插值算法之拉格朗日插值
拉格朗日插值法总结
拉格朗日插值法总结拉格朗日插值法2008-05-12 16：44一、问题的背景在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。
但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)。
或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算；希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。
二、插值问题的数学提法：已知函数在n+1个点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)求一个简单函数y=P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)。
即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),同时在其它x∈[a,b]上要估计误差：R(x)=f(x)-P(x)其中P(x)为f(x)的插值函数，x0,x1,…,xn称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。
若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。
若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。
若P(x)是三角多项式，就称三角插值。
三、插值方法面临的几个问题第一个问题：根据实际问题选择恰当的函数类。
本章我们选择代数多项式类，其原因有两个：(1)代数多项式类简单；微分、积分运算易于实行；(2)根据著名的Weierstrass逼近定理，任何连续的函数都可以用代数多项式作任意精确的逼近。
第二个问题：构造插值函数P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)与此相关的问题是：插值问题是否可解(存在性的问题)，如果有解,是否唯一?(唯一性的问题)第三个问题：插值误差R(x)=f(x)-P(x)的估计问题。
与此相关的问题是插值过程的收敛性的问题。
2.2拉格朗日插值
j 0,1,2 ,, n
n+1次多项式
令 n1 ( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
则 n1 ( x j ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
其中
n1 ( x) ( x xi ) l j (x) n1 ( x j )(x x j ) i 0 ( x j xi )
n i j
Ln ( x) 为 y f ( x) 的Lagrange 插值多项式
称 l j ( x) (i 0,1,, n) 为n次Lagrange 插值基函数
例1:
已知f ( x)满足f (144) 12, f (169) 13, f (225) 15
作f ( x)的二次Lagrange 插值多项式 并求f (175)的近似值 , .
解: 设x0 144, x1 169, x2 225 y0 12, y1 13, y2 15
Pn ( x) a0l0 ( x) a1l1 ( x) anln ( x)
其中a0、a1、 、an为待定参数
令
即 可得
Pn ( xi ) f ( xi ) yi
i 0,1,2 ,, n i 0,1,2 ,, n
a l (x )
j 0 j j i
n
yi
Pn ( xi ) yi i 0,1,2 ,, n
且满足
即多项式Pn ( x)的系数a0 , a1 , a2 ,, an满足线性方程组
2 n a0 a1 x0 a2 x0 an x0 y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 a a x a x2 a xn y 0 1 n 2 n n n n
拉格朗日插值函数名词解释
拉格朗日插值函数名词解释
拉格朗日插值函数是一种常见的数据插值方法，它是由法国数学家特罗布拉格朗日（Truvé de la Grange）提出的。
拉格朗日插值采用多项式函数对指定的输入范围内的数据点进行插值，以解决插值问题。
拉格朗日插值函数的基本理念是，给定一定数量的指定范围内的点，构造一个多项式，使其能够精确地经过这些点，以实现相应的插值操作。
拉格朗日插值函数的主要思想是，在指定的范围内，对所给定的数据点以二次多项式的形式进行插值，即建立一个类似二次曲线的函数，使其能够精确经过指定范围内的两个定点。
首先，拉格朗日插值函数用三次多项式去拟合一只定点，而拉格朗日插值函数也可以用二次多项式来拟合两个定点，以克服一次拟合多点插值时函数值极值的缺点。
拉格朗日插值函数将所有给定点进行拟合，使得这些点在插值的范围内的精度最高。
拉格朗日插值函数的应用极为广泛，它可以求解积分、求解方程、近似函数拟合、数据分析等问题。
例如，拉格朗日插值函数可以用于分析某个物质在不同压力状态下的体积改变。
另外，拉格朗日插值函数也可以用于计算某个函数的极值或极点。
拉格朗日插值函数还可以用于拟合未知函数、研究复杂多变量函数，以及解决曲线和曲面积分等数学问题。
总而言之，拉格朗日插值函数是一种广泛应用的数据插值方法，它能够很好地拟合指定范围内的数据点，为计算极值和解决一些复杂
的数学问题提供了有效的方法。
《拉格朗日插值》PPT课件
个互不相同的点处的函数值 y f (x ),i 0,1, ,，n 为求
i
i
y f (x的) 近似式，自然应当选 n 次多项式
Pn (x) a0 a1x a2x2 L an xn
使 P (x) 满足条件 n
Pn(xi ) yi , i 0, 1,L ,n
f (x)称为被插函数, pn ( x)称插值多项式,条件(3 3)称插值条件, x0,x1,L , xn称插值节点 o这种求函数近似式的方法称为插值法 o 几何上,其实质是用通过n 1个点( x1, y1)(i 0,1,L , n)的多项式曲 线y pn (x),当作曲线y f ( x)的近似曲线.如图所示 o
14
一次Lagrange插值多项式(2)
一次插值多项式
15
一次Lagrange插值多项式(3)
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
它也可变形为
显然有：
16
一次Lagrange插值多项式(4)
记
l0 (x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
可以看出
L1 ( x)
(0 , 1 ) 使得 ( ) 0
28
N次插值多项式8
注：
通常不能确定 x , 而是估计 f (n1)( x) Mn1 , x(a,b)
将
M n1 (n 1)!
