趣题：内切圆与最大内接矩形
2024年中考数学复习 圆中的重要模型-圆中的外接圆和内切圆模型(原卷+答案解析)
圆中的重要模型--圆中的内切圆和外接圆模型模型1、内切圆模型【模型解读】内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。
它亦是该多边形内部最大的圆形。
内切圆的圆心被称为该多边形的内心。
三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。
正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。
【常见模型及结论】1)三角形的内切圆模型条件：如图1，⊙O 为三角形ABC 的内切圆(即O 为三角形ABC 的内心)，⊙O 的半径为r 。
结论：①点O 到三角形ABC 的三边距离相等；②∠BOC =90°+12∠BAC ；③r =2S ΔABC C ΔABC。
图1图2图32)直角三角形的内切圆模型条件：如图2，⊙O 为Rt ΔABC 的内切圆(即O 为三角形ABC 的内心)，⊙O 的半径为r 。
结论：①点O 到三角形ABC 的三边距离相等；②∠BOC =90°+12∠BAC ；③r =AC +BC -AB2；3)四边形的内切圆模型条件：如图3，⊙O 是四边形ABCD 的内切圆。
结论：AB +CD =AD +BC 。
1(2023·黑龙江鸡西·校考三模)如图，在△ABC 中，∠A =80°，半径为3cm 的⊙O 是△ABC 的内切圆，连接OB ,OC ，分别交⊙O 于D ，E 两点，则DE的长为．(结果用含π的式子表示)2(2022秋·安徽·九年级统考期末)如图，在△ABC 中，AB =BC ，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，P 是△ABC 内一点，且∠BPC =108°，连接CP 交BD 于点E ，若点P 恰好为△ABE 内心，则∠PEB 的度数为()A.36°B.48°C.60°D.72°3(2023秋·河南漯河·九年级统考期末)如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，且∠A=90°，BC=5，CA=4，则⊙O的半径是．4(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图，点O是△ABC的内心，∠A=60°，OB=3，OC=6，BC= 37，则⊙O的半径为．5(2023·江苏南京·九年级校联考阶段练习)如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若AD=3，BC= 6，则AB+CD的值是．6(2023·成都市九年级期中)如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，AB=18cm，BC=20cm，AC=12cm，MN切⊙O交AB于M，交BC于N，则△BMN的周长为()A.20cmB.22cmC.24cmD.26cm7(2023·四川宜宾·九年级专题练习)如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M(3，1)与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA=MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1=3-1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，⋯，按此规律，则⊙O2014的半径r2014=．内切圆与BC边切于点D，则A到D的距离AD=()A.4+23B.3+33C.3+43D.5+23模型2、多边形的外接圆模型【模型解读】外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。
C5021一个椭圆内切于一个长为m宽为n的矩形求这个椭圆
C5－021一个椭圆内切于一个长为m，宽为n的矩形．求这个椭圆的内接矩形的周长的最大值．【题说】 1983年上海市赛一试题1（4）．【解】设椭圆方程为而ABCD为它的外切矩形．又设P1P2P3P4为椭圆的内接矩形，则P1P2、P1P4分别平行x轴、y 轴，设P1的坐标为（acosθ，bsinθ），θ为锐角，则：P1P2P3P4的周长＝4（acosθ＋bsinθ）C5－022设平面上有一圆，它的每一点都以角速度ω绕原点O 顺时针旋转，同时该圆上一点P以角速度2ω绕圆心O′逆时针旋转，若时间t＝0时，圆心O′的坐标为（l＋r，0），动点P的坐标为（l，0）．如图，求点P的轨迹方程．（其中l＞0，r＞0）【题说】 1984年上海市赛二试题3．【解】如图，设在时刻t，P点的坐标为P（x，y），则即它表示一个椭圆．C5－024如图，AB是单位圆的直径，在AB上任取一点D，DC ⊥AB，交圆周于C，若点D坐标为（x，0），则当x为何值时，线段AD、BD、CD可构成锐角三角形？【题说】 1984年全国联赛一试题 2（1）．原题为填空题．【解】先设D点在OB上，OD＝x，AD＝1＋x，BD＝1－x，＋CD2＞AD2．即（1－x）2＋（1－x2）＞（1＋x）2，解得0可构成锐角三角形．C5－025三个圆有相同的半径，都是3，圆心分别为（14，92）、（17，76）和（19，84）．一条直线通过点（17，76），且位于它同一侧的三个圆各部分的面积之和，等于另一侧三个圆各部分的面积之和，那么这条直线的斜率的绝对值是多少？【题说】第二届（1984年）美国数学邀请赛题6．这条直线已经平分一个圆，必须与另两个圆的圆心等距．【解】设直线方程为ax＋by＋c＝0则17a＋76b＋c＝（1）14a＋92y＋c＝－（19a＋84y＋c）（2）（2）即 33a ＋176b＋2c＝（3）（1）、（3）消去c得a＋24b＝0C5－027已知集合A＝{（x，y）||x|＋|y|＝a，a＞0}B＝{（x，y）||xy|＋1＝|x|＋|y|}若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，求a的值．【题说】 1987年全国联赛一试题2（2）．原题为填空题．【解】 A所表示的图形是中心在原点、对角线长为2a且落在坐标轴上的正方形的周界，B所表示的图形是分别与坐标轴平行且与坐标轴距离为1的四条直线．2．如图b，|QP|＝|PR|＝|MN|－2|MP|C5－028三角形的三个顶点的坐标为P（－8，5），Q（－15，－19），R（1，－7）．∠P的平分线方程可以写成为ax＋by＋c ＝0．试求a＋c．【题说】第八届（1990年）美国数学邀请赛题7．【解】设∠P的平分线交QR于D，则即11x＋2y＋78＝0a＋c＝11＋78＝89C5－029设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦．已知|OF|＝a，|PQ|＝b．求△OPQ的面积．【题说】 1991年全国联赛一试题 4．【解】如图，以F为极点建立极坐标系，抛物线的方程为设点P的极角为θ（θ∈（0，π）），则点Q的极角为π＋θ，b＝|PQ|＝2a/（1－cosθ）＋2a/[1－cos（π＋θ）]＝4a/sin2θ。
圆内切矩形最大面积
圆内切矩形最大面积
题目：圆内切矩形最大面积
题目描述：在一个半径为R的圆内，找到一个矩形，使得该矩形恰好与圆内切，并且矩形面积最大。
解答：
在我们解决这个问题之前，首先给出两个结论。
结论1：在一个圆内，圆与正方形的面积比最大为2:π。
结论2：在一个圆内，圆与矩形的面积比最大为2:π。
对于结论1，很容易证明。
设正方形的边长为a，则其对角线长为a√2，因此其面积为a²，与圆的面积为πR²。
因此面积比为
a²/πR²。
为了使面积比最大，我们需要求其最大值，即求导数。
则
a²/πR²的导数为2/πR²，即a最大时，面积比最大，这时有：a=√2R，则正方形与圆的面积比为2:π。
对于结论2，同样可以用同样的方法证明。
我们要求一个长为a，宽为b的矩形在圆内的最大面积，最小面积一定地是在矩形边平行于圆的直径时得到的。
因为当矩形斜着放时，一旦角与圆的切点相接触时，其他三个角就没有对应点了。
不妨设矩形长为a，宽为b
（a>b），则有等式：
a²+b²=4R²，因为宽度不可能超过直径，则b≤√2R。
则矩形面积为ab=a(4R²-a²)^(1/2),我们要使其最大，同前面分析一样，
求导数并令其为零，则有：
a=2√2R/π，则矩形与圆的面积比最大为2:π。
因此，我们可以得到一个结论：在一个圆内，切矩形的最大面积比为2:π。
这个结论对于解决圆内部很多问题有很大的帮助，在实际生活中也有一定应用。
第十八讲 与圆有关的计算(含解答)-
第十八讲 与圆有关的计算【趣题引路】拿破仑是法国一位卓越的军事家、政治家,又是一个数学爱好者.一次他在远征埃及的航海途中,问部下:“怎样光用圆规把圆分成四等份?•”大家面面相觑,还是拿破仑自己解了这个谜.聪明的读者你知道他是怎样解的吗? 解析 (1)先用圆规画一个已知圆,如图 (1).(2)在已知圆中,画4个相同的小圆,它们的直径等于已知圆的半径,如图 (2) (3)在4个小圆相交的图形中,4个偏月牙形就是面积完全相同的图形,如图 (3).【知识延伸】与圆有关的计算,着重讲正多边形和圆、圆的面积、周长、弧长,扇形的面积以及圆柱和圆锥侧面展开图的计算问题.对于以上问题,首先要理解概念,熟记公式,法则,其次要会灵活运用各方面的知识.如正n 边形的计算可以集中在正n 边形的半径、边心距把正n 边形分成2n•个全等的直角三角形中,通过解直角三角形或三角形相似来解决.例1 如图,正五边形ABCDE 的边长为10,它的对角线分别交于点A 1,B 1,•C 1,D 1,E 1. (1)求证:D 1把线段AE 1分成黄金分割;(2)求五边形A 1B 1C 1D 1E 1的边长. 证明 (1)作正五边形的外接圆O, ∵AB=BC=CD=DE=EA=72°,∴∠D 1AB=∠D 1BA=•∠E 1BD 1=36°. 又∠BE 1D 1=∠BD 1E 1=72°, ∴AD 1=D 1B=BE.∵△ABE 1∽△B D 1E 1,∴11111AE BE BE D E =, 即11111AE AD AD D E =. ∴A D 12=AE 1·D 1E 1,即D 1把线段A E 1分成黄金分割. (2)设D 1E 1=x,则A E 1=AB=10,AD 1=10-D 1E 1=10-x,∴(10-x)2=10x,即x 2-30x+100=0. 解得,得x 1=15-55,x 2=15+55>10(舍去)∴D 1E 1=15-55.点评对于正多边形的计算,要注意利用相似三角形的性质去解,在本题的计算中,•用到了正五边形的两条对角线的交点是对角线的黄金分割点.在计算与面积有关问题时,等积变形,•把不规则图形的面积变成规则图形的面积去求,是经常使用的方法.例2 如图,已知在矩形ABCD 中,AB=1,BC=2,以B 为圆心,BC•为半径画弧交AD 于点F,交BA 的延长线于点F.求阴影部分的面积.解析 连结BF,∵BF=BC=2,AB=1,∠BAF=90°, ∴∠ABF=60°.在Rt △ABF 中,AF=22BF AB -=3,∴S 阴影=S 扇形BEF -S △ABF=2602360π-12×1×3 =23π-32. 点评阴影部分是不规则图形,无法直接计算,设法利用规则图形面积来计算,连结BF,则阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形的面积.在处理展开图问题时,一定不要弄错对应关系,如圆锥侧面展开图是扇形,•这个扇形的半径等于圆锥的母线长,扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长等.例2 如图,一个圆锥的高是10cm,侧面开展图是半圆,求圆锥的侧面积. 解析 设圆锥底面半径为r,扇形弧长为C,母线长为L. 由题意,得c=22lπ ,又∵c=2r π, ∴22lπ=2r π,得L=2r. ① 在Rt △SOA 中L 2=r 2+102. ② 由①,②解得r=1033cm, L=2033cm.∴所求圆锥的侧面积为S=πrL=π1033·2033=2003π(cm2).点评经过圆锥高(即轴)的截面所揭示的母线、高、底面半径.•锥角等元素之间的关系是解题的突破口,也是圆锥中几种量之间的基本关系.【好题妙解】佳题新题品味例1已知如图,AC切⊙O于点A,点B在⊙O上,AB=AC=AO,OC、BC分别交⊙O•于点E、F.求证:EF是⊙O的内接正二十四边形的一边.证明连结OB,OF,因AC是⊙O的切线,∴∠OAC=90°,∵AC=AO,∴∠AOC=45°.∵AB=AO=BD,∴△ABO是等边三角形.∴∠BAO=60°,∴∠BAC=60°+90°=150°,∵AB=AC,∴∠ABC=15°.∴∠AOF=2∠ABC=30°.∴∠EOF=∠AOC-∠AOF=45°-30°=15°.∵正二十四边形的中心角为360°÷24=15°,∴EF是正二十四边形的一边.点评证明一条弦是正多边形的一边.•需证这条弦所对的圆心角等于这个多边形的中心角.如证一条弦是正三角形的一边,需证这条边所对的圆心角为120°.证一条弦是正六边形的一边,需证这条弦所对的圆心角为60°.例2如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,过P的直线交⊙O1于点A,交⊙O2于点B,•AC切⊙O2于点C,交⊙O1于点D,且PB、PD的长恰好是关于x的方程x2-16m+x=0的两根.求(1)PC的长;(2)若BP BC=,且S△PBC:S△APC=1:k,求代数式m(k2-k)的值.解析 (1)过P作两圆公切线PT,∵∠A=TPD,∠TPC=∠DCP,∠DCP=∠1+∠A,∠TPC=∠2+∠TPD.∴∠1=∠2.已知∠PBC=∠PCD,∴△PBC∽△PCD.∴P C2=PB·PD.而PB,PD是方程x2-16m+x+4=0的根. ∴PC2=4,∴PC=2.O2T21DCBAP O1(2)由BP=BC及∠1=∠2,知BC∥PD,PB=BC.∴AB BCAP PD=,∵1PBCAPCSPBPA S k∆∆==,∴1BC AB kPD AP k-==.∴PB2=4(1)kk-·PD2=41kk-.又由根与系数关系知PB+PD=16m+,∴m+16=PB2+PD2+2PB·PD=4(1)kk-+41kk-+8.∴m=24k k-,∴m(k2-k)=4.点评(1)小题仅涉及PB、PD的长是方程x2-16m+x+4=0的根,故易知PB·PD,从而须找PC•与PB·PD的关系;(2)由题意可知PB·PD均可用字母K表示,由根与系数的关系可知K 与m的关系,由此求出m,代入m(k2-k)中即可.例3如图有一直径是1m的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC.求(1)被剪掉阴影部分的面积.(2)用所得的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面半径是多少?(结果可用根号表示).解析 (1)连结BC,∵∠BAC=90°,∴BC为⊙O的直径.又∵AB=AC,∴AB=AC=BC.sin45°=1×22=22.∴S阴=S⊙O-S扇形BAC=π(12)2-2290()2180π⨯=18π(m)2.(2)设圆锥的底面圆的半径为r,∴2902180π⨯=2πr ∴r=28.点评用和差法求图形中阴影部分的面积是最基本的方法,也是应用最广泛的方法.中考真题欣赏例1 (2003年吉林省中考题)圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD,如图那样叠放在一起,连结AC、BD.(1)求证:△AOC≌△BOD;(2)若OA=3cm,OC=1cm,求阴影部分的面积.证明 (1)∵∠COD=∠AOB=90°.∴∠AOC=∠BOD.∵OA=OB,OC=OD,∴△AOC≌△BOD.(2)S阴影=S扇形AOB-S扇形COD=14π×32-14π×12=2π.点评(1)只需证∠DOB=∠COA即可;(2)将阴影部分转化为两个扇形面积的差,•再进行计算.例2 (2003年桂林市中考题)如图,AB是⊙O的直径,过圆上一点D作⊙O的切线DE,与过点A的直线垂直于E,弦BD的延长线与直线AE交于点C.(1)求证:点D为BC的中点;(2)设直线EA与⊙O的另一交点为F.求证:C A2-AF2=4CE·EA;(3)若AD=12DB,⊙O的半径为r,求由线段DE,AE和AD所围成的阴影部分的面积.证明 (1)连结OD,∵ED为⊙O的切线, ∴OD⊥DE,∵DE⊥AC,∴OD∥AC.∵O为AB中点,∴D为BC中点.(2)连结BF,∵AB为⊙O的直径,∴∠CFB=∠CED=90°.∴ED∥BF,∵D为BC中点,∴E为CF中点.∴CA2-AF2=(CA-AF)(CA+AF)=(CE+AE-EF+AE)·CF=2AE·2CE.∴CA2-AF2=4CE·AE.(3)解析:∵AD=12DB,∴∠AOD=60°.连结DA,可知△OAD为等边三角形.∴OD=AD=r. 在Rt△DEA中,∠EDA=30°,∴EA=12r,ED=32r,EDCA BF∴S 阴影=S 梯形DOAE -S 扇形OAD =13()222r r +-16πr 2=338r 216πr 2. 点评(1)由O 为圆心,设法证CF ∥OD,可得结论;(2)由D 为BC 的中点,证E 为CF 的中点,证得ED ∥BF,然后进行线段的恒等变形,•可得结论.(3)由图形的差可得阴影部分.竞赛样题展示例1 (2002年全国数学竞赛试题)如图,7•根圆形筷子的横截面圆的半径为r,求捆扎这7根筷子一周的绳子长度.解析:设⊙O 1,⊙O 2和绳子切A,B,C 点,知∠A O 1B =60°,∴AB 的长为601803r ππ=r, ∴AB 和线段BC 和的长为3πr,故整个绳长为6(AB+BC)=6(13r π+2r)=2(π+6)r.点评绳长由两部分组成,一部分是直线长,另一部分是弧线长,只要计算出AB•的长和O 1O 2的长,其余类推即可. 例2 (汉城国际数学竞赛试题)把3根长为1cm 的火柴杆和三根长为3cm 的火柴杆,摆放在如左图的圆周上构成六边形,此六边形的面积是由三根1cm 的火柴杆所构成的等边三角形面积的多少倍?解析 如图 (1),因为六边形ABCDEF 内接于⊙O,连结OA,OB,OC,OD,OE,OF, 显然△AOB ≌△AOF ≌△EOF;△BOC ≌△COD ≌△DOE.把底边长为1和3的等腰三角形作间隔排列拼成如图 (2),• 并向两端延长边长为3的边,得边长为5的等边三角形.边长为5的等边三角形可分割为25个边长为1的等边三角形,•于是此六边形可分割为22个边长为1的等边三角形.