复变函数与积分变换b卷
复变函数与积分变换试题B==2015
海南大学2015-2016学年度第1学期试卷科目：《复变函数与积分变换》试题(B 卷)学院： 专业班级： 姓名： 学 号：成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写）阅卷教师： 年 月 日考试说明：本课程为闭卷考试。
一、 判断题(每题1分，共5分)（说明：对的，打上“√”号；错的，打上“×”号。
）（ ）1、扩充复平面与复球面上的点一一对应。
（ ）2、如果()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 处必可导。
（ ）3、如果 ，则z =0。
（ ）4、z =0是 的一级极点。
（ ）5、如果 在区域D内处处为零，则()f z 在D 内为一常数。
二、 填空题(每题3分，共15分)1、 。
2、设f(z)=z cos z ，则 。
)('z f =)0()2016(f 0=z e =⎰dz z z 20sin )1sin()(z z f =3、 的收敛半径= 。
4、如果0z 是函数f(z)在有限复平面内的可去奇点，则Res [f(z), 0z ]= 。
5、 。
三、 计算题(共20分) （注意：要有运算步骤。
）1、将下列复数化为三角表示式和指数表示式：2、求3、求).31(i Ln -4、求函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤=.3,0,31,2,10,1)(t t t t f 的Laplace 变换. 四、解答题（共60分）1、计算积分 dz z z z z C ⎰++-)4(2)1(sin ）（，其中C 为正向圆周：|z|=3. （10分） 2、 利用留数定理计算其中C 为正向圆周：|z|=2. （10分）3、解微分方程 其中，f (t )为已知函数。
(10分)4、设函数 (1)把函数 f(z) 在内展开成洛朗级数。
（10分） (2)求积分 （5分） 5、如果函数f(z)=u+iv 在区域D 内解析，且arg f (z )在D 内是一个常数，=⎰+∞∞dt )(-t δnn n z i ∑∞=+0)43(.522i i i -+.)33(31i ++∞<<||1z .)(3||dz z f z ⎰=,1)/1sin()(-=z z z z f ).()()(44t f t y t y dt d =+⎰+-C dz z z z ，)1()1(34(1)写出f 满足的柯西-黎曼方程。
复变函数积分变换复习卷及答案
复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。
2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。
3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。
10125212131i i i i i +-=+-=-。
4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。
5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。
6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。
7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。
8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。
1224(4)2i i -==±。
9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。
11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。
1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。
二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。
（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。
(完整版),复变函数与积分变换期末考试题及答案,推荐文档
1． z0 为函数 f z 的 m 阶零点；
2． z0 为函数 f z 的 m 阶极点；
求
Res
z
f f
z z
,
z0
。
ez2
六．（15 分）写出函数
的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。
cos z
七．（10 分）求函数 f t 1 tu t 3 t sin 2t 傅氏变换。
四、填空题（15 分，每空 3 分）
1． ln 2 i 。2． i 。3． 2 z 3 3 。4． 半平面 Re w 1 R。5．0。
4
2
三．(10 分)解:容易验证 u 是全平面的调和函数。利用 C-R 条件，先求出 v 的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
江西科技师范学院卷（B）
2007--2008 学年第二学期
时间 110 分钟
复变函数与积分变换 课程 40 学时 2.5 学分 考试形式：闭卷
专业年级：电子科学与技术 总分 100 分，占总评成绩 70 %
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
三、单项选择题（15 分，每小题 3 分）
1．A。2． B 。3． A。4． C。5．C。
z
z
z0
z
z0
n z0
n!