n i0
|
x
xi
|
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时，f (n1)( x) 0 ,
L2 (x) 为插值函数。 用基函数的方法获得 L2 (x) L2 (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x)
常见的插值方法及其原理
常见的插值方法及其原理1. 拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，通过n+1个已知点的函数值来构造一个n次多项式。
具体的计算公式如下：L(x) = Σ[yk * lk(x)], k=0 to n其中yk为已知点（xi, yi）的函数值，lk(x)为拉格朗日基函数，定义为：lk(x) = Π[(x - xj)/(xi - xj)], j=0 to n, j≠k拉格朗日插值法的原理是通过构造一个通过已知点的n次多项式，来代替未知函数的近似值。
利用拉格朗日基函数的性质，可以保证插值多项式通过已知点。
2. 牛顿插值法（Newton Interpolation）牛顿插值法是一种递推的插值方法，通过已知点的函数值和差商来逐步构造插值多项式。
差商的定义如下：f[x0]=y0f[x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0)f[x2]=(f[x2]-f[x1])/(x2-x1)...f[xn] = (f[xn] - f[xn-1]) / (xn - xn-1)利用差商的定义，可以得到牛顿插值多项式的表达式：N(x) = f[x0] + f[x0, x1](x-x0) + f[x0, x1, x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn)牛顿插值法的原理是通过递推计算差商来得到插值多项式。
通过使用差商来处理已知点的函数值差异，可以得到更高次的插值多项式。
3. 样条插值法（Spline Interpolation）样条插值法是一种基于分段低次插值函数的插值方法，常用的是三次样条插值。
样条插值法通过寻找一组分段函数，使得满足原函数的插值条件，并要求函数在每个插值点处的函数值、一阶导数和二阶导数连续。
这样可以保证插值函数在每个插值点处的平滑性。
三次样条插值法的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，在每个小区间内使用三次多项式进行插值。
拉格朗日(Lagrange)插值
p2(7) =
(1–4)(1–9)
*1 + (4–1)(4–9)
*2
(7–1)(7–4)
+ (9–1)(9–4) * 3
= 2.7
例5.4 已知函数y=f(x)在节点上满足
x x0 x1 x2
y y0 y1 y2
求二次多项式 p(x) = a0 + a1x + a2x2
使之满足 p(xi) = yi
li (x的) 插值
lk (x0 ) 0,,lk (xk1) 0,lk (xk ) 1,lk (xk1 ) 0,,lk (xn ) 0
即
lk
(xi )
ki
1 0
(i k) (i k)
由条件 lk (xi ) 0 ( i k)知, x0 , x1,, xk1, xk1,, xn
都是n次 lk (x) 的零点,故可设
l0 (x)
再由另一条件 l0 (x0
c(x
) 1
x1 )( x x2
确定系数
)
c
(x0
1 x1)( x0
x2
)
从而导出
l0 (x)
(x (x0
x1)( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
类似地可以构造出满足条件： l1(x1) 1, l1(x0 ) 0,
的插值多项式
l1 ( x)
lk (x)
j0 jk
n
x xj
n
(xk x j )
j0 xk x j
jk
j0 jk
称 lk (x) 为关于基点 xi 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
以n+1个n次基本插值多项式 lk (x)(k 0,1,, n) 为基础,就能直接写出满足插值条件
《拉格朗日插值法》课件
根据已知的插值点和插值函数的性质 ，确定多项式的阶数。
求解插值多项式的系数
求系数
通过已知的插值点和构造的插值多项式，求解出多项式的系数。
验证解的正确性
通过已知的插值点和求解出的系数，验证解的正确性。
04
拉格朗日插值法的应用实例
在数值分析中的应用
数值积分
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式对被积函数进行近似，进而求得积分的近似值。
全局插值能力较弱
拉格朗日插值法主要适用于局部插值，对于全局插值问题可能不太 适用。
