初中数学规律探究问题题型梳理

初中数学规律探究题型
“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。

这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。

不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。

因此规律探究类问题一直成为命题的热点。

题型一、一阶等差规律
一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。

主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。

这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。

1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。

2、首差法通项公式（通法）
（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个数记为n a （2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为d ，即=d 后项—前项 （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：d n a a n )1(1-+=
（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点),(n a n ，设通项公式为：b kn a n +=，代入前2组数据，通
过解一次函数方法，即可得到通项公式；
例1、如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆
第30个“小屋子”要（ ）枚棋子．
【解析】用一阶等差实质进行分析。

根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个． 第2个图案中棋子的个数5611+=个．⋯．
每个图形都比前一个图形多用6个．∴第30个图案中棋子的个数为5296179+⨯=个．答案：179
例2、观察下列数：
14，39，516，725，9
36
⋯，它们按一定规律排列，那么这一组数第n 个数是( ) A ．221n n - B ．2
21
n n + C ．221(1)n n ++ D ．
221(1)n n -+ 【解析】法一：观察分析。

212114(11)⨯-=+，232219(21)⨯-=+，2
523116(31)⨯-=+，2724125(41)⨯-=+，2925136(51)⨯-=+，⋯ 由上可知，第n 个数是
2
21
(1)n n -+．故选：D ．
法二：赋值思想。

令1=n ，A ．
1112122=-=-n n ，∴A 错；B ．31
1
2122
=+=+n n ，∴B 错； C ．
()434121122=+=++n n ，∴C 对； D ．()
41
4121122
=-=+-n n ，∴D 错。

例3、给定一列按规律排列的数：1，
34
，59，7
16，⋯，则第(1)n n 个数为( ) A ．221
n n
- B ．22n n
C ．
221n n - D ．2
21
n n + 【解答】由已知观察，分母是自然数1，2，3，⋯，n 的平方，分子是正奇数，则第n 个数是2
21
n n -，选C 例4、已知下列一组数：1，
34，59，716，9
25，⋯；用代数式表示第n 个数，则第n 个数是( ) A ．
21
32
n n -- B ．
221n n - C ．2132n n +- D ．
2
21n n + 【解答】221111⨯-=
；2322142⨯-=；2523193⨯-=；∴第n 个数是：2
21
n n -故选：B ．
例5、按一定规律排列的一列数依次是
23、1、87、119
、1411、17
13⋯按此规律，这列数中第100个数是( )
A ．
299
199
B ．
299201 C ．301201 D ．303
203
【解答】由
23、55、87、119
、1411、1713、⋯可得第n 个数为31
21n n -+．100n =，∴第100个数为：
299201 例6、如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有
11根小棒，⋯，则第n 个图案中有 根小棒．
【解答】第1个图案中有516+=根小棒，第2个图案中有252111⨯+-=根小棒，
第3个图案中有353216⨯+-=根小棒，⋯
∴第n 个图案中有5(1)51n n n n +--=+根小棒．故答案为：51n +．
题型二、二阶等差规律探究
再差为常数涉及二次项，通过观察数据很难观察出通项公式是多少，需要利用一定的数据分析方法转化。

1、再差法通项公式
（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个记为n a
（2）对数据求差，第一次做差的第一个结果记为c ，二次差的结果为一个固定常数，记为d ； （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
-+
-+=)2(2)1(1n d c n a a n （4）若记不住公式，可设为：c bn kn a n ++=2，代入开始的3组数据，即可得到通项公式。

例1、如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形
需要8个黑色棋子，⋯，按照这样的规律摆下去，第(n n 是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是 （用含n 的代数式表示）．
【解答】结合图形，发现：第1个图形中的棋子数是233133⨯-=⨯=（个)；第2个图形中的棋子数是
344248⨯-=⨯=（个)；第3个图形中的棋子数是4553515⨯-=⨯=（个)，以此类推，发现：
第(n n 是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是2(2)2n n n n +=+（个)．
例2、观察下列砌钢管的横截面图，则第n 个图的钢管数是 （用含n 的式子表示）
【解答】第一个图中钢管数为123+=；第二个图中钢管数为2349++=；
第三个图中钢管数为345618+++=；第四个图中钢管数为4567830++++=，
依此类推，第n 个图中钢管数为2233
(1)(2)2(2)2222n n n n n n n n n n n ++++++⋯+=+⨯+
=+， 故答案为：233
22
n n +．
例2、如图是由火柴棒搭成的几何图案， 则第n 个图案中有 根火柴棒。

