上海高考零距离突破数学复习教程综合篇

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上海市市辖区2024高三冲刺(高考数学)部编版考试(备考卷)完整试卷

上海市市辖区2024高三冲刺（高考数学）部编版考试(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则（）A．B．C．D．第(2)题如果双曲线上一点P到右焦点的距离等于，那么点P到右准线的距离是（）A．B．13C．5D．第(3)题若展开式的第3项为288，则的值是（）A．2B．1C．D．第(4)题19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（）A．674B．675C．676D．677第(5)题如图（1）反映了我国2016-2021年全国R&D经费及投入强度情况；图（2）反映了我国2016-2021年全国基础研究经费及占R&D经费投入比重情况.根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）A．2019-2020年，我国R&D经费与GDP之比增长幅度最快B．2016-2021年，我国R&D经费总量及基础研究经费均逐年增长C．2016-2021年，我国R&D经费总量平均值超过21000亿元D．2016-2021年，我国基础研究经费及占R&D经费投入比重的中位数分别为1213亿元及第(6)题在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，双曲线：的离心率为，且椭圆与双曲线的焦点相同.过的直线与椭圆交于两点（点在第一象限），与双曲线的右支交于点，且点在线段上.若与的周长之比为，则的值为（）A．B．C．D．第(7)题中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（）A．B．C．D．第(8)题等比数列的各项均为正数，且，.设，则数列的前项和（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知随机变量，则（）A．B．C．D．第(2)题已知函数的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（）A．B．恒成立C ．在上单调递减D．将的图象向右平移个单位，得到的图象关于轴对称第(3)题已知函数为奇函数，且其函数图象关于直线对称，若函数在定义域上的值不全为零，则下列式子中正确的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题向量，满足，，与的夹角为60°，则___________.第(2)题已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数解析式为___________．第(3)题已知等差数列的前n项和为，若，，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知等差数列公差与等比数列公比相同，．(1)求和的通项公式；(2)记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求数列前60项的和．第(2)题已知函数（其中是实数）.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数的取值范围.第(3)题从3名男生，2名女生中任选2人参加书法比赛，求选到2人中男生数目的概率分布？第(4)题在中，内角所对的边分别为．已知，，，的面积为9．(1)求的值；(2)求及的值．第(5)题环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数溶度，制定了空气质量标准：某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考查了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号为字母的，前13个视为单号，后13个视为双号）．王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05．（1）求频率分布直方图中的值；（2）若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量中度污染的概率；（3）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如表：根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写列联表，并回答是否有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0052.072 2.7063.841 5.024 6.6357.879参考公式：，其中．。

上海市2024高三冲刺(高考数学)统编版摸底(冲刺卷)完整试卷

上海市2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知二项式（其中且）的展开式中与的系数相等，则的值为（）A．5B．6C．7D．8第(2)题下表数据为年我国生鲜零售市场规模（单位：万亿元），根据表中数据可求得市场规模关于年份代码的线性回归方程为，则（）年份20172018201920202021年份代码12345市场规模 4.2 4.4 4.7 5.1 5.6A．1.01B．3.68C．3.78D．4.7第(3)题青少年是国家的未来和民族的希望，青少年身体素质事关个人成长､家庭幸福，民族未来，促进青少年健康是建设体育强国､健康中国的重要内容.党中央历来高度重视青少年体质与健康管理工作，亲切关怀青少年和儿童的健康成长，不断出台相关政策法规，引导广大青少年积极参与体育健身，强健体魄､砥砺意志，凝聚和焕发青春力量.近年来，随着政策措施牵引带动，学生体质与健康水平不断迈上新台阶.某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（）A．样本的众数为67.5B．样本的80%分位数为72.5C．样本的平均值为66D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人第(4)题在△ABC中，AB=2，AC=3，则BC=______A．B．C．D．第(5)题已知复数，则（）A．1B．C．D．第(6)题向量且，则与的夹角为（）A．B．C．D．第(7)题已知复数是实数，则（）A．B．C．D．2第(8)题命题“若p则q”的逆命题是A．若q则p B．若p则qC．若则D．若p则二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题关于的展开式，下列结论正确的是（）A．的展开式中不含字母x的项为B．的展开式中不含字母x的项为C．的展开式中不含字母y的项为D．的展开式中不含字母y的项为第(2)题在棱长为的正方体中，是棱的中点，点在棱上运动（不与端点重合），则下列结论正确的是（）A．三棱锥的体积为B．直线与平面所成角的正弦值可能是C．三棱锥外接球的表面积的最小值为D．平面截正方体所得的截面各边长的平方和的最大值是第(3)题双曲线的左、右焦点分别为点，斜率为正的渐近线为，过点作直线的垂线，垂足为点，交双曲线于点，设点是双曲线上任意一点，若，则（）A．双曲线的离心率为B．双曲线的共轭双曲线方程为C．当点位于双曲线右支时，D．点到两渐近线的距离之积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是______.第(2)题已知一组从小到大排列的样本数据如下：1，4，5，5，，13，若该样本的极差是其平均数的2倍，则_________.第(3)题已知､是不共线的两个单位向量，若，则与的夹角为___________；四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在四棱柱中，平面平面，，底面为菱形，，分别为的中点．(1)证明：平面；(2)若，，求三棱锥的表面积．第(2)题某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游.戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8､第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败.，(1)某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第级台阶，求的分布列及数学期望；(2)甲､乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；第(3)题已知函数.(1)若曲线在处的切线经过坐标原点，求a的值(2)若方程恰有2个不同的实数根，求a的取值范围.第(4)题已知数列、、，对于给定的正整数，记，.若对任意的正整数满足：，且是等差数列，则称数列为“”数列.（1）若数列的前项和为，证明：为数列；（2）若数列为数列，且，求数列的通项公式；（3）若数列为数列，证明：是等差数列．第(5)题某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系．年份2017201820192020202120222023年份代号1234567人均可支配收入3.65 3.89 4.08 4.30 4.65 4.90 5.12(1)求y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；(2)某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．参考数据及公式：，，，．。

上海市2024高三冲刺(高考数学)部编版摸底(备考卷)完整试卷

上海市2024高三冲刺（高考数学）部编版摸底(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图，在正方体中，是的中点，为底面内一动点，设与底面所成的角分别为均不为.若，则动点的轨迹为A．直线的一部分B．圆的一部分C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分第(2)题如图，在四面体中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点在线段（不含端点）上运动.若线段（不含端点）上存在点，使异面直线与所成的角为，则线段的长度的取值范围是A．B．C．D．第(3)题在平面四边形中，，，.若E、F为边BD上的动点，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题设全集，集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题一台型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（）A．B．C．D．第(6)题某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．系统抽样B．分层抽样C．简单随机抽样D．非以上三种抽样方法第(7)题函数的部分图像大致为（）A．B．C．D．第(8)题下列函数中，与函数的值域相同的函数为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知的部分图象如图所示，则（）A．的最小正周期为πB．满足C．在区间的值域为D．在区间上有3个极值点第(2)题构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向.某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动.如图所示的是该校高三（1）､（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）.下列说法错误的是（）A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D．各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大第(3)题已知焦点在轴上的椭圆过点且离心率为，则（）A．椭圆的标准方程为B．椭圆经过点C．椭圆与双曲线的焦点相同D．直线与椭圆恒有交点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若，满足约束条件，则的最大值为______．第(2)题如图，点的坐标为，点的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于___________．第(3)题半径为的球放置在水平平面上，点位于球的正上方，且到球表面的最小距离为，则从点发出的光线在平面上形成的球的中心投影的面积等于__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数（1）若时在上的最小值是，求a；（2）若，且x1，x2是的两个极值点，证明：（其中e为自然对数的底数）第(2)题某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分，众数，中位数；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）1：12：13：44：5第(3)题火箭少女101的新曲《卡路里》受到了广大听众的追捧，歌词积极向上的体现了人们对于健康以及完美身材的渴望．据有关数据显示，成年男子的体脂率在14%-25%之间．几年前小王重度肥胖，在专业健身训练后，身材不仅恢复正常，且走上美体路线．通过整理得到如下数据及散点图．健身年数123456体脂率（有分比）32201286.44.43.432.52.11.91.5（1）根据散点图判断，与哪一个模型更适宜作为体脂率关于健身年数的回归方程模型（给出选择即可）（2）根据（1）的判断结果与题目中所给数据，建立与的回归方程.（保留一位小数）（3）再坚持3年，体脂率可达到多少．参考公式：参考数据：第(4)题如图，四棱锥中，点，分别是侧棱，上的点，且底面.（1）求证：；（2）若底面，，，求证：.第(5)题在平面直角坐标系中，直线：（为参数，为直线的倾斜角），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.若直线与曲线有两个不同的交点，求取值范围.。

2023年上海市高考考前信息必刷模拟数学卷(一)(PDF版)

