合情推理练习含答案详解

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合情推理演绎推理(带答案)

合情推理1：和代数式有关的推理问题例1、观察()()()()()()223322443223,a b a b a b a b a b a ab b a b a b aa b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 练习:观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．．等式．．为。

解析：第i 个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个．．．等．式．为333333212345621+++++=。

2：和三角函数有关的推理问题例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。

2020202020202020202020203sin 30sin 90sin 150,23sin 60sin 120sin 18023sin 45sin 105sin 165,23sin 15sin 75sin 1352++=++=++=++= 练习：观察下列等式：① cos2α=2 cos 2α－1；② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2 α+1；③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2 α－1；④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2 α＋1；⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2 α－1；可以推测，m －n+p= .答案：962 3：和不等式有关的推理例1、观察下列式子：，由上可得出一般的结论为：。

答案：222111211......,23(1)1n n n ++++<++练习、由331441551,,221331441+++>>>+++。

可猜想到一个一般性的结论是：。

合情推理

合情推理（理科一）一、选择题1.如图，已知△ABC周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为( )A． B． C． D．2.已知f（n）=1+++…+（n∈N*），计算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此推算：当n≥2时，有( )A．f（2n）＞（n∈N*） B．f（2n）＞（n∈N*）C．f（2n）＞（n∈N*） D．f（2n）＞（n∈N*）3.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为( )A．76 B．80 C．86 D．92 4.类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式，对于给定的两个函数：，，其中，且，下面正确的运算公式是（）①；②；③；④.A．①②③ B．①②④ C．②③④D．①②③④5.观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（）A． B．C． D．6.如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；类似地有命题：在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在平面BCD内的射影为M，则有.上述命题是( )A．真命题B．增加条件“AB⊥AC”才是真命题C．增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题D．增加条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”才是真命题二、填空题7.将正整数1，3，5，7，9…排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）的所有数之和为．8.将数列{a n}按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：①各行的第一个数a1，a2，a5构成公差为d的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为q的等比数列．若a1=1，a3=4，a5=3，则d=1；第n行的和T n= ．9.如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）=__________；f（n）=__________．（答案用数字或n的解析式表示）10.把数列的所有数按照从大到小的原则写成如下数表．第k行有2k﹣1个数，第t行的第s个数（从左数起）记为A（t，s），则A（8，17）=11.如图数表，为一组等式：某学生根据上表猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），老师回答正确，则a﹣b+c=__________．12.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为．合情推理（理科一）试卷答案1.C解：根据题意，设第k个三角形的周长记为a k，（k=1、2、3、…）∵△ABC周长为1，∴a1=1∵第二个三角形的三个顶点分别为三角形ABC三边的中点∴第二个三角形的周长为a2=a1=依此类推，第三个三角形的周长为a3=a2=，…第k个三角形的周长为a k=，…∴第2003个三角形周长为a2003=．故选C2.D解：观察已知的等式：f（2）=，f（4）＞2，即f（22）＞f（8）＞，即f（23）＞，f（16）＞3，即f（24）＞，…，归纳可得：f（2n）＞，n∈N*）故选：D．3.B解：观察可得不同整数解的个数4，8，12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为a n=4n，则所求为第20项，所以a20=80故选B．4.D5.B6.A因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE，AD⊥BC，在△ADE中，AE2＝ME·DE，又A点在平面BCD 内的射影为M，所以AM⊥平面BCD，AM⊥BC，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥DE，将S△ABC、S△BCM、S△BCD分别表示出来，可得故选A.7.n3解：由题意，第1行的所有数之和为1；第2行的所有数之和为3+5=23；…第n行（n≥3）的所有数之和为n3，故答案为：n3．8.n•22n﹣1﹣n解：依题意得a5=a1+2d，∴3=1+2d，∴d=1．又∵a3=a2q=（a1+d）q，q=2，∴d，q的值分别为1，2；记第n行第1个数为A，则A=a1+（n﹣1）d=n，又根据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，∴第n行共有（2n﹣1）个数，∴第n行各数为以n为首项，q=2为公比的等比数列，因此其总数的和T n==n•22n﹣1﹣n．故答案为：1，n•22n﹣1﹣n；9.解：凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，所以可以分为两类：侧棱共有n条，底面上的直线（包括底面的边和对角线）条两类合起来共有条．在这些直线中，每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面，底面上共有直线（包括底面的边和对角线）条，其中不过某个顶点的有=条所以，f（n）=，f（4）=12．故答案为：，12，．解：凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，所以可以分为两类：侧棱共有n条，底面上的直线（包括底面的边和对角线）条两类合起来共有条．在这些直线中，每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面，底面上共有直线（包括底面的边和对角线）条，其中不过某个顶点的有=条所以，f（n）=，f（4）=12．故答案为：，12，．10.解：由第k行有2k﹣1个数，知每一行数的个数构成等比数列，首项是1，公比是2，前t﹣1行共有=2t﹣1﹣1个数，∴第t行第一个数是A（t，1）==，∴A（t，s）=，令t=8，s=17，∴A（8，17）=．故答案为：11.5解：由题意，，∴，∴a﹣b+c=5，故答案为：512.9解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为a m，则由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…a m﹣a m﹣1=2（m﹣1），以上m﹣2个式子相加可得a m﹣a2==（m+1）（m﹣2），∴a m=a2+（m+1）（m﹣2）=m2﹣m+1，∴当m=9时，a m=73，即73是93的“分裂”数中的第一个故答案为：9补充（一）13.设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为．14.正偶数列有一个有趣的现象：①2+4=6②8+10+12=14+16；③18+20+22+24=26+28+30，…按照这样的规律，则2016在第个等式中．15.给出下列三个类比结论：①若a，b，c，d∈R，复数a+bi=c+di，则a=c，b=d，类比推理出：若a，b，c，d∈Q，a+b=c+d，则a=c，b=d；②已知直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，类比推理出，已知向量，若，，则；③同一平面内，a，b，c是三条互不相同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，类比推理出：空间中，α，β，γ是三个互补相同的平面，若α∥β，β∥γ，则α∥γ．其中正确结论的个数是．16.观察下列等式：……则当m＜n且m，n∈N时，（最后结果用m，n 表示）．17.从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n 个等式为．18.观察下列不等式：①＜1；②；③；…则第5个不等式为．19.甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时，回答如下：甲说：我没有去过；乙说：丙游览过；丙说：丁游览过；丁说：我没游览过．在以上的回答中只有一人回答正确且只有一人游览过华山．根据以上条件，可以判断游览过华山的人是．20.观察等式：①×13+×12+×1=12，②×23+×22+×2=12+22，③×33+×32+×3=12+22+32，…以上等式都是成立的，照此写下去，第2015个成立的等式是．21.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影．甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去．最后有人去看电影，有人没去看电影，去的人是．22.观察如图列数表：第1行 1第2行 1 3 1第3行 1 3 9 3 1第4行 1 3 9 27 9 3 1根据如图列数表，数表中第n行中有2n﹣1个数，第n行所有数的和为．23.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是．24.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______．25.观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是=______26.将自然数按如图排列，其中处于从左到右第列从下到上第行的数记为，如，，则__________；__________．13.f（2n）≥（n∈N*）解：观察已知中等式：得，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，则f（2n）≥（n∈N*）故答案为：f（2n）≥（n∈N*）．14.31解：①2+4=6；②8+10+12=14+16；③18+20+22+24=26+28+30，…其规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，所以第n个等式的首项为2[1+3+…+（2n﹣1）]=2n2，当n=31时，等式的首项为1922，所以2016在第31个等式中故答案为：31．15.①③解：①在有理数集Q中，若a+b=c+d，则（a﹣c）+（b﹣d）=0，易得：a=c，b=d．故正确；②=，满足，，但不一定成立，故不正确；③同一平面内，a，b，c是三条互不相同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，类比推理出：空间中，α，β，γ是三个互不相同的平面，若α∥β，β∥γ，则α∥γ．正确．故答案为：①③．16.n2－m2解析：第一行m＝0，n＝1，右边的值为1；第二行m＝2，n＝4，右边的值为12＝42－22；第三行m＝5，n＝8，右边的值为39＝82－52；所以猜想．17.1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1•n2=（﹣1）n+1•（1+2+3+…+n）解：∵1=1=（﹣1）1+1•11﹣4=﹣（1+2）=（﹣1）2+1•（1+2）1﹣4+9=1+2+3=（﹣1）3+1•（1+2+3）1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）=（﹣1）4+1•（1+2+3+4）…所以猜想：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1•n2=（﹣1）n+1•（1+2+3+…+n）故答案为：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1•n2=（﹣1）n+1•（1+2+3+…+n）18.解：由①＜1；②+；③；归纳可知第四个不等式应为；第五个不等式应为．故答案为．19.甲解：假设甲去过，则甲乙丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意．所以填甲去过．故答案为：甲．点评：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．20.×20153+×20152+×2015=12+22+32+42+…+20152解：由已知中的等式：观察等式：①×13+×12+×1=12，②×23+×22+×2=12+22，③×33+×32+×3=12+22+32，…归纳可得：第n个成立的等式是：×n3+×n2+×n=12+22+32+42+…+n2，当n=2015时，第2015个成立的等式是：×20153+×20152+×2015=12+22+32+42+…+20152故答案为：×20153+×20152+×2015=12+22+32+42+…+2015221.甲乙丙解：由题意，丙去，则甲乙去，丁不去，符合题意故答案为：甲乙丙．点评：本题考查进行简单的合情推理，比较基础．22.2×3n﹣1﹣1解：由已知可得：第1行有1个数；第2行有3个数；第3行有5个数；…归纳可得：第n行有2n﹣1个数；设以1为首项，以3为公比的等比数列的前n项和为：S n，数表中第n行中所有数的和为T n，则T2=S2+S1，T3=S3+S2，T4=S4+S3，…故T n=S n+S n﹣1=+=2×3n﹣1﹣1，即数表中第n行中有2n﹣1个数，第n行所有数的和为2×3n﹣1﹣1，故答案为：2n﹣1，2×3n﹣1﹣1点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．23.解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：．故答案为：．点评：本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力．解题的关键是掌握好类比推理的定义．24.．25.14 26.解析：由题意，，∴，∴．故答案为11。