06
拉格朗日插值法的改进与发
展
改进方法
提高精度
通过增加插值基函数的数量， 可以更精确地逼近函数，从而
提高插值的精度。
处理异常值
引入稳健性估计方法，对异常 值进行识别和处理，以提高插 值的稳定性。
优化算法
改进算法以提高计算效率，减 少计算量，使得插值过程更加 快速和高效。
图像处理
在图像处理中，可以使用拉格朗日插值法对图像进行放大、缩小或旋转等变换，保持图 像的清晰度和连贯性。
三维模型重建
在三维模型重建中，可以使用拉格朗日插值法对点云数据进行插值，得到连续光滑的三 维模型表面。
05
拉格朗日插值法的优缺点
优点
01
02
03
简单易行
拉格朗日插值法是一种直 观且易于理解的方法，不 需要复杂的数学工具即可 实现。
工程
用于解决各种实际问题，如机 械振动、流体动力学和电路分 析等。
物理学
用于模拟和预测各种物理现象 ，如力学、电磁学和量子力学 等。
02
拉格朗日插值法的基本概念
拉格朗日插值法的定义
拉格朗日插值算法描述
拉格朗日插值算法描述一、引言插值算法是数学中用于填充函数在某些离散点之间的“洞”或“空白”的一种方法。
其中，拉格朗日插值算法是最著名和最早的插值方法之一。
它是由意大利数学家约瑟夫·拉格朗日于1795年提出的，用于解决多项式插值问题。
拉格朗日插值算法在数值分析、计算几何、信号处理和数值预测等领域有广泛的应用。
二、算法简介拉格朗日插值算法是一种通过已知的离散数据点构造一个多项式来逼近未知函数的方法。
该算法的基本思想是，对于一组已知的离散数据点，构造一个次数最低的多项式，使得这个多项式满足给定的数据点。
该算法的优点是简单易懂，且具有较高的计算效率。
三、算法步骤1.初始化：选择一组已知的离散数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，并设置一个初始值为 yp(x) = yn，其中 n 是数据点的个数。
2.迭代计算：对于 i = n-1, n-2, ..., 0，进行以下步骤：3. a. 计算拉格朗日基本多项式 Li(x)：如果 i = 0，则 Li(x) = 1；否则，Li(x) = (xi+1 - x) / (xi+1 - xi) 当 x ≠ xi 且 i = 0,1,...,n-1，且 Li(xi) = 0。
4. b. 更新插值多项式：yp(x) = yp(x) + Li(x) * [yn - yp(xn)] 当 x ≠ xi 且 i = 0,1,...,n-1。
5.返回结果：最终得到的插值多项式即为所求的结果。
四、算法特点1.高效性：与牛顿插值算法相比，拉格朗日插值算法的计算复杂性更低。
因为牛顿法的计算复杂性为O(n^2)，而拉格朗日法的计算复杂性为O(n^3)。
2.稳定性：拉格朗日插值算法具有一定的数值稳定性，特别是在处理病态问题时表现较好。
这是因为拉格朗日插值多项式的零点与原始数据点完全一致，从而在处理具有较多重复数据点的情况时能够保持良好的数值稳定性。
拉格朗日（Lagrange）插值算法
拉格朗⽇（Lagrange）插值算法拉格朗⽇插值（Lagrange interpolation）是⼀种多项式插值⽅法，指插值条件中不出现被插函数导数值，过n+1个样点，满⾜如下图的插值条件的多项式。
也叫做拉格朗⽇公式。
这⾥以拉格朗⽇3次插值为例，利⽤C++进⾏实现：1//利⽤lagrange插值公式2 #include<iostream>3using namespace std;45double Lx(int i,double x,double* Arr)6 {7double fenzi=1,fenmu=1;8for (int k=0;k<4;k++)9 {10if (k==i)11continue;12 fenzi*=x-Arr[k];13 fenmu*=Arr[i]-Arr[k];14 }15return fenzi/fenmu;16 }1718int main()19 {20double xArr[4]={};21double yArr[4]={};22//输⼊4个节点坐标23 cout<<"请依次输⼊4个节点的坐标:"<<endl;24for (int i=0;i<4;i++)25 cin>>xArr[i]>>yArr[i];2627//输⼊要求解的节点的横坐标28 cout<<"请输⼊要求解的节点的横坐标:";29double x;30 cin>>x;31double y=0;32for (int i=0;i<4;i++)33 y+=Lx(i,x,xArr)*yArr[i];34 printf("x=%lf时，y=%lf\n",x,y);3536//分界，下⾯为已知y求x37 cout<<"请输⼊要求解的节点的纵坐标:";38 cin>>y;39 x=0;40for (int i=0;i<4;i++)41 x+=Lx(i,y,yArr)*xArr[i];42 printf("y=%lf时，x=%lf\n",y,x);4344 system("pause");45return0;46 }作者：耑新新，发布于转载请注明出处，欢迎邮件交流：zhuanxinxin@。
