《28.1锐角三角函数_第3课时》
人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数(第3课时)课件 【经典初中数学课件】
锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值课件人教版数学九年级下册
14．已知α为锐角，且关于 x 的方程 x2－tan α·x＋1 ＝0 有两个相等的实根，则 4
α的度数为 B A．30° B．45° C．60° D．90°
15．如图所示的运算程序，能使输出的 y 的值为1 的是 C 2
A．α＝60°，β＝45° C．α＝30°，β＝30°
B．α＝30°，β＝45° D．α＝45°，β＝30°
BC 3 3 求出 tan 15°的值，请画出你添加的辅助线，并求出 tan 15°的值．
解：延长 CB 至点 D，使 BD＝AB，连接 AD，图略．则∠D＝15°，tan 15°＝CADC
＝1 2＋
3
＝2－
3
类型一 同角三角函数的相互关系
(一)同角正弦与余弦之间的关系为 sin2α＋cos2α＝1. 1．若α为锐角，且 sin2α＋cos226°＝1，则α＝ 26° .
2．已知 sinαcos α＝18) ，且 0°＜α＜45°，则 sin α－cos α＝
－3 2
．
(二)同角正弦、余弦、正切之间的关系为 tan
α＝sin α cos α
.
5
3．已知∠A 是锐角，且 tan A＝2，那么 cos A＝ 5
．
4．若α为锐角，tan α＝4，则cos α－sin α ＝
5
7．在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，若
tan
A
＝2 5
，则 tan B＝
2
．
8．若 tan 35°·tan α·tan 50°·tan 55°＝1，则锐角α＝ 40° .
知识点 2: 由锐角三角函数值求特殊角 7．(怀化中考)已知α为锐角，且 sin α＝12 ，则α＝ A A．30° B．45° C．60° D．90°
人教版九年级数学下册第二十八章28.1第3课时 特殊角的三角函数值
30° ，∠B＝ 120° ．
14. 如图， 直线 MN 与⊙O 相切于点 M， ME＝EF 1 且 EF∥MN，则 cos∠E＝ 2 ．
15. 计算：(1)(2018· 宜宾)sin30° ＋(2018－ 3)0－ 2－1＋|－4|；
1 1 解：原式＝2＋1－2＋4＝5；
24 (2) 2(2cos45° －sin60° )＋ 4 ；
A．15°
B．30° C．45°
D．60°
10. (2018· 陕西)如图， 在△ ABC 中， AC＝8， ∠ABC ＝60° ，∠C＝45° ，AD⊥BC，垂足为 D，∠ABC 的平 分线交 AD 于点 E，则 AE 的长为( C )
4 A.3
2
B．2
8 2 C.3
2
D．3
2
【解析】由题意易得∠ABE＝∠DBE＝∠BAE＝ 30° ，∠ACD＝∠CAD＝45° ，∴AE＝BE，AD＝CD， ∵AC＝8，∴AD＝8cos45° ＝4 ＝AE＋AEsin30° ＝4 2，又 AD＝AE＋DE
a－b a2－b2 16. 先化简，再求值： ÷2 2 － 1. a＋2b a ＋4ab＋4b 其中 a＝2sin60° －tan45° ，b＝1.
a－b （a＋b）（a－b） 解：原式＝ ÷ －1 a＋2b （a＋2b）2 a－b （a＋2b）2 ＝ × －1 a＋2b （a＋b）（a－b） a＋2b b ＝ －1＝ . a＋b a＋b 当 a＝2sin60° －tan45° ＝ 3－1，b＝1 时， 1 1 3 原式＝ ＝ ＝3. （ 3－1）＋1 3
8 2 2，∴AE＝ 3 .
11. 已知 α 为锐角，若 3tan(α＋20° )＝3，则 α ＝ 40° ．
28.1 锐角三角函数(第3课时)
∴∠BAO=30°,∴∠BAD=60°.
������ ������
∴sin A- =0,cos B- =0, ∴sin A= ,cos B= ,∠A=30°,∠B=60°,
������ ������ ������ ������ ������ ������
������
������
∴∠C=90°.
一课一案 创新导学
已知菱形的两条对角线长分别为 2 ������和 6, 求菱形中较小的内角的度数.
从小学开始我们就用三角尺画图,你对三角尺了解吗?一 副三角尺中有几个度数不同的特殊锐角?每个三角尺中三
条边的比值分别是多少?你能写出每个锐角的三角函数值
吗?试试看.
一课一案 创新导学
1.当角度在0°~90°间变化时,正切值、正弦值随着角
度的增大(或减小)而 增大 (或 减小 );余弦值随着 角度的增大(或减小)而 减小 (或 增大 ).
一课一案 创新导学
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数 第 3 课 时
一课一案 创新导学
学习目标
1.熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并能够进行有关的
推理.
2.能够进行30°,45°,60°角的三角函数值的计算.
学习重点
熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的运算式.
一课一案 创新导学
������ ������ ������ ������
������
������
������
������
一课一案 创新导学
1.计算
������������������������������° ������������������������������°
28.1 锐角三角函数 第3课时 特殊角的锐角三角函数值
∴ 2 sin2α + cos2α － 3tan (α+15°)
= 2 sin245°+cos245°－ 3tan60°
2
2
2
2 2
+
2 2
3
3
3.
