有限元分析课后习题
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D1 = D3 = D5 = D6 = 0
这就是说，第一、第二、第三和第五行实际上对求解矩阵方程无影响，因此，我们只需删除相应的行和列，有
凝聚了的整体矩阵就变成了2x2矩阵，如下所示
很容易证明上述凝聚的刚度矩阵是对称正定的。施加约束后的有限元方程为
KD = F
式中
且力向量F给出为
注意到节点1只作用一个与D2方向相反的向下的力，式(6-9)实际上等价于包含了两个未知量D2和D4的两个联立方程如下
第五步：求解有限元矩阵方程
为了得到D2和D4的解，求解方程组，得到
D2 =1.0121×10-6 m
D4 =1.7367×10-6 m
我们也能得到
计算单元应力:
5.1同桁架单元推导公式一样
5.2在划分网格时，一般应该把受力的点划为节点，如果受力点不是节点，一般把力看成一个沿着单元分布的力。节点力p，能这样描述
4.3结果类似于4.2.
4.4
4.5
4.6很明显这个结构师对称的，因此，我们可以仅仅分析结构的一半如下图所示，
简化后，各单元的尺寸参数如下表所示。
单元号
横截面积, Ae m2
长度le m
杨氏模量E N/m2
1
0.005
0.5
69 x 109
2
0.01
1.118
69 x 109
第一步：计算各单元的的方向余弦
9.2没有区别。这是因为形函数和节点总数完全一样。如果六边形用的是线性函数，结果可能不同因为四边形有恒定的应变矩阵，也就是它不如六面体单元准确。
9.3五边形单元如下所示，为了解该单元的方程，我们可以通过从多项式构建形函数。拎一个简单的方法是该单元类型由两个四边形单元组成。
11.1结构的几何形状、材料性质和支撑条件都是对称的。外载荷不一定是轴对称的。
11.2Answer:letL=a+b
Clamped symmetric beam structure
Clamped anti-symmetric beam structure
知道了整体坐标系中的节点坐标后，第一步就是考虑单元对于整体坐标系的方向，由于该问题是一个平面问题，因此只需要计算出lij和mij，各节点在整体坐标系中的坐标和个单元的方向余弦如下表所示：
单元编号
对应的整体节点
整体坐标系中的坐标
方向余弦
局部节点1 (i)
局部节点2 (j)
Xi, Yi
Xj, Yj
lij
当轴向变形和横向变形产生耦合时，即变形比较大时，叠加方法将失效变形。当变形比较大时，轴向变形能引起横向变行，反过来横向变形也能引起轴向变形，因此叠加方法将会失效。
6.2不用，因为对于平面框架，局部坐标系和整体坐标系Z轴同向。
6.3问题分析
该结构明显是轴对称结构，因此我们仅用一半结构如图所示
各参数如下表所示：.