z
z0
n
(1)z0为f的阶z 零m点等价于在的一个z0邻域内
f z z z0 m z
其中在点z 解析, z0
于z是在0,的去心领z0 域
z
f f
z z
m z
z z0
z
z z
m z0
z z0
m
n1
m zz
成人高考数学复变函数与积分变换考核试卷
D. L{sin(at)} = a/(s²+a²)
（）
6.对于傅里叶变换，以下表述正确的是（）
A.傅里叶变换是一种积分变换
B.傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号
C.傅里叶变换具有线性性质
D. A、B、C都正确
（）
7.以下关于复变函数积分变换的表述，正确的是（）
B. f(z)在z=0处的解析延拓与f(z)在z=0处的解析性质有关
C. f(z)在z=0处的解析延拓的收敛域与f(z)在z=0处的解析性质有关
D. A、B、C都正确
（）
16.以下关于积分变换的表述，正确的是（）
A.积分变换是一种线性变换
B.积分变换可以解决微分方程初值问题
C.积分变换可以简化计算过程
8.拉普拉斯变换可以解决微分方程的初值问题。（）
9.在复变函数中，任何连续函数的积分都是路径无关的。（）
10. Z变换是复变函数积分变换的一种，常用于控制理论。（）
五、主观题（本题共2小题，每题10分，共20分）
1. (10分)请说明复变函数解析的概念，并给出两个解析函数的例子。
2. (10分)请解释傅里叶级数的概念，并说明其在信号处理中的应用。
A.函数在整个复平面上解析
B.函数在一个单连通区域内解析
C.函数在一个多连通区域内解析，但积分路径不包围任何奇点
D.函数在一个多连通区域内解析，积分路径包围了奇点
（）
13.以下哪些是复变函数的应用领域？（）
A.量子力学
B.电路分析
C.流体力学
D.数论
（）
14.关于积分变换的性质，以下哪些是正确的？（）
12-13(2)《复变函数与积分变换》试卷B答案
中国计量学院201 2 ~ 201 3 学年第二学期 《 复变函数与积分变换 》课程试卷（ B ）参考答案及评分标准开课二级学院： 理学院_ ，学生专业：电信等 教师：罗先发、沈鸿、吴跃生 一、选择题1、B2、D3、C4、B5、C 二、填空题1、五级极点2、|1|1z -<3、22i --4、-(21),k i k Z π+∈5、3 三、判断题1、√2、×3、×4、√5、√四、解答题 (第1、2小题各6分，3—8小题各8分，共60分) 1、求值：i i ．解[l n ||(a r g i i L n i i i i iki e e π++==………………（3分）[ln1(2)](2)22i i k k eeππππ++-+==…………………（6分）,2、计算：Czdz ⎰Ñ，其中C 是逆时针方向单位圆周曲线．解 :(02)i C z e θθπ=≤≤………………………（2分） 2220()2i i i i Czdz e d e e ie d i d i πππθθθθθθπ--==⋅==⎰⎰⎰⎰Ñ………………………（6分）3、计算：22cos 1z zdz z =-⎰Ñ． 解：因为21111()1211z z z =---+， 所以由柯西积分公式得2||2||2||2c o s 1c o s c o s[]1211z z z z z z dz dz dz z z z ====---+⎰⎰⎰蜒? ………………… (4分) 1112[cos |cos |][cos1cos(1)][cos1cos1]02z z i z z i i πππ==-=⋅-=--=-=……… (8分)4、计算：23223(1)z z z dz z =-+-⎰Ñ． 解 22332322233(1)(1)2112(1)(1)1(1)(1)z z z z z z z dz dz dz z z z z z ===⎡⎤-+---+==-+⎢⎥-----⎣⎦⎰⎰⎰蜒? 232221121(1)(1)z z z dz dz dz z z z ====-+---⎰⎰⎰蜒?……………… (4分) 2002i i ππ=-+=……………… (8分)5、计算：112()nn z zdz +∞=-=∑⎰Ñ．解 因为0n n z +∞=∑解析，所以由柯西积分定理知012()0nn z z dz +∞===∑⎰Ñ， 而1212z dz i z π==⎰Ñ……………… (4分)因此 1001111222211()()()nn n n n n z z z z z dz z dz dz z dz zz +∞+∞+∞=-=======+=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰蜒蜒202i i ππ=+=……… (8分)6、判别函数21(1)sin 1z z --有限奇点的类型，并求出该奇点处的留数．(8分)解 1z =是函数21(1)sin 1z z --的有限孤立奇点，………………（1分）函数21(1)sin 1z z --在该孤立奇点的罗朗级数为2235711111(1)sin(1)[]113!(1)5!(1)7!(1)z z z z z z z -=--+-+-----L 35111(1)3!(1)5!(1)7!(1)z z z z =--+-+---L ………………（5分）因此，1z =是本性奇点，………………（6分） 函数该奇点处的留数为2111Re [(1)sin ;1]13!s z C z --==--.………………（8分）7、求函数1(1)(2)z z --在区域1||2z <<中的罗朗级数．解：因为1||2z <<，所以1||1,||12z z<<，由011n n u u ∞==-∑ (||1)u <得 ……………（4分） 1111111(1)(2)21112z z z z z z z=-=-------- ………………（6分） 00112n nn n z z z ∞∞==⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑1001 (1||2)2n n n n n z z z ∞∞+===--<<∑∑ ………………（8分）8、已知调和函数323u x xy =-，求其共轭调和函数v ，并求以u 为实部且满足条件(0)f i =的解析函数)(z f ．