平行线模型经典例题
平行线四种常见模型解题技巧(解析版)--2024年新八年级数学
平行线四种常见模型解题技巧题型聚焦题型一：“猪蹄”模型题型二：“铅笔”模型题型三：“鸡翅”模型题型四：“骨折”模型难题突破模型一：“猪蹄”模型如图，若AB⎳CD，你能确定∠B、∠D与∠BED的大小关系吗？解：∠B+∠D=∠DEB．理由如下：过点E 作 EF⎳AB又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠D=∠DEF．∠B=∠BEF．∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠DEB即∠B+∠D=∠DEB．猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。
如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系．思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．小结证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。
重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。
猪蹄模型(又名燕尾模型、M字模型)结论：∠B+∠D=∠E步骤总结步骤一：过猪蹄(拐点)作平行线步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角步骤三：推导出角的数量关系模型二、“铅笔”模型如图，AB⎳CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系？解：∠B+∠D+∠DEB=360°．理由如下：过点E 作 EF⎳AB．又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠B+∠BEF=180°．∠D+∠DEF=180°．∴∠B+∠D+∠DEB=∠B+∠D+∠BEF+∠DEF=360°．即∠B+∠D+∠DEB=360°．从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。
模型结论：∠B+∠E+∠D=360°二、模型证明如图，若AB⎳CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°证明一：如图，过点E作FG⎳AB∵ AB⎳FG，AB⎳CD∴ FG⎳CD∵ AB⎳FG∴∠BEF+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)∵FG⎳CD∴ ∠D+∠DEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°∴∠B+∠D+∠BED=360°证明二：如图，连接BD，∵AB⎳CD∴∠ABD+∠BDC=180°在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°∴∠ABE+∠E+∠CDE=360°证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。
平行线常见模型专题练习(基础)(解析版)
平行线常见模型（基础）专题练习模型一：结论：∠E =∠B +∠C1、如图，已知直线a ∥b ，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于（ ）A. 100°B. 60°C. 40°D. 20°答案：A解答：过点C 作CD ∥a ，∵a ∥b ，∴CD ∥a ∥b ，∴∠ACD =∠1=40°，∠BCD =∠2=60°，∴∠3=∠ACD +∠BCD =100°．选A.2、如图，∠BCD ＝70°，AB ∥DE ，则∠α与∠β满足（ ）A. ∠α+∠β＝110°B. ∠α+∠β＝70°C. ∠β-∠α＝70°D. ∠α+∠β＝90°答案：B解答：如图，过点C 作CF ∥AB ， DAbD∵AB ∥DE ，∴AB ∥CF ∥DE ，∴∠BCF ＝∠α，∠DCF ＝∠β，∵∠BCD ＝70°，∴∠BCD =∠BCF +∠DCF ＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．选B.3、如图，已知AB //CD ，∠A =40°，∠C =60°，试求∠AEC 为（ ）．A. 90°B. 100°C. 110°D. 120°答案：B解答：如图，过点E 作EF //AB ，∵AB //CD ，EF //AB ，∴EF //CD.∴∠A =∠AEF =40°，∠C =∠CEF =60°故∠AEC =∠AEF +∠CEF =∠A +∠C =100°．4、如图，已知//130235AB DE ∠︒∠︒，＝，＝，则∠BCE 的度数为（ ）A. 70°B. 65°C. 35°D. 55°答案：B解答：过点C 作CF//AB ，//130235AB DE ∠︒∠︒，＝，＝∴CF//AB//DE∴130,235FCE ∠∠︒∠=∠=︒＝BCF=∴1265BCE BCF ECF ∠=∠+=∠+∠=︒．选B.5、如图，已知//a b ，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（ ）A. 120°B. 130°C. 140°D. 150°答案：B解答：标注字母，如图所示，过A 作AB ∥a ，∵a ∥b ，∴a ∥b ∥AB ，∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，又∵∠CAD =90°，∴∠4=50°，∴∠5=50°，∴∠1=180°-50°=130°，选B.6、如图，AB ∥EF ，CD ⊥EF ，∠BAC =50°，则∠ACD =（ ）A. 120°B. 130°C. 140°D. 150°答案：C解答：如图，延长AC交EF于点G；∵AB∥EF，∴∠DGC=∠BAC=50°；∵CD⊥EF，∴∠CDG=90°，∴∠ACD=90°+50°=140°，选C.7、如图，AB//EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC=40°，则∠BCD=（）．A. 140°B. 130°C. 120°D. 110°答案：B解答：过点C作CG//AB，由题意可得：AB//EF//CG，故∠B=∠BCG，∠GCD=90°，则∠BCD=40°+90°=130°．8、如图，AB//CD，ME⊥MF，∠EAB=36°，则∠FCD=（）．A. 36°B. 54°C. 72°D. 25°答案：B解答：过点M 作MN //AB ，∵AB //CD ，∴AB //CD //MN ，∴∠AMN =∠EAB =36°，∵ME ⊥MF ，∴∠AMC =90°，∴∠NMC =90°-36°=54°，∴∠FCD =54°．故答案为54°．9、如图，AB //CD ，15,25A C ︒︒∠=∠=则M ∠=______答案：40°解答：过点M 作//MN AB ，//AB CD ，////MN AB CD ∴，115A ∴∠=∠=︒，225C ∠=∠=︒，12152540AMC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：40︒．10、如图，直线a //b ，则∠ACB =______．答案：78°解答：如图，延长BC 与a 相交，∵a //b ，∴∠1=∠50°，∴∠ACB =∠1+28°=50°+28°=78°，故应填78°．11、如图，AFf //CD ，ABf //EF ，BCf //ED ，则x =______°．答案：100解答：∵AB //EF∴∠AFE =180°-∠BAF =60°∵BC //ED∴∠EDC =∠BCF =40°根据猪蹄模型，∠FED =∠AFE +∠CDE ，即x =60°+40°=100°．12、如图，//,,3527'EE MN CA CB EAC ⊥∠=︒，则MBC ∠=______．答案：5433'解答：过C 点做EF 的平行线,GH//,EF MN////,EF GH MN ∴3527'EAC ACH ∴∠=∠=，又,CA CB ⊥90,ACB ∴∠=︒5433',HCB ACB ACH ∴∠=∠-∠=︒又//,GH MN5433'HCB CBM ∴∠=∠=．故答案为：5433'．13、如图所示，AB //CD ，∠1=50°，∠2=110°，则∠3=______．答案：60°解答：如图所示，过点P 作l //AB ，又AB //CD ，则l //CD ，∴∠4=∠1=50°，∠5=180°-∠2=180°-110°=70°，∠3=180°-∠4-∠5=180°-50°-70°=60°．14、如图，AB //CD ，且∠BAP =60°-α，∠APC =45°+α，∠PCD =30°-α，则α=______°．答案：15解答：过P 点作直线l ，使得l //AB //CD ，∵l //AB //CD ，∴∠BAP =∠1，∠DCP =∠2，∵∠APC =∠1+∠2，∴∠APC =∠BAP +∠DCP ，∴45°+α=60°-α+30°-α=90°-2α，解得：α=15°．15、在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，B C BEC ∠+∠=∠．求证：//AB CD 请补充下面证明过程：证明：过点E ，作//EF AB ，如图2∴B ∠=∠______（________________________）∵B C BEC ∠+∠=∠，BEF ∠+∠______=BEC ∠（已知）∴B C BEF FEC ∠+∠=∠+∠（________________________）∴∠______=∠______∴//EF ______（________________________）∵//EF AB∴//AB CD答案：BEF ；两直线平行内错角相等；FEC ；等量代换；C ；FEC ；DC ；内错角相等两直线平行解答：证明：过点E ，作//EF AB ，如图2，B BEF ∴∠=∠（两直线平行内错角相等）， B C BEC ∠+∠=∠，BEF FEC BEC ∠+∠=∠（已知），B C BEF FEC ∴∠+∠=∠+∠（等量代换），C FEC ∴∠=∠，//EF DC ∴（内错角相等两直线平行）， //EF AB ，//AB CD ∴．故答案为：BEF ，两直线平行内错角相等，FEC ，等量代换，C ，FEC ，DC ，内错角相等两直线平行．16、如图，已知AB //CD ，试写出、、∠AEC 、∠A 、∠C 的数量关系并证明．答案：解答：证明：过点E 作ME //AB∵AB //CD （已知），ME //AB （已作）∴ME //CD （平行于同一直线的两直线平行）∴∠A =∠AEM ，∠C =∠CEM （两直线平行，内错角相等）∵∠AEC =∠AEM +∠CEM （已知）∴∠AEC =∠A +∠C （等量代换）．17、如图，已知：∠A +∠D =180°，∠B =55°，∠C =35°．求证：BE ⊥CE ．答案：证明见解答．解答：过E 作EF //AB ，∵∠A +∠D =180°，∴AB //DC ，∴EF //DC.∵EF //AB ，∠B =55°，∴∠BEF =∠B =55°．∵EF //DC ，∠C =35°，∴∠CEF =∠C =35°，∴∠BEC =∠BEF +CEF =90°，∴BE ⊥CE ．模型二：结论：∠B +∠C +∠E =360°18、如图，已知//AB DE ，则123∠+∠+∠的度数是（ ）A. 180︒B. 270︒C. 360︒D. 540︒ 答案：C解答：过点C 作CF //AB ，∵CF //AB ，//AB DE ，∴CF //ED ，∴∠1+∠ACF =180°，∠FCD +∠3=180°,∵∠2=∠FCD +∠ACF ,∴123∠+∠+∠=∠1+∠ACF +∠FCD +∠3=180°+180°=360°． 选C.19、如图，已知AB //CD ，则α∠，β∠，γ∠之间的等量关系为（ ）DAEA. 180αβγ∠+∠-∠=︒B. 180βγα︒∠+∠-∠=C.360αβγ︒∠+∠+∠= D. 180αβγ∠+∠+∠=︒答案：C解答：过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥CD ，如图，∵AB ∥EF ∥CD ，∴∠γ+∠FED =180°，∵∠ABE +∠FEB =180°，∠ABE =∠α，∠FED +∠FEB =∠β，∴∠γ+∠FED +∠ABE +∠FEB =360°，∴∠α+∠β+∠γ=360°，选C.20、如图所示，AB //ED ，∠α=∠A +∠E ，∠β=∠B +∠C +∠D ，则β和α的数量关系是（）．A. 2β=3αB. β=2αC. 2β=5αD. β=3α 答案：B解答：∵AB //ED ，∴∠α=∠A +∠E =180°，∵五边形内角和为180°×5-2=540°，∴∠β=∠B +∠C +∠D =540°-∠A -∠E =540°-180°=360°，∴β和α的数量关系是β=2α．选B.21、如图，已知AB//CD//EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于______°．答案：270解答：∵AB//CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，同理∠DCE+∠CEF=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°；又∵EH⊥CD于H，∴∠HEF=90°，∴∠BAC+∠ACE+∠CEH=∠BAC+∠ACE+∠CEF-∠HEF=360°-90°=270°．22、如图，a//b，M、N分别为a、b上，P为两平行线间一点，则∠1+∠2+∠3=______．答案：360°解答：过点P作P A//a，∵a//b，P A//a，∴a//b（//P A，∴∠1+∠MP A=180°，∠3+∠APN=180°，∴∠1+∠MP A+∠3+∠APN=180°+180°=360°，∴∠1+∠2+∠3=360°．故答案为：360°．模型三： 结论：∠C =∠B +∠E23、如图，已知AB //CD ，若∠A =15°，∠E =25°，则∠C 的值为（ ）．A. 15°B. 25°C. 35°D. 40°答案：D解答：有图形知∠E =∠C -∠A =25°．所以∠C =40°．24、如图，直线AB //CD ，∠A =100°，∠C =75°，则∠E 等于______．答案：25°解答：设DC 、AE 交于点F ，∵直线AB //CD ，∠A =100°，∴∠EFD =∠A =100°，∵∠EFD 是△CEF 的外角，∴∠E =∠EFD -∠C =100°-75°=25°．25、如图，已知AB //CD ，试写出∠BPD 、∠B 、∠D 的数量关系并证明．DA答案：解答：证明：过P 点做AB 的平行线MN∵AB //CD （已知），MN //AB （已作）∴MN //CD （平行于同一直线的两直线平行）∴∠MPD =∠D ，∠MPB =∠B （两直线平行，内错角相等）∵∠BPD =∠MPD -∠MPB （已知）∴∠BPD =∠D -∠B （等量代换）模型四：结论：∠B =∠C +∠E26、如图，CD //BE ，则∠2+∠3-∠1的度数等于（ ）．A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°答案：D解答：过A 点作AK //BE∴∠3=∠BAK ．AD //CD∴∠KAC +∠2=180°∠KAC =∠BAK -∠1D CA∴∠KAC =∠3-∠1．∴∠3-∠1+∠2=180°．27、已知如图所示，DE //CB ，求证：∠AED =∠A +∠B.答案：证明见解答．解答：过A 作AF //CB ，如图所示，则有∠F AB =∠B ，因为DE //CB ，故AF //DE ，∠AED =∠EAF =∠EAB +∠F AB ，即∠AED =∠A +∠B.28、如图所示，//AD BC ，1CFE D ∠=∠+∠，30B CFE ∠-∠=︒，求2∠的度数．答案：230∠=︒．解答：因为//AD BC ，结合题意，由靴子图ABEFC 知，1B CFE ∠=∠+∠，130B CFE ∠=∠-∠=︒，由靴子图ABEDC 知，12B BED D D ∠=∠+∠=∠+∠+∠，1B CFE ∠=∠+∠，121D CFE ∴∠+∠+∠=∠+∠即2D CFE ∠+∠=∠，1CFE D ∠=∠+∠，2130∴∠=∠=︒29、“平行线”是转化角的重要“桥梁”，运用平行线的判定和性质解决下面的问题： 在下列三个图形中，已知AB //CD ，P 是平面内一点．（1）填空：在图1中，∠P 与∠A 、∠C 的关系是______；在图2中，∠P与∠A、∠C的关系是______；在图3中，∠P与∠A、∠C的关系是______．（2）选择图2证明你的结论（不用注明理由）．答案：（1）∠P=∠A+∠C；∠P=∠C-∠A；∠P=∠A-∠C （2）证明见解答．解答：（1）图1：∠P=∠A+∠C.图2：∠P=∠C-∠A.图3：∠P=∠A-∠C.（2）图2证明过程：过点P作EF//AB，∴∠A=∠EP A，∵AB//CD，∴EF//CD.∴∠C=∠EPC，∴∠P:∠EPC-∠EP A=∠C-∠A.图1证明过程：过点P作EF//AB，∴EF//AB//CD，∴∠A=∠EP A，∠C=∠FPC，∴∠P=∠APE+∠CPE=∠A+∠C.图3证明过程：过点P作EF//AB，∴EF//AB//CD，∴∠C+∠CPF=180°，∠A+∠APF=180°，∴∠CPF=180°-∠C，∠APF=180°-∠A，∴∠P=∠CPF-∠APF=180°-∠C-（180°-∠A）．=∠A-∠C.30、如图，已知AB//CD,分别探讨下面的四个图形中∠APC、∠P AB和∠PCD的关系，并请你从所得的五个关系中的图2,图5,说明成立的理由．（1）图①的关系是______．（2）图②的关系是______．（3）图③的关系是______．（4）图④的关系是______．（5）图⑤的关系是______．答案：（1）∠APC+∠P AB+∠PCD=360°（2）∠APC=∠P AB+∠PCD（3）∠P AB+∠APC=∠PCD（4）∠APC+∠P AB=∠PCD（5）∠APC+∠P AB-∠PCD=180°解答：（1）作PE//AB，易证AB//PE//CD，∴∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∠2+∠3=∠APC，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°，即∠APC+∠P AB+∠PCD=360°．（2）作PE//AB，易证AB//PE//CD，∴∠P AB=∠1，∠PCD=∠2，∠1+∠mathbf2=∠APC，∴∠APC=∠P AB+∠PCD.（3）同理：∠PCD=∠1，∠P AB=∠2，∠1-∠2=∠APC，∴∠P AB+∠APC=∠PCD.（4）同理：∠P AB=∠2，∠PCD=∠1，∠1-∠2=∠APC，∴∠APC+∠P AB=∠PCD. （5）同理：∠P AB+∠1=180°，即∠1=180°-∠P AB，∠PCD=∠2，∠1+∠2=∠APC，∴∠APC=180°-∠P AB+∠PCD，即∠APC+∠P AB-∠PCD=180°．。
平行线中的模型-初中数学常见的模型方法专题
5.如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A. 70°B. 65°C. 35°D. 5°
【答案】B
【解析】
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，
=180°-[180°-（4x°+4y°）]
=4x°+4y°
=4（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°
=3（x°+y°），
∴∠AFC= ∠AEC．
【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
【详解】证明：连接AC，
设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°-（3x°+3y°）
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
∴∠BCD+∠DCF=∠B+∠F，
即∠C=∠B+∠F．
（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4，
如图，
作MN∥AB，
由（2）的结论得到∠2=∠1+∠6，∠4=∠5+∠7，
∴∠2+∠4=∠1+∠6+∠5+∠7=∠1+∠3+∠5.
专题01 平行线的四大模型(解析版)-【常考压轴题】2023-2024学年七年级数学下册压轴题攻略
专题01平行线的四大模型平行线的性质和判定是证明角相等、研究角的关系的重要依据，是研究几何图形位置关系与数量关系的基础，是平面几何的一个重要内容和学习简单的逻辑推理的素材。
它不但为三角形的内角和定理的证明提供了转化的方法，而且也是今后学习三角形、四边形知识的基础.本节课重点学习平行线的基础模型的应用迁移.模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.【典例1】（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．专题分析模型分类模型分析典例分析（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．【答案】（1）（2）证明见解析；（3）95°．【解答】（1）证明：如图所示：过点E作EH∥AB，∴∠A＝∠AEF，∵∠A+∠D＝∠AED，∠AED＝∠AEF+∠DEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠EHG，∵∠EHG＝∠D+∠AED，∴∠A＝∠D+∠AED，∴∠A﹣∠D＝∠AED；（3）解：设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，则∠BAI＝，，∵AB∥CD，∴∠EHC＝∠EAB＝，∵∠I＝∠AED＝25°，∠EKI＝∠EAI+∠I＝∠EDI+∠AED，∴x+25°＝∠EDI+25°，∴∠EDI＝x，∵∠EDI＝∠CDE，∴∠CDI＝，∵∠CHE＝∠CDE+∠AED，∴，解得：x＝60°，∴∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I＝180°﹣60°﹣25°＝95°．【变式1-1】（2023•渝中区校级模拟）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．40°B．50°C．130°D．140°【答案】B【解答】解：如图，∵∠1+∠3+90°＝180°，∠1＝40°，∴∠3＝50°，∵a∥b，∴∠2＝∠3，∴∠2＝50°，故选：B．【变式1-2】（2023•金安区一模）如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（）A．100°B．105°C．115°D．125°【答案】A【解答】解：解法一：如图，过点B作DE∥a，∴∠DBA＝∠1＝45°，∵a∥b，DE∥a，∴DE∥b，∴∠2+∠DBC＝180°，∴∠DBC＝180°﹣∠2＝180°﹣125°＝55°，∴∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝45°+55°＝100°．解法二：如图，延长AB交b于点F，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝45°，∵∠2＝125°，∵∠2＝∠3+∠CBF，∴∠CBF＝∠2﹣∠3＝125°﹣45°＝80°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBF＝180°﹣80°＝100°．故选：A．【变式1-3】（2022春•肇州县期末）如图，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，则∠BEC ＝（）A．110°B．120°C．130°D．150°【答案】C【解答】解：∵过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠1+∠B＝180°，∠2+∠C＝180°，∵∠C＝110°，∠B＝120°，∴∠1＝60°，∠2＝70°，∴∠BEC＝∠1+∠2＝130°．故选：C．【变式1-4】（2023春•巴南区月考）已知直线MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN和PO之间．（1）如图1，求证：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA；（2）如图2，CD∥AB，点E在直线PQ上，且∠MCA＝∠DCE，求证：∠ECN＝∠CAB；（3）如图3，BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，且AF∥CG．若∠CAB＝50°，直接写出∠AFB的度数．【答案】（1）见解答．（2）见解答．（3）115°．【解答】（1）证明：过点A作AH∥MN，如图：∴AH∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠CAH，∠PBA＝∠BAH，∴∠CAB＝∠CAH+∠BAH＝∠MCA+∠PBA，∴：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA．（2）证明：∵∠MCA＝∠DCE．∴∠ACD＝∠MCE，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣∠MCE，＝∠ECN，∴∠ECN＝∠CAB．（3）解：∵AF∥CG．∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝50°，∴∠GCA+∠CAB+∠FAC＝180°，∴∠FAB＝130°﹣∠GCA，∵BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝50°，∴∠GCA﹣∠ABF＝65°，∵∠ABF+∠AFB+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠FAB＝180°﹣（130°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝50°+∠GCA﹣∠ABF＝50°+65°＝115°．∴∠AFB＝115°．【变式1-5】（2023春•遂宁期末）如图，直线PQ∥MN，两个三角形如图①放置，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°，点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．（1）求∠DEQ的度数；（2）如图②，若将△ABC绕B点以每秒3°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒，当t＝10时，边BG与CD有何位置关系？请说明理由．【答案】（1）60°；（2）BG∥CD，理由见解析．【解答】解：（1）∵∠ACB＝30°，∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°，∵CE平分∠ACN，∴∠ECN＝75°，∵PQ∥MN，∴∠ECN+∠CEQ＝180°，∴∠CEQ＝105°，∵∠DEC＝45°，∴∠DEQ＝∠CEQ﹣∠DEC＝60°；（2）BG∥CD，理由如下：当t＝10时，BC转动了3×10°＝30°，即∠CBG＝30°，由（1）可知∠ECN＝75°，∠DCE＝45°，∴∠DCN＝∠ECN﹣∠DCE＝30°，∴∠CBG＝∠DCN，∴BG∥CD．模型分析结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.典例分析【典例2】（2023春•邵阳县期末）如图，直线AB∥CD，连接EF，直线AB，CD及线段EF 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接GE，GF，构成∠EGF，∠GEB，∠GFD三个角．（1）当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的关系；（2）当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由．【答案】（1）∠EGF＝∠GEB+∠GFD，理由见解答；（2）（1）中三者关系不成立，理由见解答．【解答】解：（1）∠EGF＝∠GEB+∠GFD，理由：过点G作GM∥AB，∴∠GEB＝∠EGM，∵AB∥CD，∴CD∥GM，∴∠GFD＝∠FGM，∵∠EGF＝∠EGM+∠FGM，∴∠EGF＝∠GEB+∠GFD；（2）（1）中三者关系不成立，理由：过点G作GN∥AB，∴∠GEB+∠EGN＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥GN，∴∠GFD+∠FGN＝180°，∴∠GEB+∠EGN+∠FGN+∠GFD＝360°，即∠GEB+∠EGF+∠GFD＝360°．【变式2-1】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（）A．44°B．34°C．24°D．14°【答案】B【解答】解：因为AB∥CD，且∠BEF＝64°，所以∠DKF＝∠BEF＝64°．又三角形EFG为直角三角形，且∠G＝90°，∠GEF＝60°，所以∠F＝30°．所以∠KHF＝64°﹣30°＝34°．又∠GHC＝∠KHF，所以∠GHC＝34°．故选：B．【变式2-2】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（）A．44°B．34°C．24°D．14°【答案】B【解答】解：因为AB∥CD，且∠BEF＝64°，所以∠DKF＝∠BEF＝64°．又三角形EFG为直角三角形，且∠G＝90°，∠GEF＝60°，所以∠F＝30°．所以∠KHF＝64°﹣30°＝34°．又∠GHC＝∠KHF，所以∠GHC＝34°．故选：B．【变式2-3】（2023•海南模拟）如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD 等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】B【解答】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF；∴∠B＝∠BCF，∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠D+∠B＝180°﹣130°+20°＝70°．故选：B．【变式2-4】（2023春•覃塘区期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF ＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B∴∠HFN＝∠MNP＝45°，∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③错误；④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝【解答】解：①由题意得：∠G＝∠MPN＝90°，∴GE∥MP，故①正确；②由题意得∠EFG＝30°，∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正确；③过点F作FH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD，75°，∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，故④错误．综上所述，正确的有2个．故选：B．【变式2-5】（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．【问题探究】：（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED 与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由；【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度数；【灵活应用】：（3）如图3，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝25度．【答案】（1）∠BED＝∠B+∠D，理由见解答；（2）∠BEG+∠GFD的度数为83°；（3）25．【解答】解：（1）∠BED＝∠B+∠D，理由：过点E作EP∥AB，∴∠B＝∠BEP，∵AB∥CD，∴CD∥EP，∴∠D＝∠DEP，∵∠BED＝∠BEP+∠DEP，∴∠BED＝∠B+∠D；（2）过点G作GM∥AB，由（1）可得：∠BEG＝∠B+∠EGM，∵AB∥CD，∴GM∥CD，由（1）可得：∠GFD＝∠D+∠FGM，∵∠B＝23°，∠EGF＝35°，∠D＝25°，∴∠BEG+∠GFD＝∠B+EGM+∠D+∠FGM ＝∠B+∠D+∠EGF＝23°+25°+35°＝83°，∴∠BEG+∠GFD的度数为83°；（3）如图：∵∠B＝60°，∠F＝85°，∴∠BNF＝180°﹣∠B﹣∠F＝35°，∴∠ANE＝∠BNF＝35°，∵AB∥CD，∴由（1）可得：∠DEN＝∠ANE+∠D，∴∠D＝∠DEN﹣∠ANE＝60°﹣35°＝25°，故答案为：25．【变式2-6】（2023春•邵阳期末）如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点．（1）若∠MNB＝45°，∠MDP＝20°，求∠MPD；（2）如图1，当点P在线段MN上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由；（3）如图2，若T是直线MN上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线MT上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由．【答案】（1）∠MPD的度数25°；（2）是定值，＝；（3）是定值，＝．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠MNB＝45°，∴∠DMP＝180°﹣∠MNB＝135°，∵∠MDP＝20°，∴∠MPD＝180°﹣∠DMP﹣∠MDP＝25°，∴∠MPD的度数为25°；（2）是定值，理由：过点P作PG∥CD，∴∠CDP＝∠DPG，∵CD∥AB，∴PG∥AB，∴∠ABP＝∠BPG，∵∠DPB＝∠DPG+∠BPG，∴∠DPB＝∠CDP+∠ABP，同理可得：∠Q＝∠CDQ+∠ABQ，∵DQ平分∠CDP，BQ平分∠ABP，∴∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，∴∠Q＝∠CDQ+∠ABQ＝∠CDP+∠ABP＝（∠CDP+∠ABP）＝∠DPB，∴＝；（3）是定值，理由：过点P作PG∥CD，∴∠CDP＝∠DPG，∵CD∥AB，∴PG∥AB，∴∠ABP＝∠BPG，∵∠DPB＝∠BPG﹣∠DPG，∴∠DPB＝∠ABP﹣∠CDP，同理可得：∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ，∵DQ平分∠CDP，BQ平分∠ABP，∴∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，∴∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ＝∠ABP﹣∠CDP＝（∠ABP﹣∠CDP）＝∠DPB，∴＝．【变式2-7】（2023春•防城港期末）阅读下面材料：（1）小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为直线AB，CD之间一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．下面是小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，直线a∥b，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BED的度数，（温馨提示：过点E作EF∥AB）【答案】（1）∠B，CD，∠D；（2）∠BED＝55°．【解答】（1）证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D，故答案为：∠B，CD，∠D；（2）解：如图乙，过点E作EF∥AB，∴∠BEF＝∠ABE，∵a∥b，即AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠DEF＝∠CDE，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠ABC，∠CDE＝∠ADC，又∵∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，∴∠ABE＝25°，∠CDE＝30°，∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝25°+30°＝55°．结论1：若AB ∥CD ，则∠P =∠AEP -∠CFP 或∠P =∠CFP -∠AEP ；结论2：若∠P =∠AEP -∠CFP 或∠P =∠CFP -∠AEP ，则AB ∥CD .【典例3】（2023春•中山区期末）如图，∠ABE +∠BED ＝∠CDE ．（1）如图1，求证AB ∥CD ；（2）如图2，点P 在AB 上，∠CDP ＝∠EDP ，BF 平分∠ABE ，交PD 于点F ，探究∠BFP ，∠BED 的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，如图3，PQ 交ED 延长线于点Q ，∠DPQ ＝2∠APQ ，∠PQD ＝80°，求∠CDE 的度数．【答案】（1）答案见解答过程；模型三“臭脚”模型点P 在EF 右侧，在AB 、CD 外部“臭脚”模型模型分析典例分析（2）∠BED＝2∠BFP，理由见解答过程；（3）120°．【解答】（1）证明：延长CD交BE于点H，∴∠CDE＝∠DHE+∠BED，∵∠ABE+∠BED＝∠CDE，∴∠DHE＝∠ABE，∴AB∥CD，（2）解：∠BFP，∠BED的数量关系是：∠BED＝2∠BFP，理由如下：设∠EBF＝α，∠CDP＝β，∵BF平分∠ABE，∠CDP＝∠EDP，∴∠EBF＝∠ABF＝α，∠CDP＝∠EDP＝β，∴∠PBE＝2∠EBF＝2α，由（1）可知：AB∥CD，∴∠DPB＝∠CDP＝β，∴∠APD＝180°﹣∠∠DPB＝180°﹣β，∵∠APD＝∠ABF+∠BFP，∴180°﹣β＝α+∠BFP，∴∠BFP＝180°﹣（α+β），由四边形的内角和等于360°得：∠BED+∠EDP+∠DPB+∠PBE＝360°，即：∠BED+β+β+2α＝360°，∴∠BED＝360°﹣2（α+β），∴∠BED＝2∠BFP．（3）解：设∠APQ＝θ，∴∠DPQ＝2∠APQ＝2θ，∴∠APD＝∠APQ+∠DPQ＝3θ，由（1）可知：AB∥CD，∴∠CDP+∠APD＝180°，∴∠CDP＝180°﹣∠APD＝180°﹣3θ，∵∠PQD＝80°，∴∠EDP＝∠PQD+∠DPQ＝80°+2θ，∵∠CDP＝∠EDP，∴180°﹣3θ＝80°+2θ，解得：θ＝20°，∴∠CDP＝180°﹣3θ＝120°，∠EDP＝80°+2θ＝120°，根据周角的定义得：∠CDE+∠CDP+∠EDP＝360°，∴∠CDE＝360°﹣（∠CDP+∠EDP）＝360°﹣（120°+120°）＝120°．【变式3-1】已知AB∥CD．（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F．若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．【答案】（1）详见解析；（2）103°．【解答】（1）证明：如图，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴DC∥EF，∴∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，∴∠C+∠B＝∠BEC＝180°，即：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；（2）解：∵FB∥CE，∴∠FBE＝∠BEC＝26°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠FBE＝52°，由（1）得：∠DCE＝180°﹣∠ABE+∠BEC＝180°﹣52°+26°＝154°，∵CG平分∠ECD，∴∠DCG＝77°，过点F作FN∥AB，如图：∵AB∥CD，∴FN∥CD，∴∠BFN＝∠ABF＝26°，∠NFC＝∠DCG＝77°，∴∠BFC＝∠BFN+∠NFC＝103°．模型分析·结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.典例分析【典例4】（2022秋•朝阳区校级期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G 为射线EF上一点．（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD∵MN∥AB，∴∠A＝∠MGA．∵MN∥CD，∴∠D＝DGM（两直线平行，内错角相等）∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．（3）【应用拓展】如图3，AH平分∠GAE，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数为°．【答案】（1）MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等；（2）∠AGD＝∠A﹣∠D．理由见解析；（3）42°．【解答】解：（1）过点G作直线MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），∵MN∥AB，∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），∵MN∥CD，∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．