矩量法 Method of Moment课件
计算电磁学6-矩量法
∫ ∫ ∂F = ∂R2 dV = 2R ∂R dV =0
∂u j V ∂u j
V ∂u j
( j = 1, 2,", n)
从上式可以看出，我们取权函数 这样得到于MOM法一样的表达式。
Wj
= 2 ∂R ∂u j
，
还有其它权函数选择方法，如将场域剖分成多个子域， 定义子域内的权函数为1，构成子域匹配法。
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一维静电场分布
基函数为全域基
因为解为幂级数形式，基函数含有幂级数
Ni = x − xi+1 (i = 1, 2,", n)
给出的基函数满足给定的边界条件。
n
∑ ϕ ( x ) = ( x − x i+1 )ϕ i i =1
等间距的匹配点，权函数为狄拉克 δ 函数
第6章 矩量法
计算电磁学－矩量法 电子科技大学物理电子学院 赖生建
cem@
主要内容
一． 矩量法思想 二． 加权余量法原理 三． MOM中基函数、权函数 四． 静场问题的MOM法 五． 细导线问题的MOM法
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概述
矩量法（Method of Moment，MOM）在天 线、微波技术和电磁散射等方面广泛应用的一 种方法，这些实际工程问题涉及开域、激励场 源分布形态较为复杂。
分域基的数值稳定性较高，全域基的收效性较好。若选 择的基函数和实际解答愈接近，收敛愈快。
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权函数的选取
由加权余量表达式 R(u) = Lu − g，不同的权函数选择，
将决定算子方程的余量 ∫vWj (Lu−g)dV =0 在不用意义下
取零，可得到不同计算模式的矩量法。
n
∑ ∫ ∫ ( ) ui
西南交通大学研究生课件-矩量法
矩量法(Method of Moment)MoM, MM§1矩量法的基本原理1、内积两元素f和g的内积<f, g>是一个标量，性质：<f, g>=<g, f><(a1f+ a2g), h>= a1<f, h>+ a2<g, h> , a1，a2为标量<f, f*> >0 (0f); <f, f*> >0 (f=0) . f*为f的共轭2、算子方程L(f)=g, L～微分、差分、积分算子线性算子L ：L(a 1 f 1+a 2f 2 )=a 1L(f 1)+a 2L(f 2), （a 1，a 2为常数） 若 <Lf, g>=<f, L a g>, 则称L a 为L 的伴随算子 若L a =L ，则L a 为自伴算子互易定理：若 源a ：a m a J J ,→场a ：a a H E ,；源b ：b m b J J ,→场b ：b b H E,； 则 <La, b>=dV J d H J d E bm a b V a )(1∙-∙⎰⎰⎰<a, L b>=dV J d H J d E amb a V b )(2∙-∙⎰⎰⎰ 若V1和V2重合，则<La, b>=<a, Lb> →互易定理（反应守恒）3、矩量法)()'((z g z f L = (1)g(z)为已知函数，为待求的未知函数（注意f, g 完全可能是矢量）∑==≈Nn n n n z f a z f 1)'()'( (2)n a 为待定系数（可以是复数），)'(z f n 为基函数（线性独立） 将（2）带入（1），交换L 与求和的次序（线性算子的性质）)()]'([1z g z fL a N n n nn≈∑== (3)残数（残差）：)()]'([)(1z g z f L a z N n n n n -=∑==ε 将上式两端与检验函数（权函数）求内积：><-><>=<∑==)(,)]'([,)(,1z g W z f L W a z W m Nn n n m n m ε (4)若令残数矢量对检验函数空间的投影为零，即：><)(,z W m ε=0 (5)即：0)(−−→−∞=N z ε由于误差正交于投影，所以它是二阶无穷小。
矩估计原理及方法介绍精品PPT课件
1
矩估计法(The Method of Moments)， 是基于一种简单的“替换”思想建立起 来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.Pearson最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
矩法估计的理论基础是：辛钦大数定律 .
2
记总体 k 阶原点矩为 k E( X k )
样本 k 阶原点矩为
比较：
的最大似然估计量为
ˆ
max
1 i n
X
i
.
在本例中,如果 X 表示乘客的候车时间,随机抽样
得到的5位乘客的候车时间为 0.5, 1, 2, 3.5, 8, 则其矩
估计值为 6, 而其最大似然估计值为 8.
