第四章语音信号的短时频域分析

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若使用哈明窗，W (e ) 的近似带宽为
j
B
2 FS N
(Hz)
(4.20)
N (采样/秒)
Fs N
X n (e
j
)的采样率为 2 B 4 Fs
j
若使用矩形窗 , W (e
X n (e j
)的近似带宽为
2B 2 Fs N
B
(Hz)
(4.5)
可以看出，只有当w(0)≠0时，x(n)才能从 X n (e j ) 求出。
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此外，由功率谱定义，可以写出短时功率谱与短
时傅里叶变换的关系：
Sn (e ) X n (e ) X (e ) | X n (e ) |
* n
j
j
j
j
2
(4.6)
时变换中准确地恢复。
欠速率采样在短时谱估计，基音及共振峰分析，
数字语谱图以及声码器中得到应用。
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4.5 短时综合的滤波器组相加法
X n (e j ) 可表示为
X n (e )
或
ji
m ji n
w (n m) x(m)e
i m
x(m)w(n-m) 也应当是宽度为 N 有限时宽的。现在在频 域内L个角频率上对 X n (e j )进行取样，根据这些取样所 恢复出的时间信号应该是 x(m)w(n-m) 进行周期延拓的 结果，延拓周期等于 L 。为使恢复的时域信号不产生 混叠，要求L N，故频域最小取样数为窗宽 SRf=N。
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第四章 语音信号的短时时域分析
1 2 3 4 5
4.1 概述
4.2 傅里叶变换的解释
4.3 滤波器的解释 4.4 短时谱的时域及频域采样率
4.5 短时综合的滤波器组相加法
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4.1 概述
语音信号可被看作是短时平稳信号，其某一帧的 短时傅里叶变换定义式如下：
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4.3 滤波器的解释（ω 给定）
1． 短时傅里叶变换的滤波器实现形式 由式（4.1）可得
X n (e )
j m
[ x ( m ) e

j m
]w( n m )
(4.14)
如果把w(n)看作为一个滤波器的单位取样响应，则短 时傅里叶变换 X n (e j ) 就是该滤波器的输出，x(n)e jn 为滤波器的输入。

ji m
(4.25) (4.26) (4.27)
X n (e ) e
ji


x(n m) wi (m)e
i
ji m
若定义 则
X n (e
hi (n) wi (n)e j n
j i
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4.4 短时谱的时域及频域取样率
短时傅里叶变换 X n (e j )同时是时间n以及角频率 ω的函数。由 X n (e j ) 来恢复x(n)，首先遇到的就是
时域取样率和频域取样率的问题。
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1.时域取样率（ω 为固定值）
功率谱 S n (e j ) 是自相关函数
Rn (k ) x ( m ) w( n m ) x ( m k ) w( n k m ) ∑ m ∞
∞
(4.7)
的傅里叶变换。
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窗函数的作用
1. 选出x(m)序列中被分析部分; 2.它的形状对时变傅里叶变换特性也有重要作用。
若将w(n)的傅里叶变换记为 W (e j ) ，对于大多数窗 函数来说，W (e j ) 具有低通滤波器的特性，若它的 j X ( e ) 则具有与窗相同的带宽。低 带宽为BHz， n 通滤波器的带宽是由 W (e j第一个零点位置决定的。 ) 因为是 的傅里叶变换，因而 B的取 w(n),0 ≤n-1 ≤ N 值决定于窗口序列的长度N和形状。
N
) X n (k )
m
x(m)w(n m)e
X n (e )
j
N
,0 k N 1
(4.2)
的频率的取样。
它实际上就是
3
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4.1 概述
可以看出： （1）当n固定时，它们就是序列
wn mxm
(-∞≤m≤+∞)
m j m [ x ( m ) w ( n m )]e
（4.3）
时变傅里叶变换是时间标号n的函数，当n变化时，窗
w(n-m)沿着x(m)滑动。
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w(50–m)
w(100–m )
w(200–m) x(m) m n=200
0
n=50
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3、总取样率
X n (e j )的总抽样率（SR）等于
SR SRt SRf 2B N 抽样/ 秒
BC Fs N (Hz)
(4.22)
在大多数实际窗中，B 可以表示为FS /N的倍数
(4.23)
其中，C是比例常数， x ( n )的抽样频率即为
写成卷积积分形式：
π j jn j ( ) 1 X n (e ) W (e )e X (e )d π 2π j
(4.11)
(4.12)
将θ改换为-θ后，可以写成：
j
π j jn j ( ) 1 X n (e ) W (e )e X (e )d π 2π
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X n (e j ) 用实数来运算的方法：
X n (e j ) | X n (e j ) | e j ( ) an ( ) jbn ( ) (4.15)
∞ x(m) cos(m) w(n m) a n ( ) ∑ m∞ ∞ b ( ) x(m) sin(m) w(n - m) ∑ n m∞
j
(4.13)
j X ( e ) 的特性， 可见，为了使 X n (e )能够充分地表现
j X ( e ) 必须是一个冲激脉冲。 要求对于 W (e )来说，
j
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窗函数和窗宽对短时傅里叶谱的影响： 由于矩形窗有较高的旁瓣，在语音频谱分析中， 很少采用。实验表明，窗的主瓣宽度与窗宽度 N 成反比，选择窗宽时应根据应用需要，折衷考虑， 要得到好的时间分辨率要求用窄窗，而要得到好 的频率分辨率要求用宽窗。
j m
e - jn [

