三角形的外接圆与内切圆半径的求法
探求三角形的外接圆半径及内切圆半径的求解
探求三角形的外接圆半径及内切圆半径的求解部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑探求三角形的外接圆半径我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。
一、特殊三角形 1.直角三角形例1．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径r.直径等于斜边。
解：∵AB＝13，BC ＝12，AC ＝5，∴AB2＝BC2＋AC2， ∴∠C＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径r 为6.5. 2.等腰三角形例2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC=10，BC ＝12，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题. 解：作直径AD 交BC 于点E ，交圆于点D ，连接BD.∴∠ABD=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D.∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB, ∴∠AEB=∠ABD=90°，∴BE=CE=6.∴AE=822=-BE AB .∵△ABE∽△ADB，∴AB AEAD AB =∴1881222===AE AB AD ,∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为9. 二、一般三角形 1.已知一角和它的对边 ⑴锐角三角形例3.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝10圆⊙O 的半径r.分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径AD ，连结BD.∴∠D＝∠C＝＝60°，∠DBA＝90°.∴AD＝Dsin AB＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为3310.⑵钝角三角形例4.在△ABC 中，AB ＝10，∠C＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.<用三角函数表示） 分析：方法同例3.解：作直径BD ，连结AD.则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°∴BD＝D sin AB＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为︒80sin 5.注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 2.已知两边夹一角例5．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：考虑求出AB ，然后转化为⑴的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE ＝21AC ＝1，BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7∴AD＝Dsin AB＝︒60sin 7＝2132∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为2131.3.已知三边例6.已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt△ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，利用相似三角形就可以求出直径解：作直径AD ，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C ∴△ADB∽△ACE，∴ABAEAD AC =设CE ＝x,∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2，∴132-x2＝152-(14-x>2 ∴x=5,即CE ＝5，∴AE＝12 ∴151213=AD ，∴AD＝465∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为865.4.已知两边及第三边上的高例7.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，AD⊥BC，且AD=5，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.p1EanqFDPw 分析：作出直径AE ，构造Rt△ABE，利用相似三角形就可以求出直径AE.解：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE＝90°. ∵∠E＝∠C，∠ABE＝∠ADC＝90°， ∴Rt△ABE∽Rt△ADC， ∴AC AEAD AB =，∴657AE =， ∴AE=542.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆的半径.另一种求法：AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证AB·AC＝AE·AD．即：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商．例1 如图1，已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆的半径．解由题意知三角形底边上的高为解从A作AM⊥BC于M，则AD2－MD2＝AM2＝AC2－(MD＋CD>2．