线段与角的和差倍分计算Word版

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证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分(推荐文档)

证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。

3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。

4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。

此时，添线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。

参考例4、例5、例6。

例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和AC 为边向形外作的正方形。

求证：FH=2AD/ BAC+ / ACN=180证明：延长AD 至N 使AD=DN则ABNC 是平行四边形CN=AB=FA AC=AH又/ FAH+ / BAC=180 •••△ FAHY NCA ••• FH=AN例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C ,AD 是高，M 是BC 边上的中点。

$•••1求证：DM=2 AB/ 2=Z B •••/ 2=2Z 1•••/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND • DM=2 A B1贝J BFAC••• BF=AE•••△ AEC 心 BFD •DF 二CE 二 CD=2CE作业:1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1线交AC 于F ,求证：AF=2 FC2、AB 和AC 分别切© O 于B 和C, BD 是直径。

求证/ BAC 二Z CBD3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。

求证：BD=2CE例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E ,证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN贝J MN // AC / 1 = / C••• DM=DN例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。

线段和差倍分的证法

设＝，＝），，
ＢＤ＝五
ＤＨ＿／／
ｌ、
ＫＢ ’ 。即ＡＢ＝３ＡＣ
七、借助辅助四法例７如图，在四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ平分／＿ＤＡＢ，若／＿ＤＡＢ１２０。，ＬＢ与ＬＤ互补，试证明Ａ曰＋
。
点曰作ＢＥ－ＬＡＤ交ＡＤ延长线于Ｅ点Ｄ为ＡＥ中点．
’
．
ＣＥ＋ＢＥ＝ＥＦ＋ＥＧ＝２ＡＤ．
求证
ＡＢ＝３ＡＣ．
注
因题设中有平行的条件，可考虑用此法证．
曰．
简证
延长ＢＥ、ＡＣ交于
Ａ
四、代数法
例４如图，已知锐角ＡＡＢＣ中，ＡＤ上ＢＣ且ＡＤ＝
▲ Ａ数学大｛｝Ｉ暴０．１ ▲ Ｉｖ；。．。＋。．。．。
则ＤＥ＝ＣＥ・ｃｏｓＬＣＥＤ，＝ＢＣ・ｃｏｓＬＣＢＦ，
．
。ＬＣＢＦ＝ＣＤＥ．． ‘ ．ＤＥ＝ＢＦ．
．
‘ ．
ＡＢ＋ＡＤ：（ＡＦ＋Ｆ）＋（ＡＥ— ＯＥ）＝ＡＦ＋ＡＥ，
又ＡＥ＝ＡＦ：ＡＣ－ｃ０ｓ６ｏ。＝ ÷ Ａｃ，．．．ＡＢ＋ＡＤ＝ＡＣ．
三、比例法
、
（２）设Ｂ＝ＬＡＣＢ＝ａ，则ＰＥ＝ＰＢ・ｓｉｎｃ￣，
ＰＦ：ＰＣ・ｓｉｎａ．
‘
Ｄ

线段的和差倍分问题的证明

ABE DC线段的和差倍分问题的证明证明线段的倍分问题：一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。

此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM =21AB 二、比例线段法即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。

例2 如图，在△ABC 中，BD 是∠B 的平分线，△ABD 的外接园交BC 于E ，若AB =21AC ，求证：CE =2AD 。

对应练习1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 21=．2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 21=． Q A DP C B E AEADF3、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．4、如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，使CD=2BC ，E 在AC 上，且ＡＥ＝2EC ，D 的延长线交AB 于F ，求证：EF DE 27=二、割补法证明线段的和差问题：这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。

即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。

在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。

但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。

2019人教版七年级数学上册复习课件：教材回归(七) 线段与角的和差倍分及计算

【思想方法】
(1)数有加减乘除四则运算，线段有和差倍分四则运算；
(2)线段的和差倍分四则运算，关键是正确地画出图形，有时需要分类讨论； (3)对于比较复杂的题目，可设某条线段为 x，再结合已知量找出等量关系，列一元一次方程求解； (4)结论：已知线段 AB，点 C 是线段 AB 上任意一点，点 M，N 分别是线段 1 AC 与线段 BC 的中点，则 MN＝ AB. 2
如答图 4，∠MON＝(90° －α)－(90° －α－α)＝α. 故∠MON 的度数为 α 或 180° －α 或 180° －3α.
[2017· 长春一模]如图(1)，O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC， ∠AOC＝30° ，将一直角三角板(∠M＝30° )的直角顶点放在点 O 处，一边 ON 在射线 OA 上，另一边 OM 与 OC 都在直线 AB 的上方． (1)将图(1)中的三角板绕点 O 以每秒 3° 的速度沿顺时针方向旋转一周．如图 (2)，经过 t 秒后，OM 恰好平分∠BOC. ①求 t 的值； ②此时 ON 是否平分∠AOC ？请说明理∠DON 的度数．
解：(1)∵∠BOC＝120° ， ∴∠AOC＝180° －120° ＝60° . ∵∠AON＝150° ，∴∠BON＝180° －150° ＝30° . ∵OB 平分∠MON，∴∠BOM＝∠BON＝30° ， ∴∠COM＝180° －∠AOC－∠BOM＝90° . (2)∵由(1)可知，∠AOC＝60° ，∠BON＝30° ， ∴∠AOD＝∠AOC＝60° ， ∴∠DON＝180° －∠AOD－∠BON＝90° .
解：(1)∵∠BOD＝90° ，∠AOD＝70° ， ∴∠AOB＝90° －70° ＝20° . ∵∠AOE＝70° ，∴∠EOB＝70° －20° ＝50° ，∠EOB 与∠AOB 的比值为 5∶ 2.