(4.16)
j
令
则有
~ j X n (e )
m
x ( n m ) w( m ) e
jn

e
j n
X n (e
)
(4.17)
(4.18)
X n (e ) e
j
~ ~ j jn ~ X n (e ) e [an ( ) jbn ( )]
(4.16)
Hale Waihona Puke Baidu
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结论：
j ( ) ) ，这说明 x( n) 经调制后，其付里叶变换为 X (e
调制使 x( n) 的频谱在频率轴上向左移动了

，线
性滤波器输出端的频谱等于乘积 X (e j ( ) )W (e j ) ，故 为了使输出频谱准确等于 X (e j ) ， W (e j ) 应当是一个冲 激。即要求线性滤波器近似为一个窄带低通滤波器。
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可以画出短时傅里叶变换的滤波器解释的另 一种形式如图（4.3）所示，也分为复数运算和实 数运算两种。 同样要求线性滤波器近似为一个中心频率为 ω的窄带带通滤波器。
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冲激响应 x(n)
w(n)e jn
~ j X n( e )
)的采样率为
(采样/秒)
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2、频率取样率(n为固定值)
e j ) 2π为周期的ω的连续函数， 此时, X n (是以 下述一组频率值来取样：
用
(4.21)
k 2π k ,
L
k 0,1,, L - 1
j X ( e 设w(n)为有限时宽N， n ) 的短时付里叶反变换
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cosω n x(n) w(n) w(n) sinω n x(n) w ( n ) cosω n w ( n ) sinω n (b) (a) ( ( )2 )
2
( (
)2 )2
( )1/2
xn (e
j
)
( )1/2
xn (e
j
)
图 4.4 得到短时频谱模值的两种方法 ( a ) 利用低通滤波器 ( b ) 利用带通滤波器
的傅里叶变换或离散傅里叶变换。 （2） 当 或k固定时，它们是一个卷积，这相当于 滤波器的运算。因此，语音信号的短时频域分析 可以解释为傅里叶变换或滤波器。
下面分别讨论这两种情况。
4
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4.2 傅里叶变换的解释
1. 求x(n)
将式（4.1）写作
X n (e j )
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冲激响应 w(n) x(n)
e j n
X n (e
j
)
cos(ω n) x(n)
(a) 冲激响应 w(n) 冲激响应 w(n) an(ω ) bn(ω )
sin(ω n)
(b)
图 4.2 短时频谱分析的滤波表示 (a) 复数运算 (b) 只有实数运算
(a)
冲激响应
w(n) cosω n
~ ( ) a n
e jn cosω n
+ +
X n (e
j
)
an(ω )
x(n)
+
sinω n bn(ω ) 冲激响应
w(n) sinω n -
~ b n ( )
(b)
cosω n
图 4.3 另一种用线性滤波对短时频谱分析的解释 （a）复数运算 （b）只有实数运算
n=100
图 4.1 x(m)及 w(n-m)的示意图
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傅里叶逆变换公式为：
π j jm 1 w( n m ) x ( m ) X (e )e d n π 2π
(4.4)
令 m = n, 则
π j jn 1 x( n) X n (e )e d 2π w(0) π
w(m)e jm
(4.9)
当n固定时，序列w(n-m)的傅里叶变换为：
m
w(n m)e

j m
W (e
j
)e
jn
(4.10)
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根据卷积定理，有：
X n (e j ) [W (e j ) e jn ] *[ X (e j )]
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如果X n (e jn ) 被看成是w(n-m)x(m)序列的标准傅里叶
变换，同时假设x(m)及w(m)的标准傅里叶变换存
在，为：
X (e ) W (e )
j j m jm x ( m )e
(4.8)
m
SR 2CFS 采样/ 秒
(4.24)
SR/FS即为与一般取样频率相比而得到的“过速率采
样比”。
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欠速率采样：
x ( n )的短时谱所要求的取样率比起一般波形表
示来说，要增加到 2~4 倍。但有时在时域或频域用低
于理论上最小值的取样率，而 x ( n )仍能从混叠的短
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2．短时傅里叶变换的滤波器实现形式二 令： m n m
X n (e )
j m
x(n m) w(m)e j ( nm )
m jm x ( n m ) w ( m ) e ]
X n (e
j
)
m
x ( m ) w ( n m )e

j m
（4.1）
式中w(n-m)是窗函数。在式中，短时傅里叶变换有两 个变量，它们是离散时间n及连续频率ω
2
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4.1 概述
X n (e
若令 2π k N ，则得离散的短时傅里叶变换如下 2: πk 2 πkm j j