5
例2 设总体 X 服从正态分布 N (, 2 ) ，( X1,, X n ) 是 取自 X 的样本，则 , 2 的矩法估计量分别为
解 (1) 矩估计法：
X 服从几何分布， E( X ) 1 p
所以 p 的矩估计量为
pˆ 1 X
Байду номын сангаас
7
P{ X x} p(1 p)x1 , x 1,2
解 (2) 最大似然估计法：
n
L( p)
n
p(1
p
)
xi
1
pn (1
xi n p) i1
,
i 1
n
ln L n ln p ( xi n) ln(1 p) ,
i 1
n
d ln L n n i1 xi
令
0，
dp p 1 p
解得 p 的最大似然估计量为
pˆ
n1
n
Xi
. X
i 1
8
矩量法在电磁散射中的应用介绍
矩量法在电磁散射中的应用一矩量法在电磁散射问题中的应用电磁散射问题是电磁学中的一个重要研究领域，研究电磁波的散射机理以及计算其散射场强的大小与分布，具有十分重要的实际意义。
矩量法作为一种有效的数值计算方法在其中有着广泛的应用。
但作为一种计算方法它也有着自己的缺陷，为了解决这些问题，人们提出了各种方案，矩量法在这个过程中也获得了很大的发展。
MoM(Method of Moments)原本是一种近似求解线性算子方程的方法，通过它可以将算子方程转化为一矩阵方程，进而通过求解此矩阵方程得到最终的近似解。
MoM最早是由两位数学家L. V. Kantorovich和V. I．Krylov提出的，后来由K．K．Mei引入计算电磁学，最终被R．F. Harryington在其著作《计算电磁场中的矩量法》中加以系统描述。
利用矩量法求解电磁问题的主要优点是：它严格地计算了各个子系统间的互耦，而算法本身又从根本上保证了误差系统总体最小而不产生数值色散。
如今MoM被广泛应用于计算电磁学中，虽然它不能处理电大尺寸目标的电磁问题，但基于MoM的各种加速方法仍受到极大重视，如多层快速多极子方法MLMFA等。
电磁散射问题是电磁学中的一个重要研究领域，研究电磁波的散射机理以及计算其散射场强的大小与分布，具有十分重要的实际意义。
在实际生活中，遇到的散射目标往往不仅具有复杂的几何形状，而且构成的材料也各不相同。
因此对复杂目标的电磁散射特性进行快速、高效的分析，具有重要的理论意义和实用价值。
电磁散射问题只有在相对简单的情况下才可以用严格的解析法来求解，比如对极少数形状规则的物体。
对于电大物体，可以用高频近似方法，例如几何光学法(GO)、物理光学法(PO)、几何绕射理论(GTD)、物理绕射理论(PTD)、一致性几何绕射理论(UTD)、复射线法(CT)等来求解散射场。
反之，对于电小物体，可以用准静态场来进行分析。
介乎这两者之间的物体，一般采用数值方法。
天线PPT课件(完整版)
天线发展简史
一、1886, 赫兹（Heinrich Rudolf Hertz, 1857-1894）
1839年法拉第（Michael Faraday, 1791-1867）发现、 1873年麦克斯韦(James Clerk Maxwell, 1831-1879)完成的电磁 理论，在1886年由海因里希· 鲁道夫· 赫兹建立了第一个无 线电系统，首次在实验室证实。
§1.1 辅助函数法
在远场区
E jA E jA E jA Er 0
1 j ˆE ˆ A H r r
天线辐射问题分析过程
§1.2 电基本振子
什么是电基本振子？ 一段通有高频电流的直导线，当导线长度远远小于
7
天线发展简史
三、1980, 超大阵列（VLA）抛物面天线（Very Large Array Steerable Parabolic Dish Antennas） 位于美国新墨西哥州（Socorro, New Mexico）的超大阵 列天线由27面直径为25米的抛物面按Y型方式排列组成，是 世界第一个射电天文望远镜。其分辨率相当于36千米跨度的 天线，而灵敏度相当于直径为130米的碟型天线。
2 A k A J
2
A 4 A 4
－线电流
远场辐，忽略高阶项
1 n 2,3,4, rn
jkr e ˆA , ˆA , ˆAr , A r , r
r
1 ˆA , ˆA , 1 E je jkr 2 r r
天线与电波传播
绪论
计算电磁学 第10讲 矩量法
第十讲 矩量法 10.2 基函数与权函数选择 一维分段线性插值（三角形函数）
x − x i −1 ( x i −1 ≤ x ≤ x i ) x x − i −1 i x − x i +1 fi ( x) = ( xi ≤ x ≤ xi +1 ) x − x i +1 i (在 其 他 子 区 间 ) 0
第十讲 矩量法 10.2 基函数与权函数选择 拉格朗日插值多项式：
No.19
