数理方程方法汇总

数理方程方法汇总

1．0=+y x bu au

（1）行波法 设)(ξf u = （y kx +=ξ） 代入方程得0)()(''=+ξξbf akf 0=+b ak 故通解为)(y x a

b

f u +-

= （2）特征线法 特征方程为0'=-b ay 特征线为C ay bx =- 故通解为)(ay bx f u -= （3）微分算子法

方程记为 0)(=+u bD aD y x 故通解为)(ay bx f u -=

2．0=++cu bu au y x 通解为 )(ξf e

u mx

= （)y kx +=ξ

3．0=++yy xy xx cu bu au

通解为 )()(21y x k g y x k f u +++= 4．0=+++++nu eu du cu bu au y x yy xy xx

微分算子法 0)(2

2=+++++u n eD dD cD D bD aD y x y y x x 试探函数法

5．⎪⎩⎪⎨⎧=+=++===xy

u xy x u u u u a u t t t zz yy xx tt 03

02

|,|)(

设3

23Bt xyt At xy x u ++++=

代入方程得 )6(623

2

2

Bt At x a Bt A ∇+∇+=+

令⎩⎨⎧==∇2

620xa A A ⎩⎨

⎧==∇0

60

B B

6．⎪⎩⎪⎨⎧-=+++==2

302

|6)(yz

x u y u u u a u t zz yy xx t

设Bt Ayt yz x u ++-=23

代入方程得 y B A y t y x a B Ay 6)26(2+∇+∇+-=+ 令⎩⎨

⎧==∇60

A A

⎩⎨⎧-==∇2

)26(0

a

y x B B 7．⎩⎨⎧=====x

w u x w u u a u t t t xx tt 20102sin |,sin |

设x w t aw B x w t aw u 2211sin sin sin cos +=

8．⎩⎨⎧=====x

w u x w u u a u t t t xx tt 20102cos |,cos |

设x w t aw B x w t aw u 2211cos sin cos cos +=

9．⎪⎩⎪

⎨⎧==∂∂+∂∂+∂∂=θ

θn aR u r r m

R r u

r u r u cos |01122222

设θn Ar u n

cos = n

m aR A -=

分离变量法

10.⎪⎩

⎪

⎨⎧====)()0,(0),(),0(2x x u t l u t u u a u xx t φ 设解为 )()(),(t T x X t x u =

得⎪⎩

⎪⎨⎧===+=+0)()0(00'

'2'l X X X X T a T λλ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧==x l n X l

n n n ππλs i n )(2 x l

n e

A t x u l

n a

n ππsin

),(2

)(1

-∞

∑=

⎰=l x n xd l

n x l A 0sin )(2πφ

11．⎪⎩

⎪

⎨⎧====)()0,(0),(),0(2x x u t l u t u u a u x x xx

t φ

设解为 )()(),(t T x X t x u =

得⎪⎩

⎪

⎨⎧===+=+0)()0(00''''2'l X X X X T a T λλ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧==x l n X l

n n n ππλcos )(2 x l

n e

A t x u l

n a

n ππc o s ),(2

)(1

-∞

∑=

⎰=

l x n xd l

n x l A 0cos )(2πφ 12．.⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

=∂∂

=====)(|),()0,(0),(),0(02x x x u t l u t u u a u t t u xx tt ψφ

设解为 )()(),(t T x X t x u =

得⎪⎩

⎪⎨⎧===+=+0)()0(00

'

'2''l X X X X T a T λλ

⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧+===l at n b l at n a T x l n X l

n n n n

n

n

ππππλsin cos sin )(2 x l

n l at n b l at n a

t x u n n π

ππsin )sin cos

(),(1

+=

∑∞

⎰=

l x n xd l n x l a 0sin )(2π

φ x l n xd l

n x a n b ⎰=

0sin )(2π

ψπ 13．)()]([1'x J x x J x n n n n -=

)()]([1'

x J x x J x n n

n n

+--=