数值分析中的插值算法及其应用
数值分析中的插值算法及其应用数值分析是研究解决数学问题的数值方法的一门学科。
其中，插值算法是数值分析中重要的方法之一。
插值是指在给定一些数据点的情况下，用一些方法建立一个函数，该函数可以在给定区间内的任何一点上计算出函数值。
插值方法有很多种，其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种将一个多项式函数p(x)与一系列已知数据点相联系的方法。
假设给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中x1 < x2 < ... < xn，那么可以构造一个次数小于等于n-1的多项式函数p(x)满足p(xi) = yi，i=1,2,...,n。
设p(x)的表达式为：p(x) = Σyi li(x)其中，li(x)为拉格朗日基函数。
每个基函数都满足：li(xi) = 1, li(xj) = 0, j≠i基函数的表达式为：li(x) = Π[j≠i] (x - xj) / (xi - xj)利用拉格朗日插值法，可以在给定数据点的情况下，快速计算函数在其他点上的值。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种利用差商的方法建立插值多项式的方法。
相比于拉格朗日插值法，牛顿插值法更注重于递推计算。
给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值法可以建立一个关于x的n次多项式。
首先，定义一个差商：f[xi] = yif[xi, xi+1, ..., xj] = (f[xi+1, ..., xj] - f[xi, ..., xj-1]) / (xj - xi)差商f[xi, xi+1, ..., xj]是由区间(xi, xj)内的函数值f(xi), f(xi+1), ..., f(xj)所计算得到的。
定义一个新的多项式qk(x)，其中：qk(x) = f[x0, x1, ..., xk] + (x - xk) qk-1(x)其中q0(x) = f[x0]。
插值法(拉格朗日插值)ppt课件
x0x1
l (x)
x1x0
8
l (x)
抛物插值
L 2 (x )
(x x 1 )x ( x 2 )y 0 (x x 0 )x ( x 2 )y 1 (x x 0 )x ( x 1 )y 2 (x 0 x 1 )x ( 0 x 2 ) (x 1 x 0 )x ( 1 x 2 ) (x 2 x 0 )x ( 2 x 1 )
可见: Pn(k)(x0)= f (k)(x0) k=0,1,…,n
因此, Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).
Taylor展开方法就是一种插值方法.
泰勒插值要求提供 f(x) 在点x0处的各阶导数,这仅仅 适用于 f(x) 相当简单的情况.
精品课件
4
§1.2 Lagrange插值
• 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有定义，且给出 一系列点上的函数值yi=f(xi) (i=0,1,2,…,n)，求 作n次多项式pn(x) 使得
并估计误差。
500 5
18
解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算 x 0
x1
x2
利用
x0
6
,
x1
4
L 1 (x ) x /6 /4 /4 1 2 x /4 /6 /6 1 2
sin
而
501 2 内要0 端s 0 插计L.点0 1 i通算(x 51，n 1 8常的)插3 2 3 优x1 ,值R 0所于1 .7(9 效R 5 71外在1 6(果1x 8 )推4的) 较 。区这f0好(.2 2 0 选间里)(!。0 x 择的f )( (x 7 x ) 6 s 6)2x ix ( ,s n f in ( 4 2 )) (5x 0) =s0 .i7x,6n 6x 0 4( 46 4, 3 …)
拉格朗日插值法PPT课件
lk (x)
x xk 1 xk xk 1
lk 1(x)
x xk xk 1 xk
Lagrange线性插值多项式为
L1(x) yklk (x) yk 1lk 1(x)
yk
x xk 1 xk xk 1
yk 1
x xk xk 1 xk
参见图
21
例 用Lagrange线性插值多项式求例 1中的f (175).