已知函数 f(x)的函数值 yk=f(xk), k=0,1,2,…。 构造一个多项式 P(x)， 使得 P(xk)=yk。 用 n 次多项式
Pn ( x) = yk lk ( x) + yk +1lk +1 ( x) + ⋯ + yk + nlk + n ( x) = ∑ yi li ( x)
信息科学与工程学院 孔凡敏
Email:kongfm@
第十讲 矩量法 10.2 基函数与权函数选择
基函数： 基函数：
No.13
MoM 法的一个重要问题是基函数 f n 的选取， 理论上有许 多基函数可供选择，只要它们是线性独立的即可。 实际上，人们往往只能有少量的某些函数可较好地逼近 待求的 f ，通常选取的基函数应使矩阵有较少的阶次，求逆 矩阵方便，收敛快等性质。
第十讲 矩量法
No.1
第十讲 矩 量 法
矩量法（ 矩量法（Method of Moment，MOM）在 天线、 天线、微波技术和电磁散射等方面广泛应 用的一种方法， 用的一种方法，这些实际工程问题涉及开 域、激励场源分布形态较为复杂。 激励场源分布形态较为复杂。 矩量法是将待求的积分或微分问题转化为 一个矩阵方程问题， 一个矩阵方程问题，借助于计算机， 借助于计算机，求得 其数值解。 其数值解。 R.F.Harrington 对用矩量法求解电磁场问 题做了全面和深入的分析， 题做了全面和深入的分析，其经典著作已 于1968年出版。 年出版。
第2章矩量法.ppt
广义阻 抗矩阵
I1 I 2 I I N
广义电流
广义电压
用求逆方法求解，可利用Z的对称性，以节省计算时间：
I Z 1 V
矩量法
§2.2 基函数与检验函数的选择 1．基函数： 对于给定问题，选取的基函数越接近实际解，则方 程组的要求越简单，计算量越小，收敛越快。 在天线问题中，基函数Jn越接近于辐射体上的实际 电流分布，那么方程组的收敛性越好，计算量越少，而 且在某些条件下，阻抗矩阵的条件(稳定性)就越好。 基函数的选择对阻抗矩阵的稳定性有显著的影响。 基函数有两大类： 第一类是全域基函数(整域基函数)，即在整个定义域内 定义基函数。 第二类是子域基函数(分域基函数)，它在定义域内的一 部分定义，而在其它部分定义域内为零。
④求解上矩阵方程。
矩量法
对于电磁场问题，算子方程：
Lop ( J ) Ei
1.设基函数为Jn (n=1,2,…N)，则有：
J In Jn
n
基函数有全域基和子域基。
2.权函数为Wm（m=1,2,…N）；
3.代入第一式，并利用其线性特性： I n Lop J n Ei
( z) a n L[ f n ( z' )] g ( z)
n 1
N
称为残数
矩量法
②现选取检验函数 w m ，将上表示式两端与检验函 数求内积：
wm , ( z) a n wm , L[ f n ( z' )] wm , g ( z)
n 1
N
Z I V
W1 , Lop J 2 W2 , Lop J 2 WN , Lop J 2
MOM_矩量法
x0
MOM
2）脉冲函数（pulse）
C B1(x) P(x, x1, x2 ) 0
x1 x x2 others
1
3）子域三角函数（subsectional triangle function）
x x1
B2
(
x)
t(x,
x1,
x2
,
x3
)
x2 x3
x1 x
x3 x2
x1 x x2
MOM
学术大师
❖ 周永祖教授 (Prof. W. C. Chew，IEEE Fellow)
Dean of Faculty of Engineering, The University of Hong Kong
当代“计算电磁学世界第一人” 主要研究方向 ： 计算电磁学、集成电路、微带天线、 电磁散射与逆散射、地下探测等
MOM
1 ( x)
1 2
x(x
1)
2 (x) 1 x2
3 ( x)
1 2
x(x
1)
MOM
▪ 小结－分域基函数构造
• 1）求解域分成很多子区域 • 2）在每个子区域中选择若干个位置上的函数值作为参
考点 • 3）用多项式插值得到整个子区域的函数 • 4）子区域函数叠加得到整个区域待定函数的表达式
▪ 关键
◆ 通过创造性的研究，首次将多层快速多极子算法 （MLFMA）推广到电磁学领域，大大加速了电磁散射问题的求解。 也使得MLFMA被评为20世纪计算物理十大算法。
◆ Waves and fields in inhomogenous media——被引用 1852 次
