矩量法 Method of Moment课件

又有
经过离散化过程和选配过程，将积分方程组(近似地)转化为矩 阵方程
1 Q e 1 4 2 x1 y12 d 2 0 Q e 1 2 2 2 4 0 x2 y2 d 2
l11 l12 l 21 l22 S1 S2
(5-17-4) ，其中打撇的表示源点，不打撇的表
( x, y) 1 P(S1 ) 2 P(S2 )
i 1
2
(5-17-5)
式中
1 P ( Si ) 0
S Si S Si
(5-17-6)
P(Si ) 称为脉冲函数，这时问题方程(5-17-4)成为
dS 2 i U e i 1 Si 4 0 r 2 S 0 i i i 1
若规定函数矩阵
u
T n
[u1 , u2 ,, uN ]
(5-17-24)
于是待求的函数为 u unT unT lmn 1gm
(5-17-25)
矩量法的一般过程的数学表示如图5-17-4所示。 十分清楚，矩量法的结果优劣取决于：①离散化程度；② un 和m的选取；③线性方程组的求解。在 m = un 的特 殊情况下，可称为Galerkin(伽略金)法，于是矩量法也称 为广义Galerkin法。
式中r= 示场点。 这个问题，采用电磁学经典解析方法不能很好的解决，因 为未知量 处于积分内部，是一个典型的积分方程。为此， 把圆盘分割成两部分：中心小圆和外部环带(如图5-17-1所示)， i 并假定每一部分内的电荷密度 (i=1,2)近似为常数，于是
( x x) 2 ( y y) 2
为了把超定方程组转化为唯一解的方程组，可以采用很多 办法。矩量法中，习惯用选配过程解决这个问题。简单说来， 即在每个离散的单元上只选取一个场点作为代表来建立方程。 例如，在[例1]中对于离散的 S1 和 S2 分别取 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) 两点做试验点，如图5-17-2所示。具体写出方程组
2 2
l11 1 l12 2 1 U e l21 1 l22 2 2 U S S 0 1 1 2 2
e
第1试验点 第2试验点
图5-17-2 圆盘上的试验点
1 dS (5-17-10) l11 4 2 2 ( x1 x) ( y1 y) 0 S1 1 dS (5-17-11) l12 ( x x)2 ( y y)2 4 0 S2 1 1 dS l 1 (5-17-12) 21 ( x x)2 ( y y)2 4 0 S1 2 2 1 dS (5-17-13) l22 4 2 2 ( x2 x) ( y2 y) 0 S2 其中 l11 表示 S1 面元电荷在 ( x1 , y1 ) 处产生场的自作用单元； l22 表示 S2 面元电荷在 ( x2 , y2 ) 处产生场的自作用单元； l12 表示 S2 面元电荷在 ( x , y )处产生场的互作用单元； 1 1 l21 表示 S1 面元电荷在 ( x2 , y2 ) 处产生场的互作用单元。
(5-17-14)
由此得出电荷分布的解为
e 1 1 1 e 1 2 2 0 0 U
1
(5-17-15)
e 1 l11 l12 1 1 l l22 1 e 2 2 21
dS ( x1 x) ( y1 y)
2 2
(5-17-10) (5-17-11) (5-17-12) (5-17-13)
dS ( x1 x) ( y1 y)
2 2
dS ( x2 x) ( y2 y)
2 2
dS ( x2 x) ( y2 y)
L(u ) g
u nun uT α
n 1
N
(5-17-18)
其中
1 为展开系数矩阵 N
而
u1 u 为展开函数 u N
T
表示矩阵转置，应该注意到：展开函数与基函数是有区 别的。一般来说，基函数是一无限展开。从完备基转化为近似 有限截断基已经构成误差了，再从有限截断基转化为有限展开 N 函数就很难保证 nun 能收敛于 u ，这也是矩量法的研究 n 1 中需要深入研究的一个问题。这里且写出
l11 1 l12 2 1e U e l21 1 l22 2 2 U S S 0 1 1 2 2
其中
第1试验点 第2试验点
(5-17-9)
1 l11 4 0 S1 1 l12 4 0 S2 l 1 21 4 0 S1 1 l22 4 0 S2
U
S1
S2
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(5-17-16)
图 5-17-3 矩量法的一般过程 图5-17-3所示的矩量法求解问题的一般过程。 [讨论] (1)矩量法的原问题并不限于积分方程，也可以是微分 方程或其他方程。但必须能抽象成算子方程。从这一点而言， 它是普遍的；另一方面，矩量法最终要转化为矩阵方程加以解 决。因此，原问题必须属于线性算子范畴。例如，最速下降线 所构成的积分方程 不是线性泛函，所以无法采 1 y 2 J dy 用矩量法。 2 gy
图5-17-4 矩量法一般过程的数学表示
d2 L 2 , g 1 4 x 2 , u (0) u (1) 0 [例2]研究 L(u ) g，其中 dx
[解] 已经知道，此问题存在精确解 5 1 2 1 4 u0 ( x ) x x x 6 2 3 本例采用矩量法求解，选择
1
n(n 1)( x x
n 0
1
m n
mn )dx m n 1
gm m , g ( x x
1
m1
)(1 4 x )dx
2
( x x
0
0 1
m1
4x 4x
3
m 3
)dx
1 1 4 m(3m 8) 1 2 m2 m 4 2(m 2)(m 4)
第二章 矩量法(Method of Moment)
2.1 引言 2.2 矩量法的一般过程 2.3 选配和离散过程 2.3.1 点选配 2.3.2 脉冲分域基 2.3.3 三角形函数分域基 2.4 算子研究 2.4.1 近似算子 2.4.2 扩展算子 2.4.3 微扰算子
矩量法(简称MoM)，就其数值分析而言就是广义 Galerkin(伽略金)法。矩量法包括两个过程，离散化过程 和选配过程，从而把线性算子方程转化为矩阵方程。这 里先举一个简单的例子。
归纳起来有
lmn
m(3m 8) m(3m 8) ,g m m n 1 2(m 2)(m 4)
情况1：N=1 于是有 情况2: N=2
1 11 11 l11 ,g1 ,1 3 30 10
1 3 1 2
1 2 u ( x) ( x x ) 10
n 1
m 1, 2, , N
这就是所谓的选配过程或试验过程，矩量法的名称也由此 而来，即把激励矢量 g 和 L(un ) 分别向权空间投影，取它 的矩，根据矩的大小确定展开系数。 如果展开函数的数目与权函数数目相等，则可把式 (5-17-20)写成矩阵形式 lmn n g m (5-17-21) 其中 lmn m , L(un ) (5-17-22) 于是可以解出 n lmn1 gm (5-17-23)