故此六边形的面积是边长为1的等边三角形面积的22倍.点评几何计算常建立在几何证明的基础之上,通过证明,•解决有关图形的位置关系和数量关系,从而使问题获得解决.全能训练A卷1.两圆相交,公共弦长为且在一圆中为内接正三角形的一边,在另一圆中为内接正六边形的一边,求这两圆的面积之比.2.已知三个正多边形的边数分别是a,b,c,从中各取一个内角相加,其和为360°.求111a b c++的值.3.已知半径为1的圆内接正五边形ABCDE中,P是AE的中点.求AP·BP的值.4.已知一个正三角形,一个正方形,一个圆的周长相等,•正三角形和正方形的外接圆半径为r1,r2,圆的半径为R,则r1,r2,R的大小关系是( ).A.r1>r2>RB.r2>R>r1C.R>r1>r2D.r2>r1>R5.如图,已知一个边长为2cm的正六边形,若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形,则这个圆形纸片的最小半径是_________.6.如图,大小两个同心圆的圆心为O,现任作小圆的三条切线分别交于A、B、C点,记△ABC的面积为S,以A、B、C为顶点的三个阴影部分的面积分别为S1,S2,S3,•试判断S1+S2+S3-S是否为定值,若是,求出这个值;若不是,说明理由.A卷答案:1.设正三角形外接圆O1的半径为R3,正三角形边长是AB,正六边形外接圆O2的半径为R6,∴R3=33AB,R6=AB.∴R3:R6=3:3 ,∴S⊙O1:S⊙O2=R32:R62=1:3.2.由180(2)aa︒-+180(2)bb︒-+180(2)cc︒-=360°,得111a b c++=12.3.连结OA交BP于F,证AP=PF,再证△OPF∽△BPO.∴PF·BP=O P2,∴AP·BP=PF·BP=OP2=14.A5.2cm6.如图,设大小圆半径分别为R和r(R和r为定值).小圆的每条切线与大圆所夹小弓形的面积相等且为定值,设这个定值为p,则有S1+S2+S3′=P;S2+S3+S1′=•P;•S3+S1+S2′=P. ∴(S1+S2+S3)·2+(S1′+S2′+S3′)=3P.又∵S1+S2+S3+S1′+S2′+S3′+S=πR2.∴S1′+S2′+S3′= -(S1+S2+S3)-S代入①式得:S1+S2+S3-S=3P- πR2 (定值)故S1+S2+S3-S为定值,这个定值为3P-πR2.B卷1.如图1,两个半圆,大圆的弦CD平行于直径AB,且与小圆相切,已知CD=24,•则在大半圆中挖去小半圆后剩下部分的面积为________.(1) (2)2.如图2,圆心在原点,半径为2的圆内一点P(22,22) ,过P作弦AB与劣弧AB组成一个弓形,则该弓形面积的最小值为___________.3.小伟在半径为1cm,圆心角为60°的扇形铁皮上剪取一块尽可能大的正方形铁皮,小伟在扇形铁皮上设计如图所示的甲,乙两种剪取方案,请你帮小伟计算一下,按甲、乙两种方案剪取所得的正方形面积,并估算哪个正方形的面积较大(•估算时3=1.73,结果保留两位有效数字).4.如图,在圆周内部有一凸四边形,其边的延长线分别交圆周于A 1,•A 2,B 1,B 2,C 1,C 2,D 1,D 2. 求证:若A 1B 2=B 1C 2=C 1D 2=D 1A 2,则由直线A 1A 2,B 1B 2,C 1C 2,D 1D 2所围成的四边形是圆内接四边形.5.如图,给定正七边形A 1A 2…A 7.证明:121314111A A A A A A =+.- 11 - B 卷答案:1.可将小半圆的圆心移至大半圆圆心重合.此时小半圆与CD 切于M 点,•同心圆圆心设为O, 则S 阴=12πOD 2-12πOM 2=12π(O D 2-OM 2)= 12πMD 2=12π×122=72π。
八种隐圆类最值问题,圆来如此简单(原卷版)
八种隐圆类最值问题，圆来如此简单在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。
正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。
“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。
一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！知识点梳理题型一定点定长得圆2023年湖北省鄂州市中考数学真题2023·邵阳市中考真题2023·广西南宁市二模2022·辽宁抚顺·中考真题2022·长春·中考真题题型二直角的对边是直径2023·菏泽市中考真题2022·通辽·中考真题2023·汕头市金平区一模2023·广州市天河区三模2022·成都市成华区二诊题型三对角互补得圆2023年·广元市一模题型四定弦定角得圆2023·成都市新都区二模2023·成都市金牛区二模2023·达州·中考真题题型五四点共圆题型六相切时取到最值2023·随州市中考真题2022·江苏无锡·中考真题2022扬州中考真题题型七定角定高面积最小、周长最小问题题型八米勒角（最大张角）模型徐州中考知识点梳理一、定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算二、直角的对边是直径前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)xB三、对角互补前世：在⊙O 上任意四点A ，B ，C ，D 所围成的四边形对角互补 今生：若四边形ABCD 对角互补，则A ，B ，C ，D 四点共圆四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．前世：在⊙O 中，若弦AB 长度固定则弦AB 所对的圆周角都相等(注意：弦AB 在劣弧AB 上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)今生：若有一固定线段AB 及线段AB 所对的∠C 大小固定，根据圆的知识可知C 点并不是唯一固定的点，C 在⊙O 的优弧ACB 上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C 的大小，小于90°，则C 在优弧上运动；等于90°，则C 在半圆上运动；大于90°则C 在劣弧运动)五、四点共圆模型前世:在⊙O 中，ABCD 是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD) 今生:若四边形ABCD 中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD 四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用六、定角定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC 外一点A ，A 到直线BC 距离为定值（定高），∠BAC 为定角。
2025高考数学必刷题 第61讲、圆中的范围与最值(学生版)
第61讲圆中的范围与最值知识梳理1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题.2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题必考题型全归纳题型一：斜率型例1．（2024·江苏·高二专题练习）已知点(),P x y 在圆()()22113x y -+-=上运动，则43yx --的最大值为（）A ．6-B ．6C ．6-D ．6例2．（多选题）（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知点()P x y ，在圆22(1)1x y +-=上运动，则下列选项正确的是（）A ．12y x --的最大值为13，最小值为1;3-B ．12y x --C ．2x y +的最大值为11；D ．2x y +的最大值为2+2-例3．（2024·全国·高三专题练习）已知(),P m n 为圆C ：()()22111x y -+-=上任意一点，则11n m -+的最大值为.变式1．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知(),M x y 为圆C ：22414450x y x y +--+=上任意一点，且点()2,3Q -．（1）求MQ 的最大值和最小值．（2）求32y x -+的最大值和最小值．（3）求y x -的最大值和最小值．题型二：直线型例4．（2024·全国·高三专题练习）点(,)P x y 是圆2212x y +=上的动点，则x y +的最大值是.例5．（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点，则x y +的最大值为（）A ．5B ．5C ．6D ．5例6．（2024·全国·高三专题练习）已知点(),P x y 是圆C ：()()2230x a y a -+=>上的一动点，若圆C 经过点(A ，则y x -的最大值与最小值之和为（）A ．4B ．C ．4-D ．-题型三：距离型例7．（2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ,B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A ,B 间的距离为2，动点P 满足PA PB=22PA PB +的最大值为例8．（2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知M 为圆22414450：+--+=C x y x y 上任意一点，且()2,3Q -．(1)求MQ 的最大值和最小值；(2)若(),M m n ，求231++m n 的最大值和最小值；(3)若(),M m n ，求2246++-m n m n 的最大值和最小值．例9．（2024·高一课时练习）已知点()P x y ，在直线10x y ＝++上运动，求()()2211x y +－－的最小值及取得最小值时点P 的坐标．变式2．（2024·高二课时练习）已知点()P x y ，在直线10x y ＝++上运动，则()()2211x y +－－取得最小值时点P 的坐标为．变式3．（2024·全国·高二专题练习）已知(,)M m n 为圆224440C x y x y +--+=：上任意一的最大值为变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量a →，b →，c →，满足R,x ∀∈14a xb a b →→→→-≥-，2,4a a b →→→=⋅=，26a c b c →→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a c →→-的最小值为（）A ．1B ．3C ．3D ．22变式5．（2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知点(1,1),A --(1,3),B -(2,1)C -，点P 在圆221x y +=上运动，则222||||2||PA PB PC ++的最大值为（）A ．22B ．26C ．30D ．32题型四：周长面积型例10．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点()1,0A -，()0,2B ，点P 是圆()2211x y -+=上任意一点，则PAB 面积的最大值为，最小值为.例11．（2024·全国·高二专题练习）已知圆22:(2)(6)4-+-=C x y ，点M 为直线:80l x y -+=上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形CAMB 周长的最小值为（）A ．8B ．C ．D ．2+例12．（2024·全国·模拟预测）已知直线l ：1y x =+与圆E ：222210x y x y ++--=相交于不同两点A ，C ，位于直线l 异侧两点B ，D 都在圆E 上运动，则四边形ABCD 面积的最大值为（）AB ．CD ．变式6．（2024·甘肃庆阳·高二校考期末）已知圆C 的方程为222x y +=，点P 是直线250x y --=上的一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则四边形PACB 的面积的最小值为变式7．（2024·高二课时练习）已知()0,2A -，()2,0B ，点P 为圆2228130+--+=x y x y 上任意一点，则PAB 面积的最大值为（）A ．5B ．5-C ．52D ．5+题型五：数量积型例13．（2024·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点M 为椭圆2211615x y +=上任意一点，,A B 是圆22(1)1x y -+=上两点，且2AB =，则MA MB ⋅的最大值是.例14．（2024·全国·高三专题练习）已知直线:2l y x a =+与圆()()222:0C x a y r r -+=>相切于点()01,M y -，设直线l 与x 轴的交点为A ，点P 为圆C 上的动点，则PA PM ⋅的最大值为．例15．（2024·江苏南京·高一校考期中）已知点()()1,0,1,0A B -，点P 为圆22:68170+--+=C x y x y 上的动点，则AB AP ⋅的最大值为.变式8．（2024·全国·高一专题练习）在边长为4的正方形ABCD 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）．A ．[]4,20-B ．[]1,5-C ．[]0,20D ．[]4,20变式9．（2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8].B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]变式10．（2024·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是（）A ．[]2,4B ．[]2,3C ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型六：坐标与角度型例16．（2024·浙江丽水·高二校联考开学考试）已知点P 在圆M ：()()22424x y -+-=上，点()2,0A ，()0,2B ，则PBA ∠最小和最大时分别为（）A ．0°和60°B ．15°和75°C ．30°和90°D ．45°和135°例17．（2024·高二单元测试）已知圆C ：(x ﹣1)2+y 2=1，点P (x 0，y 0)在直线x ﹣y +1=0上运动.若C 上存在点Q ，使∠CPQ =30°，则x 0的取值范围是.例18．（2024·全国·高三专题练习）已知x ，y 满足2243x y y +=-（）A ．1B ．2CD 变式11．（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若圆()()22:cos sin 1M x y θθ-+-=02θπ≤<（）与圆22:240N x y x y +--=交于A 、B 两点，则tan ∠ANB 的最大值为（）A ．12B ．34C ．45D ．43变式12．（2024·全国·高三专题练习）动圆M 经过坐标原点，且半径为1，则圆心M 的横纵坐标之和的最大值为（）A ．1B ．2C D ．变式13．（2024·全国·模拟预测）已知圆()()22:125C x y -+-=，圆C '是以圆221x y +=上任意一点为圆心，1为半径的圆．圆C 与圆C '交于A ，B 两点，则sin ACB ∠的最大值为（）A ．12B ．23C ．34D ．45题型七：长度型例19．（2024·全国·高三专题练习）已知圆()22:21C x y -+=及点()0,2A ，点P 、Q 分别是直线0x y +=和圆C 上的动点，则PA PQ +的最小值为.例20．（2024·湖北·高二沙市中学校联考期中）已知直线l 与圆22:4O x y +=交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且2AB =，则112244x y x y +++++的最大值为.例21．（2024·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知()()1122,,A x y B x y ､为圆22:4M x y +=上的两点，且12122x x y y +=-，设()00,P x y 为弦AB 的中点，则003410x y +-的最大值为.变式14．（2024·上海静安·高二校考期末）已知实数1212,,,x x y y 满足2222112211x y x y +=+=，，121212x x y y +=的最大值为.变式15．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足|PA PB λ=（其中λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点(1,0)(2,1)M N -、，P 是圆22:3O x y +=PN +的最小值为变式16．（2024·全国·高二期中）已知圆C 是以点(2,M 和点(6,N -为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点()2,0A ，点()1,1B ，则2PA PB -的最大值为（）A B ．4C ．8+D变式17．（2024·四川成都·高二成都七中校考开学考试）已知A ，B 是曲线||1x -=(0,1)C ，则||||CA CB +的最大值与最小值的比值是（）AB C D 变式18．（2024·全国·高三专题练习）在Rt ABC △中，2BAC π∠=，2AB AC ==，点M 在ABC 内部，3cos 5AMC ∠=-，则22MB MA -的最小值为．变式19．（2024·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆22(6)(5)9x y -++=上的动点，则||||PF PE -的最大值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9题型八：方程中的参数例22．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD 中，90,4,2A B AD AB BC ==︒===，点M 在以CD 为直径的半圆上，且满足AM mAB nAD =+ ，则m n +的最大值为（）A ．2B ．3C ．52-D例23．（2024·全国·高三专题练习）已知()0,0O ，)P，()14cos 4sin Q θθ+，[]0,2θπ∈，则OPQ △面积的最大值为（）A ．4B ．5C ．D例24．（2024·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知点()0,4A -，点()2,0,B P 为圆22:4O x y +=上一动点，则PB PA的最大值是（）A B ．4C ．3D ．2变式20．（2024·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）已知过点(的动直线l 与圆22:16C x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作C 的切线，两切线交于点N .若动点()cos ,sin (002)M θθπ≤<，则MN 的最小值为。