解2233u x y x ∂=-∂，6,u xy y∂=-∂由C-R 条件得 y v ∂∂=2233,ux y x ∂=-∂ （1） v x ∂-=∂6u xy y∂=-∂， （2）………………（3分） 将（1）式对x 积分得2(,)63()v x y xydx x y y ϕ==+⎰，（3） …………………………………（5分） （3）式对y 求导，代入（2），2()3y y ϕ'=，得 3()y y C ϕ=+于是，23(,)3v x y x y y C =++，…………………………………………（7分） 由iv u z f +=)(，且(0)f i =，得 1C =因此所求的解析函数为：)(z f =32323(31)x xy i y x y -++-+………………（8分）五、证明（每小题5分，共10分）1、设()f z 在区域D 内解析，且Im ()f z 在D 内恒为常数，证明()f z 在区域D 内必为常数．证明 设()f z u iv =+，则Im v z =是常数，因为()f z 解析，所以由C-R 条件知0,0,u v u v x y y x∂∂∂∂===-=∂∂∂∂………………（3分） 于是知 Re u z = 也是常数，从而()f z u iv =+是常数．………………（5分）2、证明：0z 是函数()f z 的(1)m m ≥级极点的充分必要条件是：()f z 可以表示为0()()()mz f z z z ψ=-的形式，其中()z ψ在0z 点解析，且0()0z ψ≠．证明 因为0z 是函数()f z 的(1)m m ≥级极点，由定义有(1)1010010001(1)00010000()()()()()1()()()()()(),()m nm n m m m m n m m m n m mC C C f z C C z z C z z z z z z z z C C z z C z z C z z C z z z z z z z ψ-----++---=+++++-++-+---⎡⎤=+-++-+-++-+⎣⎦-=-L L L L L L 其中1(1)000100()()()()()m m n m m m n z C C z z C z z C z z C z z ψ++---=+-++-+-++-+L L L在0z 的某个邻域内收敛，所有在该邻域内()z ψ解析，且0()0m z C ψ-=≠．于是必要性的证，……………………（4分）逆上述过程，即可证明充分性．……………………（5分）。
（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档
（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A）1．1 -i⼀．填空题（每⼩题3 分，共计15 分）的幅⾓是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1）；3.f (z) =1 +z 2，z - sin z f (5)(0) =（）；f (z) =1，4．z = 0 是z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；⼆．选择题（每⼩题3 分，共计15 分）1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =ux+ivy ；（D） f '(z) =u y +iv x.2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ．3；（B）3(z -1)；（C）3(z -1)；（D）3.n=1（A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点⼀定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点⼀定解析；得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ?C f (z )dz = 0（C ）如果 ?C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析；（D ）函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）．(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .z（2）．计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分zd z （3）计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数；（1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞五．（本题 10 分）⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 6 分）求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换，并由此证明：costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准⼀．填空题（每⼩题 3 分，共计 15 分）得分3 的幅⾓是（ 2k Ln (-1 + i ) ee 1． 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 ）；2.的主值是（ 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 ， f(5)(0) = （ 0），4． z = 0 是1 z4的（⼀级）极点；5． f (z ) = z， R e s [ f (z ),∞] =（-1）；⼆．选择题（每题 3 分，共 15 分）1----5B DC B D三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共 40 分）（1）．设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。
