【初二上册数学】八年级秋季班-第10讲：函数的概念及表示法

函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正比例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质．1、函数的概念（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；（2）在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x允许的取值范围内，变量y随着x变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量.函数用记号()y f x=表示，()f a表示x a=时的函数值；（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．函数的概念正比例函数知识结构模块一：函数的概念知识精讲内容分析2.函数的定义域和函数值（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．【例1】 （1）在正方形的周长公式4l a =中，a 是自变量，_______是_________的函数，______是常量；（2）面积是2()S cm 的正方形地砖边长为a （cm ），S 与a 之间的函数关系式是_________， 其中自变量是____________．（3）圆的周长C 与半径r 之间的函数关系是______________，其中常量是__________，变量是____________．【例2】 在匀速运动中，若用s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么式子s vt =，下列说法中正确的是 （） A ．s 、v 、t 三个量都是变量B ．s 与v 是变量，t 是常量C ．v 与t 是变量，s 是常量D ．s 与t 是变量，v 是常量【例3】 下列各式中，x 是自变量，y 表示对应的值，判断y 是否是x 的函数？为什么？（1）2y x =；（2）|3|y x =；（3） （4）（例题解析 x 1 2 3 4y 1 1 2 2 y 1 2 3 4 x 1 1 2 2【例4】 下列各式中，不是函数关系式的是（）A ．y =B ．y =C ．y =D ．y =【例5】 判断下列变量之间是不是函数关系，如果是，写出函数关系式，如果不是，说明理由：（1） 长方形的宽a （cm ）固定，其面积S 与长b ；（2） 长方形的长a 固定，面积S 与周长c ；（3） 三角形一边上的高为4，三角形的面积y 与这边长x ；（4） 等腰三角形顶角的度数x 与底角的度数y ．【例6】 填空：（1） 函数232y x =-+，当x =___________，函数y 的值等于0；（2） 若函数y =x 的取值范围是一切实数，则c 的取值范围是________．【例7】 求下列函数的定义域：（1）1||4y x =- （2）22x y x =；（3）y ； （4）y =．【例8】 将2132y x y -=+写成()y f x =的形式，并求13(0)(3)()(0)2f f f a a a -≠≠，，，， 1(1)3f a a +≠-（）的值．【例9】 A 、B 两地路程为160千米，若汽车以50千米/小时的速度从A 地驶向B 地，写出汽车距离B 地的路程S （千米）与行驶的时间t （小时）之间的函数关系式．【例10】 已知水池的容量为1003m ，每小时灌水量为Q 3m ，灌满水池所需时间t 小时，求t 关于Q 的函数关系式，当每小时的灌水量为53m 时，灌满水池需多少时间?【例11】 如图，△ABC 与正方形BDEF ，其中∠C =90°，AC=BC =BD =8，且BC 与BD 均在直线L 上，将△ABC 沿直线以2个单位/秒向右平移，设移动的时间为t ，△ABC 与正方形BDEF 在移动的过程中重叠部分的面积为s ，求s 与t 的函数关系式，并写出定义域?【例12】 已知等腰三角形周长为24cm ，（1） 若腰长为x ，底边长为y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2） 若底边长为x ，腰长为y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．A CB D E F【例13】如图，在△ABC中，BC = AC = 12，∠C = 90°，D、E分别是边BC、BA上的动点（不与端点重合），且DE⊥BC，设BD = x，将△BDE沿DE进行折叠后与梯形ACDE 重叠部分的面积是y：（1）求y和x的函数关系式，并写出定义域；（2）当x为何值时，重叠部分的面积是△ABC面积的14．ABC DEABC备用图ABC备用图ABC备用图1．正比例函数的概念(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是y k x=，或表示为y kx =（x 不等于0），k 是不等于零的常数.(2)解析式形如y kx =（k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数.正比例函数y kx =的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式2.