高等数学-第3章 3.3 曲线的弯曲程度——曲率
曲线的曲率与弯曲性质的解析几何描述
曲线的曲率与弯曲性质的解析几何描述曲线是解析几何中的重要概念，它在数学以及其他领域中都有广泛的应用。
曲线的曲率和弯曲性质是描述曲线形状的重要指标，它们可以帮助我们理解曲线的特征和性质。
在本文中，我们将从解析几何的角度出发，对曲线的曲率和弯曲性质进行详细的描述和解释。
一、曲线的曲率曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的量度，它反映了曲线在某一点的弯曲程度。
要计算曲线的曲率，我们首先需要了解曲线的切线和法线。
1. 切线：曲线上的任意一点，都可以通过该点的切线来描述曲线在该点的方向。
切线的斜率等于曲线在该点的导数，即切线的斜率等于曲线的导数。
切线的方向与曲线在该点的切线方向相同。
2. 法线：曲线上的任意一点，都可以通过该点的法线来描述曲线在该点的垂直方向。
法线与切线垂直，即切线和法线的斜率的乘积等于-1。
曲线的曲率可以通过计算曲线在某一点的切线与曲线的夹角来得到。
曲线的曲率越大，说明曲线在该点的弯曲程度越大；曲率越小，则说明曲线在该点的弯曲程度越小。
二、曲线的弯曲性质曲线的弯曲性质描述了曲线的整体形状和特征，包括曲线的凸性和凹性。
1. 凸曲线：如果曲线上的任意两点的连线都位于曲线的上方或者曲线上，那么这条曲线被称为凸曲线。
凸曲线的弯曲方向向外，如圆的外弯部分。
2. 凹曲线：如果曲线上的任意两点的连线都位于曲线的下方或者曲线上，那么这条曲线被称为凹曲线。
凹曲线的弯曲方向向内，如圆的内弯部分。
曲线的弯曲性质可以通过曲线的曲率来判断。
如果曲线的曲率在某一点大于零，则该点属于凸曲线；如果曲率小于零，则该点属于凹曲线。
三、曲线的解析几何描述在解析几何中，我们可以使用数学模型来描述曲线的曲率和弯曲性质。
常见的数学模型包括参数方程和隐式方程。
1. 参数方程：曲线的参数方程是用参数表示曲线上的点的坐标。
例如，对于平面上的曲线，可以使用参数方程x=f(t)和y=g(t)来描述曲线上的点的坐标，其中t为参数。
通过对参数方程求导，我们可以计算曲线在某一点的切线和曲率。
《高等数学曲率》课件
曲率与生物形态
在自然界中，许多生物形态都呈现出 曲率的特点。例如，鸟类的飞行轨迹 、河流的流向、植物的生长方式等都 与曲率密切相关。通过研究这些生物 形态的曲率特点，可以更好地理解自 然界的规律和原理。
VS
曲率在生物形态中的应用还体现在仿 生学领域。通过模仿自然界中生物的 形态和运动方式，可以创造出更加高 效、环保和可持续的交通工具、建筑 材料等。例如，仿生学中的“蜂巢” 结构就是利用了曲率的特点，具有很 好的抗压和抗震性能。
曲率与建筑设计
在建筑设计中，曲率也被广泛应用。通过合理利用曲率，可以创造出更加美观、舒适和功能性的建筑。例如，在建筑设计时 可以利用曲率来优化建筑的外观和结构，提高建筑的稳定性和安全性。
曲率还可以用于建筑内部的布局和空间设计。例如，利用曲率可以将建筑的内部空间划分为不同的区域，提高建筑的实用性 和舒适性。
曲率研究展望
曲率与几何拓扑关系
未来研究可以探索曲率与几何拓扑之间的关系，例如研究 曲率在曲面分类中的作用，以及曲率在流形学习等方面的 应用。
高维空间曲率研究
随着高维几何的发展，对高维空间中曲率的研究也日益重 要，未来可以进一步探讨高维空间中曲率的性质和计算方 法。
数值计算与模拟
随着计算机技术的发展，数值计算和模拟已经成为研究曲 率的重要手段，未来可以借助更先进的计算方法和模拟技 术，对曲率进行更精确和深入的研究。
03
曲率应用
曲率在几何学中的应用
曲率在几何学中有着广泛的应用，它描述了曲线在某一点的 弯曲程度。在平面几何中，曲率用于描述曲线在某一点的弯 曲程度，而在球面几何中，曲率则用于描述曲面在某一点的 弯曲程度。
在几何学中，曲率的概念可以帮助我们更好地理解空间中的 几何形状，以及它们之间的相互关系。例如，在研究行星运 动时，曲率的概念可以帮助我们理解行星轨道的形状和大小 。
曲率教程
多大的砂轮比较合适？ 多大的砂轮比较合适？ 解 y ′ = 0.8 x , y′′ = 0.8,
y ′ = 0 , y ′′ = 0.8,
x =0 x =0
(1+ 0 ) R= = 1.25. 0.8
2 3/ 2
