有限元法(FEM)简介

1 节点1的x方向 Fx1 = Rx1 = EA ( cos 2 θ u1 + cos θ sin θ v1 − cos 2 θ u2 − cos θ sin θ v2 )
l1
第五章 有限元法简介
节点1的y方向 Fy1 = R11 = y 节点2的x方向
1 Fx 2 = Rx 2 + Rx22 =
1 u1 k14 v1 k24 1 k34 u1 2 1 k44 v 2
因此，就得出了单元1的特性：节点力和节点位移的关系。
{R} = [ K ] {δ }
1 1
1
{R}
1
— 单元1的节点力列阵
[ K ] — 单元1的刚度矩阵
EA ( cosθ sin θ u1 + sin 2 θ v1 − cosθ sin θ u2 − sin 2 v2 ) l1
EA ( − cos2 θ u1 − cosθ sin θ v1 + cos2 θ u2 + cosθ sin θ v2 ) l1
节点2的y方向
2 Fy 2 = R1 2 + Ry 2 = y
2=
y 2
k41 k31
u =v =0
1 2 1 2
v1
2=
cosθ k21
1
θ
1 o
u 1=1 1 v 1=0
1
k11 x
P = EA
EA 引起该位移的节点1的节点力分量 2 θ 1× cos θ R1 = k = cos
x1 11
l1
l1
图5-3 单元特性图
EA R = k21 = cos θ sin θ l1
第五章 有限元法简介
4. 有限元法的分类
以方程中未知数代表的意义分类 有限元位移法：未知数为位移 有限元力法：未知数为力 有限元混合法：未知数为力和位移 以推导方法分类 直接法 变分法 加权余数法
第五章 有限元法简介
§5-2 有限元法分析简例
由两根杆件组成的桁架， 杆件的截面积都为A，弹性模 量为E，长度为l1及l2，在节点 处受有外力Fx1，Fy1，Fx2，Fy2， Fx3，Fy3，求各节点的位移。
[K ]
2
2
K 22 = K 32
2
K 23 K 33
2
2
单元2的节点力和节点位移的关系可写成
R2 K 22 = R3 K 32 K 23 δ 2 K 33 δ 3
第五章 有限元法简介
3. 单元组装 用节点的平衡建立外力与节点位移之间的关系 在整个结构物上的外力Fx1，Fy1，Fx2，Fy2，Fx3，Fy3 在整个结构物上的节点位移，节点1 ：u1= u11， v1= v11 节点3 ：u3= u23， v3= v23 节点2是单元1与单元2的连接点，它们的位移是协调的，即 u2= u12 = u22 ， v2 = v12 = v22 根据每一个节点的平衡列出方程
1 − cos θ sin θ u1 1 2 − sin θ v1 cos θ sin θ u1 2 1 sin 2 θ v2
第五章 有限元法简介
采用刚度矩阵，可写成
R11 k x 1 11 Ry1 k21 1 = Rx 2 k31 R1 k41 y2 k12 k22 k32 k42 k13 k23 k33 k43
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∇ 2u = 0 ( 2 + 2 + 2 = 0) ∂x ∂y ∂z
20世纪60年代以后，由于数学界的参与，FEM得到蓬 勃发展，并且扩大了应用
第五章 有限元法简介
3. 发展方向
新型单元的研究 有限元的数学理论 向新领域扩展应用 大型通用程序的编制和设计 ANSYS, NASTRAN, ABAQUS 开发微机用版本 设计自动化及优化设计（CAD, CAE, CAM）
− cos θ sin θ cos 2 θ l1
− cos θ sin θ − sin 2 θ 0 0 l1
cos θ sin θ l1 sin 2 θ l1 0 − 1
cos θ sin θ 0 0
+ 1
第五章 有限元法简介
因此，组装后就得到了整个结构物的外力与节点位移之间的关系式。
{F } = [ K ]{δ }
1 θFx1(u1) 3 Fx3 (u3) Fy1(v1 ) Fy3 (v3) y 2 o x
1
Fy2 (v2) Fx2(u2)
2
图5-1 简例结构图
第五章
分析步骤：
有限元法简介
2
1
1 1 Ry2(v2) 1 1 Rx2(u2)
1. 离散结构物为有限个单元 分为2个单元，第一个单元的节点编号 为1和2，第二个单元的节点编号为2和3。 对于第一单元，在第1、2节点处的节点力 为 R 11 , R 11 , R 1 2 , R 1 2 ，表示节点施加在单元1上 x y x y
EA ( − cosθ sin θ u1 − sin 2 θ v1 + cosθ sin θ u2 + sin 2 θ v2 ) + EA ( v2 − v3 ) l1 l2
节点3的x方向 节点3的y方向
Fx 3 = Rx23 = 0 EA 2 Fy 3 = Ry 3 = ( −v2 + v3 ) l2
第五章 有限元法简介
§5-1 有限元法及其发展简史
1. 有限元法 定义
是一种工程物理问题的数值分析方法，根据近似 分割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元 的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变 分原理，把问题化成线性代数方程组求解。
分析指导思想
化整为零，裁弯取直，以简驭繁，变难为易
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第五章 有限元法简介
第五章 有限元法简介
上面6个方程可写成矩阵形式