假设在区间[a,b]上f (x)的插值多项式为 Pn (x)
令
Rn (x) f (x) Pn (x)
显然在插值节点为 xi (i 0,1, , n)上
Rn (xi ) f (xi ) Pn (xi ) 0 ,i 0,1, , n 因此Rn (x)在[a,b]上至少有 n 1个零点
设
Rn (x) K (x)n1(x)
第二章 插值法
1
第二章 插值法和最小二乘法
§ 2.1 引言
Ax b § 2.2 拉格朗日插值多项式
§ 2.3 差商与牛顿插值公式
a11
A
a21
an
1
§ §
§
aaan12222222...456三差分次aaa分段21nnn样n与低条等次距插插节值值点xi插值bi公式ijli1i1
lij
x
其中 n1(x) (x x0 )( x x1) (x xn ) K (x)为待定函数
Rn (x) f (x) Pn (x) K (x)n1(x)
25
f (x) Pn (x) K (x)n1(x) 0 若引入辅助函数 (t) f (t) Pn (t) K (x)n1(t) 则有 (x) f (x) Pn(x) K(x)n1(x) 0
且 (xi ) f (xi ) Pn(xi ) K(x)n1(xi )
拉格朗日(Lagrange)插值
18
x1 x2 利用 x0 = π , x1 = π L1 ( x ) = x π / 4 × 1 + x π / 6 × 1 6 4 π / 6 π / 4 2 π / 4 π / 6 2 π sin 50 0 ≈ L1 ( 5 ) ≈ 0.77614 这里 f ( x) = sin x , f (2) (ξ x ) = sinξ x , ξ x ∈(π , π ) 内插通常优于外插。 ) 18 内插通常优于外插。2选择 6 3 ( f (ξ x ) 而 1要计算的3x 所在的区间的x π )( x π ) , R1 ( x) = ( < sinξ x < 2 2 2! 6 4 端点，插值效果较好。 端点，插值效果较好。 sin 50° = 0.7660444… 0.01319 < R1 ( 5π ) < 0.00762 18
+1)
( n + 1) ! Nhomakorabeax
Rn ( x) =
(n + 1) !
∏( x x )
i i =0
注：
M n +1 n 作为误差估计上限。 将 ( n + 1)! ∏ | x x i | 作为误差估计上限。 i =0
通常不能确定 ξx , 而是估计
f ( n + 1 ) ( x ) ≤ M n + 1, x∈(a,b) ∈
这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。 Lagrange插值多项式计算量大 注: 这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。 过两点直线。 一次多项式插值 --- 过两点直线。 过三点抛物线。 二次多项式插值 --- 过三点抛物线。 则插值多项式不唯一 不唯一。 若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
拉格朗日插值法
01
收敛性分析是研究拉格朗日插值法的一个重要方面，它涉及到该方法在何种条 件下能够准确地逼近未知函数。
02
在理论上，如果已知数据点足够多且分布均匀，那么拉格朗日插值多项式就能 够很好地逼近未知函数。
03
然而，在实际应用中，由于计算复杂度和数据可获取性的限制，我们通常只能 使用有限数量的数据点进行插值。因此，收敛性分析对于确定拉格朗日插值法 的精度和适用范围具有重要意义。
拉格朗日插值法的几何意义
从几何意义上讲，拉格朗日插值 法是通过在已知数据点上放置一 个多项式曲线，使得该曲线尽可
能接近原始数据点。
这意味着，拉格朗日插值多项式 在每个已知数据点上取值为零， 而在其他点上取值与原函数相近。
这种几何意义有助于我们更好地 理解拉格朗日插值法的原理和应
用。
拉格朗日插值法的收敛性分析
在实际应用方面，可以考虑如何 优化拉格朗日插值法的计算效率 和存储需求，以适应大规模数据 处理的需要。此外，可以探索拉 格朗日插值法在其他领域的应用， 例如金融、生物信息学和环境科 学等。
另外，随着人工智能和机器学习 技术的不断发展，可以考虑如何 利用这些技术来改进拉格朗日插 值法，例如通过神经网络或其他 机器学习方法来自动选择合适的 插值模型和参数。这将有助于提 高插值精度和泛化能力，并减少 人工干预和主观判断的误差。
03
拉格朗日插值法还有一些局限性，例如对于非线性数据的 插值效果较差，且容易受到数据异常值的影响。为了解决 这些问题，研究者们提出了许多改进的方法，如样条插值 、克里格插值和局部加权散点平滑插值等。
对未来研究的建议和展望
未来研究可以进一步探讨拉格朗 日插值法的理论性质，例如其收 敛性和稳定性等。此外，可以研 究如何将拉格朗日插值法与其他 数学方法或机器学习方法相结合， 以提高其预测精度和泛化能力。
拉格朗日插值法
拉格朗日插值讲解
特征提取
在计算机视觉中，拉格朗日插值可以用于提 取图像中的特征点，为后续的图像识别和分 析提供基础。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