Fast and efficient algorithms in computational electromagnetics——被引用 709 次 A 3D perfectly matched medium from modified Maxwell's equations with stretched coordinate——被引用 642 次 Multilevel fast multipole algorithm for electromagnetic scattering by large complex object——被引用 531 次
电场 有限差分法 矩量法
电场有限差分法矩量法
电场有限差分法（Finite Difference Method for Electric Fields）是一种计算电场分布的数值方法。
它基于有限差分近似，将
连续的电场方程离散化为差分方程，然后通过求解差分方程得到电场
的数值解。
具体而言，电场有限差分法将空间离散化为网格，将电场的偏微
分方程转化为网格点上的差分方程。
根据电场的定义，可以通过计算
电场点周围的电势差分（差分定义中的差分项）来获得电场的数值。
通常使用中心差分公式来近似计算差分项。
矩量法（Moment Method）是一种求解电磁场问题的方法，主要
适用于求解较复杂的电磁散射和辐射问题。
矩量法基于Maxwell方程
和麦克斯韦方程分量形式的积分，在物体表面设定电磁场分量的展开
函数，并通过与入射波和边界条件的耦合来求解电磁场的分布。
矩量法中的“矩”指的是电磁场分量的展开函数中的系数，通过
计算矩量可以得到电磁场的分布情况。
矩量法相对于有限差分法来说，更适用于求解较复杂的电磁场问题，但在计算上也更加复杂和耗时。
第二章_矩量法的基本原理_857902111
式中 α n 是系数。 f n 被称为展开函数或基函数。对于精确解，式（2-2）通常 是无穷项之和，而 f n 形成一个基函数的完备集。对于近似解，则通常是有限项 之和。式（2-2）代入式（2-1） ，再应用算子 L 的线性便可以得到
∑ α L( f ) = g （2-3）
n n n
验函数 [ω1 , ω 2 , L] 的集合，并对每个 ω m 取式（2-3）的内积，则
由式（2-20）可得：
)
2
[f
0
, h g , f a1 Lf 0 , f a 0 − Lf 0 , f a1 f 0 , h g , f a 0 ] = 0 （2-22）
由于 Lf 0 , f a 0 ≠ 0 ， f 0 , h ≠ 0 ，因此
g , f a1 Lf 0 , f a 0 − Lf 0 , f a1 g , f a 0 = 0 （2-23）
f1 ， f a1 为任意函数， α ， β 为数值，当 α → 0 ， β → 0
f = f 0 + αf 1 f a = f a 0 + βf a1
求 f 0 ， f a0 使
（2-18）
J ( f 0 + αf 1 , f a 0 ) f J ( f 0 , f a 0 ) 或
∂J |α →0 = 0 （2-19） ∂α β →0 ∂J |α →0 = 0 （2-20） ∂β β →0
对此问题若定义一个适当的内积 f , g ，在 L 的值域内定义一个权函数或检
∑α
n
n
ω m , Lf n = ω m , g （2-4）
1
式中 m = 1,2,3L 。此方程组可以写成如下的矩阵形式
[l mn ][α n ] = [g m ] （2-5）
加权残值法23ppt课件
I (C) V RI2dV V RIT RI dV
若记余量平方和为I(C)，即
I (C)
C
2
( RI V C
)T
RI dV
0
由此可见，本措施权函数为:
WIi
RI Ci
(i 1, 2, , n)
4.伽辽金法(Galerkin Method) 本法是使余量与每一个基函数正交，也即以基函数作为权函数
混正当旳优点在于，对试函数要求不严，复杂旳边界条 件和复杂旳控制方程都能适应，缺陷是计算工作量较大。
对于复杂控制方程，简朴边界问题，宜采用内部法；对 简朴控制方程，复杂边界，适合用边界法；对控制方程和边 界条件都较复杂旳问题，采用混正当很好。这三种措施中， 内部法一般应用较多
不论采用何种措施，在建立试函数时均应注意下列几 点： (1)试函数应由完备函数集旳子集构成。已被采用过旳试函 数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪 夫和勒让德多项式等等。 (2)试函数应具有直到比消除余量旳加权积分体现式中最高 阶导数低一阶旳导数连续性。 (3)试函数应与问题旳解析解或问题旳特解有关联。若计算 问题具有对称性，应充分利用它。
f g
在V域内 在S边界上
显然RI RB反应了试函数与真实解之间旳偏差，它们分别称做内部残值和边界 残值（Residuals） 。
若在域V内引入内部权函数WB ，在边界S上引入边界权 函数 WI 则可建立n个消除余量旳条件，一般可表达为：
