2018年高考数学(理)一轮复习第二章第5讲

第二章 基本初等函数、导数及其应用
第5讲 指数与指数函数
1．根式
(1)根式的概念 ①若___x_n＝__a___，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且 n∈N*. 式子__n_a_____叫做根式，这里__n___叫做根指数，__a__叫做被
开方数．
②a 的 n 次方根的表示：
xn＝a⇒x＝n an，当n为奇数且n∈N*，n>1时， x＝_±___a__，当n为偶数且n∈N*时.
角度二 解简单的指数方程或不等式 2．(2015·高考江苏卷)不等式 2x2－x<4 的解集为 ___{_x_|－__1_<_x_<_2_}_(_或__(_－__1_，__2_))_____． [解析] 因为 2x2－x<4，所以 2 x2－x <22， 所以 x2－x<2，即 x2－x－2<0，所以－1<x<2.
2．若函数 y＝21－x＋m 的图象不经过第一象限，求 m 的取值 范围．
[解] y＝12x－1＋m， 函数 y＝12x－1的图象如图所示，则要使 其图象不经过第一象限，则 m≤－2.
指数函数的性质及应用(高频考点) 指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专 家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现． 高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角 度： (1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质．
(2)函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个 单位后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得 到的，函数图象如图所示．
当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象有唯 一的交点，所以方程有一解．
若将本例(2)变为函数 y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则 k 的取值范围如何？
_(0_，__＋__∞__)_ ___增______
性
当 x＝0 时，__y_＝__1____
质 函数值 当 x<0 时，
变化规 ___y_>_1____； 当 x<0 时，___0_<_y_<_1__；当 x>0
律 当 x>0 时，
时，__y_>_1_____
__0_<_y_<_1___
1．辨明三个易误点 (1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则， 或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等． (2)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质与 a 的取值有关， 要特别注意区分 a>1 或 0<a<1. (3)在解形如 a2x＋b·ax＋c＝0 或 a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数 方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新 元”的范围．
有关指数函数性质的问题类型及解题策略 (1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值 (0 或 1)． (2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性， 要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函 数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函 数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助 “同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函 数相关的问题加以解决． [注意] 在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关 系不明确时，要分类讨论．
5.教材习题改编 若指数函数 y＝(a2－1)x 在(－∞，＋∞)上为 减函数，则实数 a 的取值范围是_(_－___2_，__－__1_)_∪__(1_，____2_)___．
[解析] 由题意知 0<a2－1<1，即 1<a2<2， 得－ 2<a<－1 或 1<a< 2.
指数幂的运算 [典例引领] 化简下列各式： (1)0.027－13－17－2＋27912－( 2－1)0； (2)56a13b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23b－3)12· ab.
2．指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点： (1，a)，(0，1)，－1，1a.
1.教材习题改编 有下列四个式子：
① 3 （－8）3＝－8；② （－10）2＝－10；
③ 4 （3－π）4＝3－π；④2 017 （a－b）2 017＝a－b.
[解] 由本例(2)作出的函数 y＝|3x－1|的图象知，其在 (－∞，0]上单调递减，所以 k∈(－∞，0]．
指数函数的图象及应用 (1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函 数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象． (2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指 数型函数图象数形结合求解．
D．f(x)＝3x
[解析] 根据各选项知，选项 C、D 中的指数函数满足 f(x＋y)
＝f(x)·f(y)．又 f(x)＝3x 是增函数，所以 D 正确．
3．(2017·东北三校联考)函数 f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒
过点 A，下列函数中图象不经过点 A 的是( A )
A．y＝ 1－x
3．指数函数的图象及性质
函数
y＝ax(a>0，且 a≠1)
0<a<1
a>1
图象
在 x 轴__上__方____，过定点___(0_，___1_) _ 图象特
当 x 逐渐增大时，当 x 逐渐增大时，图象逐渐上 征
图象逐渐下降 升
函数
y＝ax(a>0，且 a≠1)
定义域
__R______
值域 单调性 ___减______
[通关练习] 1.函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是( D ) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 [解析] 由 f(x)＝ax－b 的图象可以观察出函数 f(x)＝ax－b 在定义 域上单调递减，所以 0<a<1.函数 f(x)＝ax－b 的图象是在 f(x)＝ax 的基础上向左平移得到的，所以 b<0.
[解] (1)原式＝0.32＋1227513－
25 9
＝1900＋53－53＝1900.