2
课堂测试
1. 3 tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( D)
A．40° B．30° C．20° D．10°
2
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形．
4. 已知：| tanB－ 3 | ＋ (2 sinA－3 )2 ＝
解：∵ | tanB－ 3 | ＋ (2 sinA－ 3 )2 ＝0，
∴ tanB＝
3 ，sinA＝
3， 2
∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.
第3课时
特殊角的锐角三角函数值
复习导入
说说锐角三角函数是如何定义的.
复习引入
sin A =
∠A的对边
斜边
BC . AB
cos A =
∠A的邻边
斜边
AC . AB
tan A =
∠A的对边
∠A的邻边
AC . AB
∠B A
斜边
的
对
边
A ∠A 的邻边 C
若∠A为30°，你能立即说出它对应的三
角函数值吗？
cos A
tan A
30°
1 2 3 2 3 3
45° 60°
2
3
2
2
2
1
2
2
1
3
例1 求下列各式的值：
九年级下册数学28.1 第3课时 特殊角的三角函数值
解：方法一：sin15°＋sin75°＝sin(60°－45°) ＋sin(30°＋45°)＝sin60°·cos45°－cos60°·sin45° ＋sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°＝ 3 × 2 1 × 2
2 2 22 1× 2+ 3? 2 = 6 . 22 2 2 2
方 法 二： sin15 ° ＋sin75°＝ sin(45°－ 30°) ＋ sin(30°＋ 45°) ＝ sin45°·cos30°－ cos45°·sin30°＋ sin30°·cos45°＋ cos30°·sin45°＝ 2sin45 ° · cos30 ° ＝2× 2 × 3 = 6 .
30 40
a，∴sin(α ＋β)＝sin
∠
BA
C
＝B A
E B
＝
30
40
2 ，则α＋β＝45°.故选 A.
45a 2
15．已知α是锐角，cos(α－15°)＝ 2 ，求 2
sinα
cosα
α
tan
的值．
3
2
解：由题意，得α－15°＝45°， ∴α＝60°.
3
∴ sinα
cosα
α
tan
＝
2
1
3 =1
出 y 值为 1 的是( C ) 2
A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45° C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30°
14．(2020·河北模拟)已知α，β均为锐角，若
tanα＝ 1 ，tanβ＝ 1 ，则α＋β＝( A )
2
3
A．45°
28.1 第3课时 特殊角的三角函数值
28．1锐角三角函数第3课时 特殊角的三角函数1. 3tan30°的值等于( ) A. 3 B ．3 3 C.33 D.322. 计算6tan45°－2cos60°的结果是( ) A ．4 3 B ．4 C ．5 3 D ．53．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第3题图 第5题图4．如果在△ABC 中，sin A ＝cos B ＝22，则下列最确切的结论是( ) A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是锐角三角形5．如图，当太阳光线与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24 m ，则该树高为( )A ．8 3 mB ．12 3 mC ．12 2 m D. 12 m6．(1)3cos30°的值是____．(2)计算：sin30°·cos30°－tan30°＝____(结果保留根号)．(3)cos 245°＋tan30°·sin60°＝____．7．根据下列条件，求出锐角A 的度数．(1)sin A ＝32，则∠A ＝____；(2)cos A ＝12，则∠A ＝____； (3)cos A ＝22，则∠A ＝____；(4)cos A ＝32，则∠A ＝____． 8．如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知CD ⊥AB ，CD ＝3 m ，∠CAD ＝∠CBD ＝60°，求拉线AC 的长．9.计算：(1)cos45°sin45°＋2sin60°tan60°－1tan30°＋tan45°； (2)sin45°＋cos30°3－2cos60°－sin60°(1－sin30°).10.已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32，计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1的值．。
28.1锐角三角函数——特殊角三角函数值（第3课时）
28．1锐角三角函数 ——特殊角三角函数值(第3课时)年级：九年级：九年级 学科：数学：数学班级： 姓名：【学习目标】⑴: 能推导并熟记3030°°、4545°°、6060°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
⑵: 能熟练计算含有3030°°、4545°°、6060°角的三角函数的运算式°角的三角函数的运算式°角的三角函数的运算式【导学过程】一、自学提纲：一个直角三角形中，一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？二、合作交流：思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？两块三角尺中有几个不同的锐角？ 是多少度？是多少度？ 你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．三、教师点拨：归纳结果3030°° 4545°° 6060°° siaAcosAtanA例3：求下列各式的值．：求下列各式的值．（1）cos 260°60°+sin +sin 260°． （2）cos 45sin 45°°-tan45°．°． 例4：（1）如图（）如图（11），在Rt Rt△△ABC 中，∠中，∠C=90C=90C=90，，AB=6，BC=3，求∠，求∠A A 的度数．的度数．