V WIi RI dV S WBi RBdS 0 (i 1, 2, , n)
也即:
1 WIi 0
(Vi内) (Vi外)
假如在各个子域里分别选用试函数，那么它旳求 解在形式上将类似于有限元法。
MOM 矩量法
<5> 根据 [lmn ][n ] [ gn ]
[n ] [lmn ] [ gn ]
1
n n
n 1
N
MOM
MOM
&4.3 MOM在电磁散射问题中的应用
场的等效原理
Ea , H a Eb , Hb
ˆ n
ˆ n
Ea , H a
Eb , Hb
(a)
(b)
Ea , H a
2 2
2 2
' ? (r , r )
' ' ( k )G(r , r ) (r r )
' ' ' ' (r , r ) dr G (r , r ) s (r )
Eb , Hb
ˆ n
ˆ n
Eb , Hb
Ea , H a
(c)
(d)
ˆ ˆ J s n (Ha Hb ); Jms n (Ea Eb )
MOM
拉芙（Love）场的等效原理
ˆ n
E, H E, H
ˆ n
V2
V1
零场
V2
V1
J ms
S
（a）
S
（b）
Js
ˆ ˆ J s n H; J ms n E
算子方程
L( f ) g
L取不同形式，便可描绘不同的电磁工程问题
MOM
不同电磁问题的算子方程
L 1
0
l'
dl ' 4R
L
L 0 2
L k ( 2) H 0 ( K e e )dl e 4
AnsoftHFSS基础及应用教学课件ppt作者谢拥军全书第2章
2.1微波工程问题的分析方法 1.解析法 解析法包括分离变量法和变换数学法，分离变量法是针对微分方程而言的，变换数学法是针对积分方程而言的。
解析法能够得到待求函数的闭式解，但是仅仅能够解决几种简单、经典的微波结构，如矩形或六面体结构、圆柱或椭圆柱结构以及圆或球等。
2.近似解析法 近似解析法包括变分法、微扰法、高频和低频近似法以及直线法等。
很多复杂的微波工程问题都可以看做是某个简单的、有解析解的问题的某种变化，变分法和微扰法都能够对这类问题给出以对应简单结构的解为主项的近似解（变分法中称为试探函数）。
相对来讲，变分法利用了解的变分表达式的驻点特性，其解比微扰法更加准确。
高频近似法如物理光学法、几何光学法、几何绕射理论等，是在电磁散射和辐射问题中，当散射体或者辐射体的电尺寸（即几何尺寸和微波工作波长的比值）很大(一般定义为大于10λ)时，对于微波及其与目标的相互作用采取光学近似以简化计算的方法。
相应地，低频近似法是在微波结构的电尺寸很小时，采取静电场近似以简化计算的方法。
直线法是指在多维问题的求解过程中，在某些维方向上采用解析函数表达，而在其它维数的方向上采用离散和插值的一种方法。
2.2.2基于加权残数法的矩量法和有限元方法简介 矩量法和有限元数值方法的一般原理是这样的： (1)建立待求微波工程问题的支配方程。
(2)对于待求解的物理问题建立包含本构参数的几何模型和求解区域。
(3)对于几何模型和求解区域进行离散化剖分。
(4)利用加权残数法建立误差泛函。
(5)利用对应离散化剖分单元的分域基函数离散化误差泛函，建立对应矩阵方程。
(6)求解矩阵方程，获得待求函数的离散化近似解。
式中，J (r′)是待求的表面电流，E i t是已知的入射场，G(r,r′)是格林函数，式中其它参数的意义不再详细介绍。
这里需要指出两点： （1）格林函数目前仅仅在自由空间、分层介质和部分规则腔体等特殊情况下有解，而且其推导和计算均有一定的难度。
电磁场数值分析(西电)
Electromagnetic theory
Functional and matrix
Method of moment (MoM) （矩量法）
Finite element method (FEM) （有限元法）
Finite-difference time-domain methods （时域有限差分方法）
(1.12)
8
Volumetric equivalence principle for penetrable scatterers (I)
Differential equations Integral equations
To simplify the formulation of integral equations
a heterogeneous space
volumetric equivalence principle
However, the equivalent sources are unknowns to be determined.
The derivatives in (1.19)and (1.20) must be interpreted in the context of generalized functions.
