拉普拉斯变换

CH 7 拉普拉斯变换
1、拉普拉斯变换的概念
2、拉普拉斯变换的性质 3、卷积
4、拉普拉斯逆变换
5、拉普拉斯变换的应用
1
第七章拉普拉斯积分变换
§ 7.1 拉普拉斯变换的概念


1.定义
2.Laplace变换存在定理
和象函数的微分性质
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第七章拉普拉斯积分变换
§ 7.2 逆变换的计算和位移性质

1.线性性质 2.微分性质 3.积分性质 4.位移性质

5.延迟性质
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由此也可算出 sinat和 cos at的 拉 普 拉 斯 变 换
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函数的拉普拉斯变换
ℒ (t )
(t )
定义：
- ( n)
0
第七章拉普拉斯积分变换
பைடு நூலகம்
f ( t )u( t )e
t
e
iwt
dt
1 2


0
f (t )e ( iw ) t dt

F ( w )e iwt dw,
若 令s iw , 则F ( s)
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第七章拉普拉斯积分变换
( 2)：对任意实数 t和常数 Re(s ) c, 反演积分
1 i st f (t ) F ( s ) e ds( t 0)收敛， i 2i
且处处收敛到函数 f ( t ) f ( t )u( t )在各点t处的左右极限 平均值，当t 0时，其积分值为 0.
(1) ℒ e t

( 2) ℒsinkt
3.积分性质
(n 1,2,), 且gn (t ) dt dt f (t )dt, 则 ℒgn (t )存在
t t t 0 0 0
i ) 象原函数的积分性质 设： f (t ) u(t ) f (t ) ℒ F ( s ) (Re(s ) c )
例1. 利用性质计算下列各式.
(1)
ℒ sin 2t sin 4t
( 2)
ℒ
1
1 s( s 1)
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第七章拉普拉斯积分变换
2.微分性质
i ) 象函数的微分性质 f (t ) u(t ) f (t ) ℒ F ( s ) (Re(s ) c ) 设： n ( n) n ℒ 则： ( 1 ) F ( s ) (Re(s ) c ) t f (t )
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第七章拉普拉斯积分变换
例2. 计算下列各式.
(1)
解：
ℒ t
2
（2）ℒ t sint
n
t （3） te ℒ

(1)
ℒ t
2
1 2 ( 2 ) 3 s s
( n)
(t )

n 1
f (0) sf
( n 2 )
(0) f
( n 1 )
(0) (Re(s) c ).
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第七章拉普拉斯积分变换
例2. 利用微分性质计算下列各式.
ℒ
s
n
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第七章拉普拉斯积分变换
2.Laplace变换存在定理和象函数的微分性质
定理1： 若函数 f (t )满足如下两个条件：
i ) f (t )在t 0有限区间上满足狄利克 雷 ( Dirichlet ) 条件 ,
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第七章拉普拉斯积分变换
证明：
ℒ f (t ) 0


f ( t )e dt f ( t )e
st
st
0
st s f ( t ) e dt , 0
(1) ℒ
1
第七章拉普拉斯积分变换
1
1 s( s 2 1) ;
( 2) ℒ
1 s( s 2 1) ;
t 解： (1) si ntdt 1 cos t , ( t 0), 0
1 ( s 2 1) - s 2 1 s 或由 2 2 计算得； 2 s( s 1) s( s 1) s s 1 t t t e e et et ( 2) dt 1, ( t 0), 0 2 2 1 s 2 ( s 2 1) 1 1 1 1 或由 2 ( ) 计算得 2 s( s 1) s( s 1) 2 s 1 s 1 s
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第七章拉普拉斯积分变换
1.线性性质
设Ck 为常数 (k 1,2,n),
若 f k (t )
n k 1
ℒ
Fk (s) (k 1,2,n),
则有 Ck f k (t )
ℒ
C F ( s) .
k 1 k k
n
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第七章拉普拉斯积分变换
1. Laplace变换的概念
则F (w) ℱ f (t )u(t )e
且 当t 0时 ，f ( t )e
t
设函数 f (t )u(t )e t ( 0)满足Fourier 变换存在定理条件
t




第七章拉普拉斯积分变换
定义1：
F ( s)