正比例函数的图象(1)一般地，正比例函数y kx =(k 是常数, 0k ≠)的图象是经过(00)，，(1)k ，这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =；(2)图像画法：列表、描点、连线．3．正比例函数的性质(1)当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大．(2)当0k <时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的 值则随着逐渐减小．【例14】 下列各变量成正比例函数关系的是（） A ．圆的面积与它的半径B ．长方形的面积一定时，长与宽C ．正方形的周长与边长D ．三角形面积和高【例15】 下列函数中，是正比例函数的是（ ）A ．3(0)y k k=≠ B ．(2)(2)y k x k =+≠- C ．1(0)y k kx =≠ D ．2(0)y kx k =≠例题解析 知识精讲 模块二 正比例函数【例16】 （1）已知函数23(2)m y m x -=-是正比例函数，则m =_________；（2）当a _________时，函数(1)y a x =+是正比例函数．【例17】 （1）已知函数y 与x 成正比例关系，且当122x y =-=时，，当3x y ==时， _________；（2）已知13y x -与成正比例，且当14x y =-=时，，则y 与x 之间的函数关系式是__________．【例18】 （1）若点B （b ，-9）在函数 3y x =的图像上，则b = _________；（2）若将点P （5，3）向下平移1个单位后，落在直线(0)y kx k =≠的图像上， 则k =_________．【例19】 （1）如果正比例函数21x y m =-的图像经过第二、四象限，那么m 的取值范围是_________；（2）函数(1)y k x =-的图像经过第一、三象限，那么k 的取值范围_________．【例20】 （1）已知y 与x 之间的函数关系式是21y x =-，那么y 与x___________（填“是”或“不是”）正比例关系；（2）已知39y x =-，y 与_____________成正比例关系，k =___________．【例21】 （1）已知2345y x -+与　成正比例，且当115x y ==时，，求y 与x 的函数关系式；（2）已知2(2)6y k x k k =-++-为正比例函数，求k 的值及函数解析式．【例22】 若431(23)t y t x +=-是正比例函数，又2712y x =-，当x 取何值时12y y >．【例23】已知y是x的正比例函数，且当3x=时，1y=-：（1）求出这个函数的解析式；（2）在直角坐标平面内，画出这个函数的图像；（3）如果点P（a，4）在这个函数图像上，求a的值；（4）试问：点(62)A-，关于原点对称的点B是否在这个图像上?【例24】已知正比例函数的图像过第四象限且过(23)a，两点，求此正比例函数-，和(6)a-的解析式．【例25】点燃的蜡烛，缩短的长度按照与时间成正比例缩短，一支长15cm的蜡烛，点燃3分钟后，缩短1.2cm，设蜡烛点燃x分钟后，剩余长度ycm，求y与x的函数解析式及x的取值范围．【例26】已知三角形ABC的底边AB的长为3，AB边上的高为x，面积为y，（1）写出y和x之间的函数关系式；（2）画出函数的图像．【例27】 （1）已知直线y ax =在实数范围内有意义，求a 的取值范围；（2）已知函数(21)y m x =+的值随x 的增大而减小，且函数(13)y m x =-的值随着x 的增大而增大，求m 的取值范围．【例28】 正比例函数的解析式为2(1)y k x =-，（1） 当11k -<<时，y 的值随x 值的增大是增大还是减小？（2） 若正比例函数的图像经过第一、三象限，k 的取值范围是什么？【例29】 已知正比例函数的自变量增加4时，对应的函数值增加6，（1） 求这个函数解析式；（2） 当6x =时，求y 的值；（3） 当4y =时，求x 的值；（4） 当24x -≤≤时，求y 的取值范围；（5） 当66y -≤≤时，求x 的取值范围．x【例30】 m 取何值时，y 关于x 的函数21(3)4m y m x x +=++是正比例函数．【例31】 已知直角三角形ABC 中，∠C =90°AC =6，AB =12，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上（点E 、F 与三角形ABC 顶点不重合），AD 平分∠CAB ，EF ⊥AD ，垂足为点H ，设CE=x ，BF=y ，求y 与x 之间的函数关系式．【例32】 已知一正比例函数y mx =图像上的一点P 的纵坐标是3，作PQ ⊥y 轴，垂足为点Q ，三角形OPQ 的面积是12，求此正比例函数的解析式．【例33】 如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线OP 与线段AB 相交于点P ， （1） 若直线OP 将△ABO 的面积等分，求直线OP 的解析式；（2）若点P 是直线OP 与线段AB 的交点，是否存在点P ，使△AOP 与△BOP 中，一个面 积是另一个面积的3倍？若存在，求直线OP 的解析式；若不存在，请说明理由．