（2）如图（）如图（22），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍，求a ．四、学生展示：1．已知：．已知：Rt Rt Rt△△ABC 中，∠中，∠C=90C=90C=90°，°，°，cosA=cosA=35 ，AB=15AB=15，则，则AC 的长是（的长是（ ））． A A．．3 B 3 B．．6 C 6 C．．9 D9 D．．12 2．下列各式中不正确的是（．下列各式中不正确的是（ ））． A A．．sin 260°+cos 26060°°=1 B =1 B．．sin30sin30°°+cos30+cos30°°=1C C．．sin35sin35°°=cos55=cos55°°D D．．tan45tan45°°>sin45>sin45°°3．计算2sin302sin30°°-2cos60-2cos60°°+tan45+tan45°的结果是（°的结果是（°的结果是（ ））． A A．．2 B 2 B．．3 C C．．2 D D．．14．已知∠．已知∠A A 为锐角，且cosA cosA≤≤12 ，那么（，那么（ ））A A．．0°<∠A ≤6060°°B ．6060°≤∠°≤∠°≤∠A<90A<90A<90°°C C．．0°<∠A ≤3030°°D ．3030°≤∠°≤∠°≤∠A<90A<90A<90°°5．在△．在△ABC ABC 中，∠中，∠A A 、∠、∠B B 都是锐角，且sinA=12， cosB=3 2 ，则△，则△ABC ABC 的形状是（的形状是（）） A A．直角三角形．直角三角形．直角三角形 B B B．钝角三角形．钝角三角形C ．锐角三角形．锐角三角形 D D D．不能．不能确定确定6．如图Rt Rt△△ABC 中，∠中，∠ACB=90ACB=90ACB=90°，°，°，CD CD CD⊥⊥AB 于D ，BC=3BC=3，，AC=4AC=4，设∠，设∠，设∠BCD=a BCD=a BCD=a，则，则tana•tana•的值为的值为（ ））． A ．34 B B．．43 C C．．35 D D．．457．当锐角a>60a>60°时，°时，°时，cosa cosa 的值（的值（ ））． A A．小于．小于12 B B．大于．大于12 C C．大于．大于3 2 D D．大于．大于1 8．在△．在△ABC ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1c=1：：3：2，则sinA+tanA 等于（等于（ ））． A ．32313331.3..6222B C D +++9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC AC，若梯形的高是，若梯形的高是3，•则∠CAB 等于（等于（ ））A A．．3030°°B B．．6060°°C C．．4545°°D D．以上都不对．以上都不对．以上都不对1010．．sin 272°+sin 21818°的值是（°的值是（°的值是（ ））． A A．．1 B 1 B．．0 C 0 C．．12 D D．．3 2 1111．若（．若（3 tanA-3tanA-3））2+│2cosB-3 │=0=0，则△，则△，则△ABC ABC ABC（（ ））． A A．是直角三角形．是直角三角形．是直角三角形 B B B．是等边三角形．是等边三角形．是等边三角形C C．是含有．是含有6060°的任意三角形°的任意三角形°的任意三角形D D D．是顶角为钝角的等腰三角形．是顶角为钝角的等腰三角形．是顶角为钝角的等腰三角形三、填空题．三、填空题．1212．设．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0=0，则，则α+β=_______=_______．．1313．．cos 45sin 301cos60tan 452°-°°+°的值是的值是_____________________．．1414．．已知，等腰△等腰△ABC•ABC•ABC•的腰长为的腰长为43 ，•底为30•30•°，°，•则底边上的高为则底边上的高为__________________，，•周长为周长为__________________．．1515．在．在Rt Rt△△ABC 中，∠中，∠C=90C=90C=90°，已知°，已知tanB=5 2，则cosA=________cosA=________．．。
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再见
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)
cos 45° sin 45°
tan 45°
.
解：(1)
cos260°＋sin260°
1 2
2
2
3 2
＝1
(2)
cos 45 sin 45
tan
45
2 2
2 1 ＝0 2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
(1)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 6 ， BC= 3 ， 求∠A的度数. (2)如图(2)，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO= 3 OB， 求α的度数.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
回顾
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A确定，那 么∠A的三角函数如下：
sin
A
A的对边 斜边
a c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
tan
A
A的对边 邻边
a b
c 斜边
A
b
B
a 对边 C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
2
∴∠B=60°，∴sinB=sin 60 °= 3 .
2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
练习3
在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sinA= 1 ，
cosB=
2 2
，则△ABC的形状为
2
钝角 三角形.
解析:∵sinA= 1 ，cosB= 2 ，∴∠A=30°，∠B=45°，又
因为30°36 ′ =30.6°，所以也可以利用 键，并输入 角度值30.6，同样得到结果0.591398351.
