排列组合典型例题

典型例题一

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：

如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是

2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．

如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．

如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．

解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有3

9A 个；

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一

个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ⋅⋅（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有

2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个．

解法2：当个位数上排“0”时，同解一有3

9A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：

)(283914A A A -⋅个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有

22961792504)(28391439=+=-⋅+A A A A 个．

解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有

281515A A A ⋅⋅个

干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0

在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有

281414A A A ⋅⋅个

∴ 没有重复数字的四位偶数有

2296281414281515=⋅⋅+⋅⋅A A A A A A 个．

解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．

没有重复数字的四位数有39410A A -个．

其中四位奇数有)(283915A A A -个

∴ 没有重复数字的四位偶数有

28393939283915394105510)(A A A A A A A A A +--⨯=---

283954A A +=

2828536A A +=

2841A =

2296=个

说明：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用．

典型例题二

例2 三个女生和五个男生排成一排

（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这

样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有6

6A 种不同排法．对于其中的每一种排法，

三个女生之间又都有33A 对种不同的排法，因此共有43203366=⋅A A 种不同的排法． （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有5

5A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位

置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有144003655=⋅A A 种不同的排法． （3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有6

6A 种排法，所以共有

144006625=⋅A A 种不同的排法． 解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有8

8A 种不同的排法，从中扣除女生

排在首位的7713A A ⋅种排法和女生排在末位的7713A A ⋅种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以

还需加一次回来，由于两端都是女生有6623A A ⋅种不同的排法，所以共有

1440026623771388=+-A A A A A 种不同的排法．

解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有3

6A 种不同

的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有55A 种不同的排法，所以共有

144005536=⋅A A 种不同的排法， （4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受

条件限制了，这样可有7715A A ⋅种不同的排法；如果首位排女生，有13A 种排法，这时末位就

只能排男生，有15A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有6

6A 种不同的排法，

这样可有661513A A A ⋅⋅种不同排法．因此共有360006615137715=⋅⋅+⋅A A A A A 种不同的排法．

解法2：3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生排法6623A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数．

因此共有36000662388=⋅-A A A 种不同的排法．

说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．

若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，

往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．

若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．

间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快．

捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．

典型例题三

例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？

（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

解：（1）先排歌唱节目有5

5A 种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放

入舞蹈节目，共有46A 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：55A 46A ＝43200. （2）先排舞蹈节目有4

4A 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5

个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：44A 55A ＝2880种方法。 说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。