02
它是由意大利数学家约瑟夫·拉格 朗日于18世纪提出的一种数学工 具，广泛应用于科学、工程和经 济学等领域。
拉格朗日插值的重要性
拉格朗日插值方法为数据分析和预测提供了一种重要的工具 ，特别是在数据量较小或数据分布不均匀的情况下，可以通 过插值方法来填补数据空白或提高数据精度。
它可以帮助我们更好地理解数据的内在规律和趋势，为决策 提供科学依据。
基于拉格朗日插值拟合出的多项 式，可以进一步预测未来数据点 的趋势和走向，为决策提供依据 。
工程计算与设计
工程建模
在工程计算中，拉格朗日插值可以用 于建立数学模型，模拟复杂系统的行 为和性能。
优化设计
通过拉格朗日插值，工程师可以对设 计方案进行优化，提高产品的性能和 效率。
图像处理与计算机视觉
图像修复
多项式插值的精度较高，适用于数据 点之间变化较大的情况，但构造多项 式的过程较为复杂，需要选择合适的 基函数和节点。
拉格朗日插值公式
拉格朗日插值公式是利用拉格朗日多 项式进行插值的方法，通过已知数据 点构造拉格朗日多项式，然后利用这 个多项式计算出需要插值的点的值。
拉格朗日插值公式的优点是构造简单、 精度较高，适用于任意数据点的情况， 但当数据点较多时，计算量较大，可 能会出现龙格现象。
拉格朗日插值的历史背景
拉格朗日插值方法的发展经历了漫长的历史过程。最早的插值方法可以追溯到古 希腊时期，而现代的插值方法则是在17世纪和18世纪随着数学的发展而逐步完善 的。
计算方法-第2章-1、插值法(拉格朗日插值)
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证明：假设在区间[a,b]上f(x)的插值多项式为 Ln ( x) 令
Rn ( x) f ( x) Ln ( x)
显然在插值节点为 xi (i 0,1,, n)上 Rn ( xi ) f ( xi ) Ln ( xi ) 0 , i 0,1,, n 因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n 1个零点
(k 0,1,2,, n)
且
n1 ( x) Ln ( x) yk ' ( x x ) k 0 k n 1 ( xk )
n
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总 结
于是, y f ( x)在节点xi (i 0 ,1, , n)上, 以l j ( x) (i 0 ,1, , n) 为插值基函数的插值多 项式(记为Ln ( x))为
本章只讨论多项式插值与分段插值
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§ 2.2
拉格朗日插值
• 此插值问题可表述为如下： • 问题 求作次数 n 多项式 Ln ( x) ，使满足条件
Ln x yi , (i 0,1,, n)
• 这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。
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§ 2.2.1
线性插值的局限性
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三、抛物插值
问题 求作二次式 L2 ( x) ，使满足条件
L2 ( x j ) y j
( j k 1, k , k 1)
二次插值的几何解释是用通过三个点
的抛物线来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性 插值，构造基函数，要求满足下式：
L2(x) yk 1lk 1 ( x) yklk ( x) yk 1lk 1 ( x)
拉格朗日插值法
Lagrange polynomial 维基百科，自由的百科全书
定义
对某个多项式函数，已知有给定的 个取值点：
其中 对应着自变量的位置，而 对应着函数在这个位置(每一个y值都不等于0)的取 值。 假设任意两个不同的 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗 日插值多项式为：
其中每个
几何性质
拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式 （由某一组 确定）可以看做是由次数不超过 n 的多项式所组成的线性空 间： 的一组基底。首先，如果存在一组系数： 使得， ， 那么，一方面多项式P是满足 的拉格 朗日插值多项式，另一方面P是零多项式，所以取值永远是0。所以 。 这证明了 是线性无关的。同时它一共包含 个多项式，恰好等于 的维数。所以 构成了 的一组基底。 拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是 n 次多项 式）。
重心拉格朗日插值法
重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进。在拉格朗日插值法中，运用 多项式 可以将拉格朗日基本多项式重新写为：
定义重心权
上面的表达式可以简化为：
