基本几何体的投影
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第三章立体的投影
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
12
截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。 •平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线。
• 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的实质是求两平面的交线
s
1 素线法
m 2 纬圆法
31
例 BAC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、W投影
s'
a' d' (e')
b'(c')
c
e
sa
bd
s"
(a")
e"
d"
c"
b"
分析
BAC不通过锥顶， 故为曲线
作图
①找特殊点 ②求H、W面投影 ③光滑连接曲线
32
圆球
O
球面
形成
圆绕其直径旋转 而成
O 轴线 圆球表面无直线！
作业
3-2（1）（2）
36
3.2.2 平面与曲面立体相交
一、曲面立体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
37
截交线的性质：
• 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。 • 截交线都是封闭的平面图形。
38
二、求平面与曲面立体的截交线的一般步骤
线后再取局部。
19
20
例:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
12
截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。 •平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线。
• 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的实质是求两平面的交线
s
1 素线法
m 2 纬圆法
31
例 BAC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、W投影
s'
a' d' (e')
b'(c')
c
e
sa
bd
s"
(a")
e"
d"
c"
b"
分析
BAC不通过锥顶， 故为曲线
作图
①找特殊点 ②求H、W面投影 ③光滑连接曲线
32
圆球
O
球面
形成
圆绕其直径旋转 而成
O 轴线 圆球表面无直线！
作业
3-2（1）（2）
36
3.2.2 平面与曲面立体相交
一、曲面立体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
37
截交线的性质：
• 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。 • 截交线都是封闭的平面图形。
38
二、求平面与曲面立体的截交线的一般步骤
线后再取局部。
19
20
例:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
机械制图基本几何体投影
X
A ⅠB c
b"
线法）。
a
s
1m b
Y
棱锥表面点的投影确定
s'
Z s"
长
沙
职
m"
院
m'
a'
(n') a" n"
b"
机 械 系
1'
X
b' c' O (c")
YW
a
n
c
s
1m
b
YH
六棱柱的投影
长A
沙 职 院
F
E
（f'） （e'）
a' b'
c' d'
D
BC
（e" ）（d" ）（c" ） f" a" b"
正三棱锥的表面有特殊位置平面, 也有一般位置平面。
属于特殊位置平面的点的投影, 可利用该平面的积聚性作图。
长 沙 职
属于一般位置平面的点投影, 可通过在平面上作辅助线的方
法求得。
Z
院
V s'
机 械 系
S
s"
m'
b'
a' 1'
m"
M C a"
如图: 己知属 于棱面ΔSAB上的 点M，试求点M、 的投影（利用辅助
已知圆锥表面点M的正面投影m′, 求m和m″。
方法: (1)辅助素线法
长 沙
s'
Z
s"
职
院
s
m'
机械制图第四章
画图步骤（参见下图）： 主视图的投射方向由例图可知，先画出未切割前圆柱体的三视图。 画切角的投影。切角的投影要先画主视图，再画俯视图，然后由主视图和俯视
4
画矩形切槽的投影。矩形切槽的投影要先画左视图，再画俯视图，主视图由俯视图
和左视图求出（主视图中，矩形切槽的底面不可见，因此要画成虚线）。 整理轮廓线，将切去的轮廓线擦除并加深图线。
1
基本几何体的投影
2
截交线
相贯线
4
3
截交线与相贯线测绘案例
5
在AutoCAD中绘制截交线和相贯线
1
1
圆柱体的投影及其表面上的点
