第6章 窄带随机信号

∫ I
0 (x )
=
1 2π
2π exp(x cos θ)dθ
0
在低信噪比 r = a / σ 情况下，包络近似为瑞利分布；在高信噪比情况下，包络近似为高
斯分布。
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《随机信号分析基础》第六章：窄带随机信号分析
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fAt (a t ) ≈
at σ2Leabharlann exp⎜⎜⎝⎛⎜−
a
2 t
2σ 2
⎟⎟⎠⎟⎟⎞
=
2π 0
at 2πσ 2
exp
⎛ ⎜
−
⎝
at2 2σ 2
⎞⎟dϕt ⎠
=
at σ2
exp
⎛ ⎜
−
⎝
at2 2σ 2
⎞ ⎟ ⎠
at ≥ 0
∫ fΦt
(ϕt
)
=
+∞ 0
at 2πσ 2
exp
⎛ ⎜
−
⎝
at2 2σ 2
⎞ ⎟ dat ⎠
=
−
1 2π
exp
⎛ ⎜
−
⎝
at2 2σ 2
⎞ ⎟ ⎠
+∞ 0
=
1 2π
令 ω0t
=
2kπ
+
0
：
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
RX RAc
(τ )
(t,
= RAc
t +τ )
(t,t +τ ) cosω0τ = RAc (τ )
− RAcAs (t, t +τ ) sin ω0τ ( ) ( RAcAs t, t +τ = RAcAs τ
)
(I)
令 ωct
=
2kπ
+
π 2
：
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
G
X
(ω) Δω
x k (t)
a k (t)
−ω 0 0
0 ω0 ω
t cos[ω 0t + ϕk (t)]
(a)窄带随机信号的功率谱密度
(b)窄带随机信号的样本函数波形
图 6.1 窄带随机信号
6.1.2 窄带随机信号的数学模型与表示
1.窄带随机信号的数学模型
随机信号 X(t) 的样本函数可写成：
xk (t ) = ak (t ) cos ⎡⎣ω0t + ϕk ( t )⎤⎦ ξk ∈ Ω (k = 1, 2, )
【说明】书上证明采用希尔伯特变换进行了严密的推导，我们这里使用了特殊的方法来验证
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结论，不够严密，但不失正确性和一般性。
1． Ac (t) 、 As (t) 的统计特性分析
⑴ 均值
∵ E ⎡⎣ X (t )⎤⎦ = E ⎡⎣ Ac (t )⎤⎦ cosω0t − E ⎡⎣ As (t )⎤⎦ sin ω0t = 0 在任意时间t均成立∴ E[X (t)] = E ⎡⎣ Ac (t )⎤⎦ = E ⎡⎣ As (t )⎤⎦ = 0
e 2σ 2 ⋅
2π σ
1
− (ast −0)2
e 2σ 2 =
1
− ac2t +as2t
e 2σ 2
2π σ
2πσ 2
【结论 1】零均值窄带平稳高斯随机信号 X (t) ，其同相分量 Ac (t) 和正交分量 As (t) 同样
是平稳高斯过程，均值为 0，方差也相同(σ 2 )。且同一时刻的 Ac (t) , As (t) 互不相关或者
Φ
(
t
)
=
arctan
⎡ ⎢ ⎣
As Ac
( (
t t
) )
⎤ ⎥ ⎦
同相分量 Ac(t) 、正交分量 As (t) 与包络 A(t) 、相位 Φ(t) 之间的关系如图 6.2 所示。
As (t)
A(t)
0
φ(t)
Ac (t )
图 6.2 窄带随机信号两种表示方法的关系
6.1.3 窄带随机信号统计特性分析 主要讨论 Ac (t ) , As (t ) 的统计特性及它们与随机信号 X (t ) 之间的统计关系。
sin ϕt at cosϕt
= at
( ) ( ) ∴ fAtΦt
at ,ϕt
= f Act Ast
act , ast
|
J
|=
at 2πσ
2
⎛ exp ⎜⎜⎝ −
2
at 2σ 2
⎞ ⎟⎟⎠
由边缘概率的运算求得:
at ≥ 0 0 ≤ ϕt ≤ 2π
∫ ∫ fAt
( at
)
=
+∞ −∞
f
(at ,ϕt )dϕt
且因为 X (t) 是高斯随机信号，所以 Ac (t1) 、 As (t2 ) 也是高斯随机变量；
所以 Ac (t) 、 As (t) 为高斯随机信号，且同一时刻互不相关或者统计独立。
( ) ( ) ( ) f Act A st act , ast = f Ac act f As ast =