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所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不 单位长， 所以选用砂轮的半径不得超过 单位长 得超过2.50单位长 单位长. 得超过 单位长
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这就是说， 这就是说，曲线弧的弯曲程度与它的长度及 其两端切线的转角大小有关， 其两端切线的转角大小有关，并且可用比值
∆α MN
来描述. 来描述 我们把曲线弧两端切线的转角与弧长之 比，叫做这段弧上的平均曲率， 叫做这段弧上的平均曲率， 平均曲率 记作 K , 即
K= ∆α MN .
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d s = (d x) 2 + (d y ) 2
dy = 1+ d x = 1 + ( y′) 2 d x. dx
y′′ （1）（2） ⇒ K = (1 + y′2 )3/2
| y′′ | . 曲率的计算公式： K = 曲率的计算公式： ( 1 + y′ )
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飞行员对座椅的压力由两部分构成， 解 飞行员对座椅的压力由两部分构成，一部分是自身 的重量， 的重量，另一部分是飞行员在原点处做圆周运动时所需的 mv 2 v为速度 m为飞行员的质量 为速度， 为飞行员的质量， ，其中为速度， 为飞行员的质量， 向心力F， 向心力 ，且 F = R x2 求导， 求导，得 R为曲率半径 对 y = 为曲率半径. 为曲率半径 4 000
高等数学-第3章 3.3 曲线的弯曲程度——曲率
*§3.3 曲线的弯曲程度——曲率一、曲率的概念在上一节中，我们研究了曲线的凹凸性，即曲线的弯曲方向问题。
本节研究曲线的弯曲程度问题，这是在生产实践和工程技术中，常常会遇到的一类问题。
例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。
为此，本节我们介绍描述曲线弯曲程度的概念——曲率及其计算公式。
直觉上，我们知道，直线不弯曲，半径小的圆比半径大的圆弯曲得厉害些，抛物线上在顶点附近比远离顶点的部分弯曲得厉害些。
那么如何用数量来描述曲线的弯曲程度呢？如图3.6所示， 12M M 和23M M 是两段等长的曲线弧， 23M M 比12M M 弯曲得厉害些，当点2M 沿曲线弧移动到点3M 时，切线的转角2α∆比从点1M 沿曲线弧移动到点2M 时，切线的转角1α∆要大些。
如图3.7所示， 12M M 和12N N 是两段切线转角同为α∆的曲线弧， 12N N 比12M M 弯曲得厉害些，显然， 12M M 的弧长比12N N 的弧长大。
这说明，曲线的弯曲程度与曲线的切线转角成正比，与弧长成反比。
由此，我们引入曲率的概念。
如图3.8所示，设,M N 是曲线()y f x =上的两点，当点M 沿曲线移动到点N 时，切线相应的转角为α∆， 曲线弧 MN 的长为s ∆。
我们用s∆∆α来表示曲线弧 MN 的平均弯曲程1M图3.6图3.7图3.81度，并称它为曲线弧MN 的平均曲率，记为K ，即K sα∆=∆。
当0s ∆→（即N M →）时，若极限0lims d s dsαα∆→∆=∆存在，从而极限l i ms d s d s αα∆→∆=∆存在，则称0lim s d s dsαα∆→∆=∆为曲线()y f x =在M 点处的曲率，记为K ，即d K dsα=。
（3.1） 注意到，d dsα是曲线切线的倾斜角相对于弧长的变化率。
二、曲率的计算公式设函数)(x f 的二阶导数存在，下面导出曲率的计算公式.先求d α，因为α是曲线切线的倾斜角，所以αtan ='y ，从而y '=arctan α，两边微分，得())(11arctan 2y d y y d d ''+='=αdx y y '''+=211（3.2） 其次求ds ，如图 3.9，在曲线上任取一点0M ，并以此为起点度量弧长。
高数第三章第七节曲率
第三章
平面曲线的曲率
曲线的弯曲程 度
与切线的转角有关 与曲线的弧长有关
主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
M M M
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一、弧微分
设函数 f ( x)在区间(a,b)
内具有连续导数.