合情推理演绎推理(带标准答案)

合情推理演绎推理（带答案）作者: 日期:1:与代数式有关的推理问题2a b a b a b ,例1、观察a 3b 3a b 2 a ab b 2进而猜想a n b n4a b 4 a b3a a 2b ab 2 b 3练习：观察下列等式：13 23 以 3 3 , 123 33 6, 13 2"33 43 10,…，根据上述规律，第五个等式为o解析：第i 个等式左边为 1 到i+1的立方和，右边为 1+2+.. .+ (i+1 )的平方所以第五个等式为13空 33 43 5"21 o2:与三角函数有关的推理问题例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。

练习：观察下列等式:① COS2 a =2 cos 2 a — 1 ；42② cos 4 a =8 cos a — 8 COs a +1 ；③ cos 6 a =32 cos 6 a — 48 cos 4 a+ 18 cos 2 a — 1；④ cos 8 a = 128 cos a — 256cos a+ 160 cos a — 32 cos a + 1 ；108642⑤ cos 10 a =mcos a — 1280 cos a+ 1120cos a+ nC0S a+ p cos a — 1 ；可以推测，m — n+p= .答案：9623:与不等式有关的推理例1、观察下列式子：1 3 1 1 5 4 1 1 1 7 1尹2「豕孑护豕孕了？由上可得出一般的结论为： ____________________________________________________ 。

.1 1 1 2n 1答案：12232……(n 1)2n 1，练习、由35口 oooooo 可猜想到一个一般性的结论是： _________________________ 。

2 2 1 33 14 4 1合情推理sin 2 30 0 sin 2 60 0 • 2 Ar 0sin45sin 15• 2 “ 0sin90sin 2120 sin 2105 sin 275 0. 2 * LC 0sin 150sin 2180 sin 2165 2 X CL 0sin 1354:与数列有关的推理例1、已知数列｛a n ｝中，a i =1，当n >2时，a . 2am 1，依次计算数列的后几项，猜想数列的一个通项表达式为：。

数学苏教选修优化训练：合情推理含解析

第2章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于（）1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=1 1111234×9+5=11 111A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1 111 113 答案：B2.定义A*B 、B*C 、C*D 、D*B 分别对应下图中的图形：则下列图形中可以表示A*D 、A*C 的分别是（）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（2）（4）D.（1）（4）答案：C解析：注意观察分析、辨别，找到A 、B 、C 、D 分别对应的图形，A 为竖线，B 为大正方形，C 为横线，D 为小正方形.3.已知f 1(x)=cosx,f 2(x)=f 1′(x),f 3(x)=f 2′(x),f 4(x)=f 3′(x)，…，f n (x)=f n-1′(x)，则f 2 006(x)等于（）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx 答案：B解析：f 1(x)=cosx,f 2(x)=f 1′(x)=-sinx,f 3(x)=f 2′(x)=-cosx,f 4(x)=f 3′(x)=sinx,f 5(x)=f 4′(x)=cosx,…再继续下去会重复出现，周期为4，∴f 2 006（x)=f 2(x)=-sinx.4.三角形的面积为S=21(a+b+c)r,a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为（）A.V=31abcB.V=31ShC.V=31(S 1+S 2+S 3+S 4)r(S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径） D.V=31（ab+bc+ac)h （h 为四面体的高）答案：C解析：三角形ABC 的内心为O ，连结OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ，类比：设四面体A —BCD 的内切球球心为O ，连结OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V=31（S 1+S 2+S 3+S 4）r. 10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图),则第七个三角形数是( )A.27B.28C.29D.30答案：B解析：第七个三角形数为1+2+3+4+5+6+7＝28.2.观察三角形数与正方形数,猜测有可能正确的命题是( )A.相邻两个三角形数之和是正方形数B.相邻两个正方形数之和是三角形数C.相邻两个三角形数之差是正方形数D.相邻两个正方形数之差是三角形数答案：A3.设平面内有n 个圆两两相交,且没有三个或三个以上的圆相交于同一点,它们把平面分成的区域数为p(n),如果该平面内再增加一个符合上述条件的圆,把平面分成的区域数为p(n+1),那么p(n)与p(n+1)的递推关系式为_____________.解析：第n+1个圆与前n 个圆有2n 个交点,这2n 个交点将第n+1个圆分成2n 段弧,每段弧把所在的区域一分为二,就增加了2n 个区域.答案:p(n+1)=p(n)+2n4.考查下列式子：1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,得出的结论是__________________________.解析:从数值特征看：左式首数为n 时,共有连续2n-1个数,右式为(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)25.设{a n }是首项为1的正项数列,且(n+1)a n+12-na n 2+a n+1·a n =0(n≥1,n ∈N *),试归纳出这个数列的通项公式.解:由a 1=1,2a 22-a 12+a 2·a 1=0,得a 2=21.又3a 32-2a 22+a 3·a 2=0,∴a 3=31. 又4a 42-3a 32+a 4·a 3=0, ∴a 4=41. 归纳猜想a n =n1. 30分钟训练（巩固类训练，可用于课后） 1.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式：S=2高底 ,可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.22rB.22lC.2lr D.不可类比答案：C解析：由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高可得.2.下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第36颗珠子应是什么颜色的?( )A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大答案：A解析:由图知,三白两黑周而复始相继排列,因36÷5＝7余1,所以第36颗应与第1颗珠子颜色相同,即白色.3.观察下图图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A.■B.△C.□D.○答案：A解析:图形涉及□、○、△三种符号;其中○与△各有3个,且各自有两黑一白,所以缺一个黑色□符号,即应画上■才合适.4.如果对象A 和B 都具有相同的属性P 、Q 、R 等,此外已知对象A 还有一个属性S,而对象B 还有一个未知的属性x,由类比推理,可以得出下列哪个结论可能成立?…( )A.x 就是PB.x 就是QC.x 就是RD.x 就是S 答案：D解析:各自另外的属性S 只能类比x.5.由“等腰三角形的两底角相等,两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是_____________.解析:等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比.答案:各侧面与底面所成二面角相等,各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等6.已知抛物线y 2=2px(p>0)，过其焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点，则有AF 1+BF 1为定值，试写出关于椭圆的类似结论：____________________________________________. 答案：过椭圆的焦点F 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，则AF 1+BF1为定值 7.半径为r 的圆的面积S(r)=πr 2,周长C(r)=2πr,若将r 看作(0,+∞)上的变量,则(πr 2)′=2πr.① ①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球,若将R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子: ____________.② ②式可用语言叙述为___________________________________________________________. 解析:该题考查了类比推理的思想.合情推理的正确与否来源于我们平时知识的积累,从平面到空间,长度到面积、面积到体积,这是我们平时的经验.答案:(34πR 3)′=4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数8.20世纪60年代,日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数,如果它是偶数就用2除它;如果是奇数,则将它乘以3后再加1,反复进行这样两种运算,会得到什么结果？试考察几个数并给出猜想.解:取自然数6,按角谷的作法有:6÷2=3,3×3+1=10,10÷2=5,3×5+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1.其过程简记为6→3→10→5→16→8→4→2→1.取自然数7,则有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→ (1)取自然数100,则有100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→11→ (1)归纳猜想：这样反复计算,必然会得到1.9.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.解:如图（1）所示,我们知道,在Rt △ABC 中,由勾股定理可得c 2=a 2+b 2,如图(2),在四面体D —PEF 中,PD ⊥ED,PD ⊥DF,DE ⊥DF.设△DEF 、△DPF 和△DPE 的面积分别为S 1、S 2和S 3,△PEF 的面积为S.于是,类比直角三角形的勾股定理,在四面体P —DEF 中,我们猜想:S 2=S 12+S 22+S 32.。