如图所示，若圆柱体的轴线垂直于H面，则俯视图的可见轮廓为圆，这个圆反映了圆柱 体上、下底面的实形；主视图的可见轮廓为矩形，矩形的上下两边为圆柱体上下两底面的 投影，左右两边为圆柱面最左和最右两条素线的投影。这两条素线将圆柱面分为前后两部 分，前半个柱面可见，后半个柱面不可见，我们把这两条素线称为柱面对V面的转向轮廓线， 该转向轮廓线的水平投影积聚到圆的最左和最右点，侧面投影和轴线重合。 左视图的图形虽然和主视图相同， 但其左右两条边的含义和主视图不同， 这两条边表示柱面上最前和最后两条素 线的投影，即柱面对W面的转向轮廓线 ，该转向轮廓线的水平投影积聚到圆的 最前和最后点。此外，左视图中，V面 的转向轮廓线和轴线重合（不画）。 已知柱面上M点的V面投影m′，该点的其他两面投影可以求出来。即由于圆柱面的水平投影 积聚成圆，所以M点的水平投影一定在该圆上，又因为m′可见（不可见时，需用圆括号括起来）， 所以M点的水平投影一定在前半个柱面上；根据“长对正”即可求出M点的水平投影m；根据 “高平齐、宽相等”即可求出M点的侧面投影m''。因为M点在左半个柱面上，所以m''可见。
空间几何体的投影计算
空间几何体的投影计算投影是几何学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和分析三维空间中的几何体。
本文将讨论如何计算空间几何体的投影，并介绍常见几何体的投影计算方法。
1. 直线的投影计算在三维空间中，一条直线可以用参数方程表示为：x = x0 + t * ay = y0 + t * bz = z0 + t * c其中(x0, y0, z0)为直线上的一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
直线在平面上的投影可以通过将直线的参数方程代入平面的方程来计算。
设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，则直线在平面上的投影为：x = x0 + t * a - (a * Ax0 + b * Ay0 + c * Az0 + D) * a / (a^2 + b^2 + c^2)y = y0 + t * b - (a * Ax0 + b * Ay0 + c * Az0 + D) * b / (a^2 + b^2 +c^2)z = z0 + t * c - (a * Ax0 + b * Ay0 + c * Az0 + D) * c / (a^2 + b^2 + c^2)2. 球体的投影计算球体在三维空间中的投影是一个圆。
以球心为原点建立球坐标系，球心到球上任意一点的向量可以表示为：x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ其中r为球的半径，θ为极角，φ为方位角。
球体在平面上的投影也是一个圆，其圆心和半径可以通过球坐标系中的坐标转换得到。
设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，球的投影圆的半径为R，则圆心在球坐标系中的极角和方位角可以通过以下公式计算：cosθ = -D / √(A^2 + B^2 + C^2)sinθ * cosφ = -A / √(A^2 + B^2 + C^2)sinθ * sinφ = -B / √(A^2 + B^2 + C^2)圆心在球坐标系中的三维坐标为：x = R * sin(π/2 - θ) * cos(π - φ)y = R * sin(π/2 - θ) * sin(π - φ)z = R * cos(π/2 - θ)3. 长方体的投影计算长方体在三维空间中的投影是一个矩形。
工程制图课件——第3章 立体的投影
1′ 3′ a
⑵ 圆柱体的三视图
2′ 4′
⑶ 轮圆廓柱线面素的线俯的视投图影积分聚析成与一曲
⑷个 两 示圆个。圆面，方柱的在 向面可另 的上见两 轮取性个 廓点的视素判图线断上的分投别影以表
1(2)
a3(4)
O A
O1 A1 1″ 3″ a
2″ 4″
利用投影 的积聚性
已知圆柱表面上的点M及N正面投影m′和n′，求它们 的其余两投影。
• 平面与立体表面的交线，称为截交线； 当平面切割立体时，由截交线围成的平 面图形，称为断面。 • 用平面与立体相交，截去体的一部分—截切。
• 用以截切立体的平面——截平面。
五棱柱被切割后的三面投影
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4)2 3
4● ●1 ● 2 ● 3
ⅣⅠ
Ⅱ Ⅲ
4
●
3
三视图
（2）正面与侧面投影 是以轴线为对称线的、 大 小完全相同的矩形。
投影特性
圆
圆 锥
底 成下 看面 是底 成圆围 由圆面 是锥成 一柱围 由是。 直由成 一由圆 母圆。 直圆锥 线柱圆 母锥面面柱 线A面可和A面BB绕和看上可绕、
⑴ 棱柱的组成
由两个底面和若干侧棱面
组成。侧棱面与侧棱面的交线
叫侧棱线，侧棱线相互平行。
⑵ 棱柱的三视图
⑶ 棱在柱图示面位上置取时点，六棱柱
的点两的底可面见为性水规平定面：，在俯视 图中反若映由点实于所形棱在。柱的前的平后表面两面的侧都投棱 面影是是可正平见平面，面，点，所的其以投余在影四棱也个柱可侧的见棱； 面若是表平铅面面垂上的面取投，点影它与积们在聚的平成水面直平上线投， 影点都取的积点投聚的影成方也直法可线相见，同。与。六边形 的边重合。
基本几何体的投影
对W面的转向轮廓线的投影，该转向轮廓线是侧平线，水平投影是垂直于X轴
的半径，V面的转向轮廓线和轴线重合。
已知锥面上M 点的V面投影m′， 求M点的其他两面 投影的方法有两种。
辅助素线法 辅助圆法
方法一：辅助素线法
辅助素线法的作图原理是过锥顶和M点作一条素线，求出该素线的三面投影，则 M点的投影一定在该素线的投影上。作图步骤如下（参见图（a））：
③ 根据“高平齐、宽相等”，即可求出M点的侧 以F点的W面投影f1''，f2''，f3''均不可见。