1 2 E k rE 0 r 2 1 H k rH 0 r
(1.9)
(1.10)
where k 2 2 0 0 ,the parameter k is known as the wavenumber of the medium.
Convert the original problem into an equivalent problem
第10章 矩量法
第十章 矩量法解析方法仅适用于结构简单的散射体。
如果散射目标结构复杂，必须选用数值方法。
数值方法是对所求解的微分方程或积分方程实施离散，采用一组基函数表示电场、磁场或感应电流等未知量，然后将电磁场微分方程或积分方程转换为一组线性代数方程，即可按照标准的数值程序求解这些线性方程组。
数值方法的优点在于容易处理结构复杂的散射体，而且通常可以获得高精度解。
随着高性能计算机的飞速发展，数值方法已经成为解决实际问题的日益重要的工具。
现今已有多种数值方法，各具特色，分别适用于求解不同的电磁问题。
典型的数值方法是矩量法（MoM ）、时域有限差分法（FDTD ）和有限元法（FEM ）等。
本章讨论矩量法，后两章将分别介绍时域有限差分法和有限元法。
矩量法是求解算子方程的有效方法，这些算子通常是微分算子、积分算子或者是两者的组合。
20世纪60年代， R. F. Harrington 首先将矩量法用于电磁问题的求解[1]。
目前已经广泛地用于天线分析、微波器件的设计以及复杂目标的雷达散射截面（RCS ）的计算。
通常认为矩量法是精度最高的数值方法，因此引起更多的关注。
如今很多商用软件的开发都基于矩量法。
但是，矩量法需要求解稠密的矩阵方程。
对于电大尺寸的散射体，它将十分消耗大量机时及内存。
为了解决这个问题，人们作了很多努力，研发快速计算和有效的存储方法。
因此发展了很多有关积分方程的快速求解算法，大力推动了矩量法的应用。
10-1一般步骤典型的算子方程可以表示为下列形式h Lf =（10-1-1）式中L 为线性算子，可以是微分、积分或两者组合，h 为一个已知函数，f 为待求的未知函数。
这些函数可以是矢量或标量，且定义域可为一维、二维或三维空间。
因此，在电磁学中它们可以是空间及时间函数。
矩量法的一般步骤是，首先将未知函数表示为一组基函数的线性组合，然后匹配算子方程，最后由离散的线性方程组求出展开系数。
下面详述矩量法的具体步骤。
首先令N f f f ,,,21 为一组基函数，那么，未知函数)(x f 可以近似表示为∑==+++≈Nn n n N N x f a x f a x f a x f a x f 12211)()()()()(（10-1-2）式中),,3,2,1(N n a n =为展开系数，它们是未知的。
第7章 矩量法
第7章 矩量法 7.2.2 权函数｛W｝的选取
在加权余量式（7-4）中，很明显，不同类型的权函数的选择，将决定算子 方程的余量［式（7-3）］在不同的意义下取零值，从而可得各种不同计算模式 的矩量法，现择要分别讨论如下： （1）点匹配法
例7-1 一维静电场分布。
设一平行板电容器如图7-3所示，两极板接地，板间体电荷密度 ρ=ε0（1+2x），板间距为一个单位长度。若忽略其边缘效应，试求此理想化 的一维静电场问题的场分布。
［解］ 设以电位函数φ为待求量，据题意， 本例的数学模型为
第7章 矩量法
显然，这是一个简单的边值问题，其解析解为
若选取狄拉克δ函数为权函数，即令
式中，狄拉克δ函数定义为
该函数的重要特性是：对于任一在r =rj处连续的函数f（r），应有
第7章 矩量法
因而可知矩量法方程（7-8）中相应矩阵元素的计算结果为
和
由此表明lji和gj的计算归结为只需计算 所在点处的对应值，因此称这种方 法为点匹配法。位矢 所对应的点即称为离散点（也称为匹配点）。根据 场的惟一性定理，应将这些离散点 选取在相应的定解条件所在的位置上， 如选取在给定电位值的电极表面上；或选取在不同媒质的分界面上，令其满 足相应的边界条件。
其元素lji=〈Wj，L（Ni）〉；以及两列向量分别为
其中右端项列向量｛g｝的元素gj=〈Wj，g〉。
第7章 矩量法
至此，通过矩量法已将算子方程（7-1）转化为如式（7-7）或（7-8）所示 的代数方程组。从而，在基函数｛N｝构造的基础上，进一步选定权函数 ｛W｝，就可计算出［l］和｛g｝中的各个元素，并由此解出待求函数u的离 散解ui（i=1，2，…，n）。显然，原则上，只要增加所构造的基函数的项数n， 将保证近似解 收敛于精确解n。
