第五章递归关系及解法

1.f(n)是n的t次多项式 ⑴1不是齐次递归关系(5.3.2)的特征根 这时,(5.3.1)的特解形式为 an A0nt A1nt 1 At 1n At , 其中 A0 , A1,, At 1, At 为待定常数。
* n
t
mi
归关系(5.3.2)的通解,则
* an an an
i 1 j 1
j 1 n i
i 1
为(5.3.1)的通解。

注：由定理5.3.1知, 要求(5.3.1)的通解,只要求它 的一个特解及导出的齐次递归关系的通解即可。 对非齐线性递归关系的特解, 针对f(n)的特殊形式 有以下情形:
第n月的兔子包括两部分:上月留下的和当月新生的, 而新生的小兔数即为前月末的兔子数,所以
Fn=Fn-1+Fn-2

Fibonacci序列的性质:
§5.2 常系数线性齐次递归关系的解法
定义5.2.1 序列{a0,a1,a2,…,an,…}中相邻的k+1项 之间的关系为
an b1an1 b2an2 bk ank 0, (n k ) (5.2.1)
an 2an1 an2 2an3 , 例2 求解递归关系 a0 1, a1 2, a2 0. (n 3)
注：若特征根有复根，复根成对出现，故设 x1 i , x2 i , 则通解可表示为 a n A1 ( x1 ) n A2 ( x2 ) n
n n an c1q1n c2q2 ck qk ,
(5.2.4)
则称该式为递归关系式(5.2.1)的通解。

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定理5.2.3 若q1,q2,…,qk为递归关系式(5.2.1)的k个互 不相同的特征根，则式(5.2.4)为(5.2.1)的通解。
例1 求Fibonacci序列的通项。
an b1an1 b2an2 bk ank 0, (n k ) (5.3.2)
为由式(5.3.1)导出的常系数线性齐次递归关系。
* 定理5.3.1 若 a n 为(5.3.1)的一个特解,而 an ci qin
k
( a cij n q )是由(5.3.1)导出的线性齐次递
(n 4)
§5.3 常系数线性非齐次递归关系的解法
定义5.3.1 序列{a0,a1,a2,…,an,…}中相邻的k+1项之 间的关系为
an b1an1 b2an2 bk ank f (n), (n k ) (5.3.1)
则称之为序列的k阶常系数线性非齐次递归关系,其 中系数bi为常数,i=1,2,…,k,bk≠0,f(n) ≠0,n≥k 。 定义5.3.2 在式(5.3.1)中,若f(n)=0, 则称
c1 n cos n c2 n sin n ,
其中
, arctan ,
2 2
c1 A1 A2 , c2 i( A1 A2 ) .
an an 1 an 2 , 例3 求解递归关系 a1 1, a2 0.
题。n个大小不一的圆盘依其半径大小，从下而上
套在A柱上，如下图示。现要求将所有的圆盘从A
柱上全部转移到C柱上,每次只允许从一个柱子上转 移一个盘子到另一柱子上，且在转移过程中不允许
出现大盘放在小盘上方。试问要转移多少次才能将
柱A上的n个盘移到C柱上。
A
B
C
例2 “Fibonacci兔子问题”：从某年某月(设为第0 月)开始,把雌雄各一的一对小兔放入养殖场,假定两 个月后长成成兔,并同时(即第二个月)开始每周产雌 雄各一的一对小兔,新增的小兔也按此规律繁殖,问 第n个月末养殖场共有多少对兔子?
则称之为序列的k阶常系数线性齐次递归关系,其中 系数bi为常数,i=1,2,…,k,且bk≠0。

定义5.2.2 与(5.2.1)相联系的方程
xk b1xk 1 b2 xk 2 bk 0, (n k ) (5.2.2)
称之为递归关系(5.2.1)的特征方程，其根称为递 归关系式的特征根。
(n 2)
2.特征根有重根
定理5.2.4 若递归关系(5.2.1)的特征方程(5.2.2)有一 个m重根q，则qn,nqn,…,nm-1qn均为(5.2.1)的解。
定理5.2.5 设q1,q2,…,qt分别为特征方程(5.2.2)的相 异的m1,m2,…,mt重根,且
m
i 1
t
i
k,
mi
则递归关系(5.2.1)的通解为
an cij n q .
i 1 j 1 j 1 n i
t
an 2an 1 an 2 , 例4 求解递归关系 a 2, a 3. 2 1
(n 3)
例5 求解递归关系
an an1 3an2 5an3 2an4 , a0 1, a1 0, a2 1, a3 2.
特征方程的根与递归关系的解之间的关系：
1.特征根无重根 定理5.2.1 若q ≠0, an=qn为递归关系(5.2.1)的解当 且仅当q为特征方程(5.2.2)的根。 定义5.2.3 称式 a0 h0 , a1 h1 , ,
ak 1 hk 1 ,
(5.2.1)
为递归关系(5.2.1)的初值条件。
第五章 递推关系及其解法
§5.1 递归关系的建立
----在计算机科学特别是算法分析中有广泛的应用 定义5.1.1 设{a0,a1,a2,…,an,…}为一序列,把该序列 中an的与它前面的几个ai关(0≤i≤n-1)联起来的方 程称为一个递归关系.
例1(“Hanoi塔”问题)：这是个组合数学中的著名问

定理5.2.2 若q1,q2,…,qk为递归关系式(5.2.1)的特征 根，c1,c2,…,ck为任意常数，则
an c q c q c q ,
n 1 1 n 2 2 n k k
为递归关系(5.2.1)的解。

定义5.2.4 若对递归关系(5.2.1)的任意一个解an，都 存在一组常数c1,c2,…,ck使得