面投影m ′ ′ 。
机械制图
圆环的水平投影是两个圆，分别是上、下半环表面的外形轮廓线的水平投影，也是环 面对H面的转向轮廓线的投影，细点画线圆是母线圆心轨迹的投影。圆环的V面投影由两个 小圆和切线组成，两个小圆是环面对V面转向轮廓线的投影。
其中，虚线半圆是内环面上前、后内 半环面的分界线，实线半圆是外环面上前、 后外半环面的分界线，两个圆的切线是环 面上最高和最低纬线圆的投影。圆环在W 面上的投影和在V面上的投影类似，圆环对 W面的转向轮廓线将环面分为左、右两个 内、外半环面，内半环面不可见，如右图 所示。
已知柱面上M点的V面投影m′，该点的其他两面投影可以求出来。即由于圆柱面的水平投影 积聚成圆，所以M点的水平投影一定在该圆上，又因为m′可见（不可见时，需用圆括号括起来）， 所以M点的水平投影一定在前半个柱面上；根据“长对正”即可求出M点的水平投影m；根据 “高平齐、宽相等”即可求出M点的侧面投影m''。因为M点在左半个柱面上，所以m''可见。
分的交点到轴线的距离为辅助平面与外环面的交
线圆半径，与小圆虚线部分的交点到轴线的距离
机械制图-基本几何体的三视图
转 体
圆柱
圆柱
圆柱面上取点
1′ 3′
1″ 3″
a
a
2′
4′
2″ 4″
A
1(2)
a
3(4)
利用投影 的积聚性
圆锥
圆锥
s
●
k
(n)
b′ d′
n s● b k d
圆锥面上取点
● s
●(n)
k b″
★辅助直线法
S O 如何在圆锥面
上作直线？
N●
过锥顶作一条
A O1
素线。
★辅助圆法
圆的半径？
圆球
圆球
圆球面上取点
k
k
k
辅助圆法
圆的半径？
圆环
b’ a’
(c ) (a )
面上找点：
纬圆法
思考：
• 点B的位置， 另两个投影及可见性
a” • 点C的位置， 能否确定
主视图 俯视图 侧视图
可见 前半环 上半外环 左半外环
不可见 后半环
其余 其余
谢谢观赏
机械制图-基本几何体的三视 图
基本几何体
平面基 本体
常见的基 本几何体
曲面基 本体
棱柱
棱柱
棱柱投影：棱柱的顶面和底面是水 平面，棱柱的后棱面是正平面，其 余棱面均为铅垂面。
棱柱
六棱柱的两底面为水平面，前后两 侧棱面是正平面，其余四个侧棱面 是铅垂面。
棱柱
棱柱面上取点:若点所在的平面的投 影可见，点的投影也可见；若平面的 投影积聚成直线，点的投影也可见。
画出点画B出的A第点三的个三投面影投并影找到点B的位置
a (b) b
a
a
b
A B
圆柱
圆柱
圆柱面上取点
1′ 3′
1″ 3″
a
a
2′
4′
2″ 4″
A
1(2)
a
3(4)
利用投影 的积聚性
圆锥
圆锥
s
●
k
(n)
b′ d′
n s● b k d
圆锥面上取点
● s
●(n)
k b″
★辅助直线法
S O 如何在圆锥面
上作直线？
N●
过锥顶作一条
A O1
素线。
★辅助圆法
圆的半径？
圆球
圆球
圆球面上取点
k
k
k
辅助圆法
圆的半径？
圆环
b’ a’
(c ) (a )
面上找点：
纬圆法
思考：
• 点B的位置， 另两个投影及可见性
a” • 点C的位置， 能否确定
主视图 俯视图 侧视图
可见 前半环 上半外环 左半外环
不可见 后半环
其余 其余
谢谢观赏
机械制图-基本几何体的三视 图
基本几何体
平面基 本体
常见的基 本几何体
曲面基 本体
棱柱
棱柱
棱柱投影：棱柱的顶面和底面是水 平面，棱柱的后棱面是正平面，其 余棱面均为铅垂面。
棱柱
六棱柱的两底面为水平面，前后两 侧棱面是正平面，其余四个侧棱面 是铅垂面。
棱柱
棱柱面上取点:若点所在的平面的投 影可见，点的投影也可见；若平面的 投影积聚成直线，点的投影也可见。
画出点画B出的A第点三的个三投面影投并影找到点B的位置
a (b) b
a
a
b
A B
项目三 基本体的投影
作图： （1) 先画出四棱锥的第三面投影图（图3-8(b))； （2) 因P面为正垂面，四棱锥的四条棱线与P面交点的V面投影1′、2′、 3′、4′可直接求出； （3) 根据直线上点的投影性质，在四棱锥各棱线的H、W面投影上，求出 相应点的投影1、2、3、4和1″ 、2″ 、3″ 、4″ ； （4）将各点的同面投影依次连接起来，即得到截交线的投影,它们是两 类似的四边形1234和1″ 2″ 3″ 4″ 。在图上去掉被截平面切去的部 分，即完成截头四棱锥的三面投影图。
• 4、圆锥 （1）圆锥的投影 圆锥面是由一条直母线SA，绕与它相交的轴线OO1旋转形成的，如 图3-5(a)所示。圆锥体表面是由圆锥面和底面组成。在圆锥面上任意位 置的素线，均交于锥顶点。 画法： 1) 画回转轴线的三面投影； 2) 画底圆的水平投影、正面投影和侧面投影。 3) 画正面投影中前后两半转向线的投影，侧面投影中左右两半转向 轮廓线的投影。
下面举例说明求平面立体截交线的方法和步骤。 例3-2：试求正垂面P与四棱锥的截交线，并画出四棱锥切割后的三面投 影图,如图3-8所示。 分析：由图3-8(a)可知，因截平面P与四棱锥的四个侧面都相交，所以截 交线为四边形。四边形的四个顶点为四棱锥四条棱线与截平面P的交点。 由于截平面P是正垂面，截交线的V面投影积聚为一斜线（用Pv表示）， 由V面投影可求出其H面投影与W面投影。
• 3、圆柱 （1）圆柱的投影 圆柱是由圆柱面和顶圆平面、底圆平面围成的。如图3-3所示，圆柱 面可以看作是一条直母线AE绕与它平行的的轴线oo1旋转而成。