第三讲--线段的和差倍分问题

如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．（3）解：BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，∴∠NBC=∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN=EF，∵BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．26．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C 向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．26．如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．解得：x=6．∴AB=6．∴AH=6．（3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°．由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．∴∠NDM′=90°．∴NM′2=ND2+DM′2．∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAM′=45°．在△AMN和△ANM′中，，∴△AMN≌△ANM′．∴MN=NM′．又∵BM=DM′，∴MN2=ND2+BM2．25．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC 得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得证；②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得；（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再证△HPG≌△DPF 可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．【解答】解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠PDF=45°，在△HPG和△DPF中，∵，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG=PF；②结论：DG+DF=DP，由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD=DP，HG=DF，∴HD=HG+DG=DF+DG，∴DG+DF=DP；（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF=DP，如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，∵PF⊥PG，∴∠GPF=∠HPD=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，在△HPG和△DPF中，∵∴△HPG≌△DPF，∴HG=DF，∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，∴DG﹣DF=DP．【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移至其他两线段间关系是解题的关键．例4 （2013•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．思路分析：（1）过点B 作BG ⊥OE 于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；（2）选择图2，过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；选择图3同理可证．解：（1）证明：如图，过点B 作BG ⊥OE 于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ，∴AF-OE=OE-BF ，∴AF+BF=2OE ；（2）图2结论：AF-BF=2OE ，图3结论：AF-BF=2OE ．对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ，∴AF-OE=OE+BF ，∴AF-BF=2OE ；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．2.（2015•随州）问题：如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．【类比引申】如图（2），四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB=AD ，∠B+∠D=180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足关系时，仍有EF=BE+FD ．26．已知二次函数y=x 2﹣（2k +1）x +k 2+k （k ＞0），若该二次函数与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP 交BC 于点Q ，求证：．（3）由题意可得：点P的坐标为（0，1），则0=x2﹣（2k+1）x+k2+k0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），故A（k，0），B（k+1，0），当x=0，则y=k2+k，故C（0，k2+k）则AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得，y BC=﹣kx+k2+k，当x﹣1=﹣kx+k2+k，解得：x=k+，则代入原式可得：y=，则点Q坐标为运用距离公式得：AQ2=（）2+（）2=，则OA2=k2，AB2=1，故+=+1==，则．。

线段与角的和差倍分计算

线段与角的和差倍分计算
在几何学中，我们经常遇到线段与角之间的和、差和倍分计算问题。

这些计算方法是为了帮助我们更好地理解图形的性质和关系。

本文将详细
介绍线段与角之间的和、差和倍分计算方法。

一、线段的和、差计算
1.线段的和计算：给定线段AB和线段BC，我们需要计算出两个线段
的和，即线段AB+BC。

计算方法是将线段AB和BC的长度相加，即AB+BC。

2.线段的差计算：给定线段AB和线段BC，我们需要计算出两个线段
的差，即线段AB-BC。

计算方法是将线段AB的长度减去线段BC的长度，
即AB-BC。

二、角的和、差计算
1.角的和计算：给定角α和角β，我们需要计算出两个角的和，即
角α+角β。

计算方法是将两个角的度数相加，即α+β。

2.角的差计算：给定角α和角β，我们需要计算出两个角的差，即
角α-角β。

计算方法是将角α的度数减去角β的度数，即α-β。

三、线段与角的倍分计算
1.线段的倍分计算：给定线段AB，我们需要计算出线段AB的一半或
一四分之一的长度。

计算方法是将线段AB的长度除以2或4，即AB/2或AB/4
2.角的倍分计算：给定角α，我们需要计算出角α的一半或一四分
之一的度数。

计算方法是将角α的度数除以2或4，即α/2或α/4
以上是线段与角的和、差和倍分计算的基本方法。

在实际应用中，我们还可以利用一些几何定理和性质来简化计算，例如角的补角、互补角和对应角等关系。

线段与角的和差倍分计算

线段与角的和差倍分计算一、线段的和差倍分计算已知线段AB＝a，延长BA至点C，使AC＝AB.D为线段BC的中点。

求CD的长度和a的值。

解析：根据线段的定理，AC=AB+BC，又因为BC=2CD，所以AC=AB+2CD。

又因为AC=2AB.D，所以AB+2CD=2AB.D，化简得CD=(2D-1/2)a，a=3AD。

在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5cm，点O是线段AC的中点，且OB＝1.5 cm，求BC的长度。

