初中数学规律探究问题题型梳理
中考数学探究规律题型总结6.周期型
6.周期型1.电子跳蚤游戏盘是如图所示的678ABC AB AC BC ∆===，，，．如果跳蚤开始时在BC 边的0P 处，02BP =．跳蚤第一步从0P 跳到AC 边的1P （第一次落点)处，且10CP CP =；第二步从1P 跳到AB 边的2P （第一次落点)处，且21AP AP =；第三步从2P 跳到BC 边的3P （第三次落点)处，且32BP BP =；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n 次落点为n P （n 为正整数），则点2007P 与2010P 之间的距离为______．答案：3解析：根据规律：10826CP CP ==-=，12761AP AP ==-=，23615BP BP ==-=， 34853CP CP ==-=，45734AP AP ==-=⋯，由此可得0303633P P CP CP =-=-=，1441413PP AP AP =-=-=， 2552413P P AP AP =-=-=，…∴200720103P P =．故答案为3．2.如图所示，长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A 位置变化为12A A A →→，由1A 翻滚到2A 时被桌面上一小木块挡住，此时长方形木板的边2A C 与桌面成30︒角，则点A 翻滚到2A 位置时所经过的路径总长度为__________cm ．答案：7π2解析：由1A A →路径为90π55π1802⋅=，由12A A →路径为60π3π180⋅=，因此由12A A A →→总路径为7π2．故答案为：7π2．3.如图，正方形ABCD 边长为2cm ，动点P 从A 点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2013cm 时，线段PA 的长为n 的形式，则n =_____cm ；当点P 第n 次（n 为正整数）到达点D 时，点P 的运动路程为____cm(用含n 的代数式表示)．答案：5；8n-2，-2+8n 解析：先求出正方形的周长，∵边长为2cm . ∴周长为428cm cm ⨯=.再用2013除以8得到201382515÷=L .即此时点P 已经从A 点运动了5cm . 所以点P 的位置在CD 的中点，如图则根据勾股定理225PA AD DP =+=.当点P 第1次到达D 点时，P 的运动路程为8126⨯-=； 当点P 第2次到达D 点时，P 的运动路程为82214⨯-=； 当点P 第3次到达D 点时，P 的运动路程为83222⨯-=； 以此类推，当点P 第n 次到达D 点时，P 的运动路程为82n -.4.如图，菱形ABCD 中，2AB =，60C∠=︒,我们把菱形ABCD 的对称中心O 称作菱形的中心．菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的 翻滚，每绕着一个顶点旋转60︒叫一次操作，则经过3n （n 为正整数） 次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为（ ）解析：∵菱形ABCD 中，2AB =，60C ∠=︒，∴ABD △是等边三角形，1BO DO ==，223AO AB BO =-=，第一次旋转的弧长60π33π1803⨯==，∴第一、二次旋转的弧长和60π360π323π1801803⨯⨯=+=，第三次旋转的弧长为：60π11π1803⨯=，故经过3n （n 为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：231(π+π)33n ⨯231π3n +=． 故答案为：3π3，231π3n +．5.观察下列等式：123456733393273813243372932187======⋯=，，，，，， 解答下列问题：234201333333+++⋯+ 的末位数字是（）解析：∵133= ，239= ，3327= ，4381= ，53243= ，63729= ，732187= …∴末尾数，每4个一循环， ∵201345031÷=⋯ ， ∴234201333333+++⋯+的末位数字相当于：37913++++⋯+的末尾数为36.如图，动点P 从()03，出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2013 次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（ ）A ．()14， B ．()50，C ．()64，D ．()83，答案：D 解析：如下图，动点()03P，沿所示的方向运动，满足反弹时反射角等于入射角， 到①时，点()30P ，；到②时，点()74P ， ；到③时， 点()83P，；到④时，点()50P ， ；到⑤时，点()14P ， ； 到⑥时，点()30P，，此时回到出发点，继续.......， 出现每5 次一循环碰到矩形的边.因为201340253(201354023)=⨯+÷=…… . 所以点P 第2013 次碰到矩形的边时，点P 的坐标为()83，. 故选D .7.我们知道，一元二次方程21x=-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1- ，若我们规定一个新数“”，使其满足21i=- (即方程2-1x =有一个根为)，并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有2i i =，21i =-，321i i i i i =⋅=-⋅=- ，422()1i i == 那么， 23420122013i i i i i i ++++++……的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．i答案：D 解析：由于234110i ii i i i +++=--+=，而2013=4503+1⨯，23420122013=i i i i i i i ++++++…… .8.如图，在直角坐标系中，已知点(3,0)A - 、()04B，，对OAB △ 连续作旋转变换，依次得到1△ 、2△、3△、4△…，则2013△的直角顶点的坐标为(______，______)．答案：8052；0解析：∵(3,0)A - 、()04B ，， ∴223+4=5AB =，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：45312++= ，∵20133671÷=，∴2013△的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点， ∵671128052⨯= ，∴2013△的直角顶点的坐标为()80520，．9.根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015 ，箭头的方向是以下图示中的（ ）选项：A ．B ．C ．D ．答案：D解析：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，201345031÷=⋯ ，∴2013是第504个循环组的第2个数，∴从2013到2014再到2015，箭头的方向是．故选D ．10.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90︒ 算一次，则滚动第2014 次后，骰子朝下一面的点数是______．答案：3解析：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环， ∵201445032÷=⋯ ，∴滚动第2014次后与第二次相同， ∴朝下的点数为3 ，11.一列数123,,,n a a a a ⋯ ，其中11a =- ，2111a a =-，3211a a =-，…，111n n a a -=-，则1232004a a a a +++⋯+= ______． 答案： 1002 解析：11a =-，2111=12a a =-，32211a a =-=，43111a a ==--，…，由此可以看出三个数字一循环，20043668÷= ， 则12320041668(12)10022a a a a +++⋯+=⨯-++= ．12.如图，弹性小球从点()0,3P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1 次碰到矩形的边时的点为1P ，第2次碰到矩形的边时的点为2P ，…，第n 次碰到矩形的边时的点为n P ，则点3P 的坐标是___,点2014P 的坐标是___．答案：8;3;5;0 解析：如图，经过6次反弹后动点回到出发点()0,3 ，当点P 第3次碰到矩形的边时，点P 的坐标为：()8,3 ；∵201463354÷=⋯ ，∴当点P 第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹， 点P 的坐标为()5,0 ．13.在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点分别为(11)A ，、(11)B -，、(11)C --，、(11)D -，，y 轴上有一点P ()2,0,作点P 关于点A 的对称点1P ，作1P 关于点B 的对称点2P ，作点2P 关于点C 的对称点3P ，作3P 关于点D 的对称点4P ，作点4P 关于点A 的对称点5P ，作5P 关于点B 的对称点6P ⋅⋅⋅，按如此操作下去，则点2011P 的坐标为（ ）.A ．(02)，B ．(20)，C ．(02)-， D ．(20)-，答案：D解析：找出规律，1P 20（，）202P -（，），320P （-，），4P (02)，，……，4(02)n P ，，41n P +20（，），42n P +02-（，），43n P +20（-，）.而2011除以4余3，所以点2011P 的坐标与3P 坐标相同，为20（-，）.14.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（） A 、第502个正方形的左下角B 、第502个正方形的右下角C 、第503个正方形的左上角D 、第503个正方形的右下角答案：C解析：观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2.2011除以4等于余3，所以数2011应标在第503个正方形的左上角.15.如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为（）解析：首先由已知和表求出a 、C 、F ，再观察找出规律求出第2011个格子中的数． 已知其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， 则，3a Fa F C +=+++，+1abc b c +=+-， 解得1a =-，3C=，按要求排列顺序为，3，1﹣，F ，3，1-，F ，…， 结合已知表得2F=，所以每个小格子中都填入一个整数后排列是：3，1-，2，3，1-，2，…， 其规律是每3个数一个循环.∵20113670÷=余1， ∴第2011个格子中的数为3.故选A .16.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）解析：从图中知，该纸链是5的倍数，中间截去的是剩下35n +，从选项中数减3为5的倍数者即为所求.因为20133-被5整除，故选D . 17.若123121111 , 1 , 1 , a a a m a a =-=-=-⋅⋅⋅，则2011a 的值为（ ）．（用含m 的代数式表示）解析：根据已知条件，找出题中的规律：2111111 1111111m m m a a m m m m--=-=-=-==----，32111 11111a m m a m=-=-=-+=-， 43111 1a a m=-=-.可见，123 , , , a a a ⋅⋅⋅分别以11m -，11m-，m 循环.而2011 除以3 余1 ，从而2011a 的值与1a 相同，为11m-.18.如下图，在平面直角坐标系中，对ABC △ 进行循环往复的轴对称或中心对称变换，若原来点A 坐标是()2n π，，则经过第2011 次变换后所得的A 点坐标是（ ）．解析：因为变换是循环往复的，补全一个循环；56y ABC ABC −−−−−→∆−−−−−→∆第次第次关于原点对称关于轴对称到第二象限 回到第一象限初始位置因此一个循环要经过6 次变换.而20116335÷＝ ……余1 ，从而ABC △ 经过第2011 次变换与经过第1 次变换得到的位置相同，即在第四象限.因为原来点A 坐标是（2π，n ），根据坐标关于x 轴对称时，横坐标不变纵坐标改变符号的特点，得到经过第2011次变换后所得的A 点坐标是（2π，n -）.19.将1 、2、3、6按如下方式排列．若规定（m n ，）表示第m排从左向右第n 个数，则（54， ）与（157， ）表示的两数之积是（ ）．111122663263323第1排第2排第3排第4排第5排解析：54（，） 从右侧可见为2.下面求157（，） 是几：首先看157（，）是整个排列的第几个数，从排列方式看第1 排1 个数，第2 排2 个数，…… 第m 排m 个数，所以前14 排一共的数目是1214⋯⋯＋＋＋(114)(213)(78)⋯⋯＝＋＋＋＋＋＋715⨯＝105＝ ，因此（157， ）是第1057112＋＝个数.