【精品】PPT课件 一、高阶导数及其运算法则
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25高阶导数-PPT精品文档
2 x y ( 0 ) 0 0; 22x ( 1 x)
2 2 ( 3 x 1 ) 2 . ( y 0 ) 0 23 x ( 1 x )
x 例4 求指数函数 y e 的 n 阶导数。
解：
x x x ( 4 ) x y' e , y" e , y''' e , y e ,
( n 1 )
即
( n 1 )! [ln( 1 x )] ( 1 ) . n ( 1 x )
( n )
返回
例7
( n ) 设 y x ( R ), 求 y .
1 x 解 y
1 2 y ( x ) ( 1 ) x
2 3 y ( ( 1 ) x ) ( 1 )( 2 ) x
( n ) n y ()
( n ) n( n ) ( n 1 ) 若 为自然数 n ,则 0 n ! , y ( x) y ( n ! ) .
d y d f ( x ) f ( x ), y, n 或n . dx dx
( n ) ( n )
n
n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 返回
二、 高阶导数求法举例
例1
解
y ax b . 求 y" .
y' a , y" 0 .
sin t , 求 s" 。 例2 s
解
s' cos t , s" sin t .
• • • 一般地，函数 y f（ x ）的导数 y' f' (x)仍然
高数同济第三版D25高阶导数与函数微分PPT课件
解： dy (ex) dxdx
x0
x0
dy (ex) dxedx
x1
x1
14
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4.微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
当 x 很小时, ydy
y
dy
y f(x)
y
O
x0
x
x0 x
15
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二、 微分运算法则
2
t
dt
9
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二、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 x 0 变到 x0 x ,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x 2 , 当 x 在 x 0 取
得增量 x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x0 2
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d dx
(d d
y x
)
d dt
(
dy dx
)
dd tx ddxt
8
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注意 : 已知
dy dx
(t (t
) )
,
d2y d x2
(t ) (t )
即
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
y, y ( 4 ) , , y(n)
或
d d
3
x
y
3
,
高阶导数的运算法则
v(k) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
2!
高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
a
Байду номын сангаас
1
x
(n)
(1)n
(a
y
2x x2 (1 x) 22x 2 2x x2
2x x2 (1 x)2
2x x2
(2x x2) (2x x2
2x x2 (1 x)2 (2x x2) (2x x2)
1
3
(2x x2)2
1 y3
所以y 3y10
例2. 设
存在，求下列函数的二阶导数
（1） y f (ex ); （2） y e f (x).
n! x)n1
1 ax
(n)
n! (a x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
例9. 如何求下列函数的 n 阶导数?
(1) y 1 x 1 x
(3)
y
x2
1 3x
2
解:
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3
1 x
解:
1 解: (x 2)(x 1)
(x 1) (x 2) (x 2)(x 1)
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,
依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 ,
分别记作
或
y(y) f (x)[f (x)]
d2y dx2
d dx
(dy) dx
高阶导数PPT
y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即 二阶导数，记作 函数 二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖 南 对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速 所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择 第二个模型. 第二个模型
湖 南 对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
外
经
济
贸
易
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职
业
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学
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Hunan
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高等数学课件 4第三节 高阶导数ppt
若 为自然数n, 则
( xn )(n) n!,
( xn )(n1) (n!) 0.
( xn )(k) 0, (k n 1, n 2,).
例10. 设 y ln(1 x), 求y(n).
解:
y 1 , 1 x
y
(1
1 x
)2
,
y
(1
2! x
)3
,
y(4)
3! (1 x)4
,
y(n)
的导数为 f ( x) 的二阶导数 , 记作
y ( y)
或
d2 y d dy
d x2
d
() x dx
y或
d2 y d x2
,
即
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
y(n) ( y(n1) )
或
dn y d dn1 y dxn dx ( dxn1 )
y(n) (sin x)(n) x2 Cn1(sin x)(n1) ( x2 )
Cn2(sin x)(n2) ( x2 ) 0
x2 sin(x n ) 2nxsin(x (n 1) ) n(n 1)sin(x (n 2) ),
2
2
2
y(n)(0) sin n .