1
− (act −0)2
间函数，所以窄带随机信号可以看作振幅 A(t) 和相位 Φ(t) 作随机缓变的正弦波。
2．窄带随机信号的正交分解表示
X (t ) = A(t ) cos ⎣⎡ω0t + Φ ( t)⎤⎦ − − − −包络相位表达式 = A(t ) cosΦ (t ) cosω0t − A(t )sinΦ (t )sinω0t = Ac (t ) cosω0t − As (t ) sinω0t − − −同相正交分量表达式
是相互独立或相互正交。
2． A(t)、Φ(t) 的统计特性分析
由于 Ac (t ) = A(t ) cos Φ (t ), As (t ) = A(t )sin Φ (t )
∂act 雅可比行列式：J = ∂at
∂act ∂ϕt
∂ast ∂at = cosϕt ∂ast −at sin ϕt ∂ϕt
而所有样本函数的总体---窄带随机信号 X (t) ，则可写成：
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X (t ) = A(t ) cos ⎡⎣ω0t + Φ (t )⎤⎦ 上式就是窄带随机信号常用的数学模型。由于 ak (t ) ，ϕk ( t ) 相对 cosω0t 来说是慢变化的时
【结论 2】零均值窄带高斯平稳随机信号 X (t) ，其包络 A(t) 的一维分布服从瑞利分布，
相位 Φ(t) 的一维分布服从均匀分布，且同一时刻的 A(t), Φ(t) 统计独立。
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图6.3瑞利分布概率密度函数
6.2 随相余弦波加窄带高斯噪声之和的包络和相位的概率分布
余弦波(信号)+窄带高斯噪声
X (t) = s(t) + N (t) = a cos(ω t + θ) + N (t) 0
其中N (t)为零均值平稳高斯窄带噪声， θ 为在(0, 2π) 上均匀分布的随机相位。
N (t)可表示为 N (t) = Ac(t)cos ω0t − As (t)sin ω 0t
0 ≤ ϕt ≤ 2π
由 A(t), Φ(t) 的 概 率 密 度 函 数 得 ： 包 络 A(t) 服 从 瑞 利 分 布 （ rayleigh
distribution）如图 6.3 所示；随机相位 Φ(t) 服从 (0, 2π ) 的均匀分布；
∵ f AtΦt (at ,ϕt ) = f At (at ) ⋅ fΦt (ϕt ) ∴ 在同一时刻，A(t), Φ(t)相互独立。
RX RAs
(τ )
(t,
= RAs
t +τ )
(t,t +τ ) cosω0τ = RAs (τ )
+ RAs Ac (t, t +τ ) sin ω0τ ( ) ( RAs Ac t, t +τ = RAs Ac τ
)
( II )
∴即 Ac (t) 、 As (t) 也是广义平稳的。
⑶互相关函数 RX (τ ) = RAc (t, t +τ ) cosω0τ − RAcAs (t,t +τ ) sin ω0τ ( I )
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第六章 窄带随机信号（2课时）
在实际通信系统中所遇到的信号和系统多为窄带的，即信号带宽 Δω 远小于中心频率
ω 0 ， Δω ω0 当随机信号功率谱只分布在载波 ω 0 附近窄频带范围 Δω （ Δω ω0 ）
内，其余均为0，则该随机信号属窄带随机过程。
上式中， cosω0t ， sinω0t 都是确定函数。其中
Ac(t) = A(t) cos Φ(t) 同相分量(In-phase Component)
As(t) = A(t) sin Φ(t) 正交分量(Quadrature Component,书上称为几何“垂直”分量)
A(t ) = Ac2 (t ) + As2 (t )
具体见图 6.1 中 a 图所示。
3.窄带随机信号的产生
在雷达、通信等许多电子系统中，通常是用一个宽带随机信号来激励一个窄带滤波器。 此时在滤波器输出端得到的便是一个窄带随机信号。若用示波器来观察它的某次输出的波形 （某样本），可以看到，该样本函数接近于正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在作缓慢的 随机变化。典型窄带随机信号的功率谱密度及样本时域波形如图 6.1 所示。
RX (τ ) = RAs (t,t +τ ) cosω0τ + RAsAc (t,t +τ ) sin ω0τ ( II )