解析：因为O是AC的中点，所以OC=OA，又因为OB=1.5 cm，所以BC=BO+OC=1.5+OA。

根据勾股定理，OA^2+AC^2=OC^2，代入已知条件，得到OA=√(25-3.75)=4.3301.所以BC=1.5+4.3301=5.8301，约等于6 cm。

某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A，C，D，B，___。

现想在AB段建一个加油站M，要求使A，C，D，B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少，则M的位置在哪里？解析：根据三角形中位线定理，AC^2+BD^2=2AM^2+2MC^2.又因为AC=CD=DB，所以AM=MC=MD=MB=AC/2=CD/2=DB/2.所以AC^2+BD^2=4AM^2+4MC^2=8AM^2，所以AM^2=(AC^2+BD^2)/8.因为AC=CD=DB=AB/3，所以AB^2=3AC^2=3BD^2，代入上式得到AM^2=AB^2/12.所以M在AB的中点。

点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4cm，求线段CD的长度。

解析：根据线段的定理，AC=AB/2=2cm，BD=AB/2=2cm，又因为CD=AC/2=1cm，所以CD的长度为1cm。

已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D，E分别是AB，CB的中点，AC＝8，EB＝5，求线段DE的长。

解析：根据线段的定理，AC+CB=AB，所以AB=AC+CB=8+2EB=18.又因为D和E分别是AB和CB的中点，所以DE=AD-EB=AB/2-EB=9/2.线段AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，M，N分别是CD，AB的中点，且MN＝2 cm，求AB的长。

教材回归(七) 线段与角的和差倍分及计算

一线段的和差倍分及计算(教材P128练习第3题)如图1，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝4 cm ，求线段CD 的长度．图1【思想方法】 (1)数有加减乘除四则运算，线段有和差倍分四则运算；(2)线段的和差倍分四则运算，关键是正确地画出图形，有时需要分类讨论；(3)对于比较复杂的题目，可设某条线段为x ，再结合已知量找出等量关系，列一元一次方程求解；(4)结论：已知线段AB ，点C 是线段AB 上任意一点，点M ，N 分别是线段AC 与线段BC 的中点，则MN ＝12AB .P 为线段AB 上一点，且AP ＝25AB ，M 是AB 的中点，若PM ＝2 cm ，则AB 的长为( )A ．10 cmB ．16 cmC ．20 cmD ．3 cm如图2，在一条笔直公路的AB 段有四个车站依次是A ，C ，D ，B ，AC ＝CD ＝DB .现想在AB 段建一个加油站M ，要求使A ，C ，D ，B 站的各一辆汽车到加油站M 所行的总路程最少，则M 的位置( )图2A ．在AB 之间任一点 B ．在CD 之间任一点C ．在AC 之间任一点D ．在DB 之间任一点如图3，线段AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，且MN＝2 cm ，求AB 的长．图3已知线段AB 的长为4，在线段AB 的延长线上取一点C ，使AC ＝53BC ，在线段AB 的反向延长线上取一点D ，使BD ＝47DC ，若E 为DC 的中点，求BE 的长．二角的和差倍分及计算教材P140习题4.3第9题)如图4，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线． (1)如果∠AOB ＝40°，∠DOE ＝30°，那么∠BOD 是多少度？ (2)如果∠AOE ＝140°，∠COD ＝30°，那么∠AOB 是多少度？图4【思想方法】解这种题的方法主要是寻找出要求的角与相关的角之间的和差倍分关系，通过求出相关的角，从而求出要求的角．如图5，直线AB 与CD 相交于点O ，∠BOE ＝90°，∠COF ＝90°.图5(1)图中∠AOF的余角是____(把符合条件的角都填出来)；(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出两对：____；(3)如果∠AOD＝140°，那么根据____，可得∠BOC＝____，如果∠AOF＝70°，可得∠DOB ＝____．已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α，∠β.[2016春·威海期中]如图6，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，已知∠AOC≠90°，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠DOE.(1)当0°＜∠AOC＜90°时，求∠FOB＋∠DOC的度数；(2)若∠DOC＝3∠COF，求∠AOC的度数．图6。