【习题1】下列图像中，是函数图像的是（）．【习题2】在函数y=x的取值范围是（）．A．0x≥B．0x≤C．0x=D．任意实数【习题3】下列各点，不在函数23y x=-图像上的是（）．A．（1，23-）B．（3，-2）C．(23-，13) D．（-6，4）【习题4】（1）若函数22()my m m x=-是正比例函数，则m的值是_________________；（2）已知y kx=是正比例函数，且当x=2时y=3，则比例系数是_____________．【习题5】求下列函数的定义域：（1）23xyx=-；（2）y=（3）12y x=+；（4）y=．随堂检测A B C D【习题6】 若211y x y +=-，用含x 的式子表示y ；若()y f x =，试求(1)f ，(0)f ，(1)(3)f a a -≠，()(2)f x x -≠-的值．【习题7】 已知正比例函数23(1)ky k x -=-的值随自变量x 的增大而减小，求k 的值及函数解析式．【习题8】 （1）已知32y x -+与成正比例，当x =3时，y =7，求y =9时，x 的值；（2）正比例函数(0)y kx k =≠的图像过A （1，a ）、B （a +1，6），求函数的解析式．【习题9】 已知122y y y =-，21y x 与成正比例，231y x +与成正比例．且当15x y ==时，当13x y =-=时，求y 关于x 的函数关系式．【习题10】 已知正比例函数的图像过点(．（1） 若点(a ，，)b 在图像上，求a 、b 的值；（2） 过图像上一点P 作y 轴 的垂线，垂足为Q (0，，试求三角形OPQ 的面积．【习题11】 在直角三角形ABC 中，AC =12，BC =16，AB =20，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，在CD 上取一点P （不与C 、D 重合），设三角形APB 的面积是y ，CP 的长为x ，求y 和x 的函数关系式，并写出函数的定义域．【习题12】 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD =5，AD =7，BC =13，40ABCD S =梯，P 是一动点，沿AD 、DC 由A 经D 点向C 点移动，设P 点移动的路程是x ．（1） 当P 在AD 上运动的时候，设PAB S y ∆=，求y 与x 之间的函数关系式及定义域，并画出函数图像；（2） 当点P 继续沿DC 向C 移动时，设PAB S y ∆=，求y 与x 之间的函数关系式．ABCDPPABCD【作业1】 三角形ABC 中∠A =90°，AB =4，BC =5，P 是AC 边上一动点，点P 不与A 、C重合，则该图中线段____________是常量，线段_______________是变量；若AP=x ，设BPC S y ∆=，写出y 关于x 的函数关系式______________，自变量x 的取值范围是______________．【作业2】 下列变量之间的变化是函数关系的是______________（只填序号）．（1） 正方形的面积和它的周长； （2）长方形的面积和它的周长； （3）0)y x =≥；（4）||y x =；（5）0)y x <【作业3】 （1）已知()2(2)6f x x f a =-=，，则a 的值是_____________；（2）已知2231()21()2(1)()()42f x xg x x f g =-=-+-+=，，则___________．【作业4】 （1）函数|3|y x =+的定义域为______________；（2）函数0y =的定义域为______________；（3）函数0y =的定义域为________________．【作业5】 23y x -与成正比例，当x =2时，y =11，求y 与x 之间的函数关系．【作业6】 （1）已知直线22(3)9k y m x m =++-是正比例函数，求mk 的值；课后作业（2）已知2215(4)my m m x -=-是正比例函数，求m 的值；（3）已知直线2(2)5y k x k k =-+-经过原点，且y 的值随x 的值的增大而减小，求k 的值．【作业7】 等腰钝角三角形ABC 中，底边长为8，面积是S ，底边上高AD 为h ，试求出S与h 的函数关系式及函数的定义域，并画出函数的图像．【作业8】 （1）某同学用20元钱买水笔，其单价为3.5元，求买水笔余下的钱y 与买水笔的数量x 之间的函数关系式；（2）靠墙（墙长为18cm ）的地方围成一个矩形的养鸡场，另三边用篱笆围成，如果竹篱笆总长为35cm ，求养鸡场的一边长为y （cm ）与另一边长x （cm ）之间的函数关系式，并写出函数的定义域．ABCDxy墙【作业9】 已知直线y kx =过点（12- ，3），A 为y kx =图像上的一点，过点A 向x 轴引垂线，垂足为点B ，5AOB S ∆= （1） 求函数的解析式；（2） 在平面直角坐标系内画出函数的图像； （3） 求点A 、B 的坐标．【作业10】 过正比例函数图像上的一点Q (35)a a --，在第二象限，（1（2）若a 的值是整数，求正比例函数的解析式，并判断点()k k -，在不在函数图像上．【作业11】 已知正比例函数过点A （4，-2），点P 在正比例函数图像上，B （0，4）且10ABP S ∆=，求点P 的坐标．。