即 52－MD2＝72－(MD＋3>2．得R＝14，则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．例3如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求①抛物线的顶点坐标；②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；③△ABC的外接圆的面积．解①A(2，－9>；②B(－1，0>； C(5， 0>．③从A作AM⊥x轴交于M点，则BM＝MC＝3．AM ＝9．∴R＝5△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π在锐角△ABC中，BC＝a、CA＝b、AB＝c，外接圆半径为R．因此，知道一个锐角和它的对边时，即可用此法求出三角形的外接圆半径，如：例4 如果正三角形的外接圆半径为6cm，那么这个正三角形的边长a＝______cm．解∵正三角形每一个内角为60°．例5 已知等腰三角形ABC的底边BC的长为120°，求它的外接圆的直径．(课本题>解由题意知：探求三角形的内切圆半径一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R，<如右图所示）则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(222-=-+=+ab c b a<余弦定理）而R bR b22cos ==α，R b R 4sin 22-=αR aR a22cos ==β，R a R 4sin 22-=β即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 44222222-⋅--⋅即有：222222222)4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=-+所以：)4)(4()(222222222a Rb R abc b a R ab --=-+-即有：2222242222422222)(416)(4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+-所以：])(4[222222ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：))()()((a c b b c a c b a c b a abcR -+-+-+++=而三角形面积：))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++=<海伦公式） 所以，有：S abcR 4=※ 另一求法，可用正弦定理，即：RA a2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=所以：22222222222)(4)2(12)(cos 12sin 2a c b c b abcbca cb aA aA a R -+-=-+-=-==二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，<如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+c z y b y x a z x ，解得2c b a x -+=显然：αtan x r =，而ααααα2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=+= 而由余弦定理有：ab c b a 22cos 222-+=α所以：))(()()(4)2(1tan 222222222222c b a c b a c b a ab c b a abc b a -+++-+-=-+-+-=α即有:r 即：r =申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
等腰三角形内切圆外接圆半径公式
等腰三角形是指有两边相等的三角形，而内切圆和外接圆是与三角形相切的圆。
在等腰三角形中，内切圆和外接圆都有特定的半径和关系。
本文将介绍等腰三角形内切圆和外接圆的半径公式，并对其推导过程进行详细解释。
1. 等腰三角形内切圆的半径公式在等腰三角形中，内切圆的半径可以表示为r，三角形的底边长度为a，而等腰边的长度为b。
根据三角形的性质，等腰三角形内切圆的半径公式可以表示为：r = (b/2) * tan(π/4)其中，π是圆周率，tan是正切函数。
该公式表示了内切圆的半径与等腰边长度的关系。
通过该公式，我们可以计算出等腰三角形内切圆的半径。
2. 等腰三角形外接圆的半径公式在等腰三角形中，外接圆的半径可以表示为R，等腰三角形的底边长度为a，而等腰边的长度为b。
根据三角形的性质，等腰三角形外接圆的半径公式可以表示为：R = (b/2) * csc(π/4)其中，π是圆周率，csc是余割函数。
该公式表示了外接圆的半径与等腰边长度的关系。
通过该公式，我们可以计算出等腰三角形外接圆的半径。
3. 推导过程以上述公式为基础，我们来简要介绍等腰三角形内切圆和外接圆半径公式的推导过程。
对于内切圆的半径公式，我们可以利用正切函数的定义，即tan(π/4) = 1。
等腰三角形的顶角为π/2，于是等腰边与底边的夹角为π/4。
根据三角函数的定义，tan(π/4)就是等腰边界的对边与邻边的比值，而等腰边的长度b/2就是对边，底边长度a就是邻边。
内切圆的半径公式可以推出为r = (b/2) * tan(π/4) = b/2。
对于外接圆的半径公式，我们可以利用余割函数的定义，即csc(π/4) = √2。
同样，根据三角形的性质，我们可以推导出外接圆的半径公式为R = (b/2) * csc(π/4) = b/2√2。
我们介绍了等腰三角形内切圆和外接圆的半径公式，并对其推导过程进行了详细解释。
通过这些公式，我们可以在解决相关问题时更方便地计算等腰三角形的内切圆半径和外接圆半径，为数学和几何学习提供了重要的工具。