绝密★启用前2023年高考数学考前信息必刷卷01上海专用（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{}{}|,1,0,1,2A x x a B =≥=-，若{}1,2A B =，则a 的最大值为________. 2．对数函数()y f x =的图象经过点()25,2-，则()y f x =的解析式为______. 3．已知向量()2sin ,1a θ=，()cos ,2b θ=r，若//a b ，则tan θ=__．4．随机变量X 的分布列如下列表格所示，其中[]E X 为X 的数学期望，则[]E X E X ⎡⎤-=⎣⎦__________.5．已知函数()()()ππsin 22f x x x θθθ⎛⎫=+-+-≤≤ ⎪⎝⎭是奇函数，则θ=____.6．已知(){}ln 10D x x =-≤，则()1f x x x=+，x D ∈的值域为__________. 7．2022年11月30日，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．若执行下次任务的3名航天员有一人已经确定，现需要在另外2名女性航天员和2名男性航天员中随机选出2名，则选出的2名航天员中既有男性又有女性的概率为__________．8．如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，若18P ABCD V -=，则球O 的表面积为__________.9．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=，则{}n a 的通项公式为______. 10．已知点()54A ,，点F 是双曲线22:145x y C -=的右焦点，点P 是双曲线C 右支上一动点，则当APF 的周长取得最小时APF 的面积为__________;11．若函数2()2ln f x m x x =-+在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为___________.12．()f x 在R 上非严格递增，满足()()()()(),811,,8f x x f x f x g x f x a x ⎧<⎪+=+=⎨-≥⎪⎩，若存在符合上述要求的函数()f x 及实数0x ，满足()()0041g x g x +=+，则a 的取值范围是__________.二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=14．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD NB ==，点G 为MC 的中点.则下列结论中不．正确的是（）A ．MC AN ⊥B ．平面//DCM 平面ABNC ．直线GB 与AM 是异面直线D ．直线GB 与平面AMD 无公共点15．若P 在曲线2:14xC y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线:4l x =于B 点，满足||||PA PB =或||||PA AB =，则称P 点为“H 点”，那么下列结论中正确的是（） A ．曲线C 上所有点都是H 点B ．曲线C 上仅有有限多个点是H 点 C ．曲线C 上所有点都不是H 点D ．曲线C 上有无穷多个点（但不是全部）是C 点16．已知直线1y x =+上有两点()11,A a b ，()22,B a b ,且12a a >，已知若2AB =1122,,,a b a b ,满足12122a a b b += A 个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且060,ABC ∠=2PB PD AB ===，PA PC =，AC 与BD 相交于点O ．(1)求证：PO ⊥底面ABCD ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小的正弦值． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.已知2()sin cos f x x x x =()f x 的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后，得到()g x 的图象，且()g x 的图象关于π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称．(1)求ϕ；(2)若ABC 的角,,A B C 所对的边依次为,,a b c ，外接圆半径为R ，且1,1,82A g b R ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭若点D 为BC边靠近B 的三等分点，试求AD 的长度． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分. 疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围． 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分6分. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，1F 、2F 分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且122F F =.(1)求椭圆方程；(2)对于x 轴上的某一点T ，过T 作不与坐标轴平行的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，若存在x 轴上的点S ，使得对符合条件的l 恒有PST QST ∠=∠成立，我们称S 为T 的一个配对点，求证：点()4,0-是左焦点1F 的配对点；(3)根据（2）中配对点的定义，若点()0,0T x 有配对点(),0S a ，试问：点T 和点S 的横坐标应满足什么关系，点T 的横坐标0x 的取值范围是什么？并说明理由. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分. 设()f x 是定义在D 上的函数，若对任何实数()0,1α∈以及1x 、2x D ∈恒有()()()()()121211f x x f x f x αααα+-≤+-成立，则称()f x 为定义在D 上的下凸函数．(1)试判断函数()()2g x x x =∈R ，()()10k x x x=<是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由； (2)若()()2h x px x =∈R 是下凸函数，求实数p 的取值范围；(3)已知()f x 是R 上的下凸函数，m 是给定的正整数，设()00f =，()2f m m =，记()()()()123f S f f f f m =++++，对于满足条件的任意函数()f x ，试求f S 的最大值．绝密★启用前2023年高考数学考前信息必刷卷01上海专用（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、填空题1．已知集合{}{}|,1,0,1,2A x x a B =≥=-，若{}1,2A B =，则a 的最大值为________. 【答案】12．对数函数()y f x =的图象经过点()25,2-，则()y f x =的解析式为______. 53．已知向量(2sin ,1a θ=，cos ,2b θ=，若//a b ，则tan θ=__．【答案】14##0.25 4．随机变量X 的分布列如下列表格所示，其中[]E X 为X 的数学期望，则[]E X E X ⎡⎤-=⎣⎦__________.【答案】05．已知函数()()()ππsin 22f x x x θθθ⎛⎫=+-+-≤≤ ⎪⎝⎭是奇函数，则θ=____.【答案】π3##60 6．已知(){}ln 10D x x =-≤，则()1f x x x=+，x D ∈的值域为__________.乘组首次实现“太空会师”．若执行下次任务的3名航天员有一人已经确定，现需要在另外2名女性航天员和2名男性航天员中随机选出2名，则选出的2名航天员中既有男性又有女性的概率为__________．面上，若18P ABCD V -=，则球O 的表面积为__________.【答案】36π【分析】正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球的表面积． 9．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=，则{}n a 的通项公式为______.10．已知点()54A ,，点F 是双曲线:145C -=的右焦点，点P 是双曲线C 右支上一动点，则当APF 的周长取得最小时APF 的面积为__________; 11．若函数2()2ln f x m x x =-+在2,e e ⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为___________.12．()f x 在R 上非严格递增，满足()()()()(),811,,8f x x f x f x g x f x a x ⎧<⎪+=+=⎨-≥⎪⎩，若存在符合上述要求的函数()f x 及实数0x ，满足()()0041g x g x +=+，则a 的取值范围是__________. 【答案】()()4,22,4--二、单选题13．若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==- C ．2,1b c =-=- D ．2,3b c =-=【答案】D14．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD NB ==，点G 为MC 的中点.则下列结论中不．正确的是（）A ．MC AN ⊥B ．平面//DCM 平面ABNC ．直线GB 与AM 是异面直线D ．直线GB 与平面AMD 无公共点【答案】D 15．若P 在曲线2:14xC y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线:4l x =于B 点，满足||||PA PB =或||||PA AB =，则称P 点为“H 点”，那么下列结论中正确的是（） A ．曲线C 上所有点都是H 点 B ．曲线C 上仅有有限多个点是H 点 C ．曲线C 上所有点都不是H 点D ．曲线C 上有无穷多个点（但不是全部）是C 点1122,,,a b a b ,满足12122a a b b + A 个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B三、解答题17．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且060,ABC ∠=2PB PD AB ===，PA PC =，AC 与BD 相交于点O ．(1)求证：PO ⊥底面ABCD ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小的正弦值．）PB PD =AC ，又,BD AC O =）()()()()(3,0,PB =，()(0,1,1,3,PC CD =-=-的一个法向量为(,,m x y =·0·0m PC m CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即，(1,m =-， m PB m PB -=21. 得到()g x 的图象，且()g x 的图象关于π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称．(1)求ϕ；(2)若ABC 的角,,A B C 所对的边依次为,,a b c ，外接圆半径为R ，且1,1,82A g bR ⎛⎫=-==⎪⎝⎭若点D 为BC 边靠近B 的三等分点，试求AD 的长度．，在ABC 中利用余在ABC 中，由正弦定理得因为点D 为在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．()f x '=所以当b ≥20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，1、2分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且122F F =. (1)求椭圆方程；(2)对于x 轴上的某一点T ，过T 作不与坐标轴平行的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，若存在x 轴上的点S ，使得对符合条件的l 恒有PST QST ∠=∠成立，我们称S 为T 的一个配对点，求证：点()4,0-是左焦点1F 的配对点；(3)根据（2）中配对点的定义，若点()0,0T x 有配对点(),0S a ，试问：点T 和点S 的横坐标应满足什么关系，点T 的横坐标0x 的取值范围是什么？并说明理由.122F F =，21．设是定义在D 上的函数，若对任何实数以及1、2恒有()()()()()121211f x x f x f x αααα+-≤+-成立，则称()f x 为定义在D 上的下凸函数．(1)试判断函数()()2g x x x =∈R ，()()10k x x x=<是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；(2)若()()2h x px x =∈R 是下凸函数，求实数p 的取值范围；(3)已知()f x 是R 上的下凸函数，m 是给定的正整数，设()00f =，()2f m m =，记()()()()123f S f f f f m =++++，对于满足条件的任意函数()f x ，试求f S 的最大值．()(212122m m m a m +++≤⨯+++=)2x =是下凸函数，且使得()21,2,,1a n m =-都成立，。

上海市2024高三冲刺(高考数学)统编版摸底(综合卷)完整试卷

上海市2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A．B．C．D．第(2)题在连续五次月考中，甲､乙两人的成绩依次为甲：124，126，132，128，130乙：121，128，135，133，123则下列说法正确的是（）A．乙的成绩的极差小于甲的成绩的极差B．乙的成绩的中位数小于甲的成绩的中位数C．甲的发挥比乙的发挥更为稳定D．随机取其中同一次成绩，甲得分低于乙的概率为第(3)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题若函数的图象（部分）如图所示，则和的取值是（）A．B．C．D．第(5)题在正四棱台中，，且三棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（）A．14B．21C．24D．36第(6)题若，则（）A．B．C．D．第(7)题若集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知双曲线的中心在原点，离心率为，若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是（）A．B．C．D．21二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（）A．四边形面积的最大值为2B．四边形周长的最大值为C．为定值D．四边形面积的最小值为32第(2)题抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（）A．抛物线的方程为：B．抛物线的准线方程为：C．当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切D．第(3)题已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（）A．存在切点使得为直角B．直线过定点C．的取值范围是D．面积的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知数列为等比数列，若，则的值为________.第(2)题若函数在上单调递增，则实数的最大值为______.第(3)题已知双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为，过双曲线上一点作双曲线的一条切线交其渐近线于两点，若两点的横坐标之积为4，则双曲线的标准方程为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，四棱锥中，，，，是中点，平面.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值.第(2)题某企业销售部门为了解员工的销售能力，按性别利用分层抽样的方法从该部门现有员工中（其中男生占比为45%）随机抽取名进行问卷调查，并将得分分为1，2，3，4，5五个档次，各档次中参与问卷调查的员工人数如条形图所示.已知第5档的员工人数占总人数的.（1）若将某员工得分所在的档次作为该员工销售的能力基数（记能力基数为能力基数高，其他均为能力基数不高），在能力基数为5的员工中，女生与男生的比例为，以抽取的名员工为研究对象，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为能力基数高低与性别有关；男生女生合计能力基数高能力基数不高合计（2）为提高员工认知并调动员工自主学习的积极性，部门组织员工参加各种形式的培训讲座.已知每位员工的销售能力指数、能力基数以及参加培训的次数满足函数关系式，如果员工甲的能力基数为4，员工乙的能力基数为2，则在甲不参加培训的情况下，乙至少参加多少次培训，其销售能力指数超过甲？参考数据及参考公式：，，0.150.100.050.012.072 2.7063.841 6.635第(3)题在中，的内角、、的对边分别为、、，为锐角三角形，且满足条件．（1）求的大小；（2）若，求周长的取值范围．第(4)题记为数列的前n项和，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)设单调递增等差数列满足，且，，成等比数列．（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）设，试确定与的大小关系，并给出证明．第(5)题某医科大学科研部门为研究退休人员是否患痴呆症与上网的关系，随机调查了市100位退休人员，统计数据如下表所示：患痴呆症不患痴呆症合计上网163248不上网341852合计5050100(1)依据的独立性检验，能否认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联？(2)从该市退休人员中任取一位，记事件A为“此人患痴呆症”，为“此人上网”，则为“此人不患痴呆症”，定义事件A的强度，在事件发生的条件下A的强度．（ｉ）证明：；（ⅱ）利用抽样的样本数据，估计的值．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828。