故答案为：MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等．（2）如图所示，过点G作直线MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD，∵MN∥AB，∴∠A＝∠AGM，∵MN∥CD，∴∠D＝∠DGM，∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D．（3）如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD，PQ∥CD∵MN∥AB，PQ∥AB，∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH＝∠AHP，∵MN∥CD，PQ∥CD，∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH＝∠DHP，∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，∴∠GDH＝44°，∠DHP＝22°，∴∠CDG＝66°，∠AHP＝54°，∴∠DGM＝66°，∠BAH＝54°，∵AH平分∠GAE，∴∠BAG＝2∠BAH＝108°，∴∠AGM＝108°，∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝42°．【变式4-1】（2022秋•肃州区校级期末）如图（1），AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：解：如图（1），过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知）∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠PFD＝130°（已知）∴∠2＝180°﹣130°＝50°∴∠EPF＝∠1+∠2＝40°+50°＝90°即∠EPF＝90°【探究】如图（2），AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．【应用】如图（3），在【探究】的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．【答案】[探究]70°；[应用]35°．【解答】[探究]如图②，过点P作PM∥AB，∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．[应用]如图③所示，∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，∴∠AEG＝AEP＝25°，∠GFC＝PFC＝60°，过点G作GM∥AB，∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等）．∴∠EGF＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°．【变式4-2】（2022春•朝阳县期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝∠A+∠B．（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．【答案】（1）∠APB＝∠A+∠B；（2）发生变化，∠APB＝∠B﹣∠A，证明见解答过程．【解答】解：（1）∵记过点P作l1的平行线为PC，∵PC∥l1，∴∠A＝∠APC，∵l1∥l2，∴PC∥l2，∴∠B＝∠BPC，∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝∠A+∠B，故答案为：∠APB＝∠A+∠B；（2）发生变化，如图，过点PF∥AC，则∠APF＝∠A，∵AC∥BD，∴PF∥BD，∴∠B＝∠BPF，∴∠APB＝∠BPF﹣∠APF＝∠B﹣∠A．【变式4-3】（2020春•乳山市期中）【信息阅读】材料信息：如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC．方法信息：如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度数．解：过点C作CF∥AB．∴∠BCF＝∠B＝55°．∵AB∥DE，∴CF∥DE．∴∠DCF＝∠D＝35°．∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．【问题解决】（1）通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：∠BCD＝∠B﹣∠D；（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．【答案】∠BCD＝∠B﹣∠D，∠BCD＝∠D﹣∠B【解答】解（1）过C作CF∥ED，∵AB∥ED，∴AB∥CF，∴∠B＝∠BCF，∠D＝∠DCF，∵∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF，∴∠BCD＝∠B﹣∠D，故答案为：∠BCD＝∠B﹣∠D．（2）过点C作CF∥AB，∴∠BCF＝∠B，∵AB∥DE，∴CF∥DE．∴∠DCF＝∠D，∵∠BCD＝∠DCF﹣BCF，∴∠BCD＝∠D﹣∠B．1.（2023春•建昌县期末）如图，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边MN，PQ之间，则下列结论中：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠1+∠3＝90°；④若∠3＝60°，则AB⊥PQ，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：设BC与PQ交于点F，AB与PQ交于点G，AB与MN交于点H，延长AC 交PQ于点E，∵MN∥PQ，∴∠3＝∠AEG，∵∠1≠∠AEG，∴∠3≠∠1，故①不正确；根据对顶角相等可得：∠2＝∠3，故②正确；∵∠ACB是△CEF的一个外角，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AEB+∠1＝90°，∵∠AEB＝∠3，∴∠3+∠1＝90°，故③正确；∵∠A＝30°，∠3＝60°，∴∠AHM＝180°﹣∠A﹣∠3＝90°，∵MN∥PQ，∴∠AHM＝∠AGP＝90°，∴AB⊥PQ，故④正确；所以，上列结论中，其中正确结论的个数是3个，故选：C．2．（2023春•芜湖期末）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（）A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α【答案】C【解答】解：连接BC，∵AB∥CD，∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，∴∠O＝∠ABO+∠DCO＝60°+α．故选：C．3．（2022•恩施州）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（）A．120°B．130°C．140°D．150°【答案】D【解答】解：过含30°角的直角三角板的直角顶点B作BF∥l1，交AC于点F，∵∠C＝30°，∴∠A＝90°﹣∠C＝60°．∵∠1＝∠A+∠ADE，∴∠ADE＝60°．∵BF∥l1，∴∠ABF＝∠ADE＝60°，∴∠FBG＝90°﹣∠ABF＝30°．∵BF∥l1，l1∥l2，∴BF∥l2，∴∠BGH+∠FBG＝180°，∴∠BGH＝180°﹣∠FBG＝150°，∴∠2＝∠BGH＝150°．故选：D．4．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360°B．300°C．270°D．180°【答案】A【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故选：A．5．（2021春•椒江区校级月考）如图，已知AB∥CD，∠BAD和∠BCD的平分线交于点E，∠FBC＝n°，∠BAD＝m°，则∠AEC等于（）度．A．90﹣+m B．90﹣﹣C．90﹣D．90﹣+【答案】D【解答】解：如图，过点E作EM∥AB，∵AB∥CD，EM∥AB，∴AB∥EM∥CD，∴∠BAE＝∠AEM，∠MEC＝∠ECD，∠FBC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠FBC＝180°﹣n°，∵∠BAD和∠BCD的平分线交于点E，∴∠BAE＝∠BAD＝m°，∠ECD＝∠BCD＝（180°﹣n°），∴∠AEC＝∠AEM+∠MEC＝∠BAE+∠ECD＝m°+（180°﹣n°）＝90°+m°﹣n°，故选：D．6．（2023春•赫山区期末）【问题情景】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数；【问题迁移】（2）如图2，已知∠MON，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接PD，PC，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由；【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动”改为“点P在A，B两点外侧运动（点P与点A，B，O三点不重合）”其他条件不变，请直接写出∠CPD 与∠α，∠β之间的数量关系．【答案】（1）∠APC的度数为110°；（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由见解答；（3）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β．【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE＝180°﹣∠C＝65°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝45°+65°＝110°，∴∠APC的度数为110°；（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由：过P作PE∥AD交CD于E，∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）分两种情况：当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α，理由：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，理由：如图4，过P作PE∥AD交OD于E，∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β，综上所述，∠CPD＝∠β﹣∠α或∠CPD＝∠α﹣∠β．7．（2022春•良庆区校级期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系∠A+∠C＝90°；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB＝∠CFD，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．【答案】（1）∠A+∠C＝90°；（2）见解答；（3）105°．【解答】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB＝90°，∴∠A+∠C＝90°，故答案为：∠A+∠C＝90°；（2）如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）可得∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，②由①②联立方程组，解得α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．8．（2021秋•平昌县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答；（3）5或．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠GAD＝∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG＝∠GAD∴∠BAG＝∠BGA；（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，∵∠BAG＝∠BGA，∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，∵∠BAG﹣∠F＝45°，∴∠BCF＝45°，∵∠BCD＝90°，∴CF平分∠BCD；（3）解：有两种情况：①当M在BP的下方时，如图5，设∠ABC＝4x，∵∠ABP＝3∠PBG，∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，∵AG∥CH，∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，∵∠BCD＝90°，∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM＝2x﹣x＝x，∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；②当M在BP的上方时，如图6，同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM＝2x+x＝3x，∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．综上，的值是5或．9．（2023春•黑山县期中）问题情境我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．问题初探（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为30°，∠EMC的度数为60°．类比再探（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF 与∠EMC的数量关系，并说明理由．（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．【答案】（1）30°，60°；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由见解答；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由见解答．【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；故答案为：30°，60°；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：证明：如图，过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，∵DE∥GF，CH∥GF，∴CH∥DE，∴∠EMC＝∠HCM，∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：证明：如图，过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，∵BK∥GF，DE∥GF，∴BK∥DE，∴∠BMD＝∠KBM，∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．10．（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为45°；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．【答案】（1）①45°；②120°；（2）∠OEA+2∠PFC＝160°．【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，∴∠BEG＝∠EGN，∵AB∥CD，∴∠NGF＝∠GFD，∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；∴∠BEP＝BEG，∠PFD＝GFD，∴∠EPF＝（∠BEG+∠GFD）＝EGF＝45°，故答案为：45°；②如图，过点Q作QR∥CD，∵∠BEG＝40°，∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，设∠GFD＝∠QFD＝α，∵QR∥CD，AB∥CD，∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，∵CD∥QR，∴∠DFQ+∠FQR＝180°，∴α+∠FQR＝180°，∴α+∠FQE＝80°，∴∠FQE＝80°﹣α，由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，∴∠EOF＝β﹣2α，∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，∵∠EOF+∠EGF＝100°，∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，∴α+β＝80°，∴∠OEA+∠OFC＝80°，∴∠OEA+2∠PFC＝160°．11．（2023春•孝义市期末）综合与探究数学活动课上，老师以“一个含45°的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，如图1，已知直线m∥n，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝∠ABC＝45°．（1）如图1，若∠2＝65°，则∠1＝20°；（直接写出答案）（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图2，调整三角板的位置，当三角板ABC的直角顶点C在直线n上，直线m与AB，AC相交时，他们得出的结论是：∠1﹣∠2＝135°，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；（3）如图3，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三角板的位置，当点C不在直线n上，直线m与AC，BC相交时，∠1与∠2有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．【答案】（1）20°；（2）正确，理由见解析；（3））∠1+∠2＝90°，理由见解析．【解答】解：（1）∵直线m∥n，∴∠1+∠ABC＝∠2＝65°，∵∠ABC＝45°，∴∠1＝20°，故答案为：20°；（2）正确，理由如下：如图所示：过点B作BD∥m，∴∠1+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝180°﹣∠1，∵m∥n，∴∠CBD＝∠2，∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝45°∴180°﹣∠1+∠2＝45°，∴∠1﹣∠2＝135°；（3）∠1+∠2＝90°，理由如下：如图所示，过点C作EF∥m，∴∠1＝∠ACE，∠2＝∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，∴∠1+∠2＝90°．12．（2023春•安化县期末）在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图，直线AB∥CD，点N在直线CD上，点P在直线AB上，点M为平面上任意一点，连接MP，MN，PN．（1）如图1，点M在直线CD上，PM平分∠APN，试说明∠PMN＝∠MPN；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，∠PMN＝70°，∠MNC＝30°，求∠APM的度数；（3）如图3，∠APM和∠MNC的平分线交于点Q，∠PQN与∠PMN有何数量关系？并说明理由．【答案】（1）说明见解析；（3）2∠PQN＝∠PMN，理由见解析．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠APM＝∠PMN．∵PM平分∠APN，∴∠APM＝∠MPN，∴∠PMN＝∠MPN；（2）如图，过点M作ME∥CD，∴∠EMN＝∠MNC＝30°，∵AB∥CD，ME∥CD，∴ME∥AB，∴∠APM＝∠PME，∴∠PMN＝∠PME+∠EMN＝∠APM+∠MNC，∵∠PMN＝70°，∴∠APM＝∠PMN﹣∠MNC＝70°﹣30°＝40°；（3）2∠PQN＝∠PMN，理由如下：由（2）可知∠PMN＝∠APM+∠MNC，同理可得：∠PQN＝∠APQ+∠QNC，∵PQ和NQ分别是∠APM和∠MNC的平分线，∴，∴∠PQN＝∠APQ+∠QNC，＝，∴2∠PQN＝∠PMN．12．（2023春•甘井子区期末）如图1，点M在射线BA，CD之间，0°＜∠ABM＜30°，连接BM，过点M作ME⊥BM交射线CD于点E，且∠MED﹣∠B＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）过点C作∠ECN＝∠B，交直线ME于点N，先按要求画图，再解决下列问题．①当CN在CD上方，满足∠CNE＝5∠B时，在图2中画图，求∠B的度数；②作∠BME的角平分线交射线CD于点K，交∠ECN的角平分线于点F，请直接写出∠MKC与∠MFC之间的数量关系＝45．．【答案】（1）证明见解析；（2）①18°；②＝45．【解答】解：（1）如图所示：过点M作MN∥AB，∴∠B＝∠BMN，∵ME⊥BM，∴∠BMN+∠NME＝90°，∴∠NME＝90°﹣∠BMN，∵∠MED﹣∠B＝90°，∴∠MED＝90°+∠B，∴∠NME+∠MED＝90°﹣∠BMN+90°+∠B＝180°，∴MN∥CD，∴AB∥CD；（2）①当CN在CD上方，如图所示：过点M作MN∥AB，设∠B＝x，则∠CNE＝5∠B＝5x，∠ECN＝∠B＝x，∵MN∥AB，∴∠BMH＝∠B＝x，∵∠MED＝∠ECN+∠CNE，∴∠MED＝6x，由（1）得AB∥CD∴MH∥CD，∴∠HME+∠MED＝180°，∴∠HME＝180°﹣∠MED＝180°﹣6x，∵ME⊥BM，∴∠BMH+∠HME＝90°，∴x+180°﹣6x＝90°，5x＝90°，x＝18°，即∠B＝18°；②如图所示：设∠B＝x，则∠ECN＝∠B＝x，∵ME⊥BM，∴∠BME＝90°，∵∠BME的角平分线交射线CD于点K，交∠ECN的角平分线于点F ∴∠FCE＝∠ECN＝，∠BMK＝∠EMH＝∵MH∥AB，∴∠BMH＝∠B＝x，∴∠HMK＝∠BMK﹣∠BMH＝45°﹣x°，由（1）得AB∥CD∴MH∥CD，∴∠HMK＝∠MKC，∵∠MFC＝∠MKC+∠FCE＝＝45．。
平行线模型练习题(含解析)
平行线模型练习题1．如图，l1∥l2，将一副直角三角板作如下摆放，图中点A、B、C在同一直线上，∠1＝80°，则∠2的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°【答案】C【解答】解：如图，过点A作AD∥l1，∵l1∥l2，∴AD∥l2，∴∠FNA+∠NAD＝180°，∵AD∥l1，∴∠EMA+∠MAD＝180°，∴∠EMA+∠MAD+∠DAN+∠ANF＝180°+180°＝360°，∵∠EMA＝∠EMC+∠CMA＝80°+60°＝140°，∠MAD+∠DAN＝90°，∴∠FNA＝360°﹣140°﹣90°＝130°，即∠2＝130°，故选：C．2．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE ＝40°，那么∠BAF的大小为（）A．25°B．20°C．15°D．10°【答案】D【解答】解：由题意知：∠CAB＝60°，∠C＝90°．∵∠CDE＝40°，∴∠CED＝50°．∵DE∥AF，∴∠F AE＝∠CED＝50°．∴∠BAF＝∠CAB﹣F AE＝60°﹣50°＝10°．故选：D．3．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、y的关系是（）A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ【答案】C【解答】解：如图，过点C、D分别作AB的平行线CG、DH，∵AB∥EF，∴AB∥CG∥DH∥EF，∴∠1＝∠α，∠2＝∠3，∠4＝∠γ，∵∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣∠α，∠3＝∠β﹣∠4＝∠β﹣∠γ，∴90°﹣∠α＝∠β﹣∠γ，∴α+β﹣γ＝90°．故选：C．4．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（）A．β＝α+γB．α+β﹣γ＝90°C．α+β+γ＝180°D．β+γ﹣α＝90°【答案】B【解答】解：延长DC交AB于G，延长CD交EF于H．直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：B．5．如图，AB与HN交于点E，点在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④C．①②④D．①④【答案】D【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC∴AB∥CD∴①正确；过点F作FP∥AB，HQ∥AB，∵AB∥CD，∴FP∥AB∥HQ∥CD，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，∴∠EHG≠2∠EFM∴②错误；∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，∴③错误；∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，∴④正确．综上所述，正确答案为①④．故选：D．6．如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（）A．55°B．50°C．40°D．30°【答案】B【解答】解：如图2，过M作OM∥AB，PN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OM∥PN∥CD，∴∠1＝∠EMO，∠4＝∠PNF，∠OMN＝∠PNM，∴∠EMN﹣∠MNF＝（∠1+∠MNP）﹣（∠MNP+∠4）＝∠1﹣∠4，∴60°﹣70°＝40°﹣∠4，∴∠4＝50°．故选：B．7．为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是30°．【答案】30°【解答】解：延长DC交AE于点F，∵AB∥CD，∴∠EFC＝∠A＝80°，由外角的性质得，∠DCE＝∠E+∠EFC，∴∠E＝110°﹣80°＝30°．故答案为：30°．8．如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝90°；（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN ＝∠A，求∠BDF的值；（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．【解答】解：（1）延长BC交MN于点D，∵PQ∥MN，∴∠PBC＝∠ADC，∵∠ACB是△ACD的一个外角，∴∠ACB＝∠ADC+∠MAC，∴∠ACB＝∠PBC+∠MAC＝90°，故答案为：90；（2）∵∠AEN＝∠A，∠BAC＝30°，∴∠AEN＝∠A＝30°，∴∠CEM＝∠AEN＝30°，利用（1）的结论可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°，∴∠BDF的度数为60°；（3）∵CE平分∠MEG，∴∠CEM＝∠CEG，设∠CEM＝∠CEG＝x，∴∠GEN＝180°﹣∠CEM﹣∠CEG＝180°﹣2x，利用（1）的结论可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝90°﹣x，∴∠BDF＝∠PDC＝90°﹣x，∴＝＝2，∴的值为2．9．如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝；（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC 的数量关系，并说明理由；②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠F AE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．【解答】解：（1）55°如图所示，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，故答案为55°．（2）如图所示，过点E作EG∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，∴2∠AFC+∠AEC＝360°．②由①知∠F+∠F AE+∠E+∠FCE＝360°，∵∠BAF＝∠F AE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，∴∠F＝（∠F AE+∠FCE），∴∠F AE+∠FCE＝n∠F，∴∠F+∠E+n∠F＝360°，∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，∴∠F＝．10．问题情境我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．问题初探（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为，∠EMC的度数为．类比再探（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF 与∠EMC的数量关系，并说明理由．（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；故答案为：30°，60°；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：证明：如图，过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，∵DE∥GF，CH∥GF，∴CH∥DE，∴∠EMC＝∠HCM，∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：证明：如图，过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，∵BK∥GF，DE∥GF，∴BK∥DE，∴∠BMD＝∠KBM，∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．11．已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：．（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为45°．【解答】解：（1））过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C＝∠CBE．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．故答案为：∠A+∠C＝90°；（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C+∠CBE＝180°．∴∠CBE＝180°﹣∠C．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠ABE+∠CBE＝90°．∴∠A+180°﹣∠C＝90°．∴∠C﹣∠A＝90°．（3）设CH与AB交于点F，如图，∵AE平分∠MAB，∴∠GAF＝∠MAB．∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝∠BCN．∵∠B＝90°，∴∠BFC＝90°﹣∠BCF．∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°．12．已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是（直接写答案）．【解答】（1）证明：∵∠AGE＝∠BGF，∠CHF＝∠EHD，又∠AGE+∠CHF＝180°，∴∠BGF+∠EHD＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：过点M作MK∥CD，则∠KMH＝∠CHM，又AB∥CD；∴AB∥MK；∴∠AGM＝∠GMK，∵∠GMH＝∠AGM+∠KMH∴∠GMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射线GF是∠BGM的平分线，∴∠FGM＝∠BGM＝（180°−∠AGM）＝90°−α，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵∠GMH＝∠N+∠FGN，∴2α+β＝2α+∠FGN，∴∠FGN＝2β，∴∠M＝2α+β＝∠N+∠FGN，即：∠M＝∠N+∠FGN．。
平行线之猪脚模型(M模型)-【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型(解析版)
平行线之猪脚模型解题策略猪脚模型基本类型：A BC DE类型一：由角推线已知：∠B +∠D =∠E ，求证：AB ∥CD证法一：过点一作MN ∥AB 证法二：延长BE 交CD 与点F ，证法三：连接BD .A BC D E MN AB C D EF A B C DE 121231234（证法一图）（证法二图）（证法三图）类型二：由线推角已知：AB ∥CD ，求证:∠B +∠D =∠E .证法一：过点E 作MN ∥AB证法二：延长BE 交CD 与点F ，证法三：连接BD .经典例题【例1】(2022春•桐城市期末)【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．【问题解决】(1)如图1，AB ∥CD ，E 为AB 、CD 之间一点，连接AE 、CE ．若∠A =42°，∠C =28°．则∠AEC = 70° ．【问题探究】(2)如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A=36°，∠C=54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．【问题拓展】(3)如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD=56°，∠GDE=20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．【分析】(1)延长CE交AB于点F，利用平行线的性质可得∠AFC=28°，然后再利用三角形的外角可得∠AEC=∠A+∠C，进行计算即可解答；(2)利用猪蹄模型可得：∠AEC=∠A+∠C=90°，再利用对顶角相等可得∠BED=90°，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答；(3)利用平行线的性质可求出∠CDF的度数，从而利用角平分线的定义求出∠CDG的度数，进而利用平行线的性质可求出∠BAD的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再利用平角定义求出∠EDH的度数，最后根据猪蹄模型可得∠AED=∠BAE+∠EDH，进行计算即可解答．【解答】解：(1)延长CE交AB于点F，∵AB∥CD，∴∠AFC=∠C=28°，∵∠AEC是△AEF的一个外角，∴∠AEC=∠A+∠AFC=∠A+∠C=70°，故答案为：70°；(2)利用(1)的结论可得：∠AEC=∠A+∠C=36°+54°=90°，∴∠AEC=∠BED=90°，∵EF平分∠BED，∠BED=45°，∴∠BEF=12∴∠BEF的度数为45°；(3)∵BC∥DF，∴∠CDF=180°-∠BCD=124°，∵DG平分∠CDF，∴∠CDG=1∠CDF=62°，2∵AB∥CD，∴∠BAG=∠CDG=62°，∵AE平分∠BAD，∠BAD=31°，∴∠BAE=12∵∠GDE=20°，∴∠EDH=180°-∠CDG-∠GDE=98°，利用(1)的结论可得：∠AED=∠BAE+∠EDH=31°+98°=129°，∴∠AED的度数为129°．【例2】(2022春•南京期中)已知直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，O是平面内一点(不在直线AB、CD、EF上)，OG平分∠EOF，射线OH∥AB，交EF于点H．(1)如图①，若∠AEO=45°，∠CFO=75°，则∠HOG= 15° ，(2)如图②，若∠AEO=150°，∠HOG=20°，则∠CFO= 110° ；(3)直接写出点O在不同位置时∠AEO、∠CFO和∠HOG三个角之间满足的数量关系．【分析】(1)由AB∥CD，OH∥AB可得AB∥OH∥CD，利用平行线的性质可得∠AEO=∠EOH，∠CFO=∠FOH，由∠EOF=∠EOH+∠FOH，等量代换可得∠AEO+∠CFO=∠EOF，根据已知条件和角平分线的定义求出∠EOG=60°，即可得到∠HOG的度数；(2)同(1)类似，利用平行线的性质和角平分线的定义计算可以得出∠CFO的度数；(3)由(1)和(2)的计算方法可以得出结论．【解答】解：(1)∵AB∥CD，OH∥AB，∴AB∥OH∥CD，∴∠AEO=∠EOH，∠CFO=∠FOH，∴∠AEO+∠CFO=∠EOH+∠FOH，即∠AEO+∠CFO=∠EOF，∵∠AEO=45°，∠CFO=75°，∴∠EOF=120°，∵OG平分∠EOF，∴∠EOG=60°，∴∠HOG=∠EOG-∠EOH=15°，故答案为：15°；(2)∵AB∥CD，OH∥AB，∴AB∥OH∥CD，∴∠AEO+∠EOH=180°，∠CFO+∠FOH=180°，∴∠AEO+∠CFO+∠EOH+∠FOH=360°，即∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°，∵AB∥OH，∴∠AEO+∠EOH=180°，∵∠AEO=150°，∴∠EOH=30°，∵∠HOG=20°，∴∠EOG=∠EOH+∠HOG=30°+20°=50°，∵OG平分∠EOF，∴∠EOF=2∠EOG=100°，∵∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°，∠AEO=150°，∴∠CFO=360°-150°-100°=110°，故答案为：110°；(3)①若点O在直线AB与CD之间，则有|∠AEO-∠CFO|=2∠HOG；②若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的左侧，则有∠AEO+∠CFO=2∠HOG；若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的右侧，则有360°-∠AEO-∠CFO=2∠HOG．【例3】(2022春•上城区校级期中)如图，一副三角板，其中∠EDF=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=30°．(1)若这副三角板如图摆放，EF∥CD，求∠ABF的度数．(2)将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤t≤180，若边BC与三角板的一条直角边(边DE，DF)平行时，求所有满足条件的t的值．(3)将一副三角板如图3所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转．设旋转时何为t秒，如图4，∠BAH= t°，∠FDM=2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边(边DE，DF)平行时，请直接写出满足条件的t的值．【分析】(1)由题意得，∠EBF=90°，∠E=45°，∠ABC=60°，利用平行线的性质可得∠CDE=∠E=45°，即可求得答案；(2)①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况：当DE在MN上方时或当DE在MN下方时，分别运用平行线的性质即可；②当BC∥DF时，延长BC交MN于点T，分两种情况：当DF在MN上方时或当DF在MN下方时，分别运用平行线的性质即可；(3)当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP=2t°-180°，列式求解即可；(2)当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN=180°-2t°，②DF在MN下方时，∠FDN=180°-2t°，列式求解即可．