第二看第112 个数是哪个数，因为1 、2、3、6四个数循环，而1124÷ 商余0 ，所以（157，）为6.则（54， ）与（157， ）表示的两数之积是4(5,0)P .20.如图物体从点A 出发，按照A B →（第1步）y （第2步）a E →F G A B →→→→→L的顺序循环运动，则第2011 步到达 点处；答案：D解析：根据循环运动的规律，8步一个循环.而2011 除以8 余3 ，故第2011步到达点D 处.21.如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2014个图形是______．答案：正方形．解析：由图形看出去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆6个图形为一组，不断循环出现，()2014263352-÷=⋯，所以第2014 个图形是与循环的第二个图形相同是正方形．22.将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和 4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚90︒，然后在桌面上按逆时针方向旋转90︒，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（）解析：不难看出经过一次变换后正面朝上的点数是5，经过第二次变换后正面朝上的6点数是，经过第三次变换后正面朝上的点数是3，又回到了起始位置，则三个变换一循环，10次变换即相当于第一次变换的结果故选B.23.如图，圆圈内分别标有0，1，3，…，11这12个数字，电子跳骚每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳骚从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是______．答案：6解析：根据题意可知是0，1，3121⨯-=，3，4，…，11即12个数是一个循环．因为2010除12余数为6．故该圆圈所标的数字是3224⨯-=．故答案为：6．24.如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的同心圆半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y x =和y x =-分别交于1A ，2A ，3A ，4A ，…，则点31A 的坐标是（ ）．解析：本题考查了解直角三角形，一次函数等知识点的应用，解此题的关键是确定出31A 的位置．根据31473÷=⋯，得出31A 在直线y x =上，在第三象限，且在第8个圆上，求出318OA =，通过解直角三角形即可求出答案．25.如图，菱形ABCD 中，260AB C=∠=︒，,我们把菱形22AB AP BP PC=+⋅的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过3n （n 为正整数）次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为 ( )解析：从图中可以看出，第一次旋转是以点A 为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA ，解直角三角形可求出OA 的长，圆心角是60度．第二次还是以点A 为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA ，圆心角是60度．第三次就是以点B 为旋转中心，OB 为半径，旋转的圆心角为60度．旋转到此菱形就又回到了原图．故这样旋转18次，就是这样的6个弧长的总长，依此计算即可得，进而得出经过3n （n 为正整数）次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长．26.如图，ABC ∆中，2AB AC == ，若P 为BC 的中点,则2AP BP PC +⋅的值为______；若BC边上有100个不同的点1P ，2P ，…，100P ，记2i i i im AP BP PC =+⋅(1i =，2，…，100)，则12m m ++…100m +的值为______．答案：4；400解析：当P 在BC 的中点时，可以得到直角三角形，利用勾股定理证明22AB AP BP PC =+⋅即可；第二个空可作AD BC ⊥于D ．根据勾股定理，得22222()i i i AP AD DP AD BD BP =+=+-，从而求得22iM AD BD =+，即可求解．27.如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（3-2n ）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳3121⨯-=步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳3224⨯-=步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为______；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为______．答案：10；6解析：第一次跳到数字2，第二次跳到数字6，第三次跳到数字10，第四次跳到数字2，…然后每三个一循环，用2012除以3，整除为10，余1为2，余2为6即可确定答案．28.在数学校本活动课上，张老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为1的正方形的四个顶点上依次跳动．规定：从顶点A出发，每跳动一步的长均为1．第一次顺时针方向跳1步到达顶点D，第二次逆时针方向跳2步到达顶点B，第三次顺时针方向跳3步到达顶点C，第四次逆时针方向跳4步到达顶点C，… ，以此类推，跳动第10次到达的顶点是______，跳动第2012次到达的顶点是______．A B D C答案：B；C解析：先根据每跳一次所到达的顶点，找出其中的规律是每八次一个循环，再用10812÷=⋯，即可求出跳动第10次到达的顶点，用201282514÷=⋯，即可求出跳动第2012次到达的顶点．29.观察下列图形的排列规律（其中☆、□、●分别表示五角星、正方形、圆）●□☆●●□☆●□☆●●□☆●…若第一个图形是圆，则第2009个图形是______．答案：五角星解析：根据题意分析可得：圆、正方形、五角星前七个一组，依次循环；且2009除以7没有余数；故第2009个图形是五角星．30.如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始跳动，第一次跳到点P关于x轴的对称点1P处，接着跳到点1P关于y轴的对称点2P处，第三次再跳到点2P关于原点的对称点处，…，如此循环下去．当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是（______,______）．答案：3；-2解析：首先发现点P 的坐标是32-(，)，第一次跳到点P 关于x 轴的对称点1P 处是32--（，），接着跳到点1P 关于y 轴的对称点2P 处是32-（，），第三次再跳到点2P 关于原点的对称点处是32-（，）…，发现3次一循环．又200936692÷=⋯，则落在了(32)-，处．31.如图平面内有公共端点的五条射线,,,,,OA OB OC OD OE 从射线OA 开始，在射线上写出数字1,2,3,4,5； 6,7,8,9,10；…．按此规律，则“12”在射线______上；“2011”在射线______上．答案：OC ；OB解析：∵如图所示可知，每隔一个数正好是连续的有理数，∴11在BO 上，∴“12”在射线CO上；∵每5个数一轮，2011÷5=402余数为1，每5轮顶点正好循环一周，402÷5=80余数为2，∴“2011”与第3轮第一个数的位置相同，即与9的位置相同，∴“2011”在射线BO 上．32.在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 如图放置，动点P 从(0,3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2014次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（______,______）答案：5；0解析：依题可知，1(3,0)P ，2(7,4)P ，3(8,3)P ，4(5,0)P ，5(1,4)P ，6(0,3)P， 7(3,0)P ，8(7,4)P ，L L，6个一循环，2014=33546L L ，故2014(5,0)P故答案为：(1,4)，(5,0)．33.如图，矩形BCDE 的各边分别平行于x 轴或y 轴，物体甲和物体乙由点(2,0)A 同时出发，沿矩形BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（_____,_____）答案：-1；1解析：依题可知，甲、乙两物体沿着矩形BCDE 在做环形运动，矩形BCDE 的周长为12，12=41+2秒，每过4秒相遇一次，故第一次在(1,1)-处相遇，第二次在(1,1)--处相遇，第三次在(2,0)处相遇，第四次又在(1,1)-处相遇，故3次一循环，2014=67113L L ，所以第2014次在(1,1)-处相遇． 故答案为：(1,1)-．34.如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，1AE BF ==，小球P 从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P 第一次碰到BC 边时，小球P 所经过的路程为__________；当小球P 第一次碰到AD 边时，小球P 所经过的路程为__________；当小球P 第n （n 为正整数）次碰到点F 时，小球P 所经过的路程为__________．解析：22125EF =+=；3555522EFFM +=+=；画图可知，6次一个循环，一个循环周期，P 所经过的路程为3552(5++)=6522， 当小球P 第n （n 为正整数）次碰到点F 时，小球P 所经过的路程为65(1)56555n n -+=-．故答案为：5，552，6555n -．35.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(10)A ，，(20)B ，， 正六边形ABCDEF 沿x 轴正方向无滑动滚动，当点D 第一次落 在x 轴上时，点D 的横坐标为：_____；在运动过程中，点A 的纵坐标的最大值是______；保持上述运动过程，经过(20143)，的正六边形的顶点是_____.解析：因为2014=3356+4⨯， 所以经过(2014,3)的点必然会经过(4,3)．图分别是第二次和第三次滚动后的图形， 可以看出经过(4,3)的点有B 、F 两个， 故经过(2014,3)为B 、F 两个点．故答案为：(4,0)，2，B 或F ．36.将正整数12345,⋅⋅⋅、、、、按以下方式排放：则根据排放规律，从2002到2004的箭头依次为（ ） 解析：200250042,=⨯+Q1 2 3 yx O1234A BCDEF 1 2 3 yx O1234A B C D EF21 / 21∴数2002的位置与数2相同，数2003的位置与数3相同，数2004的位置与数4相同， ∴从2002到2004的箭头依次为,.→↓37.如图所示,两个全等菱形的边长为1厘米,一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动,行走2010厘米后停下,则这只蚂蚁停在（ ）点．解析：解：∵两个全等菱形的边长为1厘米，∴蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 顺序走一圈所走的距离为818⨯=厘米， 201025128=Q L ， ∴当蚂蚁走到第251圈后再走2厘米正好到达C 点。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学中，规律探究问题广泛存在于各种数学题型中，包括数列、几何、方程等多个方面。
解决这类问题需要灵活运用数学知识和思维方法，下面将就规律探究问题的类型及解题技巧进行分析。
（一）数列型规律探究问题1. 根据已知的数列前几项，找出数列的通项公式。
首先观察数列的前几项，如果发现相邻两项之间的差或比具有规律性，那么可以尝试构建通项公式。
对于等差数列，可以通过计算相邻两项的差值来确定数列的公差，从而得到通项公式。
同理，对于等比数列，可以通过计算相邻两项的比值来确定数列的公比，从而得到通项公式。
2. 根据数列的规律，推断数列中某一位置上的数值。
有时候，问题并没有直接给出数列的前几项，而是给出了数列的规律，并要求求解数列中某一位置上的数值。
这时候，可以根据已知的规律，通过迭代或递推的方式来推断数列中任意位置上的数值。
1. 根据已知的图形形状，找出图形的特点。
有时问题给出了一个图形，需要根据图形的特点找到规律。
这时可以通过观察图形的边数、角度等特征来确定规律。
正多边形的内部角度和是固定的，可以根据这个规律，计算某个正多边形的内部角度和。