人教版-数学-九年级下册-28.1 锐角三角函数 第三课时 练习(含答案) 赵磊
28.1 锐角三角函数(3)班级 姓名 座号 月 日主要内容:掌握特殊角三角函数值,能用它们进行计算,会由三角函数值说出相应锐角的大小 一、课堂练习:1.(课本83页)求下列各式的值: (1)12sin30cos30-o o(2)3tan30tan 452sin60-+o o o(3)cos6011sin 60tan 30++oo o 2cos60-oo2.(课本83页)在Rt ABC ∆中,90C ∠=o ,BC ,AC =求A ∠、B ∠的度数.3.已知α为锐角,且sin(10)α-︒=则α等于( )A.50oB.60oC.70oD.80o 4.如图,现有一扇形纸片,圆心角∠AOB 为120o ,弦AB 的长为侧面(接缝忽略不计),则该圆锥底面圆的半径为( ) A.23cm B.2π3cm C.32cm D.3π2cm二、课后作业:1.(课本85页)求下列各式的值:(1)sin 45o (2)12sin30cos30+o o(3)sin 45cos60sin 45⋅+o o o (4)2cos 45tan 60cos30+o o o2.如图,在平面直角坐标系中,点A 在第一象限内,点B 的坐标为(3,0),2OA =,60AOB ∠=o .(1)求点A 坐标；(2)若直线AB 交y 轴于点C ,求AOC ∆的面积.3.如图是一个中心对称图形,A 为对称中心,若90C ∠=o ,30B ∠=o ,1BC =,则BB '的长为( ) A.44.若A ∠是锐角,且3sin 4A =,则( )A.030A <∠<o oB.3045A <∠<o oC.4560A <∠<o oD.6090A <∠<o o 5.计算:1sin 60cos302⋅-=o o _______.6.在ABC ∆中,若sin cos 0A B 2||+(-=,则C ∠=_______.三、新课预习:1.用计算器求下列锐角三角函数值:(1)cos6317'≈o ______ (2)tan 27.35≈o _________ (3)sin35576'''≈o ________ 2.已知下列三角函数值,用计算器求其相应的锐角A (精确到0.01o ): (1)sin 0.9861A = (2)cos 0.8067A = (3)tan 0.189A =C'B 第3题参考答案一、课堂练习:1.(课本83页)求下列各式的值:(1)12sin30cos30-o o解:原式1122=-⨯1=-(2)3tan30tan452sin60-+o o o解:原式312=-+1=(3)cos6011sin60tan30++oo o2cos60-oo解:原式12=+=+22=-=解:原式2212⨯=-12=-12=-=2.(课本83页)在Rt ABC∆中,90C∠=o,BC,AC=求A∠、B∠的度数. 解:∵tan BCAAC===∴30A∠=o∴90903060B A∠=-∠=-=o o o o3.已知α为锐角,且sin(10)α-︒=则α等于( C)A.50oB.60oC.70oD.80o4.如图,现有一扇形纸片,圆心角∠AOB为120o,弦AB的长为侧面(接缝忽略不计),则该圆锥底面圆的半径为( A)A.23cm B.2π3cmC.32cm D.3π2cm二、课后作业:1.(课本85页)求下列各式的值:(1)sin45o(2)12sin30cos30+o o解:原式=+解:原式1122=+⨯⨯=1=+(3)sin45cos60sin45⋅+o o o(4)2cos45tan60cos30+o o o解:原式12=+解:原式2=+=2=2.如图,在平面直角坐标系中,点A 在第一象限内,点B 的坐标为(3,0),2OA =,60AOB ∠=o .(1)求点A 坐标；(2)若直线AB 交y 轴于点C ,求AOC ∆的面积. 解:(1)过点A 作 AD x ⊥轴于点D ,则1cos60212OD OA ==⨯=o,sin 602AD OA ==⨯=o ∴点A 坐标为(1(2)设直线AB 的关系式为y kx b =+∵直线AB 过点A (1)和点B (3,0)∴30k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AB的关系式为y x =+ 由0x =,得y =∴OC =∴112AOC S ∆==3.如图是一个中心对称图形,A 为对称中心,若90C ∠=o ,30B ∠=o ,1BC =,则BB '的长为( D )A.44.若A ∠是锐角,且3sin 4A =,则( C )A.030A <∠<o oB.3045A <∠<o oC.4560A <∠<o oD.6090A <∠<o o5.计算:1sin 60cos302⋅-=o o 14 .6.在ABC ∆中,若sin cos 0A B 2||+(-=,则C ∠=105o .三、新课预习:1.用计算器求下列锐角三角函数值: (1)cos6317'≈o . 04496 (2)tan 27.35≈o . 05172(3)sin35576'''≈o . 058712.已知下列三角函数值,用计算器求其相应的锐角A (精确到0.01o ): (1)sin 0.9861A = (2)cos 0.8067A = (3)tan 0.189A = 解:80.44A ∠≈o 解:36.23A ∠≈o 解:10.70A ∠≈oC'B 第3题。
人教版九年级数学28.1 锐角三角函数第3课时 特殊角的三角函数值
6．在△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，若 cosA＝ 23，sinB＝12，则∠C ＝__1_2_0_°__.
7．已知 α，β 均为锐角，且满足|sinα －12|＋ （tanβ －1）2＝0，则 α ＋β＝__7_5_°___.