初中数学浙教版七年级上册线段及角的和差倍分课件PPT

如图 ∠AOB=60 °， ∠BOD=90 °，OE平分∠AOB, 求∠DOE的度数
解：∵OE是平分∠AOB， ∠AOB=60 ° ∴∠AOE＝12 ∠AOB＝30°. ∵ ∠AOB=60 °， ∠BOD=90 ° ∴∠AOD＝∠BOD-∠AOB＝30° ∴∠DOE＝ ∠AOD+ ∠AOE
=30+30 °=60°
n
n(n 1)
2
猜想线段总条数S与线段上的点数n有什么关系？
A C
1 ∂1 2
O
B
若∠1=30 °12’, ∠2=20.5 °，求∠AOB
已知∠1与∠2如图 6-37，用量角器求作∠1与∠2的和.
作法如图 6-38. 1. 用量角器量得∠1＝60°，∠2＝45°. 2. 计算：∠1＋∠2＝60°＋45°＝105°. 3. 用量角器作∠AOB＝105°. ∠AOB＝∠1＋∠2，∠AOB就是所求作的角.
初中数学浙教版七年级上册《线段及角的和差倍分》
类型：获奖课件PPT
A
CD
B
如图，D是线段AB的中点，C是线段AD的中点
A
(1)AC+CB= ＿AB＿
(2)＿BC＿— CD=BD
1
(3) AB= __2__ BD;AC= __2__AD
3
(4) BC =＿2＿AC
作线段a长度为AB-AC
A
CD
B
例1，如图：点D是线段AB的中点，
A
C是线段AD的中点，若AB＝4 cm，求
线段CD的长度．
解∵D是线段AB的中点，AB＝4 cm， ∴AD＝BD＝2 cm. ∵C是线段AD的中点，∴AC＝CD＝1 cm， ∴CD＝1 cm.
点C分线段AB为5∶7，点D分线段AB为5∶11，已知CD＝10 cm，求AB的长．

线段、角的和差倍

线段、角的和差倍分例1.已知：△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 是高求证：DC ＝AB ＋BD分析一：用分解法，把DC 分成两部分，分别证与AB ，BD 相等。

可以高AD 为轴作△ADB 的对称三角形△ADE ，再证EC ＝AE 。

∵∠AEB ＝∠B ＝2∠C 且∠AEB ＝∠C ＋∠EAC ，∴∠EAC ＝∠C 辅助线是在DC 上取DE ＝DB ，连结AE 。

分析二：用合成法，把AB ，BD 合成一线段，证它与DC 相等。

仍然以高AD 为轴，作出DC 的对称线段DF 。

为便于证明，辅助线用延长DB 到F ，使BF ＝AB ，连结AF ，则可得∠ABD ＝2∠F ＝2∠C 。

例2.已知：△ABC 中，两条高AD 和BE 相交于H ，两条边BC 和AC 的中垂线相交于O ，垂足是M ，N求证：AH ＝2MO ， BH ＝2NO 证明一：（加倍法――作出OM ，ON 的2倍）连结并延长CO 到G 使OG ＝CO 连结AG ，BG 则BG ∥OM ，BG ＝2MO ，AG ∥ON ，AG ＝2NO ∴四边形AGBH 是平行四边形，∴AH ＝BG ＝2MO ，BH ＝AG ＝2NO证明二：（折半法――作出AH ，BH分别取AH ，BH 的中点F ，G 连结FG ，MN 则FG ＝MN ＝21AB ，FG ∥MN ∥AB 又∵OM ∥AD ， ∴∠OMN＝∠HGF （两边分别平行的两锐角相等）同理∠ONM ＝∠HFG ∴△OMN ≌△HFG ……例3.已知：在正方形ABCD 中，点E 在AB 上且CE ＝AD ＋AE ，F 是AB 的中点求证：∠DCE ＝2∠BCF分析：本题显然应着重考虑如何发挥CE ＝AD ＋AE 条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。

我们可将AE （它的等量DG ）加在正方形边CD 的延长线上（如左图）也可以把正方形的边CD （它的等量AG ）加在AE 的延长线上（如右图）后一种想法更容易些。

线段和差倍份

线段、角的和差倍分证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。

一. 转化为证明相等的一般方法㈠通过作图转化1.要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等2.要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等㈡应用有关定理转化1.三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半2.直角三角形斜边中线等于斜边的一半3.直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和5.等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍6.三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶17.有关比例线段定理二. 用代数恒等式的证明1.由左证到右或由右证到左2.左右两边分别化简为同一个第三式3.证明左边减去右边的差为零4.由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论例题例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高求证：DC＝AB＋BD例2.已知：△ABC中，两条高AD和BE相交于H，两条边BC和AC 的中垂线相交于O，垂足是M，N求证：AH＝2MO，BH＝2NO例3. 已知：在正方形ABCD中，点E在AB上且CE＝AD＋AE，F是AB的中点求证：∠DCE＝2∠BCF例4.已知：△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于I，1∠A求证：∠BIC＝90 ＋2练习1.△ABC中，∠B＝2∠C，AD是角平分线，求证：AC＝AB＋BD2.△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高，M是BC的中点，则AB＝2DM3.△ABC中，∠B的平分线和∠C的外角平分线交于E，则∠A＝2∠E4.△ABC的AB＝AC，CD是中线，延长AB到E使BE＝AB，连结EC，则CE＝2CD5.已知：等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，BD是角平分线求证：BC＝AB＋AD6.已知：△ABC中，AB＜AC，AD是高，AE是角平分线1（∠B＋∠C）求证：∠DAE＝27.已知：△ABC中，AB＝AC，点D在AC的延长线上，1（∠ABD－∠D）求证：∠CBD＝28.已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE延长线交AC于F求证：BF＝4EF9.已知：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，AF平分∠DAE，交CD于F.求证：AE＝BE＋DF10.在△ABC中，∠BAC＝Rt∠，BC的中垂线MN交AB于M，交BC于N，角平分线AD延长线交MN于E，则BC＝2NE11.以Rt△ABC两直角边AC，BC为边向形外作正方形ACDE和BCFG，分别过E，G作斜边AB所在直线的垂线段EE，，GG，则AB＝EE，＋GG，12.已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高，CE是角平分线EF⊥BC于F，GE⊥CE交CB延长线于G，1CG （提示：以CE为轴作△CEG的对称三角形）求证：FD＝413.已知：△ABC中，∠A＝100 ，AB＝AC，BD是角平分线求证：BC＝BD＋AD14.已知：正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交BD于F，O 是对角线的交点求证：CE＝2FO15.已知：如图AC，BD都垂直于AB，且CD交AB于E，CE＝2AD求证：∠ADE＝2∠BDE16.已知：△ABC中，AB＜AC＜BC，点D在BC上，点E在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，△BDE的外接圆和△ABC的外接圆交于点F 求证：BF＝AF＋FC（提示：在BF上取BG＝CF）Array（15）。