2. 根据图形的特点，求解未知的参数。
有时问题给出了一个图形的部分信息，需要求解图形的某些未知参数。
问题给出了一个三角形的三个角度，需要求解这个三角形的形状。
根据三角形的内角和等于180°的性质，可以得到这个三角形的剩余角度，从而确定三角形的形状。
1. 根据已知的关系式，建立方程解决问题。
有时问题给出了一个数学关系，需要找到满足这个关系的解。
问题可能给出了两个数的和或差，需要求解这两个数。
可以通过设一元方程，利用方程的解来求解这个问题。
在解决规律探究问题时，可以运用以下一些技巧：1. 观察法：通过观察题目给出的信息或图形，找出规律，再推测未知的信息或图形。
2. 假设法：根据已知条件进行一些假设，然后进行推理、计算，最后验证假设的结果是否符合题目要求。
常考的规律探究问题-2024年中考数学答题技巧与模板构建(含解析)
常考的规律探究问题题型解读|模型构建|通关试练模型01数与式、图形的规律问题数式规律和图形规律探究问题的特点是：问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境等，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.模型02平面直角坐标系中的规律问题(旋转、平移、翻滚、渐变等)平面直角坐标系中的规律探究问题由于问题背景的不同，这类题的解题策略是：由特例观察、分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问题.具体思维过程是“特殊---一般----特殊”.这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.模型01数与式、图形的规律问题考|向|预|测数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律--重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析.主要考查学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题．答|题|技|巧第一步：读懂题意，标序号；第二步：根据已有规律模仿或归纳推导隐藏规律，析各式或图形中的“变”与“不变”的规律--重点分析“怎样变”；第三步：猜想规律与“序号”之间的对应关系，并用关于“序号”的式子表示出来；第四步：验证所归纳的结论，利用所学数学知识解答1(2023·湖南)观察下列按顺序排列的等式：a1=1-13，a2=12-14，a3=13-15，a4=14-16，⋯，试猜想第n个等式(n为正整数)：a n=．2(2023·安徽)(规律探究)如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第(2)个图比第(1)个图多一层，第(3)个图比第(2)个图多一层，依次类推.(1)第(9)个图中阴影三角形的个数为；非阴影三角形的个数为．(2)第n个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求n.(3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由.模型02平面直角坐标系中的规律问题考|向|预|测平面直角坐标系中的规律问题(旋转、平移、翻滚、渐变等)该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等).主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算.答|题|技|巧第一步：观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；第二步：分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)第三步：周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；第四步：利用有理数的运算解题旋转型1(2023·四川)如图所示，矩形ABOC的顶点O为坐标原点，BC=2，对角线OA在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点O以每秒45°的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点A的对应坐标为()A.2,0B.0,2C.2,2D.-2,-2平移型2(2023·杭州)如图，直角坐标平面xOy 内，动点P 按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(-1，0)运动到点(0，1)，第2次运动到点(1，0)，第3次运动到点(2，-2)，⋯⋯，按这样的运动规律，动点P 第2018次运动到点A.(2018，0)B.(2017，0)C.(2018，1)D.(2017，-2)翻滚型3(2023·安徽)如图所示，在平面直角坐标系中，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，⋯都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，⋯其中点A 1的坐标为2,0 ，点A 2的坐标为1,-3 ，点A 3的坐标为0,0 ，点A 4的坐标为2,23 ，⋯，按此规律排下去，则点A 100的坐标为()A.1,503B.1,513C.2,503D.2,5131(2023·山东)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2行从左到右数第1个定为a 2,1 ，我们把第4行从左到右数第3个定为a 4,3 ，由图我们可以知道：a 2,1 =1,a 4,3 =3，按照图中数据规律，a 8,5 +a 9,6 的值为．2(2023·河南)如图，找出其变化的规律，则第1349个图形中黑色正方形的数量是．摆成，⋯⋯；按图中所示规律，第n个图需要棋子枚．五角星的个数为()A.n2+1B.n2-1C.2n-1D.2n+15(2023·广东)正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则连续翻转2022次后，数轴上2022这个数所对应的点是()A.A点B.B点C.C点D.D点6(2023·辽宁)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=3x+3与两坐标轴交于A、B两点，以AB为边作等边△ABC，将等边△ABC沿射线AB方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕B点顺时针旋转120°，使点C落在直线l上，第二次翻滚：将等边三角形绕点C顺时针旋转120°，使点A落在直线l上⋯⋯当等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是()A.2023,20233D.2021,20243C.2021,20223B.2022,202437(2023·河南)如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，其坐标分别为-6,0，、0,-8AD=20，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点D的坐标为()A.10,12D.12,-10C.-12,10B.-10,-128(2023·江西吉安·期末)规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第2023个图案用几根火柴棒()A.8093B.8095C.8092D.80919(23-24·河南新乡·期末)汉字文化正在走进人们的日常消费生活．如图所示图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点⋯依此规律则图⑩中共有圆点的个数是()A.63B.75C.88D.10210(23-24·湖北武汉·期末)已知点A0-1,3，记A0关于直线m(直线m上各点的横坐标都为0)的对称点为A1，A1关于直线n(直线n上各点的纵坐标都为1)的对称点为A2，A2关于直线p(直线p上各点的横坐标都为-2)的对称点为A3，A3关于直线q(直线q上各点的纵坐标都为3)的对称点为A4，A4关于直线m的对称点为A5，A5关于直线n的对称点为A6，⋯⋯依此规律A2023的坐标是()A.2021,-2021D.-2025,2027C.-2021,-2017B.-2025,-202111(23·山东济宁·期末)如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=2；再过点P，作P1P2⊥OP1，且P1P2=1，得OP2=3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2⋯依此法继续作下去，得OP2021=()A.2023B.2022C.2021D.202012(23·广西贵港·期末)请看杨辉三角，并观察下列等式：(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4根据前面各式的规律，则(a+b)6=.13(23-24·辽宁沈阳·期中)汉字文化正在走进人们的日常消费生活．下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点⋯依此规律，则图⑧中共有圆点的个数是．14(2023·四川资阳·一模)如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为．15(22-23·江苏)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表(图①)，即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为．16(2023九年级上·全国·期末)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示．已知A点坐标为(1,1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x 轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4⋯，依次进行下去，则点A2023的坐标为．17(22-23九年级上·全国·期末)(规律探究题)下表是按一定规律排列的一列方程，仔细观察，大胆猜想，科学推断，完成练习.序号方程方程的解1x2-2x-3=0x1=-1，x2=32x2-4x-12=0x1=-2，x2=63x2-6x-27=0x1=-3，x2=9⋯⋯⋯(1)这列方程中第10个方程的两个根分别是x1=，x2=.(2)这列方程中第n个方程为.18(22-23·福建莆田·期中)探究规律题按照规律填上所缺的单项式并回答问题：(1)a,-2a2,3a3,-4a4,,；(2)试写出第2017个和第2018个单项式；(3)试写出第n个单项式；(4)试计算：当a=-1时，a+(-2a2)+3a3+(-4a4)+⋯+99a99+(-100a100)的值.19(23-24·河南安阳)探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：(+2)*(+4)=+(22+42)；(-4)*(-7)=+(-4)2+(-7)2；(-2)*(+4)=-(-2)2+(+4)2；(+5)*(-7)=-(+5)2+(-7)2；0*(-5)=(-5)*0=(-5)2；(+3)*0=0*(+3)=(+3)2．0*0=02+02=0(1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，．(文字语言或符号语言均可)特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，(2)计算：+1*0*-2．(3)是否存在有理数m，n，使得m-1*n+2=0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．20(23-24·浙江杭州·期中)探究规律，完成相关题目：小明说：“我定义了一种新的运算，叫※(加乘)运算．”然后他写出了一些按照※(加乘)运算的运算法则进行运算的算式：(+5)※(+2)=+7；(-3)※(-5)=+8；(-3)※(+4)=-7；(+5)※(-6)=-11；(0)※(+8)=8；(0)※(-8)=8；(-6)※(0)=6；(+6)※(0)=6．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※(加乘)运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？(1)观察以上式子，类比计算：①-1 2※-15=，-23※+1 =；(2)计算：(-2)※[0※(-1)]；(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤)(3)若1-a※b-3=0．计算：1a×b +1a+2×b+2+1a+4×b+4+1a+6×b+6+1的值．