知识点❸：特殊角的三角函数值的计算
8．式子 2cos30°－tan45°－ （1－tan60°）2的值是( B )
数学
九年级下册 人教版
第二十八章 锐角三角函数
28．1 锐角三角函数 第3课时 特殊角的三角函数值
知识点❶：特殊角的三角函数值
1．下列式子中正确的是( B )
A．sin30°＝
3 2
B．cos45°＋sin45°＝ 2 C．sin60°＝sin(2×30°)＝2sin30°
D．tan60°＋tan30°＝2 3
18．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC 上，已知∠BDC ＝45°，BD＝10 2，AB＝20.求∠A 的度数．
解：∵在 Rt△BDC 中，∠BDC＝45°，BD＝10 2，∴BC＝BD·sin ∠BDC＝10 2× 22＝10，∵∠C＝90°，AB＝20，∴sinA＝BACB＝1200＝12， ∴∠A＝30°
知识点❷：由三角函数值求特殊角
4．(2019·怀化)已知∠α 为锐角，且 sinα ＝12，则∠α ＝( A )
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．李红同学遇到了这样一道题： 3tan(α＋20°)＝1，则锐角 α 的度数
应是( D )
A．40° B．30° C．20° D．10°
16．如图，△ABC 内接于⊙O，AB，CD 为⊙O 的直径，DE⊥AB 于 点 E，sinA＝12，则∠D 的度数是__3_0_°__.
【K12教育学习资料】[学习]九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 第3
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第3课时特殊角的三角函数值关键问答①求特殊角的三角函数值的方法是什么？②特殊角的三角函数的运算常用到什么知识？1．①sin60°的值为( )A.12B.22C.32D. 32．②计算：sin30°＋cos30°·tan60°＝________.3．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin A＝32，cos B＝12，则∠C的度数是________．命题点 1 直接求特殊角的三角函数值[热度：96%]4．③如图28－1－35，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A 为圆心，AO的长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值为( )图28－1－35A.33B.12C.22D.32解题突破③本题中所作的△AOB是一个等边三角形．5．正方形网格中，∠AOB如图28－1－36放置，则tan∠AOB的值为( )图28－1－36A.12 B ．1 C.22 D.336.④如图28－1－37，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的点，AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则AGAF的值为________．图28－1－37解题突破④通过证明△CBD 与△ACE 全等，结合全等三角形的对应角相等，可得∠AFG 的度数为定值.命题点 2 特殊角的三角函数之间的计算 [热度：92%]7．因为sin30°＝12，sin210°＝－12，所以sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°；因为sin45°＝22，sin225°＝－22，所以sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°.由此猜想、推理知：一般地，当α为锐角时，有sin(180°＋α)＝－sin α，由此可知，sin240°的值为( )A ．－12B ．－22C ．－32 D ．－ 38.⑤计算：2sin30°2sin60°－tan45°－32cos60°.方法点拨⑤因为特殊角的三角函数值很容易记混，所以最好结合图形根据锐角三角函数的定义来理解记忆.9．已知：a △b ＝ab ＋(a －b )，例如：2△3＝2×3＋(2－3)＝5，求sin30°△(tan45°－tan60°)的值．命题点 3 含有特殊角的三角函数的实数运算 [热度：98%] 10.⑥化简（tan30°－1）2的结果为( ) A ．1－33 B.3－1 C.33－1 D ．1－ 3 易错警示 ⑥a2＝||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a <0）.11．计算：8＋3tan30°－|sin45°－1|－(2019－2cos60°)0.命题点 4 由三角函数值求锐角的度数 [热度：95%]12.⑦若在△ABC 中，锐角A ，B 满足|tan A －3|＋(cos B －12)2＝0，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 解题突破⑦这里需要用“若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0”解题．13．⑧已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( )A ．15° B．30° C．45° D．60° 解题突破⑧由一元二次方程有两个相等的实数根，可得到根的判别式应该满足什么条件？14．⑨已知11－tan α无意义，且α为锐角，则sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝________．解题突破⑨分式无意义的条件是分母等于零．15．如图28－1－38，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是________．图28－1－3816．⑩已知α为锐角，且cos α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根，求1－2sin30°cos α的值．易错警示⑩求出方程的根后，还要根据0＜cos α＜1(α为锐角)对cos α的值进行取舍． 命题点 5 锐角的范围和三角函数值的取值范围之间的转换 [热度：91%]17．⑪已知在△ABC 中，∠C ＝90°且△ABC 不是等腰直角三角形，设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( )A ．0＜n ＜22 B ．0＜n ＜12 C ．0＜n ＜33 D ．0＜n ＜32解题突破⑪利用∠B 小于另一个锐角∠A ，可得到∠B 的取值范围，再由正弦函数的增减性进行判断.18．若锐角α满足cos α＜22且tan α＜3，则α的范围是( ) A ．