【解答】解：(1)如图，由题意得，∠EBF=90°，∠E=45°，∠ABC=60°，∵EF∥CD，∴∠CDE=∠E=45°，∴∠ABE=∠ABC-∠CDE=60°-45°=15°，∴∠ABF=∠EBF-∠ABE=90°-15°=75°；(2)如图，①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，当DE在MN上方时，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDM=∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA=∠HAC，∴∠FDM=∠HAC，即2t°=30°，∴t=15；当DE在MN下方时，∠F′DP=2t°-180°，∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC，∴AP∥DF′，∴∠F′DP=∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA=∠HAC，∴∠F′DP=∠HAC，即2t°-180°=30°，∴t=105；②当BC∥DF时，当DF在MN上方时，BC∥DF，如图，延长BC交MN于点T，根据题意得：∠FDN=180°-2t°，∵DF∥BC，∴∠FDN=∠BTN，∵GH∥MN，∴∠BTN=∠ABC=60°，∴∠FDN=60°，即180°-2t°=60°，∴t=60；当DF在MN下方时，如图，延长BC交MN于点T，根据题意可知：∠FDN=2t°-180°，∵DF∥BC，∴∠FDN=∠BTM，∵GH∥MN，∴∠BTN=∠ABC=60°，∴∠BTM=180°-∠BTN=120°，∴∠NDF=120°，即2t°-180°=120°，∴t=150，综上所述：所有满足条件的t的值为15或60或105或150；(3)由题意得，∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°，∠FDM=2t°，①如图，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，当DE在MN上方时，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDM=∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA=∠HAC，∴∠FDM=∠HAC，即2t°=t°+30°，∴t=30，当DE′在MN下方时，∠F′DP=2t°-180°，∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC，∴AP∥DF′，∴∠F′DP=∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA=∠HAC，∴∠F′DP=∠HAC，即2t°-180°=t°+30°，∴t=210(不符合题意，舍去)，②当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，当DF在MN上方时，BC∥DF，如图，根据题意得：∠FDN=180°-2t°，∵DF∥BC，AC⊥BC，∴CI⊥DF，∴∠FDN+∠MIC=90°，即180°-2t°+t°+30°=90°，∴t=120，∴2t=240°>180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去；当DF在MN下方时，如图，根据题意可知：∠FDN=2t°-180°，∵DF∥BC，∴∠MIC=∠NDF，∴∠NDF=∠AQI=t+30°-90°=t-60°，即2t°-180°=t°-60°，∴t=120，综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．【例4】(2021春•梅江区期末)如图(1)，AB∥CD，点E在AB、CD之间，连接EA、EC；如图(2)，AB∥CD．点M、N分别在AB、CD上，连接MN．(1)在图(1)中，若∠A=30°，∠C=50°，则∠AEC= 80° ；若∠A=25°，∠C=40°，则∠AEC= 65° ．(2)图(1)的条件下，猜想∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并说明你的结论．(3)如图(2)，点E是四边形ACDB内(不含边界和MN)任意一点，请说明∠EMB、∠END、∠MEN的关系．【分析】(1)过点E作EF∥AB，如图1，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等可得∠AEG=∠A，∠CEG=∠C，由∠AEC=∠AEG+∠CEG，可得∠AEC=∠A+∠C，代入计算即可得出答案；(2)过点E作EF∥AB，如图1，根据平行线的性质可得，∠AEG=∠EAB，∠CEG=∠ECD．由∠AEC=∠AEG+∠CEG，即可得出答案；(3)根据题意画图，如图2，过点E作EF∥AB，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可得，∠EMB+∠MEF=180°，∠NEF+∠END=180°，由∠EMB+∠MEF+∠NEF+∠END=360°，根据∠MEN=∠MEF+∠NEF，即可得出答案．【解答】解：(1)过点E作EF∥AB，如图1，∵AB∥CD，∴GF∥CD，∴∠AEG=∠A，∠CEG=∠C，∴∠AEC=∠AEG+∠CEG，∴∠AEC=∠A+∠C，若∠A=30°，∠C=50°，则∠AEC=30°+50°=80°，若∠A=25°，∠C=40°，则∠AEC=25°+40°=65°；故答案为：80°，65°；(2)∠AEC=∠EAB+∠ECD．理由如下：过点E作EF∥AB，如图1，∵AB∥CD，∴GF∥CD，∴∠AEG=∠EAB，∠CEG=∠ECD．∵∠AEC=∠AEG+∠CEG，∴∠AEC=∠EAB+∠ECD；(3)∠ENB+∠NEN+∠END=360°．理由如下：根据题意画图，如图2，过点E作EF∥AB，∴∠EMB+∠MEF=180°，∵AB∥CD，∴GF∥CD，∴∠NEF+∠END=180°，∴∠EMB+∠MEF+∠NEF+∠END=360°，∵∠MEN=∠MEF+∠NEF，∴∠ENB+∠NEN+∠END=360°．培优训练一、选择题1.(2022•黔东南州)一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1=28°，则∠2的度数为()A.28°B.56°C.36°D.62°【分析】过直角的顶点E作MN∥AB，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：如下图所示，过直角的顶点E作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，则∠2=∠3．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵AB∥MN，∴MN∥CD，∴∠4=∠1=28°，∵∠3+∠4=90°，∴∠3=90°-∠4=62°．∴∠2=∠3=62°．故选：D．2.(2022•临清市二模)如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE=()A.180°-∠2+∠1B.180°-∠1-∠2C.∠2=2∠1D.∠1+∠2【分析】先利用平行线的性质说明∠3、∠1、∠4、∠2间关系，再利用角的和差关系求出∠BCA【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴∠1=∠3，∠2+∠4=180°．∴∠BCE=∠3+∠4=∠1+180°-∠2．故选：A．3.(2021春•硚口区月考)如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA=∠FGC，∠FEN=2∠NEB，∠FGH=2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG=2∠EFM；③∠EHG+∠EFM=90°；④3∠EHG-∠EFM=180°．其中正确的结论是()A.①②③B.②④C.①②④D.①④【分析】过点F作FP∥AB，HQ∥AB，设∠NEB=x，∠HGC=y，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案．【解答】解：∵∠FMA=∠FGC∴AB∥CD∴①正确；过点F作FP∥AB，HQ∥AB，∵AB∥CD，∴FP∥AB∥HQ∥CD，设∠NEB=x，∠HGC=y，则∠FEN=2x，∠FGH=2y∴∠EHG=∠EHQ+∠GHQ=∠AEH+∠HGC=∠NEB+∠HGC=x+y，∠EFM=∠BEF-∠FME=∠BEF-∠AMG=∠BEF-(180°-∠FGC)=x+2x-(180°-y-y) =3x+3y-180°，∴2∠EFM=6x+6y-360°，∴∠EHG≠2∠EFM∴②错误；∴∠EHG+∠EFM=x+y+3x+3y-180°=4x+4y-180°≠90°，∴③错误；∴3∠EHG-∠EFM=3(x+y)-(3x+3y-180°)=180°，∴④正确．综上所述，正确答案为①④．故选：D．4.(2018春•南昌期中)如图，AB∥CD，∠1=30°，∠2=90°，则∠3的度数是()A.30°B.45°C.50°D.60°【分析】作辅助线，过点O做OP∥AB∥CD，再结合两直线平行内错角相等的性质，即可得出∠3的度数．【解答】解：过点O做OP∥AB∥CD，∴∠A=∠AOP=30°，∠D=∠POC，∵∠2=90°，即∠AOC=90°，∴∠POC=60°，∴∠3=60°．故选：D．5.(2018春•沂源县期末)如图，AB∥CD，∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，则∠E：∠F=()A.2：1B.3：1C.3：2D.4：3【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等作答．【解答】解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=23(∠ABE+∠CDE)=23∠BED，∴∠BED：∠BFD=3：2．故选：C．6.(2022春•诸暨市期末)从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB=∠COA=72°．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE=27°．则∠AOD的度数是 45°或99° ．【分析】分两种情况：如果∠AOD是锐角，∠AOD=∠COA-∠COD；如果∠AOD是钝角，∠AOD=∠COA+∠COD，由平行线的性质求出∠COA，∠COD，从而求出∠AOD的度数．【解答】解：∵DE∥CF，∴∠COD=∠ODE．(两直线平行，内错角相等)∵∠ODE=22°，∴∠COD=22°．在图1的情况下，∠AOD=∠COA-∠COD=72°-27°=45°．在图2的情况下，∠AOD=∠COA+∠COD=72°+27°=99°．∴∠AOD的度数为45°或99°．故答案为：45°或99°．7.(2022春•潜山市月考)如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．(1)若∠M=90°，则∠AEM+∠CFM= 270° ；(2)若∠M=n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 1n° ．(用含n的2式子表示)【分析】(1)过点M 作MP ∥AB ，则AB ∥CD ∥MP ，根据两直线平行，内错角相等可得答案；(2)过点N 作NQ ∥AB ，则AB ∥CD ∥NQ ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．【解答】解：(1)过点M 作MP ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥MP ，∴∠1=∠MEB ，∠2=∠MFD ，∵∠M =∠1+∠2=90°，∴∠MEB +∠MFD =90°，∵∠AEM +∠MEB +∠CFM +∠MFD =180°+180°=360°，∴∠AEM +∠CFM =360°-90°=270°．故答案为：270°；(2)过点N 作NQ ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥NQ ，∴∠3=∠NEB ，∠4=∠NFD ，∴∠NEB +∠NFD =∠3+∠4=∠ENF ，∵∠BEM 与∠DFM 的角平分找交于点N ，∵∠NEB =12∠MEB ，∠DFN =12∠MFD ，∴∠3+∠4=∠BEN +∠DFN =12(∠MEB +∠MFD )，由(1)得，∠MEB +∠MFD =∠EMF ，∴∠ENF =12∠EMF =12n °．故答案为：12n °．8.(2019•大丰区一模)如图，已知：AB ∥CD ，∠1=50°，∠2=113°，则∠3= 63 度．【分析】如图，作EF ∥AB ．证明基本结论；∠AEC =∠1+∠3即可解决问题．【解答】解：如图，作EF ∥AB ．∵AB ∥CD ，AB ∥EF ，∴EF ∥CD ，∴∠1=∠AEF，∠3=∠CEF，∴∠AEC=∠1+∠3，∴113°=50°+∠3，∴∠3=63°．故答案为63；9.(2019秋•福田区校级期末)如图，AB∥CD，∠BED=110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD= 125° ．【分析】首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED=110°，即可求得∠ABE+∠CDE=250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的定义，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数．【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD∥FN，∴∠ABE+∠BEM=180°，∠CDE+∠DEM=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，∵∠BED=110°，∴∠ABE+∠CDE=250°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF=12∠ABE，∠CDF=12∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=12(∠ABE+∠CDE)=125°，∵∠DFN=∠CDF，∠BFN=∠ABF，∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=125°．故答案为125°10.(2022春•交城县期中)如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC=57°，∠AFC=63°，则∠BAF的度数为 46° ．【分析】延长AE 交CD 于点H ，延长AF 交CD 于点G ，设∠BAE =x ，∠FCG =y ，根据角平分线的定义可得∠BAF =2x ，∠ECG =2y ，然后利用平行线的性质可得∠AGC =2x ，∠AHC =x ，，再利用三角形的外角性质可得∠AEC =x +2y ，∠AFC =2x +y ，最后列出关于x ，y 的方程组，进行计算即可解答．【解答】解：延长AE 交CD 于点H ，延长AF 交CD 于点G ，设∠BAE =x ，∠FCG =y ，∵AE 和CF 分别平分∠BAF 和∠DCE ，∴∠BAF =2∠BAE =2x ，∠ECG =2∠FCG =2y ，∵AB ∥CD ，∴∠BAF =∠AGC =2x ，∠BAH =∠AHC =x ，∵∠AEC 是△EHC 的一个外角，∴∠AEC =∠AHC +∠ECG =x +2y ，∵∠AFC 是△GCF 的一个外角，∴∠AFC =∠AGC +∠FCG =2x +y ，∵∠AEC =57°，∠AFC =63°，∴x +2y =57o2x +y =63o ，解得：x =23o y =17o ，∴∠BAF =46°，故答案为：46°．11.(2022春•濠江区期末)已知直线AB ∥CD ，直线EF 分别截AB 、CD 于点G 、H ，点M 在直线AB 、CD 之间，连接MG ，MH ．(1)如图1，求证：∠M =∠AGM +∠MHC ；(2)如图2，若HM 平分∠GHC ，在HM 上取点Q ，使得∠HGQ =∠AGM ，求证：∠M +∠GQH =180°；(3)如图3，若GH 平分∠MGB ，N 在为HD 上一点，连接GN ，且∠GNH =∠M ，∠HGN =2∠MHC ，求∠MHG 的度数．【分析】(1)过点M作MN∥AB，利用平行线的猪脚模型，即可解答；(2)根据角平分线的定义可得∠MHG=∠CHM，再利用(1)的结论可得∠GMH=∠AGM+∠MHC，从而可得∠GMH=∠HGQ+∠MHG，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；(3)设∠AGM=2α，∠CHM=β，从而可得∠HGN=2β，再利用(1)的结论可得∠GMH=2α+β，从而可得∠GNH=2α+β，然后利用角平分线的定义可得∠MGH=90°-α，再利用三角形的外角可得∠CHG= 3β+2α，最后利用平行线的性质可得∠AGH+∠CHG=180°，从而可得α+β=30°，再利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】(1)证明：过点M作MN∥AB，∴∠AGM=∠GMN，∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠NMH=∠CHM，∵∠GMH=∠GMN+∠NMH，∴∠GMH=∠AGM+∠MHC；(2)证明：∵HM平分∠GHC，∴∠MHG=∠CHM，由(1)得：∠GMH=∠AGM+∠MHC，∵∠HGQ=∠AGM，∴∠GMH=∠HGQ+∠MHG，∵∠GQH+∠HGQ+∠MHG=180°，∴∠GMH+∠GQH=180°；(3)解：设∠AGM=2α，∠CHM=β，由(1)可得：∠GMH=∠AGM+∠MHC，∴∠GMH=2α+β，∵∠GNH=∠M，∴∠GNH=2α+β，∵∠HGN=2∠MHC，∴∠HGN=2β，∵GH平分∠MGB，∴∠MGH=12∠BGM=12(180°-∠AGM)=90°-α，∵∠CHG是△GHN的一个外角，∴∠CHG=∠HGN+∠GNH=2β+2α+β=3β+2α，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG=180°，∴∠AGM+∠MGH+∠CHG=180°，∴2α+90°-α+3β+2α=180°，∴α+β=30°，∴∠MHG=∠CHG-∠CHM=3β+2α-β=2β+2α=60°，∴∠MHG的度数为60°．12.(2022春•沂源县期末)在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，∠BAC=30°，∠ABC=60°．操作发现：(1)在图1中，∠1=46°，求∠2的度数．(2)某同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，如图2，发现∠2-∠1=120°，说明理由．【分析】(1)根据直角三角形的性质求出∠3，根据平行线的性质解答；(2)过点B作BD∥a，根据平行线的性质得到∠ABD=180°-∠2，∠DBC=∠1，结合图形计算，证明结论．【解答】解：(1)∵∠BCA=90°，∴∠3=90°-∠1=44°，∵a∥b，∴∠2=∠3=44°．(2)理由如下：过点B作BD∥a，则∠ABD=180°-∠2，∵a∥b，BD∥a，∴BD∥b，∴∠DBC=∠1，∵∠ABC=60°∴180°-∠2+∠1=60°，∴∠2-∠1=120°．13.(2022春•无棣县期末)如图1，已知∠BAE=∠AEC-∠ECD，点E在直线AB，CD之间．(1)求证：AB∥CD；(2)若AH平分∠BAE，FG∥CE．①如图2，若∠AEC=84°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．【分析】(1)过E作EN∥AB，可得∠BAE=∠AEN，∠BAE=∠AEC-∠ECD，证得∠ECD=∠CEN，故EF∥CD∥AB；(2)①HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系．【解答】解：(1)如图1，过点E作直线EN∥AB，∴∠BAE=∠AEN，∵∠BAE=∠AEC-∠ECD，∴∠BAE+∠ECD=∠AEC，∵∠AEN+∠CEN=∠AEC，∴∠ECD=∠CEN，∴EN∥CD，∴CD∥AB；(2)∵AH平分∠BAE，∴∠BAH=∠EAH，①∵HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，又CE∥FG，∴∠ECD=∠GFD=2x，又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=84°，∴∠BAH=∠EAH=42°-x，如图2，过点H作HM∥AB，∴∠BAH=∠AHM，∵HM∥AB，∴HM∥CD，∴∠DFH=∠MHF，∴∠AHF=∠BAH+∠DFH=42°-x+x=42°；②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH=∠CFH=90°-x，由(1)知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，如图3，过点H作HK∥AB，∴∠BAH=∠AHK，∵HK∥AB，∴HK∥CD，∴∠KHF+∠CFH=180°，∴∠AHF-y+∠CFH=180°，即∠AHF-y+90°-x=180°，∠AHF=90°+(x+y)，∴∠AHF=90°+1∠AEC．214.(2022春•墨玉县期末)问题情景：(1)如图①，已知AB∥DE．试∠B、∠E、∠BCE有什么关系？小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是∠B+∠E=∠BCE．请你帮他完善证明过程：如图②，过点C作CF∥AB∴ ∠B = ∠1 ( 两直线平行，内错角相等 )∵AB∥DE，AB∥CF∴ DE ∥ CF ．∴∠E= ∠2 ( 两直线平行，内错角相等 )∴∠B+∠E=∠1+∠2即∠B+∠E=∠BCE．(2)在图①中．若BC⊥CE，且∠B=52°，请你计算∠E的度数等于 38° ．(3)问题迁移：如图③．AD∥BC．当点P在射线AM上运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β请你猜想∠α、∠β与∠CPD之间有怎样的数量关系？并说明理由．【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等即可求解；(2)由(1)可知∠B+∠E=90°，即可求解；(3)由三角形外角性质可得∠CPD+∠CDP=∠OCP，从而可得∠CPD+∠α+∠ADO=∠β+∠BCO，由AD∥BC可得∠ADO=∠BCO，即可得出∠CPD+∠α=∠β．【解答】解：(1)过点C作CF∥AB，∴∠B=∠1(两直线平行，内错角相等)，∵AB∥DE，AB∥CF，∴DE∥CF，∴∠E=∠2(两直线平行，内错角相等)，∴∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠BCE，故答案为：∠B=∠1；两直线平行，内错角相等；DE；CF；∠2；两直线平行，内错角相等；(2)由(1)可知∠B+∠E=∠BCE，∵∠BCE=90°，∠B=52°，∴∠E=∠BCE-∠B=38°，故答案为：38°；(3)∠CPD+∠α=∠β，理由如下：∵∠CPD+∠CDP=∠OCP，∴∠CPD+∠α+∠ADO=∠β+∠BCO，∵AD∥BC，∴∠ADO=∠BCO，∴∠CPD+∠α=∠β．15.(2022春•抚远市期末)如图，已知AD∥BC，AB∥CD，点E在线段BC的延长线上，AE平分∠BAD，连接DE，∠ADC=2∠CDE，∠AED=60°．(1)求证∠ABC=∠ADC；(2)求∠CDE的度数．【分析】(1)根据平行线的性质即可得到答案．(2)根据∠ADE=3∠CDE，设∠CDE=x，∠ADE=3x，∠ADC=2x，根据平行线的性质得出方程90°-x+60°+3x=180°，求出x即可．【解答】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCE，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCE，∴∠ABC=∠ADC．(2)解：设∠CDE=x，则∠ADC=2x，∵AB∥CD，∴∠BAD=180°-2x，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD=12∠BAD=90°-x，∵AD∥BC，∴∠BEA=∠EAD=90°-x，∴∠BED+∠ADE=180°，∴90°-x+60°+3x=180°，∴x=15°，∴∠CDE=15°．16.(2022春•来宾期末)如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC=30°，∠ACB=90°．(1)若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC= 90 °；(2)若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的值；(3)如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求∠GEN∠BDF的值．【分析】(1)延长BC交MN于点D，根据平行线的性质可得∠PBC=∠ADC，再利用三角形的外角可得∠ACB=∠ADC+∠MAC，然后利用等量代换即可解答；(2)根据已知可得∠AEN=∠A=30°，再利用对顶角相等可得∠CEM=30°，然后利用(1)的结论可得：∠PDC=60°，最后利用对顶角相等即可解答；(3)利用角平分线的定义设∠CEM=∠CEG=x，从而利用平角定义可得∠GEN=180°-2x，再利用(1)的结论可得：∠PDC=90°-x，然后利用对顶角相等可得∠BDF=90°-x，进行计算即可解答．【解答】解：(1)延长BC交MN于点D，∵PQ∥MN，∴∠PBC=∠ADC，∵∠ACB是△ACD的一个外角，∴∠ACB=∠ADC+∠MAC，∴∠ACB=∠PBC+∠MAC=90°，故答案为：90；(2)∵∠AEN=∠A，∠BAC=30°，∴∠AEN=∠A=30°，∴∠CEM=∠AEN=30°，∠ACB=∠PDC+∠MEC，∴∠PDC=∠ACB-∠MEC=60°，∴∠BDF=∠PDC=60°，∴∠BDF的度数为60°；(3)∵CE平分∠MEG，∴∠CEM=∠CEG，设∠CEM=∠CEG=x，∴∠GEN=180°-∠CEM-∠CEG=180°-2x，利用(1)的结论可得：∠ACB =∠PDC +∠MEC ，∴∠PDC =∠ACB -∠MEC =90°-x ，∴∠BDF =∠PDC =90°-x ，∴∠GEN ∠BDF =180O -2x 90o -x=2，∴∠GEN ∠BDF的值为2．17.(2022春•咸安区期末)(1)如图1，已知AB ∥CD ，∠AEP =40°，∠PFD =110°，求∠EPF 的度数．(2)如图2，AB ∥CD ，点P 在AB 的上方，问∠PEA ，∠PFC ，∠EPF 之间有何数量关系？并说明理由；(3)如图3，在(2)的条件下，已知∠EPF =60°，∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线交于点G ，求∠G 的度数．【分析】(1)延长EP 交CD 于点G ，利用平行线的性质可得∠PGF =40°，再利用平角定义可得∠PFG =70°，然后利用三角形的外角进行计算即可解答；(2)设AB 与PF 交于点M ，先利用三角形的外角可得∠PMA =∠PEA +∠EPF ，再利用平行线的性质可得∠PMA =∠PFC ，然后利用等量代换可得∠PFC =∠PEA +∠EPF ，即可解答；(3)利用(2)的结论可得∠EPF =∠PFC -∠PEA =60°，再利用角平分线的性质可得∠GEA =12∠AEP ，∠GFC =12∠PFC ，然后利用(2)的结论可得∠G =∠GFC -∠GEA =12(∠PFC -∠AEP )，进行计算即可解答．【解答】解：(1)延长EP 交CD 于点G ，∵AB ∥CD ，∴∠AEG =∠PGF =40°，∵∠PFD =110°，∴∠PFG =180°-∠PFD =70°，∵∠EPF 是△PFG 的一个外角，∴∠EPF =∠PGF +∠PFG =110°，∴∠EPF 的度数为110°；(2)∠PFC =∠PEA +∠EPF ，理由：如图：设AB 与PF 交于点M ，∵∠PMA 是△PME 的一个外角，∴∠PMA =∠PEA +∠EPF ，∵AB ∥CD ，∴∠PMA =∠PFC ，∴∠PFC =∠PEA +∠EPF ；(3)由(2)可得：∠PFC =∠PEA +∠EPF ，∴∠EPF =∠PFC -∠PEA =60°，∵EG 平分∠AEP ，FG 平分∠PFC ，∴∠GEA =12∠AEP ，∠GFC =12∠PFC ，由(2)得：∠GFC =∠G +∠GEA ，∴∠G =∠GFC -∠GEA=12∠PFC -12∠AEP =12(∠PFC -∠AEP )=12×60°=30°，∴∠G 的度数为30°．18.(2022春•上虞区期末)如图1，已知点E ，F 分别是直线AB ，CD 上的点，点M 在AB 与CD 之间，且AB ∥CD ．(1)若∠EMF =80°，则∠AEM +∠CFM = 80° ．(2)如图2，在图1的基础上，作射线EN ，FN 交于点N ，使∠AEN =13∠AEM ，∠CFN =13∠CFM ，设∠EMF =α，猜想∠ENF 的度数(用α表示)，并说明理由．(3)如图3，在图1的基础上，分别作射线EP ，FP 交于点P ，作射线EQ ，FQ 交于点Q ，若∠AEP =1m ∠AEM ，∠CFP =1m ∠CFM ，∠BEQ =1n ∠BEM ，∠DFQ =1n∠DFM ，请直接写出∠P 与∠Q 间的数量关系．【分析】(1)过点M 作MP ∥AB ，利用平行线的性质，把∠AEM +∠CFM 转化为∠EMF ，从而求得度数．(2)过点M 作MP ∥AB ，过点N 作NQ ∥AB ，利用平行线的性质，把∠EMF 转化为∠AEM +∠CFM ，把∠ENF 转化为∠AEN +∠CFN ，得出∠ENF =13∠EMF ，从而用α表示出∠ENF 的度数．(3)利用(2)的结论，同时利用两直线平行，同旁内角互补得出∠BEM +∠DFM +∠M =360°，进而找到∠P 与∠Q 间的数量关系．【解答】解：(1)过点M 作MG ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥MG ，∴∠AEM =∠EMG ，∠GMF =∠CFM ，∴∠AEM +∠CFM =∠EMG +∠GMF =∠EMF =80°．故答案为：80°．(2)∠ENF =13α．理由如下：过点M 作MG ∥AB ，由(1)知，∠EMF =∠AEM +∠CFM ，过点N 作NH ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥NH ，∴∠AEN =∠ENH ，∠HNF =∠CFN ，∴∠ENF =∠ENH +∠HNF =∠AEN +∠CFN ，∵∠AEN =13∠AEM ，∠CFN =13∠CFM ，∴∠ENF =13∠AEM +13∠CFM =13(∠AEM +∠CFM )=13∠EMF ，∵∠EMF =α，∴∠ENF=13α．(3)n∠Q+m∠P=360°．理由如下：由(2)的结论可知，∠P=1m∠M，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，∠BEM+∠DFM+∠M=360°，∵∠BEQ=1n ∠BEM，∠DFQ=1n∠DFM，∴∠Q=1n ∠BEM+1n∠DFM，=1n(∠BEM+∠DFM)=1n(360°-∠M)，∴∠M=360°-n∠Q，∵∠M=m∠P，∴360°-n∠Q=m∠P，即n∠Q+m∠P=360°．19.(2022春•西岗区期末)如图1，AB∥CD，点P，Q分别在AB，CD上，点E在AB，CD之间．连接PE，QE，PE⊥QE．(1)直接写出∠BPE与∠DQE的数量关系为 ∠BPE+∠DQE=90° ；(2)如图2，∠APE的平分线PG和∠CQE的平分线QH的反向延长线相交于点G，求∠G的度数；(3)如图3，M为线段PE上一点，连接QM，∠BPE和∠MQD的平分线相交于点N，直接写出∠PNQ和∠MQE的数量关系为 2∠PNQ-∠MQE=90° ．【分析】(1)延长PE交CD于点F，根据垂直定义可得∠PEQ=90°，根据平行线的性质可得∠BPE=∠PFC，然后再利用三角形的外角可得∠DQE+∠PFC=90°，即可解答；(2)过点G作GF∥CD，从而可得∠HQC=∠HGF，再利用平行线的性质可得∠PGF=180°-∠APG，利用(1)的结论可得∠APE+∠CQE=270°，然后利用角平分线的定义可得∠APG+∠CQH=135°，最后根据∠HGP=∠PGF-∠HGF=180°-∠APG-∠HQC，进行计算即可解答；(3)根据角平分线的定义可得∠BPE=2∠BPN，∠MQN=∠DQN，再利用猪脚模型可得∠BPE+∠DQE=90°，∠BPN+∠DQN=∠PNQ，再利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：(1)延长PE交CD于点F，∵PE ⊥QE ，∴∠PEQ =90°，∵AB ∥CD ，∴∠BPE =∠PFC ，∵∠PEQ 是△QEF 的一个外角，∴∠PEQ =∠DQE +∠PFC =90°，∴∠BPE +∠DQE =90°，故答案为：∠BPE +∠DQE =90°，(2)过点G 作GF ∥CD ，∴∠HQC =∠HGF ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥FG ，∴∠PGF =180°-∠APG ，由(1)得：∠BPE +∠DQE =90°，∴∠APE +∠CQE =360°-(∠BPE +∠DQE )=270°，∵PG 平分∠APE ，QH 平分∠CQE ，∴∠APG =12∠APE ，∠CQH =12∠CQE ，∴∠APG +∠CQH =12(∠APE +∠CQE )=135°，∵∠HGP =∠PGF -∠HGF=180°-∠APG -∠HQC=45°，∴∠HGP 的度数为45°；(3)2∠PNQ -∠MQE =90°，理由：∵PN 平分∠BPE ，QN 平分∠MQD ，∴∠BPE =2∠BPN ，∠MQN =∠DQN ，由(1)可得：∠BPE +∠DQE =90°，∴2∠BPN +∠DQN +∠EQN =90°，由(1)可得：∠BPN +∠DQN =∠PNQ ，∴∠PNQ +∠BPN +∠MQN -∠MQE =90°，∴∠PNQ +∠BPN +∠DQN -∠MQE =90°，∴∠PNQ+∠PNQ-∠MQE=90°，∴2∠PNQ-∠MQE=90°，故答案为：2∠PNQ-∠MQE=90°．20.(2022春•宜春期末)问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P(点P不在直线AC上)，连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．(1)端点A、C同向：如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC-(∠A+∠C)= 0 度；如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+(∠A+∠C)= 360 度；(2)端点A、C反向：如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A-∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC-(∠A-∠C)= 180 度．【分析】(1)过点P作PE∥AB，分别利用猪脚模型，铅笔模型即可解答；(2)过点P作PE∥CD，利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：(1)如图：过点P作PE∥AB，∴∠A=∠APE，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C=∠EPC，∵∠APC=∠APE+∠EPC，∴∠APC=∠A+∠C，∴∠APC-(∠A+∠C)=0度，故答案为：0；如图：过点P作PE∥AB，∴∠A+∠APE=180°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C+∠EPC=180°，∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC=360°，∴∠APC+∠A+∠C=360°，∴∠APC+(∠A+∠C)=360度，故答案为：360；(2)∠APC+∠A-∠C=180°，证明：过点P作PE∥CD，∴∠C=∠EPC，∵AB∥CD，∴PE∥AB，∴∠A+∠APE=180°，∴∠A+∠APC-∠EPC=180°，∴∠A+∠APC-∠C=180°，∴∠APC+∠A-∠C=180°；如图：过点P作PE∥AB，∴∠A=∠APE，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C+∠EPC=180°，∴∠C+∠APC-∠APE=180°，∴∠C+∠APC-∠A=180°，∴∠APC-(∠A-∠C)=180°，故答案为：180．。
平行线常考经典较难题、压轴题例题和巩固练习
平行线例1 翻折1、如图，把一张长方形纸带沿着直线GF 折叠，∠CGF=30°,则∠1的度数是．2、如图，生活中将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠2=100°，那么∠1的度数为 ．例2 旋转1、将一副直角三角尺ABC 和CDE 按如图方式放置,其中直角顶点C 重合，∠D=45°，∠A=30°．将三角形CDE 绕点C 旋转，若DE ∥BC,则直线AB 与直线CE 的较大的夹角∠1的大小为 度．1A EDBC例3 平行线的性质1、已知，直线AB ∥DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．（1）如图1，点P 在直线AB 、CD 之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC ．（2)如图2，点P 在直线AB 、CD 之间，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系,并说明理由．（3）如图3，点P 落在CD 外,∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，∠AKC 与∠APC 有何数量关系?并说明理由．2、如图，两直线AB、CD平行,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= ．3、已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；(2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系,并证明你的结论;（3）如图3,∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则= ．例4 平移1、如图1所示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120°（1）说明OB∥AC成立的理由．（2）如图2所示，若点E,F在BC上，且∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．(3）在（2)的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化?若变化,请说明理由；若不变，请求出这个比值．（4)在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数．2、如图,已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C,D．(1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时,∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是．例5 作图—应用1、（1）如图1,一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水,则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（2）如图2，在一条河的两岸有A,B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥,桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示．试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置．图2图1BA2、如图，平面上有直线a及直线a外的三点A、B、P．（1）过点P画一条直线m，使得m∥a；（2)过B作BH⊥直线m,并延长BH至B′，使得BB′为直线a、m之间的距离;（3）若直线a、m表示一条河的两岸,现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，试问桥应建在何处？画出示意图．【巩固练习】1、如图，AB∥DE，∠ABC的角平分线BP和∠CDE的角平分线DK的反向延长线交于点P且∠P﹣2∠C=57°，则∠C等于( ）A．24° B．34° C．26° D．22°第1题图第2题图2、如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K ﹣∠H=27°，则∠K=（）A．76° B．78° C．80° D．82°3、在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2,l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（)A．平行 B．垂直C．平行或垂直 D．无法确定4、如图,AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE,∠1+∠2=90°，M，N分别是BA,CD延长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值,其中结论正确的有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个第4题图第5题图5、如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于( ）A．180° B．360° C．540° D．720°6、如图所示,AB∥EF,∠B=35°，∠E=25°，则∠C+∠D的值为．第7题图第8题图第9题图7、如图所示，AB∥CD，∠E=35°,∠C=20°，则∠EAB的度数为．8、如图，AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B﹣∠D=24°，则∠GEF= ．9、已知D是△ABC的边BC所在直线上的一点，与B，C不重合，过D分别作DF∥AC交AB所在直接于F,DE ∥AB交AC所在直线于E．若∠A=80°，则∠FDE的度数是．10、如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上,过点B作BG⊥AD,垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合）,连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3)若直线AD的位置如图3所示，(2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG 与∠AHB的数量关系．11、已知AM∥CN,点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2)如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证:∠ABD=∠C;（3)如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数．12、如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角,求∠BAE的大小．13、已知:如图,BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题:（1）如图①所示,求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据)（2）如图②,若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．（ⅰ)求∠EOC的度数; (ⅱ)求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．（在横线上填上答案即可）14、已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE,那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，点E在直线BD的右侧,BF,DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．。