2024年上海数学高考一轮复习必刷大题专题1 解三角形大题综合含详解

专题01解三角形大题综合一、解答题1．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知()2sin cos c 2πos 6f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求方程()0f x =的解集；(2)求函数()y f x =在[]0,π上的单调增区间.2．（2023·上海闵行·统考二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A B =，4a =，6b =．(1)求cos B 的值；(2)求ABC 的面积．3．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数()23sin cos 32f x x x x =-+．(1)求函数()y f x =的最小正周期和单调区间；(2)若关于x 的方程()0f x m -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．4．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）在ABC 中，a b c ､､分别是角A B C ､､的对边.设()()2,,cos ,cos m a c b n B C =+= ，已知0m n ⋅=r r (1)求角B 的大小；(2)设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，求函数()y f x =的最小值.5．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，P 是边长为2的正三角形ABC 所在平面上一点（点A 、B 、C 、P 逆时针排列），且满足CP CA =，记θ∠=CAP .(1)若π3θ=，求PB 的长；(2)用θ表示PAB 的面积S ，并求S 的取值范围.6．（2023·上海松江·校考模拟预测）已知向量())2sin ,cos2,3cos ,1m x x n x ωωω==，其中0ω>，若函数()f x m n=⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调增区间；(2)在ABC 中，若()2,f B BC B A =-==，求BA BC ⋅的值.7．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）已知扇形OAB 的半径为1，π3AOB ∠=，P 是圆弧上一点（不与A ，B 重合），过P 作,PM OA PN OB ⊥⊥，M ，N为垂足．(1)若12PM =，求PN 的长；(2)设AOP x ∠=，PM ，PN 的线段之和为y ，求y 的取值范围．8．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()π4cos sin(6f x x x =-的最大值为()f A .(1)求角A ；(2)当a =2b =时，求ABC 的面积.9．（2023·上海·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边AC 上，且2,AD CD BD AC ==．(1)若BD 平分ABC ∠，求sin sin ABDBDC∠∠的值；(2)若,,AB AC BC成递增的等比数列，AC =ABC 的面积．10．（2023·上海·高三专题练习）已知向量,2sin 22x x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，cos ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎝⎭ ，函数()y f x m n ==⋅ .(1)设ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()1f θ=，求θ的值；(2)在ABC 中，1AB =，()1f C =，且ABC的面积为2，求sin sin A B +的值.11．（2023春·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心；(2)先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位后得到()g x 的图像，求方程()12g x =在[]π,π-的解集.12．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数()221cos sin 2f x x x =-+.(1)求()f x 的单调增区间；(2)设ABC 为锐角三角形，角A B C ､､所对的边分别是,,,5a b c a b ==，若()0f A =，求ABC 的面积.13．（2023·上海嘉定·统考二模）已知向量()sin ,1cos 2a x x =+ ，1cos ,2b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()f x a b =⋅ ．(1)求函数()y f x =的最大值及相应x 的值；(2)在ABC 中，角A 为锐角，且7π12A B +=，()1f A =，2BC =，求边AC 的长．14．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）在ABCcos cos C A =，6B π=，BC边中线AM (1)求A 的值；(2)求ABC 的面积．15．（2023·上海金山·统考二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c，已知a =45C =︒.(1)若sin A B =，求c ；(2)若15B A -=︒，求ABC 的面积.16．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知函数25π()sin 2cos 16f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小值和单调增区间；(2)设角A B 、、C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =，124C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求sin A ．17．（2023·上海黄浦·统考二模）在ABC 中，53cos ,cos 135A B =-=．(1)求sin C 的值；(2)若4AB =，求ABC 的周长和面积．18．（2023·上海浦东新·统考三模）已知向量),cos a x x =，πsin ,cos 2b x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设()f x a b =⋅ .(1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若()1f A =，4b =，三角形ABC的面积为a 的长.19．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知函数()ππsin 2cos sin 122f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(1)求函数()f x 的最值；(2)设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，2b =，且2sin sin B C A +=，求ABC 的面积．20．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）已知函数21()2cos 2f x x x =--，x R ∈.(1)求函数()y f x =在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(2)设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求ABC S .21．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）设函数()2cos 2f x x x ωω=+，其中02ω<<.(1)若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的单调增区间；(2)若函数()f x 图像在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上存在对称轴，求ω的取值范围.22．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .(1)若33cos a c b C -=，求角B 的大小；(2)已知3b =、π3B =，若D 为ABC 外接圆劣弧AC 上一点，求ADC △周长的最大值.23．（2023·上海长宁·统考二模）（1）求简谐振动sin cos y x x =+的振幅、周期和初相位([0,2π))ϕϕ∈；（2）若函数11sincos 22y x x =+在区间(0,)m 上有唯一的极大值点，求实数m 的取值范围；（3）设0a >，()sin sin f x ax a x =-，若函数()y f x =在区间(0,π)上是严格增函数，求实数a 的取值范围．xπ0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭π3π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭π5ππ,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5π35π,3π3⎛⎫ ⎪⎝⎭y '+0-0+0-y极大值极小值极大值专题01解三角形大题综合一、解答题1．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知()2sin cos c 2πos 6f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求方程()0f x =的解集；(2)求函数()y f x =在[]0,π上的单调增区间.【答案】(1)ππ,Z 26k x x k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭(2)π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）化简得到()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取π2π,Z 3x k k +=∈，解得答案.（2）取πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解不等式，取0k =和1k =得到单调增区间.【详解】（1）()312sin cos cos 2sin 2cos 2si 2622πn f x x x x x x x ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭13sin 2222πsin 23x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=，取()πsin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则π2π,Z 3x k k +=∈，解得ππ,Z 26k x k =-∈.故方程()0f x =的解集为ππ,Z 26k x x k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭.（2）取πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，当0k =时，π0,12⎡⎤⎢⎣⎦满足条件；当1k =时，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足条件；综上所述：单调增区间是π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．（2023·上海闵行·统考二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A B =，4a =，6b =．(1)求cos B 的值；(2)求ABC 的面积．【答案】(1)1cos 3B =(2)82【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角公式可得解.（2）根据余弦定理可得c ，由cos B 可得sin B ，进而可得面积.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，又sin sin 22sin cos A B B B ==，所以2sin cos sin a b B B B=，即462sin cos sin B B B =，解得1cos 3B =；（2）由（1）得1cos 3B =，则sin 3B =，又由余弦定理222222461cos 2243a cbc B ac c +-+-===⨯，0c >，解得6c =，所以11sin 4622S ac B ==⨯⨯=3．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数()2sin cos 2f x x x x =-+．(1)求函数()y f x =的最小正周期和单调区间；(2)若关于x 的方程()0f x m -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)最小正周期πT =；单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间为()5π11π,πZ 2211k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(2)2⎫⎪⎪⎣⎭【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调区间；（2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数m 的取值范围．【详解】（1）()21πsin cos cos sin 2cos 2sin 22223f x x x x x x x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的最小正周期2ππ2T ==；令()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈，解得()π5πππZ 1122k x k k -≤≤+∈，可得函数()y f x =的单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦·令()ππ3π2π22πZ 232k x k k +≤-≤+∈，解得()5π11ππZ 1122k x k k π+≤≤+∈，可得因数()y f x =的单调递减区间为()5π11π,πZ 2211k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）由（1）可知，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()y f x =在5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当5π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ2,332x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，()f x 由增大到1，当5ππ212,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ2π2,323x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()f x 由1若关于x 的方程()0f x m -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围为⎫⎪⎪⎣⎭4．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）在ABC 中，a b c ､､分别是角A B C ､､的对边.设()()2,,cos ,cos m a c b n B C =+= ，已知0m n ⋅=r r(1)求角B 的大小；(2)设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，求函数()y f x =的最小值.【答案】(1)2π3B =(2)最小值2-【分析】（1）利用向量的坐标运算和正弦定理即可求解；（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x 值.【详解】（1）由题意可得：()2cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=，由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，则()2sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin 0A B C B B C A B B C ++=++=，可得2sin cos sin 0A B A +=，因为()0,πA ∈，则sin 0A ≠，可得2cos 10B +=，即1cos 2B =-，又因为()0,πB ∈，所以2π3B =.（2）由（1）可得2π3B =，则ππ3A CB +=-=，由题意可得：()2ππ2cos sin 2sin sin 2sin cos cos33f x x x x B x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭212cos sin sin cos 2x x x x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭222sin cos x x x x=πsin22sin 23x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，因为2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π2π5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得π22sin 23x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以当π3π232x +=，即7π12x =时，()f x 有最小值2-.5．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，P 是边长为2的正三角形ABC 所在平面上一点（点A 、B 、C 、P 逆时针排列），且满足CP CA =，记θ∠=CAP .(1)若π3θ=，求PB 的长；(2)用θ表示PAB 的面积S ，并求S 的取值范围.【答案】(1)(2)(π2sin 20,23S θ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭【分析】（1）由余弦定理直接计算即可；（2）由正弦定理求出AP ，然后代入三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围.【详解】（1）由π3θ=，且ABC 是边长为2的正三角形，则2π3PAB ∠=，且2PA CP CA ===，所以在PAB 中，由余弦定理得22212cos 448122PB PA AB PA AB PAB ∠⎛⎫=+-⋅⋅=+-⨯-= ⎪⎝⎭，所以PB =；（2）由CP CA =，则CAP CPA θ∠=∠=，则π2PCA θ∠=-，在PAC △中，由正弦定理有()2sin π2sin sin AP BC θθθ==-，得()2sin π24cos sin AP θθθ-==，所以1ππsin 4cos sin 233S PA AB θθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π2sin cos 2sin 22sin 23θθθθθθ⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，又0πθ<<，且0π2πθ<-<，则π02θ<<，所以ππ4π2333θ<+<，所以πsin 23θ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，则(π2sin 20,23θ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，故S 的取值范围为(0,2⎤+⎦.6．（2023·上海松江·校考模拟预测）已知向量())2sin ,cos2,,1m x x n x ωωω==，其中0ω>，若函数()f x m n=⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调增区间；(2)在ABC 中，若()2,f B BC B A =-==，求BA BC ⋅的值.【答案】(1)πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z (2)32-【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数()f x 化简，再由函数周期即可求得ω，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果；（2）根据题意，由（1）中函数()f x 的解析式可得2π3B =，再由正弦定理可得a c =，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果.【详解】（1）()πcos22sin 26f x m n x x x ωωω⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭ ()f x 的最小正周期为2ππ,π,12T ωω∴==∴=.故()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，解得,3πππ6πk x k k -≤≤+∈Z ，故函数()f x 的单调增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z （2）设ABC 中角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .()π2,2sin 226f B B ⎛⎫=-∴+=- ⎪⎝⎭ ，即πsin 216B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得2π3B =.1sin ,,3,sin2BC a B A b b A ∴==∴=∴== ，πππ0,,,366A A C a c <<∴==∴== 13cos 322BA BC c a B ⎛⎫∴⋅=⋅⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭.7．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）已知扇形OAB 的半径为1，π3AOB ∠=，P 是圆弧上一点（不与A ，B 重合），过P 作,PM OA PN OB ⊥⊥，M ，N 为垂足．(1)若12PM =，求PN 的长；(2)设AOP x ∠=，PM ，PN 的线段之和为y ，求y 的取值范围．【答案】(1)12；(2)2.【分析】（1）在直角POM 与直角PON △中，利用锐角三角函数的定义求解作答.（2）由（1）中信息，把y 用x 的函数表示出，再借助正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）在POM 中，PM OA ⊥，则1sin 2PM POM OP ∠==，显然π(0,3POM ∠∈，则π6POM ∠=，从而πππ366PON AOB POM ∠=∠-∠=-=，在PON △中，PN OB ⊥，所以π1sin 1sin 62PN OP PON =∠=⨯=.（2）依题意，ππ,(0,33PON AOB POM x x ∠=∠-∠=-∈πsin sin ,sin sin()3PM OP POM x PN OP PON x =∠==∠=-，因此π11πsin sin()sin sin sin sin()3223y x x x x x x x x =+-=+-=+=+，显然ππ2π(,)333x +∈，于是πsin()3x +∈，所以y 的取值范围是.8．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()π4cos sin(6f x x x =-的最大值为()f A .(1)求角A ；(2)当a =2b =时，求ABC 的面积.【答案】(1)π3；(2)2.【分析】（1）根据给定条件，利用三角恒等变换化简()f x ，再利用正弦函数性质求出角A 作答.（2）利用余弦定理求出c ，再利用三角形面积公式求解作答.【详解】（1）依题意，2ππ()4cos (sin cos cos sin )sin 2cos 66f x x x x x x x =-=-π2cos 212sin(216x x x =--=--，因为()0,πA ∈，则ππ11π2(,666A -∈-，又π()2sin(2)16f A A =--是()f x 的最大值，所以ππ262A -=，即π3A =.（2）在ABC 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π222cos 3c c =+-⨯，即2230c c --=，解得3c =，所以ABC 的面积11πsin 23sin223ABC S bc A ==⨯⨯⨯ .9．（2023·上海·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边AC 上，且2,AD CD BD AC ==．(1)若BD 平分ABC ∠，求sin sin ABDBDC∠∠的值；(2)若,,AB AC BC成递增的等比数列，AC =ABC 的面积．【答案】(1)11(2)4【分析】（1）运用余弦定理求出,CD BC 的关系，再运用正弦定理求解；（2）运用余弦定理求出AB ，BC 的值，再求出sin B ∠，用面积公式计算即可.【详解】（1）设CD m =，则2,3AD m BD AC m ===，因为BD 平分ABC ∠，所以2AB ADBC CD==，设BC n =，则2AB n =，在ABC 中，2222239cos 212AB AC BC n m A AB AC mn +-+==⋅，在ABD △中，2222245cos 28AB AD BD n m A AB AD mn+--==⋅，由22223945128n m n m nm mn+-=，得22112n m =，sin sinsin sin ABD CBD CD m BDC BDC BC n ∠∠====∠∠；（2）因为,,AB AC BC 成递增的等比数列，AC =26AB BC AC ⋅==，在ABD △中，2222263cos 28AB AD BD AB ADB AD BD -+-∠==⋅，在BCD △中，2222203cos 24BC BD CD BC BDC BD CD -+-∠==⋅，因为cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，所以22262033084AB BC --+=，整理得22222AB BC +=，又6AB BC ⋅=，所以2236222BC BC+=，解得BC =3BC =，若BC =AB BC =>，不符合题意，若3BC =，则2AB =，符合题意，此时2227cos 212AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅，则sin ABC ABC ∠=△的面积1sin 2S AB BC ABC =⋅∠=10．