三角形的外接圆与内切圆半径的求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，∴AB 2＝BC 2＋AC 2， ∴∠C ＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形.解：作直径BD ，连结AD.则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90°∴BD ＝D sin AB ＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为︒80sin 5. 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50°求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：可转化为①的情形解题.解：作直径AD ，连结BD.则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90°∴AD ＝D sin AB ＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为3310. ②已知两边夹一角例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E.则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝21AC ＝1，AE ＝3，BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7∴AD ＝D sin AB ＝︒60sin 7＝2132 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为2131. ③已知三边例5如图，已知，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，利用相似三角形就可以求出直径AD.解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝∠CEA ＝90°，∠D ＝∠C∴△ADB ∽△ACE ∴ABAEAD AC = 设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2∴132-x 2＝152-(14-x)2x=5,即CE ＝5 ∴AE ＝12 ∴1512AD 13= AD ＝465 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为865.二、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形例6已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.解：可证四边形ODCE 为正方形.设⊙O 的半径为r ， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r ， ∴(a -r)+(b-r)=c,∴r=2c b a -+,即△ABC 外接圆⊙O 的半径为2cb a -+. 2、一般三角形①已知三边例7已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分析：考虑先求出△ABC 的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：利用例5的方法，或利用海伦公式S △＝)c s )(b s )(a s (s ---(其中s=2cb a ++)可求出S △ABC ＝84，从而21AB •r+21BC•r+21AC•r=84, ∴r=4 ②已知两边夹一角例8已知：如图，在△ABC 中，cotB ＝34,AB ＝5，BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分析：考虑先通过解三角形，求出△ABC 的面积及AC 的长，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：作△ABC 的高AD.解直角三角形可得AD ＝3，CD ＝2，AC ＝13， 因为21AB •r+21BC•r+21AC•r=21BC•AD, 可求得r=61311-B③已知两角夹一边例9已知：如图，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°,BC＝6 求△ABC内切圆⊙O的半径r.(精确到0.1)分析：思路方法同上，读者可完成.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.。
三角形的外接圆与内切圆计算
三角形的外接圆与内切圆计算三角形是数学中的基本几何形状之一，而与三角形相关的外接圆与内切圆是其重要的特殊圆形。
本文将介绍外接圆与内切圆的定义以及它们的计算方法。
一、外接圆外接圆是指一个圆正好能够通过三角形的三个顶点，即三角形的顶点在这个圆上。
外接圆的圆心与三角形的三个顶点构成的直径相等。
对于一个已知三角形，我们可以根据其三个顶点在平面直角坐标系中的坐标来计算外接圆的圆心和半径。
假设三角形的顶点坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，圆心的坐标计算公式为：圆心坐标的 x 坐标 = (x1 + x2 + x3) / 3圆心坐标的 y 坐标 = (y1 + y2 + y3) / 3半径的计算公式为：半径= √[(x1 - 圆心 x 坐标)² + (y1 - 圆心 y 坐标)²]二、内切圆内切圆是指一个圆正好与三角形的三条边相切，即三角形的每条边都与这个圆相切。
内切圆的圆心与三角形的三条边的交点构成的点相等。
对于一个已知三角形，我们可以根据三边的长度来计算内切圆的圆心和半径。