y
基点 : A( x0 , y0 ), M ( x, y)为任意一点 ,
AM
规定
o
x0
x
(1) 曲线的正向与x增大的方向一致;
M T R
x x x
(2) AM s,当 AM 的方向与曲线正向一致
正号 , 相反时 , s 取负号 .
时 , s取
单调增函数
s s( x).
弧长 s AM s(x)
s M M(1 y2 )32
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又(
b
b2 ,
4ac)为抛物线的顶点,
2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
例2 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处 的曲率突然改变,容易发生事故，为了行驶平 稳，往往在直道和 弯道之间接入一段 缓冲段(如图),使曲 率连续地由零过渡
曲率K 的计算公式
设曲线弧 y f ( x) 二阶可导, 则由
tan y (设 )
2
2
得 arctan y
d (arctan y)dx
由弧微分公式: 故曲率计算公式为
y K (1 y2 )32
K d
ds
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若曲线由参数方程
dy (t) , dx (t)
x
证 如图
x的负半轴表示直道， OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
高等数学 第3章 第九节 曲率
曲线的弯曲程度与下列两个量有关：
（1）切线转过的角度； （2）弧段的长度。 曲率：单位弧长上切线所转过的角度。
M1M2 N1N2
1 2
3
设 MM'的长度为
切线转过的角度为
平均曲率：
s , .
s
MM '的平均弯曲程度
K
s
y
M
•
s
M
M0
•
•
O
x
曲线在点M处的曲率：
K lim s0 s
x,
y
相应的有向弧段的值
s有增量 s,
s M 0 M M 0 M MM
s ?
x
y f x
M •
M0
y
• M•
x
s s MM MM MM o
x x x MM x
MM
MM
xs2与x2x总y是2 同号MM的MM
1 y 2 x
ds
lim
s
lim
MM
1
y
2
dx x0 x x0 MM
ds y
dx
3
1 y2 2
ds 1 y2 dx
d ?
dx
6
设曲线的参数方程为
x (t)
y
(t
)
't "t "t 't
K
'2 t '2 t 3/ 2
例1 计算 xy 1 在点 1,1 处的曲率。
解
y 1, x
y
1 x2
,
y
2 x3
.
y 1, y 2.
平均曲率的极限
若 lim 存在，则
曲率
作为研究曲率的预备知 识，我们先给出弧微分 如何用数学的方法来刻画曲线的弯曲程度呢？在这一 的概念. 节，我们将建立关于曲线弯曲程度的度量，即曲率．
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弧就比较平缓；BC , DE 两段弧都是下凸的，但 BC 弧弯曲 的利害，而 DE 弧就比较平缓．
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一、弧微分
设函数 f ( x ) 在 (a, b) 内有连续导数. 下面给出有向曲 线弧的值的概念.