（2023·上海·高三专题练习）已知向量,2sin 22x x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，cos ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎝⎭，函数()y f x m n ==⋅ .(1)设ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()1f θ=，求θ的值；(2)在ABC 中，1AB =，()1f C =，且ABC的面积为2，求sin sin A B +的值.【答案】(1)π2-或π6(2)1+【分析】（1）化简得到s π()2co 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得到2π(Z)63ππk k θ+=±∈，根据范围得到答案.（2）确定π6C =，根据面积公式得到=ab 227a b +=，得到2+=a b ，再根据正弦定理得到答案.【详解】（1）2π()cos2sin cos cos )sin 2cos 2226x x x f x x x x ⎛⎫=-+-=+ ⎪⎝⎭()π2cos 16f θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得1cos 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故2π(Z)63ππk k θ+=±∈，ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故π2θ=-或π6.（2）(0,π)C ∈，由（1）知π6C =，在ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是,a b，则1s n πi 26S ab ==，故=ab 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，故227a b +=.解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是2+=a b 由正弦定理得sin sin sin 112===A B C a b，故1sin sin ()12+=+=+A B a b 11．（2023春·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心；(2)先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位后得到()g x 的图像，求方程()12g x =在[]π,π-的解集.【答案】(1)()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对称中心为ππ,026k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Z k ∈；(2)π5π11π7π,,,12121212⎧⎫⎨⎬⎩⎭--.【分析】（1）结合函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像特征可求()f x 的解析式及对称中心；（2）根据图象变换可得()g x 的解析式，从而方程可求.【详解】（1）根据函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像，可得32π5ππ2,4123A ω=⋅=+，∴2ω=.再根据五点法作图，5ππ2122ϕ⨯+=，∴π3ϕ=-，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令π2π,Z 3x k k -=∈，解得ππ,Z 62k x k =+∈，此时0y =.所以函数()f x 的对称中心为ππ,026k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Z k ∈.（2）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向左平移π6个单位，得到ππsin 2sin 632y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，令1sin 22x =，[][]π,π,22π,2πx x ∈-∴∈- 所以π5π11π7π2,,,6666x =--，解得π5π11π7π,,,12121212x =--故方程()12g x =在[]π,π-的解集为π5π11π7π,,12121212⎧⎫⎨⎬⎩⎭--.12．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数()221cos sin 2f x x x =-+.(1)求()f x 的单调增区间；(2)设ABC 为锐角三角形，角A B C ､､所对的边分别是,,,5a b c a b ==，若()0f A =，求ABC 的面积.【答案】(1)ππ,π,Z2k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)4【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及三角函数的性质即可求解；（2）根据已知条件及余弦定理，利用余弦定理的推论及三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）()2211cos sin cos 222f x x x x =-+=+由π2π22π,Z k x k k -+≤≤∈，得πππ,Z 2k x k k -+≤≤∈，所以()f x 的单调增区间为ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知，()1cos 22f x x =+，因为()0f A =，所以()1cos 202f A A =+=,即1cos 22A =-，因为π02A <<，所以02πA <<,所以2π23A =，即π3A =.由余弦定理可知，2222cos a b c bc A =+-，将5a b ==代入并整理得2560c c -+=，解得2c =或3c =.又因为ABC 为锐角三角形，所以222cos 0,02a c b B c ac+-=>>，即219250c +->，解得c 所以3c =.所以ABC的面积为11sin 5322ABC S bc A ==⨯⨯⨯△.13．（2023·上海嘉定·统考二模）已知向量()sin ,1cos 2a x x =+ ，1cos ,2b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()f x a b =⋅ ．(1)求函数()y f x =的最大值及相应x 的值；(2)在ABC 中，角A 为锐角，且7π12A B +=，()1f A =，2BC =，求边AC 的长．【答案】(1)ππ8x k =+，k ∈Z ；(2)AC =【分析】（1）利用向量数量积坐标运算、二倍角公式以及辅助角公式求得函数()y f x =的解析式，再由正弦函数的性质求解；（2）由（1）求出角A 的值，再利用正弦定理求出AC 边的长作答.【详解】（1）依题意，cos 2111π1()cos sin (sin 2cos 2))22242x f x x x x x x +=+=++=++当ππ22π42x k +=+，即ππ,Z 8x k k =+∈时，()y f x =取最大值12.（2）由（1）及()1f A =π12142A ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即πsin 24A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因π02A <<，则ππ5π2444A <+<，因此，324ππ4A +=，则π4A =，而7π12A B +=，有π3B =，在ABC 中，由正弦定理sin sin BC AC A B =得，π2sinsin 3πsin sin 4BC B AC A ==所以边AC.14．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）在ABCcos cos C A =，6B π=，BC边中线AM (1)求A 的值；(2)求ABC 的面积．【答案】(1)π6【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换得出A 的值；（2）由余弦定理得出2b =，最后由面积公式得出ABC 的面积．【详解】（1cos cos C A =cos cos CA=2sin cos cos sin cos sin()sin B A A C C A A C B+因为sin 0B ≠，所以cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π6A =.（2）因为6B π=，23C A B ππ=--=，可知ABC 为等腰三角形.在AMC 中，由余弦定理可得2222cos120AM AC MC AC MC =+-⋅︒即227(2cos12022b b b b =+-⨯⨯⨯︒，解得2b =.所以ABC的面积为2211sin 222S b C ==⨯=.15．（2023·上海金山·统考二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c，已知a =45C =︒.(1)若sin A B =，求c ；(2)若15B A -=︒，求ABC 的面积.【答案】(1)2c =(2)2+3【分析】(1)根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解即可.(2)先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得.【详解】（1）由sin A B =,应用正弦定理得a ==2b ∴=,2842242c ∴=+-⨯⨯,即得2c =.（2）因为15135B A B A -=︒⎧⎨+=︒⎩则7560B A =︒⎧⎨=︒⎩,c ==111sin =222ABC S ac B ==⨯⨯ 16．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知函数25π()sin 2cos 16f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小值和单调增区间；(2)设角A B 、、C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =，124C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求sin A ．【答案】(1)()min 12f x =，单调递增区间()π3ππ,πZ 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)6【分析】（1）由三角恒等变换得1()222f x x =-，结合正弦函数的性质求解即可；（2）由1cos 3B =，可得sin B =且β为锐角，60B >︒，由124C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得60C =︒，再由()sin sin A B C =+求解即可.【详解】（1）解：由题意可得()2225ππππsin 2cos 1=sin 2++1cos =cos 2n 33si 62f x x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ1cos 21cos 2cos sin 2sin 23322x x x x -=-+=-，所以当π2=2π+,Z 2x k k ∈，即ππ,Z 4x k k =+∈时，函数()f x 由π3π2π+22π+,Z 22k x k k ≤≤∈，解得π3ππ+π+,Z 44k x k k ≤≤∈，所以()f x 的单调递增区间()π3ππ,πZ 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；综上所述：()min π1π42f x f k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，单调递增区间()π3ππ,πZ 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）解：因为112224C f C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，sin C ∴=()0,πC ∈ ，60C ∴=︒或120︒，1cos sin 33662B B =⇒==>=Q ，且β为锐角，所以60B >︒，∴角C 只能为锐角60C =︒，()sin sin A B C ∴=+sin cos cos sin 6B C B C =+=.17．（2023·上海黄浦·统考二模）在ABC 中，53cos ,cos 135A B =-=．(1)求sin C 的值；(2)若4AB =，求ABC 的周长和面积．【答案】(1)1665；(2)周长32，面积24.【分析】（1）利用两角和的正弦公式即可求得sin C 的值；（2）先利用正弦定理求得ABC 的,a b 的长，进而求得ABC 的周长和面积．【详解】（1）在ABC 中，53cos ,cos 135A B =-=，又(),0,πA B ∈，则124sin ,sin 135A B ==，则1235416sin sin()sin cos cos sin 13513565C A B A B A B ⎛⎫=+=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭.（2）4c AB ==，又124sin ,sin 135A B ==，16sin 65C =，则由正弦定理得124sin sin 135415,4131616sin sin 6565A Ba cbc C C =====⨯=，则ABC 的周长为1513432++=ABC 的面积为1116sin 1513242265ab C =⨯⨯⨯=．18．（2023·上海浦东新·统考三模）已知向量),cos a x x =，πsin ,cos 2b x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设()f x a b =⋅ .(1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若()1f A =，4b =，三角形ABC的面积为a 的长.【答案】(1)π(2)【分析】（1）利用数量积的坐标公式及二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用最小正周期公式求解即可；（2）根据()1f A =求出角A ，结合条件及三角形面积公式求出c ，利用余弦定理即可求解a .【详解】（1）由题意，()f x a b =⋅=2πsin cos 2x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭2cos cos x x x =+112cos 222x x =++π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因此函数()y f x =的最小正周期为2ππ2T ==；（2）由()1f A =得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ7π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，解得π3A =，因为11sin 422ABC S bc A c ==⨯=V 2c =,由余弦定理解得2222212cos 42242122a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,所以a =.19．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知函数()ππsin 2cos sin 122f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(1)求函数()f x 的最值；(2)设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，2b =，且2sin sin B C A +=，求ABC 的面积．【答案】(1)最大值为2，最小值为2-(2)2或3【分析】(1)把()f x 化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为x ，再用二倍角公式把二次项化为一次项，同时把角化为2x ，最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；(2)先求出角A ，由余弦定理得到关于,a c 的方程，再由正弦定理把已知的方程化简为含,a c 的方程，联立方程组即可解出,a c 的值，再代入三角形的面积公式即可.【详解】（1）因为()sin 2cos sin 122f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 12cos 2x x x x x=-+=-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为2，最小值为2-．（2）结合(1)可知()2sin 226f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因为()0,A π∈，所以112666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则2,623A A πππ-==．由余弦定理得2222241cos 242b c a c a A bc c +-+-===，化简得2224a c c =-+①．又2sin sin B C A +=，由正弦定理可得2b c +=，即4c +=②．结合①②得3a c ==或23a c ==．3c =时，1sin 22ABCS bc A ==；23c =时，1sin 23ABC S bc A ==△．综上，ABC 的面积为2或3．20．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）已知函数21()2cos 2f x x x =--，x R ∈.(1)求函数()y f x =在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(2)设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求ABC S .【答案】(1)max 0y =，min 22y +=-；(2)2.【分析】（1）利用辅助角公式将函数()f x 化简可得π()sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性得到()f x 在ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递增，在π5π,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，进而求出最值；（2）根据题意得到π3C =，然后利用正弦定理得到2b a =，再结合余弦定理和三角形面积公式即可求解.【详解】（1）()1cos 21π2sin 21226x f x x x +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，由ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+，Z k ∈，得()f x 的单调递减区间为π5ππ,π36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，故()f x 在ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递增，在π5π,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，故max π03y f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，min π5πmin ,1212y ff ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎨⎬ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎩⎭（2）π()sin 2106f C C ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则πsin 2106C ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，0πC <<，022πC <<，所以ππ11π2666C -<-<，所以ππ262C -=，π3C =，因为sin 2sin B A =，所以由正弦定理得2b a =，①由余弦定理得222π2cos3=+-c a b ab ，即2223c a b ab =+-=，②由①②解得：1a =，2b =.故1sin 2ABC S ab C ==△.21．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）设函数()2cos 2f x x x ωω=+，其中02ω<<.(1)若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的单调增区间；(2)若函数()f x 图像在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上存在对称轴，求ω的取值范围.【答案】(1)πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z(2)122ω≤<【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，然后根据最小正周期公式算出ω，然后利用正弦函数的单调性求解；（2）利用正弦函数sin y x =的对称轴公式求参数的范围.【详解】（1）由题意，()21π1sin2cos sin2(cos 21)sin 222262f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，又02ω<<，于是2ππ2ω=，则1ω=，则()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调递增区间，令πππ22π,2π,622x k k k ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，解得πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ,即为()f x 的单调递增区间.（2）当π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，ππ2ππ2,6636x ωω⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，注意到题干02ω<<，则2πππ3π,3662ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，根据正弦函数sin y x =的对称轴ππ,2x k k =+∈Z ，显然只有0k =时一条对称轴32π2ππ,6x =∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是2πππ362ω+≥，解得12ω≥，结合02ω<<可得122ω≤<22．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .(1)若33cos a c b C -=，求角B 的大小；(2)已知3b =、π3B =，若D 为ABC 外接圆劣弧AC 上一点，求ADC △周长的最大值.【答案】(1)1arccos 3B =；(2)3+【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦求解作答.（2）由（1）及给定条件，求出ADC ∠，再利用余弦定理结合均值不等式求解作答.【详解】（1）在ABC 中，由33cos a c b C -=及正弦定理，得3sin sin 3sin cos A C B C -=，即3sin()sin 3sin cos B C C B C +-=，则3(sin cos sin cos )sin 3sin cos B C C B C B C +-=，整理得sin (3cos 1)0C B -=，而sin 0C ≠，即1cos 3B =，又因为0B π<<，所以1arccos 3B =.（2）在ADC △中，2π,33ADC AC ∠==，由余弦定理得2222π2cos3AC AD DC AD DC =+-⋅，于是22()()994AD DC AD DC AD DC ++=+⋅≤+，解得AD DC +≤当且仅当AD DC ==所以当AD DC ==ADC △周长取得最大值3+23．（2023·上海长宁·统考二模）（1）求简谐振动sin cos y x x =+的振幅、周期和初相位([0,2π))ϕϕ∈；（2）若函数11sin cos 22y x x =+在区间(0,)m 上有唯一的极大值点，求实数m 的取值范围；（3）设0a >，()sin sin f x ax a x =-，若函数()y f x =在区间(0,π)上是严格增函数，求实数a 的取值范围．【答案】（12π2π1T ==，初相位π4ϕ=；（2）π5π,33⎛⎤ ⎥⎝⎦；（3）()0,1；【分析】（1）利用辅助角公式化简，即可得到振幅、周期和初相位；（2）求导，令0y '=，求出导函数的零点，利用三角函数的单调性判断导函数的正负，进而分析出()y f x =的单调，列表分析出有唯一的极大值点的情况，即可得到实数m 的取值范围；（3）求导，并对a 分类讨论，利用余弦函数的单调性分析导函数在区间(0,π)的正负，即可判断()y f x =是否为严格增函数，进而得到实数a 的取值范围.【详解】解：（1）πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，2π2π1T ==，初相位π4ϕ=；（2）111111cos sin cos sin 222222y x x x '⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令0y '=，得1cos 02x =,11sin 22x =，列表，x π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭π3π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭π5ππ,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5π35π,3π3⎛⎫ ⎪⎝⎭y '+0-0+0-y 极大值极小值极大值函数11sin cos 22y x x =+在区间(0,)m 上有唯一的极大值点时，π5π33m <≤，即实数m 的取值范围为π5π,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.（3）()cos cos f x a ax a x '=-，当01a <<时，因为0πx <<，所以0πax x <<<，进而cos cos ax x >，()(cos cos )0f x a ax x '=->此时，()y f x =在区间(0,π)上是严格增函数；当1a =时，()0f x =，()y f x =不是严格增函数；当1a >时，设π0,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0πx ax <<<，进而cos cos x ax >，()0f x '<，此时，()y f x =在区间π0,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是严格减函数；综上，若函数()y f x =在区间(0,π)上是严格增函数，则01a <<，即实数a 的取值范围()0,1.【点睛】思路点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.。