07-08第1学期复变函数与积分变换B卷
第 1 页 共 3 页07-08B 浙江科技学院一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1． 设11iz i -=+，则它的幅角主值arg z 为 2． 设e z=1i +，则Im z 为 ；3． 设f (z )=zsinz ，则()f z '为 ；4． 不等式0|1|1z <-<所确定的区域为 ； 5． 设C 为正向圆周|z |=1，则d ccos zz z⎰为 ； 6． z=0是1sin z为 奇点（类型）； 7． 设幂级数11nn z n∞=∑，则它的收敛半径为 ； 8． 复积分11d |z|z |z |=⎰为 ； 9． 设函数1ze ，则它在奇点处的留数为 ；10．设函数()at f t e =(a 为复常数),则它的拉普拉斯变换为 .二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。
本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 当200620052004,z i zz z =++的值等于（ ）A iB -iC 1D -12. 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点000z x iy =+处连续的充要条件是（ ）A. (,)u x y 在00(,)x y 处连续； B (,)v x y 在00(,)x y 处连续；专业班 学 姓 ………………………………………………………………………装订线……………………………………………………………………………………第 2 页 共 3 页C (,)u x y 和(,)v x y 分别在00(,)x y 处连续；D (,)u x y (,)v x y +在00(,)x y 处连续.3. 已知函数()(1)f z Ln z =-在各个分支的解析区域是（ ） A 实轴上半平面 ； B 虚轴的右半平面；C 除掉负实轴和原点的平面；D 除掉实轴上1和1的左边的的平面.4.设幂级数0n n n a z ∞=∑的收敛半径R >0，则它( )A. 在｜z ｜≤R 上收敛B. 在｜z ｜>2R上绝对收敛 C. 在｜z ｜<R 上绝对收敛D. 在｜z ｜≤R 上绝对收敛5. 0z =是2sin ()zf z z=的（ ） A 可去奇点 ； B 本性奇点； C 二阶极点； D 以上全不正确 .三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 1． 计算积分czdz ⎰，其中C 是从点1到i 的直线段;2． 指出函数()cos sin x x f z e y ie y =+在整个复平面上的可导性与解析性;3. 计算积分212CI dz z z=+⎰ ，其中C 为正向圆周|z |=34. ;计算积分3||2e d (1)(3)zz z z z =--⎰ ;………………………………………………………………………………浙江科技学院考试试卷第 3 页 共 3 页5. 设C 为正向圆周|z |=R(R ≠2)，计算积分I=2(2)C z dz z -⎰ ；6. 求函数1(2)z z -在去心领域01z <<内的罗朗级数展开式；四、综合题（本大题共2小题,第1小题10分,第2小题7分,共17分） 1. 利用留数计算广义积分221dx(x )+∞-∞+⎰;2. 求矩形脉冲函数1,||,()(0)0,||t f t t ≤δ⎧=δ>⎨>δ⎩傅氏变换.专业班级 学号 姓名 ………………………………………………………………………装订线……………………………………………………………………………………。
复变函数与积分变换试题与答案
复变函数与积分变换试题与答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设复数z 1cos i sin 33ππ=++，则arg z=（ ） A.-3π B.6πC.3πD.23π2.w=z 2将Z 平面上的实轴映射为W 平面的（ ）A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴3.下列说法正确的是（ ）A.ln z 的定义域为 z>0B.|sin z|≤1C.e z ≠0D.z -3的定义域为全平面4.设C 为正向圆周|z|=1，n C sin zdz z⎰=2π i ，则整数n 为（ ）A.-1B.0C.1D.2 5.设C 为正向圆周|z|=2，则2Czdz z ⎰=（ ）A.-2πiB.0C.2πiD.4πi6.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=2C sin 6d (z)πςςς-⎰，则f′(1)=（ ）A.-3i 36π B.3i 36π7.设nn n 0a z∞=∑n n n 0b z ∞=∑和n n n n 0(a b )z ∞=+∑的收敛半径分别为R 1，R 2和R ，则（ ）A.R=R 1B.R=min{R 1,R 2}C.R=R 2D.R≥min{R 1,R 2}8.罗朗级数nn n 1n 0n 01z z 2∞∞-==+∑∑的收敛域为（ ） A.|z|<1 B.|z|<2C.1<|z|<2D.|z|>29.已知sinz=n 2n 1n 0(1)z (2n 1)!+∞=-+∑，则Res 4sin z,0z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（ ）A.1B.-13!C.13! D.15!10.整数k≠0，则Res[cot kz, π]=（ ） A.-1k B.0 C.1kD.k 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。
