初中数学-因式分解拓展题含答案-2021年精品整理

因式分解拓展板块一：换元法

例1．分解因式：2222

++++++

(48)3(48)2

x x x x x x

例2．分解因式：22

++++-

x x x x

(52)(53)12

【巩固】分解因式：(1)(3)(5)(7)15

+++++

x x x x

【巩固】分解因式：22

++++-

x x x x

(1)(2)12

例3.证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．

【巩固】 若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.

例4分解因式2(25)(9)(27)91a a a +---

【巩固】 分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-

例5分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-

【巩固】 分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-

例6分解因式：272)3()1(44-+++x x

【巩固】 分解因式：4444(4)a a ++-

板块二：因式定理

因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式.

有理根：有理根p c q

=的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数. 例7分解因式：32252x x x ---

【巩固】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++

【巩固】 分解因式：322392624x x y xy y -+-

例8分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-

【巩固】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+

板块三：待定系数法

如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.

即，如果 12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b --------+++++=+++++ 那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =.

例9用待定系数法分解因式：51x x ++

【巩固】 421x x -+是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?

【巩固】 631x x +-能否分解为两个整系数的三次因式的积?

例10分解因式：43223x x x x ++-+

板块四：轮换式与对称式

例11分解因式：222()()()x y z y z x z x y -+-+-

例12分解因式：222222()()()xy x y yz y z zx z x -+-+-

家庭作业

练习 1． 分解因式：24(5)(6)(10)(12)3x x x x x ++++-

练习 2． 要使()()()()1348x x x x m -+--+为完全平方式，则常数m 的值为________

练习 3．分解因式：22

+++++

x x x x

(68)(1448)12练习 4．分解因式：22222

x xy y xy x y

++-+

()4()练习 5．分解因式：32

x x x

---

252

练习 6．分解因式：32

+++

6116

x x x

练习 7．用待定系数法分解：541

++

x x

练习 8．分解因式：333

-+-+-

a b c b c a c a b

()()()

补充题

【备选1】分解因式：(1)(2)(3)(4)24

-----

a a a a

【备选2】分解因式：21(1)(3)2()(1)2

xy xy xy x y x y +++-++-+-

【备选3】分解因式：43265332x x x x ++--

因式分解拓展题解

板块一：换元法

例1分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++

【解析】 将248x x u ++=看成一个字母，可利用十字相乘得

原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++22(48)(482)x x x x x x =++++++

22(58)(68)x x x x =++++2(2)(4)(58)x x x x =++++

例2分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++-

【解析】 方法1：将25x x +看作一个整体，设25x x t +=，则

原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x ++-=+-=-+=+++- 方法2：将252x x ++看作一个整体，设252x x t ++=，则

原式=22(1)1212(3)(4)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x +-=+-=-+=+++-

方法3：将253x x ++看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至

连换元都不用，直接把25x x +看作一个整体，将原式展开，分组分解即可， 则原式22222(5)5(5)6(51)(56)(2)(3)x x x x x x x x x x =+++-=+-++=++2(51)x x +-.

【巩固】 分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++

【解析】

2(2)(6)(810)x x x x ++++

【巩固】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-

【解析】

2(1)(2)(5)x x x x -+++

例3证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．

【解析】 设这四个连续整数为：1x +、2x +、3x +、4x +

(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++[(1)(4)][(2)(3)]1x x x x =+++++22(54)(56)1x x x x =+++++

24652

u x x +=++ 原式22[(55)1][(55)1]1x x x x =++-++++22(55)11x x =++-+22(55)x x =++

【巩固】 若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.

【解析】 ()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++

令2254x xy y u ++=

∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++

即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++

例4分解因式2(25)(9)(27)91a a a +---

【解析】 原式22[(25)(3)][(3)(27)]91(215)(221)91a a a a a a a a =+-+--=----- 设2215a a x --=，

原式2(6)91691(13)(7)x x x x x x =--=--=-+22(228)(28)a a a a =----

2(4)(27)(28)a a a a =-+--