2.1合情推理与演绎推理同步练习含答案详解

2.1 合情推理与演绎推理一、选择题（每小题5分，共20分） 1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B ．由a1＝1，an ＝3n －1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和Sn 的表达式C ．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇2．设n 为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )A ．f(2n)>2n ＋12B ．f(n2)≥n ＋22C ．f(2n)≥n ＋22D ．以上都不对3. 有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α，则直线b ∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误4. 若点P 是正四面体A －BCD 的面BCD 上一点，且P 到另三个面的距离分别为h1，h2，h3，正四面体A －BCD 的高为h ，则( )A ．h>h1＋h2＋h3B ．h ＝h1＋h2＋h3C ．h<h 1＋h2＋h3D ．h1，h2，h3与h 的关系不定二、填空题(每小题5分，共10分)5．把正有理数排序：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，则数19891949所在的位置序号是________．6．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．三、解答题(共70分)7.（15分）通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

人教a版数学【选修2-2】备选练习：2.1.1 合情推理(含答案)

选修2-2第二章 2.1 2.1.1第1课时1．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是()A．白色B．黑色C．白色的可能性大D．黑色的可能性大[答案] A[解析]由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．2．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是()A．编号1 B．编号2C．编号3 D．编号4[答案] D[解析]归纳得，四个小动物在换座过程中，每换座四次与原来的一样，即以4为周期，因此在2011次换座后，四个小动物的位置应该和第三次换座后的位置一样，即小兔的座位对应的编号为4，故选D.3．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n}，则下列结论正确的是()①a5＝15；②数列{a n}是一个等差数列；③数列{a n}是一个等比数列；④数列{a n}的递推关系是a n＝a n－1＋n(n∈N*)．A．①②④B．①③④C．①②D．①④[答案] D[解析] 由于a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，所以有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4.因此必有a 5－a 4＝5，即a 5＝15，故①正确．同时④正确，而{a n }显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.4．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出b n 的计算公式．[解析] b 1＝a ·r 100＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ，b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p . b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ， ∴归纳得b n ＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p .5．(2014·洛阳市高二期中)观察等式： sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15° sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明． [解析] 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2)＝2sin α＋β2cos α－β2＝右边．所以原等式成立．。

人教版选修【1-2】2.1.1《合情推理》习题及答案

数学·选修1－2(人教A版)2．1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理►达标训练1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27答案：B2．已知三角形的三边长分别是a，b，c，其内切圆的半径为r，则三角形的面积为：S＝12(a＋b＋c)r，利用类比推理，可以得出四面体的体积为( )A．V＝13 abcB．V＝13 ShC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)·r(其中S1，S2，S3，S4分别是四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)D．V＝13(ab＋bc＋ca)h(h为四面体的高)解析：根据类比的一般原理，三角形的边长和面积分别类比于四面体的面积和体积，因而可以得出答案C.答案：C3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113解析：由数塔呈现的规律知，结果是各位都是1的7位数．答案：B 4．等比数列{}a n 满足：m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n＝a p ·a q .由此类推可得，在等差数列{}a n 中，若有m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则有( )A ．a m ·a n ＝a p ·a qB ．a m ＋a n ＝a p ＋a qC.a m a n ＝a pa qD ．a m －a n ＝a p －a q答案：B5．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c＝a c ＋bc (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案：C6．如右图所示，面积为S 的凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i＝ 1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h i(i＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则∑i＝14(a i h i)＝2Sk.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i 个面的距离记为H i(i＝ 1,2,3,4)，若S1 1＝S22＝S33＝S44＝K，则∑i＝14(S i H i)＝( )A.4VKB.3VKC.2VKD.VK解析：从平面类比到空间，通常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，面积为S＝12(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)，而在三棱锥中，体积为V＝13(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)，即存在系数差异，所以，上述性质类比为B.答案：B►素能提高1．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖________块(用含n的代数式表示)．解析：第(1)，(2)，(3)，…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，…由此可猜测第n个图案黑色瓷砖数为：12＋(n －1)×4＝4n ＋8.答案：4n ＋82．图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形(如图2)，再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，…，依此类推，设第n 个图中三角形被剖分成a n 个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为________；a 100＝________.…图1 图2 图3答案：182983．观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为_____________________________．解析：观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边＝1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2，右边＝2(n ＋1)－1n ＋1，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1164．(2013·广州二模)数列{a n }的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第k ＋1个1之间有2k －1个2，即数列{a n }为：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝______；S 2013＝______.答案：36 39815．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)的变量，请你写出类似于①的式子②：_______________________________________.②式可以用语言叙述为：_______________________________.解析：V (R )＝43πR 3，又⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2，故②式可填＝4πR 2，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数6．(2013·江门佛山二模)将集合{2s ＋2t |0≤s ＜t 且s ，t ∈Z}中的元素按上小下大，左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于第i 行第j 列的数记为b ij (i ≥j ＞0)，则b 43＝________.答案：207．在等差数列{}a n 中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{}b n 中，若b 9＝1，则有等式______________________成立．解析：a 10是等差数列{}a n 的前19项的中间项，而b 9是等比数列{}b n 的前17项的中间项．所以答案应为：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)8．在平面内观察发现：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜测凸n 边形有几条对角线．解析：凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条对角线；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条对角线；…归纳猜测：凸n 边形的对角线条数，比凸n －1边形多对角线，于是得到凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．►品味高考1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过下图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)．解析：由以上规律可知三角形数1,3,6,10，…的一个通项公式为a n ＝n (n ＋1)2，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15. 从而由上述规律可猜想：b 2k ＝a 5k +＝5k (5k ＋1)2(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．答案：(1)5 030 (2)5k (5k －1)2点评：本题考查归纳推理，猜想的能力．归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想．2．(2013·陕西卷)观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________________________．答案：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1) 3．(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________； (2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．解析：(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S＝(2＋22)×2×12＝3，N＝1，L＝6.(2)由(1)知，S四边形DEFG＝a＋6b＋c＝3.S△ABC＝4b＋c＝1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S＝4，N＝1，L＝8.则S＝a＋8b＋c＝4.联立解得a＝1，b＝12，c＝－1.∴S＝N＋12L－1，∴若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝71＋12×18－1＝79. 答案：(1)3,1,6(2)79。