2
x2
)2
]
2(3 x (1
2 1) x2 )3
,
则
y(0)
2x (1 x2 )2
0;
x0
y(0)
2(3 x2 1) (1 x 2 )3
x0
2.
例4. 证 明： 函 数y 2x x2 满 足关 系 式 y3 y 1 0.
高教社2024高等数学第五版教学课件-2.4 高阶导数
=1−
1
2 2,
2
继续求导，可得
′ = −22 ∙ 2
= −4,
又( )()
= ( +
⋅ )，则
2
=
−4−1 sin[4
+
2
n − 1 ].
例5 计算y = 的阶导数
解 在求该函数的阶导数时，先求该函数的一阶导数
且(1 + )′ = 1，从而有：
[( 1 + )]() = (−1)−1 ⋅
(−1)!
.
(1+)
例6 已知 + + = 0，求 ″ .
解
方程两端对 求导，得 1 + ′ + ⋅ ′ = 0，
解得 ′ = −
1
.
1+
两端再对 求导，得
((− ))
1
=
=
(
2
−2 2 2
(1− )
1
−
(
(1− )2
≠ 2, ∈ ).
几个常见函数的 阶导数的通式：
① ( )() = ( ) ，特殊地( )() = ；
② ( )
()
= (−1)
−1
⋅
(−1)!
，特殊地( )()
= (−1)
−1
⋅
(−1)!
.
由于 = ( 1 + )是由 = ， = 1 + 复合而成的复合函数，
（为参数），求 ″ .
= (1 − )
= ()
′ ()
《高阶导数》课件
高阶导数
在这个PPT课件中，将会介绍高阶导数的概念和运用。从一阶导数到高阶导数， 深入了解导数的定义、性质和应用。
什么是导数
导数是描述函数变化率的工具，它可以帮助我们了解函数在不同点的斜率或变化速率。导数的定义和意义是我 们学习导数的起点。
一阶导数
一阶导数是导数的基础，它可以告诉我们函数曲线的斜率和变化趋势。一阶 导数的定义、性数的进一步延伸，它可以告诉我们函数变化的更多细节和特性。 高阶导数的定义、意义、性质和计算方法将会在这一节中探讨。
应用举例
通过一些实际的例子，我们可以更好地理解导数的应用。在这一节中，我们 将讨论函数极值问题、函数凸凹性问题以及根据导数表述函数形态。
总结
通过本PPT课件，我们可以深入了解导数的重要性和高阶导数的作用。同时，也可以对导数在实际应用领域中 的意义有一个总体的了解。
在这个PPT课件中，将会介绍高阶导数的概念和运用。从一阶导数到高阶导数， 深入了解导数的定义、性质和应用。
什么是导数
导数是描述函数变化率的工具，它可以帮助我们了解函数在不同点的斜率或变化速率。导数的定义和意义是我 们学习导数的起点。
一阶导数
一阶导数是导数的基础，它可以告诉我们函数曲线的斜率和变化趋势。一阶 导数的定义、性数的进一步延伸，它可以告诉我们函数变化的更多细节和特性。 高阶导数的定义、意义、性质和计算方法将会在这一节中探讨。
应用举例
通过一些实际的例子，我们可以更好地理解导数的应用。在这一节中，我们 将讨论函数极值问题、函数凸凹性问题以及根据导数表述函数形态。
总结
通过本PPT课件，我们可以深入了解导数的重要性和高阶导数的作用。同时，也可以对导数在实际应用领域中 的意义有一个总体的了解。
一、高阶导数及其运算法则(精)
(3) 求 n 阶微分实质上就是求 n 阶导数.
例9： y x2，求d 2 y.
解：
当x是自变量时，dy 2xdx，d 2 y 2dx2.
当x不是自变量时，如设 x t 2，则 （1） y t 4，dy 4t3dt，d 2 y 12t 2dt 2.