专题29 三角形的内切圆模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题29三角形的内切圆模型【模型】如图29-1，已知⊙O 为ABC ∆的内切圆。
⇒（1）OA 、OB 、OC 分别平分ACB ABC BAC ∠∠∠,,；（2）点O 到AB ，BC ，AC 的距离相等，均为⊙O 的半径。
【例1】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒其周长为20，⊙I 是ABC ∆则BIC ∆的外接圆半径为（）A ．7B ．C ．2D 【答案】D 【分析】过C 作CD ⊥AB 于D ，由60BAC ∠=︒结合面积求出BC 的长，由内心可以求出120°BIC ∠=，BIC ∆的外接圆圆心为O,F 是O 优弧BC 上任意一点，过O 作OE ⊥BC 于E ，求出圆心角2120BOC F ∠=∠=︒，最后由垂径定理求出半径OB【解析】过C 作CD ⊥AB 于D ，BIC ∆的外接圆圆心为O,F 是O 优弧BC 上任意一点，过O 作OE ⊥BC 于E ，设,,AB c AC b BC a ===，∵60BAC ∠=︒，∴11,,222AD b DC b BD c b ===-，∵在ABC ∆周长为20∴112022ABC S CD AB =⨯= ，∴20c ∴=40bc Rt BDC 中，222BD CD BC +=∴2221())2c b a -+=222c b bc a +-=∵在ABC ∆周长为20，∴+=20c b a +∴22222()3(20)340a cb bc b c bc a =+-=+-=--⨯解得7BC a ==∵I 是ABC ∆的内心∴BI 、CI 分别平分∠ABC 、∠ACB ∴11,22IBC ABC ICB ACB ∠=∠∠∠=∵60BAC ∠=︒∴120°ABC ACB ∠+∠=∴1180180()120°2BIC IBC ICB ABC ACB ∠=-∠-∠=-∠+∠=∵+180BIC F ∠∠=°∴60F ∠=︒∴2120BOC F ∠=∠=︒∵OE ⊥BC ∴1602BOE BOC ∠=∠=︒,1722BE BC ==∴72OB BE ==故选D【例2】如图，ABC 中，13,15,14===AB AC BC ，则ABC 的内切圆半径为_________．【答案】4【分析】先作AD ⊥BC 于点D ，利用勾股定理求AD ，再求三角形ABC 的面积，利用内心与三顶点连线将三角形分成三个三角形，利用内切圆的半径求三个三角形面积，利用面积构造r 的等式，求出即可．【解析】过A 作AD ⊥BC 于点D ，设BD=x ，CD=14-x ，∴AD 2=AB 2-BD 2=AC 2-CD 2，∴132-x 2=152-(14-x)2，解得：x=5，12=，S △ABC =114122⨯⨯=84，设ABC 的内切圆半径为r ，连结AI ，BI ，CI ，则111S =AB BC AC 222ABI BCI ACI r S r S r ∆∆∆== ，，，S △ABC ＝S ++ABI BCI ACI S S ∆∆∆=()11112222AB r BC r AC r AB BC AC r ++=++ ，∴()1=842AB BC AC r ++ ，∴21r=84，∴r=4，故答案为：4．【例3】如图，AB=AC ，CD ⊥AB 于点D ，点O 是∠BAC 的平分线上一点，⊙O 与AB 相切于点M ，与CD 相切于点N ．（1）求证：∠AOC=135°；（2）若NC=3，BC=DM 的长．【答案】（1）见解析；（2）DM=1．【分析】(1)只要证明OC 平分∠ACD ，即可解决问题；(2)由切线长定理可知：AM=AE ，DM=DN ，CN=CE=3，设DM=DN=x ，在Rt △BDC 中，根据222BC BD CD =+，构建方程即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OM ，ON ，过O 点做OE ⊥AC ，交AC 于E ，如图所示，∵⊙O 与AB 相切于点M ，与CD 相切于点N∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∵OA 平分∠BAC ，OE ⊥AC ，OM ⊥AB ，∴OM=OE ，即：E 为⊙O 的切点；∴OE=ON ，又∵OE ⊥AC ，ON ⊥CD ，∴OC 平分∠ACD ，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∴∠OAC+∠OCA=45°，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA ）=180°-45°=135°，即：∠AOC=135°，（2）由（1）得，AM=AE ，DM=DN ，CN=CE=3，设DM=DN=x ，∵AB=AC ，∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x ，∵CD=3+x ，在Rt∆BCD 中，由勾股定理得：222BC BD CD =+，即：(()()2222533x x =-++，解得：x=1或x=-1（舍去），即DM=1．一、单选题1．若Rt ABC 的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则其内切圆的面积与Rt ABC 的面积比为（）A ．22r r R π+B ．2rR r π+C ．42rR r π+D ．4rR rπ+【答案】B【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG m BF BG n ======结合勾股定理可得：22,mn Rr r =+再求解直角三角形的面积()()21==22ACB S m r n r Rr r +++ ，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比．【解析】解：如图，由题意得：902ACB AB R ∠=︒=，，111O E O F O G r ===，由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG BF BG ====设,,AE AG m BF BG n ====()()()222m r n r m n ∴+++=+，2,m n R +=()2mn m n r r ∴=++，22,mn Rr r ∴=+而()()()211=+22ACB S m r n r mn mr nr r ++=++ ()221=222Rr r Rr r +++2=2Rr r +122.22O ABC S r r S Rr r R rππ∴==++ 故选B ．2．如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，分别切AB ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，P 是 DF上一点，则∠EPF 的度数是（）A ．65°B ．60°C ．58°D ．50°【答案】B 【分析】连接OE ，OF ．求出∠EOF 的度数即可解决问题．【解析】解：如图，连接OE ，OF ．∵⊙O 是△ABC 的内切圆，E ，F 是切点，∴OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∴∠OEB=∠OFB=90°，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∴∠EPF=12∠EOF=60°，故选：B．3．如图，已知矩形ABCD 的周长为16，E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆，连接AE ，CE ，AF ，CF ，EF ，若37AECF ABCD S S =四边形矩形，则EF 的长为（）A．B．C．D．【答案】B 【分析】设AB=x ，BC=y ，内切圆半径为r ，由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形，结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x 、y 、r 的关系式，再由37AECF ABCD S S =四边形矩形推导出x 、y 、r 的关系，从而分别求出r ，xy 、22x y +的值，最后由勾股定理求得EF 值.【解析】如图，设AB=x ，BC=y ，内切圆半径为r ，则∵矩形ABCD 的周长为16，∴x+y=8①∵E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆，∴11(22ABC S xy x y r ∆==++ ②由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形，∵37AECF ABCD S S =四边形矩形，∴247ABCE ABCD S S =四边形矩形，∴112()4227xr yr xy +=，即()47x y r xy +=③由①、②、③联立方程组，解得：r=1，xy=14，2236x y +=，作EH ⊥FH 于H ，由勾股定理得：222EF EH FH =+22(2)(2)x y =-+-224()8x y x y =+-++=36-32+8=12，∴EF=故选：B.4．如图，点O 是ABC ∆的内心，62A ∠=︒，则BOC ∠=()A ．59︒B ．31︒C ．124︒D ．121︒【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出ACB ABC ∠+∠，求出1()2OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠，求出OBC OCB ∠+∠的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．【解析】解：62BAC ∠=︒ ，18062118ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，点O 是ABC ∆的内心，12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，11()1185922OBC OCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，18059121BOC ∴∠=︒-︒=︒．故选：D ．二、填空题5．已知平面直角坐标系中，点A (5，0)、B (575，245)和点P (a ，34a )．若⊙M 是△PAB 的内切圆，则⊙M 面积的最大值是________________．【答案】169π【分析】先求出AB 解析式，得到AB 与l 平行，求出S △ABP 为定值，由S △ABP =1122ABP r C ∆⨯⨯=，可得当△PAB 的周长最小时符合题意，再根据对称性得到△PAB 的周长值求出r ，故可求解．【解析】设直线AB 的解析式为y =kx +b把A (5，0)、B (575，245)代入得05245755k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得34254k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴32544y x =-∵P (a ，34a )∴P 点在直线l ：34y x =上∴AB //l∴S △ABP 为定值如图，作AC ⊥l ，在Rt △AOC 中，∵k =34=tan ∠AOC ∴34AC CO =设AC =3a ，CO =4a ，∵AO =5，∴AC 2+CO 2=AO 2，即（3a ）2+（4a ）2=52，解得a =1，∴AC =3，∵AB8=，∴S △ABP =183122⨯⨯=为定值，设△PAB 的内切圆⊙M 半径为r ，∵S △ABP =1122ABP r C ∆⨯⨯=，∴当ABP C ∆最小时，∵ABP C ∆=AB +BP +AP ，当BP +AP 最小时符合题意，作点A 关于直线l 的对称点D ，∴PD =PA ，当PA +PB =BD 时，BP +AP 最小，∵AB //l ，∴∠DAB =90°，AD =2AC =6，∴BD 10=，∴ABP C ∆最小值为18，此时r =43，∴⊙M 面积为243π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=169π，故答案为：169π．6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，⊙O 为ABC ∆的内切圆，OA ，OB与⊙O 分别交于点D ，E ．则劣弧 DE的长是_______．【答案】32π【分析】先利用勾股定理计算出10AB =，再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到681022OD +-==，接着三角形角平分线的性质得到135AOB ∠=︒，然后根据弧长公式计算劣弧DE 的长．【解析】解：90C ∠=︒ ，8AC =，6BC =，10AB ∴==，O 为ABC 的内切圆，681022OD +-∴==，OA 平分BAC ∠，OB 平分ABC ∠，1190909013522AOB C ∴∠=︒+∠=︒+⨯︒=︒，∴劣弧DE 的长135231802ππ⨯⨯==．故答案为32π．7．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A 、B 、C 、在直角坐标系中的坐标分别为()3,6，()3,3-，()7,2-，则ABC 内心的坐标为______．【答案】（2，3）【分析】根据A 、B 、C 三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC 各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC 的关系式为：y=kx+b ，求出BC 与x 轴的交点G 的坐标，证出点A 与点G 关于BD 对称，射线BD 是∠ABC 的平分线，三角形的内心在BD 上，设点M 为三角形的内心，内切圆的半径为r ，在BD 上找一点M ，过点M 作ME ⊥AB ，过点M 作MF ⊥AC ，且ME=MF=r ，求出r 的值，在△BEM 中，利用勾股定理求出BM 的值，即可得到点M 的坐标．【解析】解：根据A 、B 、C 三点的坐标建立如图所示的坐标系，根据题意可得：=，==∵222AB AC BC +=，∴∠BAC=90°，设BC 的关系式为：y=kx+b ，代入B ()3,3-，C ()7,2-，可得3327k b k b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴BC ：1322y x =-+，当y=0时，x=3，即G （3,0），∴点A 与点G 关于BD 对称，射线BD 是∠ABC 的平分线，设点M 为三角形的内心，内切圆的半径为r ，在BD 上找一点M ，过点M 作ME ⊥AB ，过点M 作MF ⊥AC ，且ME=MF=r ，∵∠BAC=90°，∴四边形MEAF 为正方形，S △ABC =11112222AB AC AB r AC r BC r ⨯=⨯+⨯+⨯，解得：r =即∴BE==，∴5=，∵B （-3，3），∴M （2，3），故答案为：（2，3）．8．已知ABC 的三边a 、b 、c 满足2|3|819b c a a +-+-=-，则ABC 的内切圆半径=____．【答案】1【分析】先将2|3|819b c a a +-+-=变形成)()222|3|40c a +-+-=，然后根据非负性的性质求得a 、b 、c 的值，再运用勾股定理逆定理说明△ABC 是直角三角形，最后根据直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半解答即可．【解析】解：2|3|819b c a a +-+-=-)()24|3|8160c a a -+-+-+=)()222|3|40c a +-+-=2-=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，∵42+32=52∴△ABC 是直角三角形∴ABC 的内切圆半径=34522a cb +-+-==1．故答案为1．9．如图，ABC 的内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F ，且5,13AB BC ==，12CA =，则阴影部分的面积为_______(结果保留π)．【答案】262π-【分析】先根据勾股定理的逆定理得出ABC 是直角三角形，再设O 的半径为r ，根据三角形的面积公式得出r 的值，然后根据正方形的判定与性质、扇形的面积公式、三角形的面积公式即可得．【解析】5,2,113AB BC CA === 222AB CA AB ∴+=∴ABC 是直角三角形，且90A ∠=︒设O 的半径为r ，则OD OE OF r=== 内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F,,OD BC OE CA OF AB∴⊥⊥⊥ABC OBC OAC OABS S S S =++ 11112222AB AC BC OD CA OE AB OF ∴⋅=⋅+⋅+⋅即1111512131252222r r r ⨯⨯=⨯+⨯+⨯解得2r =又,,90OE CA OF AB A ⊥⊥∠=︒∴四边形AEOF 是矩形，90EOF ∠=︒OE OF= ∴矩形AEOF 是正方形则ABC O AEOF EOF EOFS S S S S S =-+-+ 阴影扇形扇形222190902360360r r AB AC r OE OF πππ=⋅-+-⋅+22219029025122222360360πππ⨯⨯=⨯⨯-⨯+-⨯+262π=-故答案为：262π-．