因此，利用公式得到力向量
5.3为了得到力向量，将该结构分成两个单元，分析作用在每一个单元上的外力和力矩，如 下图所示
·
没有分散的力和力矩，因此1单元的力向量为
同样地单元2,
为了得到全局力向量，力和力矩叠加得到
6.1框架单元具有桁架单元和两单元的性质，框架单元不仅有桁架单元轴向的变形，还具有梁单元在x-y平面内的横向变形和绕着z轴的旋转。由于变形比较小，所以轴向变形不会影响横向变形，这时利用叠加方法就可以构造框架单元的方程。
KD = F
(6-11)
这里
(6-12)
力向量为
(6-13)
展开得
(6-14)
第五步：求解有限元矩阵方程
为了得到D2和D5的解，求解方程组，得到
D2 =1.0121×10-6 m
D5=1.7367×10-6 m
我们也能得到
7.1虽然单元的厚度是不均匀的，但是在2D平面内，厚度是线性的。这样我们就能利用节点位置处的厚度和线性形函数的性质插补得到任何点处的厚度。利用形函数的德尔塔函数性质，形函数在自身节点处应取单位值1，而在其他节点处为0.这是德尔塔函数的性质，作为插入函数，该形函数的应用也是可用的，因此单元厚度能写成：
利用公式
得到
所以
7.3有刚度矩阵的计算公式，我们看到被积函数为hBTcB.应变矩阵B是和的线性函数，厚度能够利用线性形函数和节点处的厚度值得到。因此，在每一个方向上，被积函数是一个立方函数，所以在每个方向上有两个高斯积分点就足以计算出含有最高次数为3次的多项式刚度矩阵。因此，一个矩形单元，4个高斯节点就足够了。
这里Ni和hi分别为形函数和节点处的节点厚度。
刚度矩阵能写成
带入，得到
形函数能够表示成面坐标的形式。由于面坐标也具有德尔塔函数性质，利用数学方法
(1-3)
得到
所以
7.2由于单元的厚度变化是线性的，厚度能利用形函数插值方法得到，因此
这里Ni和hi分别为形函数和节点处的节点厚度。
单元质量矩阵能够写成
带入形函数得到
将三个节点的自由度组合在一起，形成9x9矩阵，如下所示：
第四步：施加边界条件
施加边界条件后，这种情况下，
D1 = D3 = D4 = D6 = D7 = D8 = D9 = 0
因此对应的行和列对方程的解没有任何影响，所以我们去除相应的行和列。
(3-9)
压缩后的矩阵如下所示：:
(6-10)
容易判定刚度矩阵是正定的，约束方程为
方程的右边为
很显然方程的左右两边相等。
3.6再生性和连续性
形函数是线性无关的
德尔塔函数性质
单位分解性
线性场再生性
3.7答案很明显
3.8为了把所有的单元方程组合起来构成整体的系统方程，必须对每个单元进行坐标变换。
3.9组装的过程就是把与某个节点相连的所有单元的贡献相加。
4.1桁架构件通过销钉或铰链（而不是焊接）连接在一起，因此构件之间值传递力（而不是力矩）。因此，一个桁架结构仅仅有轴向变形，我们只分析轴向变形，我们可以沿杆单元的轴向取为局部坐标的x轴，在单元的每个节点处只有一个自由度，即轴向位移。
4.2局部坐标系DOF=2，整体坐标系DOF=4.
在局部坐标系中，桁架单元仅仅考虑轴向变形，因此一个节点仅有一个自由度。整体坐标系用于描述桁架结构的所有单元，不能保证桁架结构的所有单元坐标轴总是沿着轴向变形的方向，因此，一个节点的自由度需要两个位移来描述，因为一个节点能在两个方向上有位移，所以在整体坐标系中，一个节点有两个自由度。
3.1“强”形式相关的场变量要求强的连续性。定义这些场变量的所有函数必须可微，而可微的次数必须等于存在于强形式的系统方程中的偏微分方程的次数。“弱”形式通常是积分形式，且对场变量要求较弱的连续性，弱形式通常能得到更精确的解。
3.2 (a)协调性方程
（b）本质边界条件或运动边界条件
（c）在初始刻和末时刻的条件
mij
1
1
2
0, -0.5
0, 0
0
1
2
2
3
0,
0.5, 1.0
0.4472
0.8945
由于节点1和2仅沿垂直方向运且外力也是竖直的，所以节点2相对于节点2的位移为
杆1的应力为
第二步：计算整体坐标系中的单元矩阵
计算出方向余弦后，就可以求出整体坐标系中的单元矩阵，注意到该问题是一个静力学问题，因此不需要计算单元质量矩阵，只需要求刚度矩阵，局部坐标系中的单元刚度矩阵是2x2的矩阵，因为每个单元总的自由度为2。但是在变换到整体坐标系时，每个单元的自由度数就变为4，因此，整体坐标系中的刚度矩阵就变成了4x4矩阵，刚度矩阵如下所示：
3.3（a）域的离散
（b）位移插值
（c）构造形函数