平行线有关模型汇总
直线平行的条件和性质1. 猪蹄模型已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D=∠BED 。
2. 铅笔模型如图,已知: CD AB ∥,求证: ∠+B ∠D +∠=BED 360°. (至少用三种方法)3. 其他4. 角平分线如图1，在ABC ∆中,BE 平分,ABC CE ∠平分ACB ∠.若80A ∠=︒，则BEC ∠= ;若A n ∠=︒，求BEC ∠用含n 的代数式表示)如图3，在ABC ∆中，BO 平分外角,CBD CO ∠平分外角BCE ∠.若A n ∠=︒，求BOC ∠.如图5，在ABC ∆中，BE 平分ABC ∠, CE 平分外角ACM ∠.若A n ∠=︒，求BEC ∠.5. “8”字形 如图b 所示的“”字型，其也存在着一个等式：1+2=3+4∠∠∠∠，请证明；6. “A ”字型如图a 所示的“”字型，我们可称其为“A 字型”或“塔形”，其存在一个等式：1+2=3+4∠∠∠∠，请证明；7. 燕尾形如图c所示，其也存在着如下等式：D A B C∠=∠+∠+∠，请证明一．考点：平行线的性质，角度的计算与证明．二．重难点：常见的几种两条直线平行的结论1．两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；2．两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线平行；3．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线垂直．三．易错点：1．性质是由图形的“位置关系”决定“数量关系”；2．两条平行线之间的距离其实可看成点到直线的距离．题型一：猪蹄模型例1. 如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为（）A． 15° B． 25° C． 35° D． 55°题型二：铅笔模型∠+∠+∠+∠=（）例2. 如图，AB∥CD，A E F CA ． 180°B ． 360°C ． 540°D ． 720°题型三：铅笔、猪蹄模型综合压轴例3. 某学习小组发现一个结论：已知直线a ∥b ，若直线c ∥a ，则c ∥b ．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：已知直线AB ∥CD ，点E 在AB 、CD 之间，点P 、Q 分别在直线AB 、CD 上，连接PE 、EQ ． （1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ 与∠APE +∠CQE 之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，PF 平分∠BPE ，QF 平分∠EQD ，当∠PEQ ＝140°时，求出∠PFQ 的度数； （3）如图3，若点E 在CD 的下方，PF 平分∠BPE ，QH 平分∠EQD ，QH 的反向延长线交PF 于点F ．当∠PEQ ＝70°时，请求出∠PFQ 的度数．题型三：其他例4. （周练）如图，已知AB ∥CD ，则∠A 、∠C 、∠P 的关系为.FE DCBA练习1. 如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为．题型四：翻折例5. 如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于______例6. 如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1＋∠2＝140°，则∠B＋∠C＝°．题型五：角平分线例7. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．（1）如图1，已知∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数．（2）如图2，已知∠A＝90°，求∠BOC的度数．（3）如图1，设∠A＝m°，求∠BOC的度数．例8. 如图13, 1BA 和1CA 分别是ABC ∆的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的角平分线，2CA 是1A CD ∠的角平分线，3BA 是2A BD ∠的角平分线，3CA 是2A CD ∠的角平分线，若A α∠=，则2018A ∠为 .1. 如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数为（ ）A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°2. 如图，将ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在点'A 处，且'A B 平分ABC ∠，'A C 平分ACB ∠，若'110BA C ∠=︒，则12∠+∠的度数为（ ） A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°3. 如图，将矩形纸带ABCD ，沿EF 折叠后，C 、D 两点分别落在C ′、D ′的位置，经测量得∠EFB=65°，则∠AED ′的度数是（ ）A ． 65°B ． 55°C ． 50°D ． 25°4. 如图，已知30B ∠=︒，55BCD ∠=︒，45CDE ∠=︒，20E ∠=︒，求证：AB ∥CD ．AFBC ED3.5. 如图，已知AB ∥DE ，BF ，EF 分别平分∠ABC 与∠CED ，若140BCE ∠=︒，求BFE ∠的度数．1. 如图，ABCDE 是封闭折线，则∠A 十∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 为_______度．2. 如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝150°，则∠θ的度数是_______．3. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．若BD ∥AE ，∠DBC ＝20°，则∠CAE 的度数是A ．40°B ．60°C ．70°D ．80° 4. 如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°A BCD E1.如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B=____度．2. 如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED=70o，则∠BFD=________．3. 将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开．如果∠1=55o，那么∠2等于( )A．55o B．60o C．65o D．70o4. 问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP ＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．5. 在△ABC中，∠A＝40°（1）如图1，若两内角∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，则∠P＝，∠A与∠P 之间的数量关系是．为什么有这样的关系？请证明它；（2）如图2，若内角∠ABC、外角∠ACE的角平分线交于点P，则∠P＝，∠A与∠P 之间的数量关系是；（3）如图3，若两外角∠EBC、∠FCB的角平分线交于点P，则∠P＝，∠A与∠P 之间的数量关系是．6. 【探究发现】如图1，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试猜想∠P与∠A 之间的数量关系，并证明你的猜想．【迁移拓展】如图2，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点，即∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．【应用创新】已知，如图3，AD、BE相交于点C，∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分线交于点P，∠A＝35°，∠E＝25°，则∠BPD＝．。
专题2.3 平行线中的常见模型(压轴题专项讲练)(北师大版)(解析版)
专题2.3 平行线中的常见模型【典例1】如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P 作PE//AB，通过平行线性质可求∠APC的度数．（1）请你按小明的思路，写出∠APC度数的求解过程；（2）如图3，AB//CD，点P在直线BD上运动，记∠PAB=∠α，∠PCD=∠β．①当点P在线段BD上运动时，则∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；②若点P不在线段BD上运动时，请直接写出∠APC与∠α、∠β之间的数量关系．（1）过P作PE//AB，利用平行线的性质即可得出答案；（2）①过P作PE//AB，再利用平行线的性质即可得出答案；②分P在BD延长线上和P在DB延长线上两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案．解：（1）如图2，过P作PE//AB∵AB//CD，∴PE//AB//CD，∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（2）①∠APC=∠α+∠β，理由：如图3，过P作PE//AB，∵AB//CD，∴AB//PE//CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；②∠APC=|∠α−∠β|．如备用图1，当P在BD延长线上时，∠APC=∠α−∠β；理由：如备用图1，过P作PG//AB，∵AB//CD，∴AB//PG//CD，∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，∴∠APC=∠APG−∠CPG=∠α−∠β；如备用图2所示，当P在DB延长线上时，∠APC=∠β−∠α；理由：如备用图2，过P作PG//AB，∵AB//CD，∴AB//PG//CD，∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，∴∠APC=∠CPG−∠APG=∠β−∠α；综上所述，∠APC=|∠α−∠β|．1．（2021·全国·九年级专题练习）在图中，若AB//CD，又得到什么结论？【思路点拨】根据图①可得∠E=∠B+∠D，根据图②可得∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，即可根据规律得出题目的结论．【解题过程】解：①如图：过点E作EF//AB，∵AB//CD，EF//AB,∴AB//EF//CD，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∴∠E=∠B+∠D；②如图，过E点作EH//AB，过F点作FJ//AB，过G点作GI//AB，∵EH//AB，FJ//AB，GI//AB，AB//CD，∴AB//EH//JF//GI//CD，，（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯【思路点拨】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；（4）由（2）（3）类比可得答案．【解题过程】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案为：540°；（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，故答案为：（n-1）×180°．3．（2021春·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线l1//l2，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【思路点拨】（1）过点P作PE//l1，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出PE//l1//l2，再由“两直线平行，内错角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点P的两种情况分类讨论：①当点P在直线l1上方时；②当点P在直线l2下方时，同理（1）可得∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论．【解题过程】解：（1）∠PAC+∠PBD=∠APB．过点P作PE//l1，如图1所示．∵PE//l1，l1//l2，∴PE//l1//l2，∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠PAC+∠PBD=∠APB．（2）结论：当点P在直线l1上方时，∠PBD−∠PAC=∠APB；当点P在直线l2下方时，∠PAC−∠PBD=∠APB．①当点P在直线l1上方时，如图2所示．过点P作PE//l1．∵PE//l1，l1//l2，∴PE//l1//l2，∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠BPE−∠APE，∴∠PBD−∠PAC=∠APB．②当点P在直线l2下方时，如图3所示．过点P作PE//l1．∵PE//l1，l1//l2，∴PE//l1//l2，∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠APE−∠BPE，∴∠PAC−∠PBD=∠APB．4．（2022春·山东聊城·七年级统考阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．（1）如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；（2）如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．【思路点拨】（1）过点M作MN∥AB，由AB∥CD，可知MN∥AB∥CD．由此可知：∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，故∠AGM+∠CHM=∠GMN+∠HMN=∠M；（2）由（1）可知∠AGM+∠CHM=∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠AGM＝∠HGQ，可知：∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形内角和是180°，可得∠GQH=180°−∠M．【解题过程】（1）解：如图：过点M作MN∥AB，∴MN∥AB∥CD，∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，∵∠M=∠GMN+∠HMN，∴∠M=∠AGM+∠CHM．（2）解：∠GQH=180°−∠M，理由如下：如图：过点M作MN∥AB，由（1）知∠M=∠AGM+∠CHM，∵HM平分∠GHC，∴∠CHM=∠GHM，∵∠AGM＝∠HGQ，∴∠M=∠HGQ+∠GHM，∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°，∴∠GQH=180°−∠M．5．（2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．【思路点拨】（1）利用平行线的性质解决问题即可；（2）①利用基本结论∠EMF=∠BEM+∠MFD求解即可；②利用基本结论∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，求解即可．【解题过程】∴∠BEF+∠DFE=180°∵EG平分∠BEF，FG平分∠BEF，∠GFD∴∠GEB=12∴∠GEB+∠GFD=1∠BEF【思路点拨】【解题过程】（1）解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；故答案为：90°；（2）解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°；（3）解：如图2，过点F作FH//EP，由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，【思路点拨】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；（2）①过P作PE//AD交CD于E，由平行线的性质，得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得到答案；②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点P在BA延长线时；当P在BO之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．【解题过程】解：（1）作PQ∥EF，如图：∵EF//MN，∴EF//MN//PQ，∴∠PAF+∠APQ=180°，∠PBN+∠BPQ=180°，∵∠APB=∠APQ+∠BPQ∴∠PAF+∠PBN+∠APB=360°；（2）①∠CPD=∠α+∠β；理由如下：如图，过P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；②当点P在BA延长线时，如备用图1：【思路点拨】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义可求∠M的度数；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；（3）先由已知得到∠ABF=n∠ABM，∠CDF=n∠CDM，由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．【解题过程】【思路点拨】【解题过程】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，过点P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如图，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∵AP⊥PD，【思路点拨】（1）根据平行线的性质及三角形外角性质可得答案；（2）①由角平分线的定义得∠EPN＝30°，再根据三角形外角性质可得答案；②利用三角形外角性质列出方程，通过解方程即可得到问题的答案．【解题过程】解：（1）如图1，∵AB//CD，PF⊥CD，∴PF⊥AB，∴∠AMP＝90°，∵∠FPE＝60°，∴∠AEP＝∠FPE +∠AMP＝150°；（2）如图2，①当PN平分∠EPF时，∠EPN＝30°时，11．（2022春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A 在直线MN、PQ之间．（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．【思路点拨】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF ＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．【解题过程】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．12．（2021春·浙江·七年级期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC，CD、DE，做成折线ABCDE，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°，判别AB是否平行于ED，并说明理由；（2）如图3，若∠C=∠D=25°，调整线段AB、BC使得AB//CD，求出此时∠B的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE，求出此时∠B的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．【思路点拨】（1）过点C作CF∥AB，利用平行线的判定和性质解答即可；（2）分别画图3和图4，根据平行线的性质可计算∠B的度数；（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∠B的度数．【解题过程】解：（1）AB∥DE，理由是：如下图，过点C作CF∥AB，∴∠B=∠BCF=50°，∵∠BCD=75°，∴∠DCF=25°，∵∠D=25°，∴∠D=∠DCF=25°，∴CF∥DE，∴AB∥DE；（2）如下图，∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD=25°；如图4：∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠ABC=180°-25°=155°；（3）由（1）得：∠B=85°-25°=60°；如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD，∴∠FCD=∠D=25°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°-25°=60°，∵AB∥CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠B=120°；如图6，∵∠C=85°，∠D=25°，∴∠CFD=180°-85°-25°=70°，∵AB∥DE，∴∠B=∠CFD=70°，如图7，同理得：∠B=25°+85°=110°，综上所述，∠B的度数为60°或120°或70°或110°．13．（2022春·广东珠海·七年级统考期中）已知AM//CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，点B在两条平行线外，则∠A与∠C之间的数量关系为______；（2）点B在两条平行线之间，过点B作BD⊥AM于点D．①如图2，说明∠ABD=∠C成立的理由；②如图3，BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．【思路点拨】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【解题过程】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，∴BG//CN,∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【思路点拨】【解题过程】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．【思路点拨】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．【解题过程】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE；（2）过点M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，【思路点拨】（1）过点P作PH//AB，利用平行线的性质即可求解；（2）根据（1）的结论结合角平分线的定义，平角的定义，运用整体思想即可求解．【解题过程】解：（1）如图2，当点P在EF的右侧时，过点P作PM//AB，则PM//CD，∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∵∠EPF＝100°，∴∠PEA+∠PFC＝100°，∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°，∴∠DFQ+∠BEQ＝130°，∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°，故答案为：130°；②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下：∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴∠PFC＋∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF +2∠EQF＝360°；③∵Q1E，Q1F分别平分∠QEB和∠QFD，∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°，∴∠PFC＋∠PEA +22(∠DFQ1 +∠BEQ1)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF +22∠EQ1F＝360°；同理可得：∠EPF +23∠EQ2F＝360°，∠EPF +24∠EQ3F＝360°，……∴∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°．。
专题03 平行线四大模型(专项训练)(解析版)
专题03 平行线四大模型（专项训练）1．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】D【解答】解：如图，根据两直线平行，内错角相等，∴∠1＝45°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∴∠α＝∠1+30°＝75°．故选：D．2．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1＝55°，则∠2的度数是（）A．50°B．70°C．80°D．110°【答案】B【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵a∥b，∠1＝55°，∴∠BAD＝∠CAD＝55°，∴∠2＝180°﹣55°﹣55°＝70°．故选：B．3．如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180°B．360°C．270°D．540°【答案】B【解答】解：过点P作P A∥a，∵a∥b，P A∥a，∴a∥b∥P A，∴∠1+∠MP A＝180°，∠3+∠APN＝180°，∴∠1+∠MP A+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°．故选：B．4．把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝38°，则∠2的度数为．【答案】128°【解答】解：如图，∵∠1＝∠3＝38°，∴∠2＝90°+∠3＝90°+38°＝128°．故答案为：128°．5．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝140°，∠D＝120°，则∠C的度数为度．【答案】100【解答】解：如图所示：过点C作CF∥AB．∵AB∥DE，∴DE∥CF；∴∠BCF＝180°﹣∠B＝40°，∠DCF＝180°﹣∠D＝60°；∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝100°．故答案为：100．6．问题情境（1）如图①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，试探究直线AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由．小明给出下面正确的解法：直线AB与CD的位置关系是AB∥CD．理由如下：过点E作EF∥AB（如图②所示），所以∠B+∠BEF＝180°（依据1），因为∠B+∠BED+∠D＝360°（已知），所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，所以∠FED+∠D＝180°，所以EF∥CD（依据2），因为EF∥AB，所以AB∥CD（依据3）．交流反思上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？“依据1”：，“依据2”：，“依据3”：，类比探究（2）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件时，有AB ∥CD．拓展延伸（3）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件时，有AB∥CD．【解答】解：（1）“依据1”：两直线平行，同旁内角互补，“依据2”：同旁内角互补，两直线平行，“依据3”：平行于同一条直线的两直线平行，故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行，（2）如图，当∠B、∠BEF、∠EFD、∠D满足条件∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°时，有AB∥CD．理由：过点E、F分别作GE∥HF∥CD．则∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFD+∠CDF＝180°，∴∠GEF+∠EFD+∠FDC＝360°；又∵∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°，∴∠B+∠BEG＝180°，∴AB∥GE，∴AB∥CD；故答案为：∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°；（3）如图，当∠B、∠BEF、∠EFD、∠D满足条件∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD时，有AB∥CD．理由：过点E、F分别作GE∥FH∥CD．则∠GEF＝∠EFH，∠D＝∠HFD，∵∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD，即∠B+∠BEG+∠GEF+∠D＝180°+∠EFH+∠HFD，∴∠B+∠BEG＝180°，∴AB∥GE，∴AB∥CD，故答案为：∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD．7．如图，a∥b，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大小是（）A．20°B．25°C．30°D．45°【答案】C【解答】解：如图：过点B作BC∥b，∴∠1＝∠CBD＝15°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝30°，∵a∥b，∴a∥BC，∴∠2＝∠ABC＝30°，故选：C．8．将长方形纸条按如图方式折叠，折痕为DE，点A，B的对应点分别为A′，B′，若∠α＝∠β﹣20°，则∠β的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80【答案】C【解答】解：如图：延长EB′交AF于点G，∵四边形ABHF是矩形，∴∠B＝90°，AF∥BH，由折叠得：∠B＝∠A′B′E＝90°，∠BEB′＝2∠BED＝2∠β，∴∠CB′G＝180°﹣∠A′B′E＝90°，∵AF∥BH，∴∠FGB′＝∠BEB′＝2∠β，∵∠FGB′是△CGB′的一个外角，∴∠FGB′＝∠GCB′+∠CB′G，∴2∠β＝∠α+90°，∵∠α＝∠β﹣20°，∴2∠β＝∠β﹣20°+90°，∴∠β＝70°，故选：C．9．如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．80°【答案】B【解答】解：反向延长DE交BC于M，如图：∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝80°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．故选：B．10．如图，将直尺与30角的三角尺叠放在一起，若∠2＝50°，则∠1的大小是（）A．40°B．50°C．70°D．80°【答案】C【解答】解：如图：由题意得，∠3＝60°，∵∠2＝50°，AB∥CD，∴∠4＝∠2＝50°，∴∠1＝180°﹣60°﹣50°＝70°，故选：C．11．如图，一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OA交于点E，则∠DEO的度数为（）A．85°B．75°C．70°D．60°【答案】B【解答】解：过点E作EF∥CO，∴∠AEF＝∠A＝30°，∵AB∥CO，∴EF∥CO，∴∠FEC＝∠C＝45°，∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝75°，∴∠DEO＝∠AEC＝75°，故选：B．12．如图，船C在观测站A的北偏东35°方向上，在观测站B的北偏西20°方向上，那么∠ACB＝（）度．A．20°B．35°C．55°D．60°【答案】C【解答】解：如图：过点C作CF∥AD，由题意得：∠DAC＝35°，∠CBE＝20°，AD∥EB，∴CF∥EB，∴∠FCB＝∠CBE＝20°，∵CF∥AD，∴∠ACF＝∠DAC＝35°，∴∠ACB＝∠ACF+∠FCB＝55°，故选：C．13．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：①由题意得：∠G＝∠MPN＝90°，∴GE∥MP，故①正确；②由题意得∠EFG＝30°，∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正确；③过点F作FH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD，∴∠HFN＝∠MNP＝45°，∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③错误；④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，故④错误．综上所述，正确的有2个．故选：B．14．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若∠1＝65°，则∠2＝度．【答案】25【解答】解：如图，过直角顶点作l3∥l1，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥l3，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，∵∠1＝65°，∴∠2＝25°．故答案为：25．15.如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝；（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为．（用含n的式子表示）【答案】270°n°．【解答】解：（1）过点M作MP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MP，∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，∵∠M＝∠1+∠2＝90°，∴∠MEB+∠MFD＝90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．故答案为：270°；（2）过点N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ，∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，∵∠NEB＝∠MEB，∠DFN＝MFD，∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN＝（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，∴∠ENF＝∠EMF＝n°．故答案为：n°．16．小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠P AC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接P A、PB（BD＜AC），直接写出∠P AC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．【解答】解：猜想：如图1，过点P作PH∥AC，则∠P AC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠P AC+∠PBD，∵∠P AC＝15°，∠PBD＝40°，∴∠APB＝15°+40°＝55°．拓展：①如图1，当点P在线段CD上时，由猜想可知，∠APB＝∠P AC+∠PBD；②如图2，当点P在射线DP上时，过点P作PH∥AC，则∠P AC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠P AC﹣∠PBD；③如图3，当点P在射线CE上时，过点P作PH∥AC，则∠P AC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠P AC；综上所述，∠P AC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠P AC+∠PBD或∠APB ＝∠P AC﹣∠PBD或∠APB＝∠PBD﹣∠P AC．17．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，∴∠1＝∠BEO，∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，即：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：作OM∥AB，PN∥CD，如图2，∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．18．如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（）A．140°B．150°C．130°D．160°【答案】A【解答】解：过G作GM∥AB，∴∠2＝∠5，∵AB∥CD，∴MG∥CD，∴∠6＝∠4，∴∠G＝∠5+∠6＝∠2+∠4，∵FB、CG分别为∠EFG，∠ECD的角平分线，∴∠1＝∠2＝∠EFG，∠3＝∠4＝∠ECD，∴∠E+∠EFG+∠ECD＝210°，∵AB∥CD，∴∠ENB＝∠ECD，∴∠E+∠EFG+∠ENB＝210°，∵∠1＝∠E+∠ENB，∴∠1+∠EFG＝∠1+∠1+∠2＝210°，∴3∠1＝210°，∴∠1＝70°，∴∠EFG＝2×70°＝140°．故选：A．19．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°【答案】C【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．20．某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（）度A．360B．180C．250D．270【答案】D【解答】解：过点B作BG∥AE，∴∠BAE+∠ABG＝180°，∵AE∥CD，∴BG∥CD，∴∠C+∠CBG＝180°，∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C＝360°，∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，∵BA⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝270°，故选：D．。
平行线中的四大经典模型(浙教版)(解析版)