10．如图，O 是四边形ABCD 的内切圆，连接OA 、OB 、OC 、OD ．若108AOB ∠=︒，则COD ∠的度数是____________．【答案】72︒【分析】如图，设四个切点分别为点,,,E F G H ，分别连接切点与圆心，可以得到4对全等三角形，进而得到12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，78∠=∠，根据这8个角和为360°，∠1+∠8=108AOB ∠=︒，即可求出COD ∠=∠5+∠4=72°．【解析】解：设四个切点分别为点,,,E F G H ，分别连接切点与圆心，则OE AB ⊥，OF CB ⊥，OG CD ⊥，OH AD ⊥且OE OF OG OH ===，在Rt BEO ∆与Rt BFO ∆中OE OF OB OB=⎧⎨=⎩∴Rt BEO Rt BFO ∆∆≌，∴12∠=∠，同理可得：34∠=∠，56∠=∠，78∠=∠，1145(3456)[360(1278)]22COD ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠11[3602(18)][3602108]7222=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：72︒三、解答题11．已知：ABC ∆．问题一：请用圆规与直尺（无刻度）直接在ABC ∆内作内切圆，（要求清晰地保留尺规作图的痕迹，不要求写画法）问题二：若ABC ∆的周长是24，ABC ∆的面积是24，，求ABC ∆的内切圆半径．【答案】（1）见解析；（2）r=2【分析】（1）先作∠B 和∠C 的平分线交于点O ，再过点O 作OH ⊥AB 于H ，然后以点O 为圆心，OH 为半径作圆即可；（2）连结OA 、OB 、OC ，作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，根据切线的性质得OD=OE=OF=r ，则利用S △ABC =S △AOB +S △OBC +S △OAC 得到12 r AB+12 r BC+12 r AC=24，变形得到12r （AB+BC+AC ）=24，然后把周长为24代入计算即可得到r 的值．【解析】解：（1）如图，O 为所求作的ABC ∆的内切圆；（2）解：如下图，连结OA 、OB 、OC ，作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，设它的内切圆的半径为r ，则OD=OE=OF=r ，∵S △ABC =S △AOB +S △OBC +S △OAC ，∴12 r AB+12 r BC+12 r AC=24，∴12r （AB+BC+AC ）=24，∴12r 24=24，∴r=2．即ABC ∆的内切圆的半径为2．12．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，且⊙O 与△ABC 的三边分别切于点D 、E 、F ，已知AB 长为10cm ，BC 长为6cm ，AC 长为8cm ．（1）求AE 、CD 、BF 的长；（2）连接OD ，OE ，判断四边形ODCE 的形状，并说明理由；（3）求⊙O的面积．【答案】（1）AE=6cm ；CD=2cm ；BF=4cm ；（2）四边形ODCE 是正方形，理由见解析；（3）4π2cm ．【分析】（1）根据切线长定理列出方程组可以得到解答；（2）连接OD 、OE ，则由切线性质和勾股定理可得∠C=∠OEC=∠ODC=90°，所以四边形ODCE 是矩形，再由OE=OD 可知四边形ODCE 是正方形；（3）由（2）可得⊙O 的半径OD=CD=2cm ，所以由面积公式即可求得⊙O 的面积．【解析】解：（1）设AE=xcm ，CD=ycm ，BF=zcm ，则由切线长定理可得：AF=AE=x ，CE=CD=ycm ，BD=BF=zcm ，∴由题意可得：8106x y x z y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解之可得：624x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴AE=6cm ，CD=2cm ，BF=4cm ；（2）四边形ODCE 是正方形，理由如下：如图，连接OD 、OE，∵2221068AB cm BC cm AC cm BC AC AB ===∴+=，，，，∴∠C=90°，又CA 、CB 与⊙O 相切，∴∠OEC=∠ODC=90°，∴四边形ODCE 是矩形，∵OD=OE ，∴四边形ODCE 是正方形；（3）由（2）知，⊙O 的半径OD=CD=2cm ，∴()224O S OD cm ππ== ．13．如图，已知⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，且∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12．（1）求BF 的长；（2）求⊙O 的半径r ．【答案】（1）BF ＝10；（2）r=2．【分析】（1）设BF ＝BD ＝x ，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．（2）证明四边形OECF 是矩形，推出OE ＝CF 即可解决问题．【解析】解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，∴AC 5，∵⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∴BD ＝BF ，AD ＝AE ，CF ＝CE ，设BF ＝BD ＝x ，则AD ＝AE ＝13﹣x ，CFCE ＝12﹣x ，∵AE+EC ＝5，∴13﹣x+12﹣x ＝5，∴x ＝10，∴BF ＝10．（2）连接OE ，OF ，∵OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，∴∠OEC ＝∠C ＝∠OFC ＝90°，∴四边形OECF 是矩形，∴OE ＝CF ＝BC ﹣BF ＝12﹣10＝2．即r ＝2．14．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm ，BC=9cm ，求⊙O 的半径r ；(2)若AC=b ，BC=a ，AB=c ，求⊙O 的半径r ．【答案】（1）r=3cm.(2)r=12（a+b-c ）．【分析】首先设AC 、AB 、BC 与⊙O 的切点分别为D 、E 、F ；易证得四边形OFCD 是正方形；那么根据切线长定理可得：CD=CF=12（AC+BC-AB ），由此可求出r 的长．【解析】（1）如图,连接OD ，OF ；在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12cm ，BC=9cm ；根据勾股定理22AC BC +；四边形OFCD 中，OD=OF ，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；则四边形OFCD 是正方形；由切线长定理，得：AD=AE ，CD=CF ，BE=BF ；则CD=CF=12（AC+BC-AB ）；即：r=12（12+9-15）=3cm ．（2）当AC=b ，BC=a ，AB=c ，由以上可得：CD=CF=12（AC+BC-AB ）；即：r=12（a+b-c ）．则⊙O 的半径r 为：12（a+b-c ）．15．如图，在ABC 中，4AC BC ==，90ACB ∠=︒，O 是ABC 的外接圆，连接CO 并延长交O 于点D ，连接BD ，点E 是ABC 的内心．（1）请用直尺和圆规作出点E ，证明BD DE =；（2）求线段CE 长．【答案】（1）见解析；（2）24CE =．【分析】（1）三角形内心的作法确定点E ，点E 是ABC 的内心可得到12ABE EBO ABC ∠=∠=∠，O 是ABC 的外接圆，用外接圆的性质可以求出BOE BOD ∠=∠，再用三角形角之间的关系可以证明BD DE =．（2）90ACB ∠=︒得到AB 为O 的直径，O 是ABC 的外接圆可知OC 垂直平分AB ，E 是内心可推出CE CD DE =-，再用三角函数的性质可求出CE ．【解析】（1）如图，点E 即为所求．∵4AC BC ==，90ACB ∠=︒，∴45A ABC ∠=∠=︒．连接BE ，∵点E 是ABC 的内心，∴122.52ABE EBO ABC ∠=∠=∠=︒．∵O 是ABC 的外接圆，∴AO BO =，又∵AC BC =，∴CO AB ⊥，∴90BOE BOD ∠=∠=︒，在BOE △中，180BOE EBO OEB ∠+∠+∠=︒，∴67.5OEB ∠=︒，∵90BOD ∠=︒，DO BO =，∴45OBD ∠=︒，∴67.5EBD OBD EBO ∠=∠+∠=︒，∴EBD OEB ∠=∠，∴BD DE =．（2）∵90ACB ∠=︒，4AC BC ==∴AB 为O 的直径，AB =∴CD AB ==∵O 是ABC 的外接圆∴OC 垂直平分AB∴OC 平分ACB∠∵E 是内心∴CE 平分ACB∠∴点E 在线段CD 上，即CE CD DE=-∵45D DCB ∠=∠=︒∴90CBD ∠=︒，∴4sin 45CD BD ==︒∵BD DE=∴4CE CD DE =-=-．16．如图，O 的半径是3，点P 是O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点M 是 APB 上的任意一点（不与A ，B 重合），MN AB ⊥于点N ，以M 为圆心，MN 为半径作M ，分别过A ，B 两点作M 的切线，切点分别为D ，E ，两切线交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）求ACB ∠的大小；（3）设ABC 的面积为S ，若2S =，求M 的半径．【答案】（1）（2）60°；（3）1【分析】（1）连结OA ，记OP 与AB 的交点为Q ，则有3OA =．由弦AB 垂直平分线段OP ，可得1322OQ OP ==，AQ BQ =．在Rt OAQ △中求得2AQ =，即可得AB =（2）连结BM ，AM ，OB ，由（1）得32OQ =，2AQ =，即可得tan AQ AOP OQ ∠==，所以60AOP ∠=︒，120AOB ∠=︒．由题意，得点M 为ABC 的内心，可得2CAB MAN ∠=∠，2CBA MBA ∠=∠．再由120CAB CBA ∠+∠=︒，即可得60ACB ∠=︒．（3）连结OM ，MD ，ME ，设ABC 的周长为C ，M 的半径为R ，则有MD ME MN ==，MD AC ⊥，ME BC ⊥，所以()()1112222S C R AB BC AC MN CE MN =⋅=++⋅=⋅．又因CE ，CD 是M 的切线，可得1302ECM ACB ∠=∠=︒，在直角CEM 中，CE =，求得CD CE ===．已知2S =，可得()()211222CE MN MN =⋅=⋅，解之即可得M 的半径．【解析】（1）如图，连结OA ，记OP 与AB 的交点为Q ，则有3OA =．∵弦AB 垂直平分线段OP ，∴1322OQ OP ==，AQ BQ =．在Rt OAQ △中，∵2AQ ===，∴2AB AQ ==（2）如图，连结BM ，AM ，OB ，由（1）得32OQ =，2AQ =，∴tan AQ AOP OQ ∠==，∴60AOP ∠=︒，∴120AOB ∠=︒．∵由题意，得点M 为ABC 的内心，∴2CAB MAN ∠=∠，2CBA MBA ∠=∠．∵11160222MAN MBA MOB AOM AOB ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴120CAB CBA ∠+∠=︒，∴60ACB ∠=︒．（3）如图，连结OM ，MD ，ME ，设ABC 的周长为C ，M 的半径为R ，ME则有MD ME MN ==，MD AC ⊥，ME BC ⊥，∴()()1112222S C R AB BC AC MN CE MN =⋅=++⋅=+⋅．∵CE ，CD 是M 的切线，∴1302ECM ACB ∠=∠=︒，∴在直角CEM 中，CE =，∴CD CE ===．∵2S =，∴()()211222CE MN MN =⋅=⋅，∴1MN =，或0MN =（舍去），∴M 的半径是1．17．【特例感知】（1）如图（1），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，3CD =，4BD =，求点D 到直线AB 的距离．【类比迁移】（2）如图（2），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，探索线段AB ，BE ，BC 之间的数量关系，并说明理由．【问题解决】（3）如图（3），四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，BD =，6AB =，求ABC 的内心与外心之间的距离．【答案】（1）125；（2）2AB BC BE +=，理由见解析；（3【分析】（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ，再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；（2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．只要证明()DFA DEC ASA ∆≅∆，推出AF CE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆，推出AF BE =即可解决问题；（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==，推出541ON =-=，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt OMN ∆中，理由勾股定理即可解决问题；【解析】解：（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．图①BD Q 平分ABC ∠，DF AB ⊥，DE BC ⊥，DF DE ∴=，BC 是直径，90BDC ∴∠=︒，5BC ∴==， 1122BC DE BD DC = ，125DE ∴=，125DF DE =∴=．故答案为125（2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ，连接AD ，DC ．BD Q 平分ABC ∠，DE BC ⊥，DF BA ⊥，DF DE ∴=，90DFB DEB ∠=∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒ ，180ABC EDF ∠+∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，FDA CDE ∴∠=∠，90DFA DEC ∠=∠=︒ ，()DFA DEC ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，BD BD = ，DF DE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆，BF BE ∴=，2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．图③BD =，∴正方形BEDF 的边长为7，由（2）可知：28BC BE AB =-=，10AC ∴==，由切线长定理可知：610842AN +-==，541ON ∴=-=，设内切圆的半径为r ，则11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯解得2r =，即2MN =，在Rt OMN ∆中，OM ==18．如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC 的顶点B 在y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，现将正方形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转，旋转角为θ（045θ︒≤≤︒）（1）当点A 落到y 轴正半轴上时，求边BC 在旋转过程中所扫过的面积；（2）若线段AB 与y 轴的交点为M （如图2），线段BC 与直线y x =的交点为N ，当22.5θ=︒时，求此时BMN △内切圆的半径；（3）设MNB 的周长为l ，试判断在正方形OABC 旋转的过程中l 值是否发生变化，并说明理由．【答案】（1）8π；（2）3-（3）不发生变化，理由见详解.【分析】（1）由题意当点A 落到y 轴正半轴上时，边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形由此计算即可．（2）如图2中，在OA 取一点E ，使得EM EO =，首先证明AEM ∆是等腰直角三角形，推出AM AE =，设AE AM x ==，则EM EO ==，可得1x +=，解得1x ，推出11)2BM AB AM =-=-=同理可得2BN =，推出2MN ==，设BMN ∆的内切圆的半径为r ，则有11()22MN BM BN r BM BN ++= ，由此求出r 即可解决问题．（3）在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．如图3中，延长BA 到E 使得AE CN =．只要证明OAE OCN ∆≅∆，推出OE ON =，AOE CON ∠=∠，再证明MOE MON ∆≅∆，推出EM MN =，推出BNM ∆的周长()()MN BM BN EM BM BN AM BM AE BN =++=++=+++()()22AM BM CN BN AB =+++==．