于是拉格朗日插值多项式变为：
即所谓的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改进拉格朗日插值公式。它的优点 是当插值点的个数增加一个时，将每个 都除以 ，就可以得到新的重 心权 ，计算复杂度为 ，比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度 降了一个量级。 将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数 插值，可以得到：
优点与缺点
拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中， 当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整 个公式都会变化，非常繁琐。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代 替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因 此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在 附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差（如右下图）。这类现象也被称为龙 格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。
拉格朗日插值法（图文详解）
拉格朗⽇插值法（图⽂详解）拉格朗⽇插值⼊门由⼩学知识可知，n个点(x_i,y_i)可以唯⼀地确定⼀个多项式现在，给定n个点，请你确定这个多项式，并将k代⼊求值求出的值对998244353取模Input第⼀⾏两个正整数n,k，含义如题接下来n⾏，每⾏两个正整数x_i,y_i含义如题。
n≤2000,xi,yi,k≤998244353Output⼀个整数表⽰答案Sample Input3 1001 42 93 16Sample Output10201//样例⼀中的三个点确定的多项式是f(x)=x^2+2x+1，将100代⼊求值得到10201int re=1;while(y){if(y&1) re=(x*re)%mod;x=(x*x)%mod;y>>=1;}return re;}int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;}signed main(){n=read(),k=read();for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),b[i]=read();for(int i=1;i<=n;i++){int tmp=1;for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=j)tmp=tmp*(a[i]+mod-a[j])%mod; //分母tmp=quickpow(tmp,mod-2);for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=j) tmp=tmp*(k+mod-a[j])%mod; //分⼦tmp=tmp*b[i]%mod;ans=(ans+tmp)%mod;}printf("%lld\n",ans);return 0;}#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int mod=998244353;int x[2010],y[2010],a=1,b=0;int powmod(int a,int b){int ans=1;while(b){if(b&1)ans=1ll*ans*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}return ans;}int main(){int n,k;scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",x+i,y+i);for(int i=1;i<=n;i++){int a1=1,b1=1;//a1代表分母，b1代表分⼦b1=1ll*b1*y[i]%mod;for(int j=1;j<=n;j++)if(j!=i){b1=1ll*b1*(k-x[j])%mod;a1=1ll*a1*(x[i]-x[j])%mod;}b=(1ll*a1*b+1ll*a*b1)%mod;a=1ll*a*a1%mod;//b/a+b1/a1=(b*a1+a*b1)/(a*a1)}a=(a+mod)%mod,b=(b+mod)%mod;printf("%lld\n",1ll*b*powmod(a,mod-2)%mod);//因为带了除法，所以分母会⽐较⼤，于是在前⾯边乘边取模，最后取逆元return 0;}参考资料。
拉格朗日插值法原理
拉格朗日插值法原理：
拉格朗日插值法是一种多项式插值方法。