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C ．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°命题点 6 用计算器探究三角函数中的规律 [热度：82%] 19.⑫利用计算器求下列三角函数值并填空．(精确到0.0001)(1)sin10°，cos10°，sin30°，cos30°，sin45°，cos45°，sin60°，cos60°. 猜想：当0°＜α＜45°时，sin α________cos α；当45°＜α＜90°时，sin α________cos α.(填“＞”“＜”或“＝”)(2)sin20°，cos70°，sin44°，cos46°，sin18°28′，cos71°32′. 猜想：sin α＝cos________；sin________＝cos α. 方法点拨 ⑫先用计算器求出各个三角函数值，然后比较它们的大小，并观察角度的变化和三角函数值的变化，据此寻找规律.20.⑬亲爱的同学们，在我们进入高中以后，还将会学到三角函数公式：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.例如：sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝6＋24. (1)试仿照例题，求出cos75°的准确值； (2)若tan α＝sin αcos α，试求出tan75°的准确值．拓展探究 ⑬你还能用其他方法求出sin75°和cos75°的准确值吗？ 21.⑭对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sin α＝sin(180°－α)，cos α＝－cos(180°－α)． (1)求sin120°，cos120°，sin150°的值；(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A ，B 是这个三角形的两个顶点，sin A ，cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．模型建立⑭互补的两个角的正弦值相等；互补的两个角的余弦值互为相反数.详解详析1．C 2.2 3.60°4．B [解析] 连接AB ，由题意可得△AOB 是等边三角形，所以cos ∠AOB ＝cos60°＝12.5．B6.32[解析] 因为△ABC 是等边三角形，所以AC ＝BC ＝AB ，∠ACE ＝∠B ＝60°. 又因为AD ＝BE ，所以BD ＝CE ，所以△ACE ≌△CBD ，所以∠CAE ＝∠BCD . 因为∠BCD ＋∠ACF ＝60°，所以∠CAE ＋∠ACF ＝60°＝∠AFG ， 所以sin ∠AFG ＝AG AF ＝32. 7．C [解析] sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32. 8．解：2sin30°2sin60°－tan45°－32cos60°＝2×122×32－1－32×12＝13－1－34＝2 3＋2－34＝2 3－14. 9．解：由题意，得sin30°△(tan45°－tan60°)＝12△(1－3)＝12×(1－3)＋(12－1＋3)＝32. 10．A [解析] （tan30°－1）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－1＝1－33.11．解：8＋3tan30°－|sin45°－1|－(2019－2cos60°)0＝2 2＋3×33－1＋22－1 ＝522－1. 12．D [解析] 由|tan A －3|＋(cos B －12)2＝0，得tan A －3＝0，cos B －12＝0，从而有∠A ＝60°，∠B ＝60°，所以△ABC 是等边三角形．13．B [解析] 由题意得Δ＝2－4sin α＝0，解得sin α＝12，∴α＝30°.14.1＋32 [解析] 由题意知tan α＝1，所以α＝45°，所以sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin30°＋cos30°＝12＋32＝1＋32.15.32 [解析] 在△ABC 中，∵∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，∴tan ∠ABC ＝tan60°＝ACBC＝3，∴AC ＝3BC .又D 是AC 的中点，∴DC ＝12AC ＝32BC ，∴tan ∠DBC ＝DC BC ＝32BCBC ＝32.16．解：解方程2x 2－7x ＋3＝0，得x 1＝3，x 2＝12.因为cos α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根，且α为锐角，所以cos α＝12，所以1－2sin30°cos α＝1－2×12×12＝22.17．A [解析] 由题意可得∠B ＜90°－∠B ，从而有∠B ＜45°，所以0°＜∠B ＜45°，所以0＜sin B ＜22. 18．B [解析] 由cos α＜22可得α＞45°，由tan α＜3，可得α＜60°，因此45°＜α＜60°.19．解：(1)sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848，sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，sin45°≈0.7071，cos45°≈0.7071，sin60°≈0.8660，cos60°＝0.5.当0°＜α＜45°时，sin α＜cos α；当45°＜α＜90°时，sin α＞cos α.(2)sin20°≈0.3420，cos70°≈0.3420，sin44°≈0.6947，cos46°≈0.6947，sin18°28′≈0.3168，cos71°32′≈0.3168.sin α＝cos(90°－α)；sin(90°－α)＝cos α.20．解：(1)cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24. (2)tan75°＝sin75°cos75°＝6＋26－2＝2＋ 3.21．解：(1)由题意得：sin120°＝sin(180°－120°)＝sin60°＝32， cos120°＝－cos(180°－120°)＝－cos60°＝－12，sin150°＝sin(180°－150°)＝sin30°＝12.(2)∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°.①当∠A ＝30°，∠B ＝120°时，方程的两根为12，－12，将x ＝12代入方程得4×(12)2－m ×12－1＝0，解得m ＝0.经检验，－12是方程4x 2－1＝0的根，∴m ＝0符合题意；②当∠A ＝120°，∠B ＝30°时，方程的两根为32，32，不符合题意； ③当∠A ＝30°，∠B ＝30°时，方程的两根为12，32，将x ＝12代入方程得4×(12)2－m ×12－1＝0，解得m ＝0.经检验，32不是方程4x 2－1＝0的根．综上所述，m ＝0，∠A ＝30°，∠B ＝120°. 【关键问答】①(1)规律记忆法：规律：正弦值的分母都为2，分子分别为1，2，3的算术平方根；余弦值的分母都为2，分子分别为3，2，1的算术平方根，且一个角的正弦值(余弦值)等于它的余角的余弦值(正弦值)；正切值的分母都为3，分子分别为3，9，27的算术平方根，且一个角的正切值等于它的余角的正切值的倒数．(2)直接利用含有30°角和45°角的直角三角形各边的数量关系，结合锐角三角函数的概念进行计算．②二次根式的运算、有理数的运算等．。