44线段及角的和差倍分计算

如图4，线段AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，M，N分别是CD，AB的中点，且MN＝2 cm，求AB的长．
图4 解：设AC，CD，DB的长分别为3a，4a，5a， ∴CM＝2a，AB＝12a，AN＝6a， ∴MN＝AN－AM＝6a－(3a＋2a)＝a＝2 cm， ∴AB＝12a＝24 cm.
如图5，点C分线段AB为5∶7，点D分线段AB为 5∶11，已知CD＝10 cm，求AB的长．
∴∠α＝80°，∠β＝100°.
如图10，从点O引出6条射线OA，OB，OC，OD， OE，OF，且∠AOB＝100°，OF平分∠BOC，∠AOE＝∠DOE， ∠EOF＝140°，求∠COD的度数．
解：设∠COD为x， ∵∠EOF＝140°， ∴∠EOD＋∠FOC＝140°－x. ∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOD， ∴∠BOC＋∠AOD＝2(140°－x)． ∵绕点O一周的角度是360°， ∴有2(140°－x)＋100°＋x＝360°. 解得x＝20°， ∴∠COD＝20°.
交流总结
本节课学会了： 1、两根线段的和差仍然是线段
两角的和与差仍是一个角，
2、会进行有关线段、角的简单的推理说明
课堂检测
1、如图，OC平分∠AOB，下列说法错误的是( D )
A.∠1=∠2
B. ∠AOB=2∠1
C.∠1+∠2=∠AOB
D. ∠1=∠AOB
A
C
1
2
O
B
2、下列说法中正确的是( B )
综上，在CD之间(含C、D点)建一个加油站M时，所行驶的总路程最少，所行驶的总时间最少．
如图3，已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D， E分别是AB，CB的中点，AC＝8，EB＝9，求线段DE的长．