平行线中的四大经典模型【浙教版】【模型1 “猪蹄”型（含锯齿型）】1．（2020下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，AB∥CD，EF平分∠BED，∠DEF+∠D=66°，∠B−∠D=28°，则∠BED=．【答案】80°【分析】过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解．【详解】解：过E点作EM∥AB，∴∠B=∠BEM，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MED=∠D，∴∠BED=∠B+∠D，∵EF平分∠BED，∴∠DEF=1∠BED，2∵∠DEF+∠D=66°，∠BED+∠D=66°，∴12∴∠BED+2∠D=132°，即∠B+3∠D=132°，∵∠B-∠D=28°，∴∠B=54°，∠D=26°，∴∠BED=80°．故答案为：80°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键．2．（2023上·辽宁鞍山·七年级统考期中）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，∠BCD=n°，则∠BED的度数为．（用含n的式子表示）n°【答案】40°+12【分析】首先过点E作EF∥AB，由平行线的传递性得AB∥CD∥EF，再根据两直线平行，内错角相等，得n°，∠EDC=40°，再由出∠BCD=∠ABC=n°，∠BAD=∠ADC=80°，由角平分线的定义得出∠ABE=12两直线平行，内错角相等得出∠BEF=∠ABE=1n°∠FED=∠EDC=40°，由∠BED=∠BEF+∠FED即可2得出答案．【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，∵AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC=n°，∠BAD=∠ADC=80°，又∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC=12n°，∠EDC=12∠ADC=12×80°=40°，∵AB∥EF∥CD，∴∠BEF=∠ABE=12n°，∠FED=∠EDC=40°，∴∠BED=∠FED+∠BEF=40°+12n°，故答案为：40°+12n°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和角平分线的定义．3．（2023下·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线l1∥l2，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．(1)如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【答案】(1)∠PAC+∠PBD=∠APB(2)当点P在直线l1上方时，∠PBD−∠PAC=∠APB；当点P在直线l2下方时，∠PAC−∠PBD=∠APB．【分析】（1）过点P作PE∥l1，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出PE∥l1∥l2，再由“两直线平行，内错角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点P的两种情况分类讨论：①当点P在直线l1上方时；②当点P在直线l2下方时，同理（1）可得∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论．【详解】（1）解：∠PAC+∠PBD=∠APB．过点P作PE∥l1，如图1所示．∵PE∥l1，l1∥l2，∴PE∥l1∥l2，∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠PAC+∠PBD=∠APB．（2）解：结论：当点P在直线l1上方时，∠PBD−∠PAC=∠APB；当点P在直线l2下方时，∠PAC−∠PBD=∠APB．①当点P在直线l1上方时，如图2所示．过点P作PE∥l1．∵PE∥l1，l1∥l2，∴PE∥l1∥l2，∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠BPE−∠APE，∴∠PBD−∠PAC=∠APB．②当点P在直线l2下方时，如图3所示．过点P作PE∥l1．∵PE∥l1，l1∥l2，∴PE∥l1∥l2，∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠APE−∠BPE，∴∠PAC−∠PBD=∠APB．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．4．（2023下·山东聊城·七年级统考阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见详解(2)∠GQH=180°−∠M；理由见详解【分析】（1）过点M作MN∥AB，由AB∥CD，可知MN∥AB∥CD．由此可知：∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，故∠AGM+∠CHM=∠GMN+∠HMN=∠M；（2）由（1）可知∠AGM+∠CHM=∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠AGM＝∠HGQ，可知：∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形内角和是180°，可得∠GQH=180°−∠M．【详解】（1）解：如图：过点M作MN∥AB，∴MN∥AB∥CD，∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，∵∠M=∠GMN+∠HMN，∴∠M=∠AGM+∠CHM．（2）解：∠GQH=180°−∠M，理由如下：如图：过点M作MN∥AB，由（1）知∠M=∠AGM+∠CHM，∵HM平分∠GHC，∴∠CHM=∠GHM，∵∠AGM＝∠HGQ，∴∠M=∠HGQ+∠GHM，∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°，∴∠GQH=180°−∠M．【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．5．（2023下·福建莆田·七年级莆田第二十五中学校考阶段练习）如图，AB//CD，点E在直线AB，CD内部，且AE⊥CE．（1）如图1，连接AC，若AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD；（2）如图2，点M在线段AE上，①若∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由；∠ECD（n为正整数），当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并②若∠MCE=1n说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①∠BAE +12∠MCD =90°，理由见解析；②∠BAE +n n+1∠MCD =90°，理由见解析.【分析】（1）根据平行的性质可得∠BAC +∠DCA =180°，再根据AE ⊥CE 可得∠EAC +∠ECA =90°，根据AE 平分∠BAC 可得∠BAE =∠EAC ,等量代换可得∠ECD +∠EAC =90°，继而求得∠DCE =∠ECA ；（2）①过E 作EF ∥AB ，先利用平行线的传递性得出EF ∥AB ∥CD ，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案；②过E 作EF ∥AB ，先利用平行线的传递性得出EF ∥AB ∥CD ，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.【详解】（1）解：因为AB//CD ，所以∠BAC +∠DCA =180°，因为AE ⊥CE ，所以∠EAC +∠ECA =90°，因为AE 平分∠BAC ，所以∠BAE =∠EAC ，所以∠BAE +∠DCE =90°，所以∠EAC +∠DCE =90°，所以∠DCE =∠ECA ，所以CE 平分∠ACD ；（2）①∠BAE 与∠MCD 存在确定的数量关系：∠BAE +12∠MCD =90°， 理由如下： 过E 作EF ∥AB ，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+12∠MCD=90°；②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+nn+1∠MCD=90°，理由如下：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=1n∠ECD，∴∠BAE+nn+1∠MCD=90°.【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质. 6．（2023·全国·七年级专题练习）（1）如图1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求证：∠BFE=∠FEC（2）如图2，已知AB//CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，求证：∠AFC=34∠AEC【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）如图：延长BF、DC相较于E，由AB//CD可得∠ABF=∠E，再结合∠ABF=∠DCE可得∠DCE=∠E，即可得当BE//DE，最后运用两直线平行、内错角相等即可证明结论；（2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），再求出∠AEC和∠AFC，最后比较即可得到结论．【详解】（1）证明：如图：延长BF、DC相较于G∵AB//CD∴∠ABF=∠G∵∠ABF=∠DCE∴∠DCE=∠G∴BG//CE∴∠BFE=∠FEC；（2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，∵AB//CD，∴∠BAC+∠ACD=180°∴∠CAE+4x+∠ACE+4y=180°∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），∠F AC+∠FCA=180°-（3x+3y），∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）=180°-[80°-（4x+4y）]=4x+4y=4（x+y）∠AFC=180°-（∠F AC+∠FCA）=180°-[180°-（3x+3y））]=3x+3y=3（x+y），∴∠AFC=34∠AEC．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理的应用等知识点，灵活应用平行线的判定与性质以及三角形内角和定理正确的表示角成为解答本题的关键．7．（2017下·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，则∠F＝；(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【答案】(1)90°(2)∠F=∠E+30°，理由见解析(3)15°【分析】（1）如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB//CD，AB//FN，得到CD//FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN=180°，于是得到结论；（3）如图2，过点F作FH//EP，设∠BEF=2x°，则∠EFD=(2x+30)°，根据角平分线的定义得到∠PEF=1 2∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°，根据平行线的性质得到∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，于是得到结论．【详解】（1）解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；故答案为：90°；（2）解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°；（3）解：如图2，过点F作FH//EP，由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，设∠BEF=2x°，则∠EFD=(2x+30)°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°，∵FH//EP，∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，∵∠HFG=∠EFG−∠EFH=15°，∴∠P=15°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．8．（2020下·浙江绍兴·七年级统考期末）问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD 的度数．经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．(1)当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．(3)问题拓展：如图4，MA1∥NA n，A1−B1−A2−⋯−B n−1−A n是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为．【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由见解析(2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β(3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠B n−1【分析】（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；（2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解．【详解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠B n−1．故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠B n−1．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用．9．（2020下·重庆九龙坡·七年级统考期末）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=1∠BME，进而可求解．2【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN ＋∠MFN ＝180°，∴2（∠BME ＋∠END ）＋∠BMF ﹣∠FND ＝180°，∴2∠BME ＋2∠END ＋∠BMF ﹣∠FND ＝180°，即2∠BMF ＋∠FND ＋∠BMF ﹣∠FND ＝180°，解得∠BMF ＝60°，∴∠FME ＝2∠BMF ＝120°；（3）∠FEQ 的大小没发生变化，∠FEQ ＝30°．由（1）知：∠MEN ＝∠BME ＋∠END ，∵EF 平分∠MEN ，NP 平分∠END ，∴∠FEN ＝12∠MEN ＝12（∠BME ＋∠END ），∠ENP ＝12∠END ，∵EQ ∥NP ，∴∠NEQ ＝∠ENP ，∴∠FEQ ＝∠FEN ﹣∠NEQ ＝12（∠BME ＋∠END ）﹣12∠END ＝12∠BME ，∵∠BME ＝60°，∴∠FEQ ＝12×60°＝30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．10．（2023下·辽宁大连·如图，AB//CD ，点O 在直线CD 上，点P 在直线AB 和CD 之间，∠ABP =∠PDQ =α，PD 平分∠BPQ ．（1）求∠BPD 的度数（用含α的式子表示）；（2）过点D 作DE//PQ 交PB 的延长线于点E ，作∠DEP 的平分线EF 交PD 于点F ，请在备用图中补全图形，猜想EF 与PD 的位置关系，并证明；（3）将（2）中的“作∠DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将∠DEP分为1:3两个部分，交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，请直接写出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．【答案】（1）∠BPD=2α；（2）画图见解析，EF⊥PD，证明见解析；（3）45°−α2或45°−32α【分析】（1）根据平行线的传递性推出PG//AB//CD，再利用平行线的性质进行求解；（2）猜测EF⊥PD，根据PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，推导出∠BPD=∠DPQ=2α，再根据DE//PQ、EF平分∠DEP，通过等量代换求解；（3）分两种情况进行讨论，即当∠PEF:∠DEF=1:3与∠DEF:∠PEF=1:3，充分利用平行线的性质、角平分线的性质、等量代换的思想进行求解．【详解】（1）过点P作PG//AB，∵AB//CD,PG//AB，∴PG//AB//CD，∴∠BPG=∠ABP=α,∠DPG=∠PDQ=α，∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=2α．（2）根据题意，补全图形如下：猜测EF⊥PD，由（1）可知：∠BPD=2α，∵PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，∴∠BPD=∠DPQ=2α，∵DE//PQ，∴∠EDP=∠DPQ=2α，∴∠DEP=180°−∠BPD−∠EDP=180°−4α，又EF平分∠DEP，∠PEF=12∠DEP=90°−2α，∴∠EFD=180°−∠PEF−∠BPD=90°，∴EF⊥PD．（3）①如图1，∠PEF:∠DEF=1:3，由（2）可知：∠EPD=∠DPQ=∠EDP=2α,∠DEP=180°−4α，∵∠PEF:∠DEF=1:3，∴∠PEF=14∠DEP=45°−α，∠DEF=34∠DEP=135°−3α，∵DE//PQ，∴∠DEQ=∠PQE，∠EDQ+∠PQD=180°，∵∠EDP=2α,∠PDQ=α，∴∠EDQ=∠EDP+∠PDQ=3α，∠PQD=180°−∠EDQ=180°−3α，又EQ平分∠PQD，∴∠PQE=∠DQE=∠DEQ=12∠PQD=90°−32α，∴∠FEQ=∠DEF−∠DEQ=135°−3α−(90°−32α)=45°−32α；②如图2，∠DEP=180°−4α，∠PQD=180°−3α（同①）；若∠DEF:∠PEF=1:3，则有∠DEF=14∠DEP=14×(180°−4α)=45°−α，又∠PQE=∠DQE=12∠PQD=12×(180°−3α)=90°−32α，∵DE//PQ，∴∠DEQ=∠PQE=90°−32α，∴∠FEQ=∠DEQ−∠DEF=45°−12α，综上所述：∠FEQ=45°−32α或45°α2，故答案是：45°−α2或45°−32α．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线、三角形内角和定理、垂直等相关知识点，解题的关键是掌握相关知识点，作出适当的辅助线，通过分类讨论及等量代换进行求解．【模型2 “铅笔”型】1．（2012下·广东茂名·七年级统考期中）如图，AB∥ED，∠B+∠C+∠D=（）A．180°B．360°C．540°D．270°【答案】B【分析】过C点作直线CF∥AB，根据平行线的性质可得∠B+∠BCF=180°，∠FCD+∠D=180°，然后再计算∠B+∠C+∠D即可.【详解】如图，过C点作直线CF∥AB，∵AB∥ED，∴CF∥ED，∴∠B+∠BCF=180°，∠FCD+∠D=180°，∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=360°，即∠B+∠BCD+∠D=360°.故选：B【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.2．（2012·江苏常州·七年级统考期中）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝．【答案】270°【分析】过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．【详解】过B作BF∥AE，∵CD∥AE，则CD∥BF∥AE，∴∠BCD+∠1=180°，又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．故答案为：270．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．3．（2023下·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校联考期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，则∠AGC的度数是．【答案】80°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFM，进而可求出∠EFA，再根据平行线的性质即可求得∠AGC．【详解】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°，∵∠BAG=150°，∠DEF=130°，∴∠MFA=30°，∠EFM=50°，∴∠EFA=∠EFM+∠AFM=80°，∵CG∥EF，∴∠AGC=∠EFA=80°．故答案为80°．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．4．（2023下·广东东莞·七年级东莞市长安实验中学校考期中）如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+∠2＝；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；（4）由（2）（3）类比可得答案．【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案为：540°；（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，故答案为：（n-1）×180°．【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．5．（2020下·江苏淮安·七年级统考期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC 的度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC 的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为°；问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【答案】110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD=∠β−∠α或∠CPD=∠a−∠β，理由见解析【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC=110°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【详解】解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=180°−∠A=50°，∠CPE=180°−∠C=60°，∴∠APC=50°+60°=110°，故答案为：110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β−∠α；理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE−∠DPE=∠β−∠α；当P在BO之间时，∠CPD=∠a−∠β．理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=∠α−∠β．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．6．（2020下·内蒙古·七年级校考期中）综合与探究：（1）问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°．求∠APC的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°．∴∠APE=180°−∠PAB=180°−130°=50°．∵AB∥CD．∴PE∥CD．…………请你帮助小明完成剩余的解答．（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α,∠BCP=∠β．当点P在A，B两点之间时，∠CPD,∠α,∠β之间有何数量关系？请说明理由．【答案】（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析【分析】（1）过P作PE//AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．（2）过P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【详解】解：（1）过P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°，∴∠APE=180°−∠PAB=180°−130°=50°．∵AB∥CD，∴PE∥CD．∴∠CPE+∠PCD=180°，∴∠CPE=180°−120°=60°，∴∠APC=50°+60°=110°．（2）∠CPD=∠α+∠β，如图3，过P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．7．（2020下·天津滨海新·七年级统考期末）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出(n+1)个角，那么这(n+1)个角的和是____________°．【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【分析】（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（3）分别过E、F、G分别作AB180°的三倍；（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．【详解】（1）过E作EH∥AB（如图②）．∵原四边形是长方形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．8．（2023下·浙江·七年级期末）已知AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P．（1）如图1所示时，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系?并说明理由．（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明（3）当∠EPF满足0°<∠EPF<180°，且QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，①若∠EPF=60°，则∠EQF=__________°．②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系．（直接写出结论）【答案】（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF【分析】（1）由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠EPF=∠AEP+∠PFC；（2）当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①若当P点在EF的左侧时，∠EQF=∠BEQ+∠QFD=150°；当P点在EF的右侧时，可求得∠BEQ+∠QFD=30°；②结合①可得∠EPF=180°−2∠BEQ+180°−2∠DFQ=360°−2(∠BEQ+∠PFD)，由∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，得出∠EPF+2∠EQF=360°；可得EPF=∠BEP+∠PFD，由∠BEQ+∠DFQ=∠EQF，得出∠EPF= 2∠EQF．【详解】解：（1）如图1，过点P作PG//AB，∵PG//AB，∴∠EPG=∠AEP，∵AB//CD，∴PG//CD，∴∠FPG=∠PFC，∴∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；过点P作PG//AB，∵PG//AB，∴∠EPG+∠AEP=180°，∵AB//CD，∴PG//CD，∴∠FPG+∠PFC=180°，∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①如图3，若当P点在EF的左侧时，∵∠EPF=60°，∴∠PEB+∠PFD=360°−60°=300°，∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ=12∠PEB，∠QFD=12∠PFD，∴∠EQF=∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB+∠PFD)=12×300°=150°；如图4，当P点在EF的右侧时，∵∠EPF=60°，∴∠PEB+∠PFD=60°，∴∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB+∠PFD)=12×60°=30°；故答案为：150°或30；②由①可知：∠EQF=∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB+∠PFD)=12(360°−∠EPF)，∴∠EPF+2∠EQF=360°；∠EQF=∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB∠PFD)=12∠EPF，∴∠EPF=2∠EQF．综合以上可得∠EPF与∠EQF的数量关系为：∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键．9．（2023下·浙江宁波·七年级统考期中）如图，AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0°<∠EPF<180°．（1）试问：∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．如图1，当点P在EF的左侧时，易得∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系为∠AEP+∠PFC=∠EPF；如图2，当点P在EF的右侧时，写出∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系_________．（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．①若∠EPF=100°，则∠EQF的度数为______；②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3，以此类推，则∠EPF与∠EQ2020F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）【答案】（1）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）①130°；②∠EPF+2∠EQF=360°，见解析；③∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°【分析】（1）过点P作PH//AB，利用平行线的性质即可求解；（2）根据（1）的结论结合角平分线的定义，平角的定义，运用整体思想即可求解．【详解】解：（1）如图2，当点P在EF的右侧时，过点P作PM//AB，则PM//CD，∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∵∠EPF＝100°，∴∠PEA+∠PFC＝100°，∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°，∴∠DFQ+∠BEQ＝130°，∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°，故答案为：130°；②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下：∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴∠PFC＋∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF +2∠EQF＝360°；③∵Q1E，Q1F分别平分∠QEB和∠QFD，∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°，∴∠PFC＋∠PEA +22(∠DFQ1 +∠BEQ1)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF +22∠EQ1F＝360°；同理可得：∠EPF +23∠EQ2F＝360°，∠EPF +24∠EQ3F＝360°，……∴∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线的定义等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，利用整体思想解决第（2）问是解此题的关键．10．（2020下·辽宁大连·七年级统考期末）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．数学课上，老师出示了这样—道题：如图1，已知AB//CD,点E,F分别在AB,CD上，EP⊥FP,∠1=60°．求∠2的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现∠1=∠3,∠2=∠4，由已知EP⊥FP,可以求出∠2的度数．”小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得∠2=∠3=∠4,也能求出∠2的度数．”小华：∵如图4，也能求出∠2的度数．”(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出∠2的度数为_________°；老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：(3)如图，AB//CD，点E,F分别在AB，CD上，FP平分∠EFD,∠PEF=∠PDF,若∠EPD=a,请探究∠CFE与∠PEF 的数量关系（(用含α的式子表示)，并验证你的结论．【答案】（1）过点Р作PQ//AC；（2）30；（3）∠CFE−2∠PEF=180∘−a．【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；（2）过点Р作PQ//AC，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；（3）设∠CFE=x,∠PEF=∠PDF=y，过点P作PQ//AB，根据平行线的性质可得∠BEP+∠EPQ= 180°,∠CFE=∠FEB=x，∠PDF=∠DPQ，进而根据角的和差关系即可得答案．【详解】（1）由图中虚线可知PQ//AC，∴小明同学辅助线的做法为过点Р作PQ//AC，故答案为：过点Р作PQ//AC（2）如图2，过点Р作PQ//AC，∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，故答案为：30（3）如图，设∠CFE=x,∠PEF=∠PDF=y，过点P作PQ//AB，∴∠BEP+∠EPQ=180°,∠CFE=∠FEB=x∵AB//CD,∴PQ//CD,∴∠PDF=∠DPQ∴∠DPQ=∠EHF=∠PDF=y∵∠CFE=∠FEB=x=∠FEP+∠BEP∴x=y+(180−a+y)∴x−2y=180−α，即∠CFE−2∠PEF=180∘−a．【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．【模型3 “鸡翅”型】1．（2023下·湖南株洲·七年级统考期末）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C=360°；②如图2，AB ∥CD，则∠P=∠A−∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α−∠β+∠γ=180°．以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】①过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C=360°，故①正确；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正确；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③错误；④如图4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正确；综上结论正确的个数为3，故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．（2023上·七年级课时练习）（1）已知：如图（a），直线DE∥AB．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，∠ABC−∠CDE=∠BCD，见解析【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD．【详解】解：（1）证明：过点C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥ED∥CF，∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，证明：如图：∵AB∥ED，∴∠ABC=∠BFD，在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．若点C在直线AB与DE之间，猜想∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°,。
平行线四大模型(完整版+培优)
平行线四大模型(完整版+培优)平行线四大模型模型一：铅笔模型当点P在EF右侧，在AB、CD内部时，有以下结论：1.若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；2.若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.模型二：猪蹄模型当点P在EF左侧，在AB、CD内部时，有以下结论：1.若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；2.若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三：臭脚模型当点P在AB、CD之间时，有以下结论：1.若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；2.若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四：骨折模型当点P在EF右侧，在AB、CD外部时，有以下结论：1.若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；2.若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.当点P在EF左侧，在AB、CD外部时，有以下结论：1.若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；2.若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.应用：例1：1.∠l+∠2+∠3=180°；2.∠E=110°；3.∠BCD=40°；4.∠P=70°.练：1.∠EAB的度数为17°；2.∠C=30°；3.∠P=30°+n×20°.例2：BF、DF分别平分∠ABC、∠XXX，则∠C、∠F的关系为∠ABF=∠XXX∠XXX.练：1.∠XXX∠BDE；2.当n=2时，∠C=∠F；3.∠C=n×∠F.1.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，要证明∠E=2(∠A+∠C)。
2.如图，已知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠XXX，要求出∠C、∠F的关系。
七年级(下)数学重难点专题训练：平行线中拐点问题模型汇总(40道经典题)