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2.1 引言 2.2 矩量法的一般过程 2.3 选配和离散过程 2.3.1 点选配 2.3.2 脉冲分域基 2.3.3 三角形函数分域基 2.4 算子研究 2.4.1 近似算子 2.4.2 扩展算子 2.4.3 微扰算子
矩量法(简称MoM)，就其数值分析而言就是广义 Galerkin(伽略金)法。矩量法包括两个过程，离散化过程 和选配过程，从而把线性算子方程转化为矩阵方程。这 里先举一个简单的例子。
1 2 23 1 2 2 3 2 3 u ( x) ( x x ) ( x x ) x x x 10 3 30 10 3
L(u ) g
n 1 n n
N
(5-17-19)
从算子方程(5-17-17)到式(5-17-19)即构成离散化过程。它可以 是函数离散，也可以是区域离散，或两者兼有。
现在规定适当的内积 , g 。在算子L的值域内定义一类 1 权函数(或检验函数),2 ,,N ,作用于式(5-17-19)两边， 且取内积，有 N (5-17-20) n m , L(un ) m , g
1
n(n 1)( x x
n 0
1
m n
mn )dx m n 1
gm m , g ( x x
1
m1
)(1 4 x )dx
2
( x x
0
0 1
m1
4x 4x
3
m 3
)dx
1 1 4 m(3m 8) 1 2 m2 m 4 2(m 2)(m 4)
图5-17-1导体圆盘上的电荷分布
e
Q 4 0 x y d
2 2 2
(5-17-1)
i s
( x, y) dS 4 0 r
s
(5-17-2)
Q i ( x, y)dS
(5-17-3)
于是，问题可写为
e i U i (约束条件) Q 0
[例1]无限薄导体圆盘上的电荷分布问题。 试讨论半径为a的无限薄理想导体圆盘，在中心线 距离d处有一点电荷 ，如图5-17-1所示，求解导体圆盘 上的电荷分布。 [解] 假设导体圆盘上电荷密度为 ( x, y) ，根据电 磁学的基本概念可知： (1) 由外加电荷Q在导体圆盘上产生的电位Φe 和导体圆 盘本身感应电荷密度ζ所产生的电位Φi之和U 在盘上处 处相等，即保证导体圆盘是等位面。 (2) 由于本问题中是感应电荷，因此总电荷Qi≡0，其中
U
S1
S2
0 0
(5-17-16)
图 5-17-3 矩量法的一般过程 图5-17-3所示的矩量法求解问题的一般过程。 [讨论] (1)矩量法的原问题并不限于积分方程，也可以是微分 方程或其他方程。但必须能抽象成算子方程。从这一点而言， 它是普遍的；另一方面，矩量法最终要转化为矩阵方程加以解 决。因此，原问题必须属于线性算子范畴。例如，最速下降线 所构成的积分方程 不是线性泛函，所以无法采 1 y 2 J dy 用矩量法。 2 gy
un ( x) x xn1n 1, 2,...,N
再选择权函数
u x xm 1
m m
即采用Galerkin法，内积定义为 1
0
, g ( x) g ( x)dx
于是可给出一般计算结果
lmn
d2 m , L(un ) ( x xm1 )[ 2 ( x x n1 )]dx dx 0
图5-17-4 矩量法一般过程的数学表示
d2 L 2 , g 1 4 x 2 , u (0) u (1) 0 [例2]研究 L(u ) g，其中 dx
[解] 已经知道，此问题存在精确解 5 1 2 1 4 u0 ( x ) x x x 6 2 3 本例采用矩量法求解，选择
(5-17-14)
由此得出电荷分布的解为
e 1 1 1 e 1 2 2 0 0 U
1
(5-17-15)
e 1 l11 l12 1 1 l l22 1 e 2 2 21
(2) 电磁理论中计算的矩阵单元，一般均表示某个源在一个区 域所产生的场，而实际产生的场往往都随着源的距离增加而减 少。换句话说，矩量法中矩阵一般是对角占优的：自作用单元 lnn 比互作用单元 lmn (m n) 所起的作用要大。这一点在概念 上十分重要。
2.2 矩量法的一般过程
矩量法的研究对象是一般非齐次方程 (5-17-17) 线性算子 的运算空间称为定义域，而 L(u ) 组成的空间称为值 域。式(5-17-17)中 g 是已知的激励函数，u 为未知函数。令 u 在 L 的定义域内展开成 {un }即u1, u2 ,, un 的组合，有