2025届上海市市北中学高考数学必刷试卷含解析

2025届上海市市北中学高考数学必刷试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:得到正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 2．231+=-ii（） A ．15i 22-+B ．1522i -- C ．5522i +D ．5122i -3．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（）A ．49-B ．23C ．32或49-D ．324．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝5．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（）A ．2B CD ．16．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（） A ．3B ．5C ．6D ．77．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（） A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()278．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．9．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．3210．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设2(ln 2),(2),(ln )2a fb fc f ===，则（） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>11．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（）A ．8B ．32C ．64D ．12812．设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知4403S =，43231030a a a -+=，则4a =（） A ．9B ．27C ．81D ．83二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届上海市静安区、青浦区高考冲刺数学模拟试题含解析

2025届上海市静安区、青浦区高考冲刺数学模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=2．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．103．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（） A ．2B ．53C ．43D ．324．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a 的取值范围为（） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（） A ．B ．C ．D ．6．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-8．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A 2B 3C ．2D ．39．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（）A ．6481B ．3227 C ．89 D ．162710．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（） A ．72B ．5319C ．2319- D ．12-11．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A ．2B ．2C ．1D ．312．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（）A ．12B ．1C ．104D 5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市2024高三冲刺(高考数学)苏教版摸底(综合卷)完整试卷

上海市2024高三冲刺（高考数学）苏教版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(2)题设等差数列的前项和为，若，则当取得最小值时，的值为（）A．7B．8C．9D．10第(3)题圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度约为(取)（）A．B．C．D．第(4)题函数的定义域为A．B．C．D．第(5)题已知定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，则的值为（）A．0B．1C．2D．3第(6)题已知随机变量X服从正态分布，若，则（）A．B．C．D．第(7)题已知，那么是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动．已知该班男生人，女生人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为．记该班成绩的方差为，则下列判断正确的是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知是两个不共线的向量，且，则下列结论正确的是（）A．的取值范围是B．C．在方向上的投影向量不可能为D．与的夹角的最大值为第(2)题设首项为1的数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（）A．数列为等比数列B．数列的通项公式为C．数列为等比数列D．数列的前n项和为第(3)题（多选）“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下所示的列联表，通过计算得到K2的观测值为9认可不认可40岁以下202040岁以上（含40岁）4010已知，，则下列判断正确的是（）A．在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”B．在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相．某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为_________人．第(2)题如图直角梯形中，，，，.点是直角梯形区域内任意一点，.点所在区域的面积是__________．第(3)题2022年神舟十五号载人飞船发射任务都取得圆满成功，神舟十四号航天员与神舟十五号航天员首次完成空中会师，现有航天员甲､乙､丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功任务结束，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次.已知甲､乙､丙10分钟内试验成功的概率分别为，，，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲､乙､丙顺序派出，则试验任务成功的概率为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数的图像与直线l：相切于点．(1)求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；(2)求c与a的函数关系；(3)当a为函数g（a）的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数k的最值．第(2)题已知函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式；(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.第(3)题如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面平面ABCD，，，.O，E分别是AD，BC中点.(1)证明：平面POE；(2)，，求点E到平面PCD的距离.第(4)题四户村民甲、乙、丙、丁把自己不宜种粮的承包土地流转给农村经济合作社，甲、乙、丙、丁分别获得所有流转土地年总利润7％，7％，10％，6％的流转收益.该土地全部种植了苹果树，2022年所产苹果在电商平台销售并售完，所售苹果单个质量（单位：g，下同）在区间［100，260］上，苹果分装在A，B，C，D4种不同的箱子里，共5000箱，装箱情况如下表.把这5000箱苹果按单个质量所在区间以箱为单位得到的频率分布直方图如下图.苹果箱种类A B C D每箱利润（元）40506070苹果单个质量区间[100，140)[140，180)[180，220)[220，260](1)根据频率分布直方图，求a和甲、乙、丙、丁2022年所获土地流转收益（单位：万元）：(2)在甲、乙、丙、丁中随机抽取2户，求这2户中恰有1户2022年土地流转收益超过2万元的概率.第(5)题已知椭圆的离心率是，是椭圆C上一点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B（异于点P）两点，直线PA，PB的斜率分别是，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.。

上海市2024高三冲刺(高考数学)苏教版摸底(预测卷)完整试卷

上海市2024高三冲刺（高考数学）苏教版摸底(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设集合，，则（）A ．B ．C ．D ．第(2)题若平面向量与方向相同，且，则（）A ．B ．C ．D ．第(3)题已知复数，其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数，则（）A ．B ．C ．D ．第(4)题已知向量的夹角为60°的单位向量，若对任意的､，且，，则的取值范围是（）A．B ．C ．D ．第(5)题设全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．B ．C ．D ．第(6)题设，则“”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第(7)题某工厂利用随机数表对生产的300个零件进行抽样测试，先将300个零件进行编号001，002，…，299，300．从中抽取30个样本，根据提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是( )84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45A ．072B ．134C ．007D ．253第(8)题已知为等差数列的前项和，满足，，则数列中（）A ．有最大项，无最小项B ．有最小项，无最大项C ．有最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题给出下面四个推断，其中正确的为（）.A．若，则B ．若，则；C ．若，，则D ．若，，则第(2)题已知，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知：，，，，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题正三棱锥中，，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________.第(2)题在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为______．第(3)题设,若直线与轴相交于点A,与y轴相交于B,且l与圆相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则面积的最小值为 _____．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，角所对的边分别为，已知.(1)求的大小；(2)若为上的高，且，求面积的最小值.第(2)题在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．(1)求角C；(2)若D为AB中点，，，求的面积．第(3)题吉林省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人），该校为了解高一年级学生对物理、历史的选科情况，采用比例分配的分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，其中选择历史的男生有40人，选择物理的女生有30人．(1)利用以上信息完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与选择科目有关？性别选择物理选择历史总计男生女生总计(2)某个外语学习小组共有7人，其中有3人选择了历史，4人选择了物理，随机抽取4人进行对话练习，用表示抽中的4人中，选择历史的同学人数，求的分布列及期望．附：，其中0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.828第(4)题已知数列的前项和为，且.(1)求；(2)若，求数列的前项和.第(5)题随着新冠肺炎疫情的爆发和蔓延，国家加强了传染病学的研究.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数802003202501003020（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取100人，得到如下列联表：潜伏期天潜伏期天总计60岁以上（含60岁）5060岁以下35100请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为传染病潜伏期与患者年龄有关；（3）在条件（2）得到的100人样本中，从潜伏期超过10天的人中，随机选取3人进行抽血化验，问恰好有一人潜伏期超过12天的概率？附：，其中.。

上海市2024高三冲刺(高考数学)统编版摸底(评估卷)完整试卷

上海市2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知若，则z的最小值为（）A．1B．-C．-1D．-3第(2)题下列说法正确的有（）个①已知一组数据的方差为，则的方差也为.②对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.③已知随机变量服从正态分布，若，则.④已知随机变量服从二项分布，若，则.A．0个B．1个C．2个D．3个第(3)题已知，且函数.若对任意的不等式恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．第(4)题若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（）A ．对称轴为，B．在内单调递增C．对称中心为，D．在内最小值为第(6)题已知数列满足，，数列满足，，设数列和的前项和分别为和，若，则（）A．B．C．D．第(7)题已知，则（）A．B．C．D．第(8)题已知是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中所有真命题的序号是（）A．①③B．②③C．①②③D．②③④二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题记为正项数列的前项和，为正项数列的前项积，则（）A．若数列是等比数列，则数列是等差数列B．若数列是等比数列，则数列是等比数列C．若数列是等差数列，则数列是等比数列D．若数列是等比数列，则数列是等比数列第(2)题若是的充分不必要条件，则实数a的值可以是（）A．2B．3C．4D．5第(3)题已知双曲线的渐近线方程为，过的右焦点的直线交双曲线右支于，两点，的内切圆分别切直线，，于点，，，内切圆的圆心为，半径为，则（）A．的离心率等于B．切点与右焦点重合C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题下列式子：，，，…由此可推得，的值为______.第(2)题执行如图所示的程序框图，输出的S值为 _____ ．第(3)题请写出函数的图象的一个对称中心：______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数有两个零点.(1)证明：；(2)求证：①；②.第(2)题如图，已知斜三棱柱中，底面是正三角形，，点O是点A1在下底面内的正投影.(1)求证：(2)若点O是的中心，求高度A1O；(3)在（2）的条件下求二面角的余弦值.第(3)题已知的内角A，B，C所对的边是a，b，c，且满足（1）求角C；（2）若，求CD的最大值．第(4)题“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年.“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程.国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到年全国水产品年产量达到万吨.年至年全国水产品年产量（单位：千万吨）的数据如下表：年份年份代号总产量(1)求出关于的线性回归方程，并预测年水产品年产量能否实现目标；(2)为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了年全国个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过万吨的地区有个，有渔业科技推广人员高配比（配比渔业科技推广人员总数：渔业从业人员总数）的地区有个，其中年产量超过万吨且高配比的地区有个，能否有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，；参考数据，.第(5)题某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为，并且规定若第题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；第题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为.(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；(2)求第n题正确选项为两个的概率；(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证：.。

上海市2024高三冲刺(高考数学)人教版摸底(提分卷)完整试卷

上海市2024高三冲刺（高考数学）人教版摸底(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（）A．B．C．D．第(2)题已知向量，满足，，向量在向量方向上的投影向量为，则（）A．3B．C．2D．第(3)题若，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．第(4)题在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径，则（）A．4B．2C．1D．第(5)题已知复数满足，其中是虚数单位，则复数的虚部为（）A．B．C．1D．第(6)题已知复数，若，则的虚部为（）A．B．3C．D．1第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知函数，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知空间中的两个不同平面和两条不同直线，若，则（）A．直线可能平行B．直线可能异面C．直线可能垂直D．直线可能相交第(2)题如图，在正方体中，点P为线段上的一个动点（不包含端点），则（）A．B．直线PC与直线异面C．存在点P使得PC与所成的角为60°D．存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°第(3)题已知，且，则下列不等式成立的有（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知向量满足，则__________.第(2)题记函数的最小正周期为，写出满足条件“在区间有唯一极值点”的的一个值________.第(3)题已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数有三个零点，.(1)求的取值范围；(2)记三个零点为，且，证明：.第(2)题已知函数．(1)求函数在处的切线方程；(2)当时，试比较的大小关系，并说明理由；(3)设，求证：．第(3)题在多面体中，平面为正方形，，，，二面角的平面角的余弦值为，且.(1)证明：平面平面；(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.第(4)题如图，在四棱锥中，平面，，，．(1)求证：平面；(2)若，且直线与所成角为，求点E到平面的距离．第(5)题如图，已知点是焦点为的抛物线：上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为.(1)证明：直线的斜率为定值；(2)在中，记，，求最大值.。