七年级下数学重难点专题训练：平行线拐点问题模型汇总模型一：“Ｍ”型（猪蹄模型）例：1．（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．【分析】（1）过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠3+∠4＝∠1+∠2，进而得出∠BED＝∠1+∠2；（2）分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，进而得到∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；（3）分别过平行线间的折点作AB的平行线，依据平行线的性质，即可得到∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系．【解答】解：（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，∴∠3+∠4＝∠1+∠2，即∠BED＝∠1+∠2；（2）∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG，理由如下：如图，分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥GH∥CD，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠2，∴∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，即∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；（3）由题可得，向左的角度数之和与向右的角度数之和相等，∴∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系为：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4+∠6．通关训练：2．如图，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°．（1）若∠E＝60°，则∠F＝．（2）请探索∠E与∠F之间满足何数量关系？并说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P 的度数．3．如图，AB∥CD，点A，E，B，C不在同一条直线上．（1）如图1，求证：∠E+∠C﹣∠A＝180°（2）如图2．直线F A，CP交于点P，且∠BAF＝∠BAE，∠DCP＝∠DCE．①试探究∠E与∠P的数量关系：②如图3，延长CE交P A于点Q，若AE∥PC，∠BAQ＝α（0°＜α＜22.5°），则∠PQC的度数为（用含α的式子表示）4．如图，已知AB∥CD，现将直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当直角三角形PMN所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM存在怎样的数量关系？请说明理由．（2）当直角三角形PMN所放位置如图②所示时，请直接写出∠PFD与∠AEM之间存在的数量关系．（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠AEM＝40°，∠DON＝20°，则∠N的度数为．5．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ 的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．6．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．求证：∠AEC＝∠A+∠C．小明笔记上写出的证明过程如下：证明：过点E作EF∥AB，∴∠1＝∠A．∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD．∴∠2＝∠C．∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠C．请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．（1）如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，则∠B+∠C+∠F＝．（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，E、B、H 共线，F、C、H共线，则∠H＝．7．如图1，已知AB∥CD，BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC．（1）∠BPD＝°；（2）如图2，将BD改为折线BED，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，其余条件不变，若∠BED＝140°，求∠BPD的度数；（3）如图3，若∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDF，其余条件不变，那么∠BPD＝°．8．已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．（1）图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；（2）图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．（3）图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．9．已知：点E、点G分别在直线AB、直线CD上，点F在两直线外，连接EF、FG （1）如图1，AB∥CD，求证：∠AEF+∠FGC＝∠EFG；（2）若直线AB与直线CD不平行，连接EG，且EG同时平分∠BEF和∠FGD如图2，请探索∠AEF、∠FGC、∠EFG之间的数量关系？并说明理由．10．如图，已知AB∥CD．（1）发现问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠F与∠E的等量关系为．（2）探究问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．猜想：∠F与∠E的等量关系，并证明你的结论．（3）归纳问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．直接写出∠F与∠E的等量关系．11．【引入】如图1，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q，求证：∠1＝∠2．【变式】如图2，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：∠F＝∠Ｍ模型二：铅笔模型例：12．模型与应用．【模型】（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1+∠MEN+∠2＝360°．【应用】（2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为．如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为．（3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1O与∠CM n M n﹣1的角平分线M n O 交于点O，若∠M1OM n＝m°．在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n ﹣1的度数．（用含m、n的代数式表示）【分析】（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的判定得出EF∥AB，根据平行线的性质得出即可；（2）过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可；（3）过点O作SR∥AB，根据平行线的性质得出即可；【解答】（1）证明：过点E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1+∠MEF＝180°，同理∠2+∠NEF＝180°，∴∠1+∠2+∠MEN＝360°；【应用】（2）过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°，同理∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n＝180°（n﹣1），故答案为：900°，180°（n﹣1）；（3）解：过点O作SR∥AB，∵AB∥CD，∴SR∥CD，∴∠AM1O＝∠M1OR同理∠C M n O＝∠M n OR∴∠A M1O+∠CM n O＝∠M1OR+∠M n OR，∴∠A M1O+∠CM n O＝∠M1OM n＝m°，∵M1O平分∠AM1M2，∴∠AM1M2＝2∠A M1O，同理∠CM n M n﹣1＝2∠CM n O，∴∠AM1M2+∠CM n M n﹣1＝2∠AM1O+2∠CM n O＝2∠M1OM n＝2m°，又∵∠A M1M2+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n﹣1+∠CM n M n﹣1＝180°（n﹣1），∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n﹣1＝（180n﹣180﹣2m）°．通关训练：13．如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝度．如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝度．如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝度．如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝度．从上述结论中你发现了什么规律？如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝度．14．如图，AB∥CD，点F在CE上，∠EAF＝∠BAF，若∠AEC＝105°，∠DCE＝115°，求∠AFC的度数．15．直线AB∥CD，E为直线AB、CD之间的一点，完成以下问题：（1）如图1，若∠B＝15°，∠BED＝90°，则∠D＝；（2）如图2，若∠B＝α，∠D＝β，求出∠BED的度数（用a、β表示）；（3）如图3，若∠B＝α，∠C＝β，则a、β与∠BEC之间有什么等量关系？请猜想证明．16．问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．17．如图，BN∥CD，点A是直线BN上一点，P是直线AB与直线CD之间一点，连接AP，PC．（1）求证：∠BAP+∠C＝∠P；（2）过点C作CM平分∠PCD，过点C作CE⊥CM交∠NAP的角平分线于点E，过点P作PF∥AE交CM于点F，探索∠CFP和∠APC的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若2∠AEC﹣∠CPF＝240°，Q是直线CD上一点，请直接写出∠PFQ和∠FQD的数量关系．模型三：钩型（臭脚模型和骨折模型）例：18．（1）如图1，AB∥CD，CF平分∠DCE，若∠DCF＝30°，∠E＝20°，求∠ABE 的度数；（2）如图2，已知AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数；（3）如图3，若P是（2）中的射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．【分析】根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．【解答】解：（1）过E作EM∥AB∵AB∥CD∴CD∥EM∥AB∴∠ABE＝∠BEM∠DCE＝∠CEM∵CF平分∠DCE∴∠DCE＝2∠DCF∵∠DCF＝30°∴∠DCE＝60°∴∠CEM＝60°又∵∠CEB＝20°∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°∴∠ABE＝40°，（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB∵∠EBF＝2∠ABF∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x ∵CF平分∠DCE∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y∵AB∥CD∴EM∥AB∥CD∴∠DCE＝∠CEM＝2y∠BEM＝∠ABE＝3x∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x同理∠CFB＝y﹣x∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°∴x＝10°∴∠ABE＝3x＝30°，（3）过P作PL∥AB∵GM平分∠DGP∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y ∵PQ平分∠BPG∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x∵PQ∥QN∴∠PGN＝∠GPQ＝x∵AB∥CD∴PL∥AB∥CD∴∠GPL＝∠DGP＝2y∠BPL＝∠ABP＝30°∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG∴30°＝2y﹣2x∴y﹣x＝15°∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x∴∠MGN＝15°．通关训练：19．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．20．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，求∠E的度数．21．如图，BE∥CF，∠A＝30°，∠C＝80°，求∠B的度数．22．（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．23．已知AB∥CD，点E在AB上，点G在CD上，点F在直线AB、CD之间，分别连接EF、FG，∠BEF+∠DGF＝2∠EFG．（1）如图1，求∠EFG的度数；（2）如图2，若∠BEF的角平分线与FG的延长线交于点M，求证：∠AEF﹣2∠FME ＝60°；（3）如图3，已知点P在FG的延长线上，点K在CD上，点N在∠PGC内，分别连接NG，NK．若NK∥EF，∠PGN＝2∠NGC，请直接写出∠AEF﹣∠GNK的值．24．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，请写出∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系（不必说明理由）；（2）如图2，将直线AB绕点B逆时针方向转一定角度交直线CD于点Q，利用（1）中的结论求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，设BF交AC于点M，AE交DF于点N．已知∠AMB＝140°，∠ANF＝105°，利用（2）中的结论直接写出∠B+∠E+∠F的度数和∠A比∠F大多少度．25．综合探究：已知，AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG ＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数．26．已知直线AB∥CD．（1）如图1，请直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，若∠F ＝10°，求∠E的度数；（3）如图3，∠BME的角平分线所在的直线与∠CNE的角平分线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论．27．如图，已知直线AB∥CD．（1）在图1中，点M在直线AB上，点N在直线CD上，∠BME、∠E、∠END的数量关系是；（不需证明）（2）如图2，若GN平分∠CNE，FE平分∠AMG，且∠G+∠E＝60°，求∠AMG的度数；（3）如图3，直线BM平分∠ABE，直线DN平分∠CDE相交于点F，求∠F：∠E的值；（4）若∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，则＝．（用含有n的代数式表示）28．如图1所示，AB∥CD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE．（1）求证：∠ABE+∠C﹣∠E＝180°．（2）如图2，EG平分∠BEC，过点B作BH∥GE，求∠FBH与∠C之间的数量关系．（3）如图3，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，且∠E+∠M＝130°，请直接写出∠E的度数．29．如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系（1）如图①，已知AB∥CD，求证：∠BPD＝∠B+∠D；（提示；可过点P作PO∥AB）（2）如图②，已知AB∥CD，求证：∠B＝∠P+∠D．30．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠A，∠C的关系，请你从所得的关系中任意选取一个加以说明．图（1）结论：；图（2）结论：；图（3）结论：；图（4）结论：．你准备证明的是图，请在下面写出证明过程．31．如图1，将两根笔直的细木条MN，EF用图钉固定并平行摆放，将一根橡皮筋拉直后用图钉分别周定在MN，EF上，橡皮筋的两端点分别记为点A，点B．（1）图1中，点P在AB上，若∠1＝110°，则∠2＝°；（2）P为橡皮筋上一点，用皮筋的弹性拉动橡皮筋，使A，B，P三点不在同一直线，后用图固定点P．①如图2，若点P在两根细木条所在直线之间，且∠1+∠2＝90°，试判断线段AP与BP所在直线的位置关系，并说明理由；②如图3，若点P在两根细木条所在直线的同侧，且∠1+∠2＝90°，∠1＝31°，试求∠APB的度数；（3）如图4，P1，P2两点在两根细木条所在直线之间，拉动橡皮筋并固定，若∠1+∠2＝90°，则∠AP1P2+∠BP1P2＝°．32．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，AC∥BD，点E为直线AC上方一点，连接CE、DE，猜想∠C、∠D、∠E的数量关系，并证明．小明发现，可以过点E作MN∥AC来解决问题，如图2，请你完成解答；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：如图3，AB∥CD，P是平面内一点，连接AP、CP，使AP∥BD，∠APC＝100°，BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP交于点M，求∠M的度数．33．如图，已知直线MB∥ND，A、C分别为MB、ND上的点，E为直线MB、ND外的一点，连接AE、EC．（1）E在直线MB的上方（如图1），求证：∠AEC+∠ECD＝∠EAB；（2）若∠MAE与∠NCE两角的角平分线交于F点，请在图2中将图形补充完整，并直接写出∠AEC与∠AFC之间的数量关系；（3）若∠EAB的角平分线的反向延长线与∠NCE的角平分线交于G点（如图3），且∠AGC比∠AEC的倍多50°，求∠AEC的度数．34．已知直线AB∥CD，E为直线AB、CD外的一点，连接AE、EC．（1）E在直线AB的上方（如图1），求证：∠AEC+∠EAB＝∠ECD；（2）∠BAF＝2∠EAF，∠DCF＝2∠ECF（如图2），求证：∠AEC＝∠AFC；（3）若E在直线AB、CD之间，在（2）条件下（如图3），且∠AFC比∠AEC的倍少40°，则∠AEC的度数为（不用写出解答过程）．35．如图：已知AB∥DE，若∠ABC＝60°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．36．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．（1）求证：∠AEC＝∠BAE+∠ECD；（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．①如图2，若∠AEC＝90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若HF平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．37．如图，平面内有两条直线同AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．（1）当点P移动到如图（1）的位置时，这时∠APC与∠A，∠C有怎样的关系？并说明理由；（2）当点P移动到如图（2）的位置时，这时∠APC与∠A，∠C又有怎样的关系？说明你的理由；（3）当点P移动到如图（3）的位置时，直接写出∠APC与∠A，∠C的关系式；（4）当点P移动到如图（4）的位置时，直接写出∠APC与∠A，∠C的关系式．38．如图所示，已知AB∥CD，分别探讨下面四个图形中，∠APC，∠P AB与∠PCD的关系．39．已知AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP、CP．（1）探究：如图（1）∠P AB＝145°，∠PCD＝135°，则∠APC的度数是；如图（2）∠P AB＝45°，∠PCD＝60°，则∠APC的度数是．（2）在图2中试探究∠APC，∠P AB，∠PCD之间的数量关系，并说明理由．（3）拓展探究：当点P在直线AB，CD外，如图（3）、（4）所示的位置时，请分别直接写出∠APC，∠P AB，∠PCD之间的数量关系．40．探究：（1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗？（2）反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；（3）若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请证明；（4）若将E点移至图c所示位置，情况又如何？（5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？（6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？七年级下数学重难点专题训练：平行线拐点问题模型汇总1．（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．【分析】（1）过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠3+∠4＝∠1+∠2，进而得出∠BED＝∠1+∠2；（2）分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，进而得到∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；（3）分别过平行线间的折点作AB的平行线，依据平行线的性质，即可得到∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系．【解答】解：（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，∴∠3+∠4＝∠1+∠2，即∠BED＝∠1+∠2；（2）∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG，理由如下：如图，分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥GH∥CD，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠2，∴∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，即∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；（3）由题可得，向左的角度数之和与向右的角度数之和相等，∴∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系为：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4+∠6．2．如图，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°．（1）若∠E＝60°，则∠F＝90°．（2）请探索∠E与∠F之间满足何数量关系？并说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P 的度数．【分析】（1）分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM ＝30°，∠MEF＝∠EFN，∠D+∠DFN＝180°，代入数据即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得到CD∥FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN＝180°，于是得到结论；（3）过点F作FH∥EP，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，根据角平分线的定义得到∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，根据平行线的性质得到∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，于是得到结论．【解答】解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；故答案为：90°；（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°，∴∠EFD＝∠BEF+30°；（3）如图2，过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，∴∠P＝15°．3．如图，AB∥CD，点A，E，B，C不在同一条直线上．（1）如图1，求证：∠E+∠C﹣∠A＝180°（2）如图2．直线F A，CP交于点P，且∠BAF＝∠BAE，∠DCP＝∠DCE．①试探究∠E与∠P的数量关系：②如图3，延长CE交P A于点Q，若AE∥PC，∠BAQ＝α（0°＜α＜22.5°），则∠PQC的度数为180°﹣8α（用含α的式子表示）【分析】（1）如图1，过E作EF∥AB，根据平行线的性质即可得到结论；（2）①设∠BAF＝x，∠BAE＝3x，∠DCP＝y，∠DCE＝3y，由（1）知，∠E＝180°﹣∠C+∠A＝180°﹣3（y﹣x），如图2，过P作PG∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；②如图3，过P作PG∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠AEF＝∠A，∠C+∠FEC＝180°，∴∠E＝∠AEF+∠FEC＝∠A+180°﹣∠C，即∠E+∠C﹣∠A＝180°；（2）①∵∠BAF＝∠BAE，∠DCP＝∠DCE，∴设∠BAF＝x，∠BAE＝3x，∠DCP＝y，∠DCE＝3y，由（1）知，∠E＝180°﹣∠C+∠A＝180°﹣3（y﹣x），如图2，过P作PG∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥PG，∴∠GP A＝∠BAF＝x，∠GPC＝∠PCD＝y，∴∠APC＝y﹣x，即∠E＝180°﹣3∠P；②如图3，过P作PG∥CD，∵∠BAQ＝α，∴∠QAE＝2α，∵AE∥PC，∴∠QAE＝∠APC＝2α，由①知，∠AEC＝180°﹣3∠APC＝180°﹣6α，∴∠PQC＝∠AEC﹣∠QAE＝180°﹣6α﹣2α＝180°﹣8α，故答案为：180°﹣8α．4．如图，已知AB∥CD，现将直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当直角三角形PMN所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM存在怎样的数量关系？请说明理由．（2）当直角三角形PMN所放位置如图②所示时，请直接写出∠PFD与∠AEM之间存在的数量关系．（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠AEM＝40°，∠DON＝20°，则∠N的度数为30°．【分析】（1）作PH∥AB，根据平行线的性质得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根据∠MPN＝90°解答；（2）根据平行线的性质得到∠PFD+∠BHN＝180°，根据∠P＝90°解答；（3）根据对顶角相等，直角三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质计算即可求解．【解答】解：（1）如图①，作PH∥AB，则∠AEM＝∠HPM，∵AB∥CD，PH∥AB，∴PH∥CD，∴∠PFD＝∠HPN，∵∠MPN＝90°，∴∠PFD+∠AEM＝90°，故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；（2）猜想：∠PFD﹣∠AEM＝90°；理由如下：∵AB∥CD，∴∠PFD+∠BHN＝180°，∵∠BHN＝∠PHE，∴∠PFD+∠PHE＝180°，∵∠P＝90°，∴∠PHE+∠PEB＝90°，∵∠PEB＝∠AEM，∴∠PHE+∠AEM＝90°，∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）∵∠P＝90°，∠PEB＝∠AEM＝40°，∴∠PHE＝90°﹣∠PEB＝90°﹣40°＝50°，∵AB∥CD，∴∠HFO＝∠PHE＝50°，∵∠DON＝20°，∴∠N＝∠HFO﹣∠DON＝30°．故答案为：30°．5．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：∠BME＝∠MEN﹣∠END；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：∠BMF＝∠MFN+∠FND；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ 的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，进而可求解；（3）根据培训心得性质及角平分线的定义可推知∠FEQ＝∠BME，进而可求解．【解答】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH+∠HEN＝∠BME+∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN+∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME+∠BMF，∠FND＝∠FNE+∠END，∵2∠MEN+∠MFN＝180°，∴2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME+∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME+∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME+∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．6．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．求证：∠AEC＝∠A+∠C．小明笔记上写出的证明过程如下：证明：过点E作EF∥AB，∴∠1＝∠A．∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD．∴∠2＝∠C．∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠C．请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．（1）如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，则∠B+∠C+∠F＝240°．（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，E、B、H 共线，F、C、H共线，则∠H＝51°．【分析】（1）由EM∥AB，FN∥EM，FN∥CD分别得∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4+∠C＝180°，由角的和差计算∠B+∠C+∠F的度数为240°；（2）由角平分线得∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，根据直线EF∥AB，EF∥CD得2∠1+∠7＝180°，2∠4+∠8＝180°，等式的性质得2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°；直线MN∥AB，MN∥CD得∠1＝∠5，∠4＝∠6，等量代换2（∠5+∠6）＝∠BGC+180°，又因∠BGC＝∠BHC+27°求得∠BHC的度数为51°．【解答】解：（1）过点E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，如图2所示：∵EM∥AB，∴∠1＝∠B，又∵FN∥AB，∴FN∥EM，∴∠2＝∠3，又∵AB∥CD，∴FN∥CD，∴∠4+∠C＝180°，又∵∠BEF＝∠1+∠2，∠EFC＝∠3+∠4，∠BEF＝60°∴∠B+∠EFC+∠C＝∠1+∠3+∠4+∠C＝（∠1+∠2）+（∠4+∠C）＝60°+180°＝240°；（2）过点G、H作EF∥AB，MN∥AB，如图3所示：∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，又∵EF∥AB，∴2∠1+∠7＝180°，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴2∠4+∠8＝180°，∴∠7+∠8＝360°﹣2（∠1+∠4），又∵∠7+∠8+∠BGC＝180°，∴2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°，又∵MN∥AB，∴∠1＝∠5，又∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠4＝∠6，∴2（∠5+∠6）＝∠BGC+180°，又∵∠5+∠6+∠BHC＝180°，∴∠BGC+2∠BHC＝180°，又∠BGC＝∠BHC+27°，∴3∠BHC+27°＝180°，∴∠BHC＝51°；故答案为：240°，51°．7．如图1，已知AB∥CD，BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC．（1）∠BPD＝90°°；（2）如图2，将BD改为折线BED，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，其余条件不变，若∠BED＝140°，求∠BPD的度数；（3）如图3，若∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDF，其余条件不变，那么∠BPD＝54°．【分析】（1）先根据平行线的性质得出∠ABD+∠BDC＝∠180°，再根据角平分线的定义得出∠PBD+∠PDB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）连接BD，先求出∠EBD+∠EDB的度数，再由平行线的性质得出∠ABD+∠CDB的度数，由角平分线的性质得出∠PBE+∠PDE的度数，根据∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB即可得出结论．（3）连接BD，先求出∠EBD+∠FDB的度数，再求出∠PBE+∠PDF的度数，再利用三角形内角和定理即可解决．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝∠180°，∵BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC，∴∠PBD+∠PDB＝90°，∴∠BPD＝180°﹣90°＝90°．（2）连接BD，∵∠BED＝140°，∴∠EBD+∠EDB＝40°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∵BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，∴∠PBE＝∠ABE，∠PDE＝∠CDE，∴∠PBE+∠PDE＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB＝70°．（3）连接BD，∵∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，∴∠EBD+∠FDB＝360°﹣（152°+136°）＝72°，∵BP、DP分别平分∠ABE、∠FDC，∴∠PBE＝∠ABE，∠PDF＝∠CDF，∴∠PBE+∠PDF＝×（180°﹣72°）＝54°，∴∠BPD＝180°﹣（∠EBD+∠FDB）﹣（∠PBE+∠PDF）＝54°．故答案为：90；54°．8．已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．（1）图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；（2）图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．（3）图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．【分析】（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG＝∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG＝∠CDE，进而可得∠BED＝∠ABE+∠CDE；（2）图2中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，结合（1）的结论即可说明：∠BED＝2∠BFD；（3）图3中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE＝180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE ＝180°，再结合（1）的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG＝∠ABE，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG＝∠CDE，所以∠BEG+∠DEG＝∠ABE+∠CDE，即∠BED＝∠ABE+∠CDE；（2）图2中，因为BF平分∠ABE，所以∠ABE＝2∠ABF，因为DF平分∠CDE，所以∠CDE＝2∠CDF，所以∠ABE+∠CDE＝2∠ABF+2∠CDF＝2（∠ABF+∠CDF），由（1）得：因为AB∥CD，所以∠BED＝∠ABE+∠CDE，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，所以∠BED＝2∠BFD．（3）∠BED＝360°﹣2∠BFD．图3中，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE＝180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE＝180°，所以∠BEG+∠DEG＝360°﹣（∠ABE+∠CDE），即∠BED＝360°﹣（∠ABE+∠CDE），因为BF平分∠ABE，所以∠ABE＝2∠ABF，因为DF平分∠CDE，所以∠CDE＝2∠CDF，∠BED＝360°﹣2（∠ABF+∠CDF），由（1）得：因为AB∥CD，所以∠BFD＝∠ABF+∠CDF，所以∠BED＝360°﹣2∠BFD．9．已知：点E、点G分别在直线AB、直线CD上，点F在两直线外，连接EF、FG （1）如图1，AB∥CD，求证：∠AEF+∠FGC＝∠EFG；（2）若直线AB与直线CD不平行，连接EG，且EG同时平分∠BEF和∠FGD如图2，请探索∠AEF、∠FGC、∠EFG之间的数量关系？并说明理由．【分析】（1）过F作FQ∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠AEF+∠FGC＝∠EFQ+∠GFQ＝∠EFG；（2）延长AB，CD，交于点P，依据∠FEP＝180°﹣∠AEF，∠FGP＝180°﹣∠FGC，即可得到∠FEP+∠FGP＝360°﹣（∠AEF+∠FGC），再根据四边形内角和，即可得到四边形EFGP中，∠F+∠P＝360°﹣（∠FEP+∠FGP）＝∠AEF+∠FGC，进而得出结论．【解答】解：（1）如图1，过F作FQ∥AB，∵AB∥CD，∴FQ∥CD，∴∠AEF＝∠QFE，∠FGC＝∠GFQ，∴∠AEF+∠FGC＝∠EFQ+∠GFQ＝∠EFG；（2）如图2，延长AB，CD，交于点P，∵EG同时平分∠BEF和∠FGD，∴∠FEG＝∠PEG，∠FGE＝∠PGE，∴∠F＝∠P，∵∠FEP＝180°﹣∠AEF，∠FGP＝180°﹣∠FGC，∴∠FEP+∠FGP＝360°﹣（∠AEF+∠FGC），∵四边形EFGP中，∠F+∠P＝360°﹣（∠FEP+∠FGP）＝360°﹣[360°﹣（∠AEF+∠FGC）]＝∠AEF+∠FGC，即2∠EFG＝∠AEF+∠FGC．10．如图，已知AB∥CD．（1）发现问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠F与∠E的等量关系为∠BED＝2∠BFD．（2）探究问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．猜想：∠F与∠E的等量关系，并证明你的结论．（3）归纳问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．直接写出∠F与∠E的等量关系．【分析】（1）首先连接FE并延长，易得∠BED＝∠BFD+∠EBF+∠EDF，又由BF、DF 分别平分∠ABE、∠CDE，以及（1）的结论，易证得∠BED＝2∠BFD；（2）过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，根据平行线的性质得到∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，根据已知条件即可得到结论．