假设三角形的三边长度分别为a、b和c，半周长(semiperimeter)的计算公式为：半周长 = (a + b + c) / 2内切圆的半径的计算公式为：半径= √[(s - a) * (s - b) * (s - c) / s]其中，s 为半周长。
圆心的坐标计算公式比较复杂，默认三角形的三边长已知，可用海伦公式计算面积，进而计算出三角形的高。
内切圆的圆心坐标的 x 和 y 坐标可分别计算为：圆心坐标的 x 坐标 = (a * x1 + b * x2 + c * x3) / (a + b + c)圆心坐标的 y 坐标 = (a * y1 + b * y2 + c * y3) / (a + b + c)三、示例现在我们以一个具体的三角形来计算外接圆与内切圆的圆心坐标和半径。
假设三角形的三个顶点坐标分别为A(0, 0)、B(4, 0)和C(0, 3)。
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式.doc
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R,（如右图所示）a2 b2 c2cos cos sin sin 则 cos( ) 2ab (余弦定理) bb 而 cos , sin R2Raa cos , sin R2Rb22R 4 Ra2R 4 R22b2a22R R a2 b2 c2ba44 即有： 2ab2R2RRR2222a2 b2 c2ab (4R b) (4R a)即有： ab2R2)(4R2 b2) (4R2 a2)所以：ab 2R(ab2a2 b2 c22) 16R4 4(a2 b2)R2 a2b2 即有：(ab) 4R(a b c) 4R(ab222224a2 b2 c22)],即：a2b2c2 R2[4a2b2 (a2 b2 c2)2]所以：c R[4 (ab22所以：R abc(a b c) (a b c) (a c b) (b c a)而三角形而积：4S a b c) (a b c) (a c b) (b c a)(海伦公式)所以, 有:R abc 4Sab2 c2 a22R,而cosA 另一求法,可用正弦定理,B|J： sinA2bc所以：R aa 22sinA2 (cosA)ab2 c2 a222 ()2bc abc4b2c2 (b2 c2 a2)2二、任意三角形内切圆的半径设三角形各边边长分别为a, b, c内切圆半径为r,(如右图所示)因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，所以，会有x z aa b c x y bx ,解得 2 y z c (cos2 )2sin2 显然：r xtan ,而 tan 1 cos2 1 cos2a2 b2 c2而由余弦定理有：cos2 2ab21 () 2ab所以：tan (a b c) (a b c)222a b cl 2ab4(ab)2 (a2 b2 c2)2222224 (ab)2 (a2 b2 c2)2a b c4(ab) (a b c)即有：r2 (a b c) (a b c)2(a b c)2 (a b c)2(a b c)a b c即：r (a b c) (a b c) (a c b) (b c a)4S2S。
内切球与外接球常见解法
内切球与外接球常见解法一、内切球内切球是指一个球体恰好能够被另一个球体包围，且两个球体相切于球面上的一个点。
在数学中，内切球经常与三角形、四面体等几何图形相关联。
1. 三角形的内切圆对于一个任意形状的三角形，都存在唯一一个内切圆，该内切圆的圆心与三角形的三条边相切。
下面介绍一种常见的求解方法：以三角形的三个顶点为A、B、C。
1) 求解三个边长a、b、c。
利用两点之间的距离公式可以得到三条边的长度：a = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]b = √[(x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2]c = √[(x1 - x3)^2 + (y1 - y3)^2]2) 求解三角形的半周长s。
s = (a + b + c)/23) 求解内切圆的半径r。
r = √[(s - a)(s - b)(s - c)/s]4) 求解内切圆的圆心坐标。
利用三角形面积公式可以求解内切圆的圆心坐标：x = (a*x1 + b*x2 + c*x3)/(a + b + c)y = (a*y1 + b*y2 + c*y3)/(a + b + c)2. 四面体的内切球对于四面体，即由四个平面三角形组成的几何图形，也存在一个内切球。
下面介绍一种常见的求解方法：以四面体的四个顶点为A、B、C、D。
1) 求解四个面的面积S1、S2、S3、S4。
利用三角形面积公式可以求解四个面的面积。
S1 = 1/2 * |(B - A) × (C - A)|S2 = 1/2 * |(C - B) × (D - B)|S3 = 1/2 * |(D - C) × (A - C)|S4 = 1/2 * |(A - D) × (B - D)|2) 求解四面体的体积V。
四面体的体积可以通过以下公式求解：V = 1/6 * |(B - A) · [(C - A) × (D - A)]|3) 求解四面体内切球的半径r。
求三角形外切圆和内接圆半径公式
08-10 00:49
S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]/4；
设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，则：
∵S=(ar/2)+(br/2)+(cr/2)，∴r=2S/(a+b+c)，
即r=√[(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]/[2√(a+b+c)]；
由正弦定理可知：a/sinA=2R和S=bcsinA/2，
已知A（0，2）B（0，0）C（2，0）三角形ABC的内切圆半径是？圆的一般方...
圆中，直角三角形内切圆半径公式：r=(a+b-c)÷2的推导过程是什么？请详...
求直角三角形的内接圆半径有什么公式吗？
求直角三角形内接圆，外接圆半径计算公式
