15事件和与事件积的概率【教师版】

事件和与事件积
这节课我们学什么
1.掌握事件和与事件积的概率的求法；
2.理解事件独立的概念，并掌握独立事件积的概率的求法.知识框图
知识梳理
1.和事件
（1）和事件：设A、B为两个随机事件，把“事件A与事件B至少有一个出现”叫做事件A与事件B的和．
（2）事件和的概率（概率加法公式）：()()()()
P A B P A P B P AB
=+-．
（3）互斥事件：在同一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫做互不相容事件．
（4）互斥事件和的概率：如果事件A、B互斥，那么()()()
P A B P A P B
=+．
2.积事件
（1）积事件：设A、B为两个随机事件，把“事件A与事件B同时出现”叫做事件A与事件B的积．
（2）独立事件：如果事件A出现和事件B出现，互相之间没有影响，即其中一个事件的发生对另一事件发生的概率没有影响，那么就称事件A和事件B互相独立．如果A与B是独立的，则A与B、A与B、A与B
也是互相独立的．
（3）独立事件积的概率：如果事件A、B互相独立，那么()()()
P AB P A P B
=⋅．
（4）推广：如果事件
n
A
A
A、
、
、
2
1
相互独立，则
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1n
n
A
P
A
P
A
P
A
A
A
P
=
）
（
（5）“事件
n
A
A
A、
、
、
2
1
至少出现一个”这一事件的对立事件是“
n
A
A
A、
、
、
2
1
都不出现”，即
1212
1'''
n n
P A A A P A A A
+++=-
（）（）)'
(
)'
(
)'
(
1
2
1n
A
P
A
P
A
P
-
=
)]
(
1[
)]
(
1
)][
(
1[
1
2
1n
A
P
A
P
A
P-
-
-
-
=
3.总结：
典型例题分析
1.
事件和概率
例1、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率)(B A P U 为多少？.
【答案：)(B A P ＝11()+()=
+=
524P A P B 7
26
】 例2、某校高二(1)班45名同学都订阅了不同的报刊，其中订阅中学生报有30名同学，订阅中学生外语报有25名同学，10名同学即订了中学生报又订阅了中学生外语报。

求随机选择该班同学订阅中学生报或中学生外语报的概率。

【答案：设A 表示“订阅中学生报的同学”， B 表示“订阅中学生外语报的同学”，由
题意得）（）（）（）（AB P B P A P B A P -+= =
302510
1454545
+-=】例3、某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率； （2）至少射中7环的概率； （3）射中环数不足8环的概率. 【答案：（1）0.52（2）0.87（3）0.29】
例4、有A 、B 两个袋子，A 袋中装有4个白球、2个黑球，B 袋中装有3个白球、4个黑球，从A 、B 两个袋子中各取2个球交换之后，求A 袋中有4个白球的概率． 【答案：设A ={A 袋中有4个白球}，由于A 袋中原来装有4个白球，白球数量未发生 变化，故事件A 由以下三个事件A 1，A 2，A 3中至少有一个发生而发生．
1A ={A 袋中2个白球交换B 袋中2个白球}；
2A ={A 袋中1个白球1个黑球交换B 袋中1个白球1个黑球}；
3A ={A 袋中2个黑球交换B 袋中2个黑球}；
123
A A A A
=++
21
8
105
2
105
32
35
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
7
2
6
2
4
2
2
2
7
2
6
1
4
1
3
1
2
1
4
2
7
2
6
2
3
2
4
3
2
1
3
2
1
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
∴
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
P
A
P
A
P
A
A
A
P
A
P
】
2.事件积概率
例5、若事件E与F相互独立，且()()
1
4
P E P F
==，则()
P EF的值等于多少？【答案：
1
16
】
例6、如图，电路由电池A、B、C并联组成.电池A、B、C损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2
，求电路断电的概率
【答案：我们先规定下列事件的记号：
A=“电池A损坏”，P(A)=0.3；
B=“电池B损坏”，P(B)=0.2
；
C=“电池C损坏”，P(
C
“电路断电”=“A、B、C三个电池同时损坏”=A·B·
C
由实际意义知，A、B、C
、三个事件相互独立，于是
P(电路断电) =P(A)·P(B)·P(C)=0.3×0.2×0.2＝0.012．】
例7、经抽检，某元件的次品率是0.3%，现将该元件按每100只装成一盒，试计算每盒中不含次品的概率
【答案：将100只元件装一盒作为进行100次随机试验，并设每次试验中放进次品为事件A,则依题意，P(
A
所以，在100次独立重复试验中事件A发生0次的概率是
P100(0)=0
100
C·(0.3%)0(1-0.3%)100-0
即每100只元件装成一盒，每盒不含次品的概率为】
例8、加工某一零件共需经过三道工序，各道工序互不影响，次品率各为2%、3%、5%，问加工出来的零件的次品率是多少？
【答案：以A i记“第i道工序加工出来的零件是次品，i=1，2，3。

