步步高高中数学 必修 5 等比数列前n项和

等比数列前n 项和一、选择题1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0. ∵q >0， ∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3 ＝22·21＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析 由3a n ＋1＋a n ＝0， 得a n ＋1a n ＝－13， 故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．二、填空题7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 ∵S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.8．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝________.答案 －342解析 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)或q 3＝0(舍去)，∴q ＝－342. 三、解答题11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，n ∈N *. 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35)解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9， ∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1，n ∈N *)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨．13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N *.(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，① S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1，当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1，n ∈N *.等比数列前n 项和1一、选择题1．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 C解析 ∵a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2， ∴a 4－a 3＝3(S 3－S 2)＝3a 3，即a 4＝4a 3， ∴q ＝a 4a 3＝4，故选C.2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．－1答案 A解析 ∵S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列， ∴a n 为定值，即数列{a n }为常数列， ∴q ＝a na n －1＝1.3．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30答案 C解析 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140 得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10，a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0. ∴q 10＝3，∴S 20＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.4．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3答案 B解析 设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. ∵S 2m S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m＋1＝9， ∴q m ＝8.∴a 2m a m ＝a 1q2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列， 且a 2a 4＝1，设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0. 故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.6．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1，n ∈N *)，则a 6等于( ) A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1答案 A解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1， 即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍， 即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列． 又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，3×4n －2， n ≥2，n ∈N *. ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.二、填空题7．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案 2解析 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160. ∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝______.答案 73解析 q ≠1，否则S 6S 3＝6a 13a 1＝2≠3.∴S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q ＝1＋q 3＝3， ∴q 3＝2.∴S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q a 1(1－q 6)1－q＝1－q 91－q 6＝1－231－22＝73. 9．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________. 答案 16解析 方法一 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列， ∴(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)． 又∵S 3＝2，S 6＝6， ∴S 9＝14.再由S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列， 即(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)·(S 12－S 9)， 求出S 12－S 9＝16，即a 10＋a 11＋a 12＝16.方法二 由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列， 此数列首项为S 3＝2，公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－22＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16.10．在等比数列{a n }中，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则前n 项和S n ＝________________. 答案 3(2n －1)或3n －1 解析 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n－1.三、解答题11．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ， 由题意知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n ，n ∈N *.(2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1，n ∈N *.12．中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人．从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%. (1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式；(注：2016年为第一年)(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2036年是否需要调整政策？解 (1)当n ≤10时，数列{a n }是首项为45.5， 公差为0.5的等差数列，所以a n ＝45.5＋0.5×(n －1)＝45＋0.5n .当n ≥11时，数列{a n }是以0.99为公比的等比数列． 又a 10＝50，所以a n ＝50×0.99n－10，因此新政策实施后第n 年的人口总数a n (单位：万人)的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧45＋0.5n ，1≤n ≤10，n ∈N *50×0.99n －10，11≤n ≤20，n ∈N *. (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得 S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈950.8(万)，所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为S 2020≈47.54万．因为S 2020＜49，故到2036年不需要调整政策．13．已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和． (1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列． (1)解 由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)． 当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1， 可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0. 解得q ＝1±52.(2)证明 若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m＋k，a n＋k，a l＋k显然成等差数列．若q≠1，由S m，S n，S l成等差数列可得S m＋S l＝2S n，即a(q m－1)q－1＋a(q l－1)q－1＝2a(q n－1)q－1，整理得q m＋q l＝2q n.因此a m＋k＋a l＋k＝aq k－1(q m＋q l)＝2aq n＋k－1＝2a n＋k，所以a m＋k，a n＋k，a l＋k成等差数列．。