线段及角的和差倍分计算

线段及角的和差倍分计算
首先我们来介绍线段的和、差计算方法。

1.线段的和计算：
设线段AB的长度为a，线段BC的长度为b，那么线段AC的长度为
a+b。

2.线段的差计算：
设线段AB的长度为a，线段BC的长度为b，那么线段AC的长度为，
a-b，即两个线段长度的差的绝对值。

接下来我们来介绍角的和、差计算方法。

1.角的和计算：
设角A的度数为α，角B的度数为β，那么角A和角B的度数和为
α+β。

2.角的差计算：
设角A的度数为α，角B的度数为β，那么角A和角B的度数差为，α-β，即两个角度数的差的绝对值。

--------------------------------------------
下面我们来介绍线段和角的倍数计算方法。

1.线段的倍数计算：
设线段AB的长度为a，倍数为n，那么线段AB的n倍长度为na。

2.角的倍数计算：
设角A的度数为α，倍数为n，那么角A的n倍度数为nα。

需要注
意的是，角度的n倍有时候不是一个具体的度数，而是一种表示角度大小
关系的相对概念。

线段和角的等分计算方法：
1.线段的等分计算：
设线段AB的长度为a，要将其等分成n份，那么每一份的长度为a/n。

例如，要将线段AB等分成3份，那么每一份的长度为a/3
2.角的等分计算：
设角A的度数为α，要将其等分成n份，那么每一份的度数为α/n。

例如，要将角A等分成2份，那么每一份的度数为α/2。

【初三】线段、角的和差倍分

初中数学竞赛专题选讲线段、角的和差倍分一、内容提要证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。

可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。

∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。

分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。

线段和差倍分

（3）方程思想的运用。
课堂检测
1．如果线段AB＝13厘米，MA+MB＝17厘米，那么下面说法正确的是（ D ）
A．M点在线段AB上 B．M点在直线AB上 C．M点在直线AB外 D．M点可能在直线AB上，也可能在直线AB外
2．如图，点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，
如果MC比NC长2cm，AC比BC长（B ）
思路1：算数法
思路2：设未知数
∵AB：BC：CD=2：3：4
4 ∴CD= 9 AD=8，
∴AD=18
由AB：BC：CD=2：3：4，设 AB=2x，BC=3x，CD=4x，则 AD=9x
∵CD=8，即4x=8，解得：x=2
又∵M是AD的中点 1
∴MD= 2AD=9 ∴MC=MD-CD=1
∴AD=9x=18 又∵M是AD的中点 ∴MD= 12AD=9
1 2
AB
类似的可以这样处理三等分点、四等分点等。
3、线段比例关系的处理
若AB：BC：CD=1：2：3，有以下两种处理方式：
【方式1】算数法
AD被分成了1+2+3=6份，所以AB=
1 6
AD，BC= 13
AD，
1
CD= 2AD 【方式2】设未知数
由AB：BC：CD=1：2：3，设AB=x，BC=2x，CD=3x
专题学习
线段的和差倍分计算
学习目标
• 理解线段的和、差，以及线段中点的意义，并能解决相关的问题。
1、线段的和差
AC=AB+BC AB=AC-BC BC=AC-AB
2、线段的倍分
知识梳理
若点C为线段AB的中点，则：
相等关系：AC=BC