由题意，'
'
'
3
2
1
A
A
A、
、
互相独立，故可求概率
123123123
()1(''')1[1()][1()][1()]
P A A A P A A A P A P A P A
=-=----
1(10.02)(10.03)(10.05)9.7%
=----≈】
例9、某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但他忘记了开房门的是哪一把，于是，他依次不重复地试开，问：
（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？
（2）三次内打开房门的概率是多少？
（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开房门的概率是多少？
【答案：（1）
5
1
5
5
4
4=
=
P
P
A
P）
（（2）
5
3
3
5
5
4
4=
=
P
P
B
P）
（（3）
10
9
5
5
2
2
3
3
5
5=
-
=
P
P
P
P
C
P）
（】例10、从原点出发的某质点M在作连续移动，已知M按向量)1,0(
=
a移动的概率为3
2
，按向量)2,0(
=
b移动的概率为
3
1
，设M经过点)
0n
，
（的概率为
n
P.
（1）求
1
P和
2
P的值；
（2）求证：
1
23
2
3
1
+
+
+
=
n
n
n
P
P
P
（3）求
n
P的表达式.
【答案：（1）
3
2
;
9
7
;
（2）到达点)2
0+
n
，
（有两种情况：①从点)
0n
，
（按向量)2,0(
=
b移动，概率为3
1
⨯
n
P；②从点)1
0+
n
，
（按向量)1,0(
=
a移动，概率为
3
2
1
⨯
+
n
P；故得证.
（3）
n
n
P⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
⨯
+
=
3
1
4
1
4
3
】
课后练习
练1、设A为一随机事件，则下列式子正确的是
①P(A·A)=P(A)·P(A)；②P(A·A；③P(A+A)=P(A)+P(A)；④P(A+A)=1 【答案：②③④】
练2、在一条线路上并联着3个自动控制的常开开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作．如果在某段时间里三个开关能够闭合的概率分别为P1、P2、P3，那么这段时间内线路正常工作的概率为.
【答案：在这段时间线路正常工作是“3个开关至少有一个能够闭合”，其对立事件是“三个开关均不能够闭合”，所求概率为:1-(1-P1)(1-P2)(1-P3)．
】
练3、若甲以10发8中，乙以10发中6，丙以10发中7的命中率打靶，3人各射击1次，则3人中只有1人命中的概率为
【答案：
250
47
】
练4、10颗骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一个点的概率是
【答案：1
5
10
6
1
1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-】
练5、计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为
42
53
、，在操作考试中“合格”的概率依次为
15
26
、，所有考试是否合格，相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书”的概率．
【答案：
23
45
】
练6、从1，2，3……100这100个数中，随机取出两个数，求其积是3的倍数的概率。

【答案：因为100个数其中3的倍数的数有33个，非3的倍数的数有67个，而两个数的积为3的倍数可分成两类：A表示“两个数都是3的倍数”；B表示“一个数是3的倍数，另一个数非3的倍数”，且0
A B P AB
=∅=
且（），
于是
150
83
2
100
1
67
1
33
2
100
2
33=
⋅
+
=
+
=
C
C
C
C
C
B
P
A
P
B
A
P）
（
）
（
）
（ 】
练7、甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率是0.8.计算：
(1)两人都击中目标的概率；
(2)其中恰有1
人击中目标的概率；
(3)至少有1人击中目标的概率
【答案：记“甲射击一次击中目标”为事件A，“乙射击一次击中目标”为事件
B
(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件A·B，又由于事件A与B相互独立∴P(A·B)=P(A)·P(
B
(2)“两个各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A·B)，另一种是甲未击中乙击中(即A·B)，根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A·A
B与·B 是互斥的，所以所求概率为：
P=()()()()()()
P A B P A B P A P B P A P B
⋅+⋅=⋅+⋅
=0.8×(1-0.8)+(1-
(3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为：
P=P(A·B)+［P(A·A
P
B(
)+·B)］】
练8、某所气象预报站的预报准确率为80%.则它5次预报中没有一次准确的概率约为多少?
【答案：5
=1-80%=0.00032
P（）】
练9、分别从集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B 中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是_________． 【答案：
4
3 】 练10.如图，用A 、B 、C 三类不同元件连接成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2．
【答案：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，P (A )=0.80,P (B )=0.90,P (C )=0.90.
（1）因为事件A 、B 、C 相互独立，所以N 1正常工作的概率为
P 1=P (ABC )=P (A )·P (B )·P (C
（2）解法一：N 2正常工作的概率P 2=P (A )·P (A+B
即P 2=P (A )［1-P ()B C ⋅］=P (A )［1-P ()()C P B ］
=0.80×［1-0.10×0.10］=0.80×0.99=0.792.
解法二：
P 2=P (ABC )+()()P ABC P ABC +=P (A )P (B )P (C )+P (A )P ()()()()()C P B P A P C P B +
】。