上海市2024高三冲刺(高考数学)部编版摸底(自测卷)完整试卷

上海市2024高三冲刺（高考数学）部编版摸底(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题冰雹猜想（也叫猜想）：任意给出一个正整数，如果是奇数，下一步变成；如果是偶数，下一步变成，依次进行计算，无论是一个怎样的数字，最终都会回到数字1．若给出的数字是，当第一次回到数字1时，经过的计算次数为（）A．6B．7C．8D．9第(2)题已知集合，，则（）A．（0，2）B．（－2，e）C．D．第(3)题我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定的值，类似地的值为（）A．3B．4C．6D．7第(4)题某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取140人，则n为（）A．300B．250C．200D．150第(5)题已知函数在上单调递增，则的最大值是（）A．0B．C．D．3第(6)题已知点在圆上，其横坐标为，抛物线经过点，则抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．第(7)题已知等比数列单调递增，且成等差数列，则当取最小值时，集合中的元素之和为（）A．36B．54C．61D．69第(8)题命题“若，则”的逆否命题是（）A．若，则，或B．若，则C．若，或，则D．若或，则二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题（多选）在平面直角坐标系xOy中，A（-2，0），B（4，0），点P满足．设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（）A．轨迹C的方程为B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是的角平分线D．在C上存在点M，使得．第(2)题下列代数式的值为的是（）A．B．C．D．第(3)题在棱长为2的正方体中，点E，M分别为线段，的中点，点N在线段上，且，则（）A．平面EMN截正方体得到的截面多边形是矩形B．平面平面C．存在，使得平面平面D．当时，平面EMN截正方体得到的截面多边形的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（），其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为______．第(2)题已知直线与曲线相切，则实数的值为___________.第(3)题如图，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的渐近线方程为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球（I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．第(2)题若曲线C的切线l与曲线C共有n个公共点（其中，），则称l为曲线C的“”.(1)若曲线在点处的切线为，另一个公共点的坐标为，求的值；(2)求曲线所有的方程；(3)设，是否存在，使得曲线在点处的切线为？若存在，探究满足条件的t的个数，若不存在，说明理由．第(3)题分别是椭圆的左、右焦点，，M是E上一点，直线MF2与x轴垂直，且.(1)求椭圆E的方程；(2)设A，B，C，D是椭圆E上的四点，AC与BD相交于点F2，且AC⊥BD，求四边形ABCD面积的最小值.第(4)题在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c（其中），设向量，，且向量为单位向量．（1）求∠B的大小；（2）若，求△ABC的面积．第(5)题已知函数在处取得极值.（1）求实数的值，并求函数的单调区间；（2）证明：.。

上海市2024高三冲刺(高考数学)统编版模拟(巩固卷)完整试卷

上海市2024高三冲刺（高考数学）统编版模拟(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知双曲线离心率为2，实轴长为2，则焦点到渐近线的距离（）A．1B．2C．D．第(2)题设点A，B在曲线上两点，且中点，则（）A．1B．2C．D．第(3)题已知函数,,若与的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称,则实数k的取值范围是( )A．B．C．D．第(4)题已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（）A．2B．C．D．第(5)题质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点.则当与第2024次重合时，的坐标为（）A．B．C．D．第(6)题为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的模型：．已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%．若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为（）（参考数据：，）A．万元B．万元C．万元D．万元第(7)题已知点，直线l与圆交于两相异点B，C，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知正方体，动点P在线段BD上，则下述正确的是（）A．B．C．平面D．平面第(2)题已知圆柱的上、下底面的中心分别为O，，其高为2，为圆O的内接三角形，且，P为圆上的动点，则（）A．若平面，则三棱锥外接球的表面积为B．若，则C．三棱锥体积的最大值为D．点A到平面距离的最大值为第(3)题已知A，B分别是椭圆（）的左､右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，且满足，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（）A．B．若，则椭圆的方程为C．若椭圆的离心率，则D．的面积随的增大而减小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在中，为中点，，且，则________．第(2)题定义“正对数”：，现有四个命题：①若，则②若，则③若，则④若，则其中的真命题有：____________ （写出所有真命题的编号）第(3)题函数的零点个数为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某校组织“生物多样性”知识竞赛，甲、乙两名同学参加比赛，每一轮比赛，甲、乙各回答一道题，已知每道题得分为1~100的任意整数，60分及以上判定为合格.规定：在一轮比赛中，若两名参赛选手，一名合格一名不合格，记合格者为，不合格者为；若两名参赛选手，同时合格或同时不合格，记两名选手都是.在比赛前，甲、乙分别进行模拟练习.已知某次练习中，甲、乙分别回答了15道题，答题分数的茎叶图如图所示，甲、乙回答每道题得分不相互影响，并以该次练习甲、乙每道题的合格概率估计比赛时每道题的合格概率.(1)分别求甲、乙两名同学比赛时每道题合格的概率；(2)设2轮比赛中甲获得的个数为，求的分布列和数学期望；(3)若甲、乙两名同学共进行了10轮比赛，甲同学获得（，）个的概率为，当最大时，求.第(2)题已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，离心率为，的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若为轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于两点．（ⅰ）求的面积最小值；（ⅱ）证明：三点共线．第(3)题已知．证明：(1)当时，；(2)．第(4)题如图，已知直三棱柱中，分别为和的中点.(1)求证：平面；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.第(5)题已知的内角，，的对边分别是，，，且不是等腰三角形，.(1)求的值；(2)若，求面积的最大值.。

上海市2024高三冲刺(高考数学)统编版摸底(培优卷)完整试卷

上海市2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若，则（）A．B ．1C ．2D ．4第(2)题设为坐标原点，直线与抛物线C :交于两点，若正三角形，则点到抛物线的焦点的距离为（）A．B ．C ．D ．第(3)题如图，半径弦于点，将沿对折交于点，的面积为36，则的长为（）A ．3B ．C ．4D ．第(4)题已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（）A．9B ．C ．D ．第(5)题已知等比数列的前3项和为168，，则（）A ．14B ．12C ．6D ．3第(6)题一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则（）A．B ．C ．D ．第(7)题已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（）A ．B ．C ．D ．第(8)题已知集合，则（）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则下列说法正确的是（）A ．若将图象向右平移个单位，所得图象与原图象重合，则的最小值为8B ．若，则的最小值为12C．若在内单调递减，则的取值范围为D．若在内无零点，则的取值范围为第(2)题已知曲线，则（）A ．曲线关于轴对称B．曲线在第一象限内从左至右呈上升趋势C．或D．第(3)题关于函数，下列判断正确的是（）A．的极大值点是B．函数有且只有个零点C．存在实数，使得成立D．对任意两个正实数，，且，若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设函数存在反函数，且函数的图象过点．则函数的图象一定过点___________．第(2)题已知椭圆的右焦点为F，右准线为，离心率．过顶点作，垂足为，则直线的斜率等于___________．第(3)题若，则被5除所得的余数为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，对中国工农业生产和人民生活带来严重影响．随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年沙漠治理经费投入（亿元）和沙漠治理面积（万亩）的相关数据如下表所示：年份2017201820192020234526394954（1）通过绘制散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）（2）建立关于的回归方程；（3）若保持以往的沙漠治理经费增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积突破100万亩．参考数据：，；参考公式：相关系数，，．第(2)题某品牌汽车4S店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用表示2020年第月份该店汽车成交量，得到统计表格如下：123456781412202022243026（1）求出关于的线性回归方程，并预测该店9月份的成交量；（，精确到整数）（2）该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获2千元奖金；抽中“祝您平安”则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，没有获得奖金的概率为．现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望．参考数据及公式：，，，．第(3)题某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两条空调共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元．方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3次每次收取维修费200元．小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：维修次数0123空调台数20303020用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．（1）求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率；（2）请问小李选择哪种质保方案更合算．第(4)题已知数列满足，，且．(1)求数列的通项公式．(2)是否存在正整数n，使得，，等差数列？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．第(5)题在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）设，，（i）求，（ii）求的值.。

上海市市辖区2024高三冲刺(高考数学)统编版摸底(备考卷)完整试卷

上海市市辖区2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题某家大型超市近10天的日客流量（单位：千人次）分别为： 2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（）A．散点图B．条形图C．茎叶图D．扇形图第(2)题从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是2的倍数的概率为（）A．B．C．D．第(3)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(4)题已知函数，为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象（）A ．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位第(5)题假设零八度音，即最低八度音中的音do每秒的频率为1，则第个八度音中第个音每秒的频率满足，其中为钢琴上半音音节里的其他任意一个音，比如音sol对应，音la对应.由此可以得出，第4个八度音中音sol的频率大约是第1个八度音中音la的频率的（）（参考数据：）A．6倍B．7倍C．8倍D．9倍第(6)题在平面直角坐标系中，直线：，圆的半径为1，圆心在直线上，若圆上存在点，且在圆:上，则圆心的横坐标的取值范围是A．B．C．D．第(7)题已知一族双曲线：（，且），设直线与在第一象限内的交点为，由向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，．记面积为，则（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知为双曲线上一点，为其左右焦点，则（）A．若，则的面积为B．若，则的周长为C．双曲线上存在一点，使得成等差数列D．有最大值第(2)题已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（）A．直线l与圆C相交B．圆C被y轴截得的弦长为C．点C到直线l的距离的最大值是D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为第(3)题如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题曲线在处的切线方程为______.第(2)题写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______.第(3)题已知关于，的一组数据：根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为，则的值为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)若曲线与有且仅有一个公共点，求的值；(2)若曲线与相交于A，B两点，且，求直线AB的极坐标方程.第(2)题已知函数.(1)若在定义域内单调递增，求a的取值范围；(2)设，m，n分别是的极大值和极小值，且，求S的取值范围.第(3)题随着科技进步，近几年，我国新能源乘用车产业迅速发展．以下是某市近五年新能源乘用车的年销售量数据：年份/年年份代码新能源乘用车年销售量/千辆(1)根据表中数据，求出关于的线性回归方程，并预测年的年销售量．(2)为了了解用户对新能源乘用车发展的意见，从中随机抽取名用户，得到如下统计表格（单位：人）．对充电桩设置满意对充电桩设置不满意总计女性用户男性用户总计根据以上数据，判断是否有的把握认为对充电桩设置满意程度与性别有关．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．，其中．第(4)题已知函数，记的值域为集合，的值域为集合.(1)求；(2)若，求实数的取值范围.第(5)题已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点是右支上一点，的面积为4．(1)求的方程；(2)点A是在第一象限的渐近线上的一点，轴，点是右支在第一象限上的一点，且在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点．试判断的值是否为定值？若为定值，求出它的值；若不为定值，请说明理由．。