【解析】解：（1）如图1中，由题意当点A 落到y 轴正半轴上时，边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形OBB OCC S S ''=-扇形扇形2245(2)451360ππ= 8π=．（2）如图2中，在OA 取一点E ，使得EM EO =，22.5AOM ∠=︒ ，22.5EOM EMO ∴∠=∠=︒，45AEM EOM EMO ∴∠=∠+∠=︒，AEM ∴∆是等腰直角三角形，AM AE ∴=，设AE AM x ==，则2EM EO ==，21x ∴+=，21x ∴=，1(21)22BM AB AM ∴=-=-=，同理可得22BN =，2222MN BM ∴==-，设BMN ∆的内切圆的半径为r ，则有11()22MN BM BN r BM BN ++= ，3BM BN r MN BM BN ∴===-++ （3）在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．理由：如图3中，延长BA 到E 使得AE CN =．AE CN = ，90OAE OCN ∠=∠=︒，OA OC =，OAE OCN ∴∆≅∆，OE ON ∴=，AOE CON ∠=∠，45MON ∠=︒ ，45MOA CON MOA AOE ∴∠+∠=∠+∠=︒，MOE MON ∴∠=∠，OM OM = ，MOE MON ∴∆≅∆，EM MN ∴=，BNM ∴∆的周长MN BM BN EM BM BN=++=++()()()()22AM BM AE BN AM BM CN BN AB =+++=+++==，BNM ∴∆的周长为定值．19．阅读材料：已知，如图（1），在面积为S 的△ABC 中，BC=a ,AC=b ,AB=c ,内切圆O 的半径为r 连接OA 、OB 、OC ，△ABC 被划分为三个小三角形．1111()2222OBC OAC OAB S S S S BC r AC r AB r a b c r ∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅=++ ∴2=++S r a b c．（1）类比推理：若面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a ，BC=b ，CD=c ，AD=d ，求四边形的内切圆半径r ；（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB =21，CD =11，AD =13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆，设它们的半径分别为r 1和r 2，求12r r 的值.【答案】（1）2S r a b c d=+++（2）12149r r =.【分析】（1）如图，连接OA 、OB 、OC 、OD ，则△AOB 、△BOC 、△COD 和△DOA 都是以点O 为顶点、高都是r 的三角形，根据AOB BOC COD AOD S S S S S ∆∆∆∆=+++即可求得四边形的内切圆半径r.（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，分别求得AE 的长，进而BE 的长，然后利用勾股定理求得BD 的长；然后根据11(132120)2ABD S r ∆=++，21(111320)2BCD S r ∆=++，两式相除，即可得到的值.【解析】解：（1）如图（2），连接OA 、OB 、OC 、OD.∵11111()22222AOB BOC COD AOD S S S S S ar br cr dr a b c d r ∆∆∆∆=+++=+++=+++∴2Sr a b c d =+++（2）如图（3），过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵梯形ABCD 为等腰梯形，∴11()(2111)522AE AB DC =-=-=∴21516BE AB AE =-=-=在Rt △AED 中，∵AD=13，AE=5，∴DE=12，∴20BD ===∵AB ∥DC ，∴2111ABD BCD S AB S DC ∆∆==.又∵1112221(132120)5427214422(111320)2ABD BCD r S r r S r r r ∆∆++===++，∴1227212211r r =.即12149r r =.20．如图1，设ABC ∆是一个锐角三角形，且AB AC ≠，Γ为其外接圆，O H 、分别为其外心和垂心，CD 为圆Γ直径，M 为线段BC 上一动点且满足2AH OM =．（1）证明：M 为BC 中点；（2）过O 作BC 的平行线交AB 于点E ，若F 为AH 的中点，证明：EF FC ⊥；（3）直线AM 与圆Γ的另一交点为N （如图2），以AM 为直径的圆与圆Γ的另一交点为P ．证明：若AP BC OH 、、三线共点，则AH HN =；反之也成立．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）连接AD ，BD ，得090ADB DBC ∠=∠=，结合H 为垂心，//,//AD BH BD AH ，得出四边形ADBH 为平行四边形，得到BD AH =，结合平行，O 为CD 中点，可得M 为BC 中点；（2）过E 作EG BC ⊥，由EGHF ，EGFA 为平行四边形，证明H 为FGC ∆的垂心，从而得到EF FC ⊥；（3）设AM 与OF 交点为I ，得到MH AP ⊥，证明H 是AMQ ∆的垂心，证明AP BC OH 、、三线共点得,,O H Q 三点共线，得到AH HN =．【解析】解：（1）连接,AD BD ，则DA AC ⊥，DB BC ⊥又H 为ABC ∆垂心∴BH AC ⊥，AH BC⊥∴//,//AD BH BD AH∴四边形ADBH 为平行四边形∴2DB AH OM ==，又O 为CD 中点∴M 为BC 中点（2）过E 作EG BC⊥连接GH ，由（1）可知四边形EGHF 为平行四边形，四边形EGFA 为平行四边形∵,CH AB AB GF⊥ ∴CH GF⊥∴H 为FGC ∆垂心∴,GH GH CF EF⊥ 而∴EF FC⊥（3）设AM 与OF 交点为I由（1）可知四边形OMFA 为平行四边形∴I 为直径AM 中点而圆I 与圆Γ相交弦为AP∴,OF AP MH OF⊥ 而∴MH AP⊥设,MC AP Q交于则H 为AMQ ∆垂心∴QH AM⊥AP BC OH 、、三线共点⇔,,O H Q 三点共线⇔OH AN ⊥⇔AH HN =。
高考数学类比推理容易出错题(含答案及解析)
高考数学类比推理容易出错题（含答案及解析）1．设△的三边长分别为△的面积为，内切圆半径为，则．类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，四面体的体积为，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为i a （4,3,2,1=i ），此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为i h （4,3,2,1=i ），若k a a a a ====43214321，则kS h h h h 24324321=+++．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为i S （4,3,2,1=i ），此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为i H （4,3,2,1=i ），若K S S S S ====43214321，则4321432H H H H +++等于（ ）A ．2V KB ．2V KC ．3V KD ．3V K3．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是 （ ）A ．归纳推理B ．演绎推理C ．类比推理D ．传递性推理4．我们知道，在边长为a a ，类比上述结论，在边长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值（ ）A5．平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是（ ）A ．三棱柱B ．三棱台C ．三棱锥D ．正方体6．平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值2a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ ）A ．3aB ．4aC ．3D ．4a 7．天文学家经研究认为：“地球和火星在太阳系中各方面比较接近，而地球有生命，进而认为火星上也有生命存在”，这是什么推理（ ）A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．反证法8．由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是（ ）A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.联想推理9．下列推理是归纳推理的是（ ）Ａ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a ＞|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B ．由13,11-==n a a n ，求出321,,S S S 猜想出数列的前n 项和S n 的表达式Ｃ．由圆222r y x =+的面积π2r ，猜想出椭圆12222=+b y a x 的面积π=S ab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇10．下列正确的是（ ）A ．类比推理是由特殊到一般的推理B ．演绎推理是由特殊到一般的推理C ．归纳推理是由个别到一般的推理D ．合情推理可以作为证明的步骤11．①由“若a ，b ，c ∈R ，则(ab)c ＝a(bc)”类比“若a 、b 、c 为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n －2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312．下面几种推理中是演绎推理．．．．的序号为（ ） A ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；B ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= ．13．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点14．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间几何中可以得到类似结论：若正四面体A BCD -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =（ ）A ．14B ．18C ．116D ．12715．已知结论:“在正ABC ∆中，BC 中点为D ，若ABC ∆内一点G 到各边的距离都相等,则2=GDAG ”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则=OM AO （ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．416．现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；②由“若数列{}n a 为等差数列，则有15515211076a a a a a a +++=+++ 成立”类比 “若数列{}n b 为等比数列，则有151********b b b b b b ⋅⋅=⋅⋅ 成立”，则得出的两个结论A. 只有①正确B. 只有②正确C. 都正确D. 都不正确17．在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为（ ）A ．1:2 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:818．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形19．由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（ ）A. 归纳推理B. 类比推理C. 演绎推理D.以上都不是20．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2S l ”类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径r ＝3V S”； 乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a 、b ，则其外接圆半径r ＝”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a 、b 、c ，则其外接球半径r ＝3”．这两位同学类比得出的结论( ) A ．两人都对 B ．甲错、乙对C ．甲对、乙错D ．两人都错21．求“方程345x x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x x f x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，方程x xx x 1133+=+的解为 ． 22．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________．23．在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有n n a a a a a a -+++=+++192121)19(*∈<N n n ，且成立．类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若19=b ，则存在的类似等式为________________________．24．半径为r 的圆的面积2()s r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则2()'2r r ππ=①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0,)+?上的变量，请写出类比①的等式：____________________．上式用语言可以叙述为_________________________．25．已知圆的方程是222r y x =+，则经过圆上一点),(00y x M 的切线方程为200r y y x x =+类比上述性质，可以得到椭圆12222=+b y a x 类似的性质为________．26．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r________________________ 27．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4841281612S S S S S S S ,-,-,-成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ,则4T , ， ，1612T 成等比数列．28．在Rt △ABC 中，若∠C=90°，AC=b ，BC=a ，斜边AB 上的高为h ，则有结论h 2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h ，则有结论： ．29．已知边长分别为a 、b 、c 的三角形ABC 面积为S ，内切圆O 半径为r ，连接OA 、OB 、OC ，则三角形OAB 、OBC 、OAC 的面积分别为cr 21、ar 21、br 21，由br ar cr S 212121++=得cb a S r ++=2，类比得四面体的体积为V ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ,则内切球的半径R=_________________30．已知点),(),,(2121x x a x B a x A 是函数(1)x y a a =>的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论121222x x x x a a a ++>成立．运用类比思想方法可知，若点)sin ,(),sin ,(2211x x B x x A 是函数)),0((sin π∈=x x y 的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．31．如图(1)有面积关系：PA B PAB S S ''∆∆＝PA PB PA PB''⋅⋅，则图(2)有体积关系：P A B C P ABC V V '''--＝________.32．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有222b a c +=．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥LMN O -，如果用321,,S S S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么类比得到的结论是 ．33．已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：13r h =，把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是 ．34．在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线.类比在空间中：（1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是 ；（2）到已知平面相等的点的轨迹是 .35．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ；类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为___________ ．36．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n S n 为等差数列，且通项为1(1)2n S d a n n =+-⋅．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则 ．37．对于问题：“已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为（-1，2），解关于x 的不等式02>+-c bx ax ”，给出如下一种解法：解：由02>++c bx ax 的解集为（-1，2），得0)()(2>+-+-c x b x a 的解集为（-2，1），即关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为（-2，1）参考上述解法，若关于x 的不等式0<++++c x b x a x k 的解集为（-1， 31-） （21，1），则关于x 的不等式0111<++++cx bx ax kx 的解集为________________ 38．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．39．已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．40．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．写出直角三棱锥相应性质（至少一条）：_____________________．42．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ．”猜想关于球的相应命题为“半径为R 的球内接六面体中以 的体积为最大，最大值为 ”43．在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径CS r 2=．在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=______________________。