b 4ac b2 2 y ax bx c, (a 0) 的顶点, ( , ) 又因为 为抛物线 2a 4a
所以抛物线在顶点处的曲率最大。
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x a(t sin t ), 例4 求旋轮线 (a 0) 上点 ( a, 2a) 处的曲率． y a(1 cos t ) 分析：先由参数方程求导，然 解 由参数方程求导公式，有 后利用曲率计算公式求解。 a sin t dy [a(1 cos t )] sin t t , a(1 cos t ) 1 cos t dx [a(t sin t )] t
解 对直线来说，其切线与其本身重合，当点沿直线运动时， 讨论：要想求曲率，我们能利用的“已知”是什么？ 切线的方向没有改变，即 0 ，于是
K lim 0. s 0 s
y
T'
设圆的半径为R，如右图。 当点在圆上从 M 移动到 M 时，
D R M'
T
o
M
设转过的角度为 ， 那么它在曲线上所走过的长度为 s R 1 因此 K lim lim . s 0 s 0 R R
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3．曲率的计算公式
高等数学曲率
yxddyxcRss2cin dd
1
R sin3
K
y
3
R
1 sin
3
3
(1 y2 )2 ( 1 cot 2 ) 2
1 csc 2
R
3
(csc 2 ) 2
1 . R
12
例3 抛物y线 ax2bxc上哪一点的曲 ? 率
解 y2a xb, y2a,
D
1
k
yf(x)
在凹的一侧取一点D，使
DM 1 , 以D为圆心， o
K
M
x
为半径作圆(如图)，称此圆为曲线在点M处的曲率圆.
D曲率中 , 心 曲率半. 径
15
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的
曲率互为倒数.
即
1 K
,K
1
.
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点
复习
1.判定凹凸性的方法：
如果 f (x) 在 (a,b)内具有二阶导数，若在(a,b)内 (1) f(x)0,则曲线 f (x)在(a,b)内是凹的. (2) f(x)0,则曲线 f (x) 在 (a,b)内是凸的.
说明：拐点的横坐标可能是 y 0的根， 也可能是 y不存在的点.
弧微分公式
4
ds 1 y2dx
y
变形 ds
1
( dy)2 (d x)2
dx
(dx)2(dy)2
M
M0
ds
M
Tdy
R
dx
o
则有 (ds)2(dx)2(dy)2.
x0
x
xx x
弧微分的几何意义：ds 就是曲线 y f(x)上点M(x, y)
高等数学导数应用(三)曲率PPT课件
目录
• 曲率定义与计算 • 导数与曲率的关系 • 曲率在实际问题中的应用 • 曲率的应用案例分析 • 总结与展望
01
曲率定义与计算
曲率的定义
曲率是描述曲线在某一点弯曲程 度的量，定义为曲线在该点处切
线的斜率的变化率。
在二维平面上，曲线的曲率等于 其上任一点处切线的斜率的导数。
导数的性质
导数具有连续性、可导性、可积性等 性质，这些性质在研究函数的形态、 单调性、极值等问题中具有重要作用。
导数与曲率的关系
导数与曲率的关系
曲率是描述曲线在某一点弯曲程度的 量，与函数在该点的导数密切相关。 曲率等于函数在该点的导数的绝对值 。
导数与曲率的几何意义
在几何上，导数表示曲线在某一点的 切线斜率，而曲率表示该点附近曲线 的弯曲程度。因此，导数和曲率共同 决定了曲线在该点的形态。
在几何图形中，曲率的应用非常广泛，如圆、椭圆、 抛物线、双曲线等。
曲率决定了图形的形状和性质，如圆的曲率处处相等 且为常数，而抛物线的曲率只在顶点处为0。
在工程和科学研究中，曲率的应用也非常重要，如分 析机械零件的应力分布、研究光的传播路径等。
的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
05
总结与展望
总结高等数学导数应用(三)曲率的主要内容
曲率的概念
曲率是描述曲线弯曲程度的量，对于二维平面上的曲 线，曲率等于切线方向的转动角速度。
导数与曲率的关系
曲率是函数二阶导数的几何意义，即曲率等于函数二 阶导数的值。
曲率的应用
曲率在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用，如 分析机械零件的应力分布、预测股价波动等。