在圆柱的V面投影中，前、后两半圆柱面的投影重合为一矩形，矩形 的两条竖线分别是圆柱的最左、最右素线的投影，也是前、后两半圆柱 面分界的转向线的投影。在圆柱的W面投影中，左、右两半圆柱面的投影 重合为一矩形，矩形的两条竖线分别是圆柱的最前、最后素线的投影， 也是左、右两半圆柱面分界的转向线的投影。矩形的上 、下两条水平线 则分别是圆柱顶面和底面的积聚性投影，如图3-3(c)所示。 在图3-3(d)中，圆柱面上有两点M和N，已知V投影n′和m′，且为可 见，求另外两投影。由于点N在圆柱的转向线上,其另外两投影可直接求 出；而点M可利用圆柱面有积聚性的投影，先求出点M的H面投影m，再由m 和m′求出m"。点M在圆柱面的右半部分，故其W面投影m"为不可见。 （2)圆柱表面上取线 例3-1：已知圆柱表面的曲线AE的V面投影直线a′e′，求其另外两 投影（图3-4）。
02-8基本几何体投影
一 平面基本体
平面立体的表面是由点、直线、平面等几何元素构成，因 此平面体的投影就是绘制平面体表面各点、直线、平面的投影， 并判断可见性。在投影图中，当多种图线发生重叠时，应以粗 实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。
Z
(一)棱柱 1、 棱柱的组成
由两个底面和几个侧棱面 组成。侧棱面与侧棱面的交线 叫侧棱线，侧棱线相互平行。
转向轮廓线
转向轮廓线
(一) 圆柱
圆柱表面由圆柱面和顶面、底面所组成。圆柱面是 由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。
1、圆柱的投影
如图所示，圆柱的轴线垂直于 H面，其上下底圆为水平面，水平 投影反映实形，其正面和侧面投影 重影为一直线。而圆柱面则用曲面 投影的转向轮廓线表示。 V a’
c’d’ A c’d’ A d b’
棱锥处于图示位置时， 其底面ABC是水平面，在 Y 俯视图上反映实形。侧棱 面SAC为侧垂面，另两个 侧棱面为一般位置平面。
A
a
b
正三棱锥的投影
2、 棱锥的投影特点
Z V s' S a' X A s" W b' Ca" c" s Bc b" Y
底边AB、BC 为水平线，AC为 侧垂线，棱线SB为 侧平线，SA、SC为 一般位置直线，它 们的投影可根据不 同位置直线的投影 特性进行分析。
Z
a'
d'
e' a" d" e" c"
b'
c'
A
D
E b"
X a
B
C e Y
b
dc
正六棱柱的投影
3、 作六棱柱的三视图
7 平面立体及回转体的投影
基本体和切割体
1. 平面立体的投影 2. 曲面立体（回转体）的投影
平面立体：表面都是平面多边形的立体
曲面立体：既有平面、又有曲面的立体
常见的基本几何体 平面基本体 曲面基本体
平面立体的投影
平面立体的投影实质是关于其表面上点、线、 面投影的集合，且以棱边的投影为主要特征，对 于可见的轮廓线，其投影以粗实线表示，不可见 的轮廓线，则以虚线表示。在投影图中，当多种 图线发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等 顺序优先绘制。
a”
(b)
a
三、圆球表面上取线
end
例1 已知半圆柱体的俯视图，其高度为50 mm， 补画主 、左视图，并完成半圆柱体上点 A 和B 的投影。
例2 已知四分之一圆台的左视图，其长度为50 mm， 补画主 、俯视图，并完成四分之一圆台上线CD 的投影。
例3 已知二分之一圆球体的主视图及其半径大小 ，补画俯、左视图，并完成球体上线EF 的投影。
例4 已知鼓形体的三视图，补画其上线GH 的 另外两个投影。
s’
Z
s”
a’
X
c’ s
b’
b
O a”(b”)
c”
YW V
Z s' S a' b' A a s
a
s"
W Ca" c" Bc b"
YH 正三棱锥的三面投影图
c
X
b
Y
3、三棱锥表面上取点M
方法一： Z s’ s” S
素线
m’ a’
X
2’ c’
b’ b
m”
a”(b”)
c”
YW
M
a
s
2 m c
1. 平面立体的投影 2. 曲面立体（回转体）的投影
平面立体：表面都是平面多边形的立体
曲面立体：既有平面、又有曲面的立体
常见的基本几何体 平面基本体 曲面基本体
平面立体的投影
平面立体的投影实质是关于其表面上点、线、 面投影的集合，且以棱边的投影为主要特征，对 于可见的轮廓线，其投影以粗实线表示，不可见 的轮廓线，则以虚线表示。在投影图中，当多种 图线发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等 顺序优先绘制。
a”
(b)
a
三、圆球表面上取线
end
例1 已知半圆柱体的俯视图，其高度为50 mm， 补画主 、左视图，并完成半圆柱体上点 A 和B 的投影。
例2 已知四分之一圆台的左视图，其长度为50 mm， 补画主 、俯视图，并完成四分之一圆台上线CD 的投影。
例3 已知二分之一圆球体的主视图及其半径大小 ，补画俯、左视图，并完成球体上线EF 的投影。
例4 已知鼓形体的三视图，补画其上线GH 的 另外两个投影。
s’
Z
s”
a’
X
c’ s
b’
b
O a”(b”)
c”
YW V
Z s' S a' b' A a s
a
s"
W Ca" c" Bc b"
YH 正三棱锥的三面投影图
c
X
b
Y
3、三棱锥表面上取点M
方法一： Z s’ s” S
素线
m’ a’
X
2’ c’
b’ b
m”
a”(b”)
c”
YW
M
a
s
2 m c
几何体的投影