归纳起来有
lmn
m(3m 8) m(3m 8) ,g m m n 1 2(m 2)(m 4)
情况1：N=1 于是有 情况2: N=2
1 11 11 l11 ,g1 ,1 3 30 10
1 3 1 2
1 2 u ( x) ( x x ) 10
为了把超定方程组转化为唯一解的方程组，可以采用很多 办法。矩量法中，习惯用选配过程解决这个问题。简单说来， 即在每个离散的单元上只选取一个场点作为代表来建立方程。 例如，在[例1]中对于离散的 S1 和 S2 分别取 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) 两点做试验点，如图5-17-2所示。具体写出方程组
(5-17-7)
(5-17-8)
把问题方程(5-17-4)近似的转化为式(5-17-7)和式(5-17-8)的过程 称为离散化过程。但是，必须注意到方程(5-17-7)中，场点r表 示圆盘上的任意点(x，y)，换句话它们是不定的，因而式(517-7)中包含着无限个方程。另一方面，离散后的方程组(5-177)和方程组(5-17-8)内只有三个未知数 1 、2 和U ，于是 方程组超定。
又有
经过离散化过程和选配过程，将积分方程组(近似地)转化为矩 阵方程
1 Q e 1 4 2 x1 y12 d 2 0 Q e 1 2 2 2 4 0 x2 y2 d 2
l11 l12 l 21 l22 S1 S2
1 11 2 1 30 4 2 7 12 5
1 11 1 4 5 2 30 10 1 60 1 1 7 2 2 2 3 12 3
式中r= 示场点。 这个问题，采用电磁学经典解析方法不能很好的解决，因 为未知量 处于积分内部，是一个典型的积分方程。为此， 把圆盘分割成两部分：中心小圆和外部环带(如图5-17-1所示)， i 并假定每一部分内的电荷密度 (i=1,2)近似为常数，于是
( x x) 2 ( y y) 2
2 2
l11 1 l12 2 1 U e l21 1 l22 2 2 U S S 0 1 1 2 2
e
第1试验点 第2试验点
图5-17-2 圆盘上的试验点
1 dS (5-17-10) l11 4 2 2 ( x1 x) ( y1 y) 0 S1 1 dS (5-17-11) l12 ( x x)2 ( y y)2 4 0 S2 1 1 dS l 1 (5-17-12) 21 ( x x)2 ( y y)2 4 0 S1 2 2 1 dS (5-17-13) l22 4 2 2 ( x2 x) ( y2 y) 0 S2 其中 l11 表示 S1 面元电荷在 ( x1 , y1 ) 处产生场的自作用单元； l22 表示 S2 面元电荷在 ( x2 , y2 ) 处产生场的自作用单元； l12 表示 S2 面元电荷在 ( x , y )处产生场的互作用单元； 1 1 l21 表示 S1 面元电荷在 ( x2 , y2 ) 处产生场的互作用单元。
(5-17-4) ，其中打撇的表示源点，不打撇的表
( x, y) 1 P(S1 ) 2 P(S2 )
i 1
2
(5-17-5)
式中
1 P ( Si ) 0
S Si S Si
(5-17-6)
P(Si ) 称为脉冲函数，这时问题方程(5-17-4)成为
dS 2 i U e i 1 Si 4 0 r 2 S 0 i i i 1
n 1
m 1, 2, , N
这就是所谓的选配过程或试验过程，矩量法的名称也由此 而来，即把激励矢量 g 和 L(un ) 分别向权空间投影，取它 的矩，根据矩的大小确定展开系数。 如果展开函数的数目与权函数数目相等，则可把式 (5-17-20)写成矩阵形式 lmn n g m (5-17-21) 其中 lmn m , L(un ) (5-17-22) 于是可以解出 n lmn1 gm (5-17-23)
若规定函数矩阵
u
T n
[u1 , u2 ,, uN ]
(5-17-24)
于是待求的函数为 u unT unT lmn 1gm
(5-17-25)
矩量法的一般过程的数学表示如图5-17-4所示。 十分清楚，矩量法的结果优劣取决于：①离散化程度；② un 和m的选取；③线性方程组的求解。在 m = un 的特 殊情况下，可称为Galerkin(伽略金)法，于是矩量法也称 为广义Galerkin法。
dS ( x1 x) ( y1 y11) (5-17-12) (5-17-13)