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知道>数学> 问题页已解决求三角形外切圆和内接圆半径公式老师上课时，没记得清，请问求两个的公式王者回归zx 2010-1-28最佳答案大哥，是外接圆和内切圆
两边之积=第三边的高*外接圆直径
r（内切）=2SC
S为三角形面积，C为三角形周长
wj1232944 2010-1-28其他答案哈哈，真是闹不了，这样还不如不听课！！
wuxch21 2010-1-28外接圆半径R=a/(2sinA)=b/(2sinB)=c/(2sinC)
内切圆半径r=三角形面积×2/三角形的周长
=2S/(a+b+c)
xiangshl 2010-1-29已知△ABC的三个顶点A、B、C所对的边长依次为a、b、c，
计算三角形的外接圆半径和内切圆半径之比
计算三角形的外接圆半径和内切圆半径之比在数学中，三角形是一个基础的几何形状，它由三条线段组成，形成了一个闭合的图形。
而围绕三角形的圆也是一个常见的几何概念，它们可以分为外接圆和内切圆。
本文将探讨如何计算三角形的外接圆半径与内切圆半径之间的比例关系。
一、外接圆外接圆是一个与三角形相切于三个顶点的圆。
它的半径可以用以下公式来计算：r = a / (2sinA)其中，r代表外接圆的半径，a代表三角形的边长，A代表三角形的内角。
在这个公式中，我们可以观察到，外接圆的半径与三角形的边长成正比，与三角形的内角的正弦函数成反比。
二、内切圆内切圆是一个与三角形的三条边相切的圆。
它的半径可以用以下公式来计算：r = A / (s-p)其中，r代表内切圆的半径，A代表三角形的面积，s代表三角形的半周长，p代表三角形的周长的一半。
在这个公式中，我们可以观察到，内切圆的半径与三角形的面积成正比，与三角形的半周长与周长之差的比例成反比。
三、比例关系现在我们来计算三角形的外接圆半径与内切圆半径之间的比例关系。
假设三角形的边长为a，内角为A，面积为S，半周长为s，周长为p。
根据上述公式，可以得到以下关系式：r_outer = a / (2sinA)r_inner = S / (s-p)因此，将这两个公式联立，可以得到比例关系：r_outer / r_inner = (a / (2sinA)) / (S / (s-p))简化之后可得：r_outer / r_inner = a(s-p) / (2sinA * S)综上所述，我们可以通过计算三角形的边长、内角、面积、半周长和周长之差，来求解三角形的外接圆半径与内切圆半径之间的比例关系。
这个比例关系提供了有关三角形形状和尺寸的重要信息，有助于我们深入了解三角形的性质和特征。
这篇文章综合运用了数学知识和公式来解释了三角形的外接圆半径与内切圆半径之间的比例关系。
希望通过这篇文章，读者能更好地理解和应用这一数学概念。
三角形的内切圆和外接圆
三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R ＝ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。
AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC ＝AE ·AD ． 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°.∵∠E ＝∠C ， ∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ，∴ACAE ADAB ， ∴ AB ·AC ＝AE ·AD方法二：2R ＝a/SinA ，a 为∠A 的对边在锐角△ABC 中，外接圆半径为R 。
求证： 2R ＝AB/SinC 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∴AE ＝AB/SinE ∵∠C ＝∠E ，SinC ＝SinE∴AE ＝AB/SinC∴2R ＝AB/SinC若C 为钝角，则SinC ＝Sin （180o －C ）应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。
例1 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为E.设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12 R ＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8ABCODE∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为865. 例 2 已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
在研究三角形属性时，我们常常会遇到外接圆和内切圆这两个重要的概念。
本篇文章将详细探讨三角形的外接圆与内切圆，包括它们的定义、性质以及相关定理等内容。
一、外接圆1. 定义：三角形的外接圆是能够完全包围该三角形的一个圆，使得该圆的圆心与三角形的顶点在一条直线上。
换句话说，外接圆的直径等于三角形的三条边的其中一个边所对的角的边。
外接圆也被称为三角形的园外接圆。
2. 性质：（1）外接圆的圆心与三角形的顶点在一条直线上，这条直线叫做欧拉直线；（2）外接圆的半径等于三角形任意一条边的弦长的一半；（3）外接圆的直径等于三角形的某一条边的边长；（4）外接圆的周长等于三角形的周长。
3. 相关定理：（1）圆周角定理：对于三角形的外接圆，其圆周角等于其所对的弦对应的角；（2）中线定理：三个边上的中线交于一点，且此点到三角形的顶点的距离等于外接圆半径的一半；（3）外心定理：三角形的外接圆的圆心就是三条中垂线的交点。
二、内切圆1. 定义：三角形的内切圆是与该三角形的三条边都相切的一个圆，也就是说，内切圆的切点分别位于三角形的三条边上。
内切圆也被称为三角形的园内切圆。