内切圆半径最大值（竞赛题）
内切圆半径最大值（竞赛题）
已知：在△ABC中，∠A=120°，BC=6，若△ABC的内切圆半径为r，求r的最大值；
先画个草图，
根据上图，我们可以知道∠BAC是恒定值120°，那么半径就是OG的长度，而∠BOC的度数也是一个恒定值，相信大多数同学都能得到，
∠OBC+∠OCB=30°，所以∠BOC=150°，
那么既然这个角是一个定值，那么它肯定在一个特定的圆内，只需要圆心到B、O、C三点的距离都等于半径就OK了，
所以我们画出OB和OC的垂直平分线相交于点M，那么M就是圆心，
如上图，我们找到圆心M，然后可以看出，
当点O到线段BC的距离最远时，内切圆的半径最大，而此时也就是当点O处于弧BC的中点处，也就是OG垂直平分BC的时候，这个时候，我们可以知道A、O、G三点共线，△ABC是等腰三角形，那么AG的长度可以求出，OA的长度也可以用半径来表示，所以r+OA=AG，
解得r的值即可，此时的r就是内切圆半径的最大值；
有些同学可能无法确定G为中点时是否是半径最大的情况，所以要能想起来固定度数的角如果条件合适，可以放在圆内去思考下一步动作。
相似三角形应用--内接矩形
相似三角形的应用——三角形的内接矩形问题一.复习提问：1．如图△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2.5，BC ＝3.5，AF ⊥BC 于F ，交DE 于G ，AG ＝2。
求GF 的长。
二.例题讲解：已知在△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AM=8,请回答下列问题: 1.如图⑴ ,四边形EFGH 为△ABC 的内接正方形,求正方形边长.2.如图⑵,三角形内有并排的两个全等的正方形,恰好组成了△ABC 的内接矩形EFGH,求每个小正方形边长.A BC D E GEM A C B E F G M A C B3.如图⑶, △ABC 内的内接矩形是由3个全等的正方形并排放置形成的，求小正方形边长。
4.如图⑷,三角形内并排的n 个全等的正方形组成的矩形内接于△ABC ，由以上结论猜测每个小正方形边长并验证。
三.变式训练 张师傅的困惑:如图,现有一木板余料,∠B=90°,BC=60cm,AB=80cm,我要把它加工成一个面积最大的正方形椅子面,下面有两位同学的加工方案,请同学们帮我选择哪位同学的加工方案好？小亮:如图,我充分利用直角三角形的直角,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！小明:如图,我充分利用直角三角形中的最长边斜边,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！FG E N FE N H M A C B M AC B B C A80c 60cABC 80c60c四．课堂检测：1、四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形， AH ⊥BC 于H ，交DG 于M ，若BC=12cm ，AH=10cm ，DG=xcm ，DE=ycm（1）请用含x 的代数式表示y.（2）请用含x 的代数式表示矩形DEFG 的面积S.2. △ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90度，AC=BC=2， (1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种 剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形 面积大？请通过计算说明。
半径为R的圆的内接矩形面积的最大值
半径为R 的圆的内接矩形面积的最大值。
用好书上一道题，抵做百道资料题。
横看成岭侧成峰，远近高低各不同 。
视野开阔，思维活跃。
条条大路通罗马，百川归海。
化多元为一元。
法一：设矩形的长和宽分别为,x y 。
则,(0,2)x y R ∈ 矩形面积 ：s xy = 又2224x y R +=所以s =2222422()4s x R x x R x =-=-+ 232()'48s x R x =-+令2()'0s =得x =，x =（舍）由上表可知2s 在x =处取得极大值也是最大值所以矩形面积s 在x =处取得最大值为22R ，此时x y =，即此矩形为正方形。
法二：利用均值不等式设矩形的长和宽分别为,x y 。
则,(0,2)x y R ∈ 矩形面积 ：s xy = 又2224x y R +=222x y xy +≥所以22222x y s R +≤= 当且仅当x y ==，即此矩形为正方形时，面积最大，最大值为22R 。
法三：分割成四个小三角形，求面积分别连接圆心o 和矩形的四个顶点A ，B ，C ，D 。
则矩形面积2214sin 2sin 2s R AOB R AOB =⨯∠=∠，其中(0,)AOB π∠∈所以当2AOB π∠=时，即矩形为正方形时，面积最大，最大值为22R 。
法四：分割成四个全等小矩形。
设矩形的长和宽分别为,x y 。
则,(0,)x y R ∈大矩形面积 ：4s xy = 又222x y R +=222x y xy +≥所以222422x y s R +≤⨯=当且仅当x y ==，即此矩形为正方形时，面积最大，最大值为22R 。
法五：引入角连接AC ，记,(0,)2CAB πθθ∠=∈则AB=CD=2cos R θ，AD=BC 2sin R θ大矩形面积22cos 2sin 2sin 2s R R R θθθ==所以当且仅当sin 21,4πθθ==即时，矩形面积最大，最大值为22R 。
第二十三讲 平面几何的定值与最值问题(含解答)-
第二十三讲平面几何的定值与最值问题【趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.••每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,•而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,•然后再到集市的路程最短呢?(1) (2)解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.连结BP•′与切线MN•交于R,AR+BR>AP+BP.∵RP′+AP′>AR.∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.•“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.【知识延伸】平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1如果△ABC的外接圆半径R一定,求证: abcS是定值.(S表示△ABC的面积)解析由三角形面积S=12absinC和正弦定理sincC=2R,∴c=2RsinC.∴abcS=2sincC=4sinsinR CC=4R是定值.点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,•某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,•这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2 如图,已知⊙O的半径R=33,A为⊙O上一点,过A作一半径为r=3的⊙O′,问OO′何时最长?最长值是多少?OO′何时最短?最短值是多少?解析当O′落在OA的连线段上(即⊙A与线段OA的交点B时)OO′最短,且最短长度为33-3 ;当O′落在OA的延长线上(即⊙O与OA的延长线交点C时)OO′最长,且最长的长度为33+3 .点评⊙O′是一个动圆,满足条件的⊙O′有无数个,但由于⊙O′过A点,所以⊙O′的圆心O′在以A为圆心半径为3的⊙A上.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,已知P为定角O的角平分线上的定点,过O、P•两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.求证:OA+OB是定值.证明连结AP、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.•另记x1=OA,x2=OB.对△POA应用余弦定理,得x12+OP2-2OP·cos∠AOP·x1=r2.故x1为方程x2-2OP·cos 12∠AOB·x+(O P2-r2)=0的根,同理x2亦为其根.因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理,得x1+x2=2OP(12∠AOB)是定值.点评当x 1=x 2时,x 1+x 2为此定值,事实上此时OP 一定是直径.例2 如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=9,⊙O 与外切,且⊙O 与AB 、BC•相切.⊙O ′与AD 、CD 相切,设⊙O 的半径为x,⊙O 与⊙O ′的面积的和为S,求S•的最大值和最小值. 解析 设⊙O ′的半径为y,过O 与O ′分别作CD 与BC 的垂线OH,O ′F,•垂足分别为H,F,OH 、O ′F 交于点E,则有:O ′E=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得:(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,由题意知1≤x ≤4,∴x+y=5,y=-x+5,∴S=πx+πy=π(2x-10x+25),=2π[(x-52)2+254], 故当x=52时,S min =252π; 当x=4时,S=17π.点评先由已知求出⊙O ′的半径也⊙O 的半径x 之间的关系,然后再根据面积公式写出S 与x 之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.中考真题欣赏例 (南京市中考题)如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P,又⊙O 1切⊙O 2•的直径BE 于点C,连结PC 并延长交⊙O 2于点A,设⊙O 1,⊙O 2的半径分别为r 、R,且R ≥2r.•求证:PC ·AC 是定值.解析 若放大⊙O 1,使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2(如图), 显然此时有PC ·AC=PO 2·AO 2=2r ·R(定值). 再证明如图的情况:连结C O 1,PO 2,• 则PO 2•必过点O 1,•且O 1C ⊥BE,得CO 2=22121O O O C -=22R Rr -,从而BC=R+22R Rr -,EC=R-22R Rr -.所以PC ·AC=EC ·BC=2Rr,故PC ·AC 是定值. 点评解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.竞赛样题展示例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD的边长为1,•点P为边BC 上任意一点(可与点B或点C重合),分别过点B、C、D作射线AP的垂线,•垂足分别为点B′、C′、D′.求BB′+CC′+DD′的最大值和最小值.解析∵S△DPC= S△APC =12 AP·CC′,得S 四边形BCDA= S△ABP+ S△ADP+ S△DPC= 12AP(BB′+DD′+CC′),于是BB′+CC′+DD′=2 AP.又1≤AP≤2,故2≤BB′+CC′+DD•′≤2,∴BB′+CC′+DD′的最小值为2,最大值为2.点评本题涉及垂线可考虑用面积法来求.例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题)已知△ABC内接于⊙O,D是BC•或其延长线上一点,AE是△ABC外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD.AE为定值.证明如图 (1),当点D是BC上任意一点且∠BAE=∠CAD时,连结BE,则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD,∴△ABE∽△ADC.∴AB AEAD AC=,即AD·AE=AB·AC为定值.如图 (2),当点D在BC的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB.∴△AEB∽△ACD,∴AB AE AD AC=即AD·AE=AB·AC为定值.综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD·AE为定值. 点评先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,•不难发现△ACD ∽△AEB,所以AD·AE=AB·AC,因为已知AB,AC均为定值.•再就一般情况分点D•在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.全能训练A级1.已知MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径.求证:点A、B与MN的距离的和为定值.2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.3.⊙O 1与⊙O 2相交于P 、Q 两点,过P 作任一直线交⊙O 1于点E,交⊙O 2于点F.求证:∠EQF 为定值.4.以O 为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A 引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS 的最大值和最小值.5.如图,已知△ABC 的周长为2p,在AB 、AC 上分别取点M 和N,使MN•∥BC,•且MN 与△ABC 的内切圆相切.求:MN 的最值.CABMNA 级(答案)1.定长为圆的直径;2.利用特殊位置探求定值(当PC 构成直径时)是两圆的半径). 3.因∠E,∠F 为定角(大小固定)易得∠EQF 为定值.4.如图,设OA=a(定值),过O 作OB ⊥PQ,OC ⊥RS,B 、C 为垂足, 设OB=x,OC=y,0≤x ≤a,(0≤y ≤a),且x 2+y 2=a 2. 所以所以∴(PQ+RS)2=4(2-a 2+而x 2y 2=x 2(a 2-x 2)=-(x 2-22a )2+44a . 当x 2=22a 时,(x 2y 2)最大值=44a .此时;当x 2=0或x 2=a 2时,(x 2y 2)最小值=0,此时(PQ+RS )最小值=2（）. 5.设BC=a,BC 边上的高为h,内切圆半径为r. ∵△AMN ∽△ABC,2MN h r BC h -=,MN=a(1-2rh),• 由S △ABC =rp,∴r=2ABC S ahp p∆=, ∴MN=a(1-a p )=p ·a p (1-a p )≤p 2(1)2aa p p⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=4p ,当且仅当a p =1-a p ,即a=2p 时,取等号,∴MN 的最大值为4p.B级1.如图1,已知正方形ABCD的边长为3,点E在BC上,且BE=2,点P在BD上,则PE+PC的最小值为( )A.23B. 13C. 14D.15E D CAB PSQA B PM(1) (2) (3)2.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构成一个梯形,•则在所构成的梯形中,中位线长的最大值是__________.3.如图2,⊙O的半径为2,A、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB•延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP·OS=_______.4.已知,如图3,线段AB上有任一点M,分别以AM,BM为边长作正方形AMFE•、•MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点,则直线MN的情况是( •)A.定直线B.经过定点C.一定不过定点D.以上都有可能5.如图,已知⊙O的半径为R,以⊙O上一点A为圆心,以r为半径作⊙A,•又PQ与⊙A 相切,切点为D,且交⊙O于P、Q.求证:AP·AQ为定值.6.如图,⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,经过点B•的一直线和两圆分别相交于点C 和D,设此两圆的半径为R 1,R 2.求证:AC:AD=R 1:R 2.B 级(答案)1.B.∵A 、C 关于BD 对称,连结AE 交BD 于P,此时PE+PC=AE 最短.2.11.5 (1)当上底为7,下底分别为14,13,9时,中位线长分别为10.5,10,8; (2)当上底为9和13时,均构不成梯形.3.连结OQ 交AB 于M,则OQ ⊥AB.连结OA,则OA ⊥AQ. ∵∠QMP=∠QSP=90°,∴S,P,•Q,M 四点共圆,故OS ·OP=OM ·OQ. 又∵OM ·OQ=OA 2=2,∴OS ·OP=2.4.B.由图可知直线MN 可看作⊙O 和⊙O ′的割线, 当M 在点A 时,直线MN 变为⊙O•′的切线, 当M 在点B 时,直线MN 变为⊙O 的切线.这两种情况是以AB•为直角边的等腰直角三角形的两直角边所在的直线,交点是第三个顶点M.M 是AB 的中点时,MN 是AB•的垂直平分线,也过第三个顶点,所以选B. 5.如图,作⊙O 的直径AB,连结AD. ∵PQ 切⊙A 于D,∴AD ⊥PQ, ∴AP ·AQ=AD ·AB.•而AD=r,AB=2R,∴AP ·AQ=2Rr 为定值.6.作AN ⊥CD,垂足为点N,连结AB,有AC.AB=AN.2R1,① AB ·AD=AN ·2R 2 .② ①÷②,得12R AC AD R ,∴AC:A D=R 1:R 2.。