（d）坐标变换
（e）整体有限元方程的组装
（f）位移约束的施加
（g）求解整体有限元方程
3.4理论上不用必须离散所求解问题的区域。把问题划分成单元的目的是更容易地假设位移场的模式。
3.5证明：
（1）方程的左边为
方程的右边为
很显然方程的左右两边相等。
（2）方程的左边为
第三步：整体有限元矩阵的组装
求出了单元矩阵后，下一步就是把单元矩阵组装为整体有限元矩阵，因为结构的整体自由度为6，所以整体刚度矩阵为6x6矩阵，吧与某一节点相连的所有单元对该节点的贡献加起来就可以完成对该节点的组装，最后得到整体刚度矩阵为
第四步，施加边界条件
施加边界条件通常能见效整体矩阵的大小，在这里，如果约束D1, D2, D3和D5，于是有
厚度函数能够写成
厚度是的和线性函数，NTN的次数为2，雅克比行列式的次数为2，因此，整个被积函数的次数为5，我们能用3x3个高斯点得到准确解。
单元体积能够表示成
所以被积函数次数为3，利用2x2个高斯点就可得到准确解
形函数是和的双线性函数，，将双线性函数进行微分并除以其元素也就是双线性函数饿雅可比矩阵就可以求出应变矩阵中的元素，因此被积函数 是不可能用多项式表示的分式函数，也就是说，利用高斯积分法不可能准确的计算出刚度矩阵。
单元
编号
横截面积,
Ae m2
长度
le m
杨氏模量
E N/m2
横截面积对z轴的二次矩, Iz m4
1
0.005
0.5
69 x 109
1.989 x 10-6
2
0.01
1.118
69 x 109
7.958 x 10-6
第一步：计算单元的方向余弦
知道了节点在整体坐标系中的坐标后，第一步就是要得到局部坐标系与整体坐标系之间的关系，这一关系能通过求方向余弦得到，各节点坐标及方向余弦如下表所示：
杆1的应力为
第二步：计算整体坐标系中的单元矩阵
计算出方向余弦后，就可以求出整体坐标系中的单元矩阵，注意到该问题是一个静力学问题，因此不需要计算单元质量矩阵，只需要求刚度矩阵，局部坐标系中的单元刚度矩阵是6x6的矩阵，因此局部坐标系中刚度矩阵如下所示：:
利用坐标变换，得到整体坐标系中的刚度矩阵
第三步：组装整体矩阵
有质量矩阵的计算公式，我们看到被积函数为hNTN。厚度能够利用线性形函数和节点处的厚度值得到。因此，在每一个方向上，被积函数是一个立方函数，所以在每个方向上有两个高斯积分点就足以计算出含有最高次数为3次的多项式质量矩阵。因此，一个矩形单元，4个高斯节点就足够了。
7.4线性四边形单元的质量矩阵能够写成
7.5利用拉线法构造，线不一定全是直线，也可以是曲线。
8.1对于一个厚板的能量方程表达为
如果板不是匀质的而是分层的，沿Z方向的积分将会考虑
例如，一个四层对称等厚度的板，我们应该有
假设该板为瑞斯那板，得到刚度矩阵为
同样的得到质量矩阵，能量为
(1-5)
(1-6)
因此质量矩阵为
9.1可以，3D实体单元可以用于解决二维实体单元平面应力和平面应变的问题，因为2D单元是3D单元的特例，一些特殊的3D单元我们可以简化为2D单元。例如，如果结构一个方向厚度远小于其他两个方向的厚度，可以简化为平面应力问题。当然3D单元也能解决考虑所有的3D问题
单元
编号
对应的
整百度文库节点
整体坐标系
中的坐标
方向余弦
局部节点1(i)
局部节点2(j)
Xi, Yi
Xj, Yj
lx
mx
ly
my
1
1
2
0, -0.5
0, 0
0
1
-1
0
2
2
3
0,0
0.5, 1.0
0.447
0.894
-0.894
0.447
由于节点1和2仅沿垂直方向运且外力也是竖直的，所以节点2相对于节点2的位移为
这就是说，第一、第二、第三和第五行实际上对求解矩阵方程无影响，因此，我们只需删除相应的行和列，有
凝聚了的整体矩阵就变成了2x2矩阵，如下所示
很容易证明上述凝聚的刚度矩阵是对称正定的。施加约束后的有限元方程为
KD = F
式中
且力向量F给出为
注意到节点1只作用一个与D2方向相反的向下的力，式(6-9)实际上等价于包含了两个未知量D2和D4的两个联立方程如下
第五步：求解有限元矩阵方程
为了得到D2和D4的解，求解方程组，得到
D2 =1.0121×10-6 m
D4 =1.7367×10-6 m
我们也能得到
计算单元应力:
5.1同桁架单元推导公式一样
5.2在划分网格时，一般应该把受力的点划为节点，如果受力点不是节点，一般把力看成一个沿着单元分布的力。节点力p，能这样描述
4.3结果类似于4.2.