高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析

高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.由下列事实：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4，（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）=a5﹣b5，可得到合理的猜想是．【答案】.【解析】由所给等式可以发现：等式左边由两个因式相乘；第一个因式相同，是；第二个因式是和的形式，每一项为的形式，且按降次排列，按升次排列，且；等式右边为差的形式，次数比左边第二个因式的第一项次数大1，；因此，我们可得到合理的猜想是.【考点】归纳推理.2.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则有结论h2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论：．【答案】h2=【解析】如图，设PA、PB、PC为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P-ABC的高为PD=h，连接AD交BC于E，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC，PE⊂平面PBC，∴PA⊥PE，PA⊥BC，∴AE⊥BC，PE⊥BC,=【考点】类比推理．3.把命题“若是正实数，则有”推广到一般情形，推广后的命题为____________.【答案】若都是正数，则有【解析】可通过类比，归纳得一般结论，证明如下：【考点】推理与证明.4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．推理形式错误C．小前提错误D．非以上错误【答案】A【解析】三段论推理形式为大前提、小前提和结论，只有大前提、小前提都正确，且推理的形式也正确，结论才正确，此处结论错误的原因是“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线”这句话不正确，它恰是推理的大前提，故选择A.【考点】三段论推理.5.设点C在线段AB上（端点除外），若C分AB的比，则得分点C的坐标公式，对于函数上任意两点，，线段AB必在弧AB上方．由图象中的点C在点C′正上方，有不等式成立．对于函数的图象上任意两点，，类比上述不等式可以得到的不等式是_________ ．【答案】.【解析】根据函数的图像可知，函数上任意两点A（a，a2），B（b，b2），线段AB必在弧AB上方，设C分AB的比，则得分点C的坐标公式由图像中点C在点C′上方可得成立.据此我们从图像可以看出：函数的图像是向下凹的，类比对数函数可知，对数函数的图像是向上凸的，分析函数的图像，类比上述不等式，可以得到的不等式是.【考点】类比推理．6.观察下列各式：则______;【答案】123【解析】此题为推断题，观察可发现每一个结果（第三个起）为前面两个结果之和.类此计算可得：123.【考点】观察推断能力.7.已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．【答案】【解析】由于函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立;而函数的图象上任意不同两点的线段总是位于A、B两点之间函数图象的下方,类比可知应有：成立．【考点】类比推理．8.给出命题：若是正常数，且，，则(当且仅当时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数（）的最小值及取最小值时的值分别为（）A．，B．，C．25，D．，【答案】D【解析】本题先从给出的命题中进行学习，获取一些基本的信息，进而利用这一信息进行作答．依题意可得，当且仅当即时等号成立，故选D．【考点】创新学习题．9.①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{an }中，a1＝0，an＋1＝2a n＋2，猜想a n＝2n－2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】【解析】①显然错误,向量没有结合律;②根据,可构造出,即,可得,该数列是公比为2,首项是的等比数列,所以其通项公式为,可得,正确;③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三个侧面的面积之和大于底面面积.正确.【考点】向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理.10.把正整数按右图所示的规律排序，则从2013到2015的箭头方向依次为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】把上图中的数分为4个数列分别是：（1）1,5,9 (2)2,6,10 ;(3)3,7,11 ;(4)4,8,12 它们都是以4为公差的等差数列，4个数列的通项公式分别为，，，，只要确定2014在哪个位置就可以了，只有解得，其余的解得不是整数，所以2014在第二个数列的位置，观察数的结构得本题选A。

高中数学2.1.1合情推理(1)(含解析)新人教A版选修12

高中数学2.1.1合情推理（1）（含解析）新人教A 版选修12知识点一数列中的归纳推理1.数列2,5,11,20，x,47中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 答案 B解析由前几个数字可归纳出此列数字为：2,5,11,20,32,47，∴答案为B.2．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n8－n －4＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2C.nn －4＋n ＋4n ＋4－4＝2 D.n ＋1n ＋1－4＋n ＋5n ＋5－4＝2答案 A解析观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A 正确.知识点二几何中的归纳推理3.如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n－2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3答案 A解析 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1.4．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题：(1)按照要求填表：n 1 2 3 4 … S n136…(2)S 10＝答案 (1)10 (2)55解析 S 1＝1，S 2＝3＝1＋2，S 3＝6＝1＋2＋3，推测S 4＝1＋2＋3＋4＝10，…S 10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.知识点三归纳推理的应用5.在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n 边形有几条对角线？解因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，…，于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线，由此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)，由等差数列求和公式可得12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．所以凸n 边形的对角线条数为12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *).易错点归纳过程找不到规律而致错6.在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示n 堆的乒乓球总数，则f (3)＝________；f (n )＝________(答案用含n 的代数式表示)．易错分析在图形推理问题中，一般思路为：(1)从图形的数量关系入手，找到数值变化与序号之间的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构发生一次变化后，与上一次进行比较，看数值发生了怎样的变化．答案 10n n ＋1n ＋26解析观察图形可知：f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…；f (n )＝f (n －1)＋n n ＋12.将以上(n －1)个式子相加可得f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n n ＋12＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n n ＋12n ＋1＋n n ＋12＝n n ＋1n ＋26.一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误的是( ) A ．归纳推理是由一般到一般的推理过程 B ．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C ．归纳推理得出的结论不一定正确 D ．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能答案 A解析由归纳推理的定义与特征可知选项A 错误，选项B ，C ，D 均正确，故选A. 2．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是( )A．1,2 B．1,3 C．2,4 D．1,4答案 C解析由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是图2，A*C是图4.3．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋120172<( )A.40312017B.40322017C.40332017D.40342017答案 C解析观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1＋122＋132＋…＋1n＋12<2n＋1n＋1，所以当n＝2016时不等式为：1＋122＋132＋…＋120172<40332017.4．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )A．(2,10) B．(10,2) C．(3,5) D．(5,3)答案 A解析由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．二、填空题5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…根据上述规律，第四个等式为__________．答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2解析 13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，…，所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.6．设{a n }是首项为1的正数项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．答案 a n ＝1n(n ∈N *)解析由首项为1，得a 1＝1；由n ＝1时，由2a 22－1＋a 2＝0，得a 2＝12；当n ＝2时，由3a 23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0，解得a 3＝13；…归纳猜想该数列的通项公式为a n ＝1n(n ∈N *)．7．观察分析表中的数据：答案 F ＋V －E ＝2解析三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.三、解答题8．已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3.(1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值； (2)猜想a n .解 (1)a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38，a 4＝39，a 5＝310. (2)由a 2＝32＋5，a 3＝33＋5，a 4＝34＋5，a 5＝35＋5，可猜想a n ＝3n ＋5.9．如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *，m ≥2).(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{a n}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知a n＝9900，问a n是数列第几项？解(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想a n＝(n＋1)·(n＋2)，n∈N*.(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9900，所以n＝98，即a n是数列的第98项，此时方阵为99行100列．。

