三角形全等模型详细专题 初中数学

全等三角形中辅助线的添加

主要内容：复习三角形全等的判定定理，通过三角形全等证明图形中线段和角度的关系。（位置关系和数量关系）

学习目标：通过学习三角形全等的判定，探索三角形全等的条件，能够培养比较完整、清晰的思维逻辑能力并进行基础的推理论证能力。

学习重点：灵活应用三角形中线段的性质与三角形的判定定理证明综合性的题目。学习难点：能够从结论出发，联系已知，找出解决问题的关键点，同时能够挖掘出图中的隐含条件而且能够将未知转化为已知来解决问题（基本的全等模型与常见辅助线）。

一、知识精讲

1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或者“SSS”。（三角形具有稳定性）

2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。

3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。

4.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。

5.在直角三角形中，一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为“HL”。

6.易错点：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等这个结论是不正确的。

E

D

F

C

B

A

D

C

B A

二、典型例题： 考点一

倍长中线法：当遇到中线时，通常延长中线一倍，采用补短的方法，构造三角形全等

条件：△ABC 中AD 是BC 边中线

方法一： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式 方法二：间接倍长，作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长

线于E 连接BE

方法三： 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN

【例题1】 已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.

【例题2】如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.

【变式训练】

1、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

【练习题】

1、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC．

2、如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且AE=AF。若点M是BC的中点，求证：BE=CF=

2

1

(AB+AC)。【例题3】已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE。

【变式训练】

1、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。

F

E

C

A

B

D

F

E

D

A

B C

E

D C

B

A

2、如图，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB=∠ABC ，求证：CD=2CE 。

【例题4】直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半 如图，D 是AB 的中点，∠ACB=90°,求证：2CD=AB.

【例题5】 已知：在Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ． （1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；

（2）如果将图①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

（3）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由

M

E

A B C D

图③

图②

M D B A C

E

图①

M

D

B

A

C

E

【变式练习】已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°，点M 是CE 的中点，连接BM . （1）如图①，点D 在AB 上，连接DM ，并延长DM 交BC 于点N ，可探究得出BD 与BM 的数量关系为 ； （2）如图②，点D 不在AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.

考点二

截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。

①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。

【例题6】如图，AD ∥BC ，EA ，EB 分别平分∠DAB ，∠CBA ，CD 过点E ，求证：AB=AD+BC ．

【变式练习】1.如图，AD ∥BC ，∠1=∠2，∠3=∠4，点D 、E 、C 在同一直线上，证明：AD+BC=AB

2.在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ，求证：AB+BP=BQ+AQ 。

【例题7】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60° 求证：BD+DC=AB

【变式练习】已知：如图在△ABC 中，AB=AC ，D 为△ABC 外一点，∠ABD=60°，∠ADB=90°－2

1

∠BDC ，求证：AB=BD ＋DC 。