cos 2 θ l1 Fx1 cos θ sin θ l F 1 y1 − cos 2 θ Fx 2 l1 = EA Fy 2 − cos θ sin θ l F 1 x3 0 Fy 3 0 cos θ sin θ sin 2 θ l1 l1 l1 − cos 2 θ l1 l1 − cos θ sin θ − sin 2 θ l1 l1 l2 l1 0 0 0 0 0 l2 0 0 u1 0 v1 0 u2 v2 − 1 l2 u3 0 v3 1 l2
1 y1 1 Rx 2 = k33 =
1 Rx 2 = k32 = −
EA cos 2 θ l1 EA cos θ sin θ l1
EA cos θ sin θ l1 EA 2 sin θ l1
R1 2 = k42 = − y
R1 2 = k43 = y
R1 2 = k44 = y
第五章 有限元法简介
写成矩阵形式
R11 cos 2 θ x 1 Ry1 EA cos θ sin θ 1 = Rx 2 l1 − cos 2 θ R1 2 − cos θ sin θ y cos θ sin θ sin 2 θ − cos θ sin θ − sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ cos 2 θ cos θ sin θ
1
{δ } — 单元1的节点位移列阵
1
第五章 有限元法简介
同样，可得到第二单元的节点力和节点位移的关系（也可 直接将θ = 90º带入上一矩阵表达式，同时用 l2替代 l1）
R2x2 0 0 2 R y 2 EA 0 1 2 = R x 3 l2 0 0 R2 y3 0 −1
1 y1
第五章 有限元法简介
EA R12 = k31 = − R11 = − cos 2 θ x x l1 由杆1处于平衡，可得节点2的节点力分量 EA cos θ sin θ l1 同样，如果给定v11=1，u11= u12= v12= 0及 u12=1，u11= v11= v12= 0以及 R1 2 = k41 = − R11 = − y y
2. 发展简史
1943年，Courant提出有限元法概念 1956年，Turner和Clough第一次用三角形单元离散飞 机机翼，借助有限元法概念研究机翼的强度及刚度 1960年，Clough正式提出有限元法（FEM） 20世纪60年代，我国数学家冯康把FEM总结成凡是椭 圆形偏微分方程都可用FEM求解
1 v12=1，u11= v11= u12= 0，将会得到另外三组节点力 R11 , R11 , Rx 2 , R1 2 x y y
v11=1，u11= u12= v12= 0
R11 = k12 = x R11 = k22 = y EA cos ϑ sin θ l1 EA 2 sin θ l1 EA cos θ sin θ l1 EA 2 sin θ l1
1 1 的节点力。相应的位移为 u1 , v1 , u 1 , v 1 。下 2 2
1 θ 1 1 2 Rx1(u1) 2 Ry2(v2) 1 1 2 2 Ry1 (v1 ) 2 Rx2(u2)
2
标表示节点的编号，上标表示单元的编号。 同样第二单元上节点2、3处的节点力和节 点位移分别为
2 R x22 , R y 2 , R x23 , R y 3 和2
[ K ] — 总刚度矩阵， [ K ] = ∑ [ K ]
K11 [ K ] = K 21 K 31 K12 K 22 K 32
u12=1，u11= v11= v12= 0
EA R = k13 = − cos 2 θ l1
1 x1
v12=1，u11= v11= u12= 0
R11 = k14 = − x R11 = k24 = − y
1 Rx 2 = k34 =
EA cos θ sin θ l1 EA 2 sin θ l1
EA R = k23 = − cos θ sin θ l1
2 0 u2 2 0 −1 v2 2 0 0 u3 2 0 1 v3
0
单元2的特性
{R}
2
= [ K ] {δ }
2
1
2
对于单元1的刚度矩阵 [ K
K11 1 [K ] = K 21
] ，可以写成分块形式
1
e
K12 K 22
若同时给定位移u11，v11， u12 ，v12，由迭加原理，可得 第一单元的节点力和节点位移的关系
1 1 R11 = k11u1 + k12 v1 + k13u1 + k14 v1 x 2 2 1 1 R11 = k21u1 + k22 v1 + k23u1 + k24 v1 y 2 2 1 1 R12 = k31u1 + k32 v1 + k33u1 + k34 v1 x 2 2 1 1 R1 2 = k41u1 + k42 v1 + k43u1 + k44 v1 y 2 2
1
j { 其中 { Ri } 表示 j单元 i节点的节点力， Ri }
j
j Rxi = j Ryi
{ {δ i } 表示 j单元 i节点的节点位移，δ }
j
i
j
uij = j vi
2 对于单元2的刚度矩阵 [ K ]，也可以写成分块形式
3
Rx3(u3) 2 2 Ry3(v3)
2
2
图5-2 简例单元图
2 2 2 2 u 2 , v 2 , u 3 , v3
第五章 有限元法简介
2. 研究单元特性 在单元分析中，主要是建立节 点位移分量和节点力的关系式。 0，则 杆1的变形量为1×cosθ，由材料力 学可知，杆1所受的轴向压力P 令u11=1，v11= u1
单元刚度矩阵的子矩阵 K ij 表示：当单元 e 中节点 j 取单 位位移，且其它节点位移为零时，对应于 i 节点的节点力。
第五章 有限元法简介
单元1的节点力和节点位移的关系可写成
R1 K11 = R2 K 21
1
K12 K 22
1
δ1 δ 2