合情推理(精)

一条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积的
定值为
b2 a2
；
（2）过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a 0,b 0
上异于直径两端点的任意一
点与一条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之
b2
积的定值为 a2
；
（3）过有心圆锥曲线 Ax2 By2 1AB 0上异于直径两端点的
3.有对称中心的曲线叫做有心曲线，显然椭圆、双曲线都是有心曲线.过有心圆锥曲线中心的弦叫有心圆锥曲线的直径。
定理：过圆 x2 y2 r 2r 0上异于直径两端点的任意一点与一条
直径的两端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值-1.
（1）过椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 上异于直径两端点的任意一点与
圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
球的性质
球的表面积 S = 4πR2 球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相与球心距离不相等的两截面面积
等,距圆心较近的弦较长
不相等,距球心较近的面积较大
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕
轴自转
轴自转
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
温度适合生物的生存
有生命存在
大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
类比推理
•定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)。

高中数学专题2.1.1 合情推理练习(含解析)新人教A版选修1-2(2021年整理)

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合情推理班级：姓名:_____________1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示,，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )A。

白色B.黑色C。

白色可能性大D.黑色可能性大2.已知数列{a n}满足a0=1，a n=a0+a1+a2+…+a n—1(n≥1)，则当n≥1时，a n等于( )A。

2n B。

n(n+1）C。

2n-1 D.2n-1【解析】选C。

a0=1，a1=a0=1，a2=a0+a1=2a1=2，a3=a0+a1+a2=2a2=4，a4=a0+a1+a2+a3=2a3=8，…,猜想n≥1时，a n=2n—1.3。

给出下列三个类比结论：①类比a x·a y=a x+y，则有a x÷a y=a x—y；②类比log a（xy)=log a x+log a y，则有sin（α+β)=sinαsinβ；③类比（a+b)2=a2+2ab+b2,则有（a+b）2=a2+2a·b+b2。

其中结论正确的个数是（)A。

0 B.1 C。

2 D.3【解析】选C.根据指数的运算法则知a x÷a y=a x-y，故①正确;根据三角函数的运算法则知：sin(α+β）≠sinαsinβ,②不正确;根据向量的运算法则知:(a+b）2=a2+2a·b+b2，③正确.4。

高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析

高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.当x∈R＋时，可得到不等式x＋≥2，x＋≥3，由此可推广为x＋≥n＋1，其中P等于 ( )A、 B、Ｃ、 D、【答案】A【解析】∵x∈R+时可得到不等式x+≥2，x+≥3，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方，∴p=n n，故选A【考点】本题考查了归纳推理点评：解题的关键是理解归纳推理的规律--从所给的特例中总结出规律来，以之解决问题，归纳推理是一个很重要的思维方式，熟练应用归纳推理猜想，可以大大提高发现新问题的效率，解题时善用归纳推理，可以为一题多解指明探究的方向2.用演绎法证明函数是增函数时的小前提是 ( )A．增函数的定义B．函数满足增函数的定义C．若，则D．若，则【答案】B【解析】解：因为用演绎法证明函数是增函数，可以根据函数满足增函数的定义，得到结论。

3.根据给出的数塔猜测123456×9＋7=( )1×9＋2=1112×9＋3=111123×9＋4=11111234×9＋5=1111112345×9＋6=111111……A．1111113B．1111112C．1111111D．1111110【答案】C【解析】解：根据已知的条件1×9＋2=1112×9＋3=111123×9＋4=11111234×9＋5=1111112345×9＋6=111111，观察归纳猜想可知123456×9＋7=1111111 ，选C4.在平面几何中,有射影定理：“在中,, 点在边上的射影为,有.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥中,平面,点在底面上的射影为,则有.”【答案】【解析】根据类比的规则，三角形类比三棱锥，边类比成面.所以.5.类比圆的性质“与圆心距离相等的两弦相等，距圆心较近的弦较长”，可得球的性质_【答案】“与球心距离相等的两截面圆面积相等，距球心较近的截面圆面积较大。

合情推理归纳推理-试题

2n－1
2
4
8
16
(3)9,99,999,9
n－1 10 999，…，_______，…
数学巩固：
1. 观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：
(1)
1 1 , 2 2
1 1 2 , 2 6 3
1 1 1 3 , 2 6 12 4
1 1 1 1 4 , 2 6 12 20 5
四棱锥尖顶塔
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
凸多面体
四棱柱三棱锥八面体
面数（F）
6 4 8 5 5
顶点数（V）
8 4 6 6 5
棱数（E）
12 6 12 9 8 四棱锥
三棱柱
四棱锥尖顶塔
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
凸多面体
四棱柱三棱锥八面体
面数（F）
6 4 8 5 5
顶点数（V）
8 4 6 6 5
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
凸多面体
四棱柱三棱锥八面体
面数（F）
顶点数（V）
棱数（E）
三棱柱
四棱锥尖顶塔
四棱柱
凸多面体
四棱柱三棱锥八面体
面数（F）
6
顶点数（V）
8
棱数（E）
12
三棱柱
四棱锥尖顶塔
四棱柱
三棱锥
凸多面体
四棱柱三棱锥八面体
面数（F）
6 4
顶点数（V）
8 4
棱数（E）
2
1
3
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片 . 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3

完整版合情推理演绎推理专题练习及答案

合情推理、演绎推理一、考点梳理：(略)命题预测:归纳、类比和演绎推理是高考的热点，归纳与类比推理大多数出现在填空题中，为中、抵挡题，主要考察类比、归纳推理的能力；演绎推理大多出现在解答题中，为中、高档题，在知识的交汇点出命题，考察学生的分析问题，解决问题以及逻辑推理能力。

预测2012年仍然如此，重点考察逻辑推理能力。

三、题型讲解:1：与代数式有关的推理问题a b a b a b ,3a ab b2进而猜想a n b n例1、观察a b3a b 24 a b4a b 3 a a2b ab2 b3例2、观察1=1,1-4=- (1+2), 1-4+9= (1+2+3)1-4+9-16= - (1+2+3+4)…猜想第n 个等式是：_____________________________________________________________________________________________________ 。

练习：观察下列等式：132332, 1323336", 13b 3s才10，…，根据上述规律，第五个.等式为_____________ 。

练习：在计算“ 1 2 2 3 n(n 1) ”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：1k(k 1) [k(k 1冰2) (k 1)k(k 1)],由此得31 1 11 2 -(1 2 3 0 1 2),2 3 —(2 3 4 1 2 3),…n(n 1) -[n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1)].3 3 31相加，得1 2 2 3 n(n 1) -n(n 1)(1 2).3类比上述方法，请你计算“ 1 2 3 2 3 4 n(n 1)(n 2) ”，其结果为.2:与三角函数有关的推理问题例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并证明结论的真假。