西南交大2017-2018复变函数与积分变换B期末考试A卷
复变函数与积分变换B(6022900)期末考试A 卷2017-2018学年第1学期一、填空题 (4分每题，共16分)1.2i +的三角表示式为.2.2018i)=.3.积分z 2z 1e d 22zz z =++∫ 的值为 .4.幂级数sin(i )(1)nn n z ∞=+∑的收敛半径R 为.二、计算题 (4分每题，共16分)1.2.sin[(1i)π]−3.1i(1i)+− 4.2z 2sin(π)d (1)z z z z =+∫ 三、解答题 (共38分)1.设22()i f z xy x y =+，试讨论()f z 在何处可导，何处解析. (7分)2.设C 为从原点到1i −的直线段，计算积分2(+i )d CIx y xy z +∫. (7分)3.已知22(,)u x y x xy y =+−，验证(,)u x y 是调和函数；并求解析函数()(,)i (,)f z u x y v x y =+，使(i)1i f =−+. (7分)4.设221sin1()(1)(e 1)z z z f z z −=+−，试判断()f z 在有限复平面上所有孤立奇点的类型，若是极点需判断极点的阶数. (7分)5.将2(1)1z z −展开成洛朗级数：(1)当01z <<. (5分)(2)当0-11z <<. (5分)四.解答题 (共30分)1.计算积分2z 2e d (1)zz z z =−∫ . (6分) 2.利用留数定理求解定积分(1)2sin d 1x xxx −∞+∫(5分)(2) 2π1d cos 6xx +∫(5分)3.设函数()f z 在1z ≤上解析且()1f z ≤，试证(0)1f ′≤. (7分)4.求函数1()[()()()()]222a af t δt a δt a δt δt =++−+++−的傅里叶变换. (7分)参 考 解 析一、填空题 (4分每题，共16分)1.2i +的三角表示式为55 4cosπisin π 66 +. �解 ()Re 0z <，()Im 20z =>，5arg arctan ππ6z =+，()cos isin z z +θθ5555cos πisin π4cos πisin π6666 +=+.2.)2018i−. �解)()()20182018ππi i 20182018631i2e 2e 22−− ===− .3.积分z 21e d 22z zz z =++∫ 的值为 0 . �解 ()z z 2211e d e d 2211z z z z z z z ===++++∫∫ 极点1i z =−+在1z =外，所以z 21e d 022z zz z ==++∫ .4.幂级数()()0sin i 1nn n z ∞=+∑的收敛半径R 为1e −.�解 ()()1sin i e e 2i n n n −=−，()()11sin i 1e e lim lim e sin i e e n n n n n n n n ρ−−+−→∞→∞+ − ===−，11e R ρ−==二、计算题 (4分每题，共16分)1.2.()sin 1i π−3.()1i1i +− 4.()()2z 2sin πd 1z zz z =+∫ �解1. 1πππ4i i 4216ππππcos isin 216216k k k−−==−+−，0,1,2,3k =；2.()()()()()sin 1i πsin πi πsin πcos i πcos πsin i πsin i πish π−=−=−== ；3.()()()()1ππ1i ln 2i 2π2π1i1i Ln 1i 244ln 2πln 2π1i eecos isin 2424k k+⋅+−+ −++−−===−+−，k ∈Z ； 4.0z =为可去奇点，1z =−为一级极点，()()22sin πd 1z z zz z =+∫ ()2πi Res ,1f z −()12πi lim 1z z →−+()()2sin π1z z z +22πi =.三、解答题 (共38分)1.设22()i f z xy x y =+，试讨论()f z 在何处可导，何处解析. (7分)�解 22,,2,2x y y x u y v x u xy v xy ====，由C-R 方程y x v u =，x y v u −=得：2222x y xy xy ==−，所以在()0,0可导，处处不解析.2. 设C 为从原点到1i −的直线段，计算积分()2i d CI x y xy z =++∫. (7分)�解 沿y x =−，i z t t =−，()d 1i d z t =−，()()()112331ii d i 1i d 1i d 4C x y xyz t t t t +++=−=+=∫∫∫. 3.已知22(,)u x y x xy y =+−，验证(,)u x y 是调和函数；并求解析函数()(,)i (,)f z u x y v x y =+，使()i 1i f =−+. (7分)�解 2,2,2,2x xx y yy u x y u u x y u =+==−=−，所以0xx yy u u +=，即(,)u x y 是调和函数. 由C-R 方程：2,2y x x y v u x y v u y x ==+=−=−，得()()d y x xxu v u y g x =−=−+∫，所以()()2d x x y y g x′−+− ∫2x y =−，解得()g x x ′=−，()()221d 22x v u y g x xy y x C =+=+−+∫，代入()i 1i f =−+，得12C =，即()22221()i 212f z x xy y xy y x=+−++−+ .4.设221sin1()(1)(e 1)z z z f z z −=+−，试判断()f z 在有限复平面上所有孤立奇点的类型，若是极点需判断极点的阶数. (7分)�解 0z =是分母的一级零点，也是分子的一级零点，故为()f z 的可去奇点；2πi, , 0z k k k =∈≠Z 为分母的一级零点，故为()f z 的一级极点；i z =±是分母的二级零点，故为()f z 的二级极点；1z =不是孤立奇点. 