第六节几何体的投影机器上的零件，不论形状多么复杂，都可以看作是由基本几何体按照不同的方式组合而成的。
1、基本几何体——表面规则而单一的几何体。
按其表面性质，可以分为平面立体和曲面立体两类。
2、平面立体——立体表面全部由平面所围成的立体，如棱柱和棱锥等。
2、曲面立体——立体表面全部由曲面或曲面和平面所围成的立体，如圆柱、圆锥、圆球等。
曲面立体也称为回转体。
一、平面立体的投影及表面取点1、棱柱棱柱由两个底面和棱面组成，棱面与棱面的交线称为棱线，棱线互相平行。
棱线与底面垂直的棱柱称为正棱柱。
本节仅讨论正棱柱的投影。
（1）棱柱的投影以正六棱柱为例。
如图（a）所示为一正六棱柱，由上、下两个底面（正六边形）和六个棱面（长方形）组成。
设将其放置成上、下底面与水平投影面平行，并有两个棱面平行于正投影面面。
上、下两底面均为水平面，它们的水平投影重合并反映实形，正面及侧面投影积聚为两条相互平行的直线。
六个棱面中的前、后两个为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。
其他四个棱面均为铅垂面，其水平投影均积聚为直线，正面投影和侧面投影均为类似形。
（a）立体图（b）投影图正六棱柱的投影及表面上的点总结正棱柱的投影特征：当棱柱的底面平行某一个投影面时，则棱柱在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的矩形线框所组成。
（2）棱柱表面上点的投影方法：利用点所在的面的积聚性法。
（因为正棱柱的各个面均为特殊位置面，均具有积聚性。
）平面立体表面上取点实际就是在平面上取点。
首先应确定点位于立体的哪个平面上，并分析该平面的投影特性，然后再根据点的投影规律求得。
举例：如图（b）所示，已知棱柱表面上点M的正面投影m′，求作它的其他两面投影m、m″。
因为m′可见，所以点M必在面ABCD上。
此棱面是铅垂面，其水平投影积聚成一条直为可见，故m″也为可见。
特别强调：点与积聚成直线的平面重影时，不加括号。
基本几何体的投影
V
1
小结
重点掌握：
基本体的三面投影的画法及面上取点的方法
⒈ 平面体表面取点，利用平面上取点的方法。 ⒉ 圆柱体表面取点，利用投影的积聚性。 ⒊ 圆锥体表面取点，用辅助素线法或辅助纬圆法。 ⒋ 球体表面取点，用辅助纬圆法。
1
作业：P16 4-1（1）（3）； 4-2；
P17 4-5 （1）—（6）。 注意： 1、4-2（2）（5）：表面上线的投影如果可见 加深成粗实线；不可见用虚线连接。 2、4-5 (2) （4）（6）：表面上线是规则曲线用直
A A
平行圆的柱轴面线是OO由1旋直转线而AA成1绕。与它最左素线
W
V
最右素线 OO1 1 A1
直线AA1称为母线,母线在
回转面的任一位置称为素线 。
a
圆柱面上的素线都是平行于轴 Nhomakorabeaa
线的直线。
2. 圆柱柱面体的的水三平面投投影积影聚成一个圆，
另线3两的.轮个投廓投影影表线分示素别。线用的两投个影方向与的曲轮廓素
1
4.2 平面基本几何体的投影及其表面取点
平面基本几何体的投影就是把组成它的平 面和棱线的投影画出来,并判别可见性。
一、 棱柱(如:正六棱柱)
1. 正六棱柱的组成 由顶面和底面及六个侧棱面
组成。侧棱面与侧棱面的交线叫 侧棱线，侧棱线相互平行。
2. 正六棱柱的三面投影 六棱柱的顶面和底面为水平面，水平投影反
面可见性的判断
a
最后素线
最前素线
利用投影的积聚性
1
圆柱轴线侧垂时分析其轮廓素线的投影
1
4 圆柱面上取点 利用投影的积聚性
(a)
( b)
a b
a
b×
1
小结
重点掌握：
基本体的三面投影的画法及面上取点的方法
⒈ 平面体表面取点，利用平面上取点的方法。 ⒉ 圆柱体表面取点，利用投影的积聚性。 ⒊ 圆锥体表面取点，用辅助素线法或辅助纬圆法。 ⒋ 球体表面取点，用辅助纬圆法。
1
作业：P16 4-1（1）（3）； 4-2；
P17 4-5 （1）—（6）。 注意： 1、4-2（2）（5）：表面上线的投影如果可见 加深成粗实线；不可见用虚线连接。 2、4-5 (2) （4）（6）：表面上线是规则曲线用直
A A
平行圆的柱轴面线是OO由1旋直转线而AA成1绕。与它最左素线
W
V
最右素线 OO1 1 A1
直线AA1称为母线,母线在
回转面的任一位置称为素线 。
a
圆柱面上的素线都是平行于轴 Nhomakorabeaa
线的直线。
2. 圆柱柱面体的的水三平面投投影积影聚成一个圆，
另线3两的.轮个投廓投影影表线分示素别。线用的两投个影方向与的曲轮廓素
1
4.2 平面基本几何体的投影及其表面取点
平面基本几何体的投影就是把组成它的平 面和棱线的投影画出来,并判别可见性。
一、 棱柱(如:正六棱柱)
1. 正六棱柱的组成 由顶面和底面及六个侧棱面
组成。侧棱面与侧棱面的交线叫 侧棱线，侧棱线相互平行。
2. 正六棱柱的三面投影 六棱柱的顶面和底面为水平面，水平投影反
面可见性的判断
a
最后素线
最前素线
利用投影的积聚性
1
圆柱轴线侧垂时分析其轮廓素线的投影
1
4 圆柱面上取点 利用投影的积聚性
(a)
( b)
a b
a
b×
基本几何体的投影
影
由曲面或曲面与平面共同围成 的立体称为曲面立体，如圆柱、 圆锥、球等。 由于这些曲面都是由一母线 （直线或曲面）绕同一定轴线 旋转一周而形成的，因此曲面 又称为回转面，曲面立体又称 为回转体。
母线在回转面上的任一位置称为素线，母 线上任意一点随母线旋转后形成的圆称为 纬圆。
1.圆柱