4.4
4.5
4.6很明显这个结构师对称的，因此，我们可以仅仅分析结构的一半如下图所示，
简化后，各单元的尺寸参数如下表所示。
单元号
横截面积, Ae m2
长度le m
杨氏模量E N/m2
1
0.005
0.5
69 x 109
2
0.01
1.118
69 x 109
第一步：计算各单元的的方向余弦
9.2没有区别。这是因为形函数和节点总数完全一样。如果六边形用的是线性函数，结果可能不同因为四边形有恒定的应变矩阵，也就是它不如六面体单元准确。
9.3五边形单元如下所示，为了解该单元的方程，我们可以通过从多项式构建形函数。拎一个简单的方法是该单元类型由两个四边形单元组成。
11.1结构的几何形状、材料性质和支撑条件都是对称的。外载荷不一定是轴对称的。
11.2Answer:letL=a+b
Clamped symmetric beam structure
Clamped anti-symmetric beam structure
知道了整体坐标系中的节点坐标后，第一步就是考虑单元对于整体坐标系的方向，由于该问题是一个平面问题，因此只需要计算出lij和mij，各节点在整体坐标系中的坐标和个单元的方向余弦如下表所示：
单元编号
对应的整体节点
整体坐标系中的坐标
方向余弦
局部节点1 (i)
局部节点2 (j)
Xi, Yi
Xj, Yj
lij
当轴向变形和横向变形产生耦合时，即变形比较大时，叠加方法将失效变形。当变形比较大时，轴向变形能引起横向变行，反过来横向变形也能引起轴向变形，因此叠加方法将会失效。
6.2不用，因为对于平面框架，局部坐标系和整体坐标系Z轴同向。
6.3问题分析
该结构明显是轴对称结构，因此我们仅用一半结构如图所示
各参数如下表所示：.