5.将2(1)1z z −展开成洛朗级数：(1)当01z <<. (5分)(2)当011z <−<. (5分)�解 (1)()()()222001121111111n n n n n n z n z n z z z z z z z ∞∞∞===− =⋅=⋅=⋅+=+ − − ∑∑∑；(2)()()()()()()()()222021111111111111n nn nn n z z z z z z z ∞∞==−==−−=−−+−−−−∑∑.四.解答题 (共30分)1.计算积分2z 2e d (1)zz z z =−∫ . (6分) �解()()(){}()22e d 2πi Res ,0Res ,12πi 102πi 1zz z f z f z z z ==+=+=−∫ . 2.利用留数定理求解定积分(1)2sin d 1x xxx −∞+∫(5分) (2)2π1d cos 6xx +∫(5分)�解 (1) (){}i 21e 111πIm d Im 2πi Res ,i Im 2πi 21222e 2ex x I x f x x +∞−∞ ===⋅= + ∫. (2)()2π1201111d 21d d 4πRes 6cos 6i i 12162z z z x z f z z z x z z z −== =⋅==− +++++∫∫∫ 3.设函数()f z 在1z ≤上解析且 ()1f z ≤，试证 (0)1f ′≤. (7分)�解 ()()()2111111(0)d d 1d i 2πi 2πi 2πi 0z z z f z f z f z z z z ===′==≤=−−∫∫∫，所以(0)1f ′≤. 4.求函数1()[()()()()]222a af t δt a δt a δt δt =++−+++−的傅里叶变换. (7分) �解 ()i i i i 221e e e e cos cos 22a aa a a f t a −− =+++=+ωωωωωω .。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案
一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin zzz -的（ 一级 ）极点； 5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ． （A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
(整理)《复变函数与积分变换电信B》试卷答案.
中国计量学院201 1 ~ 201 2 学年第二学期《 复变函数与积分变换 》课程试卷（B ）参考答案及评分标准开课二级学院： 理学院_ ，学生专业： ，教师： 武丹一、 选择题1、D2、D3、D4、C5、C二、 填空题1、四级极点2、|z-4|<123、-14、-5025、4 三、判断题1、错2、错3、错4、错5、对四、计算题1、0，2、03、04、 2sin 2i π5、2cos2i π五、解答题1、解：6,u xy x∂=-∂ 2233u y x y ∂=-∂ ……………………………（1分） y v ∂∂=6,u xy x ∂=-∂，（1）-=∂∂x v 2233u y x y∂=-∂， （2）………………（2分） 将（1）式对y 积分得(,)6v x y xydy =-⎰=23()xy x ϕ-+，（3） …………………………………（4分）（3）对x 求导，带入（2），2()3x x ϕ'=，得 3()x x c ϕ=+ 于是，23(,)3v x y xy x c =-++，…………………………………………（8分） 由iv u z f +=)(，且(0)f i =，得 1=c因此所求的解析函数为：)(z f =32323(31)y x y i x xy -+-+………………（10分）2、z=3为奇点， …………………………………………（1分）2101(1)1(3)cos 0|z-3|3(2)!(3)n n n z z n z ∞-=--=⋅<<+∞--∑ （6分） 所以是函数的本性奇点。
………… （8分）《 复变函数与积分变换 》课程试卷B 参考答案及评分标准 第 1 页 共 3 页111Re (3)cos ;332s z C z -⎡⎤-==-⎢⎥-⎣⎦ ………… （10分） 六、 计算题1、解：当1||0<<z 时，由∑∞==-011n n z z 得 ……………（4分） 21(1)z +＝20(1)n n n z ∞=-∑， )1||0(<<z ………………（8分） 221(1)z z +＝2201(1)n n n z z ∞=⋅-∑＝220(1)n n n z ∞-=-∑， )1||0(<<z ………………（10分） 2、解： 21111()1211z z z =---+ ，。
《复变函数与积分变换》试卷及答案
得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ ）；4．0=z 是 4sin z zz -的（ ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （ ）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a得分（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数323 2)(sin)3 ()2)(1()(z zzzzzfπ-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1得分五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z zz -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
西安交通大学复变函数与积分变换试卷B卷及参考答案
可把 变成角形域 ；
而 可将该角形域变成上半平面 ；
而 可将 变成单位圆盘 ；
故它们的复合映射
即为满足要求的一个映射.
