最全正余弦定理题型归纳

正弦定理和余弦定理

、题型归纳

< 一>利用正余弦定理解三角形

【例1】在^ ABC中，已知 a = J3, b=J2,B=45 ° ,求 A C 和c.

【例2】设的内角A B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4b c .

(I )求sinA的值； ( n )求的值.

n

【练习 1】（2011 •北京）在^ ABC中，若b= 5,Z B=_4, tan A= 2,

则 sin A= ；a=

cos B 【练习2】在厶ABC中, a、b、c分别是角A B、c的对边'且cosE

b

2a+ c"

(1)求角B的大小；

⑵若b=品，a + c= 4,求^ ABC勺面积.

＜二 ＞利用正余弦定理判断三角形的形状

【例 3】1、在^ABC 中，若(a 2+ b 2)sin( A — B)= (a 2— b 2)sin C,试判断△ ABC

的形状.

2、在^ ABC 中，在 ABC 中，a,b,c 分别是角 A B 、C 所对的边，bcosA =a COSB,则ABC 三角形的形状为

cosA

3、＜△ ABC 中,在 ABC 中, a ，b ，c

分别是角 A B C 所对的边，若CosA

则ABC 三角形的形状为

2

A b c

【练习】1、在^ABC 中, cos - £（ a,b,c 分别为角A,B,C 的对边），

则^ ABC 的形状为（） A 、正三角形

B 、直角三角形

C 、等腰三角形或直角三角形

D 等腰直角三角形

的形状为

2、已知关于x 的方程

于两根之积的一半，则 A 、直角三角形 B 边三角形

3、在^ ABC 中，（a 2

2

. 2

C

x xcosA cos B 2sin ~

0的两根之和等

） C 、等腰三角形 D 、等 ABC —定是

（ 、钝角三角

b 2)s in (A B) (a 2 b 2)sin( A B)，则△ ABC

,

’ a b c

4、在厶 ABC 中若 COSA= cos^= COSc ；则^ ABC 是().

A.直角三角形

B.等边三角形

【例5】设0是锐角ABC 的外心，若 C 75，且AOB , BOC , COA 的面积满足关系：S

AOB S

BOC J 3

S COA ,求 A

【练习】已知 0是锐角三角形 ABC 勺外心，△ BOC ACOA^AOB 勺

C.钝角三角形

D.等腰直角三角形

<三 > 正余弦定理与三角形的面

积

【例4】^ABC 中, a,b,c 分别为 A, B, B 30°,^ ABC 勺面积为-，那么

b

2

1

忑 B 、1 43 C 、乙

2 2

【练习】已知的周长

为，

(1)求边的长;

C 的对边.如果2b a c ,

逅 D 、2 43

(2)若的面积为，求角的度数.

面积满足关系:

S

AOB S BOC 2S COA

(1)推算tan Ata nC 是否为定值？说明理由;

(2)求证：tanA, tanB , tanC 也满足关系：tan A tanC 2tanB

＜四 ＞利用正余弦定理解决最值问题

【例6】在^ABC 中,角A ，B, C 所对的边分别为a ，b, c,设S 为

△ ABC 中，角A,B,C 的对边分别为

a,b,c ，且

丄

c 73ac tan B —2 "2—

a c b

1 求 B

f(x) sinx 2sin Bcosx x o,—的最大值

2

△ ABC 的面积，满足S

^a 2 b 2 c 2

4

(1)求角C 的大小; (2)求sinA+sinB 的最大值.

【练习】1、已知锐角

2 求 函 数

2、设的内角所对的边分别为且.

(1)求角的大小;

(2)若，求的周长的取值范围.

<五> 正余弦定理与向量的运算

r r -

【例7 ］已知向量 a (sinx, 1),b b/3cosx,

r r r

f(x) (a b) a 2.

(1)求函数f(x)的最小正周期T；

角，a 2胎,c 4,且f(A) 1,求A,b禾口ABC的面积S.

uuu Luur uur uuu 【练习】1、在ABC中，已知ABgAC 3BAgBC . 1 -),函数

(2)已知a、b、c分别为ABC内角A、B、C的对边, 其中A为锐

值.

A

2、在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足COS^^

uuu UULT AB AC 3.

(I )求ABC 的面积; (II )若c 1，求a 的值.

、课后作业:

1、 在^ ABC 中, 组解.

2、 在^ ABC 中, b =4y[3, C= 30

Sin 2

A sin 2

B

,c = 2,则此三角形有

sin 2

C 72 sinBsinC ，贝J A 等于

A 、60°

B 45° 、120 D 、 135°

(1)求证：tan B 3tan A ；

(2)若 cosC £

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