数学人教版九年级下册28.1锐角三角函数(第三课时)教案.1锐角三角函数(第三课时)教案
28.1锐角三角函数（第三课时）——特殊角三角函数值李林松渡普中学28.1锐角三角函数教案三——特殊角三角函数值教学目标知识技能熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．数学思考加深学生对锐角三角函数的认识，了解特殊与一般的关系，并对学生进行逆向思维的训练．解决问题会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．情感态度引导学生积极参加数学活动，增强学习数学的好奇心．重点会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．难点会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．板书设计课题例1：练习：例2：课后反思1、三角函数值的记忆。
2、三角函数值的表示方法。
3、三角函数值的求法（必须放在直角三角形中）。
教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动一：复习引入：1. 练习：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求∠B 的锐角三角函数值．2. 说出30°、45°、60°的各个锐角三角函数值．活动二：例题分析例1：求下列各式的值：（1）22cos 60sin 60+；（2）cos 45tan 45sin 45-． 练习：1．本课时练习1 2．例1 求下列各式的值： (1)2sin30°+3tg30°+ctg45°； (2)cos 245°+tg60°·cos30° 例2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=6，BC=3，求∠A的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径）OB 的3倍，求α．教师提出问题，学生思考并解答，教师关注学生对特殊角三角函数值的记忆方法和正确率．教师可用列表的方法表示特殊角的三角函数值，教给学生记忆的方法，并引导学生观察此表格，归纳出一些规律．教师出示题目后，学生观察题目特点，找到解题方法，即将特殊三角函数值代入求值．学生认真独立完成，教师巡视，对学习较困难的学生适当的给予指点．教师出示题目后，让学生认真读题，分析题目条件与要求的结论，分析它们之间的关系，教师关注学生的分析思路，适当时给予指点：如图（1），BC 边是∠A 的邻边，AB 是斜边，由此想到利用∠A 的余弦值来求∠A 的度数．图（2）中，OA 是α角的对边，OB 是α角的邻边，由此想到利用α角的正切值来求α角的度数．初次解这种类型的题目，教师要板演解题过程，给学生规范的解题格式．回忆所学内容，为本节课的教学做好准备．再次熟悉特殊角的三角函数值，并培养学生的运算能力．巩固特殊角的三角函数值．利用此题目（1）培养学生的逆向思维；（2）初次渗透在直角三角形中，利用边角关系求角的度数，这也是解直角三角形的一部分．问题与情境师生行为设计意图教学过程设计 图(1)36C B A αO 图(2)BA练习：1．求出下列各锐角的度数：（1）1sin 2A =；（2）3tan 3B =； （3）3cos 2A =；（4）2sin 2B =． 2．P 83页：2． 活动三：课堂小结 你在本节课中有什么收获与大家交流？ 活动四：布置作业 作业：习题28.2第3，6． 补充题： 1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=53，BC=5，求∠A 和∠B 的度数． 2.若3tan(10)1α+=，求锐角α． 3.3tan 23A =，则∠A 的度数是多少？教师出示题目，学生读题后，独立完成此练习，教师巡视过程中，观察学生对题目的理解，对学困生给予指点．教师提出问题，学生相互交流，教师适时给予指点．教师要关注学生： 1. 特殊角的三角函数值必须熟记； 2．在直角三角形中，知道两边，可求出每个锐角的各个三角函数；反之，由特殊角的三角函数值，可求出锐角的度数． 3．能否由任意的锐角求出三角函数值，或知道任意三角函数值都可以求出它所对应的锐角呢？教师布置作业，学生记录作业，并能独立完成作业．巩固所学知识，加深对知识的理解，并能独立的完成解题过程．巩固本节课所学知识． 为下节课用计算器求任意角的三角函数值和由已知任意角的某个三角函数值而求出它所对应的锐角埋下伏笔．巩固所学知识．。
20版数学《初中》9年级下册人教：28.1 锐角三角函数 第3课时
解:解方程x2+2x-3=0,得x1=1,x2=-3. ∵tan α>0,∴tan α=1,∴α=45°.
∴2sin2α+cos2α- t3an(α+15°)
=2sin245°+cos245°- 3tan(45°+15°)
2( 2 )2 ( 2 )2 3 3
2
2
3． 2
【火眼金睛】 计算:|cos 60°-sin 45°|-(tan 30°)-1.
sin β.例如sin 90°=sin(60°+30°)=sin 60°
·cos 30°+cos 60°·sin 30°= 3 3 1 1 1．
2 2 22
类似地,可以求得sin 15°的值是
.
解:将15°化为两个特殊角的差,利用上述公式进行计
算.
方法一(化为60°-45°):
sin 15°=sin(60°-45°)=sin 60°·cos 45°-
【思路点拨】分别计算出特殊角的三角函数值,然后代
入计算.
【自主解答】原式=2× 3 3 1 3 1 3 1．
2 32
6
【题组训练】 1.(2019·周口川汇区期末)计算sin 30°·cos 45°
6
·tan 60°=____4___.
★2.(2019·宁波北仑区期末)计算:sin 60°+ cos245°-sin 30°·tan 60°. 世纪金榜导学号
28.1 锐角三角函数 第3课时
【知识再现】 1.在直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的 ___一__半____. 2.45°角所对的直角三角形的两直角边___相__等____.