(2)原式＝2（140aab32b－－132）32
3 －32
＝16a23b－32＝85. 10a2b
指数函数的图象及应用 [典例引领] (1)函数 f(x)＝21－x 的大致图象为( A )
(2)若方程|3x－1|＝k 有一解，则 k 的取值范围为 _{_0_}_∪__[1_，___＋__∞__) __． 【解析】 (1)函数 f(x)＝21－x＝2×12x，单调递减且过点 (0，2)，选项 A 中的图象符合要求．
[题点通关]
角度一 比较指数幂的大小
1．下列各式比较大小正确的是( B )
A．1.72.5>1.73
B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2
D．1.70.3<0.93.1
[解析] A 中，因为函数 y＝1.7x 在 R 上是增函数，2.5<3，所 以 1.72.5<1.73. B 中，因为 y＝0.6x 在 R 上是减函数，－1<2， 所以 0.6－1>0.62. C 中，因为 0.8－1＝1.25， 所以问题转化为比较 1.250.1 与 1.250.2 的大小． 因为 y＝1.25x 在 R 上是增函数，0.1<0.2， 所以 1.250.1<1.250.2，即 0.8－0.1<1.250.2. D 中，因为 1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以 1.70.3>0.93.1.
③若 f(x)的值域是(0，＋∞)，求 a 的值．
【解】 (1) 把 b 化简为 b＝1243，而函数 y＝12x在 R 上为减 函数，43>23>13，所以1243<1223<1213，即 b<a<c. (2)①当 a＝－1 时，f(x)＝13－x2－4x＋3， 令 g(x)＝－x2－4x＋3， 由于 g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递 减，而 y＝13t在 R 上单调递减，所以 f(x)在(－∞，－2)上单 调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数 f(x)的单调递增 区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
②令 g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝13g（x）， 由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值－1，
a＞0， 因此必有3a－ a 4＝－1，解得 a＝1， 即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.
③令 g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝13g（x）， 由指数函数的性质知， 要使 y＝13g（x）的值域为(0，＋∞)． 应使 g(x)＝ax2－4x＋3 的值域为 R， 因此只能 a＝0.(因为若 a≠0，则 g(x)为二次函数，其值域不 可能为 R) 故 f(x)的值域为(0，＋∞)时，a 的值为 0.
n∈N*，且 n>1)；
③ 0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 ___0___ ， 0 的 负 分 数 指 数 幂 __无__意__义___．
(2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝__a_r＋_s___ (a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝__a_rs_____ (a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝___a_rb_r__ (a>0，b>0，r∈Q)．
[典例引领]
(1)已知 a＝1223，b＝2－43，c＝1213，则下列关系式中正 确的是( B )
A．c<a<b
B．b<a<c
C．a<c<b
D．a<b<c
(2)已知函数 f(x)＝13ax2－4x＋3. ①若 a＝－1，求 f(x)的单调区间；
②若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；
角度三 研究指数型函数的性质 3．若函数 f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，且 f(x)在 [m，＋∞)上单调递增，则实数 m 的最小值等于___1_____． [解析] 因为 f(x)＝2|x－a|，所以 f(x)的图象关于 x＝a 对称．又 由 f(1＋x)＝f(1－x)，知 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，故 a ＝1，且 f(x)的增区间是[1，＋∞)，由函数 f(x)在[m，＋∞) 上单调递增，知[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以 m≥1，故 m 的 最小值为 1.
其中正确的个数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①④正确， （－10）2＝|－10|＝10，②错误；
4 （3－π）4＝|3－π|＝－(3－π)＝π－3，③错误，故选 B.
2．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是
(D)
1
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝12x
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N*，且 n>1)．
②n
a，n为奇数， an＝__|_a_| _＝a－，aa，≥a0<，0，
n为偶数.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：amn＝__n__a_m___ 1
(a>0，m，1n∈N*，且
n>1)；
②负分数指数幂：a－mn＝_____a_mn___＝___n__a_m___ (a>0，m，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【解】 (1)原式＝1 20700－13－72＋29512－1 ＝130－49＋53－1＝－45. (2)原式＝－52a－16b－3÷(2a13b－32)·a12b12 ＝－54a－12b－32·a12b12＝－54b－1＝－45b.
化简下列各式： (1)(0.027)23＋12275－13－2790.5； (2)14－12·（0.1）（－1·4a（b－a13）·3b－3）12.
B．y＝|x－2|
C．y＝2x－1
D．y＝log2(2x)
[解析] 由 f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(1，1)，又
0＝ 1－1，知(1，1)不在 y＝ 1－x的图象上．
4 ． (2017·皖 北 协 作 区 联 考 ) 函 数 f(x) ＝ 1－ex 的 值 域 为 __[_0_，__1_) _． [解析] 由 1－ex≥0，ex≤1， 故函数 f(x)的定义域为{x|x≤0}． 所以 0<ex≤1，－1≤－ex<0，0≤1－ex<1， 函数 f(x)的值域为[0，1)．