练习：观察下列等式:2① cos2 a =2 cos a — 1 ；② cos 4 a =8 cos 4 a — 8 COS 2 a +1 ；642③ cos 6 a =32 cos a — 48 cos a+ 18 cos a — 1；④ cos 8 a = 128 cos 8a — 256cos 6 a+ 160 cos 4 a — 32 cos 2 a + 1 ；108642⑤ cos 10 a =mcos a — 1280 cos a+ 1120cos a+ nC0S a+ p cos a — 1 ；可以推测，m — n+p=.3:与不等式有关的推理0),若再添加m 克盐(m>o 则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 .例2、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的 i (k N ),已知铁钉受击三次后全部进入木板，且第一次受击后进入木k' ' 44，请从这个事实中提炼一个不等式组为7由上可得出一般的结论为： _____________________ 。

人教A版选修2-22.1.1合情推理基础达标(含答案解析).docx

1．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113解析：选B.由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数，即1 111 111.2．由“若a＞b，则a＋c＞b＋c”得到“若a＞b，则ac＞bc”采用的是( )A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．数学证明解析：选C.由加法类比乘法．3．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图中的(1)，(2)，(3)，(4)，则图中a，b可能是下列哪个选项运算的结果( )A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D解析：选B.由图可知字母A，B，C，D与图形的对应关系如下：因此a 、b 所对应的运算结果为图形的搭配．其中a 为B *D ，b 为A *C .选B.4．(2013·临沂高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为( )A ．6n －2B ．8n －2C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：选C.从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.5．(2012·高考江西卷)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C.利用归纳推理，a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4＝3＋1，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．6．(2013·湛江高二检测)图(1)所示的图形有面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB，则图(2)所示的图形有体积关系：V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝________.解析：由三棱锥的体积公式V ＝13Sh 及相似比可知， V P －A ′B ′C ′V P －ABC ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC答案：PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC7．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列第2列第3列 …第1行 1 2 3 …第2行 2 4 6 …第3行 3 6 9 …… … … …那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．解析：观察数表可知，第n 行的第1个数为n ，且第n 行的数列的公差为n ，所以位于第n 行第n ＋1列的数为n ＋n 2.答案：n ＋n 28．(2013·温州高二检测)下面使用类比推理，得出正确结论的是________．①“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”；②“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”；③“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋b c ＝a c ＋b c(c ≠0)”； ④“(ab )n ＝a n b n ”类比出“(a ＋b )n＝a n ＋b n ”．解析：①中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成0，其结论不成立；②中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不满足对乘法的分配律；③是正确的；④中，令n ＝2显然不成立．答案：③9．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解：a 2＝11＋1＝12，a 3＝121＋12＝13， a 4＝131＋13＝14， … 通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出a n ＝1n. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆C 上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：性质：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在时(直线PM ，PN 的斜率分别记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )，因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a 2·m 2－b 2. 同理y 2＝b 2a 2·x 2－b 2，所以k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．。

课件13：2.1.1 合情推理

活学活用 3.如图，在△ABC 中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，写出对空间四面体性质的猜想．
解：如右图所示，在四面体 P-ABC 中， S1，S2，S3，S 分别表示△PAB， △PBC，△PCA，△ABC 的面积， α，β，γ 依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小．猜想 S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
化解疑难归纳推理的特点
(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；
(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.
知识点二类比推理和合情推理
提出问题
问题 1：在三角形中，任意两边之和大于第三边．那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？【答案】四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
类题通法解决图形中归纳推理的方法
解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手： (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系． (2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
活学活用
2.如图，第 n 个图形是由正 n＋2 边形“扩展”而来(n＝
题型一数、式中的归纳推理例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝－23，且 Sn＋S1n＋ 2＝an(n≥2)，计算 S1，S2，S3，S4，并猜想 Sn 的表达式．
解：当 n＝1 时，S1＝a1＝－23；当 n＝2 时，S12＝－2－S1＝－43，所以 S2＝－34；当 n＝3 时，S13＝－2－S2＝－54，所以 S3＝－45；当 n＝4 时，S14＝－2－S3＝－65，所以 S4＝－56. 猜想：Sn＝－nn＋＋21，n∈N*.

合情推理

根据上述分解规律，若 m2 1 3 5 11，p3 的分解中最小的正整数是 21，则m p （ A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】 C 【解析】由归纳推理可知， m 6，p 5， m p 11 ． 3、设 ABC 的三边长分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，
ac a a c a ”类比得到“ ”； bc b bc b
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4
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合情推理与演绎推理
【答案】 B 【解析】因为向量的数量积满足交换律，所以①正确；因为向量的数量积满足分配律，所以②正确；因为向量的数量积不满足结合律，所以③不正确；因为向量的数量积不满足消去律，所以④不正确；由向量的数量积公式，可知⑤不正确；因为向量的数量积不满足消去律，所以⑥不正确；综上知，正确的个数为 2 个，故答案为：①②．
面数 F 及棱数 E 所满足的等式是 F V E 2. 6 、设 f x
1 3 3
x
, 分别求 f 0 f 1 , f 1 f 2 , f 2 f 3 , 并归纳猜想一般性结
论，并证明之. 【答案】见解析
【解析】
f 0 f 1
1 1 1 1 1 1 1 1 a b 2 ab 2 8, 当且仅当 a b 时等号成立， 8. ab ab a b ab a b ab
随堂练习
1、（1）根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式．
1 3 3
x1
证明：
f x1 f x2

进行简单的合情推理-高中数学知识点讲解(含答案)