（3）由（1）（2）即可得出∠F与∠E的等量关系．【解答】解：（1）∠BED＝2∠BFD．证明：连接FE并延长，∵∠BEG＝∠BFE+∠EBF，∠DEG＝∠DFE+∠EDF，∴∠BED＝∠BFD+∠EBF+∠EDF，∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，∴∠ABE+∠CDE＝2（∠EBF+∠EDF），∵∠BED＝∠ABE+∠CDE，∴∠EBF+∠EDF＝∠BED，∴∠BED＝∠BFD+∠BED，∴∠BED＝2∠BFD；（2）过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；∵∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，∴∠BED＝3∠BFD．（3）由（1）（2）可得∠BED＝n∠BFD．11．【引入】如图1，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q，求证：∠1＝∠2．【变式】如图2，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：∠F＝∠Ｍ【分析】【引入】先判定AB∥DE，则∠ABC＝∠BCD，再由∠P＝∠Q，则∠PBC＝∠QCB，从而得出∠1＝∠2．【变式】延长EF交CD于G，利用平行线的性质得出∠1＝∠EGD，进而得出∠EGD＝∠2，再利用平行线的判定方法得出答案．【解答】【引入】证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°，∴AB∥DE，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠P＝∠Q，∴PB∥CQ，∴∠PBC＝∠BCQ，∵∠1＝∠ABC﹣∠PBC，∠2＝∠BCD﹣∠BCQ，∴∠1＝∠2．【变式】证明：延长EF交CD于G，如图：∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD∵∠1＝∠2，∴∠EGD＝∠2∴EF∥MN，∴∠EFM＝∠M．12．模型与应用．【模型】（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1+∠MEN+∠2＝360°．【应用】（2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为900°．如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为180°（n﹣1）．（3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1O与∠CM n M n﹣1的角平分线M n O 交于点O，若∠M1OM n＝m°．在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n ﹣1的度数．（用含m、n的代数式表示）【分析】（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的判定得出EF∥AB，根据平行线的性质得出即可；（2）过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可；（3）过点O作SR∥AB，根据平行线的性质得出即可；【解答】（1）证明：过点E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1+∠MEF＝180°，同理∠2+∠NEF＝180°，∴∠1+∠2+∠MEN＝360°；【应用】（2）过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°，同理∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n＝180°（n﹣1），故答案为：900°，180°（n﹣1）；（3）解：过点O作SR∥AB，∵AB∥CD，∴SR∥CD，∴∠AM1O＝∠M1OR同理∠C M n O＝∠M n OR∴∠A M1O+∠CM n O＝∠M1OR+∠M n OR，∴∠A M1O+∠CM n O＝∠M1OM n＝m°，∵M1O平分∠AM1M2，∴∠AM1M2＝2∠A M1O，同理∠CM n M n﹣1＝2∠CM n O，∴∠AM1M2+∠CM n M n﹣1＝2∠AM1O+2∠CM n O＝2∠M1OM n＝2m°，又∵∠A M1M2+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n﹣1+∠CM n M n﹣1＝180°（n﹣1），∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n﹣1＝（180n﹣180﹣2m）°．13．如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝180度．如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝360度．如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540度．如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720度．从上述结论中你发现了什么规律？如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n﹣1）度．【分析】首先过各点作MA1的平行线，由MA1∥NA2，可得各线平行，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案，注意找到规律：MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n﹣1）度是关键．【解答】解：如图1，∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2＝180°．如图2，过点A2作A2C1∥A1M，∵MA1∥NA3，∴A2C1∥A1M∥NA3，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A3＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3＝360°．如图3，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，∵MA1∥NA3，∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA3，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A4＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°．如图4，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，过点A4作A4C3∥A1M，∵MA1∥NA5，∴A2C1∥A3C2∥A4C3∥NA5，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A3A4C3＝180°∠C3A4A5+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720°．从上述结论中你发现了规律：如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n ﹣1）度．故答案为：180，360，540，720，180（n﹣1）．14．如图，AB∥CD，点F在CE上，∠EAF＝∠BAF，若∠AEC＝105°，∠DCE＝115°，求∠AFC的度数．【分析】过点E作EM∥AB，由平行线的性质得到∠MEC＝65°，从而得到∠AEM＝40°，再根据平行线的性质得到∠EAB＝180°﹣∠AEM＝140°，进而得到∠EAF＝35°，最后根据三角形的外角定理即可求解．【解答】解：如图，过点E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MEC+∠DCE＝180°，∵∠DCE＝115°，∴∠MEC＝180°﹣115°＝65°，∵∠AEC＝∠MEC+∠AEM，∠AEC＝105°，∴∠AEM＝40°，∵EM∥AB，∴∠AEM+∠EAB＝180°，∴∠EAB＝180°﹣∠AEM＝140°，∵∠EAB＝∠EAF+∠BAF，∠EAF＝∠BAF，∴∠EAF+3∠EAF＝140°，∴∠EAF＝35°，∴∠AFC＝∠EAF+∠AEC＝35°+105°＝140°．15．直线AB∥CD，E为直线AB、CD之间的一点，完成以下问题：（1）如图1，若∠B＝15°，∠BED＝90°，则∠D＝75°；（2）如图2，若∠B＝α，∠D＝β，求出∠BED的度数（用a、β表示）；（3）如图3，若∠B＝α，∠C＝β，则a、β与∠BEC之间有什么等量关系？请猜想证明．【分析】（1）过E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等进行计算；（2）过E作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补进行计算；（3）过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，以及两直线平行，同旁内角互补进行计算．【解答】解：（1）过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵∠B＝15°，∴∠BEF＝15°，又∵∠BED＝90°，∴∠DEF＝75°，∵EF∥CD，∴∠D＝75°，故答案为：75°；（2）过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°，又∵∠B＝α，∠D＝β，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝360°﹣α﹣β，故答案为：∠BED＝360°﹣α﹣β；（3）猜想：∠BEC＝180°﹣α+β．证明：过点E作EF∥AB，则∠BEF＝180°﹣∠B＝180°﹣α，∵AB∥EF，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CEF＝∠C＝β，∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝180°﹣α+β．16．问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝45°+55°＝100°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．【解答】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：。
七年级数学下册《平行线的经典模型》
七年级数学下册《平行线的经典模型》平行线的经典模型题型一、平行加拐点——“M”模型例1：如图，AB∥CD，求∠BAP、∠APC、∠PCD的关系式，并加以证明。
解：根据平行线的性质，得到PE∥AB，因此∠1＝∠BAP。
又因为AB∥CD，PE∥AB，所以PE∥CD，因此∠2＝∠PCD。
所以∠1＋∠2＝∠BAP＋∠PCD，即∠APC＝∠BAP＋∠PCD。
练一练】1、如图，BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，则∠C的度数是（）。
A、10°B、35°C、70°D、80°2、如图，AB∥DE，则∠1、∠2、∠3关系是（）。
A、∠3＞∠1＋∠2B、∠2＝∠3－∠1C、∠3＝∠1＋∠2D、无法确定3、如图，AB∥CD，∠BED＝90°，则∠1与∠2之间的数量关系是（）。
A、∠2＝2∠1B、∠2－∠1＝90°C、∠1＋∠2＝180°D、无法确定4、如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG的度数。
5、如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，如果∠1＝25°，那么∠2的度数是（）。
A、130°B、105°C、115°D、125°6、将一个直角三角板和一把直尺按如图所示放置，若∠α＝43°，则∠β＝？例2：已知如图，AB∥CD∥EF，点M、N、P分别在AB、CD、EF上，NQ平分∠___。
1）若∠AMN＝50°，∠EPN＝70°，求∠MNP，∠DNQ的度数；2）若∠AMN＝x度，∠EPN＝y度，请直接写出∠DNQ的度数（用含x，y的代数式表示）；3）试探究：∠___与∠___，∠___之间的数量关系，并说明理由。
练一练】如图，已知AB∥MP∥CD，MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠NMP的度数。
平行线模型
平行线模型一、猪蹄型（在拐点作平行线，利用内错角倒角）已知：AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E.证明：过点E作MN//AB.∠MN//AB（辅助线）.∠∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）.∠MN//AB（辅助线），AB//CD（已知）∠MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行）∠∠2=∠D（两直线平行，内错角相等）∠∠1+∠2=∠BED（等式性质）∠∠B+∠D=∠BED（等量代换）结论：朝左的角之和=朝右的角之和二、铅笔型（在拐点作平行线，利用同旁内角倒角）解：（1）∵AB∥CD（已知）∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）（2）过点E作一条直线EF平行于AB，∵AB∥EF，AB∥CD（已知）∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性质）∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代换）（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD（已知）∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式性质）∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代换）（4）根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n组同旁内角，n个角的和是180（n-1）°．三、前扬角型（在拐点作平行线，利用内错角倒角）∠B=∠E+∠C过点E作GF//AB∵AB∥CD（已知）∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）.∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性质）∴∠B=∠BEC+∠C（等量代换）四、后翻角型（在拐点作平行线，利用内错角倒角）∠C=∠E+∠B过点E作GF//AB∵AB∥CD（已知）∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）.∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性质）∴∠C=∠B+∠CEB（等量代换）五、综合型（在拐点作平行线，利用平行性质倒角）∠B+∠E-∠D=180°CD//EF，AB//GF→∠1+∠2=∠ABC。
专题5 平行线中常见模型专项训练(30道)(举一反三)(学生版)
专题平行线中常见模型专项训练（30道）1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°2．如图，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的数量关系是（）A．∠A+∠P+∠C＝90°B．∠A+∠P+∠C＝180°C．∠A+∠P+∠C＝360°D．∠P+∠C＝∠A3．如图，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是（）A．75°B．65°C．55°D．50°4．如图，AB∥CD，∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，则∠E：∠F＝（）A．2：1B．3：1C．3：2D．4：35．如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°6．如图，已知AB∥CD，EF∥CD，则下列结论中一定正确的是（）A．∠BCD＝∠DCE B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360°C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180°7．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°8．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝28°，则∠2＝（）A．62°B．58°C．52°D．48°9．如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝．11．如图，∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，直线FG分别交AB、DE于点F、G．若∠1＝110°，则∠2＝．12．如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝．13．如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝50°，∠3＝60°，则∠4＝．14．如图，若直线a∥b，那么∠x＝度．15．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，则∠BED的度数为度．16．如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝．17．如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．证明：β＝2α18．如图，AB∥CD，CP∥FG，点E，G分别在CP，PQ上，连接EF，若∠FGQ+∠ACP＝∠CAB，判断AB与PQ 存在什么位置关系？请详细说明理由．19．已知，AB∥CD，分别探讨四个图形中∠APC，∠P AB，∠PCD的关系．（1）请说明图1、图2中三个角的关系，并任选一个加以证明．（2）猜想图3、图4中三个角的关系，不必说明理由．（提示：注意适当添加辅助线吆！）20．探究：（1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗？（2）如图a，反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；（3）若将点E移至图b所示位置，AB∥CD，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请证明；（4）若将点E移至图c所示位置，AB∥CD，情况又如何？（5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？（6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？21．已知，AB∥CD，试解决下列问题：（1）如图1，∠1+∠2＝；（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝；（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．22．如图所示，AB∥CD，在AB与CD之间有P1、P2、P3三点，顺次连接B、P1、P2、P3、D．（1）分别写出图甲、图乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之间的关系，这个关系与B、D之间的点的个数有关吗？如果有，写出这个规律；（2）如果在图甲、图乙中，B、D之间的点变为P1、P2、P3、…、P n，根据在（1）中的结论，直接写出图甲、图乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之间的关系．23．已知，直线AB∥CD（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．24．问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠P AB+∠PCD的度数．经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠P AB+∠PCD＝．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．问题拓展：如图4，MA1∥NA n，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣B n﹣1﹣A n是一条折线段．依据此图信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为．25．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于点O．（1）若∠AMF＝52°，∠CNE＝38°，求∠MEN、∠MFN的度数；（2）若2∠MFN﹣∠MEN＝45°，求出∠AMF的度数；（3）探究∠MEN、∠MFN与∠MON之间存在怎样的数量关系．（直接写出结果）26．课堂上老师呈现一个问题：已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB与点O，FG交CD与点P，当∠1＝30°时，求∠EFG的度数．下面提供三种思路：思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．解答下列问题：（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为；（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．27．已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC 的度数；（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC 的度数；（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．28．如图1，已知AB∥CD，点E和点H分别在直线AB和CD上，点F在直线AB和CD之间，连接EF和HF．（1）求∠AEF+∠CHF+∠EFH的度数；（2）如图2，若∠AEF+∠CHF＝2∠EFH，HM平分∠CHF交FE的延长线于点M，∠DHF＝80°，求∠FMH 的度数．29．（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．30．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．（1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数；（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量？试证明你的结论；（3）如图③，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系．。
七年级数学下册-专题01平行线(四种模型)专项训练(解析版)
专题01平行线（四种模型）专项训练题型一：M 模型（锯齿形）题型二：笔尖型题型三：“鸡翅”型题型四：“骨折”型模型一：M 模型如图，若AB //CD，你能确定∠B、∠D 与∠BED 的大小关系吗？解：∠B＋∠D＝∠DEB ．理由如下：过点E 作EF //AB又∵AB//CD．∴EF//CD．∴∠D =∠DEF．∠B=∠BEF．∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠DEB即∠B＋∠D＝∠DEB ．一．选择题（共3小题）1．（2023春•临淄区期末）如图，//AB EF ，90C ∠=︒，则α、β和γ的关系是()A ．βαγ=+B ．180αβγ++=︒C ．90αβγ+-=︒D ．180βγα+-=︒【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．【解答】解：延长DC 交AB 与G ，延长CD 交EF 于H ．在直角BGC ∆中，190α∠=︒-；EHD ∆中，2βγ∠=-，//AB EF ，12∴∠=∠，90αβγ∴︒-=-，即90αβγ+-=︒．故选：C ．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．（2023春•天宁区校级期中）如图，//AB CD ，EMNF 是直线AB 、CD 间的一条折线．若140∠=︒，260∠=︒，370∠=︒，则4∠的度数为()A ．55︒B ．50︒C ．40︒D ．30︒【分析】过M 作//OM AB ，//PN AB ，根据平行线的性质得到1EMO ∠=∠，4PNF ∠=∠，OMN PNM ∠=∠，由角的和差得到(1)(4)14EMN MNF MNP MNP ∠-∠=∠+∠-∠+∠=∠-∠，代入数据即可得到结论．【解答】解：如图2，过M 作//OM AB ，//PN AB ，//AB CD ，//////AB OM PN CD ∴，1EMO ∴∠=∠，4PNF ∠=∠，OMN PNM ∠=∠，(1)(4)14EMN MNF MNP MNP ∴∠-∠=∠+∠-∠+∠=∠-∠，6070404∴︒-︒=︒-∠，450∴∠=︒．故选：B ．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．3．（2022春•海安市校级月考）如图，//AB EF ，90C ∠=︒，则α、β、γ的关系为()A ．βαγ=+B ．90αβγ+-=︒C ．180αβγ++=︒D ．90βγα+-=︒【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．【解答】解：延长DC 交AB 于G ，延长CD 交EF 于H ．直角BGC ∆中，190α∠=︒-；EHD ∆中，2βγ∠=-，//AB EF ，12∴∠=∠，90αβγ∴︒-=-，即90αβγ+-=︒．故选：B ．【点评】此题主要考查了三角形的外角的性质以及平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线，构造了三角形以及由平行线构成的内错角．二．解答题（共6小题）4．（2023春•仪征市期末）如图1，已知线段AB 、线段CD 被直线l 所截于点A 、点C ，150∠=︒，2∠的度数是1∠的3倍少20︒．（1）求证：//AB CD ；（2）如图2，连接BD ，AB 沿BD 方向平移得到EF ，点F 在BD 上，点G 是BD 上的一点，连接AG 、EG ，30BAG ∠=︒，20FEG ∠=︒，求AGE ∠的度数；（3）如图3，点M 是线段BD 上一点，点N 是射线CD 上一点，CAM ∠度数为k ，AMN ∠度数为m ，MND ∠度数为n ，请直接写出k 、m 、n 之间的数量关系．（本题的角均小于180)︒【分析】（1）根据已知先求得1∠的邻补角BAC ∠的度数，得到2BAC ∠=∠即可得结论；（2）过G 作//GQ AB ，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可；（3）利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可．【解答】证明：（1）150∠=︒ ，2∠的度数是1∠的3倍少20︒，23120130∴∠=∠-︒=︒，180250ACD ∴∠=︒-∠=︒，12∴∠=∠，//AB CD ∴；（2）过G 作//GQ AB ，30AGQ BAG ∴∠=∠=︒，//AB EF ，//GQ EF ∴，20GEF EGQ ∴∠=∠=︒，50AGE AGQ EGQ ∴∠=∠+∠=︒；（3）//AB CD ，与（2）同理可得：AMN MAB MND ∠=∠+∠，AMN m ∠= ，MND n ∠=，m n MAB ∴=+∠，150∠=︒ ，CAM k ∠=，180118050BAM CAM k ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-，130m n k ∴=+︒-，即130m n k -+=︒．【点评】本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，理解题意是解决问题的关键．5．（2022春•赣榆区期末）已知：如图，//AB CD ，BFE FEC ∠=∠．求证：ABF DCE ∠=∠．（1）下面是小明同学的推理过程，请按先后顺序填写空格：解：连接BC ．BFE FEC ∠=∠ （已知），∴BF //（内错角相等，两直线平行）．(FBC ECB ∴∠=∠)，//AB CD （已知），ABC DCB ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）ABC FBC DCB ∴∠-∠=∠-()，即ABF DCE ∠=∠．（2）试用其他方法进行推理，并书写证明过程．【分析】（1）连接BC ，根据已知，得出//BF CE ，根据平行线的性质得到FBC ECB ∠=∠，再根据//AB CD 得出ABC DCB ∠=∠，进而得出ABC FBC DCB ECB ∠-∠=∠-∠即可得出答案；（2）延长BF 交DC 的延长线于H ，根据平行线的性质可得ABF H ∠=∠，再利用等量代换可得H DCE ∠=∠，进而可判定//BH CE ，然后可得BFE FEC ∠=∠．【解答】（1）解：连接BC ．BFE FEC ∠=∠ （已知），//BF CE ∴（内错角相等，两直线平行）．(FBC ECB ∴∠=∠两直线平行，内错角相等），//AB CD （已知），ABC DCB ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）(ABC FBC DCB ECB ∴∠-∠=∠-∠等式的基本性质），即ABF DCE ∠=∠．故答案为：BF ，CE ；两直线平行，内错角相等；ECB ∠；等式的基本性质．（2）证明：延长BF 交DC 的延长线于H ，//AB CD ，ABF H ∴∠=∠，ABF DCE ∠=∠ ．H DCE ∴∠=∠，//BH CE ∴，BFE FEC ∴∠=∠．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．6．（2023春•天宁区校级期中）已知：如图，180ABE CEB ∠+∠=︒，12∠=∠，求证：M N ∠=∠．【分析】首先证明//AB CD ，再根据平行线的性质得出ABE DEB ∠=∠，然后结合已知条件可得到MBE NEB ∠=∠，进而可判定//BM EN ，据此可得出结论．【解答】证明：180ABE CEB ∠+∠=︒ ，//AB CD ∴，ABE DEB ∴∠=∠，即：12MBE NEB ∠+∠=∠+∠，又12∠=∠ ，MBE NEB ∴∠=∠，//BM EN ∴，M N ∴∠=∠．【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行⇔同位角相等，两直线平行⇔内错角相等，两直线平行⇔同旁内角互补．7．（2023春•崇川区期中）如图1，已知直线EF 与直线AB 交于点E ，与直线CD 交于点F ，EM 平分AEF ∠交直线CD 于点M ，且FEM FME ∠=∠．（1）试判断直线AB 与CD 的位置关系，并说明理由；（2）点G 是射线MD 上的一个动点（不与点M ，F 重合），EH 平分FEG ∠交直线CD 于点H ，过点H 作//HN EM 交直线AB 于点N ．设EHN α∠=，EGF β∠=．①如图2，当点G 在点F 的右侧，且50α=︒时，求β的值；②当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【分析】（1）由EM 平分AEF ∠，得到AEM FEM ∠=∠，又FEM FME ∠=∠，所以AEM FME ∠=∠，证得//AB CD ．（2）①由EH 平分FEG ∠，EM 平分AFE ∠，得到12HEM HEF FEM AEG ∠=∠+∠=∠，由//HN EM ，//AB CD 可得，HEM EHN α∠=∠=，GEB EGF β=∠=，即可得到结果．②当点G 在点F 的左侧时，由EM 平分AEF ∠，EH 平分FEH ∠，得到12HEM HEF FEM AEG ∠=∠+∠=∠，由//AB CD ，//HN EM ，得到AEG β∠=，HEM α∠=，从而得到结果．【解答】解（1）如图1，//AB CD ，理由如下：EM 平分AEF ∠，AEM FEM ∴∠=∠，FEM FME ∠=∠ ，AEM FME ∴∠=∠，//AB CD ∴．（2）①如图2，EH 平分FEG ∠，12HEF FEG ∴∠=∠，EM 平分AFE ∠，12FEM AEF ∴∠=∠，12HEM HEF FEM AEG ∴∠=∠+∠=∠，//HN EM ，HEM EHN α∴∠=∠=，//AB CD ，GEB EGF β∴∠=∠=，1(180)2αβ∴=︒-，180218025080βα∴=︒-=︒-⨯︒=︒．②α和β之间的数量关系为2βα=或1802βα=︒-．理由如下：当点G 在点F 的右侧时，由①得1802βα=︒-，当点G 在点F 的左侧时，如图3，EM 平分AEF ∠，2AEF FEM ∴∠=∠，EH 平分FEH ∠，2GEF HEF ∴∠=∠，222AEG AEF GEF FEM HEF HEM ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠，//AB CD ，AEG β∴∠=，//HN EM ，HEM α∴∠=，2βα∴=，综上得，α和β之间的数量关系为2βα=或1802βα=︒-．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题关键．8．（2023春•海安市期末）如图，在ABC ∆中，ACB BAC ∠=∠．过点A 作//MN BC ．（1）判断AC 是否平分BAN ∠，并说明理由；（2）如图2，点D 是射线CB 上一动点（不与点B ，C 重合），AE 平分BAD ∠交射线BC 于E ，过点E 作EF AC ⊥于F ．①当点D 在点B 左侧时，若20AEF ∠=︒，求ADB ∠的度数；②点D 在运动过程中，AEF ∠和ADB ∠之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．【分析】（1）根据//MN BC 得ACB CAN ∠=∠，结合已知条件得证；（2）①在直角三角形AFE 中，20AEF ∠=︒，则9070EAF EAF ∠=︒-∠=︒，根据19020702EAF BAC BAE DAE CAN DAN ∠=∠+∠=︒-︒=︒=∠+∠=∠，从而求出140DAN ∠=︒，即可求出ADB ∠；②分两种情况进行讨论，当点D 在点B 左侧时和点D 在点B 右侧时，数形结合即可解答．【解答】解：（1）AC 平分BAN ∠，//MN BC ，ACB CAN ∴∠=∠，ACB BAC ∠=∠ ．BAC CAN ∴∠=∠，AC ∴平分BAN ∠，（2）EF AC ⊥ ，9070EAF EAF ∴∠=︒-∠=︒，AC 、AE 是角平分线，DAE BAE ∴∠=∠，BAC CAN ∠=∠，19020702EAF BAC BAE DAE CAN DAN ∴∠=∠+∠=︒-︒=︒=∠+∠=∠，140DAN ∴∠=︒，40ADB ∴∠=︒．②设AEF α∠=，EF AC ⊥ ，90EAF α∴∠=︒-，如图2，当点D 在点B 左侧时，由（1）知12NAC BAC BAN ∠=∠=∠，AE 平分BAD ∠交射线BC 于E ，12DAE BAE BAD ∴∠=∠=∠，又1111()902222EAF BAE BAC BAD BAN BAD BAN DAN α∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒- ，1802DAN α∴∠=︒-，//MN BC ，180ADB DAN ∴∠+∠=︒，180180(1802)2ADB DAN αα∴∠=︒-∠=︒-︒-=，2ADB AEF ∴∠=∠；当点D 在点B 右侧时，如图：AC 、AE 是角平分线，12DAE BAE BAD ∴∠=∠=∠，12BAC CAN BAN ∠=∠=∠，1111()902222EAF BAC BAE BAN BAD BAN BAD DAN α∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠=︒- ，1802DAN α∴∠=︒-，//MN BC ，1802ADB DAN α∴∠=∠=︒-，1802ADB AEF ∴∠=︒-∠．综上，2ADB AEF ∠=∠或1802AEF ︒-∠．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角，利用角的和差关系进行推理论证．9．（2023春•姜堰区期末）已知12//l l ，李想同学将ABC ∆放置在这两条平行线上展开探究，其中ABC ∆三边与两条平行线分别交于点D 、E 、F 、G ．（1）【特例探究】如图1，90C ∠=︒．①CED CGF ∠+∠=270度；②若CED ∠与CGF ∠的角平分线相交于点P ，则EPG ∠=度；（2）【一般探索】如图2，C α∠=，EPG β∠=．①若13DEP CED ∠=∠，13FGP CGF ∠=∠，求α与β的关系；②若1DEP CED n ∠=∠，1(2FGP CGF n n ∠=∠ 且n 为整数），直接写出α与β的关系；（3）【拓展应用】如图3，CED ∠与CGF ∠的角平分线相交于点1P ，1PED ∠与1PGF ∠的角平分线相交于点2P ，2P ED ∠与2P GF ∠的角平分线相交于点3P ；⋯，以此类推，则2023360C EP G︒-∠∠的值是多少？（直接写出结果）【分析】（1）①作1//CM l 根据平行线的性质可得180CED ECM ∠+∠=︒，_180CGF GCM ∠+∠=︒两式相加即可得360CED CGF C ∠+∠=︒-∠；②由①知：360CED CGF C ∠+∠=︒-∠，再根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得：1()2EPG CED CGF ∠=∠+∠化简整理即可；（2）①13DEP CED ∠=∠，13FGP CGF ∠=∠时，结合（1）中的结论和平行线的性质，可得α与β之间的关系；②类似于前面的证明，结合平行线的性质和角平分线的定义即可得结论；（3）根据角平分线的定义和平行线的性质找到规律即可得结论．【解答】解：（1）①作1//CM l ，180CED ECM ∴∠+∠=︒，2l //1l ，2//CM l ∴，_180CGF GCM ∴∠+∠=︒，360CED ECM CGF GCM ∴∠+∠+∠+∠=︒，90ECG ECM CGF ∠=∠+∠=︒ ，_90360CED CGF ∴∠+∠+︒=︒，270CED CGF ∴∠+∠=︒，故答案为270︒；②CED ∠ 与CGF ∠的角平分线相交于点P ，2CED CEP ∴∠=∠，2CGF CGP ∠=∠，由①知：270CED CGF ∠+∠=︒，22270CEP CGP ∴∠+∠=︒，135CEP CGP ∴∠+∠=︒，360CEP CGP EPG ECG ∠+∠+∠+∠=︒ ，135EPF ∴∠=︒；（2）21//l l ，ECG α∠=，由（1）①知360CED CGF ECF ∠+∠+∠=︒，360360CED CGF ECG α∴∠+∠=︒-∠=︒-，由（1）②知若13DEP CED ∠=∠，13FGP CGF ∠=∠，∴23CED CEP ∠=∠，23CGF CGP ∠=∠，2222()(360)3333CEP CGP CED CGF CED CGF α∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒-，360CEP CGP EPG ECG ∠+∠+∠+∠=︒ ，∴2(360)3603αβα︒-++=︒，整理得：3360αβ+=︒；②若1DEP CED n ∠=∠，1(2FGP CGF n n∠=∠ 且n 为整数）时，由①同理可得α与β的关系：360n αβ+=︒；（3）通过前面的证明易得360360CED CGF C α∠+∠=︒-∠=︒-，当CED ∠与CGF ∠的角平分线相交于点1P ，1PED ∠与1PGF ∠的角平分线相交于点2P ，2P ED ∠与2P GF ∠的角平分线相交于点3P ；⋯，以此类推，则111111()()(360)222EPG CED CGF CED CGF α∠=∠+∠∠+∠=︒-，222111()())(360)422EP G CED CGF CED CGF α∠=∠+∠=∠+∠==︒-，333111()())(360)822EP G CED CGF CED CGF α∠=∠+∠=∠+∠=︒-，444111()())(360)1622EP G CED CGF CED CGF α∠=∠+∠=∠+∠=︒-，551(360)2EP G α∠=︒-，.....．1(360)2n nEP G α∠=︒-，当2023n =时，202320231(360)2EP G α∠=︒-，∴20232023202336036021(360)2C EP G αα︒-∠︒-==∠︒-，【点评】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定理，灵活运用所学知识找到规律是解决问题的关键．模型二、笔尖型如图，AB //CD，探索∠B、∠D 与∠DEB 的大小关系？解：∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．理由如下：过点E作EF//AB．又∵AB//CD．∴EF//CD．∴∠B+∠BEF＝180°．∠D+∠DEF＝180°．