拉格朗日插值法是离散数学中进行曲线拟合的基本方法（即在工程实际中，我们所得到的结果往往是离散的点，而若想把这些离散的结果作为先验条件得到其他点就需要进行多项式拟合）。
其主要思想如下：
能找到一条曲线记为f，使其能穿过其中一个离散点(f(xa)=ya)并在其他离散点上的值为0（f(xb)=0）,则我们如果能找到每一点对应的曲线f,将其相加就可以得到一个能经过所有离散点的曲线F，我们认为F则为这些离散点的拟合多项式。
运用拉格朗日插值法需要注意：
1.拉格朗日插值法其找到的曲线是经过所有离散点的，因此对于偏离值无法进行剔除，很容易出现过拟合的现象，因此在实际工程应用中需要剔除偏移量。
2.拉格朗日插值法拟合n阶多项式至少需要n+1个点（公式推一下就可以知道，这里不在详述）
3.随阶数的增大拉普拉斯拟合法的时间复杂度成指数递增，我们不是数学家，不需要对原理进行优化，我的建议是试试异构（GPU+CPU混合编程会简单很多）。
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记一下拉格朗日插值公式的推导和一些要点【这里说的都是二维插值，多维上的以此类推】
1、插值问题：在做实验的过程中，往往得到一堆离散的数据，现在想用数学公式模拟这堆离散数据。
怎么办，数学家们提出了插值问题。
插值问题的提法是这样的给定一堆数据点(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)...(xn, yn)，要求一个函数y = f(x) ，要求该函数经过上面所有的数据点。
2、多项式插值及其唯一性：在所有的函数中，多项式函数是最简单的函数，所以只要是人就会想到用多项式函数来作为插值函数，好，以上给定了n+1个点，现在要求一个n次多项式y = an * x^n + ... a1 * x + a0, 使它们经过这n+1个点；通过范德蒙行列式和克莱姆法则，可以判定如果这n+1个点的x值各不相同，那么这个多项式是唯一的。
结果唯一，但是用直接法很不好求。
现在用别的办法来求之。
这就是：拉格朗日多项式
3、拉格朗日多项式的构造，以四个点为例子进行说明
由于函数经过4个点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，所以可以设函数为：
f(x) = b0(x) * y0 + b1(x) * y1 + b2(x) * y2 + b3(x) * y3
注意：b0(x)，...，b3(x)都是x的3次多项式，称之为拉格朗日插值基函数。
由于要求当x为x0时候，f(x) = y0, 所以最简单的做法就是让b0(x0) = 1, b1(x0) = b2(x0) = b3(x0) = 0;
同理可知，在x1，x2，x3点上，插值基函数的值构造如下：
b0(x) b1(x) b2(x) b3(x)
x=x0 1 0 0 0
x=x1 0 1 0 0
x=x2 0 0 1 0
x=x3 0 0 0 1
问题1、根据这些值来确定b0(x)的表达式，
由于b0(x1) = b0(x2) = b0(x3) = 0，所以x1, x2, x3是b0(x)的零点，由于b0(x)是三次多项式，所以设
b0(x) = c0 * (x-x1) * (x-x2) * (x-x3)
由于b0(x0) = 1,所以1 = c0 * (x0-x1) * (x0-x2) * (x0-x3) 得到c0 =
1/[(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)]
所以：b0(x) = (x-x1)*(x-x2)*(x-x3)/[(x0-x1)*(x0-x2)*(x0-x3)]
同理可求b1(x)、b2(x)，略
问题2、根据上面的表格说明插值基函数的一个性质：无论x取和值，它们的和都为1.【这
个叫做调和函数】
以3次为例子说明：将上述表格的每一行分别相加，得到的事函数：g(x) = b0(x) + b1(x) + b2(x) + b3(x)在x0, x1, x2, x3的值，都为1.
b0(x) + b1(x) + b2(x) + b3(x)
x=x0 1+0+0+0 = 1
x=x1 0+1+0+0 = 1
x=x2 0+0+1+0 = 1
x=x3 0+0+0+1 = 1
所以：方程g(x) - 1 = 0，应该有4个根x0, x1, x2, x3；但是，由于b0(x)、b1(x)、b2(x)、b3(x)都是3次多项式，所以，g(x)最多也是3次多项式，至多只有3个根，所以等式：g(x) = 1 应该是恒等式。
得证。
问题3、基函数：b0(x)、b1(x)、b2(x)、b3(x) 是线性无关的。
设：数t0, t1, t2, t3使得：t0 * b0(x) + t1 * b1(x) + t2 * b2(x) + t3 * b3(x) = 0
x=x0时候：0 = t0 * b0(x0) + t1 * b1(x0) + t2 * b2(x0) + t3 * b3(x0) = t0 * 1 + t1 * 0 + t2 * 0 + t3 * 0 得到：t0 = 0;
同理有：t1 = t2 = t3 = 0，根据定义（所有系数为0）。
所以插值基函数是线性无关的。
转自：jiangnanyouzi，博客频道。