导数的综合应用(高考版)

f1e＝31e＋1>0，f(1)＝13>0，f(e)＝3e－1<0，所以 f(x)在区间1e，1上无 零点，在区间(1，e)上有零点．
答案：D
2．已知 f(x)＝12x2＋2xf′(2016)－2016 lnx，则 f′(2016)＝(
)
A．2015
B．－2015
C．2016
答案：A
热点追踪 热点考向一 导数在方程中的应用 [典例 1] 已知函数 f(x)＝x2－(a＋4)x－2a2＋5a＋3(a∈R)． (1)当 a＝3 时，求函数 f(x)的零点； (2)若方程 f(x)＝0 的两个实数根都在区间(－1，3)上，求实数 a 的 取值范围．
[自主解答] (1)当 a＝3 时，f(x)＝x2－7x.令 f(x)＝0，则 x2－7x＝0， 解得 x＝0 或 x＝7，所以函数 f(x)的零点为 x＝0，x＝7.
D．－2016
解析：f(x)＝12x2＋2xf′(2016)－2016 lnx，
则 f′(x)＝x＋2f′(2016)－20x16，
则 f′(2016)＝2016＋2f′(2016)－22001166，
则 f′(2016)＝－2015，
故选 B.
答案：B
3．已知 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为 f(x)的导函数，且满足 f(x)<－xf′(x)，则不等式 f(x＋1)>(x－1)·f(x2－1)的解集是( )
A．f(a)<f(
a＋b
ab)<f

2

B．f(
a＋b
ab)<f

2
<f(b)

C．f(
a＋b
ab)<f

2
<f(a)

D．f(b)<fa＋2 b<f( ab)
(2)已知函数 f(x)＝xlnx－ax2－x(a∈R)．
①如果不等式 f(x)<－x 恒成立，求实数 a 的取值范围；
A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(1,2) D．(2，＋∞)
解析：因为 f(x)＋xf′(x)<0，所以[xf(x)]′<0，故 xf(x)在(0，＋∞) 上为单调递减函数，又(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)·f(x2－1)，所以 x＋1<x2－1， 解得 x>2.
答案：D
4．已知函数 f(x)的定义域为 R，f′(x)为其导函数，函数 y＝f′(x) 的图象如图所示，且 f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式 f(x2－6)>1 的解集 为( )
高考巡航 利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与 函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.
核心梳理
[知识回顾]
方程根的存在性 导数在方程中的应用方程根的个数
方程根的存在区间
不等式恒成立 导数在不等式中的应用比较两个数的大小
证明不等式
[专题回访] 1．设函数 f(x)＝13x－lnx(x>0)，则 f(x)( )
②求证：ln(2×3×…×2
015)1
1 008<2
015.
见解析
[自主解答] (1)因为 f(x)＝lnxx，所以 f′(x)＝1－x2lnx.令 f′(x)＝0，
解得 x＝e，当 x>e 时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当 0<x<e 时，f′(x)>0，
f(x) 为 增 函 数 ． 又
A．在区间1e，1，(1，e)上均有零点 B．在区间1e，1，(1，e)上均无零点 C．在区间1e，1上有零点，在区间(1，e)上无零点 D．在区间1e，1上无零点，在区间(1，e)上有零点
解析：因为 f′(x)＝13－1x，所以当 x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，f(x) 单调递增；当 x∈(0,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，而 0<1e<1<e<3，又
令 h′(x)>0 得 0<x<e，所以 h(x)在(0，e)上是增函数，
令 h′(x)<0 得 x>e，所以 h(x)在(e，＋∞)上是减函数，
所以 h(x)max＝h(e)＝1e.
所以
1 a>e.
②由①得 h(x)≤h(e)＝1e，所以lnxx≤1e，所以 lnx≤xe<x，即 lnx<x，
所以 ln1<1，ln2<2，ln3<3，……，ln2 015<2 015，
(2)因为方程 f(x)＝0 的两个实数根都在区间(－1,3)上，
f－1>0 f3>0 所以－1<－－a2＋4<3， fa＋2 4≤0
－1<a<4
即0－<6a<<a1<2 3a－22≥0
，所以 0<a<1，
即实数 a 的取值范围为(0,1)．
b>a>3>e ， 所 以
a＋b ab>b> 2 >
ab >a>e ， 所 以
f(a)>f( ab)>fa＋2 b>f(b)>f(ab)，故选 D.
(2)①由题意得，xlnx－ax2－x<－x，所以 xlnx－ax2<0，又 x∈(0，
＋∞)，
所以 a>lnxx，设 h(x)＝lnxx，则 h′(x)＝1－x2lnx，
[方法规律] 利用导数解决函数零点(方程的根)问题的主要方法 (1)利用导数研究函数的单调性和极值，通过对极值正负的讨论研 究根的问题；
(2)利用数形结合研究方程的根； (3)利用导数结合零点定理研究根的存在问题； (4)转化为不等式或最值问题解决函数零点问题.
热点考向二 导数在不等式中的应用
来自百度文库
[典例 2] (1)若 b>a>3，f(x)＝lnxx，则下列结论中正确的是( D )
A．(－3，－2)∪(2,3) B．(－ 2， 2) C．(2,3) D．(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞)
解析：由 y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0， ＋∞)上单调递减，又 f(－2)＝1，f(3)＝1，∴f(x2－6)>1 可化为－2<x2 －6<3，∴2<x<3 或－3<x<－2.
以上各式相加得，
ln1＋ln2＋ln3＋…＋ln2 015<1＋2＋3…＋2 015，
即
ln(1×2×3×…×2
2 015)<
0151＋2 2
015＝2
015×1
008，
即1 0108ln(1×2×3×…×2 015)<2 015，
ln(2×3×…×2