曲线的曲率推导
曲线的曲率推导曲线的曲率是曲线局部上的一种本质性质，它描述了曲线的弯曲程度。
在工程、物理、生物学等领域，曲率的概念都有着广泛的应用。
在本文中，我们将从几何和数学角度出发，详细介绍曲线的曲率的定义、性质以及推导过程。
一、曲率的定义假设我们有一条平面曲线C，并以P为曲线上的一个点，同时过该点P可以画出曲线的切线L。
记曲线C在点P处的曲率为k，则有如下公式：k = |\frac{d\boldsymbol{T}}{ds}|其中，T是曲线在点P处的切向量，s为曲线上从起点到点P的弧长，d\boldsymbol{T}/ds为切向量在弧长方向的导数。
此处符号“| |”表示向量的模长。
从上述定义中可以看出，曲率k刻画的是曲线在局部上的弯曲情况。
当k值越大时，曲线的弯曲程度越大；反之，当k值越小或为0时，曲线的弯曲程度越小或没有弯曲。
二、曲率的推导过程现在，我们来推导一下曲率的公式。
在P处切线L上选取一个点A，并以AP为半径画出一个圆弧BC，其中B和C分别是圆弧上AP两侧的点。
则有如下关系：AC = 2APsin(\theta/2)其中，\theta是圆弧BC对应的圆心角的大小，即∠BPC。
又有：\boldsymbol{T} = \frac{\boldsymbol{AP}}{AP}此处的AP是向量AP的模长。
考虑将\boldsymbol{AP}写成曲线上的表示，即\boldsymbol{AP} = s\boldsymbol{T}。
因此，我们可以得到：AC = 2s\sin(\theta/2)根据三角函数的定义，可以得到：\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} =\frac{2}{AC}\cdot\frac{\mathrm{d}AC}{\mathrm{d}s}将上述两式相乘并代入之前的定义公式中，得到：k = \frac{1}{s}\cdot\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = \frac{\dot{\boldsymbol{T}}}{s}其中，符号“·”表示向量的点积，\dot{\boldsymbol{T}}是切向量在固定坐标系下的导数（即加速度）。
曲 率
曲率
本节将研究表示曲线弯曲程度的量——曲率．曲率在研究物体运 动及机械运动时，有很重要的应用价值．例如，火车铁轨由直道转 入圆弧形弯道之前，需要在直道线路的末端处接上一段适当的曲线 铁轨，以使火车转弯时能平稳行驶．
1.1 弧微分
如图所示，设 f (x) 在 (a ，b) 内有连续导数．
1.1 弧微分
解 如图所示，弧 AB 长度为 s ， | s | R | | ，于是
| s | R ， | |
所以
k lim | | 1 ．
s0 | s | R
利用曲率的定义计算曲线的曲率是比较困难的，下面研究曲率的计算公式．
1.2 曲率的概念及计算公式
例 2 求半径为 R 的圆的曲率．
设 y f (x) 二阶可导，前面已求出 ds 1 ydx ，下面求 d ． 由 y f (x) 导 数 的 几 何 意 义 知 tan y ， 将 tan y 两 边 对 x 求 导 ， 得
以 R 为半径的圆称为曲线在点 M 处的曲率圆．曲率圆的圆心 O 称为曲线在点 M 处的 曲率中心，曲率圆的半径 R 称为曲线在点 M 处的曲率半径．这样有
3
பைடு நூலகம்
R 1 1 ( y)2 2 ．
k
| y |
1.3 曲率圆与曲率半径
例 4 设工件内表面的截线为抛物线 y 0.4x2 （见图），现在 要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？
长度 |s| 的比值称为弧段 MN 的平均弯曲程度，也称弧段 MN 的平均曲率，记作 k ，
即 k | | ．
当
| s | s 0
时（即
N
M
时），上述平均曲率的极限称为曲线
C
大一高数知识点曲率
大一高数知识点曲率在大一的高等数学学习过程中，曲率是一个重要的知识点。
曲率描述的是曲线弯曲程度的大小，并且在物理学、工程学以及计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
本文将从曲率的定义、计算方法以及几何意义等方面进行论述。
1. 曲率的定义曲率是描述曲线弯曲程度的一个量。
对于平面上的曲线来说，曲率可理解为曲线上某一点处的切线与曲线在该点切线方向上的转角大小。
曲率的记号通常为k，其定义如下：k = |dθ / ds|其中，dθ表示曲线在该点的切线方向上的转角变化量，ds表示曲线在该点处的弧长。
