#正方形的性质

1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：

①边的性质：对边平行，四条边都相等．

②角的性质：四个角都是直角．

③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．

【补充】如图，P为正方形ABCD对角线上一点，PE BC

⊥于F.

⊥于E，PF CD

求证：AP EF

=.

F E

P

D

C

B A

、

C

B

【例7】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使D E A D

=，DF BD =．连结BF 分别交CD ，

CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．

3

14

2

F

E G

H

C

D

B

A

【变式】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且B E B D

=．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．

，

的长为 ．

【例12】 （2009威海）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，

HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；

⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个

四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积

为_________cm ．

图3

图1图2

H D

G

C F

E

B

A

O

H G

F

E

D

C B

A

）

【例15】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，

以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.

l

P

M F E

D C

B

A

的平分线，CE AN

⊥，垂足为点E．

⑴求证：四边形ADCE为矩形；

⑵当ABC

∆满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

M E

N

C

D

B

A

，