∴∠B＋∠D+∠DEB＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF＝360°．即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．一．选择题（共3小题）1．（2022春•海陵区期末）如图//∠+∠+∠=a b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么123( )A．180︒B．270︒C．360︒D．540︒【分析】首先过点P作//PA a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．【解答】解：过点P作//a b PA，PA a，则////∠+∠=︒，1180NPA∴∠+∠=︒，3180MPA∴∠+∠+∠=︒．123360故选：C．【点评】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．2．（2023春•沭阳县期末）如图，把一块含有30︒角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果137∠=︒，那么2∠的度数是()A．30︒B．25︒C．23︒D．37︒【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，进而可以得出答案．【解答】解：如图，直尺的两条边平行，137∠=︒，∴∠=∠=︒，1337直角三角板的一个角为30︒，∴∠+∠=︒，2360∴∠=︒-︒=︒，2603723故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，注意隐含条件，直尺的两条对边平行和直角三角板的一个锐角是30︒是解题的关键．3．（2023春•东台市月考）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中ABC BCD∠+∠的度数始终等于()度A．360B．180C．250D．270【分析】过点B作//∠+∠=︒，从而可C CBGBG AE，利用平行线的性质可得180BAE ABG∠+∠=︒，180得360BAE∠=︒，最后进行计算即可解答．∠+∠+∠=︒，然后根据垂直定义可得90BAE ABC BCD【解答】解：过点B作//BG AE，BAE ABG∴∠+∠=︒，180AE CD，//∴，BG CD//∴∠+∠=︒，180C CBG∴∠+∠+∠+∠=︒，BAE ABG CBG C360BAE ABC BCD∴∠+∠+∠=︒，360⊥，BA AE∴∠=︒，90BAE∴∠+∠=︒-∠=︒，ABC BCD BAE360270故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握铅笔模型是解题的关键．二．填空题（共3小题）4．（2022春•崇川区校级月考）如图，直线//∠=︒，则3∠=78度，345∠+∠+∠=∠=︒，250a b，128度．【分析】过3∠的顶点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质，不难发现：312∠=∠+∠，∠+∠+∠=︒345360【解答】解：如图所示：过3∠的顶点作//c a，a b，//∴，a b c////∠=∠，16∴∠=∠，72又367∠=∠+∠，∴∠=∠+∠=︒；31278又4675180∠+∠=∠+∠=︒∴∠+∠+∠=︒．345360【点评】注意此类题中常见的辅助线：构造已知直线的平行线．根据平行线的性质发现并证明：312∠=∠+∠；∠+∠+∠=︒．3453605．（2022春•淮安期末）如图，//∠∠和CFGAB CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是AEG的角平分线．若110∠=125︒．∠=︒，则HG【分析】过点G作//CD GM，∠+∠=︒，再结合已知可得// GM AB，根据平行线的性质可得180AEG EGM然后利用平行线的性质可得180∠+∠=︒，再利用角平分线的定AEG CFG∠+∠=︒，从而可得250CFG MGF义可得125∠+∠=︒，最后利用四边形的内角和定理进行计算即可解答．HEG GFH【解答】解：过点G作//GM AB，∴∠+∠=︒，AEG EGM180，//AB CD//CD GM ∴，180CFG MGF ∴∠+∠=︒，360AEG EGM CFG MGF ∴∠+∠+∠+∠=︒，110EGF EGM MGF ∠=∠+∠=︒ ，360250AEG CFG EGF ∴∠+∠=︒-∠=︒，EH 、FH 分别是AEG ∠和CFG ∠的角平分线，12HEG AEG ∴∠=∠，12GFH CFG ∠=∠，1112522HEG GFH AEG CFG ∴∠+∠=∠+∠=︒，360125H HEG HFG EGF ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒，故答案为：125．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．（2023春•邗江区期中）将一副三角板如图1所示摆放，30BAC ∠=︒，45E ∠=︒，直线//GH MN ，现将三角板ABC 绕点A 以每秒1︒的速度顺时针旋转，同时三角板DEF 绕点D 以每秒3︒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t 秒，当0120t时，若边BC 与三角板DEF 的一条直角边（边DE ，)DF 平行，则所有满足条件的t 的值为15或105或60．【分析】先根据题意画出旋转后的图形，由已知条件，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可．【解答】解：由题意得：30HAC BAH BAC t ∠=∠+∠=︒+︒，3FDM t ∠=︒，（1）当//BC DE 时，如图所示：延长AC 交MN 于点P ，①DE 在MN 上方，//DE BC ，DE DF ⊥，AC BC ⊥，//AP DF ∴，FDM MPA ∴∠=∠，//MN GH ，MPA HAC ∴∠=∠，FDM HAC ∴∠=∠，即330t t =+，15t =；②1DE 在MN 下方时，1(3180)F DP t ∠=-︒，1//DE BC ，11DE DF ⊥，AC BC ⊥，1//AP DF ∴，1F DM MPA ∴∠=∠，//MN GH ，MPA HAC ∴∠=∠，1F DM HAC ∴∠=∠，即318030t t -=+，解之得：105t =；如图：当//BC DF 时，延长AC 交MN 于点I ，①DF 在MN 上方，(1803)FDN t ∠=-度，//DF BC ，AC BC ⊥，//AI DE ∴，90FDN MIA ∴∠+∠=︒，//MN GH ，MIA HAC ∴∠=∠，90FDN HAC ∴∠+∠=︒，即18033090t t -++=，解之得：60t =；②DF 在MN 下方，2(1803)F DN t ∠=-度，2//DF BC ，AC BC ⊥，22ED DF ⊥，2//AC DE ∴，2AIM MDE ∴∠=∠，//MN GH ，MIA HAC ∴∠=∠，2E DM HAC ∴∠=∠，即318030t t -=+，解之得：105t =，综上可知：所有满足条件的t 的值为：15或105或60，故答案为：15或105或60．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是根据题意，画出旋转后的图形．三．解答题（共3小题）7．（2022春•海州区校级期中）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且//DE AC ，12∠=∠．求证：//AF BC ．【分析】根据平行线的性质得出1C ∠=∠，求出2C ∠=∠，根据平行线的判定得出即可．【解答】证明：//DE AC ，1C ∴∠=∠，12∠=∠ ，2C ∴∠=∠，//AF BC ∴．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．8．（2023春•盐都区期中）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、BC 上，//AF BC ，12∠=∠，求证：//DE AC ．【分析】由两直线平行内错角相等得到1C ∠=∠，再根据同位角相等两直线平行可解题．【解答】证明：//AF BC ，1C ∴∠=∠，12∠=∠ ，2C ∴∠=∠，//DE AC ∴．【点评】本题考查平行线的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．9．（2022春•亭湖区校级月考）如图，已知1BDC ∠=∠，23180∠+∠=︒．（1）AD 与EC 平行吗？试说明理由．（2）若DA 平分BDC ∠，DA FA ⊥于点A ，182∠=︒，试求FAB ∠的度数．【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出//AB CD ，进而得出3180ADC ∠+∠=︒，即可得出答案；（2）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出2∠，即可得出答案．【解答】（1）解：AD 与EC 平行，理由如下：1BDC ∠=∠ ，//AB CD ∴（同位角相等，两直线平行），2ADC ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等），23180∠+∠=︒ ，3180ADC ∴∠+∠=︒（等量代换），//AD CE ∴（同旁内角互补，两直线平行）；（2）解：1BDC ∠=∠ ，182∠=︒，82BDC ∴∠=︒，DA 平分BDC ∠，1412ADC BDC ∴∠=∠=︒（角平分线定义），241ADC ∴∠=∠=︒（已证），又DA FA ⊥ ，90FAD ∴∠=︒（垂直定义），2904149FAB FAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出90AEC FAD ∠=∠=︒是解题关键．模型三、“鸡翅”型如图，已知AB//CD，试猜想∠A、∠E、∠C 的关系，并说明理由．解：∠AEC=∠A-∠C,理由如下：过点E 作EF //AB又∵AB//CD．∴EF//CD．∴∠A+∠FEA=180°，∠C+∠FEC=180°∴∠AEC＝∠FEC-∠FEA=180°-∠C –(180°-∠A)=∠A-∠C即：∠AEC=∠A-∠C 一、单选题1．（2021下·湖南株洲·七年级统考期末）①如图1，AB ∥CD ，则360A E C ∠+∠+∠=︒；②如图2，AB ∥CD ，则P A C ∠=∠-∠；③如图3，AB ∥CD ，则1E A ∠=∠+∠；④如图4，直线AB ∥CD ∥EF ，点O 在直线EF 上，则180αβγ∠-∠+∠=︒．以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】①过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C=360°，故①正确；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正确；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A +∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A +∠AEC ﹣∠1＝180°，即∠AEC ＝180°+∠1﹣∠A ，故③错误；④如图4，∵AB ∥EF ，∴∠α＝∠BOF ，∵CD ∥EF ，∴∠γ+∠COF ＝180°，∵∠BOF ＝∠COF +∠β，∴∠COF ＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正确；综上结论正确的个数为3，故选：C ．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．二、解答题2．（2021下·浙江台州·七年级统考期末）如图，已知AD AB ⊥于点A ，AE ∥CD 交BC 于点E ，且EF AB ⊥于点F ．求证：12C ∠=∠+∠．证明：∵AD AB ⊥于点A ，EF AB ⊥于点F ，（已知）∴90DAB EFB ∠=∠=︒．（垂直的定义）∴AD ∥EF ，（）∴__________1=∠（）∵AE ∥CD ，（已知）∴C ∠=________．（两直线平行，同位角相等）∵2AEB AEF ∠=∠+∠，∴12C ∠=∠+∠．（等量代换）【答案】见解析1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠+∠ ，PAC PBD APB ∴∠+∠=∠．（2）解：结论：当点P 在直线1l 上方时，∠-∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠-∠=∠PAC PBD APB ．①当点P 在直线1l 上方时，如图2所示．过点P 作1PE l ∥．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB BPE APE ∠=∠-∠ ，PBD PAC APB ∴∠-∠=∠．②当点P 在直线2l 下方时，如图3所示．过点P 作1PE l ∥．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠-∠ ，PAC PBD APB ∴∠-∠=∠．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．4．（2021下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）AB CD ，猜想BPD ∠与B D ∠∠、的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB CD ，猜想图中的BPD ∠与B D ∠∠、的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB CD ，猜想图中的BPD ∠与B D ∠∠、的关系，不需要说明理由．【答案】（1）360B BPD D ∠+∠+∠=︒，理由见解析；（2）BPD B D ∠=∠+∠，理由见解析；（3）图（3）BPD D B ∠=∠-∠，图（4）BPD B D∠=∠-∠【分析】（1）过点P 作EF AB ∥，得到180B BPE ∠+∠=︒，由AB CD ，EF AB ∥，得到EF CD ，得到180EPD D ∠+∠=︒，由此得到360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）过点P 作PE AB ，由PE AB CD ∥∥，得到12B D ∠=∠∠=∠，，从而得到结论12BPD B D ∠=∠+∠=∠+∠；（3）由AB CD ，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得BPD ∠与B D ∠∠、的关系．【详解】（1）解：猜想360B BPD D ∠+∠+∠=︒．理由：过点P 作EF AB ∥，∴180B BPE ∠+∠=︒，∵AB CD ，EF AB ∥，∴EF CD ，∴180EPD D ∠+∠=︒，∴360B BPE EPD D ∠+∠+∠+∠=︒，∴360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）BPD B D ∠=∠+∠．理由：如图，过点P 作PE AB ，∵AB CD ，∴PE AB CD ∥∥，∴12B D ∠=∠∠=∠，，∴12BPD B D ∠=∠+∠=∠+∠；（3）如图（3）：BPD D B ∠=∠-∠．理由：∵AB CD ，∴1D ∠=∠，∵1B P ∠=∠+∠，∴D B P ∠=∠+∠，即BPD D B ∠=∠-∠；如图（4）：BPD B D ∠=∠-∠．理由：∵AB CD ，∴1B ∠=∠，∵1D P ∠=∠+∠，∴B D P ∠=∠+∠，即BPD B D ∠=∠-∠．【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键．5．（2021下·浙江·七年级期末）已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．（1）如图1，点B 在两条平行线外，则A ∠与C ∠之间的数量关系为______；（2）点B 在两条平行线之间，过点B 作BD AM ⊥于点D ．①如图2，说明ABD C ∠=∠成立的理由；②如图3，BF 平分DBC ∠交DM 于点,F BE 平分ABD ∠交DM 于点E ．若180,3FCB NCF BFC DBE ∠∠∠∠+=︒=，求EBC ∠的度数．【答案】（1）∠A +∠C =90°；（2）①见解析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B 作BG ∥DM ，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B 作BG ∥DM ，根据角平分线的定义，得出∠ABF =∠GBF ，再设∠DBE =α，∠ABF =β，根据∠CBF +∠BFC +∠BCF =180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB ⊥BC ，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE =15°，进而得出∠EBC =∠ABE +∠ABC =15°+90°=105°．【详解】解：（1）如图1，AM 与BC 的交点记作点O ，∵AM ∥CN ，∴∠C =∠AOB ，∵AB ⊥BC ，∴∠A +∠AOB =90°，∴∠A +∠C =90°；（2）①如图2，过点B 作BG ∥DM ，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，BG CN//,∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC =3α+β，∵∠AFC +∠NCF =180°，∠FCB +∠NCF =180°，∴∠FCB =∠AFC =3α+β，△BCF 中，由∠CBF +∠BFC +∠BCF =180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB ⊥BC ，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE =15°，∴∠EBC =∠ABE +∠ABC =15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．6．（2021下·福建厦门·七年级厦门市第十一中学校考期中）已知，//AE BD ，A D ∠=∠．（1）如图1，求证：//AB CD ；（2）如图2，作BAE ∠的平分线交CD 于点F ，点G 为AB 上一点，连接FG ，若CFG ∠的平分线交线段AG 于点H ，连接AC ，若ACE BAC BGM ∠=∠+∠，过点H 作HM FH ⊥交FG 的延长线于点M ，且3518E AFH ∠-∠=︒，求EAF GMH ∠+∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）72︒【分析】（1）根据平行线的性质得出180A B ∠+∠=︒，再根据等量代换可得180B D ∠+∠=︒，最后根据平行线的判定即可得证；（2）过点E 作//EP CD ，延长DC 至Q ，过点M 作//MN AB ，根据平行线的性质及等量代换可得出ECQ BGM DFG ∠=∠=∠，再根据平角的含义得出ECF CFG ∠=∠，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出,BHF CFH CFA FAB ∠=∠∠=∠；设,FAB CFH αβ∠=∠=，根据角的和差可得出2AEC AFH ∠=∠，结合已知条件35180AEC AFH ∠-∠=︒可求得18AFH ∠=︒，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案．AFH CFH CFA CFH FAB∠=∠-∠=∠-∠∴∠=-，BHF CFHβAFHβα∠=∠=ECF AFH AEC EAB AFH AECβ∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+222∴∠+∠=∠+∠ECF AFH E BHF22∴∠=∠2AEC AFH∠-∠=︒AEC AFH35180AFH∴∠=︒18⊥FH HM∴∠=︒90FHM∴∠=︒-GHMβ90∠+∠=︒CFM NMF180∴∠=∠=︒-HMB HMNβ90∠=∠EAF FABEAF CFA CFH AFHβ∴∠=∠=∠-∠=-︒18∴∠+∠=-︒+︒-=︒EAF GMHββ189072EAF GMH∴∠+∠=︒．72【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．模型四、“骨折模型”如图，已知BC//DE，试猜想∠A、∠B、∠D的关系，并说明理由．解：∠BAD=∠D-∠B,理由如下：过点A作AG//BC又∵CB//DE．∴AG//DE∴∠GAB+∠B=180°，∠GAD+∠D=180°∴∠BAD＝∠GAB-∠GAD=180°-∠B–(180°-∠D)=∠D-∠B即：∠BAD=∠D-∠B注：平行线四大模型大题不可直接使用，必须证明后再用，选择填空满足条件即可直接用！【答案】60︒【分析】过点B作BD EF∥=∠进而可得12∠+∠ABD【详解】解：如图，过点Rt ABC△中，30∠=︒，A∴9060∠=︒-∠=︒．ABC ABD EF∥，∠=∠．∴1ABD【答案】40︒/40度∥【分析】过C作CF AB∠=︒即可得到答案；CDE140CF【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，根据平行线性质得到角度关系．二、解答题4．（2021·全国·九年级专题练习）已知AB//CD，求证：∠B＝∠E＋∠D【答案】见解析【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图∵AB∥CD，∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（辅助线），∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）；∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换），∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换），即∠B=∠E+∠D．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．5．（2021下·山西晋中·七年级统考期中）综合与探究【问题情境】王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，//∠、EF MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出PAF ∠之间的数量关系；PBN∠和APB【问题迁移】（2）如图2，射线OM 与射线ON 交于点O ，直线//m n ，直线m 分别交OM 、ON 于点A 、D ，直线n 分别交OM 、ON 于点B 、C ，点P 在射线OM 上运动，①当点P 在A 、B （不与A 、B 重合）两点之间运动时，设ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．则CPD ∠，α∠，∠β之间有何数量关系？请说明理由．②若点P 不在线段AB 上运动时（点P 与点A 、B 、O 三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出CPD ∠，α∠，∠β之间的数量关系．【答案】（1）360PAF PBN APB ∠+∠+∠=°；（2）①CPD αβ∠=∠+∠，理由见解析；②图见解析，CPD βα∠=∠-∠或CPD αβ∠=∠-∠【分析】（1）作PQ ∥EF ，由平行线的性质，即可得到答案；（2）①过P 作//PE AD 交CD 于E ，由平行线的性质，得到DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得到答案；②根据题意，可对点P 进行分类讨论：当点P 在BA 延长线时；当P 在BO 之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．【详解】解：（1）作PQ ∥EF ，如图：∵//EF MN ，∴////EF MN PQ ，∴180PAF APQ ∠+∠=°，180PBN BPQ ∠+∠=°，∵APB APQ BPQ∠=∠+∠∴360PAF PBN APB ∠+∠+∠=°；（2）①CPD αβ∠=∠+∠；理由如下：如图，过P 作//PE AD 交CD 于E ，∵//AD BC ，∴////AD PE BC ，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD DPE CPE αβ∠=∠+∠=∠+∠；②当点P 在BA 延长线时，如备用图1：∵PE ∥AD ∥BC ，∴∠EPC=β，∠EPD =α，∴CPD βα∠=∠-∠；当P 在BO 之间时，如备用图2：∵PE ∥AD ∥BC ，∴∠EPD =α，∠CPE =β，∴CPD αβ∠=∠-∠．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．6．（2021下·新疆克拉玛依·七年级统考期末）（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果）（2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果）（3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果）（4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠A n＝_______．（直接写出结果）【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180°【分析】（1）过点A2作A2B∥l1，根据平行线的性质，即可求解；（2）过点A2作A2B∥l1，过点A3作A3C∥l1，根据平行线的性质，即可求解；（3）根据平行线的性质，即可求解；（4）根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：（1）过点A2作A2B∥l1，∵l1∥l2，∴A2B∥l1∥l2，∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A3+∠A3A2B=180°，∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝∠A1+∠A1A2B+∠A3+∠A3A2B=180°+180°=360°，故答案是：360°；（2）过点A2作A2B∥l1，过点A3作A3C∥l1，∵l1∥l2，【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如图，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；(3)设PD交AN于O，如图，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，（1）如图2，小明将折线调节成50,75,25B C D ∠=︒∠=︒∠=︒，判别（2）如图3，若25C D ∠=∠=︒，调整线段AB 、BC 使得//AB CD 并写出计算过程．（3）若85,25,//C D AB DE ∠=︒∠=︒，求出此时B ∠的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算【分析】（1）过点C作CF∥AB，利用平行线的判定和性质解答即可；（2）分别画图3和图4，根据平行线的性质可计算∠B的度数；（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∠B的度数．【详解】解：（1）AB∥DE，理由是：如下图，过点C作CF∥AB，∴∠B=∠BCF=50°，∵∠BCD=75°，∴∠DCF=25°，∵∠D=25°，∴∠D=∠DCF=25°，∴CF∥DE，∴AB∥DE；（2）如下图，∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD=25°；如图4：∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠ABC=180°-25°=155°；（3）由（1）得：∠B=85°-25°=60°；如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD，∴∠FCD=∠D=25°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°-25°=60°，∵AB∥CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠B=120°；如图6，∵∠C=85°，∠D=25°，∴∠CFD=180°-85°-25°=70°，∵AB∥DE，∴∠B=∠CFD=70°，如图7，同理得：∠B=25°+85°=110°，综上所述，∠B的度数为60°或120°或70°或110°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算．9．（2021下·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF ＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°。
初中七年级数学平行线四大模型题
七下专题：平行线四大模型知识导航一、平行线的定义1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b．2、在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行．这里，我们把重合的两直线看成一条直线．【注】初中不涉及到重合．二、平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．三、行线的判定判定1：同位角相等，两直线平行．判定2：内错角相等，两直线平行．判定3：同旁内角互补，两直线平行．四、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等．性质2：两直线平行，内错角相等．性质3：两直线平行，同旁内角互补．五、两条平行线间的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线的距离，平行线间的距离处处相等．如图2，EF的长度就是AB和CD这两条平行线的距离题型一基础巩固例1（1）（二中广雅）如图，已知AB∥CD，CB平分∠ACD，且∠A:∠ACD＝3:1，则∠B的度数为．（2）（武昌七校七下期中）如图，已知AB平行CD，能判断BE平行CF的条件是（）A．∠1＝∠3B．∠2＝∠4C．∠1＝∠4D．∠1＝∠2（3）如图AF∥CD，BC平分∠ACD，交AF于点B，点E在CD上，BD平分∠EBF，交CE的延长线于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠BCD＋∠CDB＝90°；④∠DBF＝2＝S△ABD．∠ABC；⑤S△BCEA．2个B．3个C．4个D．5个练1（1）两条直线被第三条直线所截，那么内错角之间的大小关系是（）A．相等B．互补C．不相等D．无法确定（2）（二中广雅七下期中）如图，∠1＝∠2，且∠3＝105°，则∠4的度数为（）A．75°B．62°C．82°D．108°(3)(武昌七校七下期中)完成下面的推理填空：如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2＋∠3＝180°，求证：∠GDC＝∠B．证明:∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴∠ADB＝＝90°(垂直的定义)，∴AD∥EF()∴（），又∠2＋∠3＝180°(已知)，∵∠1＝∠3(同角的补角相等)，∴∥（），∴∠GDC＝∠B()．模块二四大模型之“铅笔”“猪蹄”模型知识导航四大模型之模型一：“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P＋∠AEP＋∠PFC＝360°；结论2：若∠P＋∠AEP＋∠PFC＝360°，则AB∥CD．四大模型之模型二：“猪蹄”模型点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P＝∠AEP＋∠PFC；结论2：若∠P＝∠AEP＋∠PFC，则AB∥CD．题型一“铅笔”与“猪蹄”的证明例2（1）若AE∥CF，求证：∠P＋∠AEP＋∠PFC＝360°．（2）若AE∥CF，求证：∠P＝∠AEP＋∠PFC．（2）若∠P＝∠AEP＋∠PFC，求证：AE∥CF．题型二“铅笔”“猪蹄”基础应用例3（1）（七一月考）已知EF∥MN，一直角三角板如图放置，∠ACB＝90°．①如图1，若∠1＝60°，则∠2＝度；②如图2，若∠1＝∠B－20°，则∠2＝度．练2（1）若∠P＋∠AEP＋∠PFC＝360°，求证：AE∥CF；．练3（1）如图，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于（）A．100°B．60°C．40°D．20°（2）如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1＋∠2＋∠3＝．巅峰突破已知：如图，AF∥CD，求证：∠A＋∠C＋∠E＝∠B＋∠D＋∠F．（2）（武昌区七下期中）如图，已知a∥b，∠1＝100°，∠2＝140°，则∠3＝模块三四大模型之“臭脚”“骨折”模型知识导航四大模型之模型三：“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P＝∠AEP－∠CFP或∠P＝∠CFP－∠AEP；结论2：若∠P＝∠AEP－∠CFP或∠P＝∠CFP－∠AEP，则AB∥CD．四大模型之模型三：“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P＝∠CFP－∠AEP或∠P＝∠AEP－∠CFP；结论2：若∠P＝∠CFP－∠AEP或∠P＝∠AEP－∠CFP，则AB∥CD．题型一“臭脚”与“骨折”的证明例4（1）若AE∥CF，求证：∠P＝∠AEP－∠CFP．（2）若AE∥CF，求证：∠P＝∠CFP－∠AEP．练4（1）若∠P＝∠AEP－∠CFP，则AE∥CF．（2）若∠P＝∠CFP－∠AEP，求证：AE∥CF．题型二“臭脚”“骨折”基础应用例5（梅苑中学七下期中）已知直线AB∥CD，E是直线AB的上方一点，连接AE、EC ①如图1，求证：∠AEC＋∠EAB＝∠ECD；②如图2，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，且∠AFC比∠AEC的32倍少40°，直接写出∠AEC的度数．练5（1）如图，已知直线AB∥CD，∠C＝115°，∠A＝25°，则∠E＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°（2）如图，已知a∥b，∠3＝50°，则∠1＋∠2＝．例6★★如图，AC∥DE，∠EFG＝∠A＋∠E，试判断AB和FG的位置关系，井说明你的理由．练6如图，AB∥EF，∠B＝50°，∠C＝20°，∠E＝130°，求证：BC∥DE．总结归纳所有的四大模型解决方法都是：转折角处画平行线（拐点＋平行）“铅笔”模型“猪蹄”模型“骨折”模型“臭脚”模型典题示例已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，求证：AB∥EF．【考点】“铅笔”“猪蹄”模型结合配套作业平行线四大模型（一）1．如图，∠1＝∠2，且∠3＝108°，则∠4的度数为（）A．72°B．62°C．82°D．80°2．下列说法中，正确的有（）①两点之间，线段最短；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一直线的两条直线互相平行A．0个B．1个C．2个D．3个3．如图，l1∥l2，∠1＝120°，∠2＝100°，则∠3＝．4．如图，射线AC∥BD，∠A＝70°，∠B＝40°，则∠P＝．第4题图第5题图5．（武珞路七下期中）如图，直线AB、CD、EF被直线GF所截，∠1＝70°，∠2＝110°，∠3＝70°，求证：AB∥CD证明：∵∠1＝70°，∠3＝70°（已知）∴∠1＝∠3（）∴∥（）∵∠2＝110°，∠3＝70°（已知）∴＋＝180°（等式性质）∴∥（）∴AB∥CD．；请证明．②在图2中，∠BMF 、∠F 、∠FND 的数量关系为；请证明．7.如图，已知180EFC BDC ︒∠+∠=，DEF B ∠=∠．（1）试判断DE 与BC 的位置关系，并说明理由．（2）若DE 平分ADC ∠，3BDC B ∠=∠，求EFC ∠的度数．6．（武昌区七下期末）如图，直线AB ∥CD ，①在图1中，∠BME 、∠E 、∠END 的数量关系为9.如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知//AB CD ，请问B Ð，D ∠，E ∠有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知//AB CD ，请问B Ð，E ∠，D ∠又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知//AB CD ，请问E G +∠∠与B F D ++∠∠∠有何关系并说明理由8.如图1，AB ∥CD ，∠PAB =130°，∠PCD =120°，求∠APC 的度数．小明的思路是：过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质来求∠APC ．（1）按小明的思路，求∠APC 的度数；（2）如图2，AB ∥CD ，点P 在射线OM 上运动，记∠PAB =α，∠PCD =β当点P 在B 、D 两点之间运动时，问∠APC 与α、β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P 在B 、D 两点外侧运动时（点P 与点O 、B 、D 三点不重合），请直接写出∠APC 与α、β之间的数量关系．（2）如图，当点G 在AB 上方时，且90EGF ︒∠=，求证：90︒∠-∠=BEG DFG；（3）如图，在（2）的条件下，过点E 作直线HK 交直线CD 于K ，FT 平分DFG ∠交HK 于点T ，延长GE 、FT 交于点R ，若ERT TEB ∠=∠，请你判断FR 与HK 的位置关系，并证明．（不可以直接用三角形内角和180°）10、已知AB //CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点G 为平面内一点，连接EG 、FG ．（1）如图，当点G 在AB 、CD 之间时，请直接写出∠AEG 、∠CFG 与∠G 之间的数量关系__________．。
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平行线模型经典例题
几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉，不能把几何学等同于逻辑推理，只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造的。
现在初一的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。
所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决实际问题，会起到事半功倍的效果。
下面，我就平行线的判定与性质中的一个经典题型为例，引导学生来掌握最基本的平行线的模型，为以后的学习打好一个坚实的基础。
探究：
（1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明为什么吗？
（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；（3）若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请证明；
（4）若将E点移至图c所示位置，情况又如何？
（5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？
（6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？
名师点拨：已知AB∥CD，连接AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．
解：（1）过E作EF∥AB，则
∠B=∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠D=∠DEF，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．
（2）若∠B+∠D=∠E，由EF∥AB，∴∠B=∠BEF，
∵∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D，
∴∠D=∠DEF，∴EF∥CD，
∴AB∥CD；
（3）若将点E移至图b所示位置，过E作EF∥AB，
∴∠BEF+∠B=180°，∵EF∥CD，∴∠D+∠DEF=180°，
∠E+∠B+∠D=360°；
（4）∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，
∵∠D+∠E=∠BFD，
∴∠D+∠E=∠B；
（5）∵AB∥CD，∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D；
（6）由以上可知：∠E
1+∠E
2
+…+∠E
n
=∠B+∠F
1
+∠F
2
+…+∠F
n-1
+∠D；
方法总结：本题是一类夹在两平行线间的折线问题，考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形。