y (2)z＝ 表示可行域内任一点与点(－1,0)连线的斜率， 因此 的 x＋1 x＋1 范围为直线 CD 的斜率到直线 CA 的斜率，
y＝x 1 1 而由 得 A2，2， x＋y－1＝0 x＋y－1＝0 由 得 D(1,0)， x＋2y－1＝0
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解析： 由题意可画表格如下： 方木料(m3) 书桌(张) 书橱(个) 0.1 0.2 五合板(m2) 2 1 利润(元) 80 120
(1)设只生产书桌 x 张，可获得利润 z 元，
0.1x≤90 x≤900 则 ⇒ ⇒x≤300. 2x≤600 x≤300
＋y 的最大值是( A．1 C．2 ) 3 B. 2 D．3
的目标函数 z＝x
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解析： 可行域如图阴影部分所示，易得A(1,1)．
z＝x＋y在A(1,1)处取得最大值zmax＝2.
答案： C
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4．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值是________．
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作出可行域如图，则z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)， D(0,8)处的值分别是 zA＝2.5×9＋4×0＝22.5， zB＝2.5×4＋4×3＝22，
zC＝2.5×2＋4×5＝25，
zD＝2.5×0＋4×8＝32.
比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单
关于x，y的函数， 解析式 如z＝2x＋3y等 (x，y) 关于x，y的 一次 解析式
满足线性约束条件的解 所有可行解组成的 集合 使目标函数取得 的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或 最小值 问题 最大值或最小值
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【思考探究】 可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？ 提示： 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解
∴平面区域满足不等式x＋y－1＞0.
答案： B
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2x－y＋1≥0 2．不等式组x－2y－1≤0 表示的平面区域为( x＋y≤1
A．四边形及其内部 B．等腰三角形及其内部 C．在第一象限内的一个无界区域 D．不包含第一象限内的点的一个有界区域
)
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第4课时 简单线性规划
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1．二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)．所有这
样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的 2．二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成 三类： 解集． .
不一定唯一，有时唯一，有时有多个．
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1．如图所示的平面区域(阴影部分)满足
不等式( ) B．x＋y－1＞0 D．x－y－1＞0
A．x＋y－1＜0 C．x－y－1＜0
解析： ∵边界过(0,1)和(1,0)点， ∴对应的直线为x＋y－1＝0， 又∵原点(0,0)不在区域内，
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x－4y＋3＝0， 由 3x＋5y－25＝0，
解得 B(5,2)． 4 z (1)由 z＝4x－3y，得 y＝ x－ . 3 3 4 z z 求 z＝4x－3y 的最大值， 相当于求直线 y＝ x－ 的纵截距－ 的最小 3 3 3 4 值．平移直线 y＝ x 知， 3
z＝80x 所以当 x＝300 时，zmax＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产 书桌，最多可生产 300 张书桌，获得利润 24 000 元．
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【变式训练】 3.某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加 工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，
生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2，出售一张书桌可获利润80
元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？
解析： 由不等式组画出可行域如图．
当直线x－y－z＝0过点A(1,0)时，z＝x－y取得最大值， zmax＝1－0＝1. 答案： 1
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直线过原点，可选取(0,1)、(1,0)等点代入验证判断．
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x≥0， 若不等式组x＋2y≥4， 所表示的平面区域被直线 y＝kx＋2 分为 2x＋y≤4
面积相等的两部分，则 k 的值是( A．1 1 C. 2 B．2 D．－1 )
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4．线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 意义 不等式(组)
由变量x，y组成的 由x，y的 一次 不等式(或方程)组成的不等式(组)
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线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题
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画出不等式组表示的
平面区域如图，易知2x－y＋1＝0与x
－2y－1＝0关于y＝x对称，与x＋y＝1
所成角相等，故不等式组表示的平面 区域为等腰三角形及其内部． 答案： B
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2x＋y≤3， x＋2y≤3， 3． (2010· 上海卷)满足线性约束条件 x≥0， y≥0
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x－4y＋3≤0， 解析： 由约束条件3x＋5y－25≤0， x≥1，
作出(x，y)的可行域如图所示．
x＝1， 由 3x＋5y－25＝0， 22 1， . 解得 A 5 x＝1， 由 解得 C(1,1)， x－4y＋3＝0，
x≥0，y≥0， 3x＋2y≥16， 即 x＋y≥7， 3x＋5y≥27.
作出可行域如图， 让目标函数表示的直线 2.5x＋4y＝z 在可行域上平 移，由此可知 z＝2.5x＋4y 在 B(4,3)处取得最小值． 因此，应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐，就可 满足要求．
位的晚餐，就可满足要求．
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方法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个 单位，所花的费用为 z 元，则依题意，得 z＝2.5x＋4y，且 x，y 满足
x≥0，y≥0， 12x＋8y≥64， 6x＋6y≥42， 6x证明
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方法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单
位和 y 个单位，所花的费用为 z 元，则依题意，得 z＝2.5x＋4y，且 x，y
x≥0，y≥0， 12x＋8y≥64， 满足 6x＋6y≥42， 6x＋10y≥54，
x≥0，y≥0， 3x＋2y≥16， 即 x＋y≥7， 3x＋5y≥27.
(1)满足Ax＋By＋C ＝ 0的点；
(2)满足Ax＋By＋C ＞ 0的点；
(3)满足Ax＋By＋C ＜ 0的点．
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3．二元一次不等式表示平面区域的判断方法 直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，
当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有 相同 的
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1.(2011·吉 林 延 边 州 一 模 ) 若 不 等 式 组
x－y＋5≥0， 表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是 y≥a， 0≤x≤3