初中数学竞赛指导：巧解一道三角形的竞赛题

巧解一道三角形的竞赛题

题目若D是等边三角形ABC的内心，点E、F分别在AC、BC边上，且满足CD

DEF＝60°．记△DEF的周长为l，则l的取值范围是_______．

该题一段时间引起了许多数学爱好者的关注与讨论，但至今未见一个正确完整的解法，本文试给出该题的一个巧解．

解如图1，作D关于AC的对称点D1，再作D关于BC的对称点D2，连结D1D2，易知△DEF的周长是l min＝D1D2＝3．

如图2，连结BD交AC于点G，连结AD交BC于点H，则BG⊥AC，AH⊥BC．由题设，易得

下面分两种情况：

(1)当θ∈OE（30°，90°]时，点E在线段CG上，作EM⊥CF于点M（点M在线段CF上），

易知

由∠DEA＋∠DEF＋∠FEC＝180°，得

∴90°<θ≤120°．

作DN∥AB交AC于点N，则点E在线段NG上（如图3）．

在△DEN中，

∵∠DEN＝θ>90°，∴DE≤DN．

在△EFC中，

∵∠EFC＝θ>90°．

∴EF≤EC≤NC．

在△DFC中，

∵∠DFC>∠EFC>90°．

∴FD≤DC．∴△DEF的周长l＝DE＋EF＋FD

≤DN＋NC＋CD＝3

(当点E位于点N，点F位于点C时取“＝”．)

由(1)、(2)知△DEF的周长为：

l max＝3

注该题是一道初中数学问题，故给出的解法中尽量运用初中数学知识．