进行简单的合情推理（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2020春•西城区校级月考）单位正方体1111ABCD A B C D -，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是111AA A D →→⋯，黑蚂蚁爬行的路线是1AB BB →→⋯，它们都遵循如下规则：所爬行的第2i +段与第i 段所在直线必须是异面直线*()i N ∈．设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是( )A ．1B C D ．02．（2019秋•大兴区期末）动点M 位于数轴上的原点处，M 每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离．经过3次跳动后，M 在数轴上可能位置的个数为() A ．7B ．9C ．11D ．133．（2020•北京模拟）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班4．（2020•西城区校级模拟）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给A ，B ，C ，D 四个派送点准备某种商品各50个．根据平台数据中心统计发现，需要将发送给A ，B ，C ，D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品．为完成调整，则( )A ．最少需要16次调动，有2种可行方案B ．最少需要15次调动，有1种可行方案C ．最少需要16次调动，有1种可行方案D ．最少需要15次调动，有2种可行方案5．（2019•丰台区一模）在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若ABC ∆是格点三角形，其中(0,0)A ，(4,0)B ，且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为( ) A ．6B ．8C ．10D ．126．（2018秋•朝阳区期末）从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2．那么不可能是计算结果的最小的数是( ) A ．12B ．11C ．10D ．97．（2018秋•海淀区期末）已知集合{1I =，2，3，4，5，6}，{(,)|A s t s I =∈，}t I ∈．若B A ⊆，且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈，均有()()0a x b y --<，则集合B 中元素个数的最大值为( )A ．5B ．6C ．11D ．13二．填空题（共6小题）8．（2019秋•丰台区期末）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成种重卦．（用数字作答）9．（2019秋•平谷区期末）某次高二英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在A ，B ，C 三个选项中只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：1 2 3 4 5 得分甲CCB B A4乙 C AAB C 3 丙ACCBC2则甲同学答错的题目的题号是；此题正确的选项是．10．（2019秋•西城区期末）若1x ，2x ，3x ，⋯，9x 表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯1x 在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的{|29}i x N x ∈∈，要求灯i x 的左边有且只有灯1i x -是开灯状态时才可以对灯i x 进行一次操作．如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯4x 关闭最少需要次操作；如果除灯6x 外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要次操作．11．（2020•东城区模拟）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是．（填写所有正确说法的编号）12．（2019秋•丰台区期中）汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个主要因素．在一个限速为40/km h 的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超10m ．已知甲、乙两种车型的刹车距离()s m 与车速(/)x km h 之间分别有如下关系：20.10.01s x x =+甲，20.050.005s x x =+乙．则交通事故的主要责任方是（填“甲”或“乙” )．13．（2019春•海淀区校级月考）洛萨科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即)2n ；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31)n +，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为3，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：10，5，16，8，4，2，1．如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第7项为2（注:1和2可以多次出现），则n 的所有可能取值为．三．解答题（共2小题）14．（2019秋•房山区期末）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7．记事件A ：甲破译密码，事件B ：乙破译密码（Ⅰ）求甲、乙二人都破译密码的概率；（Ⅱ）求恰有一人破译密码的概率；（Ⅲ）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程．15．（2019秋•海淀区校级期中）设(A A x ，)A y ，(B B x ，)B y 为平面直角坐标系上的两点，其中A x ，A y ，B x ，B y 均为整数．||||3B A B A x x y y -+-=，则称点B 为点A 的“相关点”．点1P 是坐标原点O 的“相关点”，点2P 是点1P 的“相关点”，点3P 是2P 的“相关点”， ⋯，依此类推，点2019P 是点2018P 的“相关点”．注：点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 间的距离||AB （Ⅰ）直接写出点O 与点1P 间的距离所有可能值；（Ⅱ）求点O 与点3P 间的距离最大值；（Ⅲ）求点O 与点2019P 间的距离最小值．进行简单的合情推理（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2020春•西城区校级月考）单位正方体1111ABCD A B C D -，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是111AA A D →→⋯，黑蚂蚁爬行的路线是1AB BB →→⋯，它们都遵循如下规则：所爬行的第2i +段与第i 段所在直线必须是异面直线*()i N ∈．设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是( ) A ．1B ．2C ．3D ．0【分析】根据题意以及异面直线的定义，找出两只蚂蚁的路线，由周期性求出最后点，求出距离．【解答】解：由题意白蚂蚁爬行路线可知，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，同理黑蚂蚁也是过6段后又回到起点．而2020除以6等于336余4，所以黑蚂蚁爬完2020段后回到C 点，同理白蚂蚁爬完2020段后到回到1D 点；所以它们此时的距离为：12CD = 故选：B ．【点评】本题考查异面直线，周期性，合情推理的综合应用，属于基础题．2．（2019秋•大兴区期末）动点M 位于数轴上的原点处，M 每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离．经过3次跳动后，M 在数轴上可能位置的个数为() A ．7B ．9C ．11D ．13【分析】根据题意，分4种情况讨论，分别求出相对应的数据即可．【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：①，动点M 向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6-，5-，4-，3-，②，动点M 向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3， ③，动点M 向左跳2次，向右跳1次，故有3-，2-，1-，0，2， ④，动点M 向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，故M 在数轴上可能位置的个数为6-，5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2，3，4，5，6共有13个，故选：D ．【点评】本题考查合情推理的问题，要求学生利用组合掌握用数轴表示实数及实数间的位置关系．3．（2020•北京模拟）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．【解答】解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．故选：C ．【点评】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查笑意合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．（2020•西城区校级模拟）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给A ，B ，C ，D 四个派送点准备某种商品各50个．根据平台数据中心统计发现，需要将发送给A ，B ，C ，D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品．为完成调整，则( )A ．最少需要16次调动，有2种可行方案B ．最少需要15次调动，有1种可行方案C ．最少需要16次调动，有1种可行方案D ．最少需要15次调动，有2种可行方案【分析】先看互不相邻的两点B 、D ，B 处至少调整5次，D 处至少调整11次，故最少需要调整16次【解答】解：因为B 、D 两处互不相邻，所以B 处至少调整5次，D 处至少调整11次，故最少需要调整16次相应的可行方案有2种，方案①：A 调整10给D ，B 调整5给C ，然后C 再调整1给D ；方案②：A 调整11给D ，B 调整1给A ，调整4台给C ，故选：A ．【点评】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．5．（2019•丰台区一模）在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若ABC ∆是格点三角形，其中(0,0)A ，(4,0)B ，且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为( ) A ．6B ．8C ．10D ．12【分析】根据条件设三角形的高为h ，结合三角形的面积得到高4h =，即顶点C 在直线4y =上，结合C 的整点坐标，利用数形结合进行排除即可．【解答】解：设三角形的高为h ，则三角形的面积1482S h =⨯=，即4h =，即C 点的纵坐标为4，若(4,4)C 或(0,4)时，则三角形边边界上的格点个数为12个，若(2,4)C，则三角形边边界上的格点个数为8个，若(1,4)C或(3,4)，则三角形边边界上的格点个数为6个，则不可能的为10个，故选：C．【点评】本题主要考查合情推理的应用，结合条件求出三角形的高即顶点A的位置，利用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键．6．（2018秋•朝阳区期末）从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2．那么不可能是计算结果的最小的数是()A．12B．11C．10D．9【分析】列树形图，逐步列举即可【解答】解：由树形图可知：不可能是计算结果的最小的数是：11，故选：B ．【点评】本题考查了树形图及进行简单的合情推理，属简单题．7．（2018秋•海淀区期末）已知集合{1I =，2，3，4，5，6}，{(,)|A s t s I =∈，}t I ∈．若B A ⊆，且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈，均有()()0a x b y --<，则集合B 中元素个数的最大值为( )A ．