2. 性质：（1）内切圆的圆心位于三角形的重心、内心、垂心的连线上；（2）内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长；（3）内切圆的半径等于三角形的三边距离之差的一半；（4）内切圆的半径是三角形内角平分线的交点到三边的距离之积的比值。
3. 相关定理：（1）切线定理：对于三角形的内切圆，从切点到对角顶点的线段相互平行；（2）切线长度定理：切点到对边的距离等于三角形周长的一半。
综上所述，三角形的外接圆与内切圆在几何学中具有重要的地位和性质。
通过研究它们的定义、性质和相关定理，我们可以更深入地理解三角形的特性，运用它们解决实际问题，甚至在其他数学领域中进行应用。
因此，在学习几何学时，对于三角形的外接圆与内切圆的研究是不可或缺的一部分。
8.5三角形外接圆半径和内切圆半径
3a 6
2
R 2r
做一做:
一三角形的三边长分别为3cm、4cm、 5cm，则其内切圆的 半径为——1cm——。
达标检测
一、判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离
相等。
（×）
2、直角三角形的外心是斜边的中点。 （ √）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是 5cm和12cm，则它的外接圆
2
1
Or
s (abc)
2
r=
s ( s a )( s b )( s c )
B
(其中s
1
(a
b
a
c)）
s
s
2
b C
三角形的内切圆半径
求三角形内切圆的半径的公式
A
r= s
c
s( sa )( sb)( sc )
s
(其中s 1 (a b c)）
2
B
a
b
c
2 sin A 2sin B 2sin C R
三角形的内切圆
如图 圆O是 ABC 的内切圆的半径为r，则
= OBC+ OAC+ OAB
A
111
= ar br cr s( sa)(sb)( sc)
222
c
1
rr
= r(abc) s( sa)( sb)( sc)
三角形的外接圆的圆心是各边 垂直平分线的交点；其半径是交 点到顶点的距离。
三角形的内切圆的圆心是各内 角平分线的交点；其半径是交点 到一边的距离。
三角形的外接圆：
A
O
B
C
三角形的内切圆：
三角形的外接圆与内切圆的性质及计算方法
三角形的外接圆与内切圆的性质及计算方法三角形是几何学中最基本的图形之一，外接圆和内切圆是与三角形密切相关的圆形。
本文将探讨三角形的外接圆和内切圆的性质以及计算方法。
一、三角形的外接圆性质外接圆指的是与三角形的三个顶点均在同一圆上的圆，它具有以下性质：1. 外接圆的圆心与三角形的三个顶点共线：即外接圆的圆心位于三角形的垂直平分线的交点上。
这个交点称为三角形的外心，它是三角形外接圆的圆心。
外接圆的半径等于外心到三角形任一顶点的距离。
2. 外接圆的半径与边长的关系：外接圆的半径等于三角形边长的比值的乘积的倒数。
即R = a / (2sinA) = b / (2sinB) = c / (2sinC)，其中R 为外接圆的半径，a、b、c为三角形的三条边长，A、B、C为对应的内角。
3. 外接圆的性质适用于所有三角形：无论是任意形状的三角形，还是特殊的等边三角形、等腰三角形，外接圆的性质都成立。
二、三角形的内切圆性质内切圆指的是与三角形的三条边都相切的圆，它具有以下性质：1. 内切圆的圆心与三角形的三条边的交点共线：即内切圆的圆心位于三角形的角平分线的交点上。
这个交点称为三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心。
内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长得到的值，即r = S / p，其中r为内切圆的半径，S为三角形的面积，p为三角形的半周长。
2. 内切圆的半径与边长的关系：内切圆的半径等于半周长与三角形面积之比的倒数，即r = p / (a + b + c) = 1 / (2 * Δ)，其中a、b、c为三角形的三条边长，Δ为三角形的面积。
3. 内切圆的性质适用于所有三角形：与外接圆类似，无论是任意形状的三角形，还是特殊的等边三角形、等腰三角形，内切圆的性质都成立。
三、计算外接圆和内切圆的方法1. 计算外接圆的半径：可以使用上述提到的公式 R = a / (2sinA) = b / (2sinB) = c / (2sinC)。
8.5三角形的外接圆半径和内切圆半径ppt课件
最新课件
1
一、三角形的外接圆与内切圆的画法：
1、什么是三角形的外接圆与内 切圆？2、如何画出一个三角形 的外接圆与内切圆？
1、①经过三角形各顶点的圆叫 三角形的外接圆。
②与三角形各边都相切的圆 叫三角形的内切圆。
最新课件
2
一、三角形的外接圆与内切圆的画法：
画圆的关键：
2
b
C
12
三角形的内切圆半径
求三角形内切圆的半径的公式
A
r= s
c
s( s a )( s b )( s c )
s
(其 中 s 1 (a b c)）
2
B
rr Or
a
最新课件
b
C
13
巩固练习：
1、如图，△ABC中，∠A=55度， I是内心
则，∠BIC＝—1—17—.5—度。
B
B + C = 1 8 0 5 5 1 2 5 BIC180B+C
F D E = 62.5
最新课件
15
三、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法： 直角三角形外接圆、内切圆半径的求法
B
外接圆半径R= c 2
c
O a
内 切 圆 半 径 r= ab
I
a+b+c A
b
C
最新课件
16
等边三角形外接圆、内切圆半 径的求法
基本思路：
A
构造三角形BOD，BO为外接 圆半径，DO为内切圆半径。
O
a = sin D =
2R
a
2R
sin A
最新课件
D
A 9 0 0 10
三角形的外接圆
三角形的内切圆半径公式
《三角形的内切圆半径公式》
1、对于任意一个三角形,其内切圆的半径等于外接圆直径减去内切圆直径。
2、在解析几何中,以三角形内切圆为顶点的三角形面积,等于两条高线与该三角形面积的比值(S\/ A);以边角为顶点的三角形面积,是以同样大小的外接圆面积(πA)再除以同样大小的内切圆面积(πr)。