【新知预习】阅读教材P65探究内容,解决以下问题:
九年级下册数学28.1特殊角的锐角三角函数值
推进新课 知识点1 特殊角的三角函数值
探究
60°
30°
45°
45°
1 这两块三角尺的锐角分别等于多少度？
探究
2 每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系? （设最短的边为a）
2a
30° 3a
60°
a
a
a
45°
45°
2a
思考 你能根据前面的计算填出下表吗？
锐角 锐角A 三角函数
sin A
cos A
tan A
以求tan30°36'为例.
tan键 输入角度值30°36'或将其化为30.6°
得到tan30°36'结果
提问
若已知某锐角的三角函数值，能否用计算器求 出该锐角的度数呢？
若sin A=0.5018.
2nd F
sin键 °′″
输入函数值0.5018 得到结果
练习 3.用计算器求下列锐角三角函数值：
2
（2）3tan30° - tan45°+2sin60°；2 3 1
（3）(cos230°+sin230°)×tan60°. 3
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 7，
AC= 21 ，试求∠A，∠B的度数。
A
解：tanA
BC AC
7 21
1 3
3 3
tanB
AC BC
3
21
∴∠A＝30°，∠B＝60°. C
解：sin120°=sin(180°-120°)=sin60°= 3，
2
cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°= 1 .
sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=
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，tan30°=
3 3
sin45°=
2 ，cos45°= 2
2 2
，tan45°= 1
sin60°=
3 ，cos60°= 2
1 2
，tan60°=
3
，
由三角函数值求特殊角
作业布置
• P67 练习题 第1题 • P69 习题28.1 第3题
• 同.60° B.45° C.30° D.30°或60°
随堂练习
1.2sin60°等于（ B ）
A.1
B. 3
C. 2
D. 1
2
2.cos60°+ tan45°的值等于（ A ）
3
A. 2
B. 2
2
C. 3
2
D. 1
随堂练习
3.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA=1，sinB= 2 ，
tan A=1
2BC=AB
sin A= cosB=
1 2
课程讲授
1 特殊角的三角函数值
问题1：根据所学知识，请将下表内容补充完整。
A
2 1 45°
C1
B
A
锐角A 锐角三角函数
sin A
cos A
tan A
30°
1 2
3 2 3 3
45°
2 2 2 2
1
60°
3 2
1 2
3
30° 2 3
C
1B
课程讲授
2
则△ABC最确切的形状是（ B ）
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形
随堂练习
4.把一个直尺与一块三角板按如图所示放置，若sin∠1= 2 ，
2
则∠2的度数为（ B ）
A.120° B.135° C.145° D.150°
随堂练习
5.计算：
2
（1）sin30°÷cos45°=____2_____; （2）cos30°·tan30°-tan45°=_____12____； （3）sin260°+cos260°=___1______；
∴OD=2 m.
∵∠ADO=90°，
∴cos∠AOD=
OD OA
=
1 2
,
∴∠AOD=60°.
由题意可知∠BOD=∠AOD=60°,
∴秋千的摆动角∠AOB=∠AOD+∠BOD=120°.
课堂小结
特殊锐 角的三 角函数
值
30°、45°和 60°的三角函
数值
1 sin30°= 2 ，cos30°=
3 2
=0
课程讲授
1 特殊角的三角函数值
练一练：cos30°的值等于（ B ）
A. 2
2
B. 3
2
C.1
D. 3
课程讲授
2 由三角函数值求特殊角
例 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 6 ，
BC = 3 ，求 ∠A 的度数；
B 解： 在图中，
∵sin
A=
BC AB
=
3=
6
2，
2
1 特殊角的三角函数值
例 求下列各式的值：
(1) cos260°+sin260°；
解：cos260°+sin260°
1 2
2
3 2
2
=1
课程讲授
1 特殊角的三角函数值
例 求下列各式的值：
(2)
cos45° sin45°
-tan45°；
解： cos45° sin45°
-tan45°
2 2 -1 22
∴∠A=45°.
6
3
A
C
课程讲授
2 由三角函数值求特殊角
例 (2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO =
3OB，求 α 的度数.
A
解： 在图中，
∵tan
α=
AO OB
=
3OB =
OB
3，
∴α=60°.
O
B
课程讲授
2 由三角函数值求特殊角
练一练：在△ABC中，∠C=90°，sinA= 1 ，那么 2
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第3课时 特殊锐角的三角函数值
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.特殊角的三角函数值 2.由三角函数值求特殊角
新知导入
看一看：观察手中的三角板，试着归纳它们边和角之间 的规律。
A A
30° 45°
C
B
C
B
AC=BC sin A=sinB= cos A
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8且tanA= 3 ，则
3
AB=___1_6____.
随堂练习
7.一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为4 m,秋千向两边摆 动的幅度相同，简化图如图所示，OA,OB,OC均为秋千 长，∠AOB为摆动角.当秋千升高2 m时，求秋千的摆动 角的度数.
解：由题意，得OA=OC=4 m，CD=2 m，