a+8×b+8常考的规律探究问题题型解读|模型构建|通关试练模型01数与式、图形的规律问题数式规律和图形规律探究问题的特点是：问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境等，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.模型02平面直角坐标系中的规律问题(旋转、平移、翻滚、渐变等)平面直角坐标系中的规律探究问题由于问题背景的不同，这类题的解题策略是：由特例观察、分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问题.具体思维过程是“特殊---一般----特殊”.这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.模型01数与式、图形的规律问题考|向|预|测数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律--重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析.主要考查学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题．答|题|技|巧第一步：读懂题意，标序号；第二步：根据已有规律模仿或归纳推导隐藏规律，析各式或图形中的“变”与“不变”的规律--重点分析“怎样变”；第三步：猜想规律与“序号”之间的对应关系，并用关于“序号”的式子表示出来；第四步：验证所归纳的结论，利用所学数学知识解答1(2023·湖南)观察下列按顺序排列的等式：a 1=1-13，a 2=12-14，a 3=13-15，a 4=14-16，⋯，试猜想第n 个等式(n 为正整数)：a n =．【答案】1n -1n +2．【详解】根据题意可知，a 1=1-11+2，a 2=12-12+2，a 3=13-13+2，a 4=14-14+2，⋯∴a n =1n -1n +2．2(2023·安徽)(规律探究)如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第(2)个图比第(1)个图多一层，第(3)个图比第(2)个图多一层，依次类推.(1)第(9)个图中阴影三角形的个数为；非阴影三角形的个数为．(2)第n 个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求n .(3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由.【详解】(1)第(1)(2)(3)个图中阴影部分小三角形的个数分别是：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，由此可推测第(9)个图中阴影部分小三角形的个数是(9+1)2=102=100(个)，空白三角形的个数为2×(9+2-1=21);故答案为：100；21；(2)第n 个图形中阴影三角形与非阴影三角形的个数比是：n +1 22n +2 -1=44143，解得，n =20或n =-6443(舍去)经检验，n =20符合要求，所以，n =20；(3)设第(m )个图形可重新拼成一个菱形，第(m )个图形总的三角形个数为m +2 2=m 2+4m +4, 由于可以拼一个菱形，则是一含有60度角的菱形，即两个等边三角形构成的菱形，每个等边三角形中含小三角形数为x 2,则有：2x 2=m +2 2解得，m =±2x -2∴m 不是正整数，∴不可能拼成一个菱形．例3．(2023·江西)规律探究与猜想：①方程x 2-3x +2=0的解为x 1=1，x 2=2；②方程x 2-5x +6=0的解为x 1=2，x 2=3；③方程x 2-7x +12=0的解为x 1=3，x 2=4；④方程x 2-9x +20=0的解为x 1=4，x 2=5；⋯⋯(1)根据以上各方程及其解的特征，请解答下列问题：①方程x2-19x+90=0的解为______．②第个方程为______，其解为______．(2)请用公式法解方程x2-9x+20=0，验证猜想结论的正确性．【详解】(1)解：方程x2-3x+2=x2+(-1-2)x+(-1)×(-2)=(x-1)(x-2)=0，解为x1=1，x2=2；方程x2-5x+6=x2+(-2-3)+(-2)×(-3)=(x-2)(x-3)=0，解为x1=2，x2=3；方程x2-7x+12=x2+(-3-4)+(-3)×(-4)=(x-3)(x-4)=0，解为x1=3，x2=4；⋯①x2-19x+90=x2+(-9-10)+(-9)×(-10)=(x-9)(x-10)=0，解为x1=9,x2=10；②第个方程为x2+-n-(n+1)x+(-n)×-(n+1)=(x-n)x-(n+1)=0∴第个方程为x2-(2n+1)x+n2+n=0，解为x1=n,x2=n+1．(2)解：x2-9x+20=0Δ=(-9)2-4×1×20=1，∴x1=9-12=4,x2=9+12=5．故结论正确．模型02平面直角坐标系中的规律问题考|向|预|测平面直角坐标系中的规律问题(旋转、平移、翻滚、渐变等)该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等).主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算.答|题|技|巧第一步：观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；第二步：分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)第三步：周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；第四步：利用有理数的运算解题旋转型1(2023·四川)如图所示，矩形ABOC的顶点O为坐标原点，BC=2，对角线OA在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点O以每秒45°的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点A的对应坐标为()A.2,0B.0,2C.2,2D.-2,-2【答案】B 【详解】解：∵四边形ABOC 是矩形，∴OA =BC =2，∵每秒旋转45°，8次一个循环，2025÷8=253⋅⋅⋅⋅⋅⋅1，∴第2025秒时，点A 的对应点A 2025落在y 轴正半轴上，∴点A 2025的坐标为0,2 ．故选：B ．平移型2(2023·杭州)如图，直角坐标平面xOy 内，动点P 按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(-1，0)运动到点(0，1)，第2次运动到点(1，0)，第3次运动到点(2，-2)，⋯⋯，按这样的运动规律，动点P 第2018次运动到点A.(2018，0)B.(2017，0)C.(2018，1)D.(2017，-2)【答案】B 【详解】解:∵2018÷4=504余2，∴第2014次运动为第505循环组的第2次运动，横坐标为504×4+2-1=2017，纵坐标为0，∴点的坐标为(2017，0)．故选B ．翻滚型3(2023·安徽)如图所示，在平面直角坐标系中，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，⋯都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，⋯其中点A 1的坐标为2,0 ，点A 2的坐标为1,-3 ，点A 3的坐标为0,0 ，点A 4的坐标为2,23 ，⋯，按此规律排下去，则点A 100的坐标为()A.1,503D.2,513C.2,503B.1,513【答案】C【详解】解：观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，∵100÷4=25，∴点A100在x轴上方，∵A3A4=4，∴A54,0，∵A5A7=6，∴A7-2,0，∵A8A7=8，∴点A8的坐标为2,43，同理可知，点A4n的坐标为2,2n3，∴点A100的坐标为2,503. 故选：C．1(2023·山东)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2行从左到右数第1个定为a2,1，我们把第4行从左到右数第3个定为a4,3=，由图我们可以知道：a2,1 1,a4,3+a9,6的值为．=3，按照图中数据规律，a8,5【详解】解：如图所示，按照图中数据规律，a8,5=35，a9,6=56，∴a8,5+a9,6=35+56=91，故答案为：912(2023·河南)如图，找出其变化的规律，则第1349个图形中黑色正方形的数量是．【答案】2024个【详解】解：根据题意，可得当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量为n+n2个，当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量为n+n+12个，∴n=1349时，黑色正方形的个数为1349+1349+12=2024个．故答案为：2024个．3(2023·陕西)如图，第1个图用了6枚棋子摆成；第2个图用了9枚棋子摆成；第3个图用了12枚棋子摆成，⋯⋯；按图中所示规律，第n个图需要棋子枚．【答案】3(n+1)【详解】根据题意有，第1个图形棋子数为：3+3×1，第2个图形棋子数为：3+3×2，第3个图形棋子数为：3+3×3，⋯⋯，第n个图形棋子数为：3+3×n=3(n+1)，∴第n个图需要棋子3(n+1)枚，故答案为：3(n+1)．4(2023·云南)如图图形是同样大小的小五角星按一定规律组成的，按此规律排列，则第n个图形中小五角星的个数为()A.n2+1B.n2-1C.2n-1D.2n+1【答案】A【详解】解：则第1个图形中小五角星的个数为：12+1=2；则第4个图形中小五角星的个数为：1+22=5；则第3个图形中小五角星的个数为：1+32=10；则第4个图形中小五角星的个数为：1+42=17；⋯⋯；则第n个图形中小五角星的个数为：1+n2，故选：A．5(2023·广东)正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则连续翻转2022次后，数轴上2022这个数所对应的点是()A.A点B.B点C.C点D.D点【答案】A【详解】解：当正六边形在转动第一周的过程中，F、E、D、C、B、A分别对应的点为1、2、3、4、5、6，∴翻转6次为一循环，∵2021÷6=337，∴数轴上2022这个数所对应的点是A点．故选：A．6(2023·辽宁)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=3x+3与两坐标轴交于A、B两点，以AB为边作等边△ABC，将等边△ABC沿射线AB方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕B点顺时针旋转120°，使点C落在直线l上，第二次翻滚：将等边三角形绕点C顺时针旋转120°，使点A落在直线l上⋯⋯当等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是()A.2023,20233D.2021,20243B.2022,20243C.2021,20223【答案】D【详解】解：∵直线l：y=3x+3与两坐标轴交于A、B两点，∴A-1,0，，B0,3∴AB=2，OA=1，OB=3，=3，OA∴∠BAO=60°，如图，等边△ABC经过第1次翻转后，A1-1,23，过点A2作A2M⊥x轴于点M，则AA2=3AB=6，∵∠A2AM=60°，=3，∴AM=AA2cos∠A2AM=6×12A2M=AA2sin∠A2AM=6×3=33，2等边△ABC经过第2次翻转后，A23,33，等边△ABC经过第3次翻转后，点A仍在点A2处，∴每经过3次翻转，点A向右平移3个单位，向上平移33个单位，∵2023÷3=674⋯⋯1，第2次与第3次翻转后点A处在同一个点，∴点A经过2023次翻转后，向右平移了3×674=2022个单位，向上平移了33×674+23=20243个单位，∴等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是2021,20243，故选：D．7(2023·河南)如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，其坐标分别为-6,0、0,-8，AD=20，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点D的坐标为()A.10,12B.-10,-12C.-12,10D.12,-10【答案】B 【详解】解：如图，过点D 作DT ⊥x 轴于点T ．矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，其坐标分别为-6,0 、0,-8 ，∴OA =6，OB =8，∴AB =OA 2+OB 2=10，∵∠ATD =∠AOB =∠BAD =90°，∴∠DAT +∠BAO =90°，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠DAT =∠ABO ，∴△ATD ∽△BOA ，∴AD AB =AT OB =DT OA，即2010=AT 8=DT 6，∴AT =16，DT =12，∴OT =AT -OA =16-6=10，∴D 10，12 ，∵矩形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第1次旋转结束时，点D 的坐标为12,-10 ；则第2次旋转结束时，点D 的坐标为-10,-12 ；则第3次旋转结束时，点D 的坐标为-12,10 ；则第4次旋转结束时，点D 的坐标为10,12 ；⋯发现规律：旋转4次一个循环，∴2022÷4=505⋯2，则第2021次旋转结束时，点D 的坐标为-10,-12 ．故选：B ．8(2023·江西吉安·期末)规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第2023个图案用几根火柴棒()A.8093B.8095C.8092D.8091【答案】A 【详解】观察图形的变化可知：摆第1个图案要用火柴棒的根数为：5；摆第2个图案要用火柴棒的根数为：9=5+4=5+4×1；摆第3个图案要用火柴棒的根数为：13=5+4+4=5+4×2；⋯则摆第n个图案要用火柴棒的根数为：5+4n-1=4n+1；故第2023个图案要用火柴棒的根数为：4×2023+1=8093故选：A9(23-24·河南新乡·期末)汉字文化正在走进人们的日常消费生活．如图所示图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点⋯依此规律则图⑩中共有圆点的个数是()A.63B.75C.88D.102【答案】D【详解】解：由题意知，图①中共有12个圆点，图②中共有12+6=18个圆点，图③中共有12+6+7=25个圆点，图④中共有12+6+7+8=33个圆点，⋯∴图⑩中共有圆点12+6+7+8+9+10+11+12+13+14=102，故选：D．10(23-24·湖北武汉·期末)已知点A0-1,3，记A0关于直线m(直线m上各点的横坐标都为0)的对称点为A1，A1关于直线n(直线n上各点的纵坐标都为1)的对称点为A2，A2关于直线p(直线p上各点的横坐标都为-2)的对称点为A3，A3关于直线q(直线q上各点的纵坐标都为3)的对称点为A4，A4关于直线m的对称点为A5，A5关于直线n的对称点为A6，⋯⋯依此规律A2023的坐标是()A.2021,-2021D.-2025,2027C.-2021,-2017B.-2025,-2021【答案】B【详解】解：∵直线m上各点的横坐标都为0，即直线m为y轴，∴A11，3，在第一象限，∵直线n上各点的纵坐标都为1，即直线n为直线y=1；∴A21，-1，在第四象限，∵直线p上各点的横坐标都为-2，即直线p为直线x=-2，∴A3-5，-1，在第三象限，∵直线q上各点的纵坐标都为3，即直线q为直线y=3，∴A4-5，7，在第二象限，∴A55，7在第三象限，，在第一象限，A65，-5，在第四象限，A7-9，-5∴每四个点坐标所在象限为一个循环，∵2023=4×505+3，∴A2023与A3在同一象限，∵A3-5，-1，A7-9，-5，∴可知，第三象限的点坐标的特征为A n -n +2 ，-n -2 ，∴A 2023-2025，-2021 ，故选：B ．11(23·山东济宁·期末)如图，OP =1，过点P 作PP 1⊥OP 且PP 1=1，得OP 1=2；再过点P ，作P 1P 2⊥OP 1，且P 1P 2=1，得OP 2=3；又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3=1，得OP 3=2⋯依此法继续作下去，得OP 2021=()A.2023B.2022C.2021D.2020【答案】B【详解】解：由勾股定理得：OP 1=OP 2+OP 12=12+12=2，OP 2=OP 12+P 1P 22=(2)2+12=3，OP 3=OP 22+P 2P 32=(3)2+12=2，⋯，依此类推可得：OP n =(OP n -1)2+(P n -1P n )2=(n )2+12=n +1，∴OP 2021=2021+1=2022，故选：B ．12(23·广西贵港·期末)请看杨辉三角，并观察下列等式：(a +b )1=a +b(a +b )2=a 2+2ab +b 2(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3(a +b )4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4根据前面各式的规律，则(a +b )6=.【答案】a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6【详解】解：(a +b )6=a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6故本题答案为：a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6.13(23-24·辽宁沈阳·期中)汉字文化正在走进人们的日常消费生活．下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点⋯依此规律，则图⑧中共有圆点的个数是．【答案】75【详解】解：在图①中，圆点个数为y1=12个．在图②中，圆点个数为y2=y1+2+4=18个．在图③中，圆点个数为y3=y2+2+5=25个．在图④中，圆点个数为y4=y3+2+6=33个．..．以次类推，在图⑧中，圆点个数为y8=y7+(2+10)=y6+(2+9)+12=y5+(2+8)+11+12=y4+(2+7)+10+11+12=33+9+10+11+12=75．故答案为：75．14(2023·四川资阳·一模)如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为．【答案】40°．【详解】连续左转后形成的正多边形边数为：45÷5=9，则左转的角度是360°÷9=40°．故答案是：40°．15(22-23·江苏)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表(图①)，即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为．【答案】243【详解】观察图②和图③可知，前8行中包含3个前4行的图形，中间三角形中的数字均为0，∴前8行中“1”的个数是前4行中“1”的个数的3倍，即前8行中“1”的个数为9×3=27(个)，同理可知前16行中“1”的个数是前8行中“1”的个数的3倍，即前16行中“1”的个数为27×3=81(个)，前32行中“1”的个数是前16行中“1”的个数的3倍，即前32行中“1”的个数为81×3=243(个)，故答案为：243．16(2023九年级上·全国·期末)在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2的图象如图所示．已知A 点坐标为(1,1)，过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4⋯，依次进行下去，则点A 2023的坐标为．【答案】-1012,10122【详解】解：∵A 点坐标为(1,1)，∴直线OA 为y =x ,A 1(-1,1)，∵A 1A 2∥OA ，∴直线A 1A 2为y =x +2，解y =x +2y =x 2得x =-1y =1 或x =2y =4 ，∴A 2(2,4)，∴A 3(-2,4)，∵A 3A 4∥OA ，∴直线A 3A 4为y =x +6，解y =x +6y =x2 得x =-2y =4 或x =3y =9 ，∴A 4(3,9)，∴A 5(-3,9)⋯，∴A2023-1012,10122,故答案为：-1012,10122．17(22-23九年级上·全国·期末)(规律探究题)下表是按一定规律排列的一列方程，仔细观察，大胆猜想，科学推断，完成练习.序号方程方程的解1x2-2x-3=0x1=-1，x2=32x2-4x-12=0x1=-2，x2=63x2-6x-27=0x1=-3，x2=9⋯⋯⋯(1)这列方程中第10个方程的两个根分别是x1=，x2=.(2)这列方程中第n个方程为.【答案】(1)-10；30；(2)x2-2nx-3n2=0【详解】(1)由表格中的规律可知，第10个方程的解为x1=-10，x2=30；(2)根据表格中的规律可知，第n个方程的解是x1=-n，x2=3n，∴根据根与系数的关系可知：第n个方程就是x2-2nx-3n2=0．18(22-23·福建莆田·期中)探究规律题按照规律填上所缺的单项式并回答问题：(1)a,-2a2,3a3,-4a4,,；(2)试写出第2017个和第2018个单项式；(3)试写出第n个单项式；(4)试计算：当a=-1时，a+(-2a2)+3a3+(-4a4)+⋯+99a99+(-100a100)的值.【详解】解：(1)由前几项的规律可得：第五项、第六项依次为：5a5，-6a6；(2)第2007个单项式为：2017a2017，第2018个单项式为：-2018a2018；(3)第n个单项式的系数为：n×(-1)n+1，次数为n，故第n个单项式为：(-1)n+1nan．(4)原式=-1-2-3⋯-100=-5050.19(23-24·河南安阳)探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：(+2)*(+4)=+(22+42)；(-4)*(-7)=+(-4)2+(-7)2；(-2)*(+4)=-(-2)2+(+4)2；；(+5)*(-7)=-(+5)2+(-7)20*(-5)=(-5)*0=(-5)2；(+3)*0=0*(+3)=(+3)2．0*0=02+02=0(1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，．(文字语言或符号语言均可)特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，(2)计算：+1*0*-2．(3)是否存在有理数m，n，使得m-1=0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．*n+2【详解】(1)解：归纳*运算的法则∶两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方．(2)解：+1 *0*-2 ，=+1 *-2 2，=+1 *4，=+12+42 ，=1+16，=17；(3)解：m -1 *n +2 =0，=±m -1 2+n +2 2 =0，∴m -1=0，n +2=0，解得：m =1，n =-2，20(23-24·浙江杭州·期中)探究规律，完成相关题目：小明说：“我定义了一种新的运算，叫※(加乘)运算．”然后他写出了一些按照※(加乘)运算的运算法则进行运算的算式：(+5)※(+2)=+7；(-3)※(-5)=+8；(-3)※(+4)=-7；(+5)※(-6)=-11；(0)※(+8)=8；(0)※(-8)=8；(-6)※(0)=6；(+6)※(0)=6．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※(加乘)运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？(1)观察以上式子，类比计算：①-12 ※-15=，-23 ※+1 =；(2)计算：(-2)※[0※(-1)]；(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤)(3)若1-a ※b -3 =0．计算：1a ×b +1a +2 ×b +2 +1a +4 ×b +4 +1a +6 ×b +6+1a +8 ×b +8的值．【详解】(1)解：①-12 ※-15 =-12 +-15 =12+15=710，故答案为：710．②-23 ※+1 =--23 +1 =-23+1 =-53，故答案为：-53．(2)解：(-2)※[0※(-1)]=-2 ※+1=-1+2=-3．(3)∵1-a ※b -3 =0，∴1-a +b -3 =0，。
七年级数学找规律经典题型
七年级数学找规律经典题型一、数字规律1. 数列规律例1：观察数列1，3，5，7，9，…，求第n个数。
解析：首先观察这个数列，发现相邻两个数的差值都是2。
第1个数是1 = 2×1 1；第2个数是3 = 2×2 1；第3个数是5 = 2×3 1；第4个数是7 = 2×4 1；第5个数是9 = 2×5 1。
所以可以得出第n个数为2n 1。
例2：观察数列2，4，8，16，32，…，求第n个数。
解析：这个数列中，后一个数都是前一个数的2倍。
第1个数是2 = 2^1；第2个数是4 = 2^2；第3个数是8 = 2^3；第4个数是16 = 2^4；第5个数是32 = 2^5。
所以第n个数为2^n。
2. 数字循环规律例：有一组数按照1， 1，1， 1，…的规律排列，求第n个数。
解析：观察这组数字，发现数字是1和 1交替出现。
当n为奇数时，第n个数为1；当n为偶数时，第n个数为 1。
可以用(-1)^(n + 1)来表示，当n = 1时，(-1)^(1+1)=1；当n = 2时，(-1)^(2 + 1)= 1。
二、图形规律1. 图形数量规律例1：用火柴棒搭三角形，搭1个三角形需要3根火柴棒，搭2个三角形需要5根火柴棒，搭3个三角形需要7根火柴棒，…，求搭n个三角形需要多少根火柴棒。