当S\/ A>3时,三角形面积大于内切圆面积, S\/ A<3时,三角形面积等于内切圆面积.在这些情况下,都存在唯一的最大面积。
[1]
1、内切圆半径=外接圆半径-
2、内切圆面积=外接圆面积-4、外接圆面积=2倍底乘以高÷2。
三角形外切圆半径万能公式
三角形外切圆半径万能公式三角形外切圆是指一个与三角形相切于三个顶点的圆。
这个圆的半径可以通过万能公式来计算。
三角形外切圆半径的万能公式如下：r = a + b + c - 2√(ab + bc + ca) / (a + b + c)其中，r表示外切圆的半径，a、b、c分别表示三角形的三边长度。
这个公式可以通过数学推导来得到。
首先，我们可以通过边长和角度的关系推导出三角形内切圆半径的表达式。
然后，通过将内切圆和外接圆相关的半径关系带入，就可以得到外接圆半径的万能公式。
三角形的内切圆半径表达式如下：r' = 2A / (a + b + c)其中，r'表示内切圆的半径，A表示三角形的面积。
我们知道，三角形的面积可以用海伦公式来表示：A = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s表示三角形的半周长，s = (a + b + c) / 2。
将内切圆半径表达式代入海伦公式，可以得到外接圆半径的表达式：r = 2A / (a + b + c) = 2√(s(s-a)(s-b)(s-c)) / (a + b + c)这个表达式就是我们需要的三角形外接圆半径的万能公式。
这个公式的应用非常广泛，可以用于解决各种与三角形外接圆半径相关的问题。
例如，可以通过已知三角形的边长来计算外接圆的半径，或者可以通过已知三角形的面积和边长来计算外接圆的半径。
万能公式的特点在于它适用于不同类型的三角形，包括等腰三角形、等边三角形和一般三角形。
通过简单的计算，就可以得到三角形外接圆的半径。
总结起来，三角形外接圆半径的万能公式是一个非常有用的数学工具，可以帮助我们计算不同类型三角形的外接圆半径。
这个公式通过数学推导得到，基于三角形的边长和面积关系。
应用这个公式，我们可以解决各种与外接圆半径相关的问题，为数学研究和实际应用提供便利。
三角形的内切圆与外接圆
三角形的内切圆与外接圆三角形是几何学中最基本的图形之一，而与三角形相关的内切圆和外接圆是三角形内部和外部特殊的圆。
本文将介绍三角形的内切圆和外接圆的定义、性质以及求解方法。
一、内切圆内切圆是与三角形的三条边都相切的圆，它的圆心与三角形的三条边的交点共线，且圆心到三角形的三条边的距离相等。
内切圆的半径称为内切圆半径，内切圆半径的求解可以通过三角形的边长来计算。
设三角形的三条边长分别为a、b、c，半周长为s，内切圆半径r的计算公式如下：r = sqrt((s-a)(s-b)(s-c)/s)其中，sqrt表示开平方根运算。
二、外接圆外接圆是能够完全包围三角形的圆，它的圆心位于三角形的三条边的垂直平分线的交点上。
外接圆的半径称为外接圆半径，外接圆半径的求解可以通过三角形的边长来计算。
设三角形的三条边长分别为a、b、c，外接圆半径R的计算公式如下：R = (a*b*c)/(4*Δ)其中，Δ表示三角形的面积。
三、性质1. 内切圆与三角形的三条边相切，且圆心和三条边的交点共线。
2. 外接圆的圆心位于三角形的三条边的垂直平分线的交点上。
3. 内切圆的半径r满足r = sqrt((s-a)(s-b)(s-c)/s)，其中s为三角形半周长。
4. 外接圆的半径R满足R = (a*b*c)/(4*Δ)，其中Δ为三角形的面积。
四、应用1. 内切圆和外接圆常用于计算三角形的性质和求解三角形的相关问题，例如三角形的面积、周长等。
2. 内切圆和外接圆可以帮助确定三角形的形状和位置，进一步研究三角形的几何性质。
3. 内切圆和外接圆在工程、建筑、地理等领域中有广泛的应用，例如地图绘制、建筑设计等。
五、总结本文介绍了三角形的内切圆和外接圆的定义、性质以及求解方法。
内切圆和外接圆是三角形内部和外部特殊的圆，它们在几何学和实际应用中有重要的地位。
深入理解和应用内切圆和外接圆的概念，可以帮助我们更好地研究和解决与三角形相关的问题。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，它的内部和外部都可以通过一些特殊的圆来描述。
在本文中，我们将探讨三角形的外接圆和内切圆。
一、外接圆外接圆是一个与三角形的三个顶点都相切的圆。
它的特点是，三角形的三条边的垂直平分线的交点所确定的圆心就是外接圆的圆心。
而外接圆的半径等于三角形任意一边的中线长度的一半。
对于任意三角形ABC，设三边的中点分别为D、E、F，连接AD、BE、CF，并求得它们的垂直平分线分别交于点O。
那么，点O就是外接圆的圆心。
证明如下：1. 根据垂直平分线的定义，AO与OD垂直且相等，BO与OE垂直且相等，CO与OF垂直且相等。
2. 根据相等弦对应的弧相等的性质，可以得出AO、BO、CO是等长的，即O是等距离于三个顶点的点，因此O是三角形的外接圆心。
3. 根据三角形内角和为180度的性质，可以得出AOB、BOC、COA是三个内角的和为180度的角，因此它们都位于同一个圆周上，即O是三角形的外接圆心。
二、内切圆内切圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
它的特点是，三角形的三条边的角平分线的交点所确定的圆心就是内切圆的圆心。
而内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
对于任意三角形ABC，设三条边分别为a、b、c，半周长为s = (a + b + c) / 2。
则内切圆的半径r可以通过以下公式计算：r = sqrt((s-a)(s-b)(s-c) / s)。
证明如下：1. 连接内切圆的圆心O与三个顶点A、B、C，分别交三条边于点D、E、F。
2. 根据角度的定义，OA与AD、OB与BE、OC与CF分别是同一个角的角平分线。
3. 根据角平分线的定义，AO与OD、BO与OE、CO与OF垂直且相等。
4. 根据垂直平分线的性质，可以得出AO = OD，BO = OE，CO = OF。