（用含n 的代数式表示）
【解答】依题意得：1n =，根数为：421(11)=⨯⨯+；2n =，根数为：1222(21)=⨯⨯+；
3n =，根数为：2423(31)=⨯⨯+；⋯n n =时， 根数为：2(1)n n +．故答案为：2(1)n n +．
例3、照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ．
【解答】第1个图案只有1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共239=，其中黑色的有5块，
第3个图案有黑色与白色地砖共2525=，其中黑色的有13块，⋯ 第n 个图案有黑色与白色地砖共2(21)n -，其中黑色的有2
1[(21)1]2
n -+，
当14n =时，黑色地砖的块数有2
11[(2141)1]73036522
⨯-+=⨯=．故答案为：365．
例4、当n 等于1，2，3⋯时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n 个图形中
白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 ．（用n 表示，n 是正整数）
【解答】第1个图形：白色正方形1个，黑色正方形414⨯=个，共有145+=个；
第2个图形：白色正方形224=个，黑色正方形428⨯=个，共有4812+=个； 第3个图形：白色正方形239=个，黑色正方形4312⨯=个，共有91221+=个；⋯， 第n 个图形：白色正方形2n 个，黑色正方形4n 个，共有24n n +个．故答案为：24n n +．
题型三、商比法规律探究
通过作商得到一个固定的值，则可以套通项公式求出规律。

这部分内容亦可以通过观察题目所给的数据分析得到正确答案，运用观察法分析问题时需注意每一项符号之间的变化规律。

1、商比法规律探究
（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个记为n a （2）对这组数据两两之间做比，比为一个固定常数，记为d ； （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：11-=n n d a a
例1、按一定规律排列的单项式：a ，2a -，3a ，4a -，5a ，6a -，⋯
⋯，第n 个单项式是( ) A ．n a B ．n a - C ．1(1)n n a +- D ．(1)n n a -
【解析】
法一：观察分析。

a ，2a -，3a ，4a -，5a ，6a -，⋯
⋯，1(1)n n a +-．故选：C ． 法一：套公式。

可得数据
做比得常数a d -=，带入公式计算，得到：
n n n n a a a a ⨯-=-⨯=--11)1()(。

因为1)1(--n 与1)1(+-n 等价，所以选C
法三：赋值思想。

例2、如图，在Rt △1APB 中，30A ∠=︒，190APB ∠=︒，1
483
P B =，
C 在1AP 上，C
D AB ⊥于D ，且20CD =，过1P 作11PQ AB ⊥于1Q ，过1Q 作121Q P AP ⊥于2P ，过2P 作22P Q AB ⊥于2Q ，过2Q 作231Q P AP ⊥于3P ⋯⋯则有11PQ =________，若n n P Q 在线段CD 的右侧，则
n 的最大值为（ ）．
【解析】在Rt △11APQ 中，1BP =30A ∠=︒，11172PQ ∴=，
由30︒的直角三角形的性质可知，2211337244P Q PQ ==⨯，2
3322
3372()44PQ P Q ==⨯，⋯，1372()4n n n P Q -=⨯。

由题意13
72()204
n -⨯>，可得n 的最大值为5，故答案为5．
题型四、周期性探索规律
周期性变化规律是中学阶段的中点内容，该部分又主要涉及两类：图形的周期性变化及数字周期重复出现。

周期类型的关键是找准余数，用余数对照第一个周期内的变化。

题目求的量设为m ，周期记为T ，周期数为n ,余数记为d 。

则该类型的规律为：d n T m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷
例1、如图，在平面直角坐标系中，将ABO ∆绕点A 顺时针旋转到△11AB C 的位置，点B 、O 分别落在点1B 、
1C 处，点1B 在x 轴上，再将△11AB C 绕点1B 顺时针旋转到△112A B C 的位置，点2C 在x 轴上，将△112
A B C 绕点2C 顺时针旋转到△222A B C 的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去⋯．若点(3,0)A ，(0,4)B ，则点2014B 的横坐标为（ ） ．
【解析】
3AO =，4BO =，5AB ∴=，11235412OA AB B C ∴++=++=，
2B ∴的横坐标为：12，且224B C =，4B ∴的横坐标为：21224⨯=，
201421007÷=，∴点2014B 的横坐标为：10071212084⨯=．故答案为：12084．
例2、如图，边长为4的等边ABC ∆的顶点B 与原点重合，将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转60︒的1ACA ∆，将
四边形1ABCA 看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，则2017A 的坐标为（ ） ．
【解答】边长为4的等边ABC ∆的顶点B 与原点重合，4OA BC ∴==，60AOC ∠=︒，
如图，过点A 作AD x ⊥轴于D ，122BD DC BC ∴==
=，sin 4AD OA AOD =∠== (2A ∴
，．将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转60︒的1ACA ∆，∴四边形1AOCA 是平行四边形，
14AA OC ∴==，1//AA OC ，1(24A ∴+，，即1(6A ，；
将四边形1ABCA 看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，
2(242A ∴+⨯，，即2(10A ，；3(243A +⨯，，即3(14A ，；⋯
2017A ∴的坐标为(242017+⨯，，即2017(8070A ，；故答案为(8070，．
例3、如图，在直角坐标系中，已知点0P 的坐标为(1,0)，将线段0OP 按照逆时针方向旋转45︒，再将其长度
伸长为0OP 的2倍，得到线段1OP ；又将线段1OP 按照逆时针方向旋转45︒，长度伸长为1OP 的2倍，得
到线段2OP ；如此下去，得到线段3OP ，4OP ，⋯，(n
OP n 为正整数），则点8P 的坐标为（ ） ．
【解答】由题意可得，01OP =，1212OP =⨯=，22222OP =⨯=，23
3222OP =⨯=，
344222OP =⨯=，⋯788222256OP =⨯==，
每一次都旋转45︒，360458︒÷︒=，∴每8次变化为一个循环组， 8P ∴在4x 的正半轴上，8(256,0)P ，故答案为(256,0)．
例4、如图，动点P 从(0,3)出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形OABC 的边时反弹，反弹后的路径与
长方形的边的夹角为45︒，第1次碰到长方形边上的点的坐标为(3,0)，则第3次碰到长方形边上的点的坐标为（ ），第2015次碰到长方形边上的点的坐标为（ ） ．
【解答】根据题意，如下图示：
根据图形可知，第3次碰到长方形边上的点的坐标为(8,3)；通过上图观察可知，每碰撞6次回到始
点．201563355
÷=⋯，∴第2015次碰到长方形边上的点的坐标为(1,4)．故答案为：(8,3)，(1,4)．
题型五、列项求和型
列项型规律特征很明显，只要属于列项型规律，往往与之伴随的会有求和。