几何形的内切和内接矩形的确定
几何形的内切和内接矩形的确定在几何学中，内切和内接是两个常用的概念。
内切表示一个形状（如圆或正多边形）与另一个形状（如矩形）的内表面接触，而内接则表示一个形状完全包含在另一个形状之内。
本文将讨论几何形的内切和内接矩形的确定方法。
1. 内切矩形的确定
内切矩形是指一个矩形恰好可以嵌入在一给定几何形的内部，使得矩形的四条边都与几何形的边界相切。
确定一个几何形的内切矩形的方法取决于所给定的几何形。
下面我们以圆形为例进行讨论。
（段落继续，不重复写题目）
2. 内接矩形的确定
内接矩形是指一个矩形完全包含在给定几何形中，使得矩形的四个顶点都在几何形的顶点上。
内接矩形的确定方法也取决于所给定的几何形。
下面我们以正多边形为例进行讨论。
（段落继续，不重复写题目）
在确定正多边形的内接矩形时，有几个重要的性质需要注意：
a. 正多边形的内接矩形的四个顶点是正多边形的顶点；
b. 内接矩形的一对对边平行于正多边形的边；
c. 内接矩形的对角线相等，并且与正多边形的重心重合。
（段落继续，不重复写题目）
总结：
通过以上讨论，我们可以看出，几何形的内切和内接矩形的确定方法是依据几何形的特性而实现的。
对于内切矩形，我们需要确定矩形与几何形的接触点；对于内接矩形，我们需要找到矩形完全包含的位置。
在实际应用中，我们可以使用这些方法来计算几何形的内切和内接矩形的尺寸，从而满足具体需求。
文章接续....。
与矩形面积相关的趣题
与矩形面积相关的趣题
作者：王桥
来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2016年第04期
趣题1 如图1，其中∠A，∠B，∠C，∠D，∠E。
∠F均为直角。
现要用一条直线把图1平均分成面积相等的两部分，应怎样分？
分析：我们知道，经过矩形对角线交点的任意一条直线都把矩形平均分成面积相等的两部分。
所以，我们不妨尝试把这个图形分割成矩形来解决。
解：如图2，延长DE交AB于G。
连接AE，FG，交于点P；连接BD，CG，交于点O 过P，Q作直线，交AF于M，交BC于Ⅳ。
则沿直线MN分割图形。
两部分面积相等。
趣题2 如图3，在一块长为am，宽为bm的矩形草坪上修建一条宽恒为1m的弯曲的小路，则剩余的草坪的面积是多少？
解析：注意到小路的宽恒为1m，我们可以将图3从上下方向进行“挤压”，合并成图4，从而可以计算出草坪的面积，为a（b-1）m2。
请同学们解决下列问题：
1.对于趣题1，你还有其他的解法吗？请尽可能多地找出来。
2.如图5，点M是矩形ABCD内的一点。
请过点M作一条直线，使该直线将矩形ABCD 的面积平分。
3.如图6，在一块长为am，宽为bm的矩形草坪中，修建两条交叉的弯曲的小路。
竖着的弯曲小路的宽恒为c m，横着的弯曲小路的宽恒为d m。
则草坪余下部分的面积是多少？。
高中数学高三一轮复习立体几何中球的内切和外接问题48页文档
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
高中数学高三一轮复习立体几何中球的 内切和外接问题
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
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第十七讲 圆和圆的位置关系(含解答)-
第十七讲 圆和圆的位置关系【趣题引路】如图,在篮球比赛中,进攻一方都想尽可能接近对方球篮,•但又不能轻易进入限制区,因而进攻一方往往有一两名队员站在限制区外一点,伺机接球后转身投篮,他们站在何处比较有利?解析 现以篮圈中心O 为圆心,作与限制区两边相切的圆,切点为E 、F,这时E 、F 两处并非最佳点,因为横转一步后到A 、B 或C 、D 处,反而离篮圈远了;而B 、D•两处只能向一边转身到E 和F 点投篮,因而在A 、C 两处,即可转身到E 或F 投篮,•又可向另一侧转身插入限制区后投篮,因此,高大队员站在A 、C 两处最有利.【知识延伸】圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形.•判定两圆的位置关系有如下方法:1.由两圆交点的个数确定;2.由计算两圆的半径与圆心距的大小量化确定;3.由两圆的公切线的条数确定.为了沟通两圆,常常添加与两圆都有联系的一些辅助线.在解两圆相交问题时,•常用的辅助线有:1.连结公共弦━━目的在于利用圆周角的性质和圆内接四边形的性质来沟通角与角的联系;2.作连结线━━目的在于利用“连心线垂直平分公共弦”及垂径定理.3.连结圆心与两圆交点的线段━━目的在于得到等弦、等弧及相等的圆心角,•特别是一个圆的圆心在另一个圆上时,常作这种辅助线.涉及两圆相切问题时,添加的辅助线有:1.过切点作两圆的公切线,利用弦切角性质或切线的有关性质;2.作连心线,利用连心线过切点的性质,为解题提供条件.在解题过程中,我们经常遇到与外切两圆有关的两个直角三角形.(1) 如图1,⊙O 1与⊙O 2相外切于点P,AB 为两圆的外公切线,切点为A 、B,•过P 作内公切线PC 交AB 于C,则△CO 1O 2是直角三角形.解析 ∵CA=CP,C O 1平分∠ACP.同理C O 2平分∠BCP,∴∠O 1CO 2=90°,则△C O 1O 2是直角三角形.(2) 如图2,⊙O 1与⊙O 2相外切于点P,AB 为两圆的外公切线,切点为A 、B,•则△PAB 为直角三角形.(1) (2) (3)解析 过P 作内公切线PC 交AB 于点C,则CA=CP=CB,即CP=12AB, 所以△PAB 是直角三角形.(3) 若⊙O 1和⊙O 2外离,如图3,O 1O 2与⊙O 1,⊙O 2分别交于C 、D 两点,•延长AC 、BD 交于点P,AP 与BP 是否仍垂直?解析 连结A O 1,BO 2,由O 1A ⊥AB,O 2B ⊥AB 可知O 1A ∥O 2B,因此∠O 1+∠O 2=180°.而△O 1AC,△O 2B D 都是等腰三角形.∴∠A CO 1+∠BDO 2=11802O ︒-∠+21802O ︒-∠=90°. ∴∠DCP+∠CDP=90°,则∠CPD=90°,即AP ⊥BP.若⊙O 1与⊙O 2相交,如图4,O 1O 2与⊙O 1,⊙O 2分别交于点C 、D.AC 、BD 交于点P.AP 与BP 是否仍垂直?显然与上面相同的办法可证得AP ⊥BP.(4) (5)我们常把三个切点A 、B 、P 构成的三角形称作“切点三角形”.如图5,•切点三角形还具有如下性质:1.AB 边上的中线等于AB 的半;2.BP 延长线交⊙O 1于点D,则AD 必为⊙O 1的直径;3.由AP ⊥BD,AD ⊥AB.可得到若干线段的等积式.遇到涉及两圆外切一类的几何命题,运用上述这些性质就会迎刃而解.例 已知,如图,⊙O 1和⊙O 2外切于点O,以直线O 1O 2为x 轴,点O•为坐标原点建立直角坐标系,直线AB 切⊙O 1于点B,切⊙O 2于点A,交y 轴于点C(0,2),交x 轴于M,•BO 的延长线交⊙O 2于点D,且OB:OD=1:3.(1)求⊙O 2的半径长;(2)求直线AB 的解析式;(3)在直线AB 上是否存在点P,使△MO 2P 与△MBO 相似?若存在,求出点P 坐标;若不存在,说明理由.解析 (1)连结BO 1,DO 2,则∠D=∠O 1BD.∴BO 1∥DO 2,∴O 1O:O 2O=BO:OD=1:3.∵CB=CO=CA,△ABO 为直角三角形,C(0,2),∴AB=4.作O 1N ⊥AO 2于点N,设B O 1=r,则A O 2=3r,对△O 1NO 2有16r 2=4r 2+16,∴12r 2=16,r=23则∴⊙O 2的半径为(2)在Rt △O 1NO 2中,N O 2= O 1O 2,∴∠N O 1O 2=30°.∵O 1N ∥AB,∴∠CMO=30°.在Rt △COM 中,tan30°=CO OM ,∴OM=tan 30CO =︒∴点M 坐标为设直线AB 的解析式为y=kx+b,则20b b =⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的解析式为y= 3x+2; (3)∵∠BO 1M =60°,O 1B=O 1O,∴∠BOM=30°.∴△MOB 是等腰三角形,•且顶角∠MBO=120°,若存在满足条件的点P,则∠M O 2P=30°或∠M O 2P=120°.①当∠MO 2P=30°时,O 2P 是∠AO 2O 的平分线.∵OC 是∠AO 2O 的平分线,∴点P 与点C 重合,∴点P 的坐标为(0,2).②当∠M O 2P=120°时,作PH 垂直x 轴于点H,则∠PO 2H=60°.∵点P 在直线y= x+2上,∴设点P 坐标为(a, 3a+2), 则PH=3a+2,O 2H在Rt △PO 2H 中,tan ∠PO 2H=2PH O H ,2+解得∴点P 的坐标为因此在直线AB 上存在点P,使△MO 2P 与△MOB 相似,点P 坐标为(0,2)或点评(1)作两条过切点的半径,再平移外公切线,使之构成以圆心距为斜边,两条半径之差及外公切线的长分别为直角边的直角三角形,•这是两圆外切时最常见的辅助线之一;第(2)小题是(1)小题的深化;第(3)小题是一个存在性问题,其解题方法一般是:假设存在━━依假设求解或推证━━下结论.第(3)小题也是一个比较好的分类讨论问题,解答此类问题,要加倍小心,谨防失解.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,⊙O 和⊙O ′相交A 、B 两点,且⊙O ′过⊙O 的圆心,直线OO ′交⊙O 于C 、D 两点,交⊙O ′于点P,AB 与OO ′交于点E.求证:(1)P A 2=PE ·PO;(2)PE ·EO=CE ·ED;(3) 22PA CE PD ED =. 证明 (1)连结AO,∵PO 是⊙O ′的直径,∴∠PAO=90°,∵⊙O 与⊙O ′相交于A 、•B,∴AB ⊥PO 于点E,∴△PAO ∽△PEA.∴ PA PE PO PA=,∴PA 2=PE ·PO; (2)在⊙O ′中,PE ·EO=AE 2,在⊙O 中,AE 2=CE ·ED,∴PE ·EO=CE ·ED.(3)连结AC,AD.∵AD 切⊙O 于点A,∴∠PAC=∠D.∵∠P=∠P,∴△PAC ∽△PDA.∴PA ACPD AD=, ∴2222PA ACPD AD=∵CD是⊙O的直径,∴∠CAD=90°.∵AE⊥CD,∴△ACE∽△DCA,∴AC CE CD AC=.∴AC2=CE·CD.同理,得A D2=ED·CD.∴22AC CE CD CE AD ED CD ED ==∴22PA CE PD ED=点评(1)将P A2=PE·PO化为PA PEPO PA=,由“三点定形法”可知,能证△PAO∽△PEA就行了;第(2)小题利用公共弦进行代换,是相交两圆用的方法;第(3)•小题要证两条线段的平方比等于另两条线段的比,•用到的方法是先通过相似三角形得到恰当的四条线段的比,再将此比例式两边分别平方,•然后再将过渡的两条线的平方分别交换成两条线段的积,从而证得结论成立,这种方法是证明类似第(3)•小题的比例线段的常用方法.例2如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,⊙O2的弦BE与⊙O1相切于点C,PB•交⊙O1于D,PC 的延长线交⊙O2于A,连结AB、CD、PE.求证:(1)①∠BPA=∠EPA,②AB BC AC BD=;(2)若⊙O1的切线BE经过⊙O2的圆心,⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R,•其中R•≥2r,如图.求证:PC·AC为定值.证明 (1)①过点P作两圆的公切线MN,则∠MPB=∠PCD=∠A,∴CD∥AB.∴∠ABC=∠ECD.∵BC为⊙O1的切线,∴∠BCD=∠BPA,∵∠ABC=∠EPA,∴∠BPA=∠EPA.②∵∠ABC=∠BPA,∠A=∠A,∴△ABC ∽△APB,∴AB BC PA PB =, ∴ABPA BCPB =,∵CD ∥AB,∴PA AC PB BD =, ∴AB BC AC BD = 即AB BC AC BD=. (2)连结O 1C,PO 2,则PO 2过点O 1,且O 1C=r,O 1O 2=R-r.∵BE 与⊙O 1相切,∴O 1C•⊥BE,在Rt △CO 1O 2中CO 2,∴BC=BO 2+CO 2=,EC=E O 2-CO 2.∵PC ·AC=EC ·)=2Rt),∴PC ·AC 为定值.点评圆与圆的相交,相切等问题是研究圆与圆位置关系的重点,•解题时要熟练地掌握两圆的位置关系的判定,能灵活地用于解题中,•特别是对带有规律性的辅助线的添加更应熟悉.中考真题欣赏例1 (2003年天津市中考题)已知,如图,⊙O 1与⊙O 2外切于点A,BC•是⊙O 1和⊙O 2的公切线,B 、C 为切点.求证:(1)AB ⊥AC;(2)若r 1,r 2分别为⊙O 1,⊙O 2的半径,且r 1=2r 2,求AB AC的值. 证明:过点A 作两圆的内公切线交BC 于点O. ∵OA 、OB 是⊙O 1的切线,∴OA=OB.同理OA=OC,∴OA=OB=OC,于是,△BAC 是直角三角形,∠BAC=90°,∴AB ⊥AC.解析:(2)连结OO 1,OO 2,与AB 、AC 分别交于点E 、F,∵OA,OB 是⊙O 1的切线,∴O O 1⊥AB,同理OO 2⊥AC.根据(1)的结论AB ⊥AC,可知四边形OEAF 是矩形,有∠EOF=90°.连结O 1O 2,有OA ⊥O 1O 2,在Rt △O 1OO 2中,有Rt △O 1AO ∽Rt △OAO 2.∴12O A OA O A OA=,于是O A 2=O 1A·O 2A=r 1·r 2=2r 22. ∴又∵∠ACB 是⊙O 2的弦切角,∴∠ACB=∠A O 2O.在Rt △OAO 2中,tan ∠A O 2O=2OA O A∴AB AC=tan ∠ACB=tan ∠AO 2点评•作两圆的公切线和与外切两圆有关的两个直角三角形是解两圆相切问题的关键. 例2 (2002年山西省中考题)如图,已知,A 是⊙O 1、⊙O 2的一个交点,•点M 是O 1O 2的中点,过点A 的直线BC 垂直于MA,分别交⊙O 1、⊙O 2于B 、C.(1)求证:AB=AC.(2)若O 1A 切⊙O 2于点A,弦AB,AC 的弦心距分别为d 1,d 2,求证:d 1+d 2=O 1O 2.(3)在(2)的条件下,若d 1d 2=1,设⊙O 1、⊙O 2的半径分别为R 、r.求证:R 2+r 2=R 2r 2.证明:(1)分别作O 1D ⊥AB 于点D,O 2E ⊥AC 于点E,则AB=2AD,AC=2AE.∵AM ⊥BC,∴O 1D ∥AM ∥O 2E.∵M 为O 1O 2的中点,∴AD=AE,∴AB=AC; (2)∵O 1A 切⊙O 2于点A,∴O 1A ⊥O 2A .又∵M 为O 1O 2的中点,∴O 1O 2=•2AM.•在梯形O 1O 2E D 中,O 1D+O 2E=2AM,O 1D+O 2E=O 1O 2.即d 1+d 2=O 1O 2. (3)∵O 1A ⊥O 2A,∴∠AO 1D=∠O 2AE.∴Rt △O 1AD ∽Rt △AO 2E.∴1122O D O A AD O E AE O A==, 即12d AD R d AE r==∴AD ·AE=d 1·d 2=1. 由(1),(2)知AD=AE=1,O 1O 2=d 1+d 2.∴d 1=R r ,d 2=r R, ∴R 2+r 2=O 1O 22=(d 1+d 2)2=(R r +r R )=22222()R r R r , ∴R 2+r 2=R 2r 2.点评构建直角梯形O 1DEO 2,可证AD=AE,从而可得AB=AC.对于(2)因为△AO 1O 2为Rt △,AM 为△AO 1O 2斜边上的中线,所以O 1O 2=2A M,从而不难证明O 1D+O 2E =2AM.对于(3)•可构建以R 、r 为边的相似三角形,由(1)(2)的结论,可证得R 2+r 2=R 2r 2.竞赛样题展示例1 (2000年全国初中联赛试题)如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P,⊙O 2•的一弦AB 与⊙O 1相切于点Q,PQ 连线与⊙O 2相交于R,连结BR.求证:(1)AR=BR;(2)B R 2=PR ·QR.证明 (1)因⊙O 1,⊙O 2内切于点P,故O 2、O 1、P 三点共线,分别连结O 2P,O 2R,•O 1Q. 因AB是⊙O 1的切线,∴O 1Q ⊥AB.在等腰△O 1PQ 和等腰△O 2PR 中,∵∠O 1PQ=•∠O 2PR,∴∠PO 1Q=∠PO 2R,即有O 1Q ∥O 2R ,但O 1Q ⊥AB,∴O 2R ⊥AB,于是AR=BR.(2)连结PB,∵AR=BR,∴∠RBQ=∠RPB. 又∵∠BRQ=∠PRB,∴△BRQ ∽△PRB.∴BR:PR=QR:BR,故B R 2=PR ·QR.点评对于(1),连O 2R,利用同圆半径构成等腰三角形来证明.