初中数学竞赛精品标准教程及练习40线段角的和差倍分

初中数学竞赛精品标准教程及练习40线段角的和差倍分线段角是指由两条线段所夹成的角，其中一条线段称为角的边，另一
条线段称为角的腿。

线段角的和、差、倍分是数学竞赛中常见的考点，也
是数学中的重要概念之一、下面将对线段角的和、差、倍分进行详细介绍。

一、线段角的和
线段角的和是指由两个线段角相加得到的角。

当两个角的腿和边分别
相等时，这两个角的和就等于两个腿与边的和构成的角。

具体而言，设有
两个线段角∠AOB和∠BOC，其中∠AOB的腿OA和OB的长度分别为a和b，∠BOC的腿OB和OC的长度分别为b和c。

那么，∠AOB和∠BOC的和
∠AOC可以表示为∠AOB+∠BOC=∠AOC。

二、线段角的差
线段角的差是指由两个线段角相减得到的角。

和线段角的和类似，当
两个角的腿和边分别相等时，这两个角的差就等于两个腿和边的差构成的角。

具体而言，设有两个线段角∠AOD和∠DOC，其中∠AOD的腿OA和OD
的长度分别为a和b，∠DOC的腿OD和OC的长度分别为b和c。

那么，
∠AOD和∠DOC的差∠AOC可以表示为∠AOD-∠DOC=∠AOC。

三、线段角的倍分
线段角的倍分是指将一个线段角分成若干等份，其中每一份称为该角
的倍分。

具体而言，设有一个线段角∠AOC，要将其分成n等份，即将该
角分成n个相等的角AO_1C、O_1O_2C、O_2O_3C、..、O_{n-1}OC。

那么，每一个倍分的度数可以表示为∠AO_iC=1/n*∠AOC，其中i=1,2,3,...,n-
1。

完整word2019秋浙教版七年级数学上册测试：微专题八线段和角和差倍分计算

2019 秋浙教版七年级数学上册测试：微专题八线段和角的和差倍分计算微专题八 __线段与角的和差倍分计算__[学生用书B56]一线段的和差倍分计算(教材 P153 作业题第 4 题)1已知线段 AB＝ a(如图 1)，延伸 BA 至点 C，使 AC＝2AB，D 为线段 BC 的中点．(1)求 CD 的长；(2)若 AD＝ 3 cm，求 a 的值．图 1解： (1)∵ BC＝ AC＋ AB＝13313 2AB＋AB＝2AB＝2a，∴ CD＝2BC＝4a；3111 (2)∵AD＝CD－AC＝4a－2a＝4a，4a＝3，1/162019 秋浙教版七年级数学上册测试：微专题八线段和角的和差倍分计算在一条直线上按序取A，B，C 三点，已知 AB＝5 cm，O 是线段 AC 的中点，且 OB＝ 1.5 cm，则 BC 的长是 ( D ) A． 6 cm B． 8 cmC． 2 cm 或 6 cm D．2 cm 或 8 cm【分析】两种状况：如答图①，变形 1 答图①∵AB＝5 cm，OB＝1.5 cm，∴OA＝ AB＋ OB＝ 6.5(cm)．∵ O 是线段 AC 的中点，∴OC＝ OA＝ 6.5 cm，∴BC＝ OB＋ OC＝8(cm)；2019 秋浙教版七年级数学上册测试：微专题八线段和角的和差倍分计算如答图②，变形 1 答图②∵AB＝5 cm，OB＝1.5 cm，∴ OA＝ AB－ OB＝ 3.5(cm)．∵O 是线段 AC 的中点，∴ OC＝ OA＝ 3.5 cm，∴ BC＝ OC－ OB＝2(cm)．综上所述， BC 的长是 2 cm 或 8 cm.应选 D.[2018 秋·商水期末 ]如图 2，C 是线段AB 的中点．图 2(1)若点 D 在 CB 上，且 DB＝1.5 cm，AD＝6.5 cm，求线段 CD 的长度；(2)若将 (1)中的“点 D 在 CB 上”改为“点 D 在 CB 的延伸线上”，其余条件不变，请画出相应的表示图，并求出此时线段 CD 的长度．解： (1)AB＝AD＋BD＝＋＝8 cm，1∵ C 是线段 AB 的中点，∴ CB＝2AB＝4 cm，∴ CD＝ CB－ BD＝4－＝ 2.5 cm；(2)表示图如答图．变形 2答图∵AB＝AD－ BD＝－＝ 5 cm，1∴ CB＝2AB＝2.5 cm，∴ CD＝ CB＋BD＝ 4 cm.如图 3，已知线段 AB 上有两点 C，D，且 AC＝BD，M，N 分别是线段 AC，AD 的中点．若 AB＝a cm，AC＝BD＝bb图 3解： ∵(a － 10)2＋ b－ 4 ＝0，2∴ a ＝ 10，b ＝8.则 AB ＝a ＝ 10 cm ，AC ＝b ＝8 cm.∵ M ，N 分别是线段 AC ，AD 的中点，11 1∴ MN ＝2AC － 2AD ＝4－2(AB －BD)＝ 4－ 1＝ 3(cm)．[2017 ·河北 ] 在一条不完好的数轴上从左到右有点 A ， B ， C ，此中 AB ＝2，BC ＝1，如图 4 所示，设点 A ，B ，C 所对应数的和是 p.2019 秋浙教版七年级数学上册测试：微专题八线段和角的和差倍分计算(1)若以 B 为原点，写出点 A，C 所对应的数，并计算 p 的值；若以 C 为原点， p 又是多少？(2)若原点 O 在图中数轴上点 C 的右侧，且 CO＝28，求 p.图 4解： (1)若以 B 为原点，则 C 表示 1， A 表示－ 2，∴ p＝ 1＋ 0－ 2＝－ 1；若以 C 为原点，则 A 表示－ 3，B 表示－ 1，∴ p＝－ 3－1＋0＝－ 4；(2)依题意知 C 表示－ 28，B 表示－ 29，A 表示－ 31，∴p＝－ 31－ 29－28＝－ 88.2019 秋浙教版七年级数学上册测试：微专题八线段和角的和差倍分计算如图 5，已知数轴上点 A 表示的数为8，B 是数轴上一点，且AB＝14.动点 P 从点 A 出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t s(t＞0)．图 5(1)数轴上点 B 表示的数为 __－6__，点 P 表示的数为 __8－5t__(用含 t 的代数式表示 )；(2)动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q 同时出发，问点 P 运动多少秒时追上点 Q?(3)若 M 为 AP 的中点， N 为 PB 的中点．点 P 在运动的过程中，线段MN 的长度能否发生变化？若变化，请说明变化规律；若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．2019 秋浙教版七年级数学上册测试：微专题八线段和角的和差倍分计算解： (2)设点 P 运动 x s 时，在点 C 处追上点 Q，则 PC＝5x，QC＝3x.∵PC－ QC＝ AB，∴5x－ 3x＝14，解得 x＝7，∴点 P 运动 7 s 时，在点 C 处追上点 Q；(3)没有变化．