所以要抓住列项的核心目标是可以对复杂代数式进行化简的一种方法，考试时注意列项不要死记公式，关键要理解考点。

1、分式型列项
（1）记等式比例系数为k 。

则该类型的规律为：)1
1(1大分母
小分母大分母小分母-⨯=⨯k
（2）常见的列项有：111)1(1+-=+n n n n 、
n
n n n 1
11)1(1--=- 2、根式型列项
（1）根式列项的规律为：分母有理化过程.
()()
b
a b
a b a b
a b a b a b a b a --=
--=-+-=+2
2))(()
(1
（2）常见的列项有：
(
)()
n n n n n n n n n n n n n n -+=-
+-+=-+++-+=++111)
1)(1()
1(112
2
例1、阅读理解并回答问题． （1） 观察下列各式：
211121121-=⨯=，312132161-=⨯=，4131431121-=⨯=，5
141541201-=⨯=⋅⋅⋅ 请你猜想出上式的一般规律，用含x （x 表示整数）的等式表示
=+)
1(1
x x
（2）请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）
)
1(1
)1(11216121++-+⋅⋅⋅+++n n n n （3）请利用上述规律，解方程
1
1)1(1)1(1)1)(2(1)2)(3(1)4)(3(1+=++-+--+--+--x x x x x x x x x x x
【解析】（1）111
(1)1
x x x x =-++．
（2）
111112612(1)(1)
n n n n +++⋯++-+ 111111111112233411n n n n =-+-+-⋯+-+--+111n =-+1
n n =+． （3）
111111
(4)(3)(3)(2)(2)(1)(1)(1)1
x x x x x x x x x x x ++++=-------++ 通过（1）中的规律化简得方程：
111
411
x x x -=-++， 两边同时乘以(4)(1)x x -+，得1(4)4x x x +--=-解得9x =，经检验9x =是原方程的解．
例2、有一列按一定顺序和规律排列的数： 第一个数是211⨯； 第二个数是321⨯； 第三个数是4
31⨯；........ 对任何正整数n ，第n 个数与第1+n 个数的和等于)
2(2+n n ． （1）经过探究，我们发现：
2111211-=⨯ 、3121321-=⨯、4
131431-=⨯ 设这列数的第5个数为a ，那么6151->a ，6151-=a ，6
151-<a 哪个正确？请你直接写出正确结论； （2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n 个数（即用正整数n 表示第n 数），并且证明你的猜想满足“第n 个数与第1+n 个数的和等于)
2(2+n n ”； （3）设M 表示211，221，231，……，220161，这2016个数的和，即2
22220161312111+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=M ， 求证：2016
403120172016<<M ． 【解答】（1）由题意知第5个数1115656
a =
=-⨯； （2）第n 个数为1(1)n n +，第(1)n +个数为1(1)(2)n n ++， ∴11111()(1)(1)(2)12n n n n n n n +=++++++121(2)n n n n n ++=⨯++12(1)1(2)n n n n +=⨯++2(2)
n n =+， 即第n 个数与第(1)n +个数的和等于
2(2)n n ⨯+ （3）2111112121-=<=⨯，2111111123232122-=<<=-⨯⨯，21111111343432323-=<<=-⨯⨯，⋯ 21111111201520162015201620152014201520142015-=<<=-⨯⨯， 21111111201620172016201720162015201620152016-=<<=-⨯⨯ 222221111111122017123201520162016∴-<+++⋯++<-， 即2222220161111140312017123201520162016<+++⋯++<，∴2016403120172016M <<．。