人教版高中数学《平面向量》全部教案汇编

第五章 平面向量

第一教时

教材：向量

目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程：

一、开场白：课本P93（略）

实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 二、 提出课题：平面向量

1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量

等

注意：1数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大

小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数

学体系，用以研究空间性质。

2． 向量的表示方法： 1几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）

2

字母表示法：可表示为 P95 例 用1cm 表示5n mail （海里）

3． 模的概念：向量 记作：|| 模是可以比较大小的

4． 两个特殊的向量：

1零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。

注意与0的区别

2单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？

答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：与是否同一向量？

A B A(起点) B （终点） a

答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、 向量间的关系：

1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：∥∥ 规定：与任一向量平行

2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作：= 规定：=

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。

= = =

例：（P95）略

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量共线的向量有哪些？（,,）

四、 小结： 五、 作业：P96 练习 习题5.1

第二教时

教材：向量的加法

目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作

几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向

量计算。 过程：

六、复习：向量的定义以及有关概念

强调：1向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。

2正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任

何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。

七、 提出课题：向量是否能进行运算？

5．某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，

a b

c

A B C

则两次的位移和：=+

6．若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ 7．某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ 8．船速为，水速为， 则两速度和：=+

提出课题：向量的加法

三、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：

强调：

1“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点

2可以推广到n 个向量连加 3=+=+

4

不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则

3．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b 作法：在平面内取一点， 作= = 则b a OB +=

4．加法的交换律和平行四边形法则

上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同 从而得到：1向量加法的平行四边形法则 2

向量加法的交换律：+=+

9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

A B

C

A B

C

A

A A

B B B

C C O

A

B

a

a

a

b

b

b

a +

b a +b a a b b b a a A

C

D

c

a +b+c

a +b

b+c

证：如图：使=, =, =

则(+) +==+ + (+) ==+ ∴(+) +=+ (+)

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

四、例二（P98—99）略

五、小结：1向量加法的几何法则 2交换律和结合律 3

注意：|+| > || + ||不一定成立，因为共线向量不然。

六、作业：P99—100 练习 P102 习题5.2 1—3

第三教时

教材：向量的减法

目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。 过程：

八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则

向量加法的运算定律：

例：在四边形中，=++BA BA CB CD 解：=++=++

九、 提出课题：向量的减法

1．用“相反向量”定义向量的减法

1“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作

a

2规定：零向量的相反向量仍是零向量。(a ) = a

任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = b , b = a , a + b = 0 3向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a b = a + (b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：

若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a b ) + b = a + (b ) + b = a + 0 = a

作法：在平面内取一点O ， 作= a , = b

A B

O a b

B

a b

a

b