因此，利用公式得到力向量
5.3为了得到力向量，将该结构分成两个单元，分析作用在每一个单元上的外力和力矩，如 下图所示
·
没有分散的力和力矩，因此1单元的力向量为
同样地单元2,
为了得到全局力向量，力和力矩叠加得到
6.1框架单元具有桁架单元和两单元的性质，框架单元不仅有桁架单元轴向的变形，还具有梁单元在x-y平面内的横向变形和绕着z轴的旋转。由于变形比较小，所以轴向变形不会影响横向变形，这时利用叠加方法就可以构造框架单元的方程。
KD = F
(6-11)
这里
(6-12)
力向量为
(6-13)
展开得
(6-14)
第五步：求解有限元矩阵方程
为了得到D2和D5的解，求解方程组，得到
D2 =1.0121×10-6 m
D5=1.7367×10-6 m
我们也能得到
7.1虽然单元的厚度是不均匀的，但是在2D平面内，厚度是线性的。这样我们就能利用节点位置处的厚度和线性形函数的性质插补得到任何点处的厚度。利用形函数的德尔塔函数性质，形函数在自身节点处应取单位值1，而在其他节点处为0.这是德尔塔函数的性质，作为插入函数，该形函数的应用也是可用的，因此单元厚度能写成：
利用公式
得到
所以
7.3有刚度矩阵的计算公式，我们看到被积函数为hBTcB.应变矩阵B是和的线性函数，厚度能够利用线性形函数和节点处的厚度值得到。因此，在每一个方向上，被积函数是一个立方函数，所以在每个方向上有两个高斯积分点就足以计算出含有最高次数为3次的多项式刚度矩阵。因此，一个矩形单元，4个高斯节点就足够了。
这里Ni和hi分别为形函数和节点处的节点厚度。
刚度矩阵能写成
带入，得到
形函数能够表示成面坐标的形式。由于面坐标也具有德尔塔函数性质，利用数学方法
(1-3)
得到
所以
7.2由于单元的厚度变化是线性的，厚度能利用形函数插值方法得到，因此
这里Ni和hi分别为形函数和节点处的节点厚度。
单元质量矩阵能够写成
带入形函数得到
将三个节点的自由度组合在一起，形成9x9矩阵，如下所示：
第四步：施加边界条件
施加边界条件后，这种情况下，
D1 = D3 = D4 = D6 = D7 = D8 = D9 = 0
因此对应的行和列对方程的解没有任何影响，所以我们去除相应的行和列。
(3-9)
压缩后的矩阵如下所示：:
(6-10)
容易判定刚度矩阵是正定的，约束方程为
方程的右边为
很显然方程的左右两边相等。
3.6再生性和连续性
形函数是线性无关的
德尔塔函数性质
单位分解性
线性场再生性
3.7答案很明显
3.8为了把所有的单元方程组合起来构成整体的系统方程，必须对每个单元进行坐标变换。
3.9组装的过程就是把与某个节点相连的所有单元的贡献相加。
4.1桁架构件通过销钉或铰链（而不是焊接）连接在一起，因此构件之间值传递力（而不是力矩）。因此，一个桁架结构仅仅有轴向变形，我们只分析轴向变形，我们可以沿杆单元的轴向取为局部坐标的x轴，在单元的每个节点处只有一个自由度，即轴向位移。
4.2局部坐标系DOF=2，整体坐标系DOF=4.
在局部坐标系中，桁架单元仅仅考虑轴向变形，因此一个节点仅有一个自由度。整体坐标系用于描述桁架结构的所有单元，不能保证桁架结构的所有单元坐标轴总是沿着轴向变形的方向，因此，一个节点的自由度需要两个位移来描述，因为一个节点能在两个方向上有位移，所以在整体坐标系中，一个节点有两个自由度。
3.1“强”形式相关的场变量要求强的连续性。定义这些场变量的所有函数必须可微，而可微的次数必须等于存在于强形式的系统方程中的偏微分方程的次数。“弱”形式通常是积分形式，且对场变量要求较弱的连续性，弱形式通常能得到更精确的解。
3.2 (a)协调性方程
（b）本质边界条件或运动边界条件
（c）在初始刻和末时刻的条件
mij
1
1
2
0, -0.5
0, 0
0
1
2
2
3
0,
0.5, 1.0
0.4472
0.8945
由于节点1和2仅沿垂直方向运且外力也是竖直的，所以节点2相对于节点2的位移为
杆1的应力为
第二步：计算整体坐标系中的单元矩阵