高考零距离突破数学-14

第十四章排列、组合和二项式定理思维导图透析经典的大讲堂复习指导自我精准定位本章从内容到方法都是比较独特的，是进一步学习概率论和组合数学所必备的基础知识.从考试要求看，该部分主要考查：一是加法原理与乘法原理，二是排列与组合的概念和应用，三是考查二项展开式、通项公式以及二项式系数的性质、赋值法求系数的和，四是组合数性质的应用.近几年考查题型都以填空题的形式出现，且延续了常规基础的特点，方法近乎模式化，但正是因为涉及丰富多样的数学解题方法，在复习中更要注重基础知识和基本技能的掌握.对于本章复习，要注意以下四点：1.充分理解加法原理与乘法原理两个概念，它是学习排列、组合、二项式定理和计算事件的概率的预备知识.在对应用题的考查中，经常要运用两个原理对问题进行分类或分步分析求解.灵活利用这两个原理对问题进行分类或分步往往是解应用题的关键.2.排列、组合也是本章的两个主要概念，定义中从n 个不同元素中任取()M M n ≤个元素“按一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序组成一组”是有本质区别的.只有全面、正确把握，才能正确区分是排列问题，还是组合问题.具体解决手段是取出2个元素交换看结果是否有变化.掌握排列与组合要以实际问题为载体，复习时多理解和总结各种题型和方法，解题时加强数形结合、转化与化归、分类讨论等思想方法的渗透.3.对于二项式定理，首先要掌握二项展开式与通项公式，其次会求解二项展开式中的指定项，再次能区分二项式系数与某一项的系数，并会求解相关问题，根据题目要求求解出二项式系数和或系数和（赋值法），最后要对二项式系数的性质（组合数性质）有所了解.虽然公式一般都能记住，但与之相关的概念如二项式系数、系数、常数项、项数等，容易混淆，须在平常加以对比分析，对通项公式重点训练.公式应用上要注意：①它表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项随之确定；②公式表示的是第1r +项；③公式中,a b 的位置不能颠倒，它们的指数和为n ；④r 的取值从0到n ，共1n +个.4.本章内容方法独特灵活，有助于培养学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养.二项式定理的推导依赖于组合数的性质，在诸如证明整除性问题、幂的近似计算方面的应用，不能忽略.第53讲加法原理和乘法原理回归教材理清脉络的解牛刀知识梳理1.加法原理做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种方法，那么完成这件事共有12N m m =+++n m （种）不同的方法.2.乘法原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种方法，做第二步有2m 种方法，……，做第n 步有n m 种方法，那么完成这件事共有12n N m m m =⋅⋅（种）不同的方法.3.加法原理与乘法原理的区别加法原理和乘法原理，回答的都是有关做一件事的不同的方法计数的问题.区别在于：加法原理针对分类的问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事情；乘法原理针对分步的问题，各个步骤的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事. 基础自测1.张叔叔要从上海到杭州去开会，现在知道每天从上海到杭州有3趟不同的火车，5趟不同的汽车，还有2班不同的飞机.那么，张叔叔在一天中从上海去杭州共有种不同的去法.2.书架上有4本故事书、7本科普书，小华从书架上任取一本故事书和一本科普书，一共有种不同的取法.3.[改编题]高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（）A.16种B.18种C.37种D.48种4.[改编题]设某班有男生30人，女生24人，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法种数是（）A.360种B.480种C.720种D.240种5.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观且路线不重复，则不同的参观路线种数共有（）A.6种B.8种C.36种D.48种考点突破释难答疑的金钥匙考点加法与乘法原理重点阐述加法原理和乘法原理是理解排列与组合的概念、推导排列数公式与组合数公式、分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据.难点释疑应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”:n 类办法，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事，用分类计数原理（即加法原理）；如果完成一件事情需要分几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，用分步计数原理（即乘法原理）.在应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性与等效性；应用乘法原理时，要注意“步”与“步”之间的连续性.例1 如图，在44⨯的方格图中，共有多少个正方形？【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/加法与乘法原理；分类讨论思想.【试题分析】设方格的边长为1，则在横线与纵线上，长为1的线段各有4条；长为2的线段各有3条，长为3的线段各有2条，长为4的线段各有1条.我们可以按照正方形边长进行分类，然后根据加法原理求和.边长为1的正方形有4416⨯=（个），边长为2的正方形有339⨯=（个），边长为3的正方形有224⨯=（个），边长为4的正方形有111⨯=（个），1694130+++=（个），∴共有30个正方形.变式训练把一个正方体的表面用黑、白两色来涂，每面有且只有一种颜色，共有多少种不同的涂法？例2 在平面直角坐标系内，点(),P x y 的横、纵坐标均在{}0,1,2,3内取值.（1）不同的P 点共有多少个？（2）在坐标轴上的P 点共有多少个？（3）不在坐标轴上的P 点共有多少个？【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/加法与乘法原理；分类讨论思想.【试题分析】（1）确定点P 坐标必须分两步，即分步完成横坐标与纵坐标的确定：第一步确定横坐标，有4种方法，即从0,1,2,3四个数字中选一个；第二步确定纵坐标，也可从0,1,2,3四个数字中选一个，也有4种方法.根据乘法原理，所有不同的P 点个数为4416N =⨯=（个）.（2）因为坐标轴分横轴及纵轴，所以首先对点P 分类讨论.注意到原点的特殊性，应分三类：第一类，点P 横、纵坐标均为0，只有一种情况()0,0P ；第二类，点P 横坐标为0，纵坐标不为0，纵坐标只能从1,2,3三个数中取，共有3种情况；第三类，点P 纵坐标为0，横坐标不为0，同第二类,也有3种情况.根据加法原理，满足条件的点P 共有：1337N =++=（个）.（3）方法一：直接法.分两步分别确定横坐标与纵坐标，它们只能从1,2,3三个数字中取，各有3种情况，根据乘法原理得339N =⨯=.方法二：间接法.根据是否在坐标轴上分成两类讨论：第一类，点.P 在坐标轴上，由（2）知，共有7个；第二类，点P 不在坐标轴上，设为x 个.则x +716,9x =∴=.变式训练如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9例3 现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/加法与乘法原理；分类讨论思想.【试题分析】（1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.∴共有不同的选法7891034N =+++=（种）；（2）分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.∴共有不同的选法789105040N =⨯⨯⨯=（种）；（3）分六类，每类又分两步.从一、二班学生中各选1人，有78⨯种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79⨯种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710⨯种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89⨯种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810⨯种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910⨯种不同的选法.∴共有不同的选法787971089810910431N =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（种）.变式训练六年级有4名大队委员，五年级有3名大队委员，四年级有2名大队委员.（1）从三个年级的大队委员中任选1人为大队长，共有多少种不同的选法？（2）从个年级的大队委员中各选出一名组成值日小组，共有多少种不同的选法？解决弱项查漏补缺的聚焦筒弱项清单加法原理和乘法原理混淆不清，弄不清是“分步”还是“分类”.诊断与改进体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（）A.14种B.7种C.24种D.49种【参考答案】D【试题分析】本题考查加法与乘法原理，能力层级为C ：掌握.在本题中，已知“体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练习跑步”，求“该学生进出门的方案种数”.由加法原理，得学生进门有437+=种选择，同样的，出门也有7种选择.由乘法原理，得该学生进出门的方案共有7749⨯=种.故选D.【答题分析】本题难度简单，学生掌握加法与乘法原理即可求解.A 选项.学生认为进门有7种方案，出门有7种方案，根据加法原理，得进出门的方案有14种，选A 错误的原因是学生混淆乘法原理与加法原理，乘法原理为分步乘法原理，加法原理为分类加法原理，本题中问题分两步，第一步进门，第二步出门，应该用乘法原理，不能用加法原理，14种方案中每一种方案（比如从7个门中的某个门进门）不能完成事件.B 选项，学生认为南侧有4个大门，北侧有3个大门，故有7个门，进而选B.选B 错误的原因是学生没有审清题意，题目要求求出进出门的方案总数，而非体育场有多少门.C 选项，学生认为方案类型一从南侧的4个大门进，从北侧的3个大门出，12种方案，类型二，从北侧的3个大门进，从南侧的4个大门出，也是12种方案，运用加法原理得，共24种方案.选C 错误的原因是考虑不周全，其实也可以从南侧的4个大门进，再从南侧的4个大门出；从北侧的3个大门进，从北侧的3个大门出.课堂训练学以致用的训练营1.有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有种不同的报名方法.2.一辆单向行驶的汽车，满载为25人，全程共设14个车站，途中每个车站均可上下乘客，由不同的起点到达不同的终点的乘客应购买不同的车票，在一次单程行驶中，车上最多卖出不同的车票的种数是种.3.已知集合{}1,2,3,4M =，集合,A B 为集合M 的非空子集，若对x A ∀∈，,y B x y ∈<恒成立，称（,)A B 为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有个.4.如图，矩形的对角线把矩形分成,,,A B C D 四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有种不同的涂色方法.5.一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为,,x y z ，当且仅当y x >且y z >时，称这样的数为“凸数”（如341），则从集合{}1,2,3,4,5中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数是个.课堂小结知识归纳总结 1.在解决具体问题时，必须注意适用“分步”还是“分类”，同时要注意分步、分类不能重复和遗漏.2.运用乘法原理分步时，首先要根据问题的特点确定一个分步的标准.分步时要满足一个基本要求：完成一件事必须连续完成这n 个步骤后，这件事才算完成.3.运用加法原理分类时，也要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类.分类时还要满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的办法，即各种方法既不重复、又不遗漏.4.重视数学思维的训练，注重数学思想的应用，在解题过程中注重转化与化归思想的应用，将不同背景的问题归结为同一个数学模型求解；注重数形结合、分类讨论思想、整体思想等，使问题化难为易.5.本讲涉及的数学思想主要是分类讨论.在运用加法原理时，常常会先分类再计算，如例1、例2、例3的解题过程都运用了分类讨论的数学思想.第54讲排列与组合回归教材理清脉络的解牛刀知识梳理1.排列数与组合数的区别与联系排列数与组合数都是计算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列（既取又排）个数的公式，组合数是研究组合（只取不排）个数的公式，是否有序是它们之间的本质区别.（1）排列数公式：()()()()!P 121!m n n n n n n m n m ⎡⎤=----=⎣⎦-；当m n =时，()P 121m nn n n =-⋅⋅⋅=!，其中*,,m n m n ∈≤N ；规定0!1=. （2）组合数公式：()()()()121P !C !!!P m m nn m m n n n n m n m m n m ⎡⎤----⎣⎦===-. 2.排列数与组合数的性质（1）排列数性质：11111P ,P 1,P !,P P n m m n n n n n n n --====.（2）组合数性质：10011C C ,C C C ,C 1,C 1,C 1m n m m m m n n n n n n n n --+=+====.基础自测1.[改编题]若255C C x =，则x = .2.若排列数7P 7654m =⨯⨯⨯，则m =. 3.[改编题]在一次活动中，从十位同学中选出四位同学排成一排，则不同排法的种数是（结果用数字作答）.4.[改编题]从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（结果用数字作答）.5.[改编题]用0到9这10个数字组成没有重复数字的三位偶数和三位奇数，则这样的偶数与奇数的总个数为（）A.324B.328C.360D.648考点突破释难答疑的金钥匙考点排列与组合重点阐述理解排列与组合的概念，理解排列数公式、组合数公式，能利用公式解决一些简单的实际问题.难点释疑1.解决排列类应用题的主要方法（1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；（2）特殊元素（或位置）优先安排的方法：即先排特殊元素或特殊位置；（3）捆绑法：即相邻问题捆绑处理的办法，也就是把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；（4）插空法：即不相邻问题插空处理的办法，排列时先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；（5）分排问题直接处理的方法；（6）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；（7）定序问题除法处理的办法：即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列.2.组合问题的常见题型（1）“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.（2）“至少”与“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.例1 [2017年上海高考]若排列数6P 654m =⨯⨯，则m = .【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/排列数公式.【试题分析】6P 654,m =⨯⨯∴根据排列数公式可得3m =.变式训练解下列方程：（1）4321P 140P x x +=；（2）21222C C C 0.6y y y x x x +++++==.例2 由数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的数：（1）能组成多少个三位数？（2）能组成多少个正整数？（3）能组成多少个四位奇数？【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/排列.【试题分析】（1）百位数字不能是0,∴百位数字的选法有16P 种，十位和个位上的数字的选法有26P 种，∴共可组成1266P P 180⋅=（个）三位数. （2）组成的正整数可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位、七位数，∴共可组成111666P P P +⋅+12131415166666666666P P P P P P P P P P 11742⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=（个）正整数. （3）个位数字只能是1,3,5，千位数字不能是0，∴先考虑个位数字，有13P 种不同的选法，再考虑千位数字有15P 种不同的选法，其余两个位置有25P 种不同的选法，∴能组成1135P P ⋅⋅25P 300=（个）四位奇数.变式训练用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为 .例3 六人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲不站左端，乙不站右端.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/排列问题.【试题分析】（1）方法一：（特殊元素优先策略）要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有14P 种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有55P 种站法，根据乘法原理，共有站法1545P P 480=（种）；方法二：（特殊位置优先策略）由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有25P 种站法，然后中间4人有44P 种站法，根据乘法原理，共有站法2454P P 480=（种）.方法三：（正难则反总体淘汰策略）若对甲没有限制条件共有66P 种站法，甲在两端共有552P 种站法，从总数中减去不符合条件的排列数，即共有站法6565P 2P 480-=（种）. （2）方法一：（相邻元素捆绑策略）先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有55P 种站法，再把甲、乙进行全排列，有22P 种站法，根据乘法原理，共有5252P P 240=（种）站法.方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有44P 种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有15P 种方法，最后让甲、乙全排列，有22P 种方法，共有412452P P P 240=（种）.（3）方法一：（不相邻问题插空策略）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有44P 种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有25P 种站法，故共有站法为4245P P 480=（种）. 方法二：（间接法）6个人全排列有66P 种站法，由（2）知甲、乙相邻有5252P P 240=（种）站法，∴不相邻的站法有652652P P P 720240480-=-=（种）. （4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有44P 种，然后将甲、乙按条件插入站队，有223P 种，故共有24243P P 144=（种）站法. 方法二：（小集团问题先整体后局部策略）先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有24P 种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有33P 种方法，最后对甲、乙进行排列，有22P 种方法，故共有232432P P P 144=（种）站法. （5）方法一：甲在左端的站法有55P 种，乙在右端的站法有55P 种，且甲在左端而乙在右端的站法有44P 种，共有654654P 2P P 504-+=（种）站法. 方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有55P 种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有114444P P P 种，故共有51145444P P P P 504+=（种）站法. 变式训练某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.168例4 [2020年上海高考]从6个人挑选4个人去值班，每人最多值一天，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，问共有种排法.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/排列与组合.【试题分析】第一天有16C 种选法，第二天有15C 种选法，第三天有24C 种选法，∴共有112654C C C =180（种）排法.变式训练将,,,A B C D 四个球放人编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球，且,A B 两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（）A.30种B.36种C.60种D.66种例5 如图，使电路接通，开关不同的开闭方式有种.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/组合与加法原理.【试题分析】当第一组开关有一个接通时，电路接通为()11232333C C C C 14⨯++=（种）方式；当第一组有两个接通时，电路接通有()21232333C C C C 7⨯++=（种）方式，∴共有14721+=（种）方式.变式训练若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中至多有1门相同的选法种数为.解决弱项查漏补缺的聚焦筒弱项清单解与组合数有关的方程，没有考虑未知数本身的范围. 诊断与改进已知567117C C 10C m m m -=，求实数m 的值. 【参考答案】2【试题分析】本题考查组合数公式，能力层级为C ：掌握.在本题中，已知“567117C C 10C m m m -=”，求“实数m 的值”. 由已知得m 的取值范围为{}05,mm m ≤≤∈Z ∣，由()()!5!!6!5!6!m m m m ---=()77!!107!m m ⨯-⨯，整理可得223420m m -+=，解得21m =（舍去）或2,2m m =∴=.【答题分析】本题难度简单，学生掌握组合式公式即可求解.学生出现错误的主要原因有：①未掌握组合式公式；②忽略组合式公式中的隐含条件，错得两个值；③计算错误等.课堂训练学以致用的训练营1.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为.2.有,,,,A B C D E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.,A B 两位学生去问成绩，老师对A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为.3.将10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法有种（用数字作答）.4.[2022年杨浦一模]某市高考新政规定每位学生在物理、化学、生物、历史、政治、地理中选择三门作为等级考试科目，则甲、乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有种（用数字作答）.5.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（）A.18个B.15个C.12个D.9个课堂小结知识归纳总结 1.排列与组合.排列：指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序.组合：指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序.排列与组合最大的区别是是否有序.2.排列、组合问题的求解方法与技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题排除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反，等价条件.3.解题注意点及思想方法：①分类标准要明确，做到不重复不遗漏. ②混合问题一般是先分类再分步.③要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律. ④转化与化归、分类讨论思想是本节重要的思想方法.第55讲排列与组合应用题回归教材理清脉络的解牛刀知识梳理处理排列组合应用题的规律：（1）两种思路：直接法、间接法. （2）两种途径：元素分析法、位置分析法.（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列.弄清要完成什么样的事件是前提.（4）解题方法：捆绑法、插空法、错位法、分组分配法、均匀分组法、逆向思考法等. 基础自测1.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有个.2. 7把椅子摆成一排，4人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（） A.144B.120C.72D.243.[改编题]将4个不同的小球放人3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（） A.43种B.34种C.18种D.36种4.[改编题]从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表的选法共有（）A.47种B.48种C.49种D.50种5.五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（）A.1444C C 种B.1444C P 种C.44C 种D.44P 种考点突破释难答疑的金钥匙考点排列应用与组合应用重点阐述解排列应用题的基本思想如下：解简单的排列应用题首先必须认真分析理解题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序.如果是的话，再进一步分析，这里n 个不同的元素指的是什么，以及从n 个不同的元素中任选m 个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解. 难点释疑1.解答排列组合应用题的总体思路（1）整体分类；（2）局部分类；（3）辩证地看待元素的位置；（4）一些具体问题有时需要把它抽象成组合模型. 2.几何中的组合应用题（1）解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析、解决问题，其次要从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，往往寻找一个组合的模型加以处理.（2）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用排除法.（3）在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决. 例1 7位同学站成一排.（1）甲、乙和丙三名同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合和二项式定理/排列应用与组合应用. 【试题分析】（1）第一步将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为55P 种；第二步“释放”大元素，即甲、乙和丙在“捆绑”成的大元素内的排法有33P 种．∴共5353P P 720⋅=（种）．（2）第一步先排除甲、乙和丙之外4人共44P 种方法；第二步甲、乙和丙三人排在4人排好后产生的5个空档中的任何3个都符合要求，排法有35P 种.∴共有4345P P 1440⋅=（种）. 变式训练。