对于(2),连结BP,•证△BRQ ∽△PRB 即可.例2 (2001年第二届全澳门校际初中数学竞赛)如图,设大圆半径为R,•大圆内三个小圆两两相切,且都与大圆相切,它们的半径分别为2r,r 和r,试求r R之值. 解析 如图,点O 、B 均在图A 和图A ′的公切线上,•所以只需考虑图形的一半即可.设MO=x,MB=y,则MN=x+R.又∵MN=y+2r,于是,由x+R=y+2r,得x=y-R+2r.又AO=•OP-AP=R-r,AB=AK+KB=3r,由勾股定理,得y 2=MB 2=AB 2-A M 2=8r 2,即从而 类似地,x 2=MO 2=AO 2-A M 2=R 2-2Rr.故]2=R 2-2Rr即2r,∴r R =点评由圆的对称性只研究图形一半即可,通过两圆内切,•外切半径圆心距之间的关系,由勾股定理建立起方程,从而使问题获解.全能训练A 卷1.如果两圆相切,它们半径分别为3和5,那么它们的圆心距为________.2.已知⊙O 1与⊙O 2外切,半径分别为1cm,3cm,那么半径为5cm,且与⊙O 1、•⊙O 2都相切的圆可以共作出_________个.3.已知两圆相交,半径分别为5cm 和4cm,公共弦长为6cm,求这两圆的圆心距.4.已知两相交圆的半径分别为2,3,求圆心距d 的取值范围.5.如图,⊙O 1与⊙O 2相互外切且半径之比为2:3,O 1M 切⊙O 2于M,•O 2N •切⊙O 1于N, 笔求21O N O M的值.6.如图,已知⊙O 与⊙O ′相交于A 、B 两点,过点A 作⊙O ′的切线交⊙O 于点C,过点B 作两圆的割线分别交⊙O 、⊙O ′于点E 、F,EF 与AC 相交于点P.(1)求证: 22PE PF PC PB; (2)当⊙O ′与⊙O 为等圆且PC:CE:EP=3:4:5时,求△ECP 与△FAP 的面积的比值.A卷答案：1.8或2,当两圆外切时,圆心距为8;当两圆内切时,圆心距为2.2.4个.①与⊙O1,⊙O2都外切的圆有两个;②与⊙O1外切,与⊙O2•内切的圆有一个;③与⊙O1内切,与⊙O2外切的圆有一个.3.(1)当O1O2在公共弦AB的同侧时,O1O2(2)当O1、O2在公共弦AB•的异侧,O1O24.1<d<5.5.连结O1O2,O1N,O2M,则O1N⊥O2N,O2M⊥O1M.设⊙O1、⊙O2的半径分别为2x,•3x,则O1O2=5x,∴N O21∴2144O NO M x==.6.(1)连结AB,有∠CEB=∠F,∴EC∥AF.∴PE PFPC PA=,即2222PE PFPC PA=.又∵PA2=PB·PF,∴22PE PF PC PB=;(2)连结AE,由(1)可知△PEC∽△PFA,PC:CE:EP=3:4:5,∴PA:FA:PF=3:4:•5.•设PC=3x,CE=4x,PE=5x,PA=3y,FA=4y,PF=5y,则EP2=PC2+CE2,PF2=PA2+FA2,∴∠C=90°,∠CAF=90°.∴AE为⊙O的直径,AF为⊙O′的直径,又⊙O与⊙O′是等圆,∴AE=AF=•4y,∵A C2+CE2=AE2,∴(3x+3y)2=(4y)2-(4x)2.∴25x2+18xy-7y2=0.∴25x=7y,725xy=，∴S△ECP:S△FAP=x2:y2=49:625.B 卷1.如图1,半径为R 和r(R>r)的两圆⊙O 1与⊙O 2相交,公切线与连心线的夹角为30°,那么两圆公切线的长AB 等于( )A. 12(1) (2) (3)2.如图2,⊙O 1和⊙O 2内切于点P,⊙O 2的弦AB 经过⊙O 1的圆心O 1,交⊙O 1•于C 、D 点,其中AC:CD:DB=3:4:2,则⊙O 1和⊙O 2的直径之比为( )A.2:7B.2:5C.1:4D.1:33.如图3,⊙O 1与⊙O 2外切于点A,两圆的一条外公切线与⊙O 1相切于点B.若AB 与两圆的另一条外公切线平行,则⊙O 1与⊙O 2的半径之比为( )A.1:2B.3:4C.1:3D.2:54.如图,⊙O 与⊙O 1内切于点A,直线OO 1交⊙O 于点B,交⊙O 1于另一点F.•过B 点作⊙O 1的切线,切点为D,交⊙O 于点C,DE ⊥AB,垂足为E.(1)求证:CD=DE;(2)将两圆内切改为外切,其他条件不变,(1)中的结论是否成立?•请证明你的结论.5.如图,已知⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,切点为B、C,连结BA并延长交⊙O1于D,过D作CB的平行线交⊙O2于点E、F.(1)求证:CD是⊙O1的直径;(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系,并证明你的结论.6.如图,D、E是△ABC边BC上的两点,F是BA延长线上一点,∠DAE=∠CAF.(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系,并证明你的结论.(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍,BC=6,AB=4,求BE的长.B卷答案：1.C.连O1A,O2B,过O2作O2E⊥O1A,在Rt△O1O2E中,可得R-r）.2.D.过P作⊙O2的直径交⊙O2于Q,∵AC:CD:DB=3:4:2,可设AC=3k,CD=4k,DB=2k,AO1·O2B=O1P·O1Q,AO1=5k,O1B=4k,O1P=2k,∴5k·4k=2k·O1Q,∴O1Q=10k,∴⊙O2•直径PQ=12k,∴CD:PQ=4k.12k=1:3.3.C.连结O1C,O2D,过O1作O2D的垂线,垂足为E,两圆半径分别为r1,r2,由对称性可得∠C O1B=∠CO1A=∠AO1B=120°.故∠O2O1E=30°,于是r1+r2=2(r2-r1)•,•∴r1:r2=1:3.4.(1)连结DF,AD,AC,证Rt△EDA≌Rt△CDA即可.(2)成立,画图,证法同(1).5.(1)过点A作外公切线,连结AC,可证BA⊥AC,连结CD,则CD所对的圆周角为90°,故CD是⊙O1的直径.(2)BE=BF=BC.连结AE,△EBA∽△DBE,B E2=BA·BD.又BC2=BA·BD,∴BE=•CB.•∵∠CBE=∠BEF,∠CBE=∠EFB,∴∠EFB=∠BEF.∴BF=BE.6.(1)两圆外切,作⊙ABD的切线L交DE于H,延长BA交⊙AEC于F,可证∠HAE=∠C.•再证AH也是⊙AEC的切线.(2)延长DA交⊙AEC于G,连结GF,可证△ADB∽△AGF,∴AB:AF=2(等于两圆的半径)∵AB=4,∴AF=2.∵BA·BF=BE·BC,∴BE=4.。
圆中动点与最值问题集锦
lQPNM C A D BQPABCFEC B AOG D OABDCP圆中动点最值问题1. 如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA=5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ，若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，则⊙O 的半径r 的取值范围为_________．第1题图 第2题图2．已知：如图，Rt ΔABC 中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm ，点O 从A 点出发，沿AB 以每秒3cm 的速度向B 点方向运动，当点O 运动了t 秒(t ＞0)时，以O 点为圆心的圆与边AC相切于点D ，与边AB 相交于E 、F 两点，过E 作EG ⊥DE 交射线BC 于G. （1）若点G 在线段BC 上，则t 的取值范围是_________． （2）若点G 在线段BC 的延长线上，则t 的取值范围是_________．※3．如图，⊙M ，⊙N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为⊙M 上的任意一点，Q 为⊙N 上的任意一点，直线PQ 与连心线l 所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α∠的最大值为_________．第3题图 第4题图 第5题图4．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP 、OP ，则△AOP 面积的最大值为_________．5．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是_________．AQC PBO AEFO A xyP6．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=AB=4，D 是BC 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为_________． 第6题图 第7题图 第8题图 7．如图，A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是_________．8．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 长度的最小值为_________．9．在直角坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点P （m n ，）是第一象限内一点，且AP=2，则m n 的范围为_________．10．在平面直角坐标系中，M （3，4），P 是以M 为圆心，2为半径的⊙M 上一动点，A （-1，0）、B （1，0），连接PA 、PB ，则PA 2+PB 2最大值是_________．圆中与最值有关的问题专题研究1.如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作⊙O ，C 为半圆弧AB 上的一个动点（不与A 、B 两点重合），射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ，求a b+的最大值.第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点， 以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ， 则线段DE 长度的最大值为_________．3.如图，在△ABC 中，120A ∠=︒，6BC =．若△ABC 的内切圆半径为r ，则r 的最大值为_________．4.边长为2的等边△ABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上移动，顶点B 在射线OD 上移动，∠AOD=45°，则顶点C 到原点O 的最大距离为_________．O C BA第4题图 第5题图5.如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为_________； （2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为_________．6.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C 作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是_________．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_________．AMD8.如图，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点，连接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半径为2，则△ABC面积的最大值是_________．9.如图，已知直线MN经过⊙O上的点A，点B在MN上，连OB交⊙O于C点，且点C是OB 的中点，AC=OB，若点P是⊙O上的一个动点，当AB=时，△APC的面积的最大值为_________．10.如图，若Rt△ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值为_________．第10题图第11题图第12题图11.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为_________．12.如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为_________．13.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF．（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；（2）求出该最小值．※14.如图，在△ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=7，动点P、Q分别在边AB、AC上，使△APQ 的外接圆与BC相切，则线段PQ的最小值等于_________．15.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD⊥AB于P，设AP=a，PB=b．（1）求弦CD的长；（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此时a，b的值．第15题图第16题图第17题图16.如图，⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP=，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四※边形ABCD面积的最大值为_________．※17.如图，以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS 取值范围．18如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为 .ODCEA B19在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P 在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，线段AB长度的最小值是 .O BCOABxyPBOy A xP BOy A xPBO yAxP20.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是⊙C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是_________．第20题图 第21题图 第22题 图 21.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .22如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .23.在坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点P 是y 轴右侧一点，且AP=2，点B 上直线y=x+1上一动点，且PB ⊥AP 于点P ，当APm BP=时，则m 的取值范围是 .※24.如图，A 点的坐标为（-2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P ()a b ，为⊙A 上的一个动点，请分别探索：①b a +的最大值；②b a +的最小值；③b a -的最大值；④b a -的最小值；E BOD25.如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，求：（1）AP+BP的最小值．（2）AP﹣BP的最大值．第25题图第26题图26.如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为_________．27.如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN 于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_________．第27题图第28题图第29题图28.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E在直径AB上运动，连接EF、CE，当CE+EF最小，其最小值是_________．29.四边形ABCD内接于圆，已知∠ADC=90°，CD=4，AC=8，AB=BC．设O是AC的中点．（1）设P是AB上的动点，求OP+PC的最小值；（2）设Q，R分别是AB，AD上的动点，求△CQR的周长的最小值．。
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趣题：内切圆与最大内接矩形
看图，DEFG为直角三角形ABC的内接矩形，三个内切圆的半径从小到大依次为r1, r2和r3。
证明：当内接矩形的面积达到最大时，r1^2 + r2^2 = r3^2。
四个直角三角形ABC, EDC, AEF, DBG显然相似，内切圆半径与边长一样对应成比例。
因此，我们可以把研究对象转换到任意一个对应边上。
这里，我们重
点观察四个三角形斜边长的关系。
如果△ABC的三边BC, AC, AB长度分别为a, b, c，那么对于某个相似比k，其余三个三角形的对应边长度如下：
△ABC a b c
△EDC ka kb kc
△AEF ... ... (1-k)b
△DBG ... ... (1-k)a
现在，我们要证明的是，当矩形DEFG面积达到最大时，有：
[(1-k)a]^2 + [(1-k)b]^2 = (kc)^2
也即
(1-k)^2 * a^2 + (1-k)^2 * b^2 = k^2 * c^2
同时，我们还知道a^2 + b^2 = c^2。
等式两边同时乘以k^2后与上式相减，我们就得到：
(1 - 2k) * (a^2 + b^2) = 0
显然，只有k=1/2时上式才有可能成立。
接着看，由△DBG ∽ △ABC，可知 DG/AC = BD/AB，因此DG = (1-k)ab/c。
另外，我们还知道DE=kc，那么矩形DEFG的面积就可以这样表示：
S = DG x DE = (1-k)k * ab
S取最大等价于函数f(k)=(1-k)k达到最大值。
这个函数是一个以0和1为根的上下颠倒的抛物线，显然在k=1/2时达到最大值。