如答图，分两种状况．①当点 P 在点 A， B 两点之间运动时，如答图① .1111MN＝ MP＋ NP＝2AP＋2BP＝2(AP＋BP)＝2AB＝ 7；变形 5答图②当点 P 运动到点 B 的左边时，如答图② .1111MN＝ MP－ NP＝2AP－2BP＝2(AP－BP)＝2AB＝ 7.综上所述，线段MN 的长度不发生变化，其值为7.二角的和差倍分计算2019 秋浙教版七年级数学上册测试：微专题八线段和角的和差倍分计算(教材 P162 作业题第 4 题)如图 6，∠ ABC＝60°，∠ ABD＝ 145°，BE 均分∠ ABC.求∠ DBE 的度数．图 6解：∵BE 均分∠ABC，11∴∠ EBA＝2∠ ABC＝2×60°＝ 30°.∴∠ DBE＝∠ABD－∠ EBA＝145°－ 30°＝115°.如图 7，OB 是∠ AOC 的均分线， OD 是∠ COE 的均分线．假如∠ AOE＝140°，∠COD＝30°，那么∠ BOD 是 __70__°，∠AOB 是 __40__°.图 7【分析】∵ OB是∠AOC的均分线，OD 是∠COE 的均分线，1∴∠ BOD＝2∠AOE＝ 70°，∴∠ AOB＝∠BOC＝∠BOD－∠ COD＝ 40°.[2018 春·松北区期末 ]已知∠ AOB 内部有三条射线，此中OE 均分∠ BOC，OF 均分∠ AOC.图 8(1)如图 8①，若∠ AOB＝ 120°，∠ AOC＝ 30°，求∠ EOF 的度数；(2)如图②，若∠ AOB＝α，求∠ EOF 的度数 (用含α的式子表示 )；12(3)若将题中的“均分”的条件改为“∠ EOB＝3∠COB，∠ COF＝3∠COA，且∠ AOB＝α，求∠ EOF 的度数 (用含α的式子表示 )．解： (1)∵ OF 均分∠ AOC，11∴∠ COF＝2∠AOC＝2× 30°＝15°，∵∠ BOC＝∠AOB－∠AOC＝120°－30°＝90°，OE 均分∠BOC，1∴∠ EOC＝2∠BOC＝ 45°，∴∠ EOF＝∠COF＋∠EOC＝60°；1(2)∵OF 均分∠AOC，∴∠ COF＝2∠ AOC，2019 秋浙教版七年级数学上册测试：微专题八线段和角的和差倍分计算1同理，∠ EOC＝2∠BOC，∴∠ EOF＝∠COF＋∠EOC＝111(∠AOC＋∠BOC)∠ AOC＋∠ BOC＝222＝1∠ AOB＝1α；221(3)∵∠ EOB＝3∠COB，2∴∠ EOC＝3∠COB，∴∠ EOF＝∠EOC＋∠COF＝2∠ BOC＋2∠ AOC 33＝2∠ AOB＝2α3 3.[2018 春·道里区期末 ]点 O 在 AB 上，∠BOC＝ 2∠ AOC.(1)如图 9①，求∠ AOC 的度数；(2)OD，OE 的地点如图②所示，∠ DOE＝3∠BOD，猜想∠ COE 与∠ COD 的数量关系并说明原因；(3)如图③，在 (2)的条件下，作∠ COF＝∠ COD，OG 为∠ AOE 的均分线，求∠ FOG 的度数．2019 秋浙教版七年级数学上册测试：微专题八线段和角的和差倍分计算图 9解： (1)∵点 O 在 AB 上，∠BOC＝2∠AOC，1∴∠ AOC＝3∠AOB＝ 60°；(2)∠COE＝ 2∠ COD.原因以下：∵∠ DOE＝3∠BOD，∴∠ BOE＝ 2∠ BOD，由 (1)可得，∠BOC＝120 °，∴∠ COE＝360°－∠BOC－∠BOE＝240 －°2∠BOD，又∵∠ COD＝∠ BOC－∠BOD＝120 °－∠BOD，∴∠ COE＝2∠COD；(3)∵∠ COF＝∠ COD，∠COE＝2∠COD，1∴∠ COF＝2∠COE，即 OF 是∠ COE 的均分线，1∴∠ EOF＝2∠ COE，又∵OG 为∠ AOE 的均分线，1∴∠ EOG＝2∠EOA，∴∠ FOG＝∠EOF－∠ EOG2019 秋浙教版七年级数学上册测试：微专题八线段和角的和差倍分计算11＝2∠ COE－2∠ EOA11＝2(∠COE－∠EOA)＝2∠ AOC＝30°.[2017 ·长春一模 ]如图 10，O 为直线AB 上一点，过点 O 作射线 OC，∠AOC＝30°，将向来角三角板 (∠M＝ 30°)的直角极点放在点 O 处，一边 ON 在射线 OA 上，另一边 OM 与 OC 都在直线 AB 的上方．(1)将图①中的三角板绕点O 以每秒 3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图②，经过 t s 后， OM 恰巧均分∠ BOC.①求 t 的值；②此时 ON 能否均分∠ AOC？请说明原因；(2)在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕 O 点以每秒 6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图③，那么经过多长时间OC 均分∠ MON？请说明原因；(3)在(2)问的基础上，经过多长时间OC 均分∠ MOB？请绘图并说明原因．2019 秋浙教版七年级数学上册测试：微专题八线段和角的和差倍分计算图 10解： (1)①∵∠ AON＋∠ BOM＝ 90°，∠COM＝∠MOB，∠ AOC＝ 30°，∴∠ BOC＝2∠COM＝150°，∴∠COM＝75°，∴∠ CON＝15°，∴∠ AON＝∠AOC－∠CON＝30°－ 15°＝15°，∴ t＝15°÷3°＝5(s)；② 是，原因以下：∵∠ CON＝15°，∠AON＝15°，∴ ON 均分∠ AOC；(2)5 s 时 OC 均分∠MON ，原因以下：∵∠ AON＋∠BOM＝90°，∠ CON＝∠COM，又∵∠MON＝90 °，∴∠CON＝∠COM＝45 °，∵三角板绕点 O 以每秒 3°的速度，射线 OC 也绕 O 点以每秒 6°的速度旋转，设∠AON 为 3t，∠AOC 为 30 °＋6t，2019 秋浙教版七年级数学上册测试：微专题八线段和角的和差倍分计算∵∠ AOC－∠AON＝45°，可得 6t－ 3t＝15，解得 t＝5 s；(3)如答图， OC 均分∠MOB，∵∠ AON＋∠BOM＝90°，∠ BOC＝∠COM，三角板绕点O 以每秒 3°的速度，射线 OC 也绕 O 点以每秒 6 °的速度旋转，设∠AON 为 3t，∠AOC 为 30 °＋6t，∵∠ BOM＋∠AON＝90°，1∴∠ COM＝2(90 °－3t)，1可得 180 °－(30 ＋°6t)＝2(90 °－ 3t)，70解得 t＝3s.变形 4答图。

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