四、（10分）用留数计算广义积分 .
解：有理函数 的分母次数=分子次数+4，且该函数在在实轴上无奇点，而在上半平面仅有两个奇点 ， ；故
=
五、（10分）用Laplace变换解微分方程的初值问题：
由 ，得 ，而 ，
故象曲线为 ；或
.
11、解：[ ]= ，[ ]= ，
所以
=[ ] +[ ]= +
共4页第2页
12、解：[ ]= ，由Laplace变换的微分性质,
L[ ]= ，
所以
L[ ]= ；
L[ ]= .
二、解：在圆环域 上的Laurent级数为
；
在圆环域 上的Laurent级数为
三、解：显然满足 ， ， 的分式线性映射 .
成绩
西安交通大学考试题
课程复变函数与积分变换(B卷)
系别考试日期2006年1月日
专业班号
姓名学号期中期末
一、解答下列各题（每小题5分，共60分）
1、设 是实数，函数 在复平面解析，求 .
1、解：Cauchy-Riemann方程， ， ，解出
， .
2、求 ，并指出其主值.
解：
；其中 ；
其主值为 .
3、计算 ，其中 ，方向为正向.
2、解：用Cauchy积分公式，
.
4、计算 ，其中 ，方向为正向.
解：用高阶导数公式，
5、判别级数 的收敛性.
解： ，
和 的收敛性分别与 和 的相同，由高等数学中的Leibniz判别法，后两个级数收敛，故前两个也收敛，所以
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。
2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2. 3-i 2i 3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域 9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110. ⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵yu x x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u +=（5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0 c =0 （3分）∴222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π- 四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221（3分） z 1=0 z 2=1]11[2+-=i π=0 （2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 2)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰ （3分） ∴结论成立（2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX （3分）S （2）-（1）： ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y t t -=--=-121211)( 八、解：①定义； ②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换结课试卷B及答案
14．设C为正向圆周|z|=2，则 ____________.
15．设f(z)=zez,则 .
得分
三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
16.设复数
（1）求z的实部和虚部；
（2）求z的模；
（3）指出z是第几象限的点.
17．设 .将方程 表示为关于x,y的二元方程，并说明它是何种曲线.
18.设 为解析函数，试确定a,b,c的值.
19．讨论函数w=xy-x+iy2的可导性，并在可导点处求其导数.
20.设C是正向圆周
座号
复变函数结课考试试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
化简为：
它表示为一条抛物线。
18.
设
19．
20．
C.x2+y2+2xyD.x2+y2-2xy
3.设 ,则（ ）
A． B．
C． D．
4． （ ）
A． B．
C． D．
5．设D={z||z-i|<1}，则D为（）
A．有界多连通域B．无界单连通域
C．无界多连通域D．有界单连通域
6.设f (z)= u+iv，则使f(z)在区域D内解析的C.-R.条件是（ ）
期末试卷
2012~ 2013学年第一学期考试时间：100分钟
课程名称复变函数与积分变换B卷□
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
复变函数及积分变换试卷及答案
«复变函数与积分变换»期末试题〔A〕一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i-的幅角是〔〕；2.)1(iLn+-的主值是〔〕；3.211)(zzf+=，=)0()5(f〔〕；4．0=z是4sinzzz-的〔〕极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zf s〔〕；二．选择题〔每题3分，共计15分〕1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为〔〕；〔A〕yxiuuzf+=')(；〔B〕yxiuuzf-=')(；〔C〕yxivuzf+=')(；〔D〕xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf〔〕，那么0d)(=⎰C zzf．〔A〕23-z；〔B〕2)1(3--zz；〔C〕2)2()1(3--zz；〔D〕2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，那么级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 〕．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成以下各题〔每题10分，共计40分〕〔1〕设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a〔2〕．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；〔3〕计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z〔4〕函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩大复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、〔此题14分〕将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数； 〔1〕110<-<z ，〔2〕10<<z ，〔3〕∞<<z 1五．