L(u ) g
n 1 n n
N
(5-17-19)
从算子方程(5-17-17)到式(5-17-19)即构成离散化过程。它可以 是函数离散，也可以是区域离散，或两者兼有。
现在规定适当的内积 , g 。在算子L的值域内定义一类 1 权函数(或检验函数),2 ,,N ,作用于式(5-17-19)两边， 且取内积，有 N (5-17-20) n m , L(un ) m , g
1 2 23 1 2 2 3 2 3 u ( x) ( x x ) ( x x ) x x x 10 3 30 10 3
[例1]无限薄导体圆盘上的电荷分布问题。 试讨论半径为a的无限薄理想导体圆盘，在中心线 距离d处有一点电荷 ，如图5-17-1所示，求解导体圆盘 上的电荷分布。 [解] 假设导体圆盘上电荷密度为 ( x, y) ，根据电 磁学的基本概念可知： (1) 由外加电荷Q在导体圆盘上产生的电位Φe 和导体圆 盘本身感应电荷密度ζ所产生的电位Φi之和U 在盘上处 处相等，即保证导体圆盘是等位面。 (2) 由于本问题中是感应电荷，因此总电荷Qi≡0，其中
(5-17-7)
(5-17-8)
把问题方程(5-17-4)近似的转化为式(5-17-7)和式(5-17-8)的过程 称为离散化过程。但是，必须注意到方程(5-17-7)中，场点r表 示圆盘上的任意点(x，y)，换句话它们是不定的，因而式(517-7)中包含着无限个方程。另一方面，离散后的方程组(5-177)和方程组(5-17-8)内只有三个未知数 1 、2 和U ，于是 方程组超定。
(2) 电磁理论中计算的矩阵单元，一般均表示某个源在一个区 域所产生的场，而实际产生的场往往都随着源的距离增加而减 少。换句话说，矩量法中矩阵一般是对角占优的：自作用单元 lnn 比互作用单元 lmn (m n) 所起的作用要大。这一点在概念 上十分重要。
2.2 矩量法的一般过程
矩量法的研究对象是一般非齐次方程 (5-17-17) 线性算子 的运算空间称为定义域，而 L(u ) 组成的空间称为值 域。式(5-17-17)中 g 是已知的激励函数，u 为未知函数。令 u 在 L 的定义域内展开成 {un }即u1, u2 ,, un 的组合，有
un ( x) x xn1n 1, 2,...,N
再选择权函数
u x xm 1
m m
即采用Galerkin法，内积定义为 1
0
, g ( x) g ( x)dx
于是可给出一般计算结果
lmn
d2 m , L(un ) ( x xm1 )[ 2 ( x x n1 )]dx dx 0
1 11 2 1 30 4 2 7 12 5
1 11 1 4 5 2 30 10 1 60 1 1 7 2 2 2 3 12 3
图5-17-1导体圆盘上的电荷分布

e
Q 4 0 x y d
2 2 2
(5-17-1)

i s
( x, y) dS 4 0 r
s
(5-17-2)
Q i ( x, y)dS
(5-17-3)
于是，问题可写为
e i U i (约束条件) Q 0