（2） y x2，x t 2，dx 2tdt，d 2 x 2dt 2. dy 2xdx 2t 2 2tdt 4t3dt.
d 2 y 2dx2 2xd 2 x 2(2tdt)2 2t 2 2dt 2 12t 2dt 2.
而 d 2 y 2dx2 2(2tdt)2 8t 2dt 2 12t3dt 2.
例10. y xn e x，求d n y.
解： (e x )(n) e x , ( xn )(n) n!,
xn
n
y(n) Cnk (a x )(nk ) (ln x)(k ) k 0
n k 0
Cnk a x (ln
a)nk
(1) k 1 (k xk
1)!.
注3. 求复合函数、参数方程及隐函数等的高阶导数，仍是 重复应用一阶导数的法则. 如：
•
(1) 复合函数y f (u)，u g(x)的二阶导数 :
n次多项式P(x)的n阶导数是常数n!a0 , 其高于n阶的导数皆为零.
例2. y eax ,（a const).
(e x )(n) e x
y aeax , y a2eax , , y(n) aneax .
例3. y sin x, y cos x.
① y (sin x) cos x sin(x ),因为x不是自变量， xg (t )，dx
例9： y x2，求d 2 y.
解：
当x是自变量时，dy 2xdx，d 2 y 2dx2.
当x不是自变量时，如设 x t 2，则 （1） y t 4，dy 4t3dt，d 2 y 12t 2dt 2.
（2） y x2，x t 2，dx 2tdt，d 2 x 2dt 2. dy 2xdx 2t 2 2tdt 4t3dt.
d 2 y 2dx2 2xd 2 x 2(2tdt)2 2t 2 2dt 2 12t 2dt 2.
而 d 2 y 2dx2 2(2tdt)2 8t 2dt 2 12t3dt 2.
例10. y xn e x，求d n y.
解： (e x )(n) e x , ( xn )(n) n!,
xn
n
y(n) Cnk (a x )(nk ) (ln x)(k ) k 0
n k 0
Cnk a x (ln
a)nk
(1) k 1 (k xk
1)!.
注3. 求复合函数、参数方程及隐函数等的高阶导数，仍是 重复应用一阶导数的法则. 如：
•
(1) 复合函数y f (u)，u g(x)的二阶导数 :
n次多项式P(x)的n阶导数是常数n!a0 , 其高于n阶的导数皆为零.
例2. y eax ,（a const).
(e x )(n) e x
y aeax , y a2eax , , y(n) aneax .
例3. y sin x, y cos x.
① y (sin x) cos x sin(x ),因为x不是自变量， xg (t )，dx
求导数的一般方法与高阶导数-PPT文档资料
3 x
解
例6 求函数 y ln sin x 的导数 .
解
y ln u , u sin x .
dy dy du 1 cos x cot x cos x dx du dx u sin x
u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 2 [ v ( x )]
f(x ) 在 x 处可导 .
高等数学
推论
x ( 1 ) [ f x ) ] f ) ; i( i(
i 1 i 1
n
n
( 2 ) [ Cf ( x ) ] C f ( x );
高等数学
例3 求 y tan x 的导数 . 解
sin x y (tan x ) ( ) cos x
(sin x ) cos x sin x (cos x ) 2 cos x
2 2 1 cos xsin x 2 sec x 2 2 cosx cos x
高等数学
推广 设 y f ( u ), u ( v ), v ( x ),
则复合函数 yf{ [ (x )]} 的导数为 dy dydu dv . dx du dvdx
高等数学
例5
求函数 y e 的导数 .
u 3 y e , u x , dy dy du 3 u 2 x 2 e 3 x e 3 x . dx du dx
高等数学
第二章 导数与微分
第二节 求导数的一般方法
主要内容
一、基本初等函数的导数 二、函数四则运算求导法则 三、复合函数求导法则 四、隐函数求导法则
高等数学
D2_3高阶导数
k!
莱布尼茨(Leibniz) 公式
规律 目录 上页 下页 返回 结束
例6.