圆柱是由圆柱面与垂直其轴线的两个平面 上，即上、下底面所围成的。圆柱面是一 条直母线绕与其平行的轴线回转而形成的。 （1）圆柱的视图分析【P48例2-5】
2.圆锥
圆锥是由圆柱面与垂直其轴线的底圆平面 所围成的。圆锥面是由一条直母线绕与其 相交的轴线回转而形成的。 （1）圆锥的视图分析【P49例2-6】
基本几何体的投影
1.平面立体的投影
由平面围成的立体称为平面立体。 平面立体上相邻表面的交线称为 棱线。常见的基本平面立体有棱 柱和棱锥两类。棱柱的棱线彼此 平行，棱锥的棱线交于一点。
(1) 棱柱的三面投影 棱柱（正六棱柱）上一点的三面 投影。 （2）棱锥的三面投影 棱锥（正三棱锥）上一点的三面 投影。 作图的方法：长对正；高平齐； 宽相等。
3.圆球
圆球是由球面所围成的。球面是以圆为母 线绕与其直径回转形成的。母线上任一点 随母线回转的轨迹为垂直轴线的纬圆。
由曲面或曲面与平面共同围成 的立体称为曲面立体，如圆柱、 圆锥、球等。 由于这些曲面都是由一母线 （直线或曲面）绕同一定轴线 旋转一周而形成的，因此曲面 又称为回转面，曲面立体又称 为回转体。
母线在回转面上的任一位置称为素线，母 线上任意一点随母线旋转后形成的圆称为 纬圆。
1.圆柱
圆柱是由圆柱面与垂直其轴线的两个平面 上，即上、下底面所围成的。圆柱面是一 条直母线绕与其平行的轴线回转而形成的。 （1）圆柱的视图分析【P48例2-5】
2.圆锥
圆锥是由圆柱面与垂直其轴线的底圆平面 所围成的。圆锥面是由一条直母线绕与其 相交的轴线回转而形成的。 （1）圆锥的视图分析【P49例2-6】
基本几何体的投影
1.平面立体的投影
由平面围成的立体称为平面立体。 平面立体上相邻表面的交线称为 棱线。常见的基本平面立体有棱 柱和棱锥两类。棱柱的棱线彼此 平行，棱锥的棱线交于一点。
(1) 棱柱的三面投影 棱柱（正六棱柱）上一点的三面 投影。 （2）棱锥的三面投影 棱锥（正三棱锥）上一点的三面 投影。 作图的方法：长对正；高平齐； 宽相等。
3.圆球
圆球是由球面所围成的。球面是以圆为母 线绕与其直径回转形成的。母线上任一点 随母线回转的轨迹为垂直轴线的纬圆。
04基本体的投影
(1)圆柱面的形成 圆柱面由直线AA1绕与其平行的轴线回转而 成。
(2)投影 当圆柱的轴线垂直于H面时,圆柱的顶面、底面是水平 面,所以水平投影反映圆的实形,其正面投影和侧面投影积聚为直 线,直线的长度等于圆的直径;由于圆柱的轴线垂直于水平面,圆柱 面的所有素线都是铅垂线,故其水平投影积聚为圆,与上下底面圆 的投影重合;在圆柱的正面投影中,前后两半圆柱面的投影重合为 一矩形,矩形的左右两边分别是圆柱面最左、最右素线的投影,这
4.2.2.2 圆锥
圆锥(cone)由圆锥面和底面所围成,如图4-11(a)所示。
(1)圆锥面的形成 圆锥面由直线SA绕与它相交的轴线回转而成, 其上所有素线均交于锥顶S点,且面上任一点与顶点的连线均为属 于圆锥表面的直线。
(2)投影 当圆锥的轴线垂直于H面时,底面为水平面,水平投影反 映实形,其正面投影、侧面投影均积聚成直线;圆锥面在水平面上 的投影为圆内区域,与底面的水平投影重影,另两个投影为等腰三 角形,三角形两腰为锥面的转向轮廓线的投影;最左和最右素线
通常把棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆球、圆环 等简单立体称为基本几何体,简称基本体(elementary soild)。
4.2.1 平面立体及其表面上的点和线
平面立体的表面都是平面,平面由直线围成,所以绘制平面立 体的投影可归结为绘制各种直线、平面及它们之间相对位 置的投影,再判别可见性,将可见轮廓线的投影画成粗实线,不 可见轮廓线的投影画成细虚线,当粗实线和细虚线重合时画 粗实线,当轮廓线与细点画线重合时画轮廓线。
[例4-2] 已知图4-7所示棱锥外表面上K点的正面投影k'(可见),试 作K点的其他投影。
【作图】
方法一:如图4-7(a)所示。
① 过锥顶S点和K点作一辅助线SD,即在视图上作s'k'延长交b'c'于 点d'。
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e' g' h' f' g"(h") e"(f")
c (g) (h) d
a (e)
b (f)
五棱柱的投影
y
长对正 高平齐 宽相等
绘制投影图 1、先画水平投影、再根据投影 规律绘制其他两投影 2、不可见棱线用虚线绘制。
2、各棱面均垂直于水平面，其水平投影 关系完成其他投影 均积聚为直线段；
先做反映实形的投 1、上下底面为水平面，其水平投影反映 底面实形，其他两投影积聚为直线段； 影，再利用三面投影
曲线所在平面倾斜于投影面，投影为不反映实形的曲线。
曲
面
曲面
曲面——动线在空间连续运动所形成的轨迹。
动线称为——母线，母线在曲面上的任一位置称为素线。 控制母线运动的点、线、面分别称为定点、导线或轴线、 导面。
定点
曲导线
曲面—回转面
回转面：直线或曲线绕定轴旋转一周而形成的
曲面称为回转面；
母线：运动的直线或曲线； 素线：母线运动过程中的任意位置； 纬圆：母线上任意点的运动轨迹；
基本体的投影
• 基本体：也称基本几何体，就是指表面具 有几何形状的简单形体，可以分为平面 （立）体和曲面（立）体两大类。
平面体
• 平面体：表面 由若干平面所 围成的形体；
常见平面体：棱柱、棱锥、棱台。
根据以上图片画出相应平面体的三面投影图
