初中数学规律探究问题题型梳理

初中数学规律探究题型

“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。因此规律探究类问题一直成为命题的热点。

题型一、一阶等差规律

一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。

1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。

2、首差法通项公式（通法）

（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个数记为n a （2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为d ，即=d 后项—前项 （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：d n a a n )1(1-+=

（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点),(n a n ，设通项公式为：b kn a n +=，代入前2组数据，通

过解一次函数方法，即可得到通项公式；

例1、如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆

第30个“小屋子”要（ ）枚棋子．

【解析】用一阶等差实质进行分析。根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个． 第2个图案中棋子的个数5611+=个．⋯．

每个图形都比前一个图形多用6个．∴第30个图案中棋子的个数为5296179+⨯=个．答案：179

例2、观察下列数：

14，39，516，725，9

36

⋯，它们按一定规律排列，那么这一组数第n 个数是( ) A ．221n n - B ．2

21

n n + C ．221(1)n n ++ D ．

221(1)n n -+ 【解析】法一：观察分析。

212114(11)⨯-=+，232219(21)⨯-=+，2

523116(31)⨯-=+，2724125(41)⨯-=+，2925136(51)⨯-=+，⋯ 由上可知，第n 个数是

2

21

(1)n n -+．故选：D ．

法二：赋值思想。令1=n ，A ．

1112122=-=-n n ，∴A 错；B ．31

1

2122

=+=+n n ，∴B 错； C ．

()434121122=+=++n n ，∴C 对； D ．()

41

4121122

=-=+-n n ，∴D 错。 例3、给定一列按规律排列的数：1，

34

，59，7

16，⋯，则第(1)n n 个数为( ) A ．221

n n

- B ．22n n

C ．

221n n - D ．2

21

n n + 【解答】由已知观察，分母是自然数1，2，3，⋯，n 的平方，分子是正奇数，则第n 个数是2

21

n n -，选C 例4、已知下列一组数：1，

34，59，716，9

25，⋯；用代数式表示第n 个数，则第n 个数是( ) A ．

21

32

n n -- B ．

221n n - C ．2132n n +- D ．

2

21n n + 【解答】221111⨯-=

；2322142⨯-=；2523193⨯-=；∴第n 个数是：2

21

n n -故选：B ．

例5、按一定规律排列的一列数依次是

23、1、87、119

、1411、17

13⋯按此规律，这列数中第100个数是( )

A ．

299

199

B ．

299201 C ．301201 D ．303

203

【解答】由

23、55、87、119

、1411、1713、⋯可得第n 个数为31

21n n -+．100n =，∴第100个数为：

299201 例6、如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有

11根小棒，⋯，则第n 个图案中有 根小棒．

【解答】第1个图案中有516+=根小棒，第2个图案中有252111⨯+-=根小棒，

第3个图案中有353216⨯+-=根小棒，⋯

∴第n 个图案中有5(1)51n n n n +--=+根小棒．故答案为：51n +．

题型二、二阶等差规律探究

再差为常数涉及二次项，通过观察数据很难观察出通项公式是多少，需要利用一定的数据分析方法转化。

1、再差法通项公式

（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个记为n a

（2）对数据求差，第一次做差的第一个结果记为c ，二次差的结果为一个固定常数，记为d ； （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

-+

-+=)2(2)1(1n d c n a a n （4）若记不住公式，可设为：c bn kn a n ++=2，代入开始的3组数据，即可得到通项公式。

例1、如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形

需要8个黑色棋子，⋯，按照这样的规律摆下去，第(n n 是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是 （用含n 的代数式表示）．

【解答】结合图形，发现：第1个图形中的棋子数是233133⨯-=⨯=（个)；第2个图形中的棋子数是

344248⨯-=⨯=（个)；第3个图形中的棋子数是4553515⨯-=⨯=（个)，以此类推，发现：

第(n n 是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是2(2)2n n n n +=+（个)．

例2、观察下列砌钢管的横截面图，则第n 个图的钢管数是 （用含n 的式子表示）

【解答】第一个图中钢管数为123+=；第二个图中钢管数为2349++=；

第三个图中钢管数为345618+++=；第四个图中钢管数为4567830++++=，

依此类推，第n 个图中钢管数为2233

(1)(2)2(2)2222n n n n n n n n n n n ++++++⋯+=+⨯+

=+， 故答案为：233

22

n n +．