5. 根据等边三角形的定义，可以得出三角形ODA、OEB、OFC是等边三角形。
6. 根据等边三角形的性质，可以得出OD = DA，OE = EB，OF = FC。
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三角形的外接圆与内切圆半径的求法
江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全
一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形
如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，
∴AB 2＝BC 2＋AC 2
， ∴∠C ＝90°，
∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形
①已知一角和它的对边
例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形.
解：作直径BD ，连结AD.
则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90°
∴BD ＝
D sin AB ＝︒
80sin 10
∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为
︒
80sin 5
. 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.
例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50°
求△ABC 外接圆⊙O 的半径.
分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90°
∴AD ＝
D sin AB ＝︒60sin 10＝
33
20
∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为
33
10
. ②已知两边夹一角
例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.
分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E.
则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2
1
AC ＝1，AE ＝3，
BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7 ∴AD ＝
D sin AB ＝︒
60sin 7
＝2132 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为
213
1
. ③已知三边
例5如图，已知，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.
分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，利用相似三角形就可以求出直径AD.
解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝∠CEA ＝90°，∠D ＝∠C
∴△ADB ∽△ACE ∴
AB
AE
AD AC = 设CE ＝x, ∵AC 2
-CE 2
＝AE 2
＝AB 2
-BE 2
∴132
-x 2
＝152
-(14-x)2
x=5,即CE ＝5 ∴AE ＝12 ∴
1512AD 13= AD ＝465 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为8
65
. 二、求三角形的内切圆的半径
1、直角三角形
例6已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.
解：可证四边形ODCE 为正方形.设⊙O 的半径为r ， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r ， ∴(a -r)+(b-r)=c,
∴r=2c b a -+,即△ABC 外接圆⊙O 的半径为2
c b a -+.
2、一般三角形
①已知三边
例7已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.
分析：考虑先求出△ABC 的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.
解：利用例5的方法，或利用海伦公式S △＝)c s )(b s )(a s (s ---(其中s=2
c
b a ++)可求出S △ABC ＝84，从而
21AB •r+21BC•r+2
1
AC•r=84, ∴r=4 ②已知两边夹一角
例8已知：如图，在△ABC 中，cotB ＝
3
4
,AB ＝5，BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.
分析：考虑先通过解三角形，求出△ABC 的面积及AC 的长，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.
解：作△ABC 的高AD.解直角三角形可得AD ＝3，CD ＝2，AC ＝13，
B
b
因为
21AB •r+21BC•r+21AC•r=2
1
BC•AD, 可求得r=61311
③已知两角夹一边
例9已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°,BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.(精确到0.1) 分析：思路方法同上，读者可完成.
总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径
.。