2. 曲率的计算方法为了计算曲线上某一点的曲率，我们可以采用以下方法之一：(1) 参数方程法：如果曲线的方程已知，可以将曲线的参数方程与曲率定义带入公式进行计算；(2) 直角坐标法：如果曲线的方程只能用直角坐标系表示，可以直接对方程进行求导并代入曲率定义公式求解；(3) 极坐标法：如果曲线的方程采用极坐标系表示，可以对方程进行求导后带入曲率定义公式计算。
3. 曲率的几何意义曲率不仅可以描述曲线的弯曲程度，还有以下几何意义：（1）曲率半径：曲率的倒数是曲率半径，即R = 1 / k。
曲率半径表示曲线在某一点上的弯曲程度，曲率半径越大，曲线越接近于直线，曲率越小；曲率半径越小，曲线越弯曲，曲率越大。
（2）曲率圆：曲线上的每一点都可以与一圆相切，该圆被称为曲线的曲率圆。
曲率圆的半径就是曲率半径R。
曲率圆可以用来描述曲线在某一点上的弯曲情况。
（3）曲率中心：曲线上的每一点都存在一个曲率中心，它是曲率圆的圆心，曲线在该点的切线过曲率中心。
4. 曲率的应用领域曲率在多个学科和领域中具有广泛应用，以下是其中几个典型的应用领域：（1）物理学：曲率在物理学中被广泛应用于描述光线的传播规律，尤其在几何光学中发挥着重要作用。
（2）工程学：曲率可以用于描述曲线道路的弯曲程度，对于道路设计和车辆行驶安全具有重要意义。
（3）计算机图形学：曲率可以用来生成平滑曲线或曲面，广泛应用于计算机动画、电影特效以及虚拟现实等领域。
数学曲率知识点总结
数学曲率知识点总结数学曲率是研究曲线和曲面弯曲程度的一种数学概念。
它在微分几何和微分方程中有着重要的应用，也是现代物理学和工程领域的重要基础知识之一。
本文将从曲率的定义、性质、计算、应用和相关概念等方面对数学曲率知识点进行总结和探讨。
一、曲率的定义1. 曲率的几何意义曲率是研究曲线和曲面弯曲程度的量，它能够描述曲线或曲面在某一点的弯曲程度和方向。
曲率可以用来描述曲线或曲面的局部几何属性，是几何学中的重要概念。
2. 曲率的定义对于曲线上的一点P，其曲率可以用切线法向量和曲线在P点的切线的夹角来表示。
在三维空间中，曲线的曲率定义为其切线方向的变化率。
在曲面上，曲率是指曲面在某一点处的弯曲程度。
二、曲率的性质曲率具有一些重要的性质，包括：1. 曲率的正负性：根据曲率的定义，可以得出曲率有正负之分。
凸曲线上的曲率为正，而凹曲线上的曲率为负。
2. 曲率的大小：曲率的大小表示了曲线或曲面的弯曲程度，可以通过曲率的绝对值来表示。
三、曲率的计算曲率的计算是数学曲率知识中的重要内容之一，它包括了曲线曲率和曲面曲率的计算方法。
1. 曲线曲率的计算：曲线曲率可以通过极限的定义进行计算，也可以通过向量微积分的方法进行计算。
2. 曲面曲率的计算：曲面曲率的计算相对复杂一些，通常需要利用高等数学知识，包括向量微积分、微分几何和微分方程等知识。
四、曲率的应用曲率在现代数学和物理学中有着广泛的应用，包括微分几何、数学物理、光学等领域。
1. 曲率在微分几何中的应用：微分几何研究的对象就是曲线和曲面的性质，曲率是微分几何中关键的概念之一。
2. 曲率在数学物理中的应用：曲率在广义相对论中有重要应用，它能够描述时空的弯曲程度。
3. 曲率在光学中的应用：光线在曲面上的反射和折射等现象都与曲率有着密切的关系。
五、相关概念与曲率相关的概念还包括了曲率半径、法曲率、主曲率、高斯曲率等。
1. 曲率半径：曲率半径是曲线或曲面在某一点处曲率的倒数，可以用来描述曲率的大小。
第三章 曲率
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
曲率圆y=y(x)与曲线y=f(x)的关系 ①过同一点 y( x0 ) f ( x0 ) ②有公切线 y( x0 ) f ( x0 ) ③圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同
l 冲段OA 在始端 O 的曲率为零, 并且当 很小 R l 1 ( 1) 时，在终端A 的曲率近似为 . R R
证 如图
x的负半轴表示直道，
y
R
OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
l
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
在缓冲段上,
1 2 y x , 2 Rl 1 y x. Rl
( t ) ( t ) ( t ) ( t )
[ 2 ( t ) 2 ( t )]
3 2
.
