高考数学压轴专题(易错题)备战高考《矩阵与变换》经典测试题

【高中数学】高中数学《矩阵与变换》期末考知识点

一、15

1．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ⎡=⎤

⎢

⎥⎣⎦

，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A .

【答案】2314A ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

【解析】 【分析】

根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可. 【详解】 由题意可知，1155115a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2112a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

， 所以552122a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，解得2

314

a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，

即矩阵2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】

此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方程组得解.

2．a ，b 满足什么条件时，关于x ，y ，z 的方程组4424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩

有唯一解.

【答案】当0b ≠且1a ≠时 【解析】 【分析】

计算对应行列式为()11

1

110121

a

D b

b a b ==-≠，计算得到答案.

【详解】

4

424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩

有唯一解，则()1111212110121a D b ab b b ab b a b ==++---=-≠

所以当0b ≠且1a ≠时有唯一解 【点睛】

本题考查了方程组的唯一解问题，意在考查学生的计算能力.

3．解方程组32

321

x my m mx y m +=+⎧⎨

+=-⎩.

【答案】详见解析. 【解析】 【分析】

求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】

由题意可得()()2

933D m m m =-=--+，

()()3(2)(21)231x D m m m m m =+--=--+，()()31y D m m =---.

①当0D ≠时，即当3m ≠±时，()213

13x y m D x D m D m y D m ⎧+==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩

；

②当3m =时，方程组335335335x y x y x y +=⎧⇔+=⎨

+=⎩

，令()x t t R =∈，得533t y -=，

此时，该方程组的解有无数多个，为,

()533x t t R t y =⎧⎪

∈-⎨=⎪⎩

；

③当3m =-时，该方程组为331

337x y x y -=-⎧⎨-+=-⎩

17⇒-=，所以该方程组无解.

【点睛】

本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.

4．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360

260x y kx k y +=⎧⎨++=⎩

的解满足0x y >>，求实数k

的取值范围.

【答案】5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭

【解析】

【分析】

由题意得知0D ≠，求出x D 、y D 解出该方程组的解，然后由0

x y D >>⎧⎨≠⎩列出关于k 的不

等式组，解出即可. 【详解】

由题意可得()4238D k k k =+-=+，()601x D k =-，()604y D k =-.

由于方程组的解满足0x y >>，则0D ≠，该方程组的解为()()6018

6048x y k D x D k D k y D k ⎧-==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩

，

由于00

D x y y ≠⎧⎪>⎨⎪>⎩，即()()()806016048860408

k k k k k k k ⎧⎪+≠⎪--⎪>⎨++⎪⎪->⎪+⎩，整理得80

2508408k k k k k ⎧

⎪+≠⎪

-⎪>⎨

+⎪-⎪<⎪+⎩，解得542k <<. 因此，实数k 的取值范围是5,42⎛⎫

⎪⎝⎭

. 【点睛】

本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

5．解方程组()sin cos 2cos 0cos cos 2sin x y x y ααα

απααα-=⎧≤≤⎨+=⎩

.

【答案】见解析. 【解析】 【分析】

求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组的解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】

由题意得()sin cos2cos cos2sin cos cos2D ααααααα=+=+，

()cos cos2sin cos2sin cos cos2x D ααααααα=+=+，

22sin cos cos2y D ααα=-=-.

0απ≤≤Q ，022απ∴≤≤.