一轮复习：函数的奇偶性与周期性

第二章 第3讲
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(1)已知函数f(x)，对∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1] 时，f(x)＝4x－1，则f(－5.5)的值为________．
(2)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且f(1)＝1，f(2)＝2，则 f(3)－f(4)＝________.
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(4)由
2x－1≥0 1－2x≥0
得函数定义域为{
1 2
}，不关于原点对
称，函数是非奇非偶函数．
(5)当x>0时，－x<0，f(x)＝x2＋2，
f(－x)＝－(－x)2－2＝－x2－2＝－f(x)；
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第3讲 函数的奇偶性与周期性
泰安二中数学*
第二章 第3讲
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1. 函数的奇偶性
奇函数
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，
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2. 图象法：首先作出f(x)的图象 ①关于原点对称，f(x)为奇函数； ②关于y轴对称，f(x)为偶函数； ③既不关于原点，也不关于y轴对称，不具有奇偶性． 3个必记结论 1. 若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a) ＝f(x)，所以f(x)的周期T＝2a.
[审题视点] 先求出函数的定义域，若定义域关于原点对 称，再根据定义研究f(－x)与f(x)的关系，必要时需对解析式进 行化简，分段函数则要分段判断．
[解] (1)定义域是{x|x∈R，且x≠0}，关于原点对称， 且f(－x)＝(－x)3－－1x＝－x3＋1x＝－f(x)， 故f(x)是奇函数．
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2. 周期性 (1) 周 期 函 数 ： 对 于 函 数 y ＝ f(x) ， 如 果 存 在 一 个 非 零 常 数 T，使得当x取定义域内的任何值时，都有____________，那么 就称函数y＝f(x)为周期函数，T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一 个________，那么这个________就叫做它的最小正周期．
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(2)定义域是R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3， 因此f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， 故f(x)是非奇非偶函数． (3)定义域是R，关于原点对称， 且f(－x)＝log2(－x＋ x2＋1) ＝log2x＋ 1x2＋1＝－log2(x＋ x2＋1) ＝－f(x)， 故f(x)是奇函数．
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例1 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3－1x； (2)f(x)＝x2－x3； (3)f(x)＝log2(x＋ x2＋1)； (4)y＝ 2x－1＋ 1－2x；
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2.
若f(x＋a)＝
1 fx
，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝
1 fx＋a
＝
f(x)，所以f(x)周期T＝2a.
3.
若f(x＋a)＝－
1 fx
，同理由递推法可得2a是函数的一个周
期.
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x2＋2x>0
(5)f(x)＝0x＝0
；
－x2－2x<0
(6)f(x)＝|xlg2－1－2|－x22.
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定义 都有________，那么 都有________，那么
函数f(x)是偶函数
函数f(x)是奇函数
图象 特点
关于______对称
关于______轴对称
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奇偶函数的定义域有什么特点？它是函数具有奇偶性的什 么条件？
当x<0时，－x>0，f(x)＝－x2－2，
f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－f(x)；
当x＝0时，f(－x)＝0＝－f(x)，
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1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2. 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3. 了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简 单函数的周期性.
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1个重要规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 2种必会方法 1. 定义法：先求出定义域 ①关于原点对称，判断f(－x)与f(x)的关系得结论； ②不关于原点对称，则不具有奇偶性．
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(1)下列函数中，所有奇函数的序号是________． ①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x； ③f(x)＝x2＋x 1；④f(x)＝x3＋1；⑤y＝x＋1x. (2)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则 a＋b的值________．