解析：搭1个三角形需要3根火柴棒，即2×1+1；搭2个三角形时，第二个三角形和第一个三角形共用一条边，所以需要3 + 2 = 5根火柴棒，即2×2+1；搭3个三角形时，第三个三角形和前面的三角形共用两条边，所以需要3+2×2 = 7根火柴棒，即2×3 + 1。
所以搭n个三角形需要2n+1根火柴棒。
例2：观察下列图形的点数规律：第1个图形有1个点；第2个图形有1 + 3 = 4个点；第3个图形有1+3 + 5 = 9个点；第4个图形有1+3+5 + 7 = 16个点；求第n个图形的点数。
中考数学探索规律题分类及解析
中考数学探索规律题分类及解析中考数学探索规律题是指通过观察一组数或一组图形，发现其中存在的规律或者推导出下一个数字或图形的解题方法。
这类题目不是通过直接计算或者运用公式来得到答案，而是通过观察和推理来寻找规律并进行推导。
这类题目在中考数学中比较常见，考察学生的观察力、逻辑推理能力和发现规律的能力。
中考数学探索规律题可以分为数列规律、形状规律和操作规律等几个分类。
数列规律题是指给出一组数字，要求学生根据已知数字的特点推导出下一个数字或者补全数列。
这类题目常常通过给出一定的条件或者变化规律，让学生去寻找数字之间的关系。
学生可以通过计算差值、比值等方式来找到规律。
比如，给出一个数列1，3，5，7，要求学生推导出下一个数字。
学生可以发现，每两个数字之间差值都是2，所以下一个数字应该是9。
形状规律题是指给出一组图形，要求学生根据已知图形的特点推导出下一个图形或者补全图形。
这类题目常常通过给出一定的条件或者变化规律，让学生去寻找图形之间的关系。
学生可以通过观察图形边长、角度、对称性等特点找到规律。
比如，给出一个图形如下：1 2 34 5 67 8 ?要求学生填空。
学生可以发现，每一行的数字是依次递增的，所以下一个数字应该是9。
操作规律题是指通过一系列操作或者变换，让学生来探索操作之间的关系从而推导出答案。
这类题目常常通过给出一系列数字或者图形的变化过程，让学生去寻找变化之间的规律。
比如，给出一系列数字1，4，9，16，要求学生推导下一个数字。
学生可以发现，每一个数字都是前一个数字的平方，所以下一个数字应该是25。
总之，中考数学探索规律题要求学生通过观察和推理来寻找规律，需要学生具备较强的观察力、逻辑推理能力和发现规律的能力。
在解题过程中，学生可以采用数列差值、比值等方式来寻找数列规律；可以通过观察图形的边长、角度、对称性等特点来寻找形状规律；可以通过寻找操作之间的关系来寻找操作规律。
通过不断的练习和思考，可以提高解决这类问题的能力。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学中，规律探究问题是一类需要通过观察、归纳、推理等方法来找出数学规律的问题。
这类问题通常涉及数字序列、图形变换、等式变形等方面，要求学生在探究规律的过程中培养逻辑思维能力和数学思维方式，提高解决问题的能力。
一、数字序列类问题数字序列类问题是初中数学中最常见的规律探究问题。
这类问题通常要求学生根据给定的数字序列找出其中的规律，并推算出下一个数字或几个数字。
解决这类问题的关键是观察敏锐和逻辑推理能力。
具体的解题技巧如下：1.观察数字序列中的差值：有些数字序列是等差数列，差值相等；有些数字序列是等比数列，比值相等；有些数字序列可能是其他规律，需要用其他方法来找出。
2.找出数字序列中的特殊数字：有些数字序列中会有特殊的数字，比如首项为1的斐波那契数列，第三个数字开始，每个数字是前两个数字之和。
3.归纳误差法：当已知前几个数字后无法确定规律时，可以假设一个规律并进行验证，找出规律的特点和一般性质，再用这个规律来验证后续数字。
二、图形变换类问题图形变换类问题通常涉及图形的旋转、翻转、平移、缩放等操作，要求学生根据给定的图形或一系列图形的变换找出其中的规律。
解决这类问题的关键是观察图形的形状和位置的变化，利用几何知识进行分析。
具体的解题技巧如下：1.观察图形的对称性：有些图形在某种变换后会保持对称，比如旋转180度后还是原来的图形。
2.观察图形的放大缩小关系：有些图形在变换后会变成原来的图形的倍数，比如放大或缩小一定的倍数。
3.观察图形的平移关系：有些图形在变换后会平移一定的距离，比如向左或向右平移一定的格数。
三、等式变形类问题等式变形类问题通常要求学生通过等式的变形推导出另一个等式，并验证等式的等价性。
解决这类问题的关键是掌握等式变形的基本方法和技巧。
具体的解题技巧如下：1.使用性质和定理：根据等式的性质和定理进行变形，如分配律、合并同类项等；2.开展移项、约去等操作：通过移动变量的位置、约去相同因式等操作推导出新的等式；3.代入数值验证等式的等价性：可以代入一些具体的数值来验证等式是否成立。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学中，规律探究问题是指通过分析数列、图形或公式等数学对象的特点，寻找其中隐藏的规律并加以运用来解决问题的一类问题。
这类问题需要学生具备分析能力、抽象能力、推理能力等多方面的综合能力。
初中数学规律探究问题的类型较为多样，常见的有以下几类：1. 数列问题：通过观察数列中的数字之间的规律，找出数列的通项公式或下一个数字，进而解决问题。
已知数列1、2、4、7、11、16的通项公式是多少？解题技巧：观察数列中相邻数字之间的差或比例是否存在固定规律，如果存在，可通过运算找出通项公式；如果不存在，则考虑是否可以构造新的数列来寻找规律。
2. 图形问题：通过观察图形中的形状、边长、角度等特点，找出图形的规律并解决问题。
已知一个正方形从第一阶到第四阶的边长依次为1、2、3、4，第十个阶的边长是多少？解题技巧：观察图形中相邻部分之间的关系，寻找存在的等差、等比、对称等规律；如果能够构造新的图形来辅助分析，更容易找出规律。
3. 公式问题：通过观察公式中的变量、系数等特点，推测出公式的规律并解决问题。
已知一个等差数列的公差是d，前n项的和为Sn，求第n项的值。
1. 观察法：通过观察数列、图形或公式等数学对象的特点，寻找其中存在的规律。
2. 归纳法：通过观察到的规律，总结规律的表达式或公式。
3. 推理法：通过观察到的规律，根据数学常识进行推理和证明。
4. 验证法：通过代入具体数值，验证所得的规律是否成立。
5. 构造法：通过构造新的数列、图形或公式等，辅助分析和解题。
除了以上解题技巧外，良好的数学基础知识和逻辑思维能力也是解决规律探究问题的重要因素。
平时要加强基础知识的学习，培养逻辑思维能力，多进行思维训练和思维导图的绘制，提高解决问题的能力。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析数学是一门理性思维和逻辑推理的学科，而规律探究则是数学学习中的重要一环。
在初中数学教学中，规律探究问题的类型多种多样，解题技巧也有一定的规律可循。
本文将就初中数学规律探究问题的类型及解题技巧进行分析，希望能够对初中生们的数学学习有所帮助。
一、规律探究问题的类型1. 数列问题数列是规律探究问题中常见的类型，通常以一定的形式给出一组数，要求学生找出其中的规律并继续衍生下去。
例如：1, 2, 4, 8, 16, ...学生需要观察这组数，发现每个数都是前一个数乘以2得到的，于是可以推测出下一个数为32。
这种问题要求学生有一定的观察力和逻辑推理能力。
2. 几何图形问题△, △△, △△△, ...学生需要观察这些图形，发现每个图形都是在上一个图形的基础上增加了一个△，因此可以预测下一个图形为△△△△。
3. 方程式问题1+3=4, 2+5=7, 3+7=10, ...学生需要观察这些等式，发现每个等式的结果都是前两个数的和，因此可以总结出通用的表达式：第n个等式的结果为n+(n-1)。
二、解题技巧分析1. 观察数据特征在解决规律探究问题时，首先要求学生观察给出的数据，发现其中的特征和规律。
这需要一定的观察力和逻辑推理能力。
学生可以通过列出数据表格、绘制图形等方式来帮助自己更好地观察数据特征。
2. 归纳规律一旦观察到数据的特征和规律，接下来就需要学生归纳出这些规律，并尝试总结出一般性的结论。
这需要学生拥有一定的逻辑思维和抽象思维能力，能够将具体的案例推广到一般的情况下。
3. 验证规律在归纳规律之后，学生需要对所得的规律进行验证。
这可以通过运用所得的规律来推测未知的数据，或者通过实际计算来检验所得的规律是否正确。
这能够帮助学生巩固所学的规律，并加深对规律的理解。
4. 培养逻辑思维和抽象思维解决规律探究问题需要学生有较强的逻辑思维和抽象思维能力。
教师在课堂教学中可以通过启发式问题、讨论互动等方式引导学生去发现规律、归纳规律，培养学生的逻辑思维和抽象思维。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学规律探究问题是指通过观察数学题目中的规律，通过实际计算或逻辑推理，发现其中的数学规律，并运用规律解题的一类问题。
这类问题在初中数学中经常出现，解决这类问题需要掌握一些解题技巧和分析方法。
一、问题类型1. 数列规律问题：给出一系列数字，要求分析数字之间的规律，并预测下一个数字或找出满足条件的数字。
例如：1，4，9，16，...，下一个数是多少？答案是25，因为给定的数列是平方数列。
解题技巧：观察数列中相邻数字之间的差异或倍数关系，找出规律，并应用规律计算。
2. 图示规律问题：给出一幅图形或图形序列，要求分析图形之间的规律并预测下一幅图形或找出符合规律的图形。
例如：下面的图形序列中，哪个图形是下一个？□□□■■■■□□□■■■■■■□□□■■■■■■■■答案是：□□□■■■■■根据观察可以发现，□表示空白，■表示实心，图形序列遵循奇数行是空白实心交替，偶数行是实心空白交替的规律。
解题技巧：观察图形的形状、组成要素、排列方式等，找出规律，并应用规律预测下一个图形或找出符合规律的图形。
4. 条件规律问题：给出一组满足特定条件的数字或图形，要求分析条件之间的关系并找出满足条件的其他数字或图形。
例如：对于下面的等式，填入适当的数字：1 2 3 = 62 3 4 = 93 4 5 = 12答案是：4 5 6 = 15，等号右边的数字是等号左边三个数字的和。
解题技巧：通过观察和分析给定的条件，找出条件之间的关系，根据关系找出满足条件的其他数字或图形。
二、解题技巧1. 观察比较：解决规律问题首先要通过观察和比较找出数字、图形之间的规律。
可以通过列举题目给出的一些例子来观察，也可以通过自己构造一些例子来观察。
在观察的过程中，要关注数字或图形之间的差异、相似性，以及数字之间的大小关系、图形的形状变化等。
2. 抽象总结：通过观察找到规律后，要将观察到的规律进行抽象和总结，归纳出一个普遍适用的规律。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学中，规律探究问题是一种常见的问题类型，涉及到数学中的一些规律、性质或者关系。
这种问题要求学生通过观察、思考和归纳总结等方法，找出数学中隐藏的规律，进而解决问题。
一、类型分析：1. 数列的规律探究问题：这种类型的问题要求学生根据给定的数列，找出其中的规律，推测下一项或者特定位置处的数值。
例如：给定数列1，3，5，7，…，学生需要找出这个数列的通项公式，并计算第100项的值。
解题技巧：观察数列中相邻两项之间的差值或者比值是否有规律，尝试使用数学表达式表示，利用已知的条件求解未知项的值。
2. 几何图形的规律探究问题：这种类型的问题要求学生观察给定的几何图形之间的关系，找出其中的规律并推导出结论。
例如：给定一组图形，每个图形都由一些小正方形组成，学生需要找出这些图形的面积与小正方形个数之间的规律。
解题技巧：观察图形中各个元素的数量、形状或者位置的变化规律，推测出图形之间的关系，利用已知的条件推导出未知的结论。
二、解题技巧分析：1. 观察准确：解决规律探究问题的关键是准确观察给定的条件，发现其中的规律，不能遗漏任何细节。
2. 归纳总结：在观察的基础上，要通过归纳总结的方法，将观察到的规律进行概括和总结，形成一个可以适用于所有情况的规律表达式。
3. 测试验证：根据归纳总结得到的规律表达式，进行一定数量的测试，验证这个规律表达式是否正确，是否适用于所有情况。
4. 推演运用：在掌握规律表达式并验证无误后，可以使用这个规律来解决其他类似的问题，进一步运用推演的方法。
5. 灵活运用：在解决规律探究问题时，要善于灵活运用各种数学知识，例如代数、几何、等差等差数列、等比数列等，将不同的数学概念和方法结合起来，找到最优解。
初中数学规律探究问题是一种需要观察、归纳和推演的问题类型。
学生在解决这类问题时，要注重观察准确、归纳总结、测试验证和推演运用，灵活运用各种数学知识，找到解决问题的最优解。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析数学规律探究问题是初中数学学习中常见的一类问题，通过对数学规律的探究和分析，培养学生的逻辑思维和推理能力，提高他们的问题解决能力。
下面将介绍一些常见的数学规律探究问题类型及解题技巧分析。
一、数列规律问题数列规律问题是最常见的数学规律探究问题。
解题时，可以根据给定的数列和规律，通过观察和分析，推算出数列的通项公式或者下一个数的值。
常见的数列规律有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
解题技巧：1.观察相邻项之间的差值或比值，判断是等差数列还是等比数列。
2.求出数列的公差或公比，进而得到数列的通项公式。
3.根据已知条件，利用数列的通项公式求出需要的值。
