数学人教A版必修一优化课件：第一章 1.2 1.2.2 第2课时 分段函数及映射

当 a<0 时，1－a>1,1＋a<1， 这时 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.
由 f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得 a＝－34. 综上可知，a 的值为－34. [答案] －34
求某条件下自变量的值的方法： 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记 代入检验．
[解析] (1)由于 A 中元素 3 在对应关系 f 作用下其与 3 的差的绝对值为 0，而 0∉ B，故不是映射． (2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合 A 中任何一个元素在集合 B 中有无数 个元素与之对应，故不是映射． (3)对 A 中任何一个元素，按照对应关系 f，在 B 中都有唯一一个元素与之对应， 符合映射定义，是映射． (4)是映射，因为 A 中每一个元素在 f：x→y＝12x 作用下对应的元素构成的集合 C ＝{y|0≤y≤1}⊆B，符合映射定义．
Hale Waihona Puke 判断一个对应是否为映射，依据是映射的定义，判断方法为：先看集合 A 中每一 个元素在集合 B 中是否均有对应元素．若没有，则不是映射；若有，再看对应元 素是否唯一，若唯一，则是映射，若不唯一，则不是映射．
4．下列对应是不是从 A 到 B 的映射，为什么？ (1)A＝R＋，B＝R，对应法则是“求平方根”； (2)A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤1}，对应法则是“平方除以 4”； (3)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤1}，对应法则是 f：x→y＝(x－2)2，其中 x∈A， y∈B； (4)A＝{x|0°≤x≤180°}，B＝{y|0≤y≤1}，对应法则是“求正弦”．
2x， x≥1， 故 f(x)＝2， －1<x<1，
－2x， x≤－1，
(2)函数 f(x)的图象如图： (3)由函数图象可以得知函数的值域为[2，＋∞)．
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符 号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义 域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点 处点的虚实，保证不重不漏．
求分段函数的函数值的方法： 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当 出现 f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值，直到求出值为止．
1．已知函数 f(x)＝x－＋x1＋，3x，≤x>1 ，则 f(f(2))＝________. 解析：∵2>1，∴f(2)＝－2＋3＝1，∴f(f(2))＝f(1)；而 1≤1，∴f(1)＝1＋1＝2. 答案：2
[解析] (1)当 x≥1 时，|x－1|＝x－1，|x＋1|＝x＋1，故 f(x)＝(x－1)＋(x＋1)＝2x； 当－1＜x＜1 时，|x－1|＝1－x，|x＋1|＝x＋1，故 f(x)＝(1－x)＋(x＋1)＝2； 当 x≤－1 时，|x－1|＝1－x，|x＋1|＝(－x－1)， 故 f(x)＝(1－x)＋(－x－1)＝－2x；
2．设函数 f(x)＝－ x2，x，x＞x≤0，0，
若 f(a)＝4，则实数 a＝________.
解析：当 a≤0 时，f(a)＝－a＝4 得 a＝－4， 当 a＞0 时，f(a)＝a2＝4，得 a＝2，
综上 a＝－4 或 a＝2.
答案：－4 或 2
探究二 分段函数的图象及简单应用 [典例 3] 已知 f(x)＝|x－1|＋|x＋1|. (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
求 f(－5)，f(－ 3)，f(f(－52))
的值．
[解析] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)， －52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3. ∵f －52＝－52＋1＝－32，且－2＜－32＜2， ∴f [f －52]＝f －32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.
C．(1,2)
D．(－1,3)
答案：C
3．函数 f(x)＝|x－2|的图象为( )
答案：B
x2＋1，x≤1，
4．设函数 f(x)＝2x，x>1，
则 f(f(3))＝( )
1 A.5
B．3
2 C.3
13 D. 9
答案：D
探究一 分段函数求值问题
[典例 1]
已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
探究三 映射的概念 [典例 4] 判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射： (1)A＝N＋，B＝N＋，对应关系 f：x→|x－3|； (2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系 f“作圆的内接矩形”； (3)A＝{高一一班的男生}，B＝{男生的身高}，对应关系 f：每个男生对应自己的 身高； (4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系 f：x→y＝12x.
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
第 2 课时 分段函数及映射
考纲定位
重难突破
1.了解映射的概念． 2．了解简单的分段函数 ，并会简单应用.
重点：简单的分段函数及简单应 用． 难点：映射概念及它与函数的联系 .
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理] 一、分段函数 如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围，有着不同的 对应关系 ，则称这样的函数为分段函数． 二、映射 设 A、B 是两个 非空 的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 任意一个 元素 x，在集合 B 中都有 唯一确定 的元素 y 与之对应，那么就 称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射．
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
[双基自测]
1．已知函数 f(x)＝x＋x，1，x≥x＜0，0， 则 f(1)等于(
)
A．0
B．1
C. 2
D．2
答案：B
2．映射 f：A→B，在 f 作用下 A 中元素(x，y)与 B 中元素(x－1,3－y)对应，则与
B 中元素(0,1)对应的 A 中元素是( )
A．(－1,2)
B．(0,3)
确定正数关系式时忽略定义域而致误 [典例] 某农户计划建一矩形羊圈，现有可作为围墙的材料总长度为 100 米，求 羊圈的面积 S 与一边长 x 的函数关系式．
[错解] 设羊圈的一边长为 x 米， 则另一边长为(50－x)米， 由题意，得 S＝x(50－x)， 故函数关系式为 S＝x(50－x)．
[正解] 设羊圈的一边长为 x 米， 则另一边长为(50－x)米， 由题意，得 S＝x(50－x)， 因为当自变量 x 取非正数或不小于 50 的数时，S 的值是 0 或负数，即羊圈的面积 为 0 或负数，这不符合实际情况，所以自变量 x 的取值范围为 0＜x＜50. 故函数关系式为 S＝x(50－x)(0＜x＜50)．
③f(x)＝2xx2，＋x3≤，11.≤x≤5，
④f(x)＝xx2－＋13，，xx≥<05，.
A．①②
B．①④
C．②④
D．③④
解析： 符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同
①√ 的对应关系．
② × 当 x＝2 时，f(2)＝3 或 4，故不是函数． ③ × 当 x＝1 时，f(1)＝5 或 1，故不是函数．
3．已知 f(x)＝1x，2，x－＞11≤或xx≤＜1－，1， (1)画出 f(x)的图象； (2)求 f(x)的定义域和值域．
解析：(1)利用描点法，作出 f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知， 函数 f(x)的定义域为 R. 由图象知，当－1≤x≤1 时，f(x)＝x2 的值域为[0,1]， 当 x＞1 或 x＜－1 时，f(x)＝1， 所以 f(x)的值域为[0,1]．
解析：(2)(4)是从 A 到 B 的映射，因为对于集合 A 中的任何一个元素，按照对应 法则，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应． (1)不是从 A 到 B 的映射．因为 A 中的元素 1 在 B 中有－1 和 1 两个元素与之对 应；(3)不是从 A 到 B 的映射，因为 A 中的元素 0 在 B 中没有元素与之对应．
[易错警示]
错误原因
纠错心得
在确定函数的关系式时，必 错解中求出函数关