计算出方向余弦后，就可以求出整体坐标系中的单元矩阵，注意到该问题是一个静力学问题，因此不需要计算单元质量矩阵，只需要求刚度矩阵，局部坐标系中的单元刚度矩阵是2x2的矩阵，因为每个单元总的自由度为2。但是在变换到整体坐标系时，每个单元的自由度数就变为4，因此，整体坐标系中的刚度矩阵就变成了4x4矩阵，刚度矩阵如下所示：
3.3（a）域的离散
（b）位移插值
（c）构造形函数
（d）坐标变换
（e）整体有限元方程的组装
（f）位移约束的施加
（g）求解整体有限元方程
3.4理论上不用必须离散所求解问题的区域。把问题划分成单元的目的是更容易地假设位移场的模式。
3.5证明：
（1）方程的左边为
方程的右边为
很显然方程的左右两边相等。
（2）方程的左边为
第三步：整体有限元矩阵的组装
求出了单元矩阵后，下一步就是把单元矩阵组装为整体有限元矩阵，因为结构的整体自由度为6，所以整体刚度矩阵为6x6矩阵，吧与某一节点相连的所有单元对该节点的贡献加起来就可以完成对该节点的组装，最后得到整体刚度矩阵为
第四步，施加边界条件
施加边界条件通常能见效整体矩阵的大小，在这里，如果约束D1, D2, D3和D5，于是有
厚度函数能够写成
厚度是的和线性函数，NTN的次数为2，雅克比行列式的次数为2，因此，整个被积函数的次数为5，我们能用3x3个高斯点得到准确解。
单元体积能够表示成
所以被积函数次数为3，利用2x2个高斯点就可得到准确解
形函数是和的双线性函数，，将双线性函数进行微分并除以其元素也就是双线性函数饿雅可比矩阵就可以求出应变矩阵中的元素，因此被积函数 是不可能用多项式表示的分式函数，也就是说，利用高斯积分法不可能准确的计算出刚度矩阵。
单元
编号
横截面积,
Ae m2
长度
le m
杨氏模量
E N/m2
横截面积对z轴的二次矩, Iz m4
1
0.005
0.5
69 x 109
1.989 x 10-6
2
0.01
1.118
69 x 109
7.958 x 10-6
第一步：计算单元的方向余弦
知道了节点在整体坐标系中的坐标后，第一步就是要得到局部坐标系与整体坐标系之间的关系，这一关系能通过求方向余弦得到，各节点坐标及方向余弦如下表所示：
杆1的应力为
第二步：计算整体坐标系中的单元矩阵
计算出方向余弦后，就可以求出整体坐标系中的单元矩阵，注意到该问题是一个静力学问题，因此不需要计算单元质量矩阵，只需要求刚度矩阵，局部坐标系中的单元刚度矩阵是6x6的矩阵，因此局部坐标系中刚度矩阵如下所示：:
利用坐标变换，得到整体坐标系中的刚度矩阵
第三步：组装整体矩阵
有质量矩阵的计算公式，我们看到被积函数为hNTN。厚度能够利用线性形函数和节点处的厚度值得到。因此，在每一个方向上，被积函数是一个立方函数，所以在每个方向上有两个高斯积分点就足以计算出含有最高次数为3次的多项式质量矩阵。因此，一个矩形单元，4个高斯节点就足够了。
7.4线性四边形单元的质量矩阵能够写成
7.5利用拉线法构造，线不一定全是直线，也可以是曲线。
8.1对于一个厚板的能量方程表达为
如果板不是匀质的而是分层的，沿Z方向的积分将会考虑
例如，一个四层对称等厚度的板，我们应该有
假设该板为瑞斯那板，得到刚度矩阵为
同样的得到质量矩阵，能量为
(1-5)
(1-6)
因此质量矩阵为
9.1可以，3D实体单元可以用于解决二维实体单元平面应力和平面应变的问题，因为2D单元是3D单元的特例，一些特殊的3D单元我们可以简化为2D单元。例如，如果结构一个方向厚度远小于其他两个方向的厚度，可以简化为平面应力问题。当然3D单元也能解决考虑所有的3D问题
单元
编号
对应的
整百度文库节点
整体坐标系
中的坐标
方向余弦
局部节点1(i)
局部节点2(j)
Xi, Yi
Xj, Yj
lx
mx
ly
my
1
1
2
0, -0.5
0, 0
0
1
-1
0
2
2
3
0,0
0.5, 1.0
0.447
0.894
-0.894
0.447
由于节点1和2仅沿垂直方向运且外力也是竖直的，所以节点2相对于节点2的位移为