1.使基本几何体在 三面投影体系中放 得平稳，并使其尽 可能多的表面平行 或垂直于投影面， 以便于得到反映实 形的投影和使投影 简单易画。
2、利用积聚性求 水平投影；
a"
a'
3、根据已知两投影 求第三投影；
k
a
点在特殊平面内， 利用平面的积聚投 影确定点的投影
平面立体表面上的点和直线
b）点在一般位置平面内 s'
s"
1、确定点所在平面
2、在已知投影上，作包含 该点的辅助直线。
m'
(m")
3、求出辅助线的水平投影， 并在其上确定点的投影。
圆球——以半圆的直径为轴，半圆弧绕轴旋转而
成的回转体。
圆球的投影分析
a’ b’ c’ b” a” c”
c a b
圆球上的点
(m') c' b' m"
c"
(b")
辅助纬圆法
m
c b
圆球上的点
辅助纬圆法
a’ （a”)
(b’)
b”
(b) a
回转面的投影
画出基准线、轴线及圆的中心线;
绘制各投影方向的最外轮廓线;
圆柱表面上点与线的投影
(a') b'
a" b"
利用圆柱面 的积聚性定点。
a
b
圆柱上的点
a’
(a”) c” b”
(c’) (b’)
b
c
a
圆柱上的线
a’ (a”) c” b”
c’ b’
b
c
a
圆锥
圆锥——以直角三角形的一个直角边为轴，两外
边绕轴旋转而成的回转体。
圆锥的投影
s’ s”
a’ c a s
空间分析
y
平面立体的投影
同一物体因其摆放位置的不同可绘制出不同的投影图
二 棱锥
（一）棱锥的特点
特点：
棱 棱 底 线 面 面 交 三 多 于 角 边 一 形 形 点 ——
——
——
（二）棱锥的投影
s' s"
a'
b' (d') d
c' d"
a" (c")
b"
a
s
c
b
三棱锥的投影
空间分析
1、下底面为水平面，其水平投影反映底 面实形，其他两投影积聚为直线段；
(二）棱台的投影
平面立体表面上的点和直线
1、点在棱线上
点的投影
必在棱线的同名投影上。
s' m' a' s" m"
要点： 1）确定点所在棱线 的投影； 2）根据点的投影规 律确定点的投影。
a"s ຫໍສະໝຸດ a平面立体表面上的点和直线
2、点在立体表面内
a）点在特殊位置平面内
1、确定点所在平面；
(k ') k"
b
a
2、已知三棱锥表面点的一个投影，求其它两 个投影
a' c' b' d c (b) (d ') d" a" b" c"
a
曲面体
曲面体——由曲面或曲面与平面围成的立体。
曲线
• 曲线的投影特性
一般情况下投影仍为曲线 平面曲线的投影特点与平面相同
曲线所在平面平行于投影面，投影反映曲线实形；
曲线所在平面垂直于投影面，投影为直线；
2.以最能反映基本几何体的主要形状特征的投射方 向为正面（V面）投影的投射方向。
一 棱柱
特点：
棱 面 为 矩 形 两 底 面 互 相 平 行 且 为 多 边 形
棱 线 垂 直 于 底 面 且 互 相 平 行
（二）棱柱的投影
a' c' d' b' c"(d") a"(b")
物体应以最常用最 平稳的位置摆放
基本体的尺寸标注
任务二
用A4图纸绘制广晟学府花园或校园内变电房的 三视图。
要求：1.必须绘制图纸边框线和标题栏； 2.比例——在以下几个给定比例中选取合适的比例。 (1:10,1:20,1:50,1:100) 3.按基本体尺寸标注要求进行尺寸标注。
a' a
b' s
d'
c
c' a" (c")
b" 4、根据已知两投影求第
三投影。
m d
b
点在一般位置平面 内，利用辅助线确 定点的投影
练习——平面体表面上的点和线
表面定点 注意点的可见性 1、已知三棱锥表面上线和点的一个投影，求其它两 个投影
m'
n' b' n" n m (a') (a") m" b"
b’ c”
d”
b d
圆锥投影作法
1、绘制基线、轴线及 中心线； 2、绘制水平投影； 3、根据投影关系绘制 正面及侧面投影；
4、检查无误后加深 三面投影图。
圆锥面的点
介绍两种方法
b' b"
1、辅助素线法 2、辅助纬圆法
(a')
(a")
a
b
辅助纬圆法
a’
(b’) (b”) a”
辅助素线法
b a
球体
O A
O1 A1
常见的曲面体
根据以上图片画出相应曲面体的三面投影图
圆柱
圆柱——以矩形的 一个边为轴，其
余边绕轴旋转而
成的回转体。
圆柱的投影
a’ b’ d”
c”
e’
f ’ h” d(h) b(f) c(g)
g”
a(e)
圆柱的投影
摆放位置不同，投影不同
圆柱投影作法
1、绘制基线、轴线及 中心线； 2、绘制水平投影； 3、根据投影关系绘制 正面及侧面投影； 4、检查无误后加深 三面投影图。
绘制投影图
先画水平投影、再根据投影 规律绘制其他两投影
2、棱面中有两个一般位置面，一个侧垂 面。
习题——棱锥的投影
例题：已知三棱锥的水平投影，且棱锥高50厘 米,画出另外两个投影。
任意确定
三 棱台
（一）棱台的特点
特点：
棱 线 互 不 平 行 侧 面 梯 形 底 面 多 边 形 且 互 相 平 行 —— —— ——
c (g) (h) d
a (e)
b (f)
五棱柱的投影
y
长对正 高平齐 宽相等
绘制投影图 1、先画水平投影、再根据投影 规律绘制其他两投影 2、不可见棱线用虚线绘制。
2、各棱面均垂直于水平面，其水平投影 关系完成其他投影 均积聚为直线段；
先做反映实形的投 1、上下底面为水平面，其水平投影反映 底面实形，其他两投影积聚为直线段； 影，再利用三面投影
曲线所在平面倾斜于投影面，投影为不反映实形的曲线。
曲
面
曲面
曲面——动线在空间连续运动所形成的轨迹。
动线称为——母线，母线在曲面上的任一位置称为素线。 控制母线运动的点、线、面分别称为定点、导线或轴线、 导面。