5B ．6C ．11D ．13【分析】根据题意，将A 、B 中的元素看成点，其坐标为(,)s t ，分析()()0a x b y --<可得0b ya x-<-，据此分析可得B 中的元素属于集合{(1,6)，(2,5)，(3,5)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}；即可得答案．【解答】解：根据题意，{(,)|A s t s I =∈，}t I ∈，B A ⊆，将A 、B 中的元素看成点，其坐标为(,)s t ，若对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈，均有()()0a x b y --<，即0b ya x-<-，则集合B 中，任意的两个元素（点)的连线斜率为负值，则B 中的元素属于集合{(1,6)，(2,5)，(3,5)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}；即集合B 中的元素最多有6个；故选：B ．【点评】本题考查合情推理的应用，关键是分析()()0a x b y --<的含义．二．填空题（共6小题）8．（2019秋•丰台区期末）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成15 种重卦．（用数字作答）【分析】2个阳爻放到6个爻中，即从6个中选2个地方放，共有2615C =种【解答】解：2个阳爻放到6个爻中，即从6个中选2个地方放，共有2615C =种，故答案为：15．【点评】本题考查简单的逻辑推理，和计数，属于基础题．9．（2019秋•平谷区期末）某次高二英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在A ，B ，C 三个选项中只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：则甲同学答错的题目的题号是 3 ；此题正确的选项是．【分析】根据题意甲得4分，甲只有一个错误，依次假设检验，可得出结论．【解答】解：有题意知甲得四分，甲只错一个；若甲第1道错，甲的第2，3，4，5题对，乙第1道题也错，乙和甲的后四道题只有第4道题相同，故乙得1分，与题意矛盾，故甲第1道题对；若甲第2道错，甲的第1，3，4，5题对，丙第2道题也错，丙和甲的其他四道题只有第4道题相同，故丙得1分，与题意矛盾，故甲第2道题对；若甲第3道错，甲的第1，2，4，5题对，乙除了第3题和甲相同的有两个题，但是乙得3分，故乙第3题作对了，第三题选A ，则丙第3题错了，其他四道题和甲相同有2道，故丙得2分，与题意符合，故答案为：3，A ．【点评】本题考查简单的逻辑推理，通过假设排除，属于基础题．10．（2019秋•西城区期末）若1x ，2x ，3x ，⋯，9x 表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯1x 在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的{|29}i x N x ∈∈，要求灯i x 的左边有且只有灯1i x -是开灯状态时才可以对灯i x 进行一次操作．如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯4x 关闭最少需要 3 次操作；如果除灯6x 外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要次操作．【分析】（1）把灯2x 关闭，再把1x 灯关闭，再把4x 灯关闭，最少需要 3次操作；（2）按照规则，适当对灯1x 操作，先把灯6x 打开，再一步一步把前面的灯打开即可．【解答】解：（1）如果所有灯都处于开灯状态，那么先把灯2x 关闭，再把1x 灯关闭，再把4x 灯关闭，最少需要 3次操作；（2）如果除灯x外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么：6第1次操作：把x灯关闭，2第2次操作：把x灯打开，1第3次操作：把x灯关闭，4第4次操作：把x灯打开，1第5次操作：把x灯打开，2第6次操作：把x灯关闭，1第7操作：把x灯关闭，3第8次操作：把x灯打开，1第9次操作：把x灯关闭，2第10次操作：把x灯关闭，1第11次操作：把x灯打开，6第12次操作：把x灯打开，1第13次操作：把x打开，2第14次操作：把x灯关闭，1第15次操作：把x灯打开，3第16次操作：把x灯打开，1第17次操作：把x灯关闭，2第18次操作：把x灯关闭，1第19次操作：把x灯打开，4第20次操作：把x灯打开，1第21次操作：把x灯打开，2至少需要21次操作，可以使所有灯都开着，故答案为：3，21．【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是中档题．11．（2020•东城区模拟）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是 ②③ ．（填写所有正确说法的编号）【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【解答】解：由图可知，点A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：②③．【点评】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．12．（2019秋•丰台区期中）汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个主要因素．在一个限速为40/km h 的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超10m ．已知甲、乙两种车型的刹车距离()s m 与车速(/)x km h 之间分别有如下关系：20.10.01s x x =+甲，20.050.005s x x =+乙．则交通事故的主要责任方是乙（填“甲”或“乙” )．【分析】先由题意列出不等式组，分别求解甲、乙两种车型的事发前的车速，看它们是不是超速行驶，谁超速谁应负主要责任．【解答】解：由题意，解20.10.0112x x +>得，40x <-或30x >， 0x >，30/x km h ∴>甲，解20.050.00510x x +>得，50x <-或40x >， 0x >， 40/x km h ∴>乙，∴乙车超过限速，应负主要责任．故答案为：乙．【点评】本题考查了解决实际问题的能力，以及函数与不等式的思想，数学建模的能力，一元二次不等式的解法，属于基础题．13．（2019春•海淀区校级月考）洛萨科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即)2n；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31)n +，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为3，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：10，5，16，8，4，2，1．如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第7项为2（注:1和2可以多次出现），则n 的所有可能取值为 2 3 16 20 21 128 ．【分析】本题根据变换规则进行逆向推理，并利用枚举法得到结果．【解答】解：由题中的变换规则，则第6项：242n n =⇒=；或13123n n +=⇒=不符合题意，排除． ∴第6项为4．第5项：482nn =⇒=；或3141n n +=⇒=． ∴第5项可能取值为：8，1．第4项：8162n n =⇒=；或73183n n +=⇒=不符合题意，排除；或122nn =⇒=；或3110n n +=⇒=不符合题意，排除． ∴第4项可能取值为：16，2．第3项：16322nn =⇒=；或31165n n +=⇒=；或242n n =⇒=；或13123n n +=⇒=不符合题意，排除． ∴第3项可能取值为：32，5，4．第2项：32642n n =⇒=；或3131323n n +=⇒=不符合题意，排除；或5102n n =⇒=；或43153n n +=⇒=不符合题意，排除；或482nn =⇒=；或3141n n +=⇒=． ∴第2项可能取值为：64，10，8，1．第1项：641282nn =⇒=；或316421n n +=⇒=；或10202nn =⇒=；或31103n n +=⇒=；或8162n n =⇒=；或73183n n +=⇒=不符合题意，排除；或122nn =⇒=；或3110n n +=⇒=不符合题意，排除． ∴第1项可能取值为：128，21，20，16，3，2．故答案为：2，3，16，20，21，128．【点评】本题主要考查规则的逆向推理，以及枚举法的应用能力．本题属中档题．三．解答题（共2小题）14．（2019秋•房山区期末）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7．记事件A ：甲破译密码，事件B ：乙破译密码（Ⅰ）求甲、乙二人都破译密码的概率；（Ⅱ）求恰有一人破译密码的概率；（Ⅲ）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程．【分析】（Ⅰ）利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙二人都破译密码的概率．（Ⅱ）利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式能求出恰有一人破译密码的概率．（Ⅲ）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中，A 和B 不是互斥事件，()P A B P +=（A ）P +（B ）()P AB -，由此能求出密码被破译的概率．【解答】解：（Ⅰ）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7．记事件A ：甲破译密码，事件B ：乙破译密码，则P （A ）0.8=，P （B ）0.7=，甲、乙二人都破译密码的概率为()P AB P =（A ）P （B ）0.80.70.56=⨯=．（Ⅱ）恰有一人破译密码的概率为：()P AB AB P +=（A ）()()P B P A P +（B ）0.80.30.20.70.38=⨯+⨯=．（Ⅲ）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中，A 和B 不是互斥事件，()P A B P ∴+=（A ）P +（B ）()P AB -，小明求解时没有减掉甲、乙同时破译的概率，正确解法为：()P A B P +=（A ）P +（B ）()0.80.70.80.70.94P AB -=+-⨯=．【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（2019秋•海淀区校级期中）设(A A x ，)A y ，(B B x ，)B y 为平面直角坐标系上的两点，其中A x ，A y ，B x ，B y 均为整数．||||3B A B A x x y y -+-=，则称点B 为点A 的“相关点”．点1P 是坐标原点O 的“相关点”，点2P 是点1P 的“相关点”，点3P 是2P 的“相关点”， ⋯，依此类推，点2019P 是点2018P 的“相关点”．注：点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 间的距离||AB （Ⅰ）直接写出点O 与点1P 间的距离所有可能值；（Ⅱ）求点O 与点3P 间的距离最大值；（Ⅲ）求点O 与点2019P 间的距离最小值．【分析】（Ⅰ）根据题意写出点1P 的所有坐标，即可算出距离所有可能值，（Ⅱ）由第一问分析出两个“相关点”什么时候距离最大，即可求出点O 与点3P 间的距离最大值，（Ⅲ）因为“相关点”的关系是相互的，所以当n 为偶数时，n P 回到最初点，所以点2016P 坐标为(0,0)，然后再经过三次变换得到2019(0,1)P ，此时点O 与点2019P 间的距离最小．【解答】解：（Ⅰ）点O 与点1P 间的距离所有可能值：3；（Ⅱ）因为点(0,0)O ，所以由第一问可知，当点1(3,0)P ，点2(6,0)P ，点3(9,0)P 时点O 与点3P 间的距离最大，∴点O 与点3P 间的距离最大值为9．（Ⅲ）因为“相关点”的关系是相互的，所以当2n k =，*()k N ∈时，点O 与点n P 间的距离最小值为0，所以点O 与点2016P 间的距离最小值为0，此时点2016P 又回到最初位置，坐标为(0,0)，然后经过三次变换：2016(0P ，20170)(2P --，20181)(1P --，20193)(0,1)P --，所以点O 与点2019P 间的距离最小值为1．【点评】本题考查了简单的合情推理的应用，做题时注意发现规律，属于中档题．。

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