2023年上海市高考数学考前信息必刷卷(四)(PDF版)

绝密★启用前2023年高考数学考前信息必刷卷04上海专用上海地区考试题型按往年惯例为12（填空题）+4（单选题）+5（解答题），导数和统计学中的随机变量分布、成对数据的统计分析是新教材新增加的内容。

原来的重难点考查内容，学生能力的方向变化不大；新高考特色：导数及其应用的解题机动性、灵活性，空间向量的解题多样性，抽象复杂的问题增添了不少数学思维灵活多样，贴近生活的气息。

1.解答题的实际应用题可能改为随机变量分布列（或是统计与概率的综合）的实际应用题；2.导数在解答题中的应用会加入：可能出现的组合是：Ⅰ、函数、三角函数、解三角形（17-18题中一题）+单独导数的综合应用（或导数与函数的综合应用）第21题；Ⅱ、导数及其应用（17-19题中一题）+原来的考查模式、方向(第21题)2023年高考数学考前信息必刷卷04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()1,2，则z 的共轭复数z =______.2．若向量(1,1)a =-r，2b =，且()a b a -⊥，则a 与b 的夹角大小是__________.3．函数()f x =的定义域为___________.4．某种食盐的袋装质量X 服从正态分布()400,16N ，随机抽取10000袋，则袋装质量在区间()396,408的约有______袋．（质量单位：g ）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=．5．已知ππ,sin 2cos cos 122βαβααβ-<-<+-=，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.6．()6112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为______.7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，b =且222s i n s i n s i n s i n s i n A C A C B ++=，BAC∠的平分线交BC 于D ．当ABC 的面积最大时，AD 的长为______．8．有穷数列{}n a 共有k 项，满足127a =，2737a =，且当*n ∈N ，3n k ≤≤时，211n n n n a a a ---=-，则项数k 的最大值为______________．9．已知三棱锥-P ABC 的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则PABPACPBCS SS++的最大值为____________．10．已知1F ，2F 是双曲线Γ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，点M 是双曲线Γ上的任意一点（不是顶点），过1F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，线段1F N 的延长线交2MF 于点Q ，O 是坐标原点，若126F F ON =，则双曲线Γ的渐近线方程为______11．设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线cos y x =上存在点()00,x y 使()()00f f y y =成立，则a 的取值范围是______．12．已知函数20()log ()0a x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩（a R ∈且a 为常数）和()g x k =（R k ∈且k 为常数），有以下命题:①当0k <时，函数()()()F x f x g x =-没有零点；②当0x <时，若2()()()h x f x b f x c =+⋅+恰有3个不同的零点123,,x x x ，则1231x x x ⋅⋅=-；③对任意的0k >，总存在实数a ，使得()()()F x f x g x =-有4个不同的零点1234x x x x <<<，且1243||,||,||,||x x x x 成等比数列.其中的真命题是_____（写出所有真命题的序号）二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．已知直线1:20l x ay +-=，2:(1)10+-+=l a x ay ，则2a =-是12l l ∥的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知两组数据12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 的中位数､方差均相同，则两组数据合并为一组数据后，（）A ．中位数一定不变，方差可能变大B ．中位数一定不变，方差可能变小C ．中位数可能改变，方差可能变大D ．中位数可能改变，方差可能变小15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,E F （E 在F 的左边），且EF 下列说法错误的是（）A ．当,E F 运动时，不存在点,E F 使得AE CF ⊥B ．当,E F 运动时，不存在点,E F 使得AE BF ∥C ．当E 运动时，二面角E AB C --的最大值为45︒D ．当,EF 运动时，二面角A EF B --为定值16．已知点集{}(,2Q x y xy =≥，且P Q ∈，则下列说法正确的个数为（） ①区域Q 为轴对称图形； ②区域Q 的面积大于32；③M 是直线12y x =-||PM ≥A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分. 17．如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点.(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正切值. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.如图，已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222sin sin sin sin sin A C B A B C +-=⋅．(1)求B ；(2)若2223a c c b ++=，152BA BC ⋅=-，点D 在边AC 上，且BD 在BC 和BA 上的投影向量的模相等，求线段BD 的长．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如表：(1)根据所给数据，完成下面22⨯列联表，并据此判断：能否有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀､良好或及格则体质达标，否则不达标）其中()222(), 3.8410.05()()()()n ad bc P a b c d a c b d χχ-=≥≈++++； (2)体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男､女生体质测试成绩优良的频率视为该市男､女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取1名男生，1名女生，设所选2人中体质测试成绩优良人数为X ，求X 的分布列，数学期望与方差.20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分6分.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间）. （i ）当PAB 面积最大时，求2l 的方程；（ii ）求证：PA MB PB MA =，并判断12,l l ，,PA PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分. 考虑下面两个定义域为（0，+∞）的函数f （x ）的集合：()1Ω{|f x =对任何不同的两个正数12x x 、，都有()()2112120}x f x x f x x x --＞，2Ω=(){|f x 对任何不同的两个正数12x x 、，都有()()222112120}x f x x f x x x --＞（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()Ωf x ∈，且2()Ωf x ∉，求实数a 和b 的取值范围（2）已知0a b c <<<，1()Ωf x ∈且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和,()0x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由绝密★启用前2023年高考数学考前信息必刷卷04上海专用一、填空题 1．【答案】12i - 2．【答案】π43．【答案】()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭4．【答案】81865．【答案】6．【答案】172-7．8．【答案】200 9．【答案】810．【答案】y =± 11．【答案】(],0-∞． 12．【答案】② 二、单选题 13．【答案】A 14．【答案】A 15．【答案】C 16．【答案】C 三、解答题 17．【答案】(1)证明见解析； (2)2.为坐标原点，DA 的方向为轴正方向，DC 的方向为为CD 的中点)(2,2,0,0,2,0C ()()(2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设(),,n x y z =00n AM n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，可取()1,0,2n =又DA 是平面2,25n DA n DA n DA⋅==[0π,,n DA ∈2,5n DA =,2n DA =，，又由BD在BC和BA上的投影向量的模相等，知，再在ABC和ABD△中应用正弦定理求解即可．3sin sinA∵152 BA BC⋅=-∵BD在BC和BA上的投影向量的模相等，BD为ABC∠的平分线，在ABC中，由正弦定理可得ABD△中，所以没有95%的把握认为该市学生体质达标与性别有关. （2）由题意男生体质测试优良率114P =，女生体质测试优良率213P =. X 的所有可能取值为0,1,2.()()()321123151110,1,24324343124312P X P X P X ==⨯===⨯+⨯===⨯=所以X 的分布列为()15170122121212E X =⨯+⨯+⨯=，()2227175715901212212121212144D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20．2求出12,PF PF 的坐标，根据121PF PF ⋅=-，求出12PABS =|PB 则(1PF c =-，(2PF c =-212PF PF c ⋅=-又()2,1PS=PAB21．。

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