例1 抛物线 y ax 2 bx c 上哪一点的曲率最大 ? 解 y 2ax b,
k 2a [1 ( 2ax b ) ]
3 2 2
曲
率
前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。 我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但 是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度 也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量，它 等于单位路程上方向（角度——切线的倾斜角） 的改变量
一、弧微分
y
设函数f ( x )在区间(a , b ) 内具有连续导数.
A
M
N T R
弧段弯曲程度 越大转角越大
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
设曲线C是光滑的，
弯曲程度问题和曲率
启示
向心力 F n m
v2
列车以相同的速度行驶 （1）当经过的铁轨：弯曲程度较小（曲率较小），
即曲率半径较大时，向心力可能不会太大。
（2）当经过的铁轨：弯曲程度较大（曲率较大）， 即曲率半径较小时，向心力可能会很大。
2013年7月24日晚8 点42分，从西班牙首都 马德里开往费罗尔的火 车。
1
y y 2
于是
d
y 1 y2
dx
y
y f (x)
M
o
x
湖南科技学院
一般平面曲线的曲率
于是
d
y 1 y2
dx
又 d s dx2 dy2
dx2 y d x 2
1 y 2 dx
所以，曲率
d K
ds
y
3
1 y2 2
y
ds
dy
dx
o
x
湖南科技学院
三、曲率圆和曲率半径
曲率圆：以 D 为圆心,
据报道，列车行驶 至一个弯道时，突然脱 轨。死伤惨重！这是全 球最严重的列车事故之 一。
“黑匣子”数据显 示，出事列车在进入限 速为时速80公里的弯道 时，车速竟然一度高达 时速192公里。
➢ 用时速80公里和192公里的速度比较一下
802
Fn1 m 2
y
M
Ms
) )
o
x
湖南科技学院
二、曲率
➢ 某一点的曲率 K l i m
s 0 s
y
d
ds
当 s 0 时， 点MM o
平均曲率的极限 描述：某一点的弯曲程度
M
Ms ) )
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*
§3.3 曲线的弯曲程度——曲率
一、曲率的概念
在上一节中，我们研究了曲线的凹凸性，即曲线的弯曲方向问题。
本节研究曲线的弯曲程度问题，这是在生产实践和工程技术中，常常会遇到的一类问题。
例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。
为此，本节我们介绍描述曲线弯曲程度的概念——曲率及其计算公式。
直觉上，我们知道，直线不弯曲，半径小的圆比半径大的圆弯曲得厉害些，抛物线上在顶点附近比远离顶点的部分弯曲得厉害些。
那么如何用数量来描述曲线的弯曲程度呢？
如图3.6所示， 12M M 和
23M M 是两段等长的曲线弧， 23M M 比
12M M 弯曲得厉害些，当点2M 沿曲线弧移动到点3M 时，切线的转角2α∆比
从点1M 沿曲线弧移动到点2M 时，切线的转角1α∆要大些。
如图3.7所示， 12M M 和
12N N 是两段切线转角同为α∆的曲线弧， 12N N 比
12M M 弯曲得厉害些，显然， 12M M 的弧长比
12N N 的弧长大。
这说明，曲线的弯曲程度与曲线的切线转角成正比，与弧长成反比。
由此，我们引入曲率的概念。
如图3.8所示，设,M N 是曲线()y f x =上的两点，当点M 沿曲线移动到点N 时，
切线相应的转角为α∆， 曲线弧 MN 的长为s ∆。
我们用s
∆∆α来表示曲线弧 MN 的平均弯曲程
1M
图
3.6
图
3.7
图3.8
1
度，并称它为曲线弧
MN 的平均曲率，记为K ，即
K s
α
∆=
∆。
当0s ∆→（即N M →）时，若极限0lim
s d s ds
αα
∆→∆=∆存在，从而极限
l i m
s d s d s αα∆→∆=∆存在，则称0lim s d s ds
αα
∆→∆=
∆为曲线()y f x =在M 点处的曲率，记为K ，即
d K ds
α
=。
（3.1） 注意到，
d ds
α
是曲线切线的倾斜角相对于弧长的变化率。
二、曲率的计算公式
设函数)(x f 的二阶导数存在，下面导出曲率的计算公式.