图形规律问题是指通过观察和分析给定的图形，找出其中的规律，推导出图形的性质或者下一个图形的形状。
常见的图形规律有平移、旋转、翻转等。
解题技巧：1.观察图形的对称性和相邻图形之间的关系，判断是平移、旋转还是翻转。
2.根据已知条件，通过推理和逻辑推断，得出图形的性质。
3.根据已知条件，利用图形的性质，推导下一个图形的形状或者位置。
解题技巧：1.观察方程中的系数和常数项之间的关系，判断方程的类型。
2.根据已知条件，通过代入值，解方程得出结论。
3.利用已知方程和规律，推导出下一个方程的解。
概率规律问题是指通过观察和分析一系列事件的发生概率，找出其中的规律，推导出可能的结果。
常见的概率规律有独立事件、互斥事件等。
总结：解决数学规律探究问题需要学生运用观察、分析、推理和推导等数学思维和方法，不仅要灵活运用各种公式和定理，而且要发挥想象力和创造力，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
在教学中，教师应该引导学生多做习题和实际应用，培养学生的观察力、分析力和推理能力，提高他们的问题解决能力。
教师也应该注重培养学生的创造力和创新意识，鼓励学生发散思维和多角度思考问题，使学生在探究数学规律问题中获得乐趣和成长。
初中数学找规律题型总结
初中数学找规律题型总结类型一：数字型规律题需要熟记的规律：正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…熟记常见的规律：① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……(1)2n n+③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)⑦ 12+22+32….+n2=16n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n3=14n2(n+1）解题方法1——看增幅：（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。
然后再简化代数式a+(n-1)b。
（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
（三）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，例1：4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2例2：2、5、10、17……，求第n位数。
分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。
那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：〔3+（2n-1）〕×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1 所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1例3：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. 解题方法2——标号找规律：通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析一、数字规律探究问题数字规律探究问题是数学学习中常见的一类问题，通常涉及到数字之间的关系和规律。
解决数字规律问题需要学生对数字之间的运算关系进行分析，并找出规律。
一般来说，数字规律问题分为两种类型：基本数字规律和扩展数字规律。
1. 基本数字规律基本数字规律是指数字之间的简单关系，通常呈现在数列或者数字表格中。
给出一个数列1，3，5，7…，要求学生找出其中的规律并补充下一个数。
解决这类问题的关键在于观察数字之间的差异和规律，一般来说可以通过计算相邻数字的差值或者比值来找到规律。
比如上述数列中每个数与前一个数的差值都是2，因此可以得出规律为n与n-1之间的差值递增2。
解题技巧：观察数字之间的差异和规律，可以进行递增、递减、乘法、除法等运算，寻找规律的方式多种多样，需要学生多加练习和思考。
扩展数字规律是指数字之间的复杂关系，通常需要学生更加深入地思考和分析。
给出一个数字表格，要求学生填写其中的空缺部分。
这类问题通常需要学生通过观察数字之间的关系，找到规律并进行推理分析。
解决这类问题需要学生具有很强的逻辑思维能力和分析能力。
解题技巧：对于扩展数字规律问题，学生需要通过分析数字之间的变化规律，尝试找出其中的数学定律，并运用数学原理进行推理和计算。
图形规律探究问题是指通过观察图形之间的关系，找出其中的规律和特点。
这类问题通常呈现为几何图形的变化和组合，要求学生找出其中的规律并进行推理分析。
解决图形规律问题需要学生具有对图形的敏锐观察能力和逻辑推理能力。
解题技巧：观察图形之间的相似性和规律，可以通过旋转、平移、对称等方式进行变换，通过观察图形的对应关系找出规律。
2. 扩展图形规律基本等式规律是指等式之间简单的变化关系，通常呈现为数学公式或者等式变换。
给出一个等式2x+1=5，要求学生找出其中的规律并求解x的值。
解决这类问题需要学生熟练掌握等式的变形和求解方法。
解题技巧：观察等式之间的变化规律，可以通过移项、合并同类项、因式分解等方式进行变形，找出变量的取值范围。
初中数学找规律题型归纳
初中数学找规律题型归纳一、题型归纳找规律是初中数学中常见的一种题型，主要考察学生的观察、归纳和推理能力。
这种题型通常会给出一些数字、图形或其他信息，要求学生找出其中的规律，并据此解答相关问题。
找规律题型可以分为以下几种类型：1. 数字规律：给出一些数字，要求学生找出其中的规律，如数列中的递推关系、周期性等。
2. 图形规律：给出一些图形或图案，要求学生找出其中的规律，如对称性、旋转等。
3. 综合性规律：结合数字和图形等元素，考察学生的综合分析能力。
二、例题解析1. 数字规律例题：题目：数列1，4，9，16，…的下一个数是_______．解析：观察数列1，4，9，16，…可以发现，每一个数都是某个整数的平方。
具体来说，1是1的平方，4是2的平方，9是3的平方，16是4的平方。
因此，下一个数应该是5的平方，即25。
答案：25。
2. 图形规律例题：题目：观察下列图形，它们有共同点，请写出其中两条：_______．解析：观察给出的图形可以发现，它们都是轴对称图形。
具体来说，每一个图形都可以沿一条直线折叠，使得两侧的图形完全重合。
此外，每一个图形都有两个顶点关于这条直线对称。
因此，答案可以是“轴对称图形”和“两个顶点关于某一直线对称”。
答案：轴对称图形；两个顶点关于某一直线对称（答案不唯一）。
3. 综合性规律例题：题目：观察下列图形和数字：（1）找出其中的规律，并填写空白处的数字。
（2）按照这种规律，第8个图形中有多少个三角形？解析：观察给出的图形和数字可以发现，每一个图形中的三角形数量与图形的序号有关。
具体来说，第1个图形中有1个三角形，第2个图形中有3个三角形（1+2），第3个图形中有6个三角形（1+2+3），以此类推。
因此，空白处的数字应该是1+2+3+4=10。
对于第2个问题，由于第8个图形中的三角形数量是1+2+3+4+5+6+7+8=36个三角形。
答案：（1）10；（2）36。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学规律探究问题是学习数学过程中常见的一类问题，它要求学生通过观察、归纳、验证等方法，探索数学规律和性质。
这类问题的解题过程不仅能培养学生的观察力、归纳能力和逻辑思维能力，还能加深对数学概念的理解和运用能力。
下面我们来分析一下这类问题的类型及解题技巧。
一、问题类型1. 数列规律问题这类问题要求学生观察数列中的数的变化规律，并找出下一个或若干个数。
给定数列1，4，7，10，...，求下一个数。
2. 图形规律问题这类问题要求学生观察图形中的形状、线条、角度等特征，找出规律。
给定几个图形，让学生找出它们之间的规律，并填入正确的图形。
4. 推理规律问题这类问题要求学生通过已知条件，推理出目标结果。
给定一个等式A=B，B=C，让学生推理出A=C。
5. 概率规律问题这类问题要求学生通过观察事件发生的频率和可能性，找到事件发生的规律。
投掷一个均匀的骰子，求得到偶数的概率。
二、解题技巧1. 观察问题中的已知条件和要求在解决规律探究问题时，首先要仔细观察问题中给定的已知条件和要求，明确问题的目标，有针对性地进行推理和归纳。
2. 利用归纳法进行思考归纳法是解决规律探究问题的基本方法。
通过观察已知的数学对象，找出其中的规律，然后将这个规律推广到其他情况，验证是否成立。
如果规律成立，就可以用它来解决问题。
3. 使用逆向思维有时候，为了找到某个数列或图形的规律，可以采用逆向思维，从目标结果出发，思考需要满足的条件或特征。
通过观察规律的逆向推导，可以更加直观地找到问题的解法。
4. 运用数学工具和方法解决规律探究问题时，可以灵活运用数学工具和方法。
可以通过建立方程、列出表格、绘制图形等方法来整理和归纳问题中的数据，从而发现问题的规律。
5. 多角度思考问题有时候，同一个问题可以从不同的角度进行思考，这样可以得到不同的解法。
在解决数学规律探究问题时，可以尝试不同的方法和思路，从而拓宽解题思路。
七年级探索规律题分类
七年级探索规律题分类
七年级探索规律题主要可以分为以下6类：
1.等差型数列规律：这类题目中，相邻两项之差（后减前）等于定值。
例如，
1，3，5，7，9……增幅是2。
2.等比型数列规律：这类题目中，每一项都是前一项的固定倍数。
例如，1，2，
4，8，16……增幅是2。
3.含平方型数列规律：这类题目中，数列中包含平方运算。
例如，1，4，9，
16，25……增幅是平方数。
4.循环型数列：这类题目中，数列呈现出明显的循环模式。
例如，1，2，3，
2，1，2，3，2……循环的数字是1、2、3、2。
5.图形规律题：这类题目需要通过观察图形的变化规律来解答问题。
例如，给
出一些正六边形和正三角形镶嵌的图案，问第n个图案中阴影小三角形的个数。
6.数字规律题：这类题目需要通过观察数字的变化规律来解答问题。
例如，
1+3=4=2^2, 1+3+5=9=3^2, 1+3+5+7=16=4^2。
问1+3+5+7+…
+2005+2007的值。
1/ 1。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学规律探究问题是数学学习中的重要内容，它既能培养学生的逻辑思维能力，又能拓展他们的数学思维，因此在课堂教学中占有重要的地位。
在数学学习中，规律探究问题是一个重要的学习内容，通过解决这类问题，可以培养学生的逻辑思维能力，提高他们的解决问题的能力。
而初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析，可以帮助学生更好地理解这一学习内容，提高他们的数学学习能力。
初中数学规律探究问题的类型包括数列问题、几何图形的规律问题、函数规律问题等。
下面我们将对这些类型的规律探究问题进行详细的分析，同时探讨解题的技巧。
一、数列问题1.等差数列等差数列是指数列中相邻两项的差为一个常数的数列。
解决等差数列问题的关键是找出数列中的公差，一般可以通过找出数列中的两项或者多项之间的关系来求得。
对于如下数列：2，5，8，11，14，……，可以得出数列的公差为3，之后就可以利用公差求和的方法，轻松计算数列的和。
二、几何图形的规律问题几何图形的规律问题是指在图形中寻找相似的特征或者关系，解决这类问题的关键是找出图形之间的规律。
对于如下图形：△，△△，△△△，△△△△……，可以发现每一项图形的边数逐次增加，因此可以通过找出图形之间的规律，求得任意项的图形。
三、函数规律问题函数规律问题是指通过数学函数的关系来寻找数值之间的规律。
解决这类问题的关键是找到数值之间的函数关系，可以通过列出函数表或者等式来求得函数关系。
对于如下函数：y=2x+1，可以通过给定x的值，求得对应的y值。
解题技巧分析1.找出规律解决规律探究问题的第一步是要找出规律，无论是数列问题、几何图形的规律问题还是函数规律问题，都需要学生通过观察和分析来找到其中的规律，这样才能有效地解决问题。
2.归纳总结找到规律之后，需要对规律进行总结归纳，例如找出数列中的公差或者公比，找到图形之间的关系，找到函数之间的关系等。
通过对规律进行总结归纳，可以更快地解决问题。
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初中数学规律探究题型“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。
这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。
不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。
因此规律探究类问题一直成为命题的热点。
题型一、一阶等差规律一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。
主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。
这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。
1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。