求
解: 设 u e2x , v x2 ,则
u(k) 2k e2x ( k 1 , 2 , , 20 ) v 2x , v 2 ,
v(k) 0 (k 3 , , 20)
代入莱布尼茨公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
16
各x项2 均3含x 因2 子 (x(x2–)(2x ) 1)
n! (x 1)n cos π x2 L
16
(2) 已知 f (x) 任意阶可导, 且 f (x) [ f (x)]2 , 则当
n 2 时 f (n) (x) n ! [ f (x)]n1
提示:
f (x) 2 f (x) f (x) 2![ f (x)]3
1
(x 2)(x 1) x 2
B (x 1) Байду номын сангаас
1
1
(x 2)(x 1) x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
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(4) y sin6 x cos 6 x
解:
sin4 x sin2 x cos 2 x cos 4 x
第三节 高阶导数
第二章
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
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一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动
速度
即 v s
加速度
即
a (s)
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高等数学A第2章11-3(高阶导数隐函数求导法则)精品PPT课件
(3)物体运动的加速度，是距离函数关于时间的二阶导 数, 即 a(t)ddvtdd22tys(t).
二、简单函数高阶导数的习例 例1.设f(x)xn,求各阶导. 函数 例 2 .设 yax,求 y(n ). 例 3 .设 f(x ) cx o ,求 s f(n )(x ). 例 4 . 设 y f (x l ) 且 n , f ( u ) 可 ,求 y .导 例5.由ddxyy1,求dd2yx2.
叫y做 f(x)的二.阶导数 记 :y为 或 f(x )或 d d 22 yx 或 d2 d f(2 x x ).
即 f(x )lim f(x x )f(x ).
x 0
x
记号与求导过程: d d22 yxd dxd dx yd d(dx)y dd dx 22 yx.
类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数. 记为 f(x),y,dd3x3y.
内容小结
课堂思考与练习
一、 高阶导数的定义与记号 问题:变速直线运动的加速度.
设sf(t), 则瞬时速 v(t)度 f(为 t) 加速 a是度 速 v对度 时 t的间 变化率 a ( t ) v ( t ) [ f ( t ) ] .
定义: 若 yf(x)的导 yf数 (x)在 x处可 ,这导 个
解：设 uco x,v sx2,则
u (k)co x sk 2 (k1, 2 ,2 , 0)
v 2 x ,v 2 ,v ( k ) 0( k 3 ,4 , ,2 )0
y ( 2 ) 0 u ( 2 ) v 0 C 2 1 u ( 1 0 ) v 9 C 2 2 u ( 1 0 ) v 8
f(x)sinx2 c ox s 2 2 c ox s2 2
f(x)sinx22cosx32
二、简单函数高阶导数的习例 例1.设f(x)xn,求各阶导. 函数 例 2 .设 yax,求 y(n ). 例 3 .设 f(x ) cx o ,求 s f(n )(x ). 例 4 . 设 y f (x l ) 且 n , f ( u ) 可 ,求 y .导 例5.由ddxyy1,求dd2yx2.
叫y做 f(x)的二.阶导数 记 :y为 或 f(x )或 d d 22 yx 或 d2 d f(2 x x ).
即 f(x )lim f(x x )f(x ).
x 0
x
记号与求导过程: d d22 yxd dxd dx yd d(dx)y dd dx 22 yx.
类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数. 记为 f(x),y,dd3x3y.
内容小结
课堂思考与练习
一、 高阶导数的定义与记号 问题:变速直线运动的加速度.
设sf(t), 则瞬时速 v(t)度 f(为 t) 加速 a是度 速 v对度 时 t的间 变化率 a ( t ) v ( t ) [ f ( t ) ] .
定义: 若 yf(x)的导 yf数 (x)在 x处可 ,这导 个
解：设 uco x,v sx2,则
u (k)co x sk 2 (k1, 2 ,2 , 0)
v 2 x ,v 2 ,v ( k ) 0( k 3 ,4 , ,2 )0
y ( 2 ) 0 u ( 2 ) v 0 C 2 1 u ( 1 0 ) v 9 C 2 2 u ( 1 0 ) v 8
f(x)sinx2 c ox s 2 2 c ox s2 2
f(x)sinx22cosx32
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