先求d α，因为α是曲线切线的倾斜角，所以αtan ='y ，从而y '=arctan α，两边微分，得
())(11arctan 2y d y y d d ''+=
'=αdx y y '''
+=2
11
（3.2） 其次求ds ，如图 3.9，在曲线上任取一点
0M ，并以此为起点度量弧长。
若点()y x M ,在()000,y x M 的右侧()0x x >，规定弧长为正；若点()y x M ,在()000,y x M 的左侧()0x x <，规定弧长为负；依照此规定，弧长s 是点的横坐标x 的增函数，记为()x s s =。
当点M 沿曲线移动到N ，相应地，横坐标由x 变到x x +∆时，有
=
∆2
)(s ()
()()2
2
2
y x MN
∆+∆=≈，
即 22)(1)(
x
y
x s ∆∆+≈∆∆，
图3.9
2
取极限后可得等式
2020)(lim 1)(
lim x
y
x s x x ∆∆+=∆∆→∆→∆，
即 22)(1)(dx dy
dx ds +=21y '+=，
又因为，s 是x 的增函数，故0ds
dx ≥，从而
21y dx
ds
'+=， 即 dx y ds 21'+=。
（3.3） 把（3.2）、（3.3）式代入（3.1）式，得
23/2
(1)y K y ''
=
'+ （3.4） 这就是曲线()y f x =在点(,)x y 处曲率的计算公式.
例1 求下列曲线上任意一点处的曲率： （1）b kx y +=；（2）222R y x =+。
解 （1）因为k y ='，0=''y ，代入公式（3.4），得0K =。
所以，直线上任意一点的曲率都等于零，这与我们的直觉“直线不弯曲”是一致的。
（2）因为022='+y y x ，y x y -='；322y
R y y x y y -='--=''，代入公式（3.4）
，得
()
3
2
2
1y K y ''
=
'+()
2
32)(132
x y R -+-
=
()
R
y
x
R 12
3
2
2
2
=
+=。
所以，圆上任意一点处的曲率都相等，即圆上任意一点处的弯曲程度相同，且曲率等于圆的半径的倒数。
三、曲率圆
如图3.10，设曲线()y f x =在点(,)M x y 处的曲率为(0)K K ≠。
在点M 处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D ，使1
||DM K
ρ=
=。
以D 为圆
图3.10
3
心，ρ为半径所作的圆称为曲线在点M 处的曲率圆；曲率圆的圆心D 称为曲线在点M 处的曲率中心；曲率圆的半径ρ称为曲线在点M 处的曲率半径。
根据上述规定，曲率圆与曲线在点M 处有相同的切线和曲率，且在点M 邻近处凹凸性相同。
因此，在工程上常常用曲率圆在点M 邻近处的一段圆弧来近似代替该点邻近处的小曲线弧。
例2 设工件内表面的截线为抛物线20.4y x =，现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值。
因为
0.8,0.8y x y '''==，
所以，抛物线上任一点的曲率半径为
23/223/2
1(1)[1(0.8)]0.8
y x K y ρ'++===
''， 当0x =时，即在顶点处，曲率半径最小，为 1.25ρ=。
所以，选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长.。