2、首差法通项公式（通法）（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个数记为n a （2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为d ，即=d 后项—前项 （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：d n a a n )1(1-+=（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点),(n a n ，设通项公式为：b kn a n +=，代入前2组数据，通过解一次函数方法，即可得到通项公式；例1、如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要（ ）枚棋子．【解析】用一阶等差实质进行分析。
根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个． 第2个图案中棋子的个数5611+=个．⋯．每个图形都比前一个图形多用6个．∴第30个图案中棋子的个数为5296179+⨯=个．答案：179例2、观察下列数：14，39，516，725，936⋯，它们按一定规律排列，那么这一组数第n 个数是( ) A ．221n n - B ．221n n + C ．221(1)n n ++ D ．221(1)n n -+ 【解析】法一：观察分析。
212114(11)⨯-=+，232219(21)⨯-=+，2523116(31)⨯-=+，2724125(41)⨯-=+，2925136(51)⨯-=+，⋯ 由上可知，第n 个数是221(1)n n -+．故选：D ．法二：赋值思想。
令1=n ，A ．1112122=-=-n n ，∴A 错；B ．3112122=+=+n n ，∴B 错； C ．()434121122=+=++n n ，∴C 对； D ．()414121122=-=+-n n ，∴D 错。
例3、给定一列按规律排列的数：1，34，59，716，⋯，则第(1)n n 个数为( ) A ．221n n- B ．22n nC ．221n n - D ．221n n + 【解答】由已知观察，分母是自然数1，2，3，⋯，n 的平方，分子是正奇数，则第n 个数是221n n -，选C 例4、已知下列一组数：1，34，59，716，925，⋯；用代数式表示第n 个数，则第n 个数是( ) A ．2132n n -- B ．221n n - C ．2132n n +- D ．221n n + 【解答】221111⨯-=；2322142⨯-=；2523193⨯-=；∴第n 个数是：221n n -故选：B ．例5、按一定规律排列的一列数依次是23、1、87、119、1411、1713⋯按此规律，这列数中第100个数是( )A ．299199B ．299201 C ．301201 D ．303203【解答】由23、55、87、119、1411、1713、⋯可得第n 个数为3121n n -+．100n =，∴第100个数为：299201 例6、如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，⋯，则第n 个图案中有 根小棒．【解答】第1个图案中有516+=根小棒，第2个图案中有252111⨯+-=根小棒，第3个图案中有353216⨯+-=根小棒，⋯∴第n 个图案中有5(1)51n n n n +--=+根小棒．故答案为：51n +．题型二、二阶等差规律探究再差为常数涉及二次项，通过观察数据很难观察出通项公式是多少，需要利用一定的数据分析方法转化。
1、再差法通项公式（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个记为n a（2）对数据求差，第一次做差的第一个结果记为c ，二次差的结果为一个固定常数，记为d ； （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=)2(2)1(1n d c n a a n （4）若记不住公式，可设为：c bn kn a n ++=2，代入开始的3组数据，即可得到通项公式。
例1、如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子，⋯，按照这样的规律摆下去，第(n n 是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是 （用含n 的代数式表示）．【解答】结合图形，发现：第1个图形中的棋子数是233133⨯-=⨯=（个)；第2个图形中的棋子数是344248⨯-=⨯=（个)；第3个图形中的棋子数是4553515⨯-=⨯=（个)，以此类推，发现：第(n n 是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是2(2)2n n n n +=+（个)．例2、观察下列砌钢管的横截面图，则第n 个图的钢管数是 （用含n 的式子表示）【解答】第一个图中钢管数为123+=；第二个图中钢管数为2349++=；第三个图中钢管数为345618+++=；第四个图中钢管数为4567830++++=，依此类推，第n 个图中钢管数为2233(1)(2)2(2)2222n n n n n n n n n n n ++++++⋯+=+⨯+=+， 故答案为：23322n n +．例2、如图是由火柴棒搭成的几何图案， 则第n 个图案中有 根火柴棒。
（用含n 的代数式表示）【解答】依题意得：1n =，根数为：421(11)=⨯⨯+；2n =，根数为：1222(21)=⨯⨯+；3n =，根数为：2423(31)=⨯⨯+；⋯n n =时， 根数为：2(1)n n +．故答案为：2(1)n n +．例3、照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ．【解答】第1个图案只有1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共239=，其中黑色的有5块，第3个图案有黑色与白色地砖共2525=，其中黑色的有13块，⋯ 第n 个图案有黑色与白色地砖共2(21)n -，其中黑色的有21[(21)1]2n -+，当14n =时，黑色地砖的块数有211[(2141)1]73036522⨯-+=⨯=．故答案为：365．例4、当n 等于1，2，3⋯时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 ．（用n 表示，n 是正整数）【解答】第1个图形：白色正方形1个，黑色正方形414⨯=个，共有145+=个；第2个图形：白色正方形224=个，黑色正方形428⨯=个，共有4812+=个； 第3个图形：白色正方形239=个，黑色正方形4312⨯=个，共有91221+=个；⋯， 第n 个图形：白色正方形2n 个，黑色正方形4n 个，共有24n n +个．故答案为：24n n +．题型三、商比法规律探究通过作商得到一个固定的值，则可以套通项公式求出规律。
这部分内容亦可以通过观察题目所给的数据分析得到正确答案，运用观察法分析问题时需注意每一项符号之间的变化规律。
1、商比法规律探究（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个记为n a （2）对这组数据两两之间做比，比为一个固定常数，记为d ； （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：11-=n n d a a例1、按一定规律排列的单项式：a ，2a -，3a ，4a -，5a ，6a -，⋯⋯，第n 个单项式是( ) A ．n a B ．n a - C ．1(1)n n a +- D ．(1)n n a -【解析】法一：观察分析。
a ，2a -，3a ，4a -，5a ，6a -，⋯⋯，1(1)n n a +-．故选：C ． 法一：套公式。
可得数据做比得常数a d -=，带入公式计算，得到：n n n n a a a a ⨯-=-⨯=--11)1()(。
因为1)1(--n 与1)1(+-n 等价，所以选C法三：赋值思想。
例2、如图，在Rt △1APB 中，30A ∠=︒，190APB ∠=︒，1483P B =，C 在1AP 上，CD AB ⊥于D ，且20CD =，过1P 作11PQ AB ⊥于1Q ，过1Q 作121Q P AP ⊥于2P ，过2P 作22P Q AB ⊥于2Q ，过2Q 作231Q P AP ⊥于3P ⋯⋯则有11PQ =________，若n n P Q 在线段CD 的右侧，则n 的最大值为（ ）．【解析】在Rt △11APQ 中，1BP =30A ∠=︒，11172PQ ∴=，由30︒的直角三角形的性质可知，2211337244P Q PQ ==⨯，233223372()44PQ P Q ==⨯，⋯，1372()4n n n P Q -=⨯。
由题意1372()204n -⨯>，可得n 的最大值为5，故答案为5．题型四、周期性探索规律周期性变化规律是中学阶段的中点内容，该部分又主要涉及两类：图形的周期性变化及数字周期重复出现。
周期类型的关键是找准余数，用余数对照第一个周期内的变化。
题目求的量设为m ，周期记为T ，周期数为n ,余数记为d 。
则该类型的规律为：d n T m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷例1、如图，在平面直角坐标系中，将ABO ∆绕点A 顺时针旋转到△11AB C 的位置，点B 、O 分别落在点1B 、1C 处，点1B 在x 轴上，再将△11AB C 绕点1B 顺时针旋转到△112A B C 的位置，点2C 在x 轴上，将△112A B C 绕点2C 顺时针旋转到△222A B C 的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去⋯．若点(3,0)A ，(0,4)B ，则点2014B 的横坐标为（ ） ．【解析】3AO =，4BO =，5AB ∴=，11235412OA AB B C ∴++=++=，2B ∴的横坐标为：12，且224B C =，4B ∴的横坐标为：21224⨯=，201421007÷=，∴点2014B 的横坐标为：10071212084⨯=．故答案为：12084．例2、如图，边长为4的等边ABC ∆的顶点B 与原点重合，将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转60︒的1ACA ∆，将四边形1ABCA 看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，则2017A 的坐标为（ ） ．【解答】边长为4的等边ABC ∆的顶点B 与原点重合，4OA BC ∴==，60AOC ∠=︒，如图，过点A 作AD x ⊥轴于D ，122BD DC BC ∴===，sin 4AD OA AOD =∠== (2A ∴，．将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转60︒的1ACA ∆，∴四边形1AOCA 是平行四边形，14AA OC ∴==，1//AA OC ，1(24A ∴+，，即1(6A ，；将四边形1ABCA 看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，2(242A ∴+⨯，，即2(10A ，；3(243A +⨯，，即3(14A ，；⋯2017A ∴的坐标为(242017+⨯，，即2017(8070A ，；故答案为(8070，．例3、如图，在直角坐标系中，已知点0P 的坐标为(1,0)，将线段0OP 按照逆时针方向旋转45︒，再将其长度伸长为0OP 的2倍，得到线段1OP ；又将线段1OP 按照逆时针方向旋转45︒，长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；如此下去，得到线段3OP ，4OP ，⋯，(nOP n 为正整数），则点8P 的坐标为（ ） ．【解答】由题意可得，01OP =，1212OP =⨯=，22222OP =⨯=，233222OP =⨯=，344222OP =⨯=，⋯788222256OP =⨯==，每一次都旋转45︒，360458︒÷︒=，∴每8次变化为一个循环组， 8P ∴在4x 的正半轴上，8(256,0)P ，故答案为(256,0)．例4、如图，动点P 从(0,3)出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形OABC 的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为45︒，第1次碰到长方形边上的点的坐标为(3,0)，则第3次碰到长方形边上的点的坐标为（ ），第2015次碰到长方形边上的点的坐标为（ ） ．【解答】根据题意，如下图示：根据图形可知，第3次碰到长方形边上的点的坐标为(8,3)；通过上图观察可知，每碰撞6次回到始点．201563355÷=⋯，∴第2015次碰到长方形边上的点的坐标为(1,4)．故答案为：(8,3)，(1,4)．题型五、列项求和型列项型规律特征很明显，只要属于列项型规律，往往与之伴随的会有求和。