定点
曲导线
曲面—回转面
回转面：直线或曲线绕定轴旋转一周而形成的
曲面称为回转面；
母线：运动的直线或曲线； 素线：母线运动过程中的任意位置； 纬圆：母线上任意点的运动轨迹；
基本体的投影
• 基本体：也称基本几何体，就是指表面具 有几何形状的简单形体，可以分为平面 （立）体和曲面（立）体两大类。
平面体
• 平面体：表面 由若干平面所 围成的形体；
常见平面体：棱柱、棱锥、棱台。
根据以上图片画出相应平面体的三面投影图
1.使基本几何体在 三面投影体系中放 得平稳，并使其尽 可能多的表面平行 或垂直于投影面， 以便于得到反映实 形的投影和使投影 简单易画。
2、利用积聚性求 水平投影；
a"
a'
3、根据已知两投影 求第三投影；
k
a
点在特殊平面内， 利用平面的积聚投 影确定点的投影
平面立体表面上的点和直线
b）点在一般位置平面内 s'
s"
1、确定点所在平面
2、在已知投影上，作包含 该点的辅助直线。
m'
(m")
3、求出辅助线的水平投影， 并在其上确定点的投影。
圆球——以半圆的直径为轴，半圆弧绕轴旋转而
成的回转体。
圆球的投影分析
a’ b’ c’ b” a” c”
c a b
圆球上的点
(m') c' b' m"
c"
(b")
辅助纬圆法
m
c b
圆球上的点
辅助纬圆法
a’ （a”)
(b’)
b”
(b) a
回转面的投影
画出基准线、轴线及圆的中心线;
绘制各投影方向的最外轮廓线;
圆柱表面上点与线的投影
(a') b'
a" b"
利用圆柱面 的积聚性定点。
a
b
圆柱上的点
a’
(a”) c” b”
(c’) (b’)
b
c
a
圆柱上的线
a’ (a”) c” b”
c’ b’
b
c
a
圆锥
圆锥——以直角三角形的一个直角边为轴，两外
边绕轴旋转而成的回转体。
圆锥的投影
s’ s”
a’ c a s
空间分析
y
平面立体的投影
同一物体因其摆放位置的不同可绘制出不同的投影图
二 棱锥
（一）棱锥的特点
特点：
棱 棱 底 线 面 面 交 三 多 于 角 边 一 形 形 点 ——
——
——
（二）棱锥的投影
s' s"
a'
b' (d') d
c' d"
a" (c")
b"
a
s
c
b
三棱锥的投影
空间分析
1、下底面为水平面，其水平投影反映底 面实形，其他两投影积聚为直线段；
(二）棱台的投影
平面立体表面上的点和直线
1、点在棱线上
点的投影
必在棱线的同名投影上。
s' m' a' s" m"
要点： 1）确定点所在棱线 的投影； 2）根据点的投影规 律确定点的投影。
a"s ຫໍສະໝຸດ a平面立体表面上的点和直线
2、点在立体表面内
a）点在特殊位置平面内
1、确定点所在平面；
(k ') k"
b
a
2、已知三棱锥表面点的一个投影，求其它两 个投影
a' c' b' d c (b) (d ') d" a" b" c"
a
曲面体
曲面体——由曲面或曲面与平面围成的立体。
曲线
• 曲线的投影特性
一般情况下投影仍为曲线 平面曲线的投影特点与平面相同
曲线所在平面平行于投影面，投影反映曲线实形；
曲线所在平面垂直于投影面，投影为直线；
2.以最能反映基本几何体的主要形状特征的投射方 向为正面（V面）投影的投射方向。
一 棱柱
特点：
棱 面 为 矩 形 两 底 面 互 相 平 行 且 为 多 边 形
棱 线 垂 直 于 底 面 且 互 相 平 行
（二）棱柱的投影
a' c' d' b' c"(d") a"(b")
物体应以最常用最 平稳的位置摆放
基本体的尺寸标注
任务二
用A4图纸绘制广晟学府花园或校园内变电房的 三视图。
要求：1.必须绘制图纸边框线和标题栏； 2.比例——在以下几个给定比例中选取合适的比例。 (1:10,1:20,1:50,1:100) 3.按基本体尺寸标注要求进行尺寸标注。
a' a
b' s
d'
c
c' a" (c")
b" 4、根据已知两投影求第
三投影。
m d
b
点在一般位置平面 内，利用辅助线确 定点的投影
练习——平面体表面上的点和线
表面定点 注意点的可见性 1、已知三棱锥表面上线和点的一个投影，求其它两 个投影
m'
n' b' n" n m (a') (a") m" b"
b’ c”
d”
b d
圆锥投影作法
1、绘制基线、轴线及 中心线； 2、绘制水平投影； 3、根据投影关系绘制 正面及侧面投影；
4、检查无误后加深 三面投影图。
圆锥面的点
介绍两种方法
b' b"
1、辅助素线法 2、辅助纬圆法
(a')
(a")
a
b
辅助纬圆法
a’
(b’) (b”) a”
辅助素线法
b a
球体
O A
O1 A1
常见的曲面体
根据以上图片画出相应曲面体的三面投影图
圆柱
圆柱——以矩形的 一个边为轴，其
余边绕轴旋转而
成的回转体。
圆柱的投影
a’ b’ d”
c”
e’
f ’ h” d(h) b(f) c(g)
g”
a(e)
圆柱的投影
摆放位置不同，投影不同
圆柱投影作法
1、绘制基线、轴线及 中心线； 2、绘制水平投影； 3、根据投影关系绘制 正面及侧面投影； 4、检查无误后加深 三面投影图。
绘制投影图
先画水平投影、再根据投影 规律绘制其他两投影
2、棱面中有两个一般位置面，一个侧垂 面。
习题——棱锥的投影
例题：已知三棱锥的水平投影，且棱锥高50厘 米,画出另外两个投影。
任意确定
三 棱台
（一）棱台的特点
特点：
棱 线 互 不 平 行 侧 面 梯 形 底 面 多 边 形 且 互 相 平 行 —— —— ——