0
f ( t )e st dt为f ( t )的拉普拉斯 ( Laplace)变换 ;
记作： F ( s)
ℒ f (t )
1 i st f (t ) F ( s ) e ds为F ( s )的拉普拉斯 ( Laplace)逆变换 ( t 0). i 2i
ii ) 象原函数的微分性质 f (t ) u(t ) f (t ) ℒ F ( s ) (Re(s ) c ) 设：
若f (t )在t 0有限区间上连续或有有 限个第一类间断点，则 ： lim f ( t ) ℒ f (t )一定存在，且
t 0
ℒ f (t ) sF ( s) f (0), Re(s) c, f (0) f (0 0).
f (t ) u(t ) f (t )
ℒ F ( s ) (Re(s ) c )
( 3)：F ( s )在右半平面 Re(s ) c内解析， s求导，使下面微分性质 成立，即： F ( s ) 0 f (t )e st dt可在积分号下对参数
t f (t )
n
ℒ
( 1)n F ( n ) ( s ) (Re(s ) c )
t
1 u( t ) , (Re (s ) 0); s
2
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第七章拉普拉斯积分变换
ℒsinat 0

sin( at )e st dt
1 a st sin( at )e cos(at )e st dt s 0 s2 0 a a st 2 cos(at )e 2 sin( at )e st dt s 0 s 0
t ℒ
n! , (Re(s ) 0). n1 s ( Re (s ) 0);
(Re (s ) 0);
（2）ℒ t sint
（3） ℒ te
1 2s ( 2 ) 2 s 1 ( s 1)2

t
1 1 ( ) s1 ( s 1)2
(Re (s ) 1).
1

F ( s) g ( t ) ℒ 1 s
(Re(s ) c ). F ( s) (Re(s ) c ). n s
同理可证： ℒgn (t )
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例3. 计算下列各式.
记作： f (t ) ℒ1 F ( s)
f (t )
ℒ
F ( s)
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第七章拉普拉斯积分变换
例1. 求下列函数的拉普拉斯变换.
1 ( t 0), 1) u( t ) ; 0 ( t 0).
(t )e st dt e s0 1.
ℒ
1
n
(t t 0 ) f (t )dt (1)
st 0 0


-
(t t0 ) f ( n) (t )dt.
ℒ (t )
(t )
( n)
(t )e dt (t )( s )e st dt s.
1 即f ( t ) 2



F ( w )e ( iw ) t dw.

1 i st f (t ) F ( s )e ds, (沿 垂 直 于 实 轴 的 直 线 积 的分 , t 0). i 2i
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0
f (t )e st dt,
即f (t )在[a, b]上连续或有有限个第一 类间断点，且至多有有 限个极值点
ii ) 当t 0时 ，f ( t )的 增 长 是 指 数 级 的 ， 增 其长 指 数 为 c, e
ct
f ( t ) 即存在 M 0和c 0, 使 得 当 t 0时 ， 有
M.
则有下列三个结论成立 ：

当t 时， f ( t )e st f ( t ) e t Me ( c ) t 0,
ℒ f (t )
推论：
sF ( s ) f (0) (Re(s ) c ).
f ( 0) f ( 0 0)
s F ( s) s
n
ℒ f
积分n次
且 ：gn ( t )
ℒ
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F ( s) (Re(s ) c ) n s
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第七章拉普拉斯积分变换
证明：
由微分性质
1 1 1

0
0
g1 ( t )dt 0
ℒ g (t ) sℒg (t ) g (0) s ℒ g ( t )
其反常积分F ( s )
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Re(s ) c内存在， (1)：F ( s ) ℒ f ( t ) 在右半平面
0
f (t )e st dt在该平面内绝对收敛 ;
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t
2) f (t ) e (为任意复数 )；
4) f (t ) sinat(a为实数 ) . 3) f (t ) at(a为 任意 复数 ) ；
ℒ 1 ℒ e s - , (Re (s) Re ( )); a ℒat s , (Re (s ) 0).
a ℒsinat s 2 a 2 , (Re (s ) 0).
u (t ) e
t
ℒ
ℒ ℒ
1 , (Re(s ) 0). s
at
ℒ
a , (Re(s ) 0). 2 s
sin at
1 , (Re(s ) Re( )). s a , (Re(s ) 0). 2 2 s a