〔此题10分〕用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、〔此题6分〕求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题〔A 〕答案及评分标准一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i -的幅角是〔 2,1,0,23±±=+-k k ππ〕；2.)1(i Ln +-的主值是〔 i 432ln 21π+ 〕； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f 〔 0 〕，4．0=z 是4sin z zz -的〔 一级 〕极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s 〔-1 〕； 二．选择题〔每题4分，共24分〕1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔B 〕；〔A 〕 y x iu u z f +=')(； 〔B 〕y x iu u z f -=')(；〔C 〕y x iv u z f +=')(； 〔D 〕x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f 〔 D 〕，那么0d )(=⎰Cz z f ．〔A 〕23-z ； 〔B 〕2)1(3--z z ； 〔C 〕2)2()1(3--z z ； 〔D 〕2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，那么级数在〔C 〕〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( B )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 D 〕．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成以下各题〔每题10分，共40分〕〔1〕．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换练习册参考答案
分析：显然原方程可化简为一个典型的二项方程。
⎛ 1+ z ⎞ 解：由直接验证可知原方程的根 z ≠ 1 。所以原方程可改写为 ⎜ ⎟ = 1。 ⎝ 1− z ⎠
令
5
ω=
1+ z ， ……………(1) 1− z
2π i 5
则 ω = 1 ， ……………………(2)
5
方程(2)的根为 ω = 1, e
(5) lim
z →1
zz + 2 z − z − 2 3 = 。 2 z2 −1 zz + 2 z − z − 2 ( z + 2)( z − 1) z +2 3 = lim = lim = 。 2 z →1 ( z − 1)( z + 1) z →1 z + 1 2 z −1
提示： lim
z →1
(1 − cos α ) 2 + sin 2 α = 4sin 2
α
2
= 2sin
α
2
；因为当 0 < α < π 时，
sin α > 0 ， 1 − cos α > 0 ，则 arg z = arctan
= arctan(tan +i sin
π −α
2
)=
π −α
2 e
π −α i 2
sin α α = arctan(cot ) 1 − cos α 2
。
6、 ( 2)
=e
2 ln 2 − 2kπ
7、方程 sinh z = i 的解为 三、计算和证明 1、试证函数
1 在复平面上任何点都不解析。 z
利用 C-R 条件，即用解析的充要条件判别，即 u =
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1．若z 为非零复数，则22z z -与2zz 的关系是( ). A 222z z zz -≥ B 222z z zz -≤ C 222z z zz -= D 不能比较大小 2下列式子不恒成立的是( ).
A =z e z e
B ()z Ln Lnz =
C z z sin sin = D
()()z p z p = ,((p(z)为多项式) 3．设:1C z =为正向，则2sin C z dz z ⎰
=( ). A 2i π- B 0 C 2i π D 4i π
4．若幂级数0n n n c z ∞=∑在12z i =+处发散，那么该级数在22z i =+处的敛散性为
( ).
A 绝对收敛
B 条件收敛
C 发散
D 不能确定
5．设0z =为函数
4sin z z 的m 阶极点，那么m =( ). A 5 B 4 C 3 D 2
.(每题4分,共20分)
6. 不等式222z z --+=所表示的是___________________(填曲线类型).
7. z e 以____________为周期.
8. 设(),()2444i i i f f i '==+，则4
4()4lim i z f z i z i →--=__________. 9. 设C 为正向圆周3z =，则C z z dz z +⎰
=_______. 10．把角形区域0arg 4z π<<
映射成圆域4ω<的映射可写为_____________________.
.(每小题10分，共60分)
11.判别级数1n
n i n ∞
=∑的收敛性.
12. 叙述最大模定理，并用该定理说明cos 1z ≤在复数范围内不成立.
13.讨论函数3322()2f z x y x y i =-+的连续性、可导性与解析性.
14. 求幂级数21112n n n n z ∞
--=∑
的收敛半径及和函数.
7. z e 以____________为周期.
8. 设(),()2444i i i f f i '==+，则44()4lim i z f z i z i →--=__________. 9. 设C 为正向圆周3z =，则C z z dz z +⎰
=_______. 10．把角形区域0arg 4z π<<映射成圆域4ω<的映射可写为_____________________.
.(每小题10分，共60分)
11.判别级数1n
n i n ∞
=∑的收敛性.
12. 叙述最大模定理，并用该定理说明cos 1z ≤在复数范围内不成立.
13.讨论函数3322()2f z x y x y i =-+的连续性、可导性与解析性.
14. 求幂级数21112n n n n z ∞
--=∑
的收敛半径及和函数.
15.计算积分220cos (1)(4)x
dx x x +∞++⎰.
16. 若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，则(1